CHƯƠNG III CÁC BÀI TOÁN BIÊN §1 Ba toán biên Các toán biên lý thuyết nhằm xác định hàm điều hòa thỏa mãn số điều kiện biên Các hàm điều hòa thực tế trường lực Tùy theo điều kiện biên mà người ta chia làm ba loại toán biên : + Bài toán biên thứ nhất, gọi toán Dirichlet Có thể phát biểu : Cho trước hàm V xác định điểm bề mặt mặt kín σ Cần phải tìm hàm V(x,y,z), điều hòa miền giới hạn mặt σ có giá trị mặt giá trị V cho trước Ta cần phân biệt toán trong, tức tìm hàm điều hòa miền τ giới hạn mặt σ toán tìm hàm miền vô hạn không gian bên mặt σ + Bài toán thứ hai, gọi toán Neumann đặt nhiệm vụ sau : - Trên mặt σ , cho trước giá trị đạo hàm dV hàm điều hòa cần tìm dn V(x,y,z) Cần phải tìm hàm miền giới hạn mặt σ Tương tự ta cần phân biệt hai trường hợp đối vơi mặt σ + Bài toán thứ ba, gọi toán hỗn hợp nhằm xác định hàm điều hòa theo giá trị cho trước mặt σ tổ hơp tuyến tính αV + dV dn Giống trên, ta có toán Cũng cần ý rằng, hàm điều hòa buộc phải thỏa điều kiện quy vô cực Trong ngành trọng lực thuyết hình dạng Trái đất, hấp dẫn hàm điều hòa không gian theo điều kiện biên, người ta xác định không gian Vì nói chung, găp toán (bên Trái đât không điều hòa, không thỏa phương trình Laplace Ta sâu toán : Bài toán biên thứ Mục đích xác định điểm P(x, y, z) không gian hàm V(x, y,z) điều hòa mặt σ , qui vô cực có giá trị mặt σ tập hợp liên tục V cho trước 54 Theo (2.27) ta có công thức Green :    d    1 dV r  V ( p) = − − V   d σ ∫∫ 4π σ  r dn dn    (3.1) r khoảng cách từ điểm chạy M đến điểm quan sát P Giá trị dV dn không cho trước nên ta phải tìm cách loại khỏi tích phân Hàm U hàm điều hòa σ qui vô cực Khi hàm U V hàm điều hòa công thức Green thứ hai theo (2.15a) có dạng : 0=− 4π  ∫∫σ U dV dU  −V dσ dn dn  (3.2) Cộng vế đẳng thức (3.1) (3.2) ta có : V ( p) = 4π   dV d 1  ∫∫σ  r + U  dn − V dn  r + U  dσ r (3.2a) r Ký hiệu G = + U gán cho U điều kiện sau : mặt σ , U = − Ta cho khả xây dựng hàm U có thực tế Như tích phân chứa dV : dn V ( p) = 4π ∫∫σ V dG dσ dn (3.3) Hàm G mà ta đưa gọi hàm Green cho không gian mặt σ Như xây dựng hàm Green mặt cho trước ta tìm hàm điều hòa V không gian theo giá trị cho trước V mặt σ Phải chọn cho U = − σ điều hòa không gian r 55 r [ Hàm = (x − ξ )2 + ( y − η )2 + (z − ζ )2 ] − laø hàm điều hòa không gian qui vô cực Tóm lại hàm Green hàm phải thỏa mãn điều kiện sau : Điều hòa không gian ngoài, trừ P, qui vô cực, mặt σ x, y, z - tọa độ điểm quan sát P ξ ,η , ζ - tọa dộ điểm chạy M tích phân r trừ điểm P ( x, y, z) Bởi không gian ngoài, P hàm U( ξ ,η , ζ ) mà r Chú ý :Hàm U phải chọn cho điều hòa không gian ngoài, - U bị gián đọan, lúc M trùng với P r = Bài toán biên thứ hai Giá trị đạo hàm cho trước mặt σ Vì vậy, công thức (3.2a), ta cần phải loại trừ giá trị V Để làm việc ta dùng hàm phụ U điều hòa mặt σ , qui vô cực thỏa mãn điều kiện sau :  dN    =0  dn σ N= +U r (N laø hàm Neumann) Khi nghiệm toán biên thứ hai theo (3.2a) : V ( p) = − 4π dV ∫∫σ N dn dσ (3.4) 3.Baøi toán biên thứ ba dV   Giả sử mặt σ hàm V có giá trị cho  αV +  = f dn σ  Ký hiệu hàm E = + U buộc hàm mặt σ thỏa mãn điều kiện : r dE   α E + dn  = σ 56 Như có nghóa mặt σ ta có :  dE   dn  = − [σ E ]σ σ Do đó, dựa vào kết ta viết lại vế phải tích