Bài toán quỹ tích CHỦ ĐỀ 11 SƯU TẦM VÀ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH SINH VIÊN THỰC HIỆN: TRẦN THỊ HUỆ NGUYỄN THỊ VÂN SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân LỚP: ĐHSP TOÁN- LÝ K50 KHOA:TOÁN - TIN Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích PHẦN I: XIMENA I: Lý thuyết Khái niệm quỹ tích  Một tập hợp X xác định tất điểm có tính chất ta nói X quỹ tích điểm có tính chất hay quỹ tích điểm có tính chất hình X  Biểu thị quỹ tích: Nếu điểm M có tính chất M thuộc X Nếu M thuộc X M có tính chất Dạng chứng minh toán quỹ tích a) Dạng toán quỹ tích: Dạng 1:Bài toán phát biểu dạng tường minh “chứng minh quỹ tích điểm M có tính chất hình X ” Dạng 2:“Tìm quỹ tích điểm M có tính chất tức tìm hình X chứng minh quỹ tích điểm M hình X b) Các bước giải toán quỹ tích Thông thường để giải toán quỹ tích ta phải chứng minh phần: Phần thuận phần đảo:  Chứng minh phần thuận ( hay chứng minh điều kiện đủ) :Chứng minh điểm M có tính chất M thuộc hình X  Chứng minh phần đảo ( hay chứng minh điều kiện cần) :Chứng minh điểm M thuộc hình X M có tính chất  Riêng dạng ta thường biến đổi tính chất điểm M thành tính chất tương đương với ,với toán (quỹ tích bản) chứng minh điểm M có tính chất  Lưu ý:Ta chứng minh gộp phần lập luận tương đương Để giải toán quỹ tích ta cần phải:  Đọc kỹ nội dung đề :  Phân tích đề để thấy được: • Những yếu tố cố định, yếu tố không đổi ,yếu tố chuyển động • Chỉ tính chất điểm mà ta phải tìm quỹ tích  Phác họa hình vẽ ( thay đổi vị trí di động hình vẽ • Nên vẽ vị trí khác điểm chuyển động để đoán nhận dạng hình quỹ tích cần tìm ( dạng 2)  Cần nắm vững dạng quỹ tích SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích Một số quỹ tích  Quỹ tích điểm cách điều điểm A , B cho đường trung trực        đoạn thẳng AB Quỹ tích điểm cách cạnh góc tia phân giác góc Quỹ tích điểm cách đoạn thẳng cho hai đường thẳng song song với đường thẳng Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng song song đường thẳng song song hai đường thẳng Quỹ tích điểm cách điểm O cố định đường tròn Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc không đổi hai cung tròn chứa góc qua A ,B đối xứng với qua AB Quỹ tích điểm có tỉ số khoảng cách tới hai điểm cố định A, B cho trước số k1,k > 0, đường tròn đường kính PQ (P, Q chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k -k ) Quỹ tích điểm có hiệu bình phương khoảng cách từ đến hai điểm A, B cố định số k không đổi đường thẳng vuông góc với AB H cho =k ,trong I trung điểm AB Phần II:Bài tập Dạng 1:Bài toán cho biết quỹ tích +Tìm tập hợp điểm thỏa mản đẳng thức tích vô hướng độ dài Bài 1: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Tìm quỹ tích điểm M tam giác cho Với A’ ,B’ ,C’ giao điểm AM ,BM ,CM với O Giải: Đặt Suy ra: k + m +n = Theo tính chất phương tích ta có: Suy : (1) Chèn điểm O ta có: SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích 3R2 (k (chia cho đặt ngoài) )=0 ( k +n + m =3) Suy ra: G trọng tâm tam giác ABC Suy M thuộc đường tròn đường kính OG Giới hạn tam giác ABC SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích