Chương 6: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ I Mẫu thống kê : Ký hiệu X đặc tính cần nghiên cứu phần tử tập hợp M M gọi tổng thể, số phần tử M ký hiệu N Thông thường lấy hết phần tử M để quan sát X lý sau - Số N lớn - Thời gian kinh phí không cho phép - Có thể làm hư hại hết phần tử M Vì người ta thường lấy số phần tử M để quan sát X, phần tử gọi mẫu lấy từ M Số phần tử mẫu gọi cỡ mẫu, ký hiệu n Điều kiện để chọn mẫu : - Các phần tử mẫu lấy ngẫu nhiên từ M - Các phần tử mẫu lấy cách độc lập với Ký hiệu Xi giá trị quan sát X phần tử thứ i mẫu Khi ta có n biến ngẫu nhiên (X1 , …, Xn ) gọi mẫu lý thuyết lấy từ M Tính chất mẫu lý thuyết : 1) Các Xi có phân phối X 2) Các Xi độc lập với Khi lấy mẫu cụ thể xong ta có số liệu ( x1 , … , xn ) gọi mẫu thực nghiệm lấy từ X Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản : Đánh số phần tử M từ đến N Và lập phiếu đánh số Trộn phiếu, sau lấy có hoàn lại n phiếu Các phần tử M có số thứ tự phiếu lấy chọn làm mẫu II Các đặc trưng mẫu : Cho mẫu (X1 , …, Xn ), ký hiệu EX = μ DX = σ2 Trung bình mẫu : n X = ∑ Xi n i =1 nμ n EX = ∑ EX i = =μ n i =1 n DX = n DX = nσ σ DX i = = ∑ n n i =1 n σ n ‰ Mẫu thực nghiệm : ( x1 , … , xn ) n X = ∑ xi n i =1 a) Mẫu có lặp : X x1 xk Tổng ni n1 nk n Trong ni tần số giá trị xi mẫu n1+ …+ nk = n k X = ∑ ni xi n i =1 b) Mẫu chia khoảng : X (a1, a2] ni n1 (ak, ak+1] Tổng nk n Trong ni tần số giá trị mẫu rơi vào (ai,ai+1] n1+ …+ nk = n + +1 θi = k X = ∑ niθi n i =1 Phương sai mẫu : n s = ∑ ( X i − X )2 n i =1 n −1 2 Es = σ n s = X − ( X )2 n X = ∑ X i2 n i =1 Phương sai mẫu có điều chỉnh : n ( ) S2 = X − X ∑ i n − i =1 n 2 S = s n −1 ES = σ ‰ Cho mẫu thực nghiệm ( x1 , … , xn ) a) Mẫu có lặp : k s = ∑ ni ( xi − X ) n i =1 k ( ) − S = n x X ∑ i i n − i =1 k X = ∑ ni xi2 n i =1 b) Mẫu chia khoảng : k s = ∑ ni (θi − X ) n i =1 k S2 = n θ − X ( ) ∑i i n − i =1 k X = ∑ niθi2 n i =1 Tỷ lệ mẫu : Giả sử tham số p tỷ lệ phần tử loại L tổng thể M Xét mẫu (X1 , …, Xn), với Xi = phần tử thứ i mẫu thuộc loại L, Xi = ngược lại Gọi m số phần tử loại L mẫu, m = X1 + + Xn m f = gọi tỷ lệ mẫu (tần suất) n phần tử loại L (trên mẫu) m np Ef = E = ( EX1 + + EX n ) = =p n n n m npq pq Df = D = ( DX1 + + DX n ) = = n n n n III Ước lượng điểm : Giả sử θ tham số chưa biết biến ngẫu nhiên X Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm đại lượng θˆ ( X , , X n ) làm xấp xỉ cho θ, gọi ước lượng điểm θ 1 Ước lượng không chệch θˆ ( X , , X n ) gọi ước lượng không chệch θ Eθˆ ( X , , X n ) = θ Khi sai số ước lượng E (θˆ ( X , , X n ) − θ ) = Các phương pháp tìm ước lượng điểm : Hợp lý cực đại, Bình phương nhỏ Ví dụ : Các tham số biến X μ = EX DX= σ2 • X ước lượng không chệch μ • s2 ước lượng chệch σ2 • S2 ước lượng không chệch σ2 • f là ước lượng không chệch tỷ lệ p IV Ước lượng tham số khoảng