BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN-TIN  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: Người hướng dẫn khoa học: Dr Nguyễn Chí Long Người thực : Nguyễn Thiện Phi TP HỒ CHÍ MINH− 2012 LỜI CẢM ƠN - -Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM giảng dạy tận tình giúp đỡ em suốt trình học tập Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Dr.Nguyễn Chí Long, người thầy tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận Đồng thời, em xin cảm ơn Thư Viện Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, Thư Viện Tổng Hợp cung cấp nhiều tài liệu bổ ích cho em Em xin cảm ơn gia đình bạn bè ủng hộ giúp đỡ em trình học tập thời gian làm khóa luận Mặc dù em cố gắng thời gian, kiến thức có hạn nên chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo đóng góp ý kiến từ quý thầy cô bạn bè Cuối cùng, em xin chúc quý thầy cô, bạn dồi sức khỏe thành công nghiệp trồng người Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Sinh viên thực Nguyễn Thiện Phi MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁTRÌNH NGẪU NHIÊN 1.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1.1 Đại số σ − đại số 1.1.2 Độ đo xác suất 1.1.3 Định nghĩa không gian xác suất 1.1.4 Biến ngẫu nhiên 1.1.5 Không gian xác suất đầy đủ 1.16 Khái niệm hầu chắn 1.1.7 Biến cố ngẫu nhiên độc lập 1.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.2 Các đặc trưng trình ngẫu nhiên 1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập 1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên dừng 1.2.5 Quá trình đo 1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.2.6 Kỳ vọng có điều kiện σ - trường 1.2.7 Xác suất có điều kiện 10 1.2.8 Quá trình Gauss 10 1.2.9 Quá trình Martingale 11 1.2.10 Quá trình Levy 12 1.2.11 Quá trình Markov 12 CHƯƠNG CHUYỂN ĐỘNG BROWN 13 2.1 Định nghĩa 13 2.2 Các phương pháp xây dựng chuyển động Brown 13 2.2.1 Sử dụng hàm Haar 14 2.2.2 Khai triển Karhunen- Loeve 16 2.3 Các đặc trưng chuyển động Brown 17 2.3.1 Hàm mật độ 17 2.3.2 Hiệp phương sai 18 2.4 Một số tính chất quan trọng chuyển động Brown 19 2.5 Một số chuyển động Brown quan trọng 27 2.5.1 Chuyển động Brown bị phản xạ 27 2.5.2 Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển 28 2.5.3 Chuyển động Brown hình học 31 2.5.4 Cầu Brown 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown quan sát thấy tượng kỳ lạ hạt phấn hoa lơ lửng cốc nước Chúng liên tục lắc lư, chuyển động cách ngẫu nhiên dường không dừng lại cốc nước giữ yên gần tuyệt đối Năm 1928, Robert Brown giới thiệu mô hình chuyển động Mô hình chuyển động Brown giống nhiều chuyển động bất thường khác lĩnh vực vật lý, sinh học, tài chính, kinh tế… Năm 1905, Albert Einstein (1879-1955) giới thiệu mô hình chuyển động Brown từ quỹ đạo nguyên tử với cú sốc qua tính toán xác suất thống kê sử dụng thuyết động học phân tử Và Einstein thành lập mật độ Gauss Nhà toán học Pháp Louis Bachelier (1870-1946) lần sử dụng chuyển động Brown mô hình giá cổ phiếu luận án tiến sĩ ông năm 1990 Người đầu tên xây dựng chặc chẽ chuyển động Brown (vào năm 1923) Norbert Wiener (1894-1964) Ông đưa nhiều ứng dụng chuyển động Brown lý thuyết truyền tín hiệu truyền