Chương LOGO1 TOÁN RỜI RẠC Chương QUAN HỆ Quan hệ Định nghĩa tính chất Biểu diễn quan hệ Quan hệ tương đương Quan hệ thứ tự 1.1 Định nghĩa Một quan hệ hai từ tập A đến tập B tập tích Đề R ⊆ A x B Chúng ta viết a R b thay cho (a, b) ∈ R Quan hệ từ A đến gọi quan hệ A R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } 1.1 Định nghĩa Ví dụ A = tập sinh viên; B = lớp học R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b} 1.1 Định nghĩa Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, b) | a ước b} Khi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 4 1.2 Các tính chất Quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A gọi phản xạ nếu: (a, a) ∈ R với a ∈ A Ví dụ Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ:  R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ (3, 3) ∉ R1  R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R2   Quan hệ ≤ Z phản xạ a ≤ a với a∈ Z Quan hệ > Z không phản xạ > Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z + phản xạ số nguyên a ước Chú ý Quan hệ R tập A phản xạ chứa đường chéo A × A : ∆ = {(a, a); a ∈ A} 1 1.2 Các tính chất Quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A gọi đối xứng nếu: ∀a ∈ A, ∀b ∈ A thỏa mãn (a R b) → (b R a) Quan hệ R gọi phản xứng ∀ a ∈ A ∀b ∈ A thỏa mãn (a R b) ∧ (b R a) → (a = b) Ví dụ  Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} tập A = {1, 2, 3, 4} đối xứng  Quan hệ ≤ Z không đối xứng Tuy nhiên phản xứng (a ≤ b) ∧ (b ≤ a) → (a = b) 10 1.2 Các tính chất Quan hệ  Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z + không đối xứng Tuy nhiên có tính phản xứng (a | b) ∧ (b | a) → (a = b) Chú ý Quan hệ R A đối xứng đối xứng qua đường chéo ∆ A × A Quan hệ R phản xứng có phần tử nằm đường chéo đối xứng qua ∆ A × A 4 3 2 1 * * * 23 3.3 Lớp tương đương Định nghĩa Cho R quan hệ tương đương A phần tử a ∈ A Lớp tương đương chứa a ký hiệu [a]R [a] tập [a]R = {b ∈ A| b R a} 24 Lớp tương đương Ví dụ Tìm lớp tương đương modulo chứa 1? Giải Lớp tương đương modulo chứa gồm tất số nguyên a chia hết cho Do [0]8 ={ …, – 16, – 8, 0, 8, 16, … } Tương tự [1]8 = {a | a chia dư 1} = { …, – 15, – 7, 1, 9, 17, … } 25 Lớp tương đương Chú ý Trong ví dụ cuối, lớp tương đương [0] [1]8 rời Tổng quát, có Định lý Cho R quan hệ tương đương tập A a, b ∈ A, Khi (i) a R b [a]R = [b]R (ii) [a]R ≠ [b]R [a]R ∩ [b]R = ∅ Chú ý Các lớp tương đương theo quan hệ tương đương A tạo nên phân họach A, nghĩa chúng chia tập A thành tập rời Lớp tương đương 26 Chú ý Cho {A1, A2, … } phân họach A thành tập không rỗng, rời Khi có quan hệ tương đương A cho Ai lớp tương đương Thật với a, b ∈ A, ta đặt a R b có tập Ai cho a, b ∈ Ai Dễ dàng chứng minh R quan hệ tương đương A [a]R = Ai a ∈ Ai a A2 A1 A4 A3 A5 b Ví dụ Cho m số nguyên dương, có m lớp đồng dư modulo m [0]m , [1]m , …, [m – 1]m Chúng lập thành phân họach Z thành tập rời Chú ý [0]m = [m]m = [2m]m = … [1]m = [m + 1]m = [2m +1]m = … ………………………………… [m – 1]m = [2m – 1]m = [3m – 1]m = … Mỗi lớp tương đương gọi số nguyên modulo m Tập hợp số nguyên modulo m ký hiệu Zm Zm = {[0]m , [1]m , …, [m – 1]m} 27 28 Quan hệ thứ tự Định nghĩa Thứ tự từ điển 29 4.1 Định nghĩa Ví dụ Cho R quan hệ tập số thực: a R b a ≤ b Hỏi:  R phản xạ không? R đối xứng không?  