Bài 2:Cho đường tròn ( O;R) (O’;r) điểm M thay đổi cho tiếp tuyến MA ,MB với đường tròn ( O ) MC ,MD tiếp tuyến đường tròn ( O’) thỏa mản: Chứng minh quỹ tích điểm M đường tròn Apoloniut Giải: + Quỹ tích điểm M thay đổi mà tỉ số khoảng cách từ đến đầu đoạn thẳng cố định không đổi đường tròn có đường kính đoạn thẳng nối điểm chia chia đoạn thẳng đường tròn gọi đường tròn Apoloniut: (quỹ tích ) Phần thuận: Ta có OO’ cố định ta chứng minh tỉ số không đổi + Nối OO’ , MO xét OMB O’MC có = 90 (1) (gt) (tính chất đường tiếp tuyến đường tròn cắt nhau) tương tự (2) Từ (1) (2) suy SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích Suy = = không đổi Suy M chuyển động tỉ số khoảng cách không đổi Hay M thuộc đường tròn Apoloniut có đường kính EF, E,F điểm chia điểm chia OO’ Giới hạn: Khi M F Vậy M chuyển động toàn đường tròn đường kính EF Phần đảo: Lấy M’ thuộc đường tròn đường kính FE Kẻ tiếp tuyến M’A’, M’B’ với đường tròn ( O) Tiếp tuyến M’C’,M’D’ đường tròn (O’) Ta chứng minh + Nối M’ với O,O’.xét theo tính chất đường tròn Apoloniut Mặt khác ( Tính chất tiếp tuyến ) (đpcm) Kết luận: Quỹ tích M đường tròn đường kính EF đường tròn Apoloniut Dạng 2:Bài toán chưa cho biết quỹ tích SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích Bài 3: Cho hình vuông ABCD có tâm O.Vẽ đường thẳng quay quanh O cắt cạnh AD BC E F ( E ,F không trùng với đỉnh hình vuông) Từ E F vẽ đoạn thẳng song song với BD AC cắt I Tìm quỹ tích điểm I CM:  Phương pháp tọa độ Đặt OA = OB =OC =OD = a Lập hệ trục tọa độ Oxy chọn toạ độ tương ứng điểm A (-a ;0 ) ,B ( 0;a ), C ( a ; 0) ,D ( 0; -a) Ta có phương trình đoạn thẳng (d) EF có phương trình: y = k x ( k> 0) Theo phương trình đoạn chắn ta có: (BC) : x + y = a (AD) : -x + y = -a (AB) : -x + y =a (CD) : - x + y = -a Ta có: (d) thỏa mản: y = k x x + y =- a thỏa mản : y = k x x + y = a Gọi I = hay I = Ta thấy: điểm I thuộc vào (AB) Giới hạn: Khi k chạy khoảng từ I chạy khoảng ( -a;0) ( 0; a) hay từ A Vậy quỹ tích điểm I thuộc đoạn thẳng (AB)  Theo phương pháp tìm quỹ tích bản: Phần thuận: Ta thấy BD đường trung trung trực IF ( IF vuông góc BD BD trục đối xứng hình vuông ABCD) SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích (1) Tương tự : ta có AC đường trung trực IE (2) Từ (1) (2) ta có: OI = OE = OF Suy O tâm đường tròn ngoại tiếp hay I thuộc đường tròn ( O ; OI ) Giới hạn: Khi d di động đến AC I Khi d di động đến BD I Vậy quỹ tích điểm I chạy AB trừ điểm A B Phần đảo: Ta có O tâm đối xứng hình vuông ABCD nên O tâm đối xứng EF Ta lại có: BD đường trung trực IF ( IF vuông góc với BD , BD trục đối xứng hình vuông ABCD) // AC (đpcm) Bài 4: Cho tam giác ABC biến thiên có đỉnh A cố định ,đỉnh C di động đường thẳng xy cho trước.Tìm quỹ tích đỉnh B Giải: Phân tích: Ta thấy điểm A đường thẳng xy cố định.Khi tam giác ABC thay đổi ,ta thấy khoảng cách từ B đến A thay đổi, khoảng cách vuông góc từ B đến xy thay đổi Do điểm B mối lien hệ cố định + Ta phải tìm yếu tố cố định tạo A xy + Kẻ AH vuông gốc với xy + Qua A vẽ đường thẳng x’y’ tạo góc 30 + Chứng minh x’y’ cố định , so sánh khoảng cách từ B đến