tin Paul Levy (1886-1971) có nhiều đóng góp nghiên cứu tính chất toán học chuyển động Brown Kyioshi Itô (1915-2008) đóng góp phát triển phép tính vi tích phân ngẫu nhiên tảng chuyển động Brown Ứng dụng chuyển động Brown việc nghiên cứu tài phải kể đến Samuelson (1915-2009), người đoạt giải Nobel kinh tế năm 1970, Fisher Black (1938-1995), Myron Scholes (1941- ) Nobert Merton (1944- ) nhóm nhận giải Nobel kinh tế năm 1997 Chính vai trò chuyển động Brown phép tính vi tích phân ngẫu nhiên ứng dụng rộng lớn nhiều ngành khoa học, đặc biệt vai trò quan trọng nghiên cứu tài nên khóa luận này, em xin trình bày “Chuyển động Brown”, nội dung khóa luận chia làm hai chương: GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Khóa luận tốt nghiệp Chuyển động Brown Chương 1: Tóm tắt kiến thức lý thuyết xác suất trình ngẫu nhiên Chương 2: Chuyển động Brown Trong đó, chương số kiến thức lý thuyết xác suất trình ngẫu nhiên phục vụ trực tiếp cho việc nghiên cứu chuyển động Brown GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Để thuận tiện cho việc nghiên cứu chuyển động Brown, chương em xin trình bày số kiến thức lý thuyết xác suất trình ngẫu nhiên 1.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1.1 Đại số σ − đại số a) Định nghĩa Cho tập hợp Ω gọi P ( Ω ) tập hợp tất tập Ω , cho    ∈ P (Ω)   gọi đại số thỏa: i Ω ∈  ii ∀A ∈  ⇒ Ω \ A ∈  n iii Nếu A1 , A2 , , An ∈   Ai ∈  i =1   gọi σ - đại số thỏa i, ii định nghĩa đại số thay iii +∞ điều kiện với họ đếm A1 , A2 , , An , ∈   Ai ∈  i =1  Nhận xét: Nếu  σ - đại số  đại số b) Tính chất i Nếu  đại số ta có: n A1 , A2 , , An ∈  ⇒  Ai ∈  i =1 A, B ∈  ⇒ A \ B ∈  ii Nếu  σ - đại số ta có: n A1 , A2 , , An ∈  ⇒  An ∈  i =1 GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 1.1.2 Độ đo xác suất Một phép thử có không gian mẫu Ω ,  σ - đại số Ω Khi ánh xạ P :  → [ 0;1] gọi độ đo xác suất thỏa: i P ( Ω ) =1 ii Với dãy kiện A1 , A2 , , An , Có Ai Aj = ∅ ( i ≠ j ) ∞  ∞ P   An  = ∑ P ( An )  n =1  n =1 1.1.3 Định nghĩa không gian xác suất Gọi Ω không gian biến cố sơ cấp phép thử ngẫu nhiên  σ − đại số Ω P độ đo xác suất xác định  Khi ( Ω ,  , P) không gian đo ta gọi không gian xác suất 1.1.4 Biến ngẫu nhiên Cho ( Ω ,  , P) không gian xác suất Ánh xạ X : Ω →  cho: X −1(−∞, x] ∈  , ∀x ∈ gọi biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên Ví dụ: Tung súc sắc gọi X số chấm xuất mặt súc sắc X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 1.1.5 Không gian xác suất đầy đủ ( Ω ,  , P) gọi KGXS đầy đủ KGXS với  chứa tất tập có xác suất (Tập M gọi tập có xác suất ∃A ∈  cho P= ( A) 0, M ⊂ A) 1.16 Khái niệm hầu chắn Cho KGXS ( Ω ,  , P), hai biến ngẫu nhiên X Y gọi hầu chắn (h c c) ∃N ∈  cho P( N ) = X (ω ) = Y (ω ) với ω ∉ N Khi ta viết X = Y (h.c.c ) GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Một cách tổng quát, ta nói tính chất xảy hầu chắn Ω xảy bên tập có xác suất Khi X = Y (h.c.c ) , ta nói X tương đương với Y viết X  Y 1.1.7 Biến cố ngẫu nhiên độc lập a) Định nghĩa Cho không gian xác suất ( Ω ,  , P), hai biến cố A, B ∈  gọi độc lập nếu: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Hệ biến ngẫu nhiên A1 , A2 , An gọi độc lập với ∀1 ≤ k ≤ n với lựa chọn số i1 , i2 , ik cho ≤ i1 ≤ i2 ≤ ≤ ik ≤ n ta có:  k  k P  ∏ Ai j  = ∏ P Ai j =  j 1=  j1 ( ) b) Nhận xét Nếu A, B độc lập A B c , Ac B, Ac B c độc lập 1.