Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa thừa • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung I – Khái niệm chuỗi số II – Chuỗi khơng âm III- Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội tụ tuyệt đối IV- Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz V- Chuỗi luỹ thừa Bán kính miền hội tụ II Chuỗi không âm Định nghĩa chuỗi không âm Chuỗi số không âm chuỗi   an , (n)an  0, n 1 Nhận xét Với chuỗi không âm, dãy tổng riêng S n dãy không giảm Vậy chuỗi không âm hội tụ bị chặn Tiêu chuẩn so sánh  Hai chuỗi  an ,  bn n 1 thoả điều kiện  an  bn , n  n0 n 1    bn 1) Nếu chuỗi hội tụ, chuỗi n 1  an  an hội tụ n 1  2) Nếu chuỗi CM   phân kỳ, chuỗi n 1  an phân kỳ n 1  Chuỗi  b n hội tụ nên dãy tổng riêng S n bị chặn tr n 1 n n k 0 k 0  S n'   an   bn S n  dãy tổng riêng an n 1 bị chặn trên, chuỗi hội Tiêu chuẩn so sánh Hai chuỗi    an n 1 (1) ,  bn (2) thoả  an  bn , n  n0 n 1 an K  lim n b n 1) K  : Nếu chuỗi (2) hội tụ, chuỗi (1) hội tụ 2) K hữu hạn,  : Chuỗi (1) (2) HT P 3) K   : Nếu chuỗi (1) HT, chuỗi (2) HT   cos n   an Ví dụ Khảo sát hội tụ chuỗi  n 1 n( n  1) n 1 Chuỗi dương cos n 1   n(n  1) n(n  1) n   Chọn chuỗi số    bn n 1 n n 1 an lim  n b n hữu hạn, khác không  Suy hai chuỗi    an ,  bn n 1  tính chất hội tụ n 1 Vì chuỗi  bn   hội tụ, nên chuỗi cho hội tụ n 1 n 1 n  3(1)n    an Ví dụ Khảo sát hội tụ chuỗi  n 3 n 1 n 1  n  3(  1) Chuỗi dương   n 3  n n 3 2  1 Vì chuỗi  n , |q |  hội tụ, nên chuỗi cho hội tụ n 1  n  e n   an Ví dụ Khảo sát hội tụ chuỗi  n n 1  ln n n 1 n n n e  n e e   Chuỗi dương  n   n  ln n   n  e e   chuỗi    , |q |  FK, nên chuỗi cho FK n 1    Ví dụ Khảo sát hội tụ ln(1  sin(1/ n)   n  ln n   an n 1 n 1 ln(1  sin(1/ n) 1/ n Chuỗi dương   2 n n  ln n n  Vì chuỗi  hội tụ, nên chuỗi cho hội tụ n 1 n  Ví dụ Khảo sát hội tụ  n 1    an  n  cosh  1 n    chuỗi   2n3/ n 1     n  cosh  1   an n  n1  2      n1/  1   1  3/  2n  2n HT, nên chuỗi cho HT  Ví dụ Khảo sát hội tụ   n   ln  cosh(1/ n)    an n 1 n 1 an  n   ln  cosh(1/ n)   n  ln(1  1/(2n ))  3/ 2n  Vì chuỗi  3/ hội tụ, nên chuỗi cho hội tụ n 1 2n  Ví dụ Khảo sát hội tụ arctan(n  2n)   3n  n2   an n 1 n 1  /2  arctan(n  2n)  n  an  n n 2 3 n  chuỗi  n HT, nên chuỗi cho HT n 1  Ví dụ Tìm  để chuỗi HT   1  n  sin(1/ n)  n 1    1 an  1  n  sin(1/ n)   1  n        2 n  n 3!n    Chuỗi cho hội tụ      Ví dụ Tìm  để chuỗi HT  1    ln sin n  ln n  n 1   1  1   1   an   ln     ln   ln 1    2   n    6n   n   n 6n  