BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH KHOA TOÁN –TIN NGUYỄN CƠ THẠCH HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH KHOA TOÁN –TIN HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG SV: NGUYỄN CƠ THẠCH LỚP: TOÁN 5-BT MSSV: K33101239 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 LỜI CẢM ƠN Lời em xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô trường ĐHSP nói chung cán giảng viên khoa Toán-Tin nói riêng bao năm qua tận tình dẫn tạo điều kiện tốt để em học tập trường Em có kết ngày hôm phần nỗ lực thân phần quan trọng dạy thầy cô Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn riêng đến thầy Nguyễn Văn Đông tận tình hướng dẫn cho em ngày qua để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy Chắc chắn làm em sai sót, mong đóng góp, chỉnh sửa quý thầy cô để hoàn thiện Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô kính chúc thầy cô sức khỏe, công tác tốt TP.HCM, tháng 12, năm 2011 Sinh viên NGUYỄN CƠ THẠCH MỤC LỤC Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương II: HÀM PHÂN HÌNH 2.1 Hàm phân hình 2.2 Trường hàm phân hình 2.3 Không gian mê-tric hàm phân hình 10 2.4 Biểu diễn hàm phân hình 14 Chương III: HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH 20 3.1 Lý thuyết tổng quát hội tụ chuỗi hàm phân hình 21 3.2 Khai triển phân thức phần π cot π z 24 3.3 Công thức Euler ζ (2n) = ∑ v −2 n 29 v ≥1 3.4 Lý thuyết Eisenstein hàm lượng giác 36 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Mở đầu Lý thuyết giải tích phức phát triển vào kỷ 19 gắn liền với nhà toán học: Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass… Ngày giải tích phức tiếp tục phát triển hoàn thiện Giải tích phức sâu sắc lý thuyết có nhiều ứng dụng toán học mà nhiều ngành khoa học tự nhiên kĩ thuật Lý thuyết hàm phân hình phần quan trọng đặc sắc giải tích phức Vì chọn đề tài nhằm hệ thống lại số kiến thức giải tích phức để từ giúp cho thân có điều kiện nghiên cứu sâu giải tích phức sau Nội dung luận văn trình bày tính chất có liên quan đến hàm phân hình số tính chất có liên quan đến hội tụ chuỗi hàm phân hình Luận văn nghiên cứu số chuỗi hàm phân hình đặc biệt chuỗi Euler, Eisenstein Luận văn gồm ba chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Chương II: Trình bày khái niệm số tính chất hàm phân hình Chương III: Trình bày hội tụ chuỗi hàm phân hình số chuỗi hàm phân hình đặc biệt Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1: Cho D tập mở khác rỗng  Hàm f: D →  gọi hàm chỉnh hình D khả vi phức điểm thuộc D Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 ∈ D tồn lân cận U mở z0 nằm D cho f |U chỉnh hình U Tập hợp điểm mà hàm chỉnh hình tập mở  Hàm chỉnh hình gọi hàm giải tích Hàm chỉnh hình  gọi hàm nguyên Tập hợp hàm chỉnh hình D kí hiệu O(D) Định lý 1.2 (định lý đồng nhất): Các mệnh đề sau cặp f, g hàm chỉnh hình miền G ⊂  tương đương: i) f=g ii) g (ω )} có điểm giới hạn G Tập hợp {ω ∈ G : f (ω ) = iii) n) Có c ∈ G cho f (= ( c ) g ( n ) (c) ∀n ∈  Định lý 1.3: Cho D tập mở khác rỗng  chuỗi ∑f n hàm chỉnh hình D, hội tụ compact D hàm giới hạn f D Khi với k ∈  chuỗi đạo hàm k lần theo số hạng = f (k ) ( z) ∑f ∑f (k ) n (k ) n hội tụ D f ( k ) : ( z) , z ∈ D Định lý 1.4 (định lý chuỗi bội): Cho= fn ( z) ∑ c( ) ( z − z ) n k k chuỗi lũy thừa hội k tụ đĩa chung B tâm c với n ∈  Giả sử f ( z ) = ∑ f n ( z ) hội tụ chuẩn tắc n ∞ B Khi với k ∈ , bk = ∑ ck( n) hội tụ  f biểu diễn B n =0 dạng: = f ( z) ∑ b (z − z ) k k Định lý 1.5 (định lý Hurwitz): Giả sử G miền  , dãy f n ∈ O(G ) hội tụ compact G f f n không điểm G Khi f không hàm không f không điểm G Định nghĩa 1.6 (Cấp không điểm bội điểm): Nếu f hàm chỉnh hình khác lân cận c, từ định lý đồng ta biết có số tự nhiên m cho : f (c= ) f ′(c= )  = f ( m −1) (c= ) f ( m ) (c) ≠ Đặt {n ∈  : f ( n ) (c) ≠ 0} oc ( f ) = m= Số gọi cấp không điểm f c, gọi vắn tắt cấp f c Rõ ràng : f (c ) = ⇔ oc ( f ) > Ta đặt oc ( f ) = ∞ f đồng gần c Với chuỗi lũy thừa f = ∑ cn z n ta định nghĩa cấp v( f ) hàm f min {n ∈  : cn ≠ 0} f ≠ v( f ) =  f = ∞ Chẳng hạn v( z n ) = n = f Đặt τ c ( z )= z + c ta có ∑ c ( z − c) n n f  τ c = ∑ cn z n oc ( f ) = v( f  τ c ) Ngoài ra, ta thường dùng số v( f= , c) oc ( f − f (c)) để f nhận giá trị f (c) với bội v( f , c) c Ta có v( f , c) ≥ hai mệnh đề sau tương đương a) f có bội n < ∞ c b) f ( z )= f (c) + ( z − c) n F ( z ) với F hàm chỉnh hình c thỏa F ′(c) ≠ Đặc biệt v( f , c) = ⇔ f ′(c) ≠ Định lý 1.7: Cho G miền  , f : G →  hàm chỉnh hình khác Khi với a ∈  tập hợp thớ f −1 (a ) = a} {z ∈ G : f ( z) = mà ta gọi tập a- điểm f , tập rời rạc đóng (tương đối) G Đặc biệt, với tập compact K ⊂ G , tập f −1 (a ) ∩ K , a ∈  , tập hữu hạn dẫn đến f −1 (a ) tập không đếm được, nghĩa f đếm a - điểm G Tập không điểm hàm chỉnh hình khác miền G tập rời rạc đóng (tương đối) G Định lý 1.8: Cho g : G → G′ ánh xạ chỉnh hình từ miền G lên miền G′ f hàm chỉnh hình miền G hàm tập thớ g- g −1 ( w ) , w ∈ G′ Khi có hàm chỉnh hình h G′ cho g *(h) = f hay h( g ( = z )) f ( z ), ∀z ∈ G 1.2 Điểm bất thường Mệnh đề 1.9: Nếu hàm f có cực điểm cấp m z0 ( z − z0 )l f ( z ) → ∞ z → z0 với số nguyên l < m , ( z − z0 ) m f ( z ) có z điểm bất thường bỏ Đặc biệt f ( z ) → ∞ z → z0 Mệnh đề 1.10: Nếu f có không điểm cấp m z0 z0 Ngược lại f có cực điểm cấp m z0 ta định nghĩa có cực điểm cấp m f có z0 điểm bất thường bỏ f 1 có không điểm cấp m z0 ( z0 ) = f f Định lý 1.11: Giả sử f hàm nguyên đó: i) f hàm ⇔ ∞ điểm bất thường bỏ ii) f hàm đa thức ⇔ ∞ cực điểm f iii) f hàm siêu việt ⇔ ∞ điểm bất thường cốt yếu f 1.3 Về hàm mũ Định lý 1.12: Cho G miền  Các mệnh đề sau hàm chỉnh hình f G tương đương: i) f ( z ) = a exp ( bz ) G với a, b số  ii) f ′ ( z ) = bf ( z ) G Định lý 1.13: Cho G miền chứa 0, hàm f : G →  hàm khả vi phức thỏa điều kiện f (0) ≠ thỏa phương trình hàm f (w + z) = f ( w ) f ( z ) với w, z , w + z thuộc G Khi với b = f ′(0) ta có: = f ( z ) exp(bz ) ∀z ∈ G 1.4 Về dãy không gian mê tric Định nghĩa 1.14: Cho S không gian mê tric, điểm p ∈ S gọi điểm giới hạn điểm tụ tập M ⊂ S U ∩ ( M \ { p} ) ≠ ∅ với lân cận U p Mọi lân cận điểm giới hạn p M chứa vô hạn điểm M có dãy {cn } ⊂ M \ { p} với lim cn = p n →∞ Định lý 1.15: S không gian compact dãy ( xn ) S chứa dãy hội tụ Chương II: HÀM PHÂN HÌNH Trong lý thuyết hàm hàm chỉnh với cực điểm đóng vai trò bật Vào năm 1875 Briot Bouquet gọi hàm hàm phân hình Mục 2.1 trình bày khái niệm tính chất hàm phân hình Các hàm phân hình cộng, trừ, nhân mà chia Điều khiến cấu trúc đại số hàm phân hình đơn giản so với hàm chỉnh hình Đặc biệt hàm phân hình miền tạo thành trường Mục 2.2 trình bày cấu trúc đại số tập hàm phân hình miền Mục 2.3 trình bày cấu trúc tô pô không gian hàm phân