VI TÍCH PHÂN A1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ths Lê Hoài Nhân 1 Bộ môn Toán học Khoa Khoa học tự nhiên Đại học Cần Thơ Ngày 15 tháng năm 2015 email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Chương Phép tính vi phân hàm biến Đạo hàm Định nghĩa Sự tồn Các qui tắc tính đạo hàm Phép lấy đạo hàm logarith Đạo hàm hàm ẩn Vi phân Đạo hàm cấp cao email (lhnhan@ctu.edu.vn) Công thức Taylor Các ứng dụng đạo hàm Tiếp tuyến pháp tuyến Sự xấp xỉ Vận tốc, tốc độ gia tốc Tốc độ biến thiên Quy tắc L’Hospital Bài toán tối ưu Khảo sát hàm số PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Đạo hàm Định nghĩa 1.1 (Đạo hàm) Đạo hàm hàm số f hàm số f định nghĩa f (x + h) − f (x) h→0 h f (x) = lim tất điểm x mà giới hạn tồn hữu hạn Nếu f (x) tồn ta nói f (x) khả vi x Đạo hàm hàm số f định nghĩa theo biểu thức f (x) = lim z→x f (z) − f (x) z−x z = x + h email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Đạo hàm Ví dụ 1.1 Tính đạo hàm x hàm số f (x) = sin x Bài giải p(x) = ex g(x) = cos x Bài giải q(x) = ln x Bài giải Bài giải Ví dụ 1.2 Tính đạo hàm hàm số f (x) = x2 sin x x = x = điểm Bài giải x = email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Ký hiệu Leibniz Khi viết y = f (x) nghĩa ta dùng biến phụ thuộc y để giá trị hàm số f x Ta dùng nhiều ký hiệu khác để đạo hàm hàm f tương ứng với biến số x sau: Dx y = y = dy d f (x) = f (x) = Dx f (x) = Df (x) = dx dx Cần phân biệt ký hiệu d d f (x) f (x) dx dx x=x0 Ký hiệu thứ hàm số Ký hiệu thứ hai số thực Đó giá trị đạo hàm điểm x = x0 email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Ký hiệu Leibniz Ví dụ 1.3 Dùng định nghĩa đạo hàm để tính giá trị d dx x2 x +1 Bài giải x=2 Bài tập 1.1 Tính đạo hàm sau d√ ds F Bài giải s=9 biết F (x) = x f (8) f (x) = x2/3 dy với y = t1/4 dt t=4 Bài giải Bài giải Bài giải email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Định nghĩa Các đạo hàm d =− dx x x d x e = ex dx d sin x = cos x dx d tan x = dx cos2 x d arcsin x = √ dx − x2 email (lhnhan@ctu.edu.vn) d √ x= √ dx x d x a = ax ln a dx d cos x = − sin x dx d cot x = − dx sin x d arctan x = dx + x2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN d α x = αxα−1 dx d ln x = dx x d x |x| = dx |x| Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Định nghĩa Định nghĩa 1.2 (Đạo hàm phía) Cho hàm số f xác định đoạn [a, b] Ta định nghĩa đạo hàm bên phải f a giá trị f (a + h) − f (a) h→0+ h f+ (a) = lim Ta định nghĩa đạo hàm bên trái f b giá trị f (b + h) − f (b) h→0− h f− (b) = lim Định nghĩa 1.3 Hàm số f khả vi đoạn [a, b] f (x) tồn với x ∈ (a, b) f+ (a), f− (b) tồn email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Điều kiện tồn đạo hàm Định lý 1.1 (Điều kiện tồn đạo hàm) Hàm số f có đạo hàm x0 có đạo hàm trái đạo hàm phải x0 đồng thời hai đạo hàm phía Khi đó, f (x0 ) = f− (x0 ) = f+ (x0 ) Ví dụ 1.4 Tính đạo hàm hàm số f (x) = Bài giải 3−x2 x x ≤ x = x > Câu hỏi 1.1 Bạn nêu quy tắc để tính đạo hàm hàm số f cho nhiều biểu thức điểm chuyển đổi biểu thức nó? email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 90 Điều kiện tồn đạo hàm Định lý 1.2 (Điều kiện cần) Hàm số f có đạo hàm x0 f liên tục x0 Hệ 1.1 Nếu hàm số f gián đoạn x0 đạo hàm x0 Ví dụ 1.5 Chứng minh hàm số f (x) = sin hàm x = x x = x = đạo Bài giải email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 10 / 90 Bài giải ví dụ 2.11 Chọn đơn vị tính chi phí 1000 đồng Gọi 2y, y, z chiều dài, chiều rộng, chiều cao thùng (x, y, z > 0) Theo đề bài, thể tích thùng 10, suy ra, 2y.y.z = 10 ⇐⇒ y z = ⇐⇒ z = y2 Chi phí sản xuất: C(y) = 2y.y.10 + 2(2y + y).z.5 = 20y + Ta có, C (y) = 40y − 150 y2 C (y) = ⇐⇒ y = email (lhnhan@ctu.edu.vn) 150 y 15 = y0 ≈ 1, 55 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 85 / 90 Bài giải ví dụ 2.11 Bảng biến thiên C(x) y C (y) y0 − +∞ + C(y) √ Vậy nên chọn kích thước thùng chiều dài 30 ≈ 3, 1, 15 80 chiều rộng ≈ 1, 55 chiều cao ≈ 2, 08m