phân (3.2a) :  dV dE   dV   dV  ∫∫σ  E dn − V dn dσ = ∫∫σ  E dn + αVE dσ = ∫∫σ αV + dn Edσ Công thức (3.2a) có dạng : V ( p) = − 4π V ( p) = −  dV  ∫∫σ  αV + dn Edσ 4π ∫∫σ f Edσ (3.5) Như hàm V xác định điểm P không gian ngoài, dV dựa vào giá trị tổ hợp tuyến tính αV + mặt σ Vấn đề khó khăn xây dn dựng hàm E mặt σ cho trước Phần kết mục 1, ta cần chứng minh tốn Dirichlet ngồi có tính ñơn trị Dùng phương pháp phản chứng : Giả sử có hai hàm V V’ điều hịa ngồi σ , quy ∞ có giá trị σ Lúc hàm số T = V-V’ điều hịa ngồi σ quy ∞ Áp dụng cơng thức (2.14) khơng gian cho hàm U = V = T dT ∫∫∫[T∆T + D(T, T)]dτ = −∫∫ T dσdσ τ σ Nhưng ∆T = khơng gian ngồi Và T = σ (vì cho trước : V = V’ σ ) Vậy kết : ∫∫∫ D(T, T)dτ = τ ðiều có điểm khơng gian ngồi : 57 ∂T ∂T ∂T =0 = = ∂x ∂y ∂z ðiều có nghĩa hàm T số tồn khơng gian ngồi Nhưng vơ cực, hàm khơng Vậy điểm khơng gian ngồi số T = , ta suy : V = V’ tồn khơng gian ngồi – điều cần chứng minh Tính đơn trị tốn Neumann chứng minh tương tự §.2 Bài toán Dirichlet cho cầu Chúng ta tìm nghiệm cho toán Dirichlet cho mặt σ cụ thể Trước hết phải chọn mặt cầu S bán kính R tâm O Phải xác định điểm P ( ρ ,θ , λ ) , hàm Ve điều hòa mặt cầu S, quy ∞ lấy mặt S giá trị : limVe = f (θ ' , λ ' ) ρ →R ( ρ ,θ , λ ) - tọa độ cầu điểm quan sát (có dấu phẩy mặt S ) Như thấy, ta phải xác định hàm Green cho mặt cầu Trên đường thẳng OP khoảng cách ρ ' ta chọn điểm P’ cho ρ , thỏa mãn điều kiện sau : ρρ ' = R (3.6) Điểm P P’ gọi liên hợp Chọn điểm K không gian xác định khoảng cách đến điểm liên hợp K điểm di động Ký hiệu r, r’ khoảng cách từ K đến điểm liên hợp, ta có : (3.7) r = d + ρ − 2dρ cosψ 2 r ' = d + ρ ' −2dρ ' cosψ P r Còn K mặt cầu S hiển nhiên : K 2 rs = R + ρ − Rρ cosψ 2 rs′ = R + ρ ' −2 Rρ ′ cosψ Vì ρ ' = R2 ρ (3.8) (3.9) d = R ψ r’ P’ O theo (3.6), nên công thức (3.9) có dạng : 58 ρ’ ρ H.16 s r' = R + R4 ρ −2 R3 ρ cosψ = R2 ρ 2 ( ρ + R − Rρ cosψ ) = R rs' = ( )rs Do vaäy ta có: R2 ρ rs2 (3.10) ρ Hàm Green xây dựng sau : 1 1R G = +U = − r r r' ρ Trong hàm U = − (3.11) 1R thỏa mãn điều kiện qui vô cực, điều r' ρ r hòa toàn không gian Còn hàm điều hòa toàn không gian quy vô cực trừ điểm P ( điểm kỵ ) Vì hàm phân hàm điểm chạy K, K trùng với P nằm tích r = ∞ ) r Tóm lại hàm G thỏa mãn điều kiện hàm Green Bây ta tính đạo hàm G để đưa vào tích phân (3.2) : dG dr R dr ' =− + dn r dn ρ r '2 dn (3.12) n pháp tuyến ngoài, trùng với hướng d Lấy đạo hàm hai đẳng thức (3.7) theo pháp tuyến ta có : dr r = d − ρ cosψ dn dr ' r' = d − ρ ' cosψ dn Thế hai biểu thức vào (3.12) ta coù : dG d − ρ cosψ R d − ρ ' cosψ =− + dn r3 ρ r '3 Ở mặt cầu : 59 d = R, ρ = Do đó, đạo hàm R2 ρ , r's = R ρ rs dG coù daïng sau : dn dG R − ρ cosψ R =− + dn rS3 ρ R− R2 ρ R3 ρ cosψ (3.13) rS3 Sau giản ước ta có : ρ − R2  dG    = RrS3  dn σ (3.14) Thay (3.14) vaøo (3.3) ta có nghiệm toán Dirichlet : Ve ( ρ ,θ , λ ) = 4π ∫ σ∫ f (θ ' , λ ' ) ρ − R2 Rr S3 dσ (3.15 Nghiệm gọi tích phân Poisson cho không gian Tương tư,ï ta chứng minh nghiệm toán Dirichlet : Vi ( ρ ,θ , λ ) = 4π ∫ σ∫ f (θ ' , λ ' ) R2 − ρ2 dσ Rr S3 (3.16) §.3 Bài toán Dirichlet cho mặt phẳng vô hạn Công thức cho trường hợp mặt phẳng nhận cách cho bán kính cầu không ngừng tiến tới vô cực Lúc