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Hầu hết trình xảy tự nhiên xã hội có tính chất ngẫu nhiên, họ biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian ta nói trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên Xét không gian xác suất ( Ω ,  , P) tập hợp số I ( vô hạn đếm hay không đếm được) Ta xem I tập số thời gian, I tập ,(−∞, +∞), (0, +∞) hay [0,T ] Xét họ biến ngẫu nhiên xác định (Ω,  , P ) lấy số I { }t∈I gọi trình ngẫu nhiên  Họ không đếm biến ngẫu nhiên X t với thời gian liên tục { } gọi trình ngẫu nhiên với  Họ đếm biến ngẫu nhiên X t t∈I thời gian rời rạc GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Một cách tổng quát cho không gian đo (Ω, F ),( E,ξ ) I tập hợp số  Một trình ngẫu nhiên xác định Ω , lấy giá trị E ánh xạ: X : I ×Ω → E đo độ đo tích I ×Ω Quá trình ngẫu nhiên X viết  (Ω,  ) X (t, •), X (t ) hay {X t , t ∈ I } gọi không gian sở trình ngẫu nhiên không gian trạng thái Với ω ∈Ω , {Xt ( ω )} t∈I t∈I , ( E ,ξ ) gọi X t trạng thái thời điểm t Nếu cố định gọi quỹ đạo mẫu hay thể hay hàm mẫu trình ngẫu nhiên (liên kết với ω ) Qui ước Cho ( Ω ,  , P) không gian xác suất {X } trình ngẫu nhiên xác t t∈I định Ω Nếu " γ " tính chất quỹ đạo mẫu ( chẳng hạn " γ " liên { } có tục phải có giới hạn trái với t ∈ I ) ta nói trình ngẫu nhiên X t t∈I tính " γ " Thí dụ: Một trình ngẫu nhiên dạng sin Cho I = (−∞, +∞) xét không gian xác suất ( Ω ,  , P) Ω =[0,1],  σ − đại số Borel Ω P độ đo xác suất Ta định nghĩa trình ngẫu nhiên {Xt }t∈I quỹ đạo mẫu có dạng: = X t (ω ) ω sin(2π t ), t ∈ I Quỹ đạo mẫu trình ngẫu nhiên có dạng hình sin theo thời gian với biên độ ngẫu nhiên 1.2.2 Các đặc trưng trình ngẫu nhiên GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp E { X u [ X t − X u ]} E {[ X u − X ][ X= t − X u ]} { } = E uB1 tB1 − uB1  u  u  t  = E uB1 tB1 − u B   t u u  = u−u =0 Suy X t chuyển động Brown tiêu chuẩn 2.4.2 Tính chất (Sự hội tụ gia số) Tổng bình phương gia số chuyển động Brown ứng với phân hoạch a = t0 < t1 < t2 < < tn = b đoạn từ a đến b hội tụ đến b − a theo bình phương trung bình làm mịn phân hoạch:  n −1 lim  ∑ Bti +1 − Bti I →0  i =0 ( b−a )  =  Trong I = max {( ti − ti −1 ) , i= 1, 2, , n} Chứng minh Ta cần chứng minh: lim E I →0 2  n −1 B B b a Bti +1 − Bti  lim var − = − − = ( ) ∑ ∑ ti +1 ti  I →0 i 0= i  n −1 ( ) ( ) Thật vậy, ta có: n −1 ( E∑ B − B n −1 )= ∑ E (B ti +1 ti =i 0=i −B n −1 )= ∑ (t ti +1 ti =i i +1 b−a − ti ) = Vì gia số biến ngẫu nhiên độc lập nên n −1 2  n −1 Var  ∑ Bti +1 − Bti=  ∑ var Bti +1 − Bti =  i 0=  i0 ( ) GVHD: Dr Nguyễn Chí Long ( ) SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp n −1  ∑  E ( B = ti +1 i =0 n −1 ∑ 3 ( t = i =0 n −1 = 2∑ ( t i +1 − Bti ) ( ( − E Bti+1 − Bti ) )  2  2 − ti ) − ( ti +1 − ti )   −t ) ≤2 I n −1 ∑t i +1 i i +1 =i 0=i −= ti I ( b − a ) → ( I → 0) Từ đó: 2  n −1   n −1 E  ∑ Bti +1 − Bti − = (b − a )  Var  ∑ Bti +1 − Bti  i 0=  i ( ) ( 2 ) →0  max ( ti +1 − ti ) →  n −1 Hay E  ∑ Bti +1 − Bti  i =0 ( ) 2  → (b − a ) làm mịn