tin cậy (KTC) : Khái niệm chung : Giả sử θ tham số chưa biết biến ngẫu nhiên X Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm hai đại lượng θ1(X1 , …, Xn ) , θ2(X1 , …, Xn ) cho P(θ1 ≤ θ ≤ θ2 ) = γ (*) với γ đủ lớn cho trước , thường γ = 95% hay 99% Xác suất γ gọi độ tin cậy ước lượng khoảng Khoảng [θ1 , θ2] gọi khoảng tin cậy cho θ Ý nghĩa (*) : Có γ100% số lần lấy mẫu cỡ n θ ∈[θ1 , θ2] Có (1-γ)100% số lần lấy mẫu cỡ n θ ∉[θ1 , θ2] 2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng : Giả sử tham số μ = EX chưa biết biến ngẫu nhiên X σ2= DX Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm hai đại lượng μ1(X1 , …, Xn ) , μ2(X1 , …,Xn ) cho P(μ1 ≤ μ ≤ μ2 ) = γ 1) Khi n ≥ 30, σ2 biết Xét thống kê Z= X −μ σ ~ N (0,1) n Dựa vào luật phân phối biết Z ta tìm z cho P( Z ≤ z ) = γ Từ ta có σ μ1,2 = X ± z1+γ n Trong z1+γ phân vị mức Φ ( z1 + γ 1+ γ )= 2) Khi n ≥ 30, σ2 μ1,2 = X ± z1+γ S n 1+ γ Φ(x), tức 3) Khi n < 30, σ2 biết X ~ N(μ, σ2 ) μ1,2 = X ± z1+γ σ n 4) Khi n < 30, σ2 X ~ N(μ, σ2 ) Xét thống kê T= X −μ ~ t (n − 1) S n Dựa vào luật phân phối Student với (n -1) bậc tự T ta có n −1 S μ1,2 = X ± t +γ n Trong t n −1 1+γ 1+ γ phân vị mức luật phân phối Student với (n-1) bậc tự Khoảng tin cậy cho tỷ lệ : Giả sử tham số p tỷ lệ phần tử loại L tổng thể M Xét mẫu (X1 , …, Xn) với Xi = phần tử thứ i mẫu thuộc loại L, Xi = ngược lại Cần tìm hai đại lượng p1(X1 , …, Xn), p2(X1 , …, Xn) cho P(p1 ≤ p ≤ p2 ) = γ Xét mẫu cỡ lớn : nf ≥ 10, n(1-f) ≥ 10 thống kê Z= f−p ~ N (0,1) p(1 − p ) n Trong f tỷ lệ mẫu Từ p1,2 = f ± z1+γ f (1− f ) n Độ xác ước lượng xác định cỡ mẫu : 1) Trường hợp kỳ vọng Độ xác ước lượng cho tham số μ =EX với độ tin cậy γ số ε > cho P( X − μ ≤ ε ) = γ Từ đó, ta có ε = z1+γ σ n ε = z1+γ S n , σ2 biết , σ2 • Cho ε γ tìm cỡ mẫu n : ⎡ σ⎤ n ≥ ⎢ z1+γ ⎥ ⎢⎣ ε ⎥⎦ ⎡ S⎤ n ≥ ⎢ z1+γ ⎥ ⎢⎣ ε ⎥⎦ , σ2 biết , σ2 2) Trường hợp tỷ lệ Độ xác ước lượng f cho tham số p với độ tin cậy γ số ε > cho P( f − p ≤ ε ) = γ Từ đó, ta có ε = z1+γ • f (1 − f ) n Cho ε γ tìm cỡ mẫu n ⎡ n ≥ ⎢ z1+γ ⎢⎣ f (1 − f ) ⎤ ⎥ ε ⎥⎦ [...]... điểm của θ 1 Ước lượng không chệch θˆ ( X 1 , , X n ) được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu Eθˆ ( X 1 , , X n ) = θ Khi đó sai số của ước lượng bằng E (θˆ ( X 1 , , X n ) − θ ) = 0 2 Các phương pháp tìm ước lượng điểm : Hợp lý cực đại, Bình phương nhỏ nhất Ví dụ : Các tham số của biến X là μ = EX và DX= σ2 • X là ước lượng không chệch của μ • s2 là ước lượng chệch của σ2 • S2 là ước lượng không... chệch của σ2 • f là là ước lượng không chệch của tỷ lệ p IV Ước lượng tham số bằng khoảng tin cậy (KTC) : 1 Khái niệm chung : Giả sử θ là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên X Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm hai đại lượng θ1(X1 , …, Xn ) , θ2(X1 , …, Xn ) sao cho P(θ1 ≤ θ ≤ θ2 ) = γ (*) với γ đủ lớn cho trước , thường γ = 95% hay 99% Xác suất γ gọi là độ tin cậy của ước lượng khoảng Khoảng [θ1... 