đại lượng dấu tích phân có giới hạn sau: ( ρ + R) lim =1 2R ρ cuõng tiến tới ∞ R → ∞ , ký hiệu ρ − R z, tức chiều cao diểm quan sát so với mặt phẳng vô hạn ta nhận : 60 Ve = z 2π ∫ σ∫ f (θ ' , λ ' ) dσ r3 (3.17) Bây σ mặt phẳng vô hạn, dσ diện tích nguyên tố mặt phẳng 61 CHƯƠNG IV HÀM CẦU VÀ CÁC TÍNH CHẤT §1 Giải phương trình Laplace tọa độ cầu Hàm điều hòa hàm thỏa mãn phương trình Lapcace theo định nghóa Đương nhiên nghiệm phương trình Lapcace hàm điều hòa Dạng tổng quát nghiệm này, ta nhận sau giải phương trình Lapcace Trong tọa độ cầu, phương trình Laplace có dạng :   ∂  ∂U  ∂  ∂U  ∂ 2U   ρ θ + sin + =     ∂ρ  sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂λ ρ  ∂ρ   (4.1) Sử dụng phương pháp tách biến số, ta đặt nghiệm : U ( ρ , θ , λ ) = f ( ρ )Y (θ , λ ) (4.2) Thế U (4.1) (4.2) ta co ù: ρ Y(θ, λ) 2   f (ρ)  ∂  ∂ d ∂  ∂ + f ( ) sin θ Y ( θ , λ ) + Y(θ, λ) =0 ρ ρ    2   ∂ρ  dρ ∂θ  sin θ ∂λ  ρ sinθ ∂θ   (4.3) Nhân vế (4.3) baèng ρ / Y (θ , λ ) f ( ρ ) để tách biến số, ta có:   ∂ d  ∂  ∂2 ∂  ρ f ( ρ ) + sin θ Y ( θ , λ ) Y ( θ , λ ) +  =0   2   sin θ ∂λ f (ρ) ∂ρ  dρ ∂θ   Y(θ, λ) sinθ ∂θ   (4.4) Phần chứa ρ ta đặt k : ∂  ρ f ( ρ ) ∂ ρ   d f ( ρ ) = k dρ  (4.5) Phần chứa θ , λ ta đặt -k : ∂  ∂Y  ∂Y + kY =  sin θ + sin θ ∂ θ  ∂ θ  sin θ ∂ λ 62 (4.6) n Đặt f ( ρ ) = ρ , n = 0, 1, 2, 3,….vaø thay vaøo (4.5) ta coù : ρ d (ρ 2nρ dρ n n −1 )= k Sau lấy đạo hàm theo ρ ta coù : k = n(n+1) (4.6a) Thay n -(n+1) vào (4.6a), kết k n(n+1) − ( n +1) Vậy ta có nghiệm Nhưng nghiệm f ( ρ ) = ρ có tính quy ∞ , thích hợp cho toán ngoài.Đưa giá trị k vào (4.6), ta có : ∂  ∂Yn  ∂ 2Y n sin + + n ( n + 1)Y n = θ   sin θ ∂ θ  ∂ θ  sin θ ∂ λ (4.7) Tách biến số lần cách đặt nghiệm: Y n (θ , λ ) = Pn (θ ) L n ( λ ) Sau thay (4.7a) vaøo (4.7) ta coù: Ln d  Pn ∂ Pn  d2 L n + n ( n + 1) Pn L n =  sin θ + sin θ d θ  ∂ θ  sin θ d λ (4.8) Nhân vế (4.8) sin θ / Ln Pn phương trình (4.8) tách làm phần Đặt chúng l - l, ta có : d2 L n = − lL n l − số dλ2 sin θ (4.9) dP  d   sin θ n  + n(n + 1) sin θ − l Pn = dθ  dθ  [ ] (4.10) '' Phương trình (4.9) có dạng quen thuộc Ln + lLn = dao động điều hòa nên Ln tổ hợp tuyến tính sin mλ , cos mλ mà l =m2 (dương), m = 0,1,2,3 … Thay l = m (4.10) đặt cosθ = x , ta coù : d dx  m2   dPn  ( ) − x + n n + − Pn =  dx   − x  ( ) 63 (4.11) Để xác định A0, lấy tích phân đẳng thức (4.43) theo λ từ đến 2π Vì : 2π 2π ∫ cos mλdλ = ∫ sin mλdλ = 0 nên ta có: 2π ∞ n =0 2π ∞ n =0 ∫ f (θ , λ )dλ = ∑ A P (cosθ ) ∫ dλ = 2π ∑ A P (cosθ ) n n Nhaân tiếp vế với Pn (cosθ )d cosθ lấy tích phân từ -1 đến +1 Nhờ tính chất trực giao ta coù : +1 2π +1 ∫ ∫ f (θ , λ ) P (cosθ )d cosθdλ = 2π ∫ A [P (cosθ ] d (cosθ ) n −1 n −1 Ruùt : π 2π 2n + A0 = f (θ , λ ) Pn (cosθ ) sin θdθdλ 4π ∫0 ∫0 (4.48a) §.7 Công thức cộng hàm cầu Nhân chuỗi (4.43) với Pn (cosψ ) sin θdθdλ lấy tích phân mặt cầu bán kính đơn vị Bên vế phải tích phân chứa tích Ym (θ , λ ) Pn (cosψ ) hết m ≠ n, m = n theo (4.41) ta có : π 2π π 2π ∫∫ f (θ , λ ) Pn (cosψ ) sin θdθdλ = ∫ ∫ Yn (θ , λ ) Pn (cosψ ) sin θdθdλ = 0 0 4πYn (θ ' , λ ' ) 2n + (4.49) Mặt khác Yn (θ ' , λ ' ) = ∑ Anm cos mλ '+ Bnm sin mλ ' ) Pnm (cosθ ' ) theo (4.16) Sử dụng (4.47), (4.48) (4.48a) ta có : π 2π  2n +  Yn (θ ' , λ ' ) =  ∫ ∫ f (θ , λ ) Pn (cosθ ) sin θdθdλ  × Pn (cosθ ' ) 4π  0   (n − m)! 