hình Nội dung mục 2.4 định lý (2.15) hàm phân hình biểu diễn thành thương hai hàm chỉnh hình 2.1 Hàm phân hình Định nghĩa 2.1: Cho D tập mở khác rỗng  Một hàm f gọi hàm phân hình D , có tập rời rạc P( f ) D cho f chỉnh hình D \ P( f ) có cực điểm điểm thuộc P( f ) Dựa vào mệnh đề 1.9 ta chọn ∞ giá trị hàm cực điểm : f ( z ) := ∞ với z ∈ P( f ) Như hàm phân hình D ánh xạ liên tục D →  ∞ =  ∪ {∞} Tập P( f ) gọi tập cực f , tập hợp tập đóng tương đối D Lưu ý tập cực tập ∅ nên hàm chỉnh hình D hàm phân hình D Vì P( f ) tập rời rạc, đóng tương đối D nên tập cực hàm phân hình D rỗng, hữu hạn, vô hạn đếm Một hàm phân hình f D mà có tập cực khác rỗng biến toàn D vào  w + z ∈ U \ P ( g ) ta có: g ( w) g ( z ) − ( định lý cộng ) g (w + z) = g ( w) + g ( z ) ii) g có cực điểm thỏa g '+ g + =0 iii) g ( z ) = cot z Chứng minh: i ⇒ ii ) Từ i ) theo định lý phép cộng ta có g ( z ).g (h) − − g ( z) g ( z + h) − g ( z ) g ( z ) + g ( h) = lim g '( z ) = lim h →0 h →0 h h = lim h →0 −1 − g ( z ) g ( z ) g ( h) − − g ( h) g ( z ) − g ( z ) =lim =−1 − g ( z ) h →0 h [ g ( z ) + g ( h) ] h( g ( z ) + g (h)) lim hg (h) = lim hg ( z ) = ∀z ∈ U \ P( g ) h →0 h →0 ii ⇒ iii ) g ( z ) ≡ i nên g có dạng g ( z ) = i ae 2iz + với a ∈  bổ ae 2iz − đề 3.5 Vì g có cực điểm nên ae 2i − =0 suy a = dẫn đến g ( z ) = cot z iii ⇒ i ) Do cotz có cực điểm đơn nên phần khai triển Laurent cotz z cot w.cot z − cos w.cos z − sin w.sin z Ngoài với w + z ∈ U \ p ( g ) có = cot w + cot z cos w.sin z + cos z.sin w = cos( w + z ) = cot( w + z ) sin( w + z ) 3.3 Công thức Euler ζ (2n) = ∑ v −2 n v ≥1 Phần 3.3.1 dành cho việc giới thiệu số Bernoulli Trong phần 3.3.2 ta tìm hiểu chuỗi Taylor hàm zcotz, tanz, z sin z Phần 3.3.3 trình bày công thức Euler ζ (2n) = ∑ v −2 n v ≥1 Phần 3.3.4 trình bày đẳng thức thú vị số Bernoulli, cuối ta có thảo luận ngắn chuỗi Eisenstein ε k ( z ) , k ≥ 3.3.5 3.3.1 Chuỗi Taylor z Các số Bernoulli e −1 z Vì lý có tính lịch sử ta viết chuỗi Taylor g ( z ) = z = z e −1 ∞ Bv ∑ v! z , v z dạng: e −1 z Bv ∈  Vì cotz hàm số lẻ nên zcotz hàm số chẵn Do cot z = i + g (2iz ) nên z g ( z) + z z  z = cot   2i  2i  z Suy g ( z ) + hàm số chẵn Dẫn đến: B1 = −1 B2 v +1 = 0, ∀v ≥ Do đó: z z ∞ B2 v v = − +∑ z ez −1 (2v)! Ta có: =  ∞ z v −1   ∞ Bv v  ez −1 z = z ∑  ∑ z z e −  v !   v !  Bằng cách nhân hai chuỗi so sánh hệ số (sử dụng tính khai triển Taylor) ta nhận công thức n n n  n    B0 +   B1 +   B2 +  +   Bn −1 = 0 1  2  n − 1 Các số B2v gọi số Bernoulli Chúng xác định từ công thức đệ quy Mỗi số Bernoulli B2v số hữu tỷ với: −1 1 B4 B6 ,= ,= 30 42 −1 −691 B8 = , B10 = , B12 , B14 = = 30 66 2730 B0 1,= B2 = Vì bán kính hội tụ chuỗi ∞ Bv ∑ (2v)! z 2v hữu hạn ( R = 2π ) nên nhận thấy dãy B2v số Bernoulli không bị chặn 3.3.2 Chuỗi Taylor hàm zcotz, tanz, z sin z Hàm g(z) liên kết với hàm cotz tanz thông qua đẳng thức cot z = i + g ( 2iz ) , tan = z cot z − cot z z Khi theo đồng thức z z ∞ B2 v v z , = − +∑ (2v)! ez −1 có được: ∞ 4v v cot z = + ∑ ( −1) B2 v z v −1 , (3.3.1) z ( 2v )! ∞ tan z = ∑ ( −1) v −1 4v ( 4v − 1) ( 2v ) ! 17 B2 v z v −1 =+ z z + z + z + 15 315 (3.3.2) Đẳng thức (3.3.1) đĩa thủng B ( 0, R ) \ {0} Trong phần 3.3.3 thấy (−1)v −1 B2 v số dương, tất hệ số chuỗi (3.3.1) số âm chuỗi (3.3.2) số dương Đẳng thức (3.3.1) đưa dạng đẹp z z z2 z4 z6 cot = − B2 + B4 − B6 + 2 2! 4! 