TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN HỌC ĐỀ THI HỌC KỲ III NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN VI TÍCH PHÂN A1 – TN001 Thời gian làm 120 phút NHÓM 03 NỘI DUNG (Đề thi gồm 08 câu1 in 01 trang2) x3 Câu Tính giới hạn ∫ t.cos tdt e2 x − a) lim x → ln (1 + sin x ) b) lim x →0 x6 x ≤ −1  cx − d ,  −1 < x < liên tục ( −∞, +∞ ) Câu Tìm số thực c d cho hàm số f ( x) =  x, dx − c, x≥2  Câu Áp dụng công thức Leibniz tính đạo hàm cấp 20 hàm số f ( x ) = x3 sin x x = Câu Nhúng viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm Giả sử trình viên sắt tan dung dịch giữ dạng hình cầu Tính tốc độ biến thiên bán kính viên sắt thời điểm ( ) ( ) diện tích mặt 64π cm giảm với tốc độ cm / phút Câu Theo quy định, câu lạc thu phí thành viên 200$ năm Tuy nhiên, số thành viên câu lạc vượt 60 thành viên tăng thêm phí giảm 2$ Số thành viên câu lạc nên để số tiền thu lớn nhất? Câu Cho miền phẳng D nằm phía đường cong y = e − x , phía trục hoành bên phải trục tung (như hình vẽ) a) Tính diện tích miền D b) Tính thể tích vật thể tạo thành quay miền D quanh trục Ox trục Oy ∞ Câu Tính tổng chuỗi số ∑ 4n n =1 −1 ∞ Câu Dùng tiêu chuẩn so sánh, khảo sát hội tụ chuỗi số dương ∑e n =1 n −3 - - - - - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - - - - - Đáp án đăng website môn Toán – Khoa Khoa học tự nhiên: http://cns.ctu.edu.vn/bo-mon-toan Các em xem điểm từ 17giờ ngày 25 tháng năm 2014 tài khoản cá nhân Các em xem lại thi từ 14giờ đến 16giờ ngày 26 tháng 06 năm 2014 Văn phòng Bộ môn Toán – Khoa Khoa học tự nhiên ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) Tính giới hạn e2 x − e2 x − 2x 2x = lim = 1× × = x → ln (1 + sin x ) x →0 x ln (1 + sin x ) sin x a) lim x3 ∫ t.cos tdt b) lim x →0 x6 x3 ∫ ∫ 0 Do lim t cos tdt = t cos tdt = nên giới hạn cho có dạng vô định x →0 Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có x ′  ∫ t.cos tdt  ∫0 t.cos tdt 0  x cos x ( x3 )′ cos x3   lim = lim = lim lim = x →0 x →0 x →0 x →0 x6 x5 2 ′ x x3 ( ) x ≤ −1  cx − d ,  Câu Tìm số thực c d cho hàm số f ( x) =  x, −1 < x < liên tục ( −∞, +∞ ) dx − c, x≥2  Giải Trên khoảng ( −∞, −1) , ( −1, ) ( 2, +∞ ) , f ( x ) hàm số sơ cấp nên liên tục Tại x = −1 , hàm số liên tục lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( −1) ⇔ c + d = (1) Tại x = , hàm số liên tục lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( ) ⇔ c − 4d = −6 (2) x →−1 x →−1 x→2 Từ (1) (2) ta có c = x →2 d = 5 Câu Áp dụng công thức Leibniz tính đạo hàm cấp 20 hàm số f ( x ) = x3 sin x x = Giải ( 20) 20 Đặt u = sin x v = x3 , ta có f ( ) ( x ) = ( u.v ) = 20 ∑C k 20 u( 20 − k ) v( k) k =0 Ta có, với k ≥ , v f( 20 ) (k ) = đó, ( x ) = C200 ( sin 3x )( (k ) Mặt khác [sin