2n + π ×  ∫ f (θ , λ ) cos mλPnm (cosθ ) sin θdθdλ  cos mλ '  m =1 ( n − m)! 2π  ∞ +∑ 74   π 2π  +  ∫ ∫ f (θ , λ ) sin mλPnm (cosθ ) sin θdθdλ  sin mλ 'Pnm (cosθ ' )  0  (4.49a) Biến đổi đơn giản dựa vào công thức lượng giác cos(a - b), ta coù : 2π +  Yn (θ ' , λ ' ) =  f (θ , λ ) Pn (cosθ ) Pn (cosθ ' ) sin θdθdλ + 4π ∫0 ∫0 π 2π π 2π  (n − m)! 2∑ f ( θ , λ ) P (cos θ ) × P (cos θ ' ) cos m ( λ − λ ' ) sin θ d θ d λ  nm nm ∫∫ m=1 (n + m)! 0  n Thế Yn (θ ' , λ ' ) (4.49) công thức cho Yn (θ’,λ) ta có : π 2π ∫∫ π 2π f (θ , λ ) Pn (cosψ ) sin θdθdλ = ∫ 0  ∫ f (θ , λ ) P (cosθ ) P (cosθ ' ) n n 0  (n − m)! Pnm (cosθ ) Pnm (cosθ ' ) cos m(λ − λ ' ) sin θdθdλ m =1 ( n + m)!  n + 2∑ So sánh vế trái với vế phải ta suy công thức cộng hàm cầu : Pn (cosψ ) = Pn (cosθ ) Pn (cosθ ' ) (n − m)! Pnm (cos θ ' ) Pnm (cosθ ) cos m(λ − λ ' ) m =1 ( n + m)! n + 2∑ (4.50) Theo lượng giác caàu : cosψ = cos θ cos θ '+ sin θ sin θ ' cos(λ − λ ' ) (4.50a) Công thức (4.50) (4.50a) giúp biến đổi từ tọa độ cực sang tọa đồ cầu §.8.Chuẩn hóa hàm cầu Phương trình tích phân cho hàm cầu chuẩn hóa Chúng ta tìm hệ số rnm cho hàm caàu : rnm Pnm (cosθ ' ) cos mλ ' vaø rnm Pnm (cosθ ' ) sin mλ ' , ký hiệu chung Fnm (θ ' , λ ' ) thỏa mãn điều kiện mặt cầu đơn vị : ∫∫σ [ F nm ] (θ ' , λ '] dσ ' = 75 (4.51 ) Dựa vào tính chất (4.25) hàm Pnm (θ ' , λ ' ) rút r2nm từ (4.51 ) ra, ta có hệ số chuẩn hóa : rnm = 2n + (n − m)! 2π (n + m)! với m = 1, 3, … hàm cầu chuẩn hóa :  2n + (n − m)! Pnm (cosθ ) cos mλ  π ( n + m )!  Fnm (θ , λ ) =   2n + (n − m)! Pnm (cosθ ) sin mλ   2π (n + m)! (4.52) Trường hợp m = 0, hệ số rn phải rút từ đầu cho Fn(θ) = rnP(cos θ’), ta có : Fn (θ ' ) = 2n + Pn (cosθ ' ) 4π (4.53) Công thức cộng cho hàm cầu chuẩn hóa rút từ (4.50) : Pn (cosψ ) = 4π n ∑ Fnm (θ , λ ) Fnm (θ ' , λ ' ) n + m =0 (4.54) Khi ρ < R ta coù (4.31) : ∞ ρn =∑ Pn (cosψ ) r n =0 R n+1 Nhờ (4.54) ta có : ∞ 4πρ n =∑ r n =0 (2n + 1) R n+1 2n ∑F nm (θ , λ ) Fnm (θ ' , λ ' ) m =0 Nhân vế với Fnm (θ ' , λ ' ) lấy tích phân toàn mặt cầu đơn vị nhờ tính trực giao ta có : Fnm (θ ' , λ ' ) 4πρ n d σ ' = Fnm (θ , λ ) ∫∫ r (2n + 1) R n+1 76 (4.55) Khi ρ > R tương tự : Fnm (θ ' , λ ' ) 4π Rn d ' = Fnm (θ , λ ) σ ∫∫ r (2n + 1) ρ n+1 (4.56) Khi ρ = R : ∫∫ Fnm (θ ' , λ ' ) 4π Fnm (θ , λ ) dσ ' = r (2n + 1) R (4.57) §.9 Phân loại hàm cầu Giả sử ta có hàm f (θ , λ ) phụ thuộc vào góc cực θ kinh độä λ Một hàm hàm phân bố giá trị dị thường trọng lực từ mặt địa cầu Như ta biết, hàm f (θ , λ ) khai triển thành chuỗi hàm cầu : f (θ , λ ) = A0 P0 (cosθ ) + A10 P10 (cosθ ) + ( A11 cos λ + B11 sin λ ) P11 (cosθ ) + A20 P20 (cosθ ) + ( A21 cos λ + B21 sin λ ) P21 (cosθ ) + ( A22 cos 2λ + B22 sìnλ ) P22 (cosθ ) + + Ak Pk (cosθ ) + ( Ak1 cos λ + Bk1 sin λ ) Pk1 (cosθ ) + (4.58) + ( Akk cos kλ + Bkk sin kλ ) Pkk (cosθ ) Các hệ số khai triển xác định hàm f (θ , λ ) đo thực tế, theo công thức tích phân (4.47), (4.48) (4.48a) Tuy nhiên, mặt thực tiễn, ta không lấy tích phân theo lý thuyết, hàm f (θ , λ ) không cho trước dạng biểu thức giải tích, mà nhận cách rời rạc qua lần quan sát vị trí khác mặt địa cầu Các vị trí quan sát nhiều