phân hoạch  2.4.3 Tính chất Các quỹ đạo chuyển động Brown hầu hết không đâu khả vi, cho dù chúng liên tục hầu chắc: P { ω : Bt (ω ) khả vi }=0 Chứng minh  Bổ đề Borel – Cantelli Giả sử ( X n ) dãy biến cố ∞ (a) Nếu ∑ P( X n ) < ∞ n =1 ∞ (b) Nếu   P  lim sup X n  = n   ∑ P( X n ) = ∞ ( X n ) độc lập n =1   P  limsup X n  = n   Do tính chuyển động Brown ta cần chứng minh không khả vi điểm GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Thật vậy: Giả sử tập F ∈ Ω có xác suất dương P ( F ) > , tồn đạo hàm: Bt t →0 t = B0′ B= 0′ (ω ) lim Khi đó, tập F có: B2− k +1 − B2− k B2− k +1 B2− k = lim − lim k →∞ k →∞ − k +1 k →∞ − k 2− k lim = 2B0′ − B0′ = B0′ Điều xảy lý sau: Các số gia độc lập: B − k +1 − B − k có phân phối với B − k 2 P  B2− k > − k  =   2π − k 2π = ∞ ∫e ∞ ∫ u2 du = − − e u2 2.2− k du −k = p1 ; k ∈  * Const Do đại lượng ngẫu nhiên độc lập Gk= {B − k +1 − B2− k > − k } có tổng xác suất sau: ∞ ∑ P ( Gk ) = ∞ ∑p k 1= k = = ∞ Theo bổ đề Borel – Cantelli, điều có nghĩa là: Với xác suất 1, xảy vô số kiện Gk , cho: GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp B − k +1 − B2− k   P  lim sup > 1 = −k k →∞   ta có: B − k +1 − B2− k   P  lim inf < −1 =1 2− k  k →∞  Từ suy ra: B − k +1 − B − k B − k +1 − B − k   P  lim sup − k = ∞; lim inf − k = −∞  = k →∞ 2  k →∞  Vậy ta kết luận, hầu chắn chuyển động Brown điểm t không khả vi  Quỹ đạo địa phương  Cực đại cực tiểu địa phương Đối với hàm số liên tục f : [ 0, ∞ ) → R , điểm t gọi cực đại địa phương (nghiêm ngặt) ∀ε > 0, s, t ≥ 0, ∀s ∈ ( t − ε , t + ε ) : f ( s ) ≤ f ( t ) Đối với hầu hết quỹ đạo, tập hợp cực đại địa phương cho quỹ đạo chuyển động Brown đếm ( tập hợp hữu hạn vô hạn đếm được) dày đặc Lý thuyết tương tự áp dụng cho cực tiểu địa phương Một quỹ đạo chuyển động Brown có cực đại địa phương cực tiểu địa phương khoảng thời gian Điều có nghĩa mật độ cực đại địa phương cực tiểu địa phương dày đặc Có cực đại cực tiểu địa phương tùy ý gần với số  Điểm tăng giảm Một điểm t tăng ∃ε > 0, s, t ≥ 0, ∀s ∈ ( 0, ε ) , f ( t − s ) ≤ f ( t ) ≤ f ( t + s ) Hầu hết tất quỹ đạo chuyển động Brown điểm tăng giảm GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 2.4.4 Tính chất (Quá trình Martingale chuyển động Brown) Định nghĩa Ta xây dựng lọc ( t , t ≥ ) thoả mãn tính chất sau: - Với 𝑡, 𝐵𝑡 t - đo - Với 𝑡 với 𝑡 < 𝑡1 < … < 𝑡𝑛 , số gia chuyển động Brown 𝐵𝑡1 − 𝐵𝑡 , 𝐵𝑡2 − 𝐵𝑡1 ,…,𝐵𝑡𝑛 − 𝐵𝑡𝑛−1 độc lập với t Họ ( t , t ≥ ) gọi lọc sinh chuyển động Brown Mệnh đề Nếu= B { Bt , t ≥ 0} chuyển động Brown tiêu chuẩn i.= B { Bt , t ≥ 0} martingale ii M=t Bt − t martingale không chuyển động Brown iii N t exp (σ X t − σ 2t / ) martingale = iv K=t Bt3 − 3tBt martingale Chứng minh: i Ta có chuyển động Brown= B { Bt , t ≥ 0} trình thích nghi với lọc ( t , t ≥ 0) Nếu t ≥ s Bt − Bs độc lập với s Ta có: E [ Bt − Bs | s ]= E [ Bt − Bs ]= E [ Bt ] − E [ Bs ]= Do đó: E ( Bt | s ) = Bs ii Từ định nghĩa suy M t trình thích nghi với lọc ( t , t ≥ 0)  M t Martingale Thật vậy, ta có: E ( Bt − Bs | s )= E ( Bt − Bs ) + Bs ( Bt − Bs ) | s    = E ( Bt − Bs ) | s  + Bs E ( Bt − Bs ) | s    = E ( Bt − Bs ) + = t − s Suy ra: E ( Bt − t ) | s  = Bs − s s < t GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp  M t không chuyển động Brown Thật vậy, ta có: 2  E ( Bt2 − Bs2 − ( t − s ) ) | s  = E ( M t − M s ) |  s    2 = E ( Bt2 − Bs2 ) | s  − ( t − s ) E ( Bt2 − Bs2 ) | s  + ( t − s )   2 = E [( Bt − Bs ) + Bs ( Bt − Bs )]2 | s  − ( t − s ) + ( t − s )   = E ( Bt − Bs ) | s  + Bs E ( Bt − Bs ) | s      + Bs2 E ( Bt − Bs ) | s  − ( t − s )   2 = ( t − s ) + Bs + Bs ( t − s ) − ( t − s ) 2 = ( t − s ) + Bs2 ( t − s ) ≠ t − s iii Từ định nghĩa suy N t trình thích nghi với lọc ( t , t ≥ 0)  t2  tX Nhận xét: Nếu X  N ( µ , σ ) E=  e  exp ta + σ    Ta có:     σ2 E exp (σ Bt − σ = t / ) | s  E exp σ ( Bt − Bs + Bs ) − (t − s + s )  | s          σ = E  N s exp σ ( Bt − Bs ) − (t − s )  | s       σ2  = N s exp − (t − s )  E exp {σ ( Bt − Bs )}   = Ns Điều chứng tỏ exp (σ Bs − σ 2t / ) martingale iv Từ định nghĩa suy K t trình thích nghi với lọc ( t , t ≥ 0) Ta có: E ( Kt = | s ) E  Bt3 − 3tBt | s  = E ( Bt − Bs + Bs ) | s  − 3tE ( Bt − Bs + Bs ) | s    GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp = E ( Bt − Bs ) | s  + 3Bs E ( Bt − Bs ) | s      + 3Bs E [ Bt − Bs | s ] + Bs − 3t [ Bt − Bs | s ] − 3tBs = 3Bs ( t − s ) + Bs3 − 3tBs = Bs3 − 3sBs = Ks 2.4.5 Tính chất Chuyển động Brown trình Markov Chứng minh i Ta có= B { Bt , t ≥ 0} trình thích nghi với lọc ( t , t ≥ 0) ii Với 𝑡, 𝑠 ≥ Với 𝑢 ∈ ℝ mà 𝐸𝑒 𝑢𝑋𝑡+𝑠 < ∞ Ta cần chứng minh: uBt + s uBt + s | t  | Bt  E e = E e  Thật vậy: u B −B E  e uBt + s | t  = e uBt E  e ( t + s t ) | t  − = euBt E  eu( Bt + s Bt )  (do eu( B t + s − Bt = e e uBt u2 s = euBt E  e ( ( B u ( Bt + s − Bt ) t+s ) , t độc lập) − Bt )  N (0, s ) ) | Bt  = E  euBt + s | Bt  2.4.6 Tính chất (Đặc trưng Levy chuyển động Brown) Định lý: Cho= B {Bt , t ≥ 0} trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục Điều kiện B cần đủ để= {Bt , t ≥ 0} chuyển động Brown là: i B t mactingan, B0 = hầu chắn ii Bt2 − t mactingan ( t = t W ) Điều kiện i ii gọi đặc trưng Levy chuyển động Brown GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 2.4.7 Tính chất B Giả sử= {Bt , t ≥ 0} chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ Ta biết Bt ~ N (0; t) Gọi u ( t, x ) = √2𝜋𝑡 𝑥2 𝑒 − 2𝑡 hàm mật độ Bt Ta dễ dàng kiểm tra u (t, x) thoả phương trình đạo hàm riêng: 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 Phương trình gọi phương trình nhiệt (diễn tả truyền nhiệt kim loại) 2.5 Một số chuyển động Brown quan trọng 2.5.1 Chuyển động Brown bị phản xạ a)Định nghĩa Giả sử { B t, t ≥ } chuyển động Brown tiêu chuẩn Ta gọi trình R t = Bt = � Bt nế𝑢 Bt ≥ −Bt 𝑛ế𝑢 Bt < chuyển động Brown bị phản xạ b) Tính kỳ vọng phương sai Ta có: E[ Rt ] = 2π t +∞ ∫ x e − x2 dx −∞ Đặt x = y t ⇒ dx = tdy 2t Khi đó: E[ Rt ] = 2π t +∞ ∫ y.e − y2 dy y2 ⇒ dv = − ydy − Đặt v = Nên E[ Rt ] = 2t 2π t +∞ ∫ e v dv = GVHD: Dr Nguyễn Chí Long 2t π SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Mặc khác, ta có: E[[ Rt ] ] = 2π t 2 = 2π t +∞ ∫xe x2 2t dx −∞ +∞ ∫xe − x2 2t dx Đặt x = y t ⇒ xdx = Khi đó: E[[ Rt ]2 ] = − 2t 2π t tdy +∞ ∫ tye − y dy =t Suy ra: Var = [ Rt ] E [[ Rt ]2 ] − E [ Rt ]  2 = 1 −  t  π Tính: P { Rt ≤ y | R0 = x } = P { - y ≤ Bt ≤ y | B0 = x } = P { - y – x ≤ Bt ≤ y – x | B0 = } = ɸ𝑡 ( 𝑦 − 𝑥 ) − ɸ𝑡 (− 𝑦 − 𝑥 ) 2.5.2 Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển a) Định nghĩa  Giả sử {Bt , t ≥ 0} chuyển động Brown tiêu chuẩn Lấy 𝜇 𝑣à 𝜎 > tham số bất định Ta gọi trình X=t µt + σ Bt chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển 𝜇 tham số phương sai 𝜎  Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển thỏa điều kiện sau: i Có số gia độc lập ii Các số gia không đổi, nghĩa là, với h ≥ 0, X t +h − X t có phân phối với X h Nói cách khác, phân phối gia số không phụ thuộc vào t iii X=t µt + σ Bt  N ( µt , σ 2t ) iv Quỹ đạo liên tục GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp b) Tính chất µt + σ Bt chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển 𝜇  Với X= t tham số phương sai 𝜎  Nếu X = x ta có tính chất sau: Hàm phân phối xác suất: P{ X t ≤ y | X =x} =P{µt + σ Bt ≤ y | σ B0 =x} y − µt x  = P  Bt ≤ | B0 =  σ σ  = Φ𝑡 � 𝑦−𝜇𝑡−𝑥 𝜎 �  Nếu X = x , với số A, B thoả A < x < B Đặt T AB = T = { t ≥ 0: X t = A X t = B} thời điểm dừng Ký hiệu: P A = P { X T = A | X = x } ( nghĩa trình đạt A trước đạt B ) Mệnh đề P A = P { X T = A|X = x }= P B = P { X T = B|X = x } = Chứng minh: 2 𝑒 −2𝜇𝑥⁄𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝐵⁄𝜎 2 𝑒 −2𝜇𝐴⁄𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝐵⁄𝜎 2 𝑒 −2𝜇𝐴⁄𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝑥⁄𝜎 2 𝑒 −2𝜇𝐴⁄𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝐵⁄𝜎 Với điều kiện X = x B = x / 𝜎 Gọi Y t = exp { cB t – c2 t / }, trình martingale với c số Theo định lý lấy mẫu thời điểm dừng T thì: E [ Y T ] = E [ Y ] = E [ exp { cB }] Mặt khác: = exp { cx / 𝜎} = 𝑒 𝑐𝑥/𝜎   c( X t − µT ) = E [ Y T ] = E [ exp{ cB T – c2T / 2}] E exp    GVHD: Dr Nguyễn Chí Long σ − c2 T    SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Chọn c = − 2𝜇 𝜎 ta có: −2 µ   2µ  σ [YT ] E exp  − X T  e= E=  σ   x = P A 𝑒 −2𝜇𝑥/𝜎 + (1 − 𝑃𝐴 )𝑒 − 2𝜇𝐵/𝜎 Từ suy ra: 𝑃𝐴 = 2 𝑒 −2𝜇𝑥/𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝐵/𝜎 2 𝑒 −2𝜇𝐴/𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝐵/𝜎 Ví dụ: Giả sử giá cổ phiếu FPT tuân theo chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển 𝜇 = 1/10 hệ số phương sai 𝜎 = Một nhà đầu tư mua 1000 cổ phiếu FPT với giá 100 bán để chốt lời giá đạt mức 110 bán để cắt lổ giá xuống mức 95 Tính xác suất để nhà đầu tư có lời qua chiến lượt Bài giải Có lời: bán mức B = 110 Lỗ: bán mức A = 95 P { có lời } = P B = P { X T = 110 | X = 100 } = = 2 𝑒 −2𝜇𝐴⁄𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝑥⁄𝜎 2 𝑒 −2𝜇𝐴⁄𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝐵⁄𝜎 𝑒 −95/20 − 𝑒 −100/20 𝑒 −95/20 − 𝑒 −110/20 = 41923  Nếu X t chuyển động Brown xuất phát từ với hệ số dịch chuyển 𝜇 < với A < < B, xác suất để trình đạt B trước đạt A là: PB = P { X T= B | X0 = } = Cho A→ −∞ ta có: B= lim P{ X T= } lim AB A→−∞ A→−∞ P=B 𝑒 −2𝜇𝐴/𝜎 − 2 𝑒 −2𝜇𝐴/𝜎 − 𝑒 −2𝜇𝐵/𝜎 e σ −2 µ B / Khi đó: P{ M > B} = P { trình tiến đến mức B } = lim = P{ X TAB B} A→−∞ = 𝑒 −2|𝜇|𝐵/𝜎 GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 2.5.3 Chuyển động Brown hình học Giả sử {Bt , t ≥ 0} chuyển động Brown tiêu chuẩn �𝑡 + 𝜎𝐵𝑡 Quá trình Z t = 𝑧𝑒 𝑋𝑡 = 𝑧𝑒 �𝛼−2𝜎 với 𝑋𝑡 = �𝛼 − 𝜎 � 𝑡 + 𝜎Bt