R phản xứng không? R bắc cầu không? Có Không Có Có 30 Định nghĩa Định nghĩa Quan hệ R tập A quan hệ thứ tự (thứ tự) có tính chất phản xạ, phản xứng bắc cầu Người ta thường ký hiệu quan hệ thứ tự  Cặp (A,  ) đựợc gọi tập thứ tự hay poset Phản xạ: a  a Phản xứng: (a  b) ∧ (b  a) → (a = b) Bắc cầu: (a  b) ∧ (b  c) → (a  c) 31 Định nghĩa Ví dụ Quan hệ ước số “ | ”trên tập số nguyên dương quan hệ thứ tự, nghĩa (Z+, | ) poset Có, x | x x = ⋅ x Phản xạ? Bắc cầu? Có? a | b nghĩa b = ka, b | c nghĩa c = jb Khi c = j(ka) = jka: a | c 32 Phản xứng? có? a | b nghĩa b = ka, b | a nghĩa a = jb Khi a = jka Suy j = k = 1, nghĩa a = b Không phải Ví dụ (Z, | ) poset? Phản xứng? Không 3|-3, -3|3, ≠ -3 33 (P(S), ⊆ ), P(S) tập hợp tập S, poset? Có, poset Phản xạ? Bắc cầu? Phản xứng? Có, A ⊆ A, ∀A∈ P(S) Có Có A ⊆ B, B ⊆ C Suy A ⊆ C? A ⊆ B, B ⊆ A Suy A =B? Định nghĩa 34 Định nghĩa Các phần tử a b poset (S,  ) gọi so sánh a  b hay b p a Trái lại ta nói a b không so sánh Cho (S,  ), hai phần tử tùy ý S so sánh với ta gọi tập thứ tự toàn phần Ta nói  thứ tự toàn phần hay thứ tư tuyến tính S Chương Ví dụ Ví dụ Quan hệ “≤ ” tập số nguyên dương thứ tự toàn phần Ví dụ Quan hệ ước số “ | ”trên tập hợp số nguyên dương không thứ tự toàn phần, số không so sánh 36 4.2 Thứ tự tự điển Ví dụ Trên tập chuỗi bit có độ dài n ta định nghĩa thứ tự sau: a1a2…an ≤ b1b2…bn ≤ bi, ∀ i Với thứ tự chuỗi 0110 1000 không so sánh với Chúng ta nói chuỗi lớn Trong tin học thường sử dụng thứ tự toàn phần chuỗi bit Đó thứ tự tự điển 37 Thứ tự tự điển Cho (A, ≤) (B, ≤’) hai tập thứ tự toàn phần Ta định nghĩa thứ tự  A × B sau : (a1 , b1)  (a2, b2) a1 < a2 hay (a1 = a2 b1 [...]... = 1 nếu (ai , bj) ∈ R Ví dụ Nếu R là quan hệ từ A = {1, 2, 3} đến B = {1, 2} sao cho a R b nếu a > b Khi đó ma trận biểu diễn của R là 14 1 2 3 1 0 1 1 2 0 0 1 15 Biểu diễn Quan hệ mij = 1 nếu (ai , bj) ∈ R 0 nếu (ai , bj) ∉ R Ví dụ Cho R là quan hệ từ A = {a1, a2, a3} đến B = {b1, b2, b3, b4, b5} được biễu diễn bởi matrận b1 b2 b3 b4 b5 Khi đó R gồm các cặp: 0 1 0 0 0  M R =  1 0 1 1 0  1 0 1. .. 0 1 0 1  a1 a2 a3 {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)} 16 Biểu diễn Quan hệ  Cho R là quan hệ trên tập A, khi đó MR là ma trận vuông  R là phản xạ nếu tất cả các phần tử trên đường chéo của MR đều bằng1: mii = 1 với mọi i u u 1 v 0 w 0 v w 1 0 1 1 0 1 17 Biểu diễn Quan hệ R là đối xứng nếu MR là đối xứng mij = mji u u 1 v 0 w 1 for all i, j v w 0 1 0 1 1 0 18 Biểu.. .11 1. 2 Các tính chất của Quan hệ Định nghĩa Quan hệ R trên A có tính bắc cầu (truyền) nếu ∀a ∈ A ∀b ∈ A ∀c ∈ A (a R b) ∧ (b R c) → (a R c) Ví dụ Quan hệ R = { (1, 1), (1, 2), (2 ,1) , (2, 2), (1, 3), (2, 3)} trên tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu Quan hệ ≤ và “|”trên Z có tính bắc cầu (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) → (a ≤ c) (a | b) ∧ (b | c) → (a | c) 12 2 Biểu diễn Quan hệ Giới thiệu Ma trận Biểu diễn Quan hệ 13 ... Biểu diễn Quan hệ 13 2 .1 Định nghĩa Cho R là quan hệ từ A = {1, 2,3,4} đến B = {u,v,w}: R = { (1, u), (1, v),(2,w),(3,w),(4,u)} Khi đó R có thể biễu diễn như sau 1 2 3 4 u 1 0 0 1 v w 1 0 0 1 0 1 0 0 Dòng và cột tiêu đề có thể bỏ qua nếu không gây hiểu nhầm Đây