tốt phải phủ khắp mặt địa cầu Phương pháp xác định thực nghiệm hệ số nói phương pháp tối thiểu bình phương Số phương trình phải nhiều số ẩn số, số hệ số nói ( lý thuyết n = ∞ thực tế có số hữu hạn) Chuỗi (4.58) chồng chất sóng mặt địa cầu với đủ loại tần số khác (theo kinh độ λ θ ) Một sóng bậc n (theo θ ) m ( theo λ ) có dạng chung : dm ( Anm cos mλ + Bnm sin mλ ) sin θ Pn (cosθ ) d (cosθ ) m m (4.59) Hàm (4.59) tách làm phần, chứa cos chưa sin nhân với Pnm (cosθ ) thực chất loại 77 a) Hàm cầu đới: Khi m = 0, n bất kỳ, công thức (4.59) cho ta hàm phụ thuộc θ đa thức Legendre : Ano Pno (cosθ ) Để tìm vị trí mà (4.59) 0, ta giải phương trình : (4.60) Pn (cosθ ) = Các giá trị θ đối xứng qua xích đạo địa cầu nghiệm phương trình Có tất n nghiệm Ví dụ với n = 3, ta có : P3 ( x) = (5 x − x) = (4.61) Giải phương trình ta có nghiệm số : x1 = x2 = x3 = − 5 N Xích đạo S H.19 Góc θ tương ứng là: 900, 39030’, 140030 Ta có vó tuyến mà P3 (cosθ ) = Mặt cầu bị chia thành đới Số đới tổng quát (n+1) đới ( H.19) b) Hàm cầu múi: Khi m = n, (4.59) ta coù : 78 dn Pn cosθ = const d (cosθ ) n (4.62) Sau lấy đạo hàm Pn (cosθ ) n lần, ta số Kết quả, ta có sóng (điều hòa) : Anm sin n θ cos nλ vaø Bnm sin n θ sin nλ = (4.63) sin n θ = với θ = θ = π , tức ứng với cực địa cầu N S Còn sin nλ cos nλ kinh tuyến cách cung π ∆λ = Địa cầu bị chia thành múi theo kinh tuyến Trong n múi, hàm giữ nguyên dấu (+ -) Khi chuyển sang múi kế cận dấu đổi Hai loại hàm cầu (4.63) hàm cầu múi Hình 20 cho thấy phân bổ hàm cầu múi với múi chứa giá trị âm dương hàm xen kẽ Mỗi hàm sin nλ (hoặc cos nλ ) chia địa cầu làm 2n múi S N N S H.20 H.21 c) Hàm cầu ô: Khi m ≠ n ( < m < n ), (4.59), ta coù : dm Pn (cosθ ) (4.64) d (cosθ ) m Ña thức có (n - m) nghiệm thực thảy, ứng với n – m vó tuyến mặt địa cầu mà hàm cầu (4.59) không 79 Kết qủa, địa cầu bị vó tuyến chia làm (n – m + 1) đới Các đới có giá trị âm, dương hàm (4.64) xen kẽ trường hợp a) Hàm sin mλ (hoặc cos mλ ) không 2m giá trị λ chia địa cầu π Trong múi, hàm mang thành 2m múi, múi có bề rộng m dấu đổi dấu chuyển sang múi bên cạnh (như trường hợp b) Sự chồng chất hàm sin mλ (hoặc cos mλ ) với hàm (4.64), kết quả, mặt địa cầu bị chia tựa ô bàn cờ vua, với dấu âm, dương xen kẽ nhau, nên hàm có tên gọi hàm cầu ô Tuy nhiên ô ô vuông mà ô cầu hình thang, hàm sin, cos chia vó tuyến thành cung hàm liên kết Legendre không chia kinh tuyến thành cung Các nghiệm phân bố không dọc theo kinh tuyến, đối xứng qua xích đạo Nếu m chẵn, dấu phân bố đối xứng qua xích đạo ( hình 22 cho trường hợp P42 cosθ ) ) Còn m lẽ không đối xứng dấu, mà ngược dấu qua xích đạo (hình 23 cho trường hợp P41 cosθ ) P41 P42 100 + + 45 45 180 135 90 1800 -1 0 0 900 1350 -5 -2 315o o φN=22 12’ 0o + _ _ 225o N _ + + λ=270o -3 P42cos2λ _ o 40 50’ + _ 0o 0o _ + 0o λ=90o + φS=22o12’ + 45o _ o 40 50’ + _ _ 135o Hình 22 Hình 23 Tóm lại, ứng với giá trị n ta có: Khi m = : hàm cầu Khi m = n : hai hàm cầu (sin cos) Khi m ≠ n : 2(n - 1) hàm cầu Tổng cộng ta có 2n + hàm cầu 80 P41cosλ Ứng với tất giá trị n ( từ 0,1,2,3,… n ), chuỗi, có tổng cộng n(n + 2) + hàm cầu ( điều hòa) Số hệ số hàm cầu Anm Bnm tổng cộng n (n + 2) + hệ số Để xác định hệ số này, tối thiểu cần có : n(n + 2) + phương trình, nghóa phép đo vị trí khác địa cầu Nhưng thường, số phép đo phải nhiều số ẩn số theo phương pháp bình phương tối thiểu để làm giảm ảnh hưởng giá trị chứa sai số ngẫu nhiên 81 MỤC LỤC Lời giới thieäu CHƯƠNG I : Thế tính chất ……………………………………………………………………………………………….3 §.1 Khái niệm Các dạng chủ yếu ….