x ] 20 ) x3 + C20 ( sin 3x ) (19) x + C202 ( sin x ) π  = 3k sin  x + k  2  Suy [sin 3x ]( 17 ) π  = 317 sin  x + 17  = 317 cos x 2  (18) x + C20 ( sin 3x ) (17 ) [sin 3x ]( 18 ) = −318 sin 3x [sin 3x ]( = −319 cos 3x 19 ) [sin 3x]( 20 ) = 320 sin 3x 20 Vậy f ( ) ( x ) = 320.C20 sin x.x3 − 3.C20 319.x cos x − 6.318.C202 x.sin x + 6.317.C20 cos x ( 20 ) Suy f ( ) = 760.319 Câu Nhúng viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm Giả sử trình viên sắt tan dung dịch giữ dạng hình cầu Tính tốc độ biến thiên bán kính viên sắt thời điểm diện tích mặt 64π ( cm ) giảm với tốc độ ( cm / phút ) Giải Gọi r ( t ) , S ( t ) bán kính, diện tích bề mặt hình cầu thời điểm t Suy ra: S ( t ) = 4π r ( t ) ⇒ r ( t ) = π S (t ) (1) Với S ( t0 ) = 64π S ′ ( t0 ) = −2 , ta tính r ′ ( t0 ) Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t ta r ′ ( t ) = Suy V ′ ( t0 ) = −2 64π =− S ′ (t ) π S ( t ) 4π Vậy bán kính hình cầu giảm cm phút 4π Câu Theo quy định, câu lạc thu phí thành viên 200$ năm Tuy nhiên, số thành viên câu lạc vượt 60 thành viên tăng thêm phí giảm 2$ Số thành viên câu lạc nên để số tiền thu lớn nhất? Giải Gọi x số thành viên CLB, x > Khi số tiền thu 200 x  T ( x) =   x ( 200 − 2( x − 60) ) khi  200 T ′( x) =  320 − x x ≤ 60  200 x = x > 60  x ( 320 − x ) x ≤ 60 x > 60 x < 60 x > 60 Suy T ′( x ) = ⇔ x = 80 Hàm số tăng khoảng ( 0,80 ) giảm khoảng x > 80 Suy ra, hàm số đạt giá trị lớn x = 80 Câu Cho miền phẳng D nằm phía đường cong y = e − x , phía trục hoành bên phải trục tung (như hình vẽ) a) Tính diện tích miền D b) Tính thể tích vật thể tạo thành quay miền D quanh trục Ox trục Oy Giải ∞ a) S = ∫ e− x dx = ∞ b) Thể tích vật thể tạo thành quay D quanh Ox: V = π ∫ e −2 x dx = π ∞ Thể tích vật thể tạo thành quay D quanh Oy: V = 2π ∫ xe − x dx = 2π ∞ Câu Tính tổng chuỗi số ∑ 4n n =1 −1 Giải n Ta có S n = ∑ 4k k =1 ∞ Suy ∑ 4n n =1 2 −1 −1 = n  1  1  − ∑   = 1 −  k =1  2k − 2k +   2n +  = lim S n = n →∞ ∞ Câu Dùng tiêu chuẩn so sánh, khảo sát hội tụ chuỗi số dương ∑e n =1 Giải Vì lim e − = chuỗi n →∞ en n hội tụ nên chuỗi ∑ n n =1 e ∞ ∞ ∑e n =1 n hội tụ −3 n −3 ... 31 8 sin 3x [sin 3x ]( = 31 9 cos 3x 19 ) [sin 3x]( 20 ) = 32 0 sin 3x 20 Vậy f ( ) ( x ) = 32 0.C20 sin x.x3 − 3. C20 31 9.x cos x − 6 .31 8.C202 x.sin x + 6 .31 7.C20 cos x ( 20 ) Suy f ( ) = 760 .31 9 ... ) x3 + C20 ( sin 3x ) (19) x + C202 ( sin x ) π  = 3k sin  x + k  2  Suy [sin 3x ]( 17 ) π  = 31 7 sin  x + 17  = 31 7 cos x 2  (18) x + C20 ( sin 3x ) (17 ) [sin 3x ]( 18 ) = 31 8... 760 .31 9 Câu Nhúng vi n sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm Giả sử trình vi n sắt tan dung dịch giữ dạng hình cầu Tính tốc độ biến thi n bán kính vi n sắt thời điểm diện tích mặt 64π