để chi phí sản xuất bé Back email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 86 / 90 Bài giải ví dụ 2.12 Cửa sổ nhận nhiều ánh sáng đồng nghĩa với việc diện tích cửa sổ đạt giá trị lớn Gọi x bán kính nửa hình tròn y chiều cao phần cửa sổ hình chữ nhật Khi đó, chiều ngang cửa sổ 2x Do đó, diện tích cửa sổ πx2 + 2xy S= Chu vi cửa sổ 2x + 2y + πx = 24 =⇒ y = 12 − email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2+π x Ngày 15 tháng năm 2015 87 / 90 Bài giải ví dụ 2.12 Suy ra, diện tích cửa sổ phụ thuộc x: S(x) = 24x − + π x Vì x y đại lượng độ dài, S đại lượng diện tích nên chúng 24 nhận giá trị âm Do đó, < x < 2+π 24 (nhân) S (x) = 24 − (4 + π)x S (x) = ⇐⇒ x = 4+π S (x) = −(4 + π) < Suy ra, S(x) đạt giá trị lớn 24 x= 4+π 24 chiều cao phần hình Vậy bán kính nửa hình tròn 4+π 24 chữ nhật diện tích cửa sổ lớn 4+π Back email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 88 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 email (lhnhan@ctu.edu.vn) số khán giả 11000 tổng thu nhập 12 × 11000 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − email (lhnhan@ctu.edu.vn) số khán giả 11000 tổng thu nhập 12 × 11000 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − số khán giả 11000 11000 + 1000 × email (lhnhan@ctu.edu.vn) tổng thu nhập 12 × 11000 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − số khán giả 11000 11000 + 1000 × email (lhnhan@ctu.edu.vn) tổng thu nhập 12 × 11000 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − 12 − số khán giả 11000 11000 + 1000 × email (lhnhan@ctu.edu.vn) tổng thu nhập 12 × 11000 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − 12 − số khán giả 11000 11000 + 1000 × 11000 + 1000 × email (lhnhan@ctu.edu.vn) tổng thu nhập 12 × 11000 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − 12 − số khán giả 11000 11000 + 1000 × 11000 + 1000 × email (lhnhan@ctu.edu.vn) tổng thu nhập 12 × 11000 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1) (12 − 2) × (11000 + 1000 × 2) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − 12 − 12 − x số khán giả 11000 11000 + 1000 × 11000 + 1000 × email (lhnhan@ctu.edu.vn) tổng thu nhập 12 × 11000 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1) (12 − 2) × (11000 + 1000 × 2) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − 12 − 12 − x số khán giả 11000 11000 + 1000 × 11000 + 1000 × 11000 + 1000 × x email (lhnhan@ctu.edu.vn) tổng thu nhập 12 × 11000 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1) (12 − 2) × (11000 + 1000 × 2) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Nếu giá vé 12 12 − 12 − 12 − x số khán giả 11000 11000 + 1000 × 11000 + 1000 × 11000 + 1000 × x email (lhnhan@ctu.edu.vn) tổng thu nhập 12 × 11000 (12 − 1) × (11000 + 1000 × 1) (12 − 2) × (11000 + 1000 × 2) (12 − x) × (11000 + 1000 × x) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 89 / 90 Bài giải ví dụ 2.13 Gọi x số tiền cần giảm cho vé Khi đó, tổng thu nhập từ việc bán vé T (x) = (12 − x) × (11000 + 1000 × x) = 132000 + 1000x − 1000x2 Do sức chứa sân vận động 15000 nên tổng số khán giả 11000 + 1000x vượt 15000 Suy ≤ x ≤ T (x) = 1000 − 2000x = ⇐⇒ x = 0, Ta có T (0) = 132000; T (0, 5) = 132250 T (4) = 120000 Ta có T (x) lớn x = 0, Vậy nên chọn giá vé 12 − 0, = 11, để thu số tiền lớn Back email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 90 / 90 [...]