……………………………………………………………… Thế tỷ lệ nghịch với khoảng cách quan sát………….………………………………………………………………… Thế khối …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Thế lớp đơn……………………………………………………………… …………………………………………………………………………7 Thế lớp kép……………………………………………………………… …………………………………………………………………………9 Thế từ lưỡng cực ……………………………………………………………………………………………………………1 Thế từ vật thể bị từ hóa ……………………………………………………………………………………………….1 §.2 Ý nghóa vật lý thế, mặt đẳng thế, đường sức …….…………………………………………………….1 §.3 Thế trường lực số vật có dạng đơn giản ……………………………………………………….1 Thế lớp cầu … ………………………………………………………………………………………………………………………………….20 Thế khối cầu …………………………………………………………………………………………………………………………………….2 Thế logarit ……………………………………………………………………………………………………………………………………….27 Thế từ kkhối cầu ……………………………………………………………………………………………………………………2 §.4 Các tính chất Newton ………….…………………………………………………………………………………….30 Thế khối ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 30 Thế lớp đơn ……………………………………………………………………………………………………………………………………35 Thế lớp kép …………………………………………………………………………………………………………………………………….38 §.5 Các tích phân Gauss ……………………………………………….…………………………………………………………………….3 CHƯƠNG II : Các công thức Green …………………………………………………………………………………41 §.1 Hai công thức Green sở ……………………………………………………………………………………………………4 §.2 Công thức Green cho hàm 1/r …………………………………………………………………………………………….46 §.3 Hàm điều hòa tính chất ………………………………………………………………………………………………4 Định lý đẳng trị ……… ………………………………………………………………………………………………………….48 Định lý đơn trị …………………………………………………………………………………………………………………………49 Định lý trung bình …………………………………………………………………………………………………………………49 Định lý cực trị …………………………………………………………………………………………………………………………50 87 §.4 Công thức Green ……………………………………….………………………….……………………………………50 §.5 Công thức Green theo biến đổi theo Molodensky ………………….…….……….……………………51 §.6 Các số Stokes ……….……………………………………………………………………………….………………………52 CHƯƠNG III : Các toán biên …… ……………………………………………………………………………………….55 §.1 Ba toán biên ………………….………………………….……………………………………………………………5 Bài toán biên thứ nhất……………… ………………………………………………………………………………………………55 Bài toán biên thứ hai……………………………………………………………………………………………………………………5 Bài toán biên thứ ba…………………………………………………………………………………………………………………….57 § Bài toán Dirichlet cho qủa cầu …………………………… ………………………………………………………………5 § Bài toán Dirichlet cho mặt phẳng vô hạn ……….………………………………………………………………61 CHƯƠNG IV : Hàm cầu tính chất …….…………………………………………………………………….6 §.1 Giải phương trình Laplace tọa dộ cầu …….……………………………………………………………… §.2 Một số tính chất đa thức Legendre ………………………………………………………………………………66 §.3 Một số tính chất hàm liên kết Legendre …….…………………………………………………………….67 §.4 Khai triển hàm 1/r thành chuỗi đa thức Legendre ………………………………………………………….68 §.5 Các hệ thức tích phân cho hàm cầu ………………………….………………………………………………………….7 §.6 Khai triển hàm f (θ,λ) thành chuỗi hàm cầu …….…………………………………………….