BÀI TẬP VI TÍCH PHÂN A2 1) Tìm miền xác định hàm số: a) z = x2 + y2 b) z = − x − y x2 y z d) z = − − − a b c e) u = R − x − y − z + z + x + y − r (0 < r < R) 2) Cho hàm số: f ( x, y ) = xy + 3) Cho f ( x, y ) = c ) z = x + y − + ln(4 − x − y ) y y Tìm f(y,x); f(- x, - y); f (1, ) x x 1 x2 − y2 Tính f ( , ) , f(- x, -y) xy x y Giới hạn hàm hai biến 1) Tìm giới hạn sau: a) lim ( x − x + y − y + 4) x →1 2 y →3 x2 + y c ) lim( ) x→0 x + y2 + − y →0 b ) lim (x + y ) x →1 2 y →3 ⎧ xy , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ 2) Xét liên tục hàm O(0,0): z = ⎨ x + y ⎪0, ( x, y ) = (0,0) ⎩ Đạo hàm vi phân 1) Tính đạo hàm riêng hàm số sau: a) z = x2y + 3xy4 +4y2 b) z = xy (x > 0) c) u = x + y + z − x + y + z 2) Tính đạo hàm riêng hàm số sau: a) z = (sinx)xy (sinx > 0) b) z = ln(x + x + y ) 3) Tính đạo hàm riêng hàm số sau: a) z = 10 x − y 4) Cho z = yln(x2 – y2) Chứng minh rằng: c) u = x + y + z −1 b) z = e xy( x + y ) + sin 2 y x ∂z ∂z z + = x ∂x y ∂y y Hàm khả vi vi phân toàn phần 1) Tìm vi phân hàm số sau: z = xy2 2) Tìm vi phân toàn phần hàm số sau: z = arctg x y 3) Tìm vi phân toàn phần hàm số sau: z = yx + xy, với y > 4) Cho u = x + y2 + z2 Tính du Ứng dụng vi phân Tính gần giá trị biểu thức: A = ln( 1,03 + 0,98 − 1) , A = (0,98) + (0,03)3 Đạo hàm hàm hợp: ∂z ∂z , ∂x ∂y 1) Cho z = eu.sinv, với u = x2 + y2, v = xy Tính 2) Cho hàm z = (1 + xy)y, x = u2 – v2, y = u + v Tính 3) Cho z = ex.siny với x = uv, y = u + v Tính 4) Cho z = x + y y = sin2x Tính ∂z ∂z , ∂u ∂v ∂z ∂z , ∂u ∂v dz dx 5) Cho hàm z = sin2(x + y2), x = cos3t, y = sin3t Tính dz dt Đạo hàm hàm ẩn: x y2 1) Tính y’x, biết: a) + = a b b) y + tg(x + y) = 2) Tính đạo hàm riêng hàm ẩn z = z(x,y) định pt: x2 + y2 + z2 = 3) Tính đạo hàm riêng hàm z, biết: a) x2 + z3 – 3xyz = a3 b) z3 – x3 – y3 = a3 4) a) x3 + y3 + ln(x2 + y2) = a2 Tính y’ z c) x = z ln Tính dz dx y b) c) x3 + y3 – z3 = sin(xyz) y y dx + sin = y Tính x x dy d) xey + yex – xez = Tính dz Đạo hàm vi phân cấp cao: 1) Tính đạo hàm riêng cấp cấp hai của: a) z = 2x2y3 b) z = sinx.cosy 2) Cho hàm z = e x + y Tính đạo hàm riêng cấp hai z ⎛ ∂z ∂z ⎞ ∂ z ∂ 2z + 2⎜ + ⎟ = 3) Cho hàm z = x.e Chứng minh rằng: x ∂x∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂ y − y x 4) Tính vi phân toàn phần cấp hai hàm số: a) z = ln(x – y) b) z = (x + y)ex + y Cực trị hàm nhiều biến: 1) Tìm cực trị hàm a) z = x3 + 3xy2 – 30x – 18y b) z = x2 + y2 + xy – 3x – 6y 2) Tìm cực trị hàm số: z = − x − y , với điều kiện x + y – = 3) Tìm cực trị hàm số: f(x,y) = – 4x – 3y, với điều kiện x2 + y2 = TÍCH PHÂN BỘI 1) Tính: a) ∫∫ (x + y)dxdy b) D 2) Tính ⎧0 ≤ x ≤ xydxdy D miền ⎨ ∫∫D ⎩0 ≤ y ≤ ∫∫ (x + y)dxdy , đó: D a) D miền giới hạn đường y = x, y = – x2 b) D miền giới hạn đường y = 0, y = x2 x + y = 3) Tính theo biến x trước y sau tích phân cho 2) 4) Tính I = ∫∫ x ydxdy với D giới hạn y = D 5) Đổi thứ tự lấy tích phân: 6) Tính a) −2 x2 x2 , y = 2x2, y = ∫ dx ∫ f (x, y)dy 4− x 4− x b) ∫ dx ∫ f (x, y)dy ∫∫ xydxdy với D miền phẳng giới hạn đường sau: D y = x, y = 3x, y = x2, y = 3x2 (bằng phương pháp đổi biến) 7) Tính I = ∫∫ e x + y dxdy với D miền tròn: x + y ≤ R 2 D 8) Tính I = ∫∫ D a −x −y 2 dxdy , D