là ma trận cấp 4×3 biễu diễn cho quan hệ R 2.2 Biểu diễn Quan hệ Định nghĩa Cho R là quan hệ từ A = {a1, a2, …, am} đến B = {b1, b2, …, bn} Ma trận... diễn Quan hệ R là phản xứng nếu MR thỏa: mij = 0 or mji = 0 u u 1 v 0 w 0 if i ≠ j v w 0 1 0 0 1 1 19 3 Quan hệ tương đương Định nghĩa Quan hệ tương đương Lớp tương đương 20 3 .1 Định nghĩa  Ví dụ: Cho S = {sinh viên của lớp}, gọi R = {(a,b): a có cùng họ với b} Hỏi R phản xạ? Yes R đối xứng? Yes R bắc cầu? Yes Mọi sinh viên có cùng họ thuộc cùng một nhóm 3.2 Quan hệ tương đương Định nghĩa Quan hệ R... bắc cầu : Ví dụ Quan hệ R trên các chuỗi ký tự xác định bởi aRb nếu a và b có cùng độ dài Khi đó R là quan hệ tương đương Ví dụ Cho R là quan hệ trên R sao cho aRb nếu a – b nguyên Khi đó R là quan hệ tương đương 21 Quan hệ tương đương Cho a và b là hai số nguyên a được gọi là ước của b hay b chia hết cho a nếu tồn tại số nguyên k sao b = ka Ví dụ Cho m là số nguyên dương và R quan hệ trên Z sao cho... {[0]m , [1] m , …, [m – 1] m} 27 28 4 Quan hệ thứ tự Định nghĩa Thứ tự từ điển 29 4 .1 Định nghĩa Ví dụ Cho R là quan hệ trên tập số thực: a R b nếu a ≤ b Hỏi:  R phản xạ không? R đối xứng không?  R phản xứng không? R bắc cầu không? Có Không Có Có 30 Định nghĩa Định nghĩa Quan hệ R trên tập A là quan hệ thứ tự (thứ tự) nếu nó có tính chất phản xạ, phản xứng và bắc cầu Người ta thường ký hiệu quan hệ thứ... các lớp tương đương modulo 8 chứa 0 và 1? Giải Lớp tương đương modulo 8 chứa 0 gồm tất cả các số nguyên a chia hết cho 8 Do đó [0]8 ={ …, – 16 , – 8, 0, 8, 16 , … } Tương tự [1] 8 = {a | a chia 8 dư 1} = { …, – 15 , – 7, 1, 9, 17 , … } 25 Lớp tương đương Chú ý Trong ví dụ cuối, các lớp tương đương [0] 8 và [1] 8 là rời nhau Tổng quát, chúng ta có Định lý Cho R là quan hệ tương đương trên tập A và a, b ∈ A,... Ai Dễ dàng chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên A và [a]R = Ai nếu a ∈ Ai a A2 A1 A4 A3 A5 b Ví dụ Cho m là số nguyên dương, khi đó có m lớp đồng dư modulo m là [0]m , [1] m , …, [m – 1] m Chúng lập thành phân họach của Z thành các tập con rời nhau Chú ý rằng [0]m = [m]m = [2m]m = … [1] m = [m + 1] m = [2m +1] m = … ………………………………… [m – 1] m = [2m – 1] m = [3m – 1] m = … Mỗi lớp tương đương này được... tuyến tính trên S Chương 3 Ví dụ Ví dụ Quan hệ “≤ ” trên tập số nguyên dương là thứ tự toàn phần Ví dụ Quan hệ ước số “ | ”trên tập hợp số nguyên dương không là thứ tự toàn phần, vì các số 5 và 7 là không so sánh được 36 4.2 Thứ tự tự điển Ví dụ Trên tập các chuỗi bit có độ dài n ta có thể định nghĩa thứ tự như sau: a1a2…an ≤ b1b2…bn nếu ai ≤ bi, ∀ i Với thứ tự này thì các chuỗi 011 0 và 10 00 là không ... Ví dụ  Quan hệ R1 = { (1, 1), (1, 2), (2 ,1) } tập A = {1, 2, 3, 4} đối xứng  Quan hệ ≤ Z không đối xứng Tuy nhiên phản xứng (a ≤ b) ∧ (b ≤ a) → (a = b) 10 1. 2 Các tính chất Quan hệ  Quan hệ | ”.. .Chương QUAN HỆ Quan hệ Định nghĩa tính chất Biểu diễn quan hệ Quan hệ tương đương Quan hệ thứ tự 4 1. 1 Định nghĩa Một quan hệ hai từ tập A đến tập B tập tích... 3, 4}, quan hệ:  R1 = { (1, 1), (1, 2), (2 ,1) , (2, 2), (3, 4), (4, 1) , (4, 4)} không phản xạ (3, 3) ∉ R1  R2 = { (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1) , (4, 4)} phản xạ (1, 1), (2, 2), (3, 3),