gọi chuyển động Brown hình học với hệ số dịch chuyển α Từ công thức Z t ta nhận xét nhiều tính chất chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển áp dụng cho chuyển động Brown hình học Với A < < B, đặt: T A,B = {𝑡 ≥ 0: Khi � ta có: 𝑍𝑡 𝑍0 𝑃� 𝑍𝑡 𝑍0 �𝑡 +𝜎𝐵𝑡 = 𝐵� = �𝑒 �𝛼−2𝜎 𝑍𝑡 𝑍0 = 𝐵}� = = 𝑍𝑡 = 𝐴 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑍0 = 𝐵} = 𝐵� = {𝑋𝑡 = 𝑙𝑛𝐵} áp dụng toán mục trước −2�𝛼− 𝜎2 �𝑙𝑛𝐴/𝜎2 −1 2 −2�𝛼− 𝜎 �𝑙𝑛𝐴/𝜎 −2�𝛼− 𝜎2 �𝑙𝑛𝐵/𝜎2 2 𝑒 −𝑒 𝑒 𝐴 1−2𝛼/𝜎 −1 2 𝐴 1−2𝛼/𝜎 −𝐵1−2𝛼/𝜎 Ví dụ: Giả sử giá cổ phiếu SBT tuân theo chuyển động Brown hình học với hệ số α = σ2 = Một nhà đầu tư mua cổ phiếu SBT với giá 100 bán để chốt lời giá đạt mức 110 cắt lỗ giá xuống đến mức 95 Tính xác suất để nhà đầu tư có lời theo chiến lược kinh doanh Bài giải Có lời tỷ lệ tăng giá B = Lỗ tỷ lệ tăng giá A = 95 100 110 100 Áp dụng công thức ta có: P { có lời } = P � = 𝑍𝑡 𝑍0 = 10 = 95 = 10� 0.950.95 −1 0.950.95 −1.100.95 = 33415 GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp �𝑡 +𝜎𝐵𝑡 E [ Z t | Z = z ] = 𝑧𝐸 �𝑒 �𝛼−2𝜎 Ta có : �𝑡 = z𝑒 �𝛼−2𝜎 �𝑡 = 𝑧𝑒 �𝛼−2𝜎 = 𝑧𝑒 𝛼𝑡 Tương tự: E[ Z | Z= z= ] ze t 𝐸 [𝑒 𝜎𝐵𝑡 ]   2 α + σ t   � 𝑡 𝑒 2𝜎 Suy ra: Var [ Z t ] = z2𝑒 2𝛼𝑡 �𝑒 𝜎 𝑡 − 1� 2.5.4 Cầu Brown Định nghĩa: Cho {Bt , t ≥ 0} chuyển động Brown tiêu chuẩn Quá trình ngẫu nhiên có điều kiện {Z t ,0 ≤ t ≤ 1} với= 0} gọi cầu Brown {Z t B= t | B1 Nhận xét B0 b= bs Giả sử cho chuyển động Brown tiêu chuẩn {Bt , t ≥ 0} với= ; Bs Sử dụng công thức: f Bt= b |{Bs = bs } ( ) f Bt , Bs ( b, bs ) = f Bs ( bs ) f Bt f Bs − Bt ( bs − b ) f Bs ( bs ) ;0 < t < s Ta tìm được: B ( B | {= t  b t b (s − t) t (s − t)  ; Bs bs })  N  s + , b0 =  ; ∀t ∈ ( 0, s ) s s   s b0 0,= bs 0,= s Khi = B ( B | {= t Nên 0;= B1 0})  N ( 0, t (1 − t ) ) ; ∀t ∈ ( 0,1) EZ t = ∀t ∈ ( 0,1) VarZ= EZ t2 − [ EZ t ]= EZ t2= t (1 − t ) ∀t ∈ ( 0,1) t C= Cov = [ Z t , Zτ ] E [ Z t Zτ ] − [ EZ t ][ EZτ ] Z ( t ,τ ) GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp = E= [ Z t Zτ ] E {E [ Z t Zτ ] | Zτ } = E= {Zτ E [ Z t | Zτ ]} E  Zτ τt Zτ    = t t EZτ2 = τ (1 − τ ) = t (1 − τ ) τ τ ,0[...]... Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 2.5.3 Chuyển động Brown hình học Giả sử {Bt , t ≥ 0} là chuyển động Brown tiêu chuẩn 1 2 �𝑡 + 𝜎𝐵𝑡 Quá trình Z t = 𝑧𝑒 𝑋𝑡 = 𝑧𝑒 �𝛼−2𝜎 1 với 𝑋𝑡 = �𝛼 − 𝜎 2 � 𝑡 + 𝜎Bt được gọi là một chuyển động Brown hình học với hệ số dịch chuyển α 2 Từ công thức của Z t ta nhận xét rằng nhiều tính chất của chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển có thể áp dụng cho chuyển động Brown. .. y – x | B0 = 0 } = ɸ𝑡 ( 𝑦 − 𝑥 ) − ɸ𝑡 (− 𝑦 − 𝑥 ) 2.5.2 Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển a) Định nghĩa  Giả sử {Bt , t ≥ 0} là một chuyển động Brown tiêu chuẩn Lấy 𝜇 𝑣à 𝜎 > 0 là các tham số bất định Ta gọi quá trình X=t µt + σ Bt là một chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển 𝜇 và tham số phương sai 𝜎 2  Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển thỏa các điều kiện sau: i Có số gia độc lập ii... cả quỹ đạo của chuyển động Brown không có điểm tăng hoặc giảm GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 2.4.4 Tính chất 4 (Quá trình Martingale đối với chuyển động Brown) Định nghĩa Ta xây dựng một bộ lọc ( t , t ≥ 0 ) thoả mãn các tính chất sau: - Với mỗi 𝑡, 𝐵𝑡 là t - đo được - Với mỗi 𝑡 và với 𝑡 < 𝑡1 < … < 𝑡𝑛 , các số gia của chuyển động Brown 𝐵𝑡1 − 𝐵𝑡... , t ≥ 0 ) như thế được gọi là lọc sinh bởi chuyển động Brown Mệnh đề Nếu= B { Bt , t ≥ 0} là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì i.