... (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 12 / 90 Các phép toán trên đạo hàm Ví dụ 1.9 Tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm (−1, 0) và là tiếp x−1 Bài giải tuyến của đồ thị hàm số y = x+1 email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 13 / 90 Đạo hàm của hàm hợp Định lý 1.4 (Đạo hàm hàm hợp) Hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 ; hàm số g(y)... PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 18 / 90 Đạo hàm hàm ẩn Cách tính đạo hàm hàm ẩn Để tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định nhờ phương trình F (x, y) = 0 ta có thể thực hiện theo các bước sau: 1 Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F (x, y) = 0 theo biến x, trong đó, xem y là hàm số theo x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI. .. (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 19 / 90 Vi phân Định nghĩa 1.4 Vi phân của hàm số f được định nghĩa bởi biểu thức df (x) = f (x).dx Định lý 1.6 Hàm số f khả vi tại x0 khi và chỉ khi f có đạo hàm tại x0 Ví dụ 1.16 Tìm a và b để hàm số f (x) = khả vi tại x = 0 ax + b 2 sin x + 3 cos x nếu x < 0 nếu x ≥ 0 Bài giải email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày... −1 Nếu hàm f có đạo hàm khác 0 tại x0 thì hàm f −1 có đạo hàm tại y0 = f (x0 ) và [f −1 ] (y0 ) = 1 f (x0 ) Ví dụ 1.11 Tính đạo hàm của hàm y = arcsin x email (lhnhan@ctu.edu.vn) Bài giải PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 15 / 90 Đạo hàm logarith Phép lấy đạo hàm logarith là phương pháp tính đạo hàm của các hàm số có dạng u(x)v(x) và hàm số là tích của nhiều hàm số khác Phương... VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 17 / 90 Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số y = f (x) nào đó Tại sao? email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 17 / 90 Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số... (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 18 / 90 Đạo hàm hàm ẩn Cách tính đạo hàm hàm ẩn Để tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định nhờ phương trình F (x, y) = 0 ta có thể thực hiện theo các bước sau: 1 2 3 Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F (x, y) = 0 theo biến x, trong đó, xem y là hàm số theo x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp dy hay y Xem... đạo hàm tại y0 = f (x0 ) Khi đó, hàm số g◦ f (x) có đạo hàm tại x0 và [g◦ f ] (x0 ) = g (y0 ).f (x0 ) hay dg◦ f dg df (x0 ) = (y0 ) (x0 ) dx df dx Ví dụ 1.10 Tính đạo hàm của hàm số f (x) = arcsin email (lhnhan@ctu.edu.vn) 1 − x2 1 + x2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Bài giải Ngày 15 tháng 5 năm 2015 14 / 90 Đạo hàm của hàm ngược Định lý 1.5 (Đạo hàm hàm ngược) Giả sử hàm f có hàm ngược f −1 Nếu hàm. .. tính chất của logarith thu gọn biểu thức thu được 2 Lấy đạo hàm hai vế theo x 3 Suy ra y từ đẳng thức thu được Ví dụ 1.12 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 2 y = xx Bài giải (x − 1)(x + 2)3 √ y= 3 x+3 email (lhnhan@ctu.edu.vn) Bài giải PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 16 / 90 Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN... trình F (x, y) = 0 1 Làm thế nào tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình F (x, y) = 0 tại điểm (x0 , y0 ) thuộc đồ thị của nó? 2 Hãy vi t phương trình tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm M trên đường cong email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 17 / 90 Đạo hàm hàm ẩn Cách tính đạo hàm hàm ẩn Để tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định... (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 17 / 90 Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số y = f (x) nào đó Tại sao? Một đường cong là hình biểu diễn của một phương trình hai biến số F (x, y) = 0 Mỗi đường cong là hợp thành của nhiều đồ thị hàm số Mỗi hàm số như vậy được gọi là hàm ẩn xác định bởi ... dụng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp email (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 18 / 90 Đạo hàm hàm ẩn Cách tính đạo hàm hàm ẩn Để tính đạo hàm hàm ẩn y = y(x)... (lhnhan@ctu.edu.vn) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 13 / 90 Đạo hàm hàm hợp Định lý 1.4 (Đạo hàm hàm hợp) Hàm số f (x) có đạo hàm x0 ; hàm số g(y) có đạo hàm y0 = f (x0 ) Khi đó, hàm số...Chương Phép tính vi phân hàm biến Đạo hàm Định nghĩa Sự tồn Các qui tắc tính đạo hàm Phép lấy đạo hàm logarith Đạo hàm hàm ẩn Vi phân Đạo hàm cấp cao email (lhnhan@ctu.edu.vn)