……….7 §.7 Công thức cộng hàm cầu ………………………………………………………………………………………………………….75 §.8 Chuẩn hóa hàm cầu Phương trình tích phân cho hàm cầu chuẩn hóa …………….7 §.9 Phân loại hàm cầu ……….……………………………………………………………………………………………….…………….78 Phụ lục ……… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 82 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………………………………………………………….86 88 PHỤ LỤC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LÝ THUYẾT THẾ Chương I Thế tính chất Thế trường lực dẫn xuất từ ? Lực có tính chất đặc biệt so với lực thông thường khác ? Hãy cho ví dụ số lực loại ? Công vật lý khác với công sinh học ( công người, trâu bò ) ? Thế khác giống ? Thứ nguyên ? Thế âm dương ? Cho biết ý nghóa trường hợp âm dương ? Hãy dựa vào định nghóa ( công lực trường ) chứng minh lực hấp dẫn Newton chất điểm gây tỷ lệ nghịch với khoảng cách tới chất điểm hấp dẫn Rút lực tónh điện Coulomb điện tích điểm Q > gây điện tích đơn vị q âm đặt vị trí cách Q khoảng r tỷ lệ nghịch khoảng cách quan sát r Chọn vị trí ∞ Hãy chứng minh lực hấp dẫn Newton Trái đất có dạng M U=-f m, f – số hấp dẫn, M – khối lượng Trái đất, m – khối r lượng vật cách tâm Trái đất r Chọn vị trí ∞ Nếu mức chọn mặt Trái đất có dạng ? Còn gần mặt đất ? Lực ly tâm hay không ? Có tính lực ly tâm cho đơn vị khối lượng chuyển động tròn với vận tốc góc ω quanh tâm O trục quay khoảng cách đến trục ρ Coi vị trí không tâm O ĐS : V = ω2ρ2 Tính lực hấp dẫn lớp cầu dầy có bán kính R r ( R > r ) điểm quan sát bên lớp cầu, cách tâm cầu khoảng ρ ≤ r ĐS : V = 2πfδ( R2- r2) = const 10 Trường hợp quan sát điểm bên qủa cầu đặc đồng chất bán kính Ro lực tác dụng tương đương với lực phần thuộc qủa cầu gây ? Lực biến thiên theo khoảng cách ρ từ tâm theo qui luật, công thức ? 11 Tính lực hấp dẫn đóa tròn, mỏng bán kính R, mật độ mặt ε, số hấp dẫn f Điểm quan sát nằm trục đối xứng qua tâm O đóa, cách tâm đóa độ cao z Xét trường hợp giới hạn : z→0 ( R→∞ ) 82   z  ; Fgh= -2πfε ÑS : V = 2πfε ( z + R − z ) ; F = -2πfε 1 − 2  R +z   12 Áp dụng kết qủa toán trên, tính lực hấp dẫn lớp bình nguyên rộng vô tận, có độ cao H so với mặt biển, mật độ khối đất δ Người quan sát độ cao h so với mặt bình nguyên máy bay trực thăng ĐS : F = -2πfδH, không phụ thuộc h 13 Tính lực vành khuyên mỏng có bán kính R > r , mật độ mặt ε, số hấp dẫn f, điểm quan sát nằm trục đối xứng cách tâm O vành khuyên độ cao z   1  ÑS: V =2πfε ( z + R − z + r ) ; F = -2πfεz  −  2 R2 + z2   r +z 14 Tính lực hấp dẫn hình trụ đặc tròn bán kinh R, bề dài d, mật độ δ Xét trường hợp điểm quan sát trục đối xứng, cách mặt tròn hình trụ h Chọn trục z hướng xuống ĐS : F = 2πfδ ( R + h − R + (d + h) + d ) 15 Tính lực hấp dẫn ống trụ rỗng, mật độ mặt ε, bán kính R, dài d Điểm quan sát nằm trục đối xứng hình tru đầu ốngï     R R ÑS : V = 2πfεRln  ; F = 2πfε 1 −   2 d + R2  d + d + R   2M M vaø H = ± R R 20 Tại tiến tới điểm C mặt lớp đơn từ điểm quan sát bên A điểm bên B, hai giá trị giới hạn đạo hàm lớp đơn theo phương l ( lực theo phương l ) miền đóa tròn tâm C gây tiến tới giá trị quan sát C ? 21 Tại di chuyển mặt đẳng công trường lực hấp dẫn ? 22 Ý nghóa tích phân Gauss ? Khi âm, dương ? 