= B { Bt , t ≥ 0} là một martingale ii M=t Bt 2 − t là một martingale nhưng không là một chuyển động Brown iii N t exp (σ X t − σ 2t / 2 ) là một martingale = iv K=t Bt3 − 3tBt là một martingale Chứng minh: i Ta có chuyển động Brown= B { Bt , t ≥ 0} là một quá trình thích... Levy của chuyển động Brown) Định lý: Cho= B {Bt , t ≥ 0} là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục Điều kiện B cần và đủ để= {Bt , t ≥ 0} là một chuyển động Brown là: i B t là một mactingan, B0 = 0 hầu chắc chắn ii Bt2 − t là một mactingan ( đối với t = t W ) Điều kiện i và ii được gọi là đặc trưng Levy của chuyển động Brown GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa... Đặc biệt: • Nếu σ 2 = 1 thì= B { Bt , t ≥ 0} ta gọi là chuyển động Brown tiêu chuẩn • Khi đó: −x 1 e 2t 2π t 2 + Hàm mật độ của= B { Bt , t ≥ 0} là f B ( x ) = t = + B {Bt , t ≥ 0}  N ( 0, t ) • Nếu B0 = x thì ta có chuyển động Brown xuất phát từ x 2.2 Các phương pháp xây dựng một chuyển động Brown Có nhiều phương pháp xây dựng một chuyển động Brown Ở đây ta nói tới hai phương pháp: Phương pháp sử... một định nghĩa khác về chuyển động Brown như sau: Định nghĩa: Một quá trình= B { Bt , t ≥ 0} là một chuyển động Brown với tham số phương sai σ 2 nếu nó là một quá trình Gauss với E [ Bt ]= 0, ∀t ≥ 0 và hàm tương quan cho bởi C o v (= Bs , Bt ) E= [ Bs Bt ] σ 2 min {s, t} 2.4 Một số tính chất quan trọng của chuyển động Brown 2.4.1 Tính chất 1 Cho {Bt , t ≥ 0} là chuyển động Brown tiêu chuẩn, khi đó... , t ≥ 0} là một chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ 0 Ta đã biết Bt ~ N (0; t) Gọi u ( t, x ) = 1 √2𝜋𝑡 𝑥2 𝑒 − 2𝑡 là hàm mật độ của Bt Ta dễ dàng kiểm tra được u (t, x) thoả phương trình đạo hàm riêng: 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 1 𝜕2 𝑢 2 𝜕𝑥 2 Phương trình trên được gọi là phương trình nhiệt (diễn tả sự truyền nhiệt của một thanh kim loại) 2.5 Một số chuyển động Brown quan trọng 2.5.1 Chuyển động Brown bị phản xạ... GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp E { X u [ X t − X u ]} E {[ X u − X 0 ][ X= t − X u ]} { } = E uB1 tB1 − uB1  u  u  t  = E uB1 tB1 − u 2 B 2 1   t u u  = u−u =0 Suy ra X t là một chuyển động Brown tiêu chuẩn 2.4.2 Tính chất 2 (Sự hội tụ của gia số) Tổng bình phương các gia số của chuyển động Brown ứng với phân hoạch a = t0 < t1 < t2 < ... có: E  euBt + s | t  = E  euBt + s | X t  GVHD: Dr Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 2 CHUYỂN ĐỘNG BROWN 2.1 Định nghĩa Cho một quá trình= B { Bt , t ≥ 0} được xác định trên một không gian xác suất đủ ( Ω ,  , P) được gọi là một chuyển động Brown (Quá trình Wiener) xuất phát từ 0 với tham số phương sai σ 2 nếu nó là một quá trình Gauss thỏa ... số chuyển động Brown quan trọng 2.5.1 Chuyển động Brown bị phản xạ a)Định nghĩa Giả sử { B t, t ≥ } chuyển động Brown tiêu chuẩn Ta gọi trình R t = Bt = � Bt nế