Chuỗi cho hội tụ   III Chuỗi Taylor Maclaurint ịnh nghĩa chuỗi Taylor Hàm y  f ( x) có đạo hàm vơ hạn lần lân cận điểm x0 Chuỗi   n 0 f (n) ( x0 ) n ( x  x0 ) (1) gọi chuỗi Taylor n! hàm y  f ( x) lân cận x0 huỗi Taylor lân cận x0  gọi chuỗi Maclaurin III Chuỗi Taylor Maclaurint ịnh lý Nếu hàm y  f ( x) đạo hàm cấp bị chặn lân cận điểm x0 , tức tồn số thực M, rong lân cận x0 ta có (n  N ), f hì  f ( x)   n 0 f ( n ) ( x0 ) ( x  x0 ) n n! ( n) ( x)  M Chuỗi Maclaurint số hàm thông dụng:  n x e  n0 n! x Miền hội tụ: R ( 1) n x n ln(1  x)   n n 1 Miền hội tụ:  1,1 n 1 x n sin x    1 (2n  1)! n0 Miền hội tụ: R    2n x cos x    1 (2n)! n 0 n Miền hội tụ: R  ) (1  x)     (  1) (  (n  1)) x n n! n 0  n Miền hội tụ: (1,1 6)  x  x n0 Miền hội tụ: (1,1)  n n 7)   (1) x  x n 0 Miền hội tụ: (1,1) n 1 x n 8) arctan x    1 2n  n0 Miền hội tụ:  1,1 x2n 9) cosh x   n  (2n )! Miền hội tụ: R    n 1 x 0) sinh x   n  (2n  1)! Miền hội tụ: R Ví dụ Tìm chuỗi luỹ thừa hàm y  ln(2  x) ong lân cận x0  Đặt X  x   x  X 1 Tìm khai triển Maclaurint hàm f  ln(2  3( X  1))  3X   3X  f  ln(5  X)  ln 1    ln  ln 1        f  ln   (1) n1 n1  3X / 5 n n   ln   (1) n1 n n1   x  1 n n n Ví dụ Tìm chuỗi luỹ thừa hàm 2x 1 y x x ong lân cận x0  Đặt X  x   x  X  2X  Tìm khai triển Maclaurint hàm f  ( X  2)( X  3) 1 1 1 f       X  X  1 X / 2 1 X / n n   X X f    (1)n n    (1) n n n0 n0  1 n n f    (1)  n  n   x   n0 2  , | x | Ví dụ Tìm chuỗi Maclaurint hàm y  (1  x)    xn  x n0 Ta có Đạo hàm hai vế (trong miền hội tụ, đạo hàm tổng tổng đạo hàm )  1  x    nx n1 n1    (n  1) xn n0 ln(1  x) I  dx x Ví dụ Tính tích phân 2 , biết   n1 n  2  (2n  1)2  n1  (1)n1 n x 1  n1 (1) n n1 n1 I  dx    x dx x n 0 n1  Ta có  n1 ( 1)  n n1 n1   (  1) 1  n x      2 n 12 n  n (2 1) n  n  n   1 I   ln dx 1 x Ví dụ Tính tích phân  n  n x (  1) n a có I   ln(1  x)dx    ( x) dx    dx  n n1 n n1  1 n1   lim Sn   x n1 n( n  1) n1 n( n  1)  Vì 1 Sn  a1  a2   an     1.2 2.3 n.(n  1) 1 1 1 Sn         1 2 n n 1 n 1 n  (1) I  n2 n  n  Ví dụ Tính tổng (1) n I  n  ( n  1)( n  2)  (1) n  (1)n     n n  n 2 n   n   N 1 (1) (1) Đặt N  n  1: J    N n2 n  N 1 n 1  (1)  ln  n n 1  n  N 2 (1) (1) Đặt N  n  2: K    N n2 n  N 4 Vậy I  ln   ln  18  (1)   n n4 n 1 n2 I  n1 n!  Ví dụ Tính tổng  n Ta có I   n1 n!  n 1  n   n1 ( n  1)! n1 ( n  1)!     1 I        2e n0 n! n0 n! n ( n  2)! n1 ( n  1)!  