6! Ta có: ∞ + ∑ (−1)v z cot z = 4v B2 v z v (2v)! (3.3.3) z z tan= z ∞ ∑ (−1) v −1 2(4v − 1) B2 v z v (2v)! sin z Bởi cot z + tan = nên theo đẳng thức (3.3.1)và (3.3.2) ta có đẳng thức z = sin z ∞ ∑ (−1)v−1 (4v − 2) B2 v z v (2v)! (3.3.4) 3.3.3 Khai triển hàm ε1 ( z ) công thức Euler ζ (2n) Bổ đề 3.7: Giả sử ε1 ( z ) − hàm chỉnh hình đĩa mở đơn vị E có z cực điểm ±1 Khi chuỗi Taylor 0, với bán kính hội tụ viết là: z ∞ ε1 ( z ) = − ∑ q2 n z n −1 , z ∈ E × =E \ {0} 2n v ≥1 v = q2 n 2= ζ (2n) 2∑ Chứng minh: Từ khai triển chuỗi cấp số nhân Taylor thứ (2n-2) − Vì chuỗi ∑z v ≥1 2 −2 ∞  z  = ∑  z − v v n =0  v  v ≥1 chuỗi ta có hệ số hội tụ compact E nên theo định lý chuỗi bội − v2 −2 ∑v v ≥1 2n v2n Weierstrass hệ số Taylor thứ (2n-2) ∑z (3.3.5) 2n , tức −q2n Nhưng hàm chẵn, nên tất hệ số Taylor với số lẻ triệt tiêu, suy − v2 ∑ Vì ε1 ( z ) = ∞ −q2 n z n − xem chuỗi Taylor chuỗi ∞ + z ∑1 2 ∀ z ∈ E × nên ta có khẳng định (3.3.5)  z z −v Từ Bổ đề kết phần 3.3.2 ta có Công thức Euler: (2π ) n ζ (2n) = (−1) n −1 1, 2, B2 n , n = 2(2n)! Chứng minh: Dựa vào (3.3.1) (3.3.5) có lân cận ∞ ∞ 22 n − ∑ q2 n z n −1 = ε1 ( z ) =π cot π z = + ∑ (−1) n B2 nπ n z n −1 (2n)! z z 1 ∞ (2π ) n = − ∑ (−1) n −1 B2 n z n −1 (2n)! z So sánh hệ số ta suy q2 n = (−1) n −1 Mà (2π ) n B2 n (2n)! 2ζ (2n) ⇒ ζ (2n) = (−1) n −1 q2 n = (2π ) n B2 n , 2(2n)! 1, 2,  n= Từ công thức Euler, tình cờ ta thấy số Bernoulli B2 , B4 , , B2 n đan dấu Hơn khẳng định tính bị chặn liên quan đến dãy B2n 3.3.1 phát biểu xác : Vì < ∑ v −2 n < ∀n ≥ , nên B (2n)! (2n)! ; đặc biệt lim n +1 = ∞ < B2 n < 2n 2n B2 n (2π ) (2π ) Thêm vào < ζ (2n) < , đẳng thức Hadamard ta có chuỗi Taylor B2 n 2ζ (2n) công thức Cauchy = (2n)! (2π ) n z có bán kính hội tụ 2π Đây cách xác e −1 z định bán kính hội tụ mà kiểm tra không điểm mẫu số 3.3.4 Phương trình vi phân ε1 đồng thức số Bernoulli Vì ( cot z )′ =−1 − (cot z ) , nên ta được: −ε12 − π ε1′ = (3.3.6) hàm ε1 nghiệm phương trình vi phân y′ = − y − π Từ (3.3.6) có công thức đệ quy đẹp không quen thuộc cho số ζ (2n) , cụ thể mệnh đề sau π2 1  Mệnh đề 3.8:  n +  ζ (2n) = ∑ ζ (2k )ζ (2l ) với n > 1, ζ (2) = 2  k + l =n k ≥1,l ≥1 Chứng minh: Sử dụng định lý 3.2 bổ đề 3.7 có ∞ z − − 2∑ (2n − 1)ζ (2n) z n − ε1′( z ) = Dựa sở định lý 3.2 định lý chuỗi bội 1.4, từ bổ đề 3.7 cho ta được: z ∞ ∞ ε12 ( z ) = − 4∑ ζ (2n)z n − + 4∑ ∑ ζ (2k )ζ (2l )z 2n−2 , z ∈ E× n= k +=l n k ≥1,l ≥1 Thay vào (3.3.6) so sánh hệ số số có lũy thừa giống z ta có 3.8  Nếu dùng công thức Euler cho ζ (2n) , từ 3.8 ta có: (2n + 1) B2 n + (2n)! ∑ k + l =m k ≥1,l ≥1 B2 k B2l = 0, n ≥ (2k )!(2l )! 3.3.5 Chuỗi Eisenstein ε k ( z ) = ∑ −∞ ∞ (3.3.7) ( z + v )k Theo 3.1.2 chuỗi ε k ( z ) hội tụ chuẩn tắc  với số nguyên k ≥ ,và theo định lý hội tụ 3.1 chúng biểu diễn hàm phân hình  Từ định nghĩa ε k ta có ε k hàm chỉnh hình  \  n ∈  có cực điểm cấp k, có phần Các hàm ε 2l hàm chẵn ε 2l +1 hàm lẻ ( z − n) k Chuỗi ε1 ( z ) ngoại lệ có dạng tổng quát sử dụng quy tắc tính tổng ∑ e cho Trong 3.2.2 ta có: ε ( z) = π2 cot π z , ε ( z) π = sin π z sin π z Như ε = ε 2ε1 , đồng thức mà định nhận trực tiếp qua biểu diễn chuỗi Định lý tuần hoàn: Cho k ≥ 1(k ∈ ), w∈ Khi đó: ε k ( z += w ) ε k ( z ) ∀z ∈  ⇔ w∈ Chứng minh: Nếu ε k ( z + w ) = ε k ( z ) , với w cực điểm ε k ,vì w∈ Do hội tụ chuỗi chuẩn tắc nên chuỗi xếp lại ta nhận ε k ( z += 1) ε k ( z ), ∀k Từ dẫn đến ε k ( z= + n) ε k ( z ) , ∀n ∈ Z  Từ định lý 3.2 rằng: ε k′ =−kε k +1 ∀k ≥ (Đối với ε1 ta sử dụng chuỗi hội tụ chuẩn tắc (3.3.8) ∞  1 + ∑ ' −  ) Quy nạp theo k, z −∞  z + v v  ta có: = εk (−1) k −1 ( k −1) ε1 (k − 1)! ∀k ≥ (3.3.9) Từ khai triển (3.3.5) ε1 (quy nạp lần nữa) dẫn đến : ε k ( z )=  2n − 1 2n−k + (−1) k ∑  q2 n z k z n≥k  k −  ∀k ≥ (3.3.10) đặc biệt ε ( z) = 1 + q2 + 3q4 z +  , ε ( z ) = − 3q4 z − 10q6 z −  z z (3.3.11) 3.4 Lý thuyết Eisenstein hàm lượng giác Lý thuyết hàm số lượng giác ngày dựa hàm số mũ phức, xây dựng dựa vào hàm Eisenstein ε k quan hệ phi tuyến đơn giản chúng Việc xây dựng lý thuyết hàm số vòng vạch Eisenstein năm 1847 công trình [Ei] mà ngày tiếng Chẳng hạn công trình này, hàm ℘.Weierstrass phương trình vi phân nét bật Eisenstein viết: “Những tính chất hàm tuần hoàn đơn giản bộc lộ thông qua việc xem xét đồng thức sau:  1 1   1 = + +  +  ” 2  pq ( p + q)  p q  ( p + q )3  p q  (3.4.1) p q số vô định (indeterminates) Ta khẳng định (3.4.1) từ việc tính toán trực tiếp (đơn giản hơn) việc lấy đạo hàm đồng thức 1  1 =  +  theo p q pq p + q  p q  Eisenstein tìm tất mệnh đề quan trọng chuỗi xử lí khéo léo bậc thầy ông với đồng thức (3.4.1) Trong phần trình bày phần khởi đầu lý thuyết Eisenstein Ta làm việc với hàm ε1 , ε , ε , ε Đồng thức ε1 ( z ) = π cot π z chứng minh lại lần nữa, độc lập với xét phần trước Ta sử dụng định lý 3.6 nghiệm phương trình vi phân g ′ + g + =0 3.4.1 Định lý cộng ε ( w)ε ( z ) − ε ( w)ε ( w + z ) − ε ( z )ε ( w + = z ) 2ε ( w + z )[ε1 ( w) + ε1 ( z )] Chứng minh: Đặt p = z + µ , q = w + v − µ thay vào (3.4.1) ta có:   1 1 − + 2  2  ( z + µ ) ( w + v − µ ) ( w + z + v)  ( z + µ ) ( w + v − µ )    +   ( w + z + v)  z + µ w + v − µ  = Lấy tổng Eisenstein theo µ với v cố định ta có µ ∑ µ = −∞ e 1 [ε ( z ) + ε ( w + v)] − ( z + µ ) ( w + v − µ ) ( w + z + v) 2 [ε1 ( z ) + ε1 ( w + v)] ( w + z + v )3 = Vì v chu kỳ ε k (theo định lý tuần hoàn 3.3.5), nên ta viết ε ( w) thay viết ε ( w + v) ,viết ε1 ( w) thay viết ε1 ( w + v) Hơn nữa, tổng vế trái trùng với tổng thông thường ∑ ∞ −∞ hội tụ chuẩn tắc Sau đơn giản hóa tính tổng theo v , ta có: ∞ ∞ ∑ µ∑ ( z + µ ) (w + v − µ ) v = −∞ = −∞ − ε ( w + z )[ε ( z ) + ε ( w)] =2ε ( w + z )[ε1 ( z ) + ε1 ( w)] Vì tính hội tụ chuẩn tắc cho phép ta đổi chỗ hai dấu lấy tổng biểu thức vế trái Do ε ( w − µ ) = ε ( w) ta có tổng bội trở thành: ∞ ∞ ∞ ε (w − µ ) = ∑ ( z + µ ) ∑ ((= ∑ w − µ ) + v) (z + µ) µ µ = −∞ v = −∞ = −∞ ε ( w)ε ( z )  3.4.2 Công thức Eisenstein Định lý cộng không phát biểu tường minh Eisenstein Ông dẫn trực tiếp từ (3.4.1) đồng thức 3ε= ε 22 ( z ) + 2ε1 ( z )ε ( z ) ( z) (3.4.2) ε= ε ( z ) + 2q2ε ( z ) ( z) (3.4.3) Các công thức gọi công thức Eisenstein Ta dùng định lý cộng để chứng minh công thức Trước chứng minh hai công thức ta cần kết sau: Bổ đề 3.9: Với z ∈  \  số nguyên k ≥ có lân cận w = cho (v) ε k ( z ) wv v ! v≥0 ε k (w + z) = ∑ Đặt biệt ta có: ε1 ( w += z ) ε1 ( z ) − ε ( z ) w + ε ( z ) w2 − ε ( z ) w3 + −  = z ) ε ( z ) − 2ε ( z ) w + 3ε ( z ) w2 − +  ε ( w +   z ) ε ( z ) − 3ε ( z ) w + 6ε ( z ) w2 − +  ε ( w += (3.4.4) (Chứng minh (3.4.4) ta sử dụng định lý tuần hoàn (3.3.8)) Chứng minh định lý: ▪ Chứng minh (3.4.2): Với z cố định thuộc  \  hàm xuất định lý cộng hàm phân hình theo w Áp dụng tính chất (3.4.4) cho vế trái định lý cộng