x’y’ AH CM: SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích Phần thuận: -Kẻ AH vuông góc với xy AH cố định -Vẽ x’y’ qua A tạo AH góc 30 nên x’y’ đường thẳng cố định -Kẻ BI vuông góc với x’y’ ta có = 90 Mà Xét Có AB =BC (gt) (cmt) Nên = (g-c-g) Suy BI =AH Khi C chạy xy ( Thì BI =AH cố định B nằm đường thẳng d // x’y’ cách đương x’y’ khoảng AH không đổi Giới hạn: với C ta vẽ ABC có điểm B d Mặt khác : C thuộc xy ,ta có đối xứng với C qua chân đường cao H thuộc xy Và ta có qua trục đường thẳng chứa AH Vậy đỉnh B C chạy xy đường thẳng d d’ đối xứng với d qua AH Phần đảo: Lấy B’ nối B’A Vẽ cung có bán kính AB’ tâm A cắt xy C’ Nối B’ với C’ chứng minh tam giác AB’C’ Kẻ B’I’ vuông góc với x’y’ Ta có B’I’ =AH AB’ =AC’ SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích và mà Vậy AB’ = AC’ ,= 60 Kết luận: Vậy quỹ tích đỉnh B ABC đường thẳng d d’ đối xứng qua trục chứa AH Bài 5: Cho đường tròn đường kính BC cố định lấy điểm M di động đường tròn Trên tia đối tia BM lấy điểm D cho MD =DB Tìm quỹ tích điểm D Giải: Phân tích + lấy vị trí M đường tròn đường kính BC SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 10 Bài toán quỹ tích Lấy điểm M cung BC nối B với M BM lấy MD =MC ta điểm D Trên cung BC lấy điểm M gần đến điểm C làm ta có điểm D thứ 2, Tương tự lấy điểm M gần điểm B cung Bc ta điểm D thứ + Nhìn vào hình ta thấy ba điểm D không thẳng hang Nên ta đoán quỹ tích đường tròn hay cung tròn Mặt khác : = 90(góc nội tiêp chắn cung tròn) ( MD =MC Nên ta thấy quỹ tích điểm D có khả cung chứa góc 45 đường kính BC CM: Phần thuận Nối CM với CD Xét ( góc nội tiếp chắn cung tròn đường kính BC) MD =MC (gt) Khi M di động đường tròn đường kính BC cố đinh nên ta có nên ta có Vậy M chuyển động đường tròn đường kính BC MD=MC D chuyển động theo n nhìn Bc góc 45 không đỏi Hay D nằm cung chứa góc 45 vẽ cung BC Giới hạn:kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước B có cung chứa góc 45 vẽ cạnh BC D’ Khi M lúc tia BD gần tiếp tuyến BD’ Khi không cung BM nửa nên không tia BD D’ điểm giới hạn quỹ tích D không thuộc quỹ tích Khi Khi M không nên điểm D.Mặt khác ta thấy M di chuyển toàn đường tròn nên có điểm D nằm cung thứ chứa góc 45 vẽ BC hai cung đối xứng qua BC cắt tiếp tuyến B đường tròn cho trước D’ D” Vậy M chạy đường tròn đường kính BC D nằm toàn đường cong D’C D” trừ D’,D”.C Phần đảo: SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 11 Bài toán quỹ tích Lấy điểm E cung D’C D” Cm: M’E = M’C Nối C,E ta có: E có nên tam giác vuông cân (đpcm) Kết luận: Quỹ tích điểm D thỏa mản toán cung D’CD” trừ D’,C,D” Bài 6: Cho đường tròn ( O;R) Tam giác ABc nội tiếp đường tròn BC cố định ,I trung điểm ABC Tìm quỹ tích M đối xứng với G qua I A di chuyển Giải Phân tích: + Ta thấy BC cố định nên I cố định + Dựa vào tính chất trọng tâm ta có + Chứng tỏ G ảnh A qua phép biến hình +Xác định phếp biến hình, suy quỹ tích A CM: Phần thuận : Ta có G trọng tâm ảnh A qua phép vị tự tâm I,tỉ số Kí hiệu: H Xét phép vị tự H biến ( O;R ) thành ( Khi A di chuyển (O ;R) G di chuyển ( tương ứng cho: Phép vị tự : H biến B,O,C,A thành B’,O’,C’,G Ta