1 nếu ngược lại Cần tìm hai đại lượng p1(X1 , …, Xn), p2(X1 , …, Xn) sao cho P(p1 ≤ p ≤ p2 ) = γ Xét mẫu cỡ lớn : nf ≥ 10, n(1-f) ≥ 10 và thống kê Z= f−p ~ N (0,1) p(1 − p ) n Trong đó f tỷ lệ mẫu Từ đó p1,2 = f ± z1+γ 2 f (1− f ) n 4 Độ chính xác của ước lượng và xác định cỡ mẫu : 1) Trường hợp kỳ vọng Độ chính xác của ước lượng cho tham số μ =EX với độ tin cậy γ là số ε > 0 sao cho P( X − μ ≤ ε )...Gọi m số phần tử loại L trên mẫu, khi đó m = X1 + + Xn m và f = được gọi là tỷ lệ mẫu (tần suất) của các n phần tử loại L (trên mẫu) m 1 np Ef = E = ( EX1 + + EX n ) = =p n n n m 1 npq pq Df = D = 2 ( DX1 + + DX n ) = 2 = n n n n III Ước lượng điểm : Giả sử θ là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên X Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm đại lượng θˆ ( X 1 , , X n ) làm xấp xỉ cho θ, gọi là ước lượng. .. cậy cho θ Ý nghĩa của (*) : Có γ100% số lần lấy mẫu cỡ n thì θ ∈[θ1 , θ2] Có (1-γ)100% số lần lấy mẫu cỡ n thì θ ∉[θ1 , θ2] 2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng : Giả sử tham số là μ = EX chưa biết của biến ngẫu nhiên X và σ2= DX Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm hai đại lượng μ1(X1 , …, Xn ) , μ2(X1 , …,Xn ) sao cho P(μ1 ≤ μ ≤ μ2 ) = γ 1) Khi n ≥ 30, σ2 đã biết Xét thống kê Z= X −μ σ ~ N (0,1) n Dựa vào luật... σ2 không biết • Cho ε và γ tìm cỡ mẫu n : ⎡ σ⎤ n ≥ ⎢ z1+γ ⎥ ⎢⎣ 2 ε ⎥⎦ 2 ⎡ S⎤ n ≥ ⎢ z1+γ ⎥ ⎢⎣ 2 ε ⎥⎦ 2 , nếu σ2 đã biết , nếu σ2 không biết 2) Trường hợp tỷ lệ Độ chính xác của ước lượng f cho tham số p với độ tin cậy γ là số ε > 0 sao cho P( f − p ≤ ε ) = γ Từ đó, ta có ε = z1+γ 2 • f (1 − f ) n Cho ε và γ tìm cỡ mẫu n ⎡ n ≥ ⎢ z1+γ ⎢⎣ 2 f (1 − f ) ⎤ ⎥ ε ⎥⎦ 2 ... μ1,2 = X ± z1+γ 2 σ n 4) Khi n < 30, σ2 không biết và X ~ N(μ, σ2 ) Xét thống kê T= X −μ ~ t (n − 1) S n Dựa vào luật phân phối Student với (n -1) bậc tự do của T ta có n −1 S μ1,2 = X ± t 1 +γ n 2 Trong đó t n −1 1+γ 2 1+ γ là phân vị mức 2 của luật phân phối Student với (n-1) bậc tự do 3 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ : Giả sử tham số p là tỷ lệ các phần tử loại L trên tổng thể M Xét mẫu (X1 , …, Xn) với ... X ước lượng không chệch μ • s2 ước lượng chệch σ2 • S2 ước lượng không chệch σ2 • f là ước lượng không chệch tỷ lệ p IV Ước lượng tham số khoảng tin cậy (KTC) : Khái niệm chung : Giả sử θ tham. .. ) gọi ước lượng không chệch θ Eθˆ ( X , , X n ) = θ Khi sai số ước lượng E (θˆ ( X , , X n ) − θ ) = Các phương pháp tìm ước lượng điểm : Hợp lý cực đại, Bình phương nhỏ Ví dụ : Các tham số biến... n n n n III Ước lượng điểm : Giả sử θ tham số chưa biết biến ngẫu nhiên X Dựa vào mẫu (X1 , …, Xn ) cần tìm đại lượng θˆ ( X , , X n ) làm xấp xỉ cho θ, gọi ước lượng điểm θ 1 Ước lượng không