ta có: ε ( w ) ε ( z ) − ε ( w ) ε ( w + z ) − ε ( z ) ε ( w + z ) = ε ( w ) ε ( z ) − ε ( w ) ε ( z ) − 2ε ( z ) w + 3ε ( z ) w2 − +  −ε ( z ) ε ( z ) − 2ε ( z ) w + 3ε ( z ) w2 − +  = −ε ( w )  −2ε ( z ) w + 3ε ( z ) w2 − +  − ε 22 ( z ) − ε ( z )  −2ε ( z ) w + 3ε ( z ) w2 − +  Do khai triển ε ( w ) (3.3.11) ta có: ε ( w ) ε ( z ) − ε ( w ) ε ( w + z ) − ε ( z ) ε ( w + z )   = −  + q2 + 3q4 w2 +    −2ε ( z ) w + 3ε ( z ) w2 − +  − ε 22 ( z ) − ε ( z )  −2ε ( z ) w +  w  = −3ε ( z ) − ε 22 ( z ) + đây, phần rút gọn sau số hạng theo w−1 , w, w2 , Áp dụng tính chất (3.4.4) cho vế phải định lý cộng ta có: 2ε ( w + z ) ε1 ( w ) + ε= ( z )  ε ( z ) − 3ε ( z ) w + 6ε ( z ) w − +  ε1 ( w ) + ε1 ( z )  Do khai triển ε1 ( w ) (3.3.5) có: 1  2ε ( w + z ) ε1 ( w ) + ε= ( z )  ε ( z ) − 3ε ( z ) w + 6ε ( z ) w − +   w − q2 w − q4 w −     +2 ε ( z ) − 3ε ( z ) w + 6ε ( z ) w2 − +  ε1 ( z ) = −6ε ( z ) + 2ε ( z )ε1 ( z ) + So sánh hệ số ta có: −3ε ( z ) − ε 22 ( z ) = −6ε ( z ) + 2ε ( z )ε1 ( z ) ε 22 ( z ).ε ( z ) ⇔ 3ε ( z ) =  ▪ Chứng minh (3.4.3): Với z cố định thuộc  \  , ta xét ζ= w + z biến định lý cộng Áp dụng tính chất (3.4.4) cho vế trái định lý cộng ta có: ε (ζ − z ) ε ( z ) − ε (ζ − z ) ε (ζ ) − ε ( z ) ε (ζ ) = (ε ( z ) + 2ε ( z ) ζ + 3ε ( z ) ζ − + ) ε ( z ) − ( ε ( z ) + ) ε ( ζ ) − ε ( z ) ε ( ζ ) Do khai triển ε (ζ ) (3.3.11) ta có: (ε ( z ) + 2ε ( z ) ζ + 3ε ( z ) ζ   − + ) ε ( z ) − ( ε ( z ) + 2ε ( z ) ζ + )  + q2 + 3q4ζ +   ζ    −ε ( z )  + q2 + 3q4ζ +   ζ  = ε 22 ( z ) − 2q2ε ( z ) − 3ε ( z ) + Áp dụng tính chất (3.4.4) cho vế phải định lý cộng ta có: VP = 2ε (ζ )  −ε1 ( z ) − ε ( z ) ζ − ε ( z ) ζ − ε ( z ) ζ +  + 2ε (ζ ) ε1 ( z ) Do khai triển ε (ζ ) (3.3.11) có:   VP =  − 3q4ζ − 10ζ −    −ε1 ( z ) − ε ( z ) ζ − ε ( z ) ζ − ε ( z ) ζ −  ζ    +2  − 3q4ζ − 10q6ζ −   ε1 ( z ) = −2ε ( z ) +  ζ  So sánh hệ số ta có: ε 22 ( z ) − 2q2ε ( z ) − 3ε ( z ) = −2ε ( z ) ⇔ ε 22 ( z= ) 2q2ε ( z ) + ε ( z ) (Lưu ý: Hàm ε 2l hàm số chẵn, hàm ε 2l +1 hàm số lẻ.) Khử ε ( z ) 3.4.2 3.4.3 ta được: ε1 ( z )ε= ε 22 ( z ) − 3q2ε ( z ) (3.4.5) ( z) Nếu ta lấy đạo hàm 3.4.5 , sử dụng 3.3.8 ta có ε = ε1ε + 2q2ε Sử dụng 3.4.3 để 2ε khử ε sau chia cho ε − 2q2 , ta được: ε ( z ) = ε1 ( z )ε ( z ) (3.4.6) Thay công thức vào 3.4.5 chia cho ε , dẫn đến: ε1= ( z ) ε ( z ) − 3q2 (3.4.7) Từ liên hệ thu thập ta phác họa kết luận: Mỗi hàm ε k đa thức thực theo ε1 Trong tính toán ε = −ε1′ , phương trình 3.4.7 xem phương trình vi phân theo ε1 : −ε12 ( z ) − 3q2 (3.4.8) ε1′( z ) = Từ 3.4.8 ta có: Định lý 3.10: Hàm cotang có biểu diễn chuỗi  \  π cot π z = ε1 ( z ) v ≥1 v Chứng minh: Đặt a bậc hai dương 3q2 = 6∑ Ta= có g ( z ) a −1ε1 (a −1 z ) ∈ M (  ) nghiệm phương trình vi phân g ′ + g + =0 Vì g có cực gốc nên theo định lý 3.6: g ( z ) = cot z , ε1 ( z ) = a cot az  tập hợp chu kỳ ε1 ( z ) π a −1 tập hợp chu kỳ cot az (lưu ý per (cot) = π Z ), dẫn đến  = π a −1 a = π a số dương 3.4.3 Phác họa lý thuyết hàm lượng giác theo hàm Eisenstein Các hàm xem xét lý thuyết hàm lượng giác phát triển từ hàm Eisenstein ε1 Trước tiên ta định nghĩa π 3q2 định nghĩa hàm cotang phương trình π cot π z = ε1 ( z ) Các hàm số vòng khác quy ε1 Nếu ta nhớ lại công thức 1 z z +π  =  cot − cot  sin z  2  lý thuyết Eisenstein phương trình π 1 z  z +  = ε1   − ε1    sin π z      định nghĩa hàm sin Khai triển phân