19 Giải thích ý nghóa dấu ± lực từ trường : Z = ± Chương II Các công thức Green Công thức Green sở thứ cho không gian khác với công thức Green sở thứ cho không gian chỗ ? Những điểm giống khác hai công thức Green sở với công thức Green ? Hãy so sánh công thức Green cho hàm 1/r hàm điều hòa V với công thức Green cho khối V 83 Các tích phân sau ta gặp đâu, suy từ công thức ? ý nghóa ? dV a/ ∫∫ dn dσ = c/ ∫ dn  r dσ d 1 = -4π dV b/ ∫∫ dn dσ = −4πfM d/ ∫∫V dV dσ ≥ dn Công thức Green cho khối trường hợp điểm quan sát mặt hay chỗ ? Biến đổi công thức Green cho khối theo Molodensky có đặc biệt ? Trong công thức Molodensky, sau dấu tích phân mặt có d 1 biểu thức (V – V )   V ? Xác định miền ? Còn V ? dn  r  Ý nghóa số Stokes ? Công thức Gauss cho phép xác dịnh khối lượng cách ? Công thức Green cho khối khác công Green cho hàm điều hòa chỗ ? Năm công thức Green sau thuộc trường hợp áp dụng ? a/  dV d   −V   dσ =0 dn dn  r  c/ d/ b/ ∫∫σ  r  dV d   −V   dσ =-4πV dn dn  r  ∫∫σ  r  dV d   −V   dσ = 4πV dn dn  r  ∫∫σ  r  dV d   −V   dσ =-2πV dn dn  r  ∫∫σ  r e/  dV d   −V   dσ =2πV dn dn  r  ∫∫σ  r Dựng qủa cầu S bán kính r bọc lấy điểm quan sát P, r = MP – khoảng cách điểm quan sát P điểm chạy M tích phân Cho r→0, tích phân khối theo thể tích τ giới nội ≠ ? Chương III Các toán biên Tại toán biên Dirichlet ta phải xây dựng hàm Green G = + U thỏa điều kiện sau : 1) Điều hòa không gian mặt σ r trừ P ( ?) 2/ Chính qui ∞ 3/ Bằng mặt σ ? Trong toán biên Dirichlet cho mặt cầu, hàm Green coù dang G = + U = r 1R Hàm Green có thỏa điều kiện G = mặt cầu không ? − r r' ρ 84 Chứng minh bán kính mặt cầu R→∞, tích phân Poisson cho mặt dσ cầu trở thành công thức cho mặt phẳng : V = f (θ '.λ ' ) ∫∫ 2π r Chương IV Hàm cầu tính chất Công thức cộng hàm cầu rút qua bước ? Thế hàm cầu chuẩn hóa ? Hãy rút hệ số chuẩn hóa cho hàm cầu Hãy chứng minh công thức cộng hàm cầu chuẩn hóa Hãy rút phương trình tích phân cho hàm cầu chuẩn hóa Hãy chứng minh tính chất trực giao mặt cầu hàm cầu mặt Yn(θ,λ) Ym(θ,λ) Hãy rút hệ thức tích phân cho hàm cầu mặt Khai triển hàm số f(θ,λ) thành chuỗi hàm cầu 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.A SERkEROV Lý thuyết hấp dẫn từ NXB “ Nedra “, Moskva, 1990 304 tr N.P GROUSHINSKY Lý thuyết hìønh thể Trái đất NXB “Nauka “, Moskva, 1976, 512 tr D.V ZAGREBIN Trọng lực lý thuyết nhập môn NXB “ Nauka “ Leningrad, 1976, 292 tr B.P SHIMBIRIEV Lý thuyết hình thể Trái đất NXB “ Nedra “, Moskva, 1975 432 tr V.S MIRINOV Giáo trình trọng lực thăm dò NXB “ Nedra “, Leningrad, 1972, 512 tr A.N TIKHONOV A.A SAMARSKY Phương trình toán lý NXB “ Nauka “ Moskva 1966, 724 tr 86 ... 0 0 900 1350 -5 -2 315o o φN =22 12? ?? 0o + _ _ 22 5o N _ + + λ =27 0o -3 P42cos2λ _ o 40 50’ + _ 0o 0o _ + 0o λ=90o + φS =22 o 12? ?? + 45o _ o 40 50’ + _ _ 135o Hình 22 Hình 23 Tóm lại, ứng với giá trị... ……………………………………………………………………………………………………………1 Thế từ vật thể bị từ hóa ……………………………………………………………………………………………….1 § .2 Ý nghóa vật lý thế, mặt đẳng thế, đường sức …….…………………………………………………….1 §.3 Thế trường lực số vật có dạng đơn... Leningrad, 1976, 29 2 tr B.P SHIMBIRIEV Lý thuyết hình thể Trái ñaát NXB “ Nedra “, Moskva, 1975 4 32 tr V.S MIRINOV Giáo trình trọng lực thăm dò NXB “ Nedra “, Leningrad, 19 72, 5 12 tr A.N TIKHONOV