miền giới hạn x2 + y2 = ay (a > 0) 9) Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: a) y2 – 2y = x, x – y = 2 b) đường Axtroit: x + y = a c) Giới hạn bởi: y = x + 1; y = x − 3; y = − x + ; y = − x + 3 10) Tính thể tích vật thể: a) Giới hạn mặt: x2 + y2 = 4, 2z = x2 + y2 z = b) Giới hạn mặt: x2 + y2 = 2z, z = - x2 - y2 11) Tính diện tích mặt cong: a) Phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, nằm phía mặt trụ x2 + y2 = ay (a > 0) b) Phần mặt y = x2 + z2 bị cắt mặt trụ x2 + z2 = góc phần tám thứ TÍCH PHÂN BA LỚP 1) Tính ∫∫∫ (1 − x − y)dxdydz , V a) với V miền xác định bởi: ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 5, ≤ z ≤ b) với V miền xác định bởi: x + y + z = x = 0, y = 0, z = 2) Tính ∫∫∫ (x + y )dxdydz , V a) với V miền giới hạn mặt trụ: x2 + y2 = 2x, mặt phẳng x = 0, y = 0, z = a b) với V miền giới hạn hình vành cầu a ≤ x + y + z ≤ b , z ≥ Ứng dụng tích phân ba lớp: 1) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2 ⎧ x + y + z = ±3 ⎪ 2) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: ⎨ x + 2y − z = ±1 ⎪ x + 4y + z = ±2 ⎩ 3) Tính khối lượng vật thể giới hạn mặt trụ x2 = 2y mặt phẳng y + z = 1, 2y + z = 2, khối lượng riêng điểm thể tung độ điểm TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 1) Tính I = ∫ xyds , AB đường cong xác định x = a(1 – cost), y = asint, AB ≤ t ≤ π , a > 2 2 2) Tính I = ∫ (x + y )ds , L đường Axtroit: x + y = a L 3) Tính I = ∫ x ds , AB cung y = lnx A(1,0); B(e,1) AB TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 1) Tính I = ∫ (xy − 1)dx + x ydy , AB xác định x = cost, y = 2sint, A(1,0); B(0,2) a) AB xác định 4x + y2 = 4, A(1,0); B(0,2) b) AB 2) Tính I = ∫ x ydy , với L cung Parabol x = y2, từ A(1,-1); B(1,1) L 3) Tính I = ∫ xy 2dx − x zdz , với L là: L a) Đoạn thẳng AB, A(1,2,2); B(0,0,4) b) Cung tròn AB góc phần tám thứ cho phương trình x2 + y2 + z2 = 9, y = 2x, A(1,2,2); B(0,0,3) 2 2 4) Tính I = ∫ (1 − x )ydx + x(1 + y )dy , với L đường tròn x + y = R L+ 5) I = ∫ (x + y )dx + (x − y )dy , dọc theo chu vi tam giác OAB theo chiều thuận chiều kim đồng hồ, O(0,0), A(1,0), B(0,1) a) Bằng cách tính trực tiếp b) Bằng cách dùng công thức Green PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I Giải phương trình: 1) x(1 + y2)dx – y(1 + x2)dy = 2) (x2 + 2xy)dx + xydy = 3) y’ – y = xy5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II Giải phương trình: 1) y’’ – 2y’ + y = x + 2) y’’ – 2y’ - 3y = e-x 4) y’’ + y = 4x.sinx 3) y’’ – 8y’ + 16y = e4x 5) y’’ – 7y’ + 6y = (1 – x)ex 6) y’’ – y = e3x cosx ... y = 0, y = x2 x + y = 3) Tính theo biến x trước y sau tích phân cho 2) 4) Tính I = ∫∫ x ydxdy với D giới hạn y = D 5) Đổi thứ tự lấy tích phân: 6) Tính a) −2 x2 x2 , y = 2x2, y = ∫ dx ∫ f (x,... y2 11) Tính diện tích mặt cong: a) Phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, nằm phía mặt trụ x2 + y2 = ay (a > 0) b) Phần mặt y = x2 + z2 bị cắt mặt trụ x2 + z2 = góc phần tám thứ TÍCH PHÂN BA LỚP 1) Tính... cầu a ≤ x + y + z ≤ b , z ≥ Ứng dụng tích phân ba lớp: 1) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2 ⎧ x + y + z = ±3 ⎪ 2) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: ⎨ x + 2y