có B,O,C cố định tương đương B’,O’,C’ cố định Khi quỹ tích điểm M đối xứng với G qua O đường tròn ( ) ảnh ( qua phép đối xứng tâm I Giới hạn : Khi A dần tới C (A C) , Khi A dần tới B (A B) Vậy quỷ tích M đường tròn tâm O’’ bán kính R=1/3 SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 12 Bài toán quỹ tích Phần đảo: ) ta chứng minh M’ ảnh A qua phép vị tự nghịch H’ ta có: hay M ảnh A qua phép vị tự nghịch H’ Kêt luận : Vậy quỹ tích điểm M đường tròn ( trừ điểm B,E PHẦN II: BÀI TẬP Bài 1: Cho đường tròn đường kính BC cố định lấy điểm M di động đường tròn Trên tia đối tia BM lấy điểm D cho MD =DB Tìm quỹ tích điểm D • Phần thuận Nối CM với CD Xét ( góc nội tiếp chắn cung tròn đường kính BC) MD =MC (gt) Khi M di động đường tròn đường kính BC cố đinh nên ta có nên ta có Vậy M chuyển động đường tròn đường kính BC MD=MC D chuyển động theo n nhìn Bc góc 45 không đỏi Hay D nằm cung chứa góc 45 vẽ cung BC Giới hạn:kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước B có cung chứa góc 45 vẽ cạnh BC D’ Khi M lúc tia BD gần tiếp tuyến BD’ Khi không cung BM nửa nên không tia BD D’ điểm giới hạn quỹ tích D không thuộc quỹ tích Khi Khi M không nên điểm D.Mặt khác ta thấy M di chuyển toàn đường tròn nên có điểm D nằm cung thứ chứa góc 45 vẽ BC hai cung đối xứng qua BC cắt tiếp tuyến B đường tròn cho trước D’ D” Vậy M chạy đường tròn đường kính BC D nằm toàn đường cong D’C D” trừ D’,D”.C SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 13 Bài toán quỹ tích • Phần đảo: Lấy điểm E cung D’C D” Cm: M’E = M’C Nối C,E ta có: E có nên tam giác vuông cân (đpcm) Kết luận: Quỹ tích điểm D thỏa mản toán cung D’CD” trừ D’,C,D” Bài 2: Trên đường tròn ( O; R) lấy điểm cố định A, B điểm C di động Tìm quỹ tích tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC • Phần thuận: Khi C di động đường tròn góc C hợp AC BC góc Gọi I tâm đường tròn nôi tiếp Ta có Măt khác: xét Có Xét SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 14 Bài toán quỹ tích Vì Vậy C di động I di động theo nhìn cung AB góc không đổi Khi Nếu Mặt khác : Khi C di động cung AB góc vẽ AB đối xứng với qua AB nên I nằm cung chúa góc vẽ AB đỗi xứng với qua AB trừ điểm A , B • Phần đảo: Lấy I’ thuộc cung chứa góc Nối AI’ BI’ Vẽ tia Ax hợp với AI’ góc Vẽ tia By hợp với BI’ góc Ta chứng minh hay C di động cung AB Xét Có Xét (đpcm) Vậy quỹ tích điểm I C di động cung AB cung chứa góc vẽ AB đối xứng với qua AB Trừ điểm A ,B Bài 3: Cho điểm A, B điểm C di động cho góc không đổi Trên tia AC lấy điểm M cho AM = BC Tìm quỹ tích điểm M • Phần thuận Qua điểm A ,B, C cho trước ta cung tròn ABC Vẽ tiếp tuyến xA Ax’ A Trên xAx’ lấy lần lươt điểm A’ A” cho AA’ = AA” = AB Suy A’, A” thuộc mặt phẳng có bờ AB Ta có AB cố định nên AA’ AA” cố định Xét ung AC ) SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 15 Bài toán quỹ tích AM = CB (gt) Hay M thuộc dây cung AA’ Khi Vậy quỹ tích điểm M chay đường tròn có dây cung AA’ AA” Trừ điểm A, A’, A” • Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc đường tròn chứa dây cung Nối A với M’ AM’ cắt ( O; R) C’ Ta chứng minh AM’ = C’B Xét (đpcm) Vậy quỹ tích điểm M AC C thay đổi đường tròn ( O; R) dây cung AA’ AA” với bờ AB trừ điểm A, A’, A” Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = a Hai nửa đường thẳng Ax, By nằm phía AB vuông góc với AB Hai điểm M, N di động Ax, By cho MN = AM + BN Tìm quỹ tích hình chiếu H trung điểm AB lên đường thẳng MN CM: • Phần thuận Ta có : AB = a nên A, B cố định Gọi I trung điểm AB nên IA = cố định Gọi H hình chiếu vuông góc I lên MN Khi IH vuông góc với MN (1) Ta có AM vuông góc với AI (AM vuông góc với AB) Nên AM hình chiếu vuông góc MI Tương tự ta có: MH hình chiếu vuông góc MI Suy AM = MH Xét SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 16 Bài toán quỹ tích Mà cân I hay IA = IH (2) Từ (1) (2) H thuộc đường tròn ( I; IA ) Khi không thỏa mản điều kiện toán Khi M, N di động Ax By H di động theo Vậy quỹ tích điểm H M, N di động Ax By đường tròn ( I; IA) trừ điểm A , B • Phần đảo: Lấy điểm H’ thuộc đường tròn ( I; IA) Từ M’ kẻ tiếp tuyến M’ cắt Ax, By M’, N’ Xét Xét Mà Hay IH’ vuông góc với M’N’ H’(đpcm) Vậy quỹ tích điểm H M, N di động Ax By đường tròn ( I; IA) trừ điểm A , B Bài 5: Cho bốn đường thẳng cắt tạo thành hình vuông có cạnh a Chứng minh quỹ tích điểm M mà tổng khoảng cách từ đến đường thẳng 2a miền hình vuông nói : • Phần thuận Gọi giao điểm đường thẳng A,B,C,D Lấy điểm M Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB, BC, CD, DA cắt N, P ,Q ,O SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 17 Bài toán quỹ tích MO.DA = a (MN + MP + MQ + MO ) = a 2a = a2 = M thuộc miền hình vuông ABCD • Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc miền hình vông ABCD Từ M’ kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC, BC, BD điểm N’, P’ , Q’, O’ Khi ta có: (đpcm) Vậy quỹ tích điểm M có tổng khoảng cách tới cạnh hình vuông 2a miền hình vuông Bài 6: Cho tam giác cạnh a Chứng minh quỹ tích điểm M mà tổng khoảng cách từ tới cạnh tam giác miền tam giác • Phần thuận : Lấy điểm M Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC, BC N,P,Q Ta có Vậy M thuộc miền tam giác ABC • Phần đảo Lấy điểm M’ thuộc miền tam giác ABC SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 18 Bài toán quỹ tích Từ M’ kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC, BC N’, P’ ,Q’ Ta có: ( đpcm) Vậy quỹ tích điểm M cho tổng khoảng cách từ tới cạnh tam giác miền tam giác Bài 7: Cho góc xAy.Hai điểm B, C thay đổi Ax Ay cho AB +AC = d không đổi Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác M Tìm quỹ tích điểm M CM: Theo ta có: M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam ABC nên ta có tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn + ( 1) SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 19 Bài toán quỹ tích (2) Từ (1), (2),(3) + Trên tia Ax lấy điểm B’ cho AB’ = d Trên tia By lấy điểm C’ cho AC’ = d Nên B’, C’ cố định Khi SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 20 Bài toán quỹ tích Gọi K trung điểm BC Mà B, C chuyển động Nên ta có AI vuông góc với BC suy M trùng với A Ta có (không đổi) Vậy quỹ tích điểm M chuyển động cung B’AC’ đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ Bài 8: Cho điểm A,B,C cố định Tìm quỹ tích điểm M cho MB2 + MC2 = MA2 CM Gọi I trung điểm BC Ta có ( Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với BC K Chọn hệ trục tọa độ XOY cho A( 0; a),; B ( -b ; ) , C ( c ; ) , K ( ; ) M ( x ; y) điểm Ta có MI2 = IB2 = ( MA2 = -b ; = Vậy tập hợp M đường tròn tâm E ( c-b: -a) bán kính R= >0 ( b +c ) Bài 9: Cho đường thẳng a,b cắt E điểm O cách điểm a,b Các điểm A,B hình chiếu O a,b Lấy điểm M thuộc a, N thuộc b cho MN= AM +NB Tìm quỹ tích hình chiếu H điểm O lên đường thẳng MN SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 21 Bài toán quỹ tích CM • Phần thuận: Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA hay đường tròn ( O; R) tiếp xúc với a,b A, B Lấy điểm I ( O; OA) Qua tiếp tuyến I cắt a, b tai M,N Ta có AM = MI( t/c tiếp tuyến ) AN =NI ( t/c tiếp tuyến ) Mà MI + NI = AM + AN =MN Suy : OI vuông góc với MN I hình chiếu O lên MN OH = OA =R (không đổi) Khi M, N chuyển động điểm I củng chuyển động cung đường tròn tâm Trừ điểm A,B Vậy quỹ tích điểm H đường tròn tâm O trừ điểm A,B • Phần đảo: Lấy điểm H’ ( O; OA) Vẽ đường thẳng d qua H’ cho : d vuông góc với OH’ H Ta cm: AM’ + BN’ = M’N’ Ta có: M’N’ v uông góc với OH’ H’ hay M’N’ tiếp tuyến đường tròn H’ Nên ta có a tiếp tuyến O tiếp điểm A b tiếp tuyến O tiếp điểm B suy AM’ = M’H’ BN’ = N’H’ Hay AM’ + BN’ = M’H’ +N’H’ = M’N’ SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 22 [...]... Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 11 Bài toán quỹ tích Lấy điểm E cung D’C D” Cm: M’E = M’C Nối C,E ta có: vì E và có nên nó là tam giác vuông cân (đpcm) Kết luận: Quỹ tích điểm D thỏa mản bài toán là cung D’CD” trừ D’,C,D” Bài 6: Cho đường tròn ( O;R) Tam giác ABc nội tiếp đường tròn BC cố định ,I là trung điểm của ABC Tìm quỹ tích M đối xứng với G qua I khi A di chuyển Giải Phân tích: + Ta thấy BC... cho trước tại D’ và D” Vậy khi M chạy trên đường tròn đường kính BC thì D nằm trên toàn bộ đường cong D’C D” trừ D’,D”.C SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 13 Bài toán quỹ tích • Phần đảo: Lấy điểm E cung D’C D” Cm: M’E = M’C Nối C,E ta có: vì E và có nên nó là tam giác vuông cân (đpcm) Kết luận: Quỹ tích điểm D thỏa mản bài toán là cung D’CD” trừ D’,C,D” Bài 2: Trên đường... góc của MI Suy ra AM = MH Xét SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 16 Bài toán quỹ tích Mà cân tại I hay IA = IH (2) Từ (1) và (2) H thuộc đường tròn ( I; IA ) Khi thì không thỏa mản điều kiện của bài toán Khi M, N di động trên Ax và By thì H cũng di động theo Vậy quỹ tích điểm H khi M, N di động trên Ax và By là nữa đường tròn ( I; IA) trừ 2 điểm A , B • Phần đảo: Lấy điểm H’... Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 19 Bài toán quỹ tích (2) Từ (1), (2),(3) + Trên tia Ax lấy điểm B’ sao cho AB’ = d Trên tia By lấy điểm C’ sao cho AC’ = d Nên B’, C’ cố định Khi SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 20 Bài toán quỹ tích Gọi K là trung điểm của BC Mà B, C chuyển động Nên ta có AI vuông góc với BC suy ra M trùng với A Ta có (không đổi) Vậy quỹ tích điểm M chuyển... ĐHSP Toán Lý k50 Page 15 Bài toán quỹ tích AM = CB (gt) Hay M thuộc dây cung AA’ Khi Vậy quỹ tích của điểm M chay trên đường tròn có dây cung AA’ và AA” Trừ 3 điểm A, A’, A” • Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc đường tròn chứa dây cung như trên Nối A với M’ AM’ cắt ( O; R) tại C’ Ta chứng minh AM’ = C’B Xét à (đpcm) Vậy quỹ tích điểm M trên AC khi C thay đổi trên đường tròn ( O; R) là 2 dây cung AA’ và AA”... lấy 2 điểm cố định A, B và điểm C di động Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC • Phần thuận: Khi C di động trên đường tròn thì khi đó góc C hợp bởi AC và BC bằng góc Gọi I là tâm của đường tròn nôi tiếp Ta có Măt khác: xét Có Xét SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 14 Bài toán quỹ tích Vì Vậy khi C di động thì I cũng di động theo và luôn nhìn cung AB dưới.. .Bài toán quỹ tích Lấy điểm M bất kỳ trên cung BC nối B với M và trên BM lấy MD =MC ta được điểm D Trên cung BC lấy điểm M gần đến điểm C và cũng làm như trên ta cũng có điểm D thứ 2, Tương tự lấy điểm M gần điểm B trên cung Bc ta cũng được điểm D thứ 3 + Nhìn vào hình ta thấy ba điểm D không thẳng hang Nên ta đoán quỹ tích là một đường tròn hay một cung tròn... Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 17 Bài toán quỹ tích MO.DA = a (MN + MP + MQ + MO ) = a 2a = a2 = M thuộc miền hình vuông ABCD • Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc miền hình vông ABCD Từ M’ kẻ các đường thẳng vuông góc với AB, AC, BC, BD lần lượt tại các điểm N’, P’ , Q’, O’ Khi đó ta có: (đpcm) Vậy quỹ tích của những điểm M có tổng khoảng cách tới các cạnh của hình vuông bằng 2a là miền hình vuông đó Bài 6: Cho... B’,O’,C’,G Ta có B,O,C cố định tương đương B’,O’,C’ cố định Khi đó quỹ tích điểm M đối xứng với G qua O là đường tròn ( ) là ảnh của ( qua phép đối xứng tâm I Giới hạn : Khi A dần tới C (A C) , Khi A dần tới B (A B) Vậy quỷ tích M là đường tròn tâm O’’ bán kính R=1/3 SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 12 Bài toán quỹ tích Phần đảo: ) ta chứng minh M’ là ảnh của A qua phép vị tự... kính R= 2 >0 2 ( vì b +c ) Bài 9: Cho 2 đường thẳng a,b cắt nhau tại E và điểm O cách đều 2 điểm a,b Các điểm A,B là hình chiếu của O lần lượt trên a,b Lấy điểm M thuộc a, N thuộc b sao cho MN= AM +NB Tìm quỹ tích hình chiếu H của điểm O lên đường thẳng MN SVTH: Trần Thị Huệ Nguyễn Thị Vân Lớp: ĐHSP Toán Lý k50 Page 21 Bài toán quỹ tích CM • Phần thuận: Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA hay đường tròn ... ĐHSP Toán Lý k50 Page Bài toán quỹ tích Một số quỹ tích  Quỹ tích điểm cách điều điểm A , B cho đường trung trực        đoạn thẳng AB Quỹ tích điểm cách cạnh góc tia phân giác góc Quỹ tích. .. chất hình X ” Dạng 2:“Tìm quỹ tích điểm M có tính chất tức tìm hình X chứng minh quỹ tích điểm M hình X b) Các bước giải toán quỹ tích Thông thường để giải toán quỹ tích ta phải chứng minh phần:... thị quỹ tích: Nếu điểm M có tính chất M thuộc X Nếu M thuộc X M có tính chất Dạng chứng minh toán quỹ tích a) Dạng toán quỹ tích: Dạng 1 :Bài toán phát biểu dạng tường minh “chứng minh quỹ tích