Nội dung ôn tập I) Đạo hàm riêng vi phân cấp 1,2: đạo hàm riêng vi phân hàm f = f(x,y), hàm hợp, hàm ẩn Ứng dụng đạo hàm riêng: Cực trị tự do, có điều kiện, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; công thức Taylor, Maclaurint f = f(x,y) II) Tích phân: 1) Tích phân kép: toạ độ Đềcác, toạ độ cực; ứng dụng hình học tích phân kép (diện tích, thể tích, diện tích mặt cong) 2) Tích phân bội ba: toạ độ Đềcác, toạ độ trụ, toạ độ cầu Ứng dụng hình học: tính thể tích vật thể thể 3) Tích phân đường: Tích phân đường loại mặt phẳng không gian Ứng dụng hình học: tính độ dài cung, diện tích mặt cong Nội dung ơn tập Tích phân đường loại hai mặt phẳng không gian: cách tính, cơng thức Green, tích phân khơng phụ thuộc đường 4) Tích phân mặt loại một: cách tính tính Ứng dụng hình học tính diện tích mặt cong tính Cơng thức Gauss-Ostrogradskii, Tích phân mặt loại hai: cách tính cơng thức Stoke dùng tính tích phân đường loại hai III) Chuỗi: 1) Chuỗi số: khảo sát hội tụ chuỗi tuỳ ý, chuỗ dương, chuỗi đan dấu Tính tổng chuỗi số 2) Chuỗi luỹ thừa: bán kính hội tụ, miền hội tụ Dùng chuỗi luỹ thừa để tính tổng chuỗi số 3) Chuỗi Taylor, Maclaurint: tìm chuỗi Taylor, Maclaurint hàm y = f(x), ứng dụng để tính tổng chuỗi số, tính tích phân Đề mẫu cuối kỳ -2 2  z Câu Cho f ( x, y)  xy  x  y Tính dz(0,0); (0,0) xy y x2 âu Tìm cực trị tự hàm z  e (1  x  y) Câu Tính tích phân I    x | y | dxdy , D miền D phẳng giới hạn x2  y  4, x  y Câu Cho hàm P( x, y)  y; Q( x, y)  x  ye Tìm hàm h(y) hoả h(1) = 1để tích phân I   h( y) P( x, y)dx  h( y)Q( x, y)dy C không phụ thuộc đường Với h(y) tìm tính:   h( y) P( x, y)dx  h( y)Q( x, y)dy C đường cong C ồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2) âu Sử dụng tích phân bội ba, tính thể tích vật thể giới hạn 2 2 x  y  z  z z  x  y  âu Tính I   (2 x  y) dydz  (3y  z) dxdz  (3z  x) dxdy S 2 2 z  x  y , z   x  y ới S vật thể giới hạn  âu Tìm miền hội tụ chuỗi  n0 (n  2)( x  1) n 5n n6  2n (n  1) âu Tìm tổng chuỗi  n! n0  Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút ... chuỗi số Tại X  1 có chuỗi (1) n 1 2n   2n  n ( x  3) n  n 1 2n   2n  n   (1) n 1 n Hội tụ 2n   2n  HT tuyệt đ n 1  x    4  x  ? ?2 Tính chất chuỗi luỹ thừa 1) Tổng chuỗi. .. Chuỗi luỹ thừa ịnh nghĩa chuỗi luỹ thừa Chuỗi luỹ thừa chuỗi   an ( x  x0 ) n ,an  R (1) n 0  n a x Khi x0  ta có chuỗi luỹ thừa  n ,an  R (2) n 0 Cho x   giá trị cụ thể ta có chuỗi. .. hội tụ n 1 2n  Ví dụ Khảo sát hội tụ arctan(n  2n)   3n  n2   an n 1 n 1  /2  arctan(n  2n)  n  an  n n 2 3 n  chuỗi  n HT, nên chuỗi cho HT n 1  Ví dụ Tìm  để chuỗi HT 