thức phần ta có ∞ π ∞ ∞ (−1)v =∑ e − ∑e = ∑ sin π z −∞ z + 2v −∞ z + + 2v −∞ z + v   1 Bởi = cos π z sin π  z +  , ta xem  π   2z +1   z +  = ε1   − ε1    cos π z      định nghĩa hàm cos Hàm mũ định nghĩa theo nghĩa ε1 Với hàm: = e(z) ε1 ( z ) + π i + π iz +  = ∈ M () ε1 ( z ) − π i − π iz +  −ε1′ = ε12 + π , ta được: ε1′( z ) ε12 ( z ) + π −2π i = = e′ ( z ) = π i 2π ie( z ) 2 ( ε1 ( z ) − π i ) ( ε1 ( z ) − π i ) Khi e ( ) = , theo định lý 1.12 định lý 2.5 cho biết hàm e ( z ) vừa giới thiệu thực hàm exp(2π iz ) KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo, đọc, học viết thành khóa luận với đề tài “Hàm phân hình hội tụ chuỗi hàm phân hình” Luận văn trình bày ngắn gọn tập hợp hàm phân hình với cấu trúc đại số tô pô Luận văn trình bày khái niệm hội tụ chuỗi hàm phân hình, công thức chuỗi hàm phân hình dạng bình phương nghịch đảo (công thức Euler), mối liên hệ số Bernoulli chuỗi Eisenstein, phác họa lý thuyết hàm lượng giác theo hàm Eisenstein Trong tiến hành khóa luận học nhiều kiến thức thật bổ ích cho thân Luận văn cung cấp cho kiến thức lạ mà giúp hiểu sâu kiến thức cũ Lý thuyết hàm phân hình thật hay rộng nên nhiều vấn đề hàm phân hình chưa tìm hiểu hết chẳng hạn tương đương bảo giác qua hàm phân hình, lý thuyết Nevanlinna… Mong sau có dịp tiếp tục nghiên cứu Mặc dù thân cố gắng thầy hướng dẫn tận tình thời gian có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót Kính mong nhận góp ý quý thầy cô bạn sinh viên THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12-2011 NGUYỄN CƠ THẠCH TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Đậu Thế Cấp, Hàm phức phép tính toán tử, NXB Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh, 2006 Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 TIẾNG ANH R.Remmert, Theory of complex Funtions, Springer-Verlag, New york, 1991.(p.220-222, p.315-340) The ring of entire functions, Jonas Bjermo U.U.D.M Project Report 2004:15.(p.3-9) [...]... rằng i) và ii) hoặc i) và ii ') đúng với mọi tập con compact của D nếu nó đúng với mọi đĩa đóng nằm trong D Ta có sự hội tụ chuẩn tắc dẫn đến sự hội tụ compact Nếu mọi f n đều là hàm chỉnh hình trong D thì điều kiện i) là không cần thiết và chúng ta sẽ quay lại sự hội tụ compact hay hội tụ chuẩn tắc của chuỗi các hàm chỉnh hình Chuỗi hội tụ compact các hàm phân hình có hàm giới hạn là hàm phân hình Chính... tắc) về một hàm chỉnh hình trong U 3.1.2 Một số quy tắc tính toán đối với chuỗi hàm phân hình 1 Nếu f = ∑ f n , g = ∑ g n là chuỗi các hàm phân hình trong D hội tụ compact (tương ứng hội tụ chuẩn tắc) thì với a, b ∈  chuỗi ∑(af n + bg n ) hội tụ compact (tương ứng hội tụ chuẩn tắc) trong D về af + bg 2 Nếu f n ∈ M ( D) mà chuỗi ∑ f n hội tụ chuẩn tắc trong D thì mọi chuỗi con của nó hội tụ chuẩn tắc... là hàm hữu tỉ Chương III: HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH Năm 1847 nhà toán học Gotthold Eisenstein đã giới thiệu định lý về chuỗi hàm lượng giác ∞ 1 ∑ ( z + v) v = −∞ k , k = 1, 2, mà ngày hôm nay được mang tên của ông ấy Chuỗi Eisenstein là một ví dụ đơn giản về chuỗi hội tụ chuẩn tắc của hàm phân hình trong  Trong mục 3.1 chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm tổng quát của chuỗi hội tụ compact và. .. họa sự tiếp cận của Eisenstein về hàm lượng giác 3.1 Lý thuyết tổng quát về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình 3.1.1 Hội tụ compact và hội tụ chuẩn tắc: Cho D mở khác rỗng trong  Chuỗi hàm ∑f n ≥1 n với f n phân hình trong D , được gọi là hội tụ compact trong D nếu với mỗi tập compact K ⊂ D có tương ứng một chỉ số = m m( K ) ∈  sao cho: i) Với mỗi n > m tập cực P( f n ) không có phần chung với K và. .. (định lý hội tụ) : Cho D là tập mở khác rỗng trong  , f n ∈ M ( D) và ∑ f n hội tụ compact (tương ứng hội tụ chuẩn tắc) trong D Khi đó có một hàm phân hình f trong D thỏa tính chất sau: Nếu U là một tập con mở của D và với m nào đó thuộc  không có hàm phân hình f n (n ≥ m) nào có cực điểm trong U thì chuỗi ∑f n≥m n U của các hàm chỉnh hình hội tụ compact (tương ứng chuẩn tắc) trong U về một hàm F ∈... biệt, f chỉnh hình trong D \ U P( f n ) , nghĩa là, P( f ) ⊂ U P( f n ) Một cách tự nhiên, chúng ta gọi hàm f là tổng của chuỗi ∑ f n và ta viết f = ∑ fn Như vậy, trong mọi tập con mở khác rỗng compact tương đối U của D , sau khi trừ một số hữu hạn các số hạng đầu, những gì còn lại của chuỗi các hàm phân hình là một chuỗi các hàm chỉnh hình trong U và chuỗi này hội tụ compact (tương ứng, hội tụ chuẩn tắc)... b1 z + + bn z n a) Mọi hàm hữu tỷ h( z ) : = là hàm phân hình với tập cực là tập hữu hạn, đó là tập các không điểm của mẫu thức b) Hàm cot π z = cos π z là hàm phân hình không là hàm hữu tỷ có tập cực sin π z là tập vô hạn đếm được với P(cot π z ) =  2.2 Trường các hàm phân hình Một hàm được gọi là phân hình tại z0 nếu nó phân hình trong một lân cận nào đó của z0 Khi đó nếu hàm này khác hằng 0 thì... cạnh chuỗi ∞ ∑f n ta có thể xem xét chuỗi tổng quát hơn có dạng o +∞ fn : ∑= −∞ −1 ∑ −∞ ∞ f n + ∑ f n với o −1 ∑ −∞ −1 f n có nghĩa là lim ∑ f n n →∞ −n Các chuỗi hàm như thế được gọi là hội tụ (tuyệt đối) tại z0 ∈  nếu cả hai chuỗi −1 ∑f −∞ +∞ ∑ −∞ ∞ n ( z0 ) và ∑f n ( z0 ) hội tụ (tuyệt đối) Sự hội tụ compact hoặc chuẩn tắc của o f n có nghĩa là sự hội tụ compact hoặc chuẩn tắc của cả hai chuỗi. .. là một hàm hữu tỉ ( f là hàm phân hình và lim f ( z ) ≠ 0 thì f là một hàm hữu tỉ) z →∞ Trường hợp 2: lim f ( z ) = 0 , ta xét ϕ= ( z ) f ( z ) + 1 Vì ϕ là hàm phân hình và z →∞ lim ϕ ( z ) = 1 nên ϕ là hàm hữu tỉ, và do đó f= ( z ) ϕ ( z ) − 1 là hàm hữu tỉ z →∞ Trường hợp 3: lim f ( z ) = ∞ , ta xét ϕ ( z ) = z →∞ lim ϕ ( z ) = 0 nên ϕ là hàm hữu tỉ Từ đó f = z →∞ 1 ϕ 1 Vì ϕ là hàm phân hình và f... Vì chuỗi 1 ∑ n ( k > 1) k và ≤ K 1 với k ≥ 1, n > r (n − r ) k 1 ∑ n( n − r ) hội tụ và vì mọi tập compact trong  phải nằm trong một đĩa B(0, r ) nào đó , ta có 4 chuỗi : ∞  1 1 ∞  1 1 ∞ ∞ 1 1 ∑  z + n − n  , ∑  z − n + n  , ∑ ( z + n) , ∑ ( z − n) k 1 1 o hội tụ chuẩn tắc trong  về các hàm phân hình o k với k ≥ 2 Cộng hai chuỗi đầu tiên của các chuỗi này suy ra chuỗi ∞ ∑z 1 2 2z hội tụ ... compact Nếu f n hàm chỉnh hình D điều kiện i) không cần thiết quay lại hội tụ compact hay hội tụ chuẩn tắc chuỗi hàm chỉnh hình Chuỗi hội tụ compact hàm phân hình có hàm giới hạn hàm phân hình Chính... Eisenstein hàm lượng giác 3.1 Lý thuyết tổng quát hội tụ chuỗi hàm phân hình 3.1.1 Hội tụ compact hội tụ chuẩn tắc: Cho D mở khác rỗng  Chuỗi hàm ∑f n ≥1 n với f n phân hình D , gọi hội tụ compact... chất hàm phân hình Chương III: Trình bày hội tụ chuỗi hàm phân hình số chuỗi hàm phân hình đặc biệt Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1: Cho D tập mở khác rỗng  Hàm