ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA TS NGUYỄN HỒNG GIÁO TRÌNH KHƠNG GIAN MÊTRIC (CƠ SỞ GIẢI TÍCH) Huế - 2007 MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU A KIẾN THỨC BỔ SUNG § TẬP HỢP SỐ THỰC §2 LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP 10 B KHÔNG GIAN MÊTRIC 16 §1 KHÁI NIỆM MÊTRIC .16 BÀI TẬP .21 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐĨNG 23 BÀI TẬP .30 §3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC .32 BÀI TẬP .37 $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ .38 BÀI TẬP .50 §5 KHƠNG GIAN COMPACT 52 BÀI TẬP .67 §6 KHƠNG GIAN LIÊN THƠNG .69 BÀI TẬP .71 C LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 72 PHẦN A .72 PHẦN B .73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình viết dựa giảng cho sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Huế năm vừa qua Học phần có mục đích trang bị kiến thức giải tích đại mà sinh viên Toán phải nắm Khác với giải tích cổ điển, người ta làm việc chủ yếu tập IRk k số thực, khái niệm giải thích lân cận, giới hạn liên tục… xét không gian tổng quát mà phần tử đối tượng tuỳ ý xác định khoảng cách hai phần tử Ngồi cách chất sâu sắc kiến thức giải thích cổ điển học năm trước, chuẩn bị để học tốt học phần lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm… Các nhiều sách viết không gian mêtric, nhiên người ta thường trình bày kiến thức đủ dùng cho mục đích sách nên chưa có giáo trình tương đối hồn chỉnh riêng cho phần lý thuyết Ở đây, bạn đọc thấy nhiều tập đưa vào với tư cách rèn luyện tư đồng thời xem bổ sung lý thuyết Phần lớn tập có lời giản tóm tắt chi tiết Điều có lẽ mang lại lợi ích thiết thực hạn chế có sách giải tập để giúp cho sinh viên lúc học tập Để học tốt học phần này, nguyên tắc sinh viên cần nắm kiến thức sơ cấp lý thuyết tập hợp ánh xạ, phép qui nạp suy luận logic toán học Cần phải biết diễn tả mệnh đề nhiều mệnh đề tương đương với hiểu vận dụng cách chứng minh hay xây dựng đối tượng qui nạp hữu hạn Tuy nhiên để hiểu sâu sắc làm tập Ở đây, ngơn ngữ hình học dùng để diễn tả khái niệm không gian mêtric, đơi lúc có vấn đề vượt khỏi trực giác suy luận chủ quan thông thường Do với khái niệm, người học thiết phải hiểu thấu định nghĩa, tự tìm ví dụ minh họa cho định nghĩa Như Dieudonne nói: trực quan hình học, với đề phịng thích đáng người hướng dẫn đáng tin tưởng hoàn cảnh tổng quát… Cuốn sách chia làm hai phần Phần kiến thức bổ sung nêu lại cách có hệ thống tính chất tập số thực IR Sinh viên tăng cường ý đến khái niệm infimum suptemum tập số thực cần sử dụng cách thành thạo, biên soạn Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm trường hợp tập đếm được, Phần thứ hai phần chương trình Có nhiều đường để trình bày khái niệm Ở chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thường dùng, mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần giải thích lý đưa tên gọi Tuy nhiên, thiết phải hiểu theo định nghĩa Các khái niệm quan trọng phải kể đến hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ, compact… Đặc trưng phần nặng suy luận tính tốn, nhiều thuật ngữ chồng chất lên làm người học thấy lúng túng Vì sinh viên nên tìm thêm ví dụ hình ảnh trực quan để dễ nhớ Sau nắm lý thuyết, bạn tự giải tập cẩn thận trước xem lời giải Các tập khó có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, phải có thời gian nghiền ngẫm nhiều Tác giả xin cám ơn bạn tổ Giải tích khoa Tốn trường ĐHSP Huế động viên góp ý viết sách Mong nhận phê bình đồng nghiệp gần xa Tác giả A KIẾN THỨC BỔ SUNG § TẬP HỢP SỐ THỰC Chúng ta tiếp xúc nhiều với tập hợp số thực từ chương trình tốn bậc phổ thơng Có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, chẳng hạn dùng nhát cắt Dedekind, dãy bản… tập hợp số hữu tỉ Q Ở với mục đích hệ thống lại kiến thức cần thiết cho giải tích, chọn số mệnh đề làm tiền đề để định nghĩa tập hợp số thực Các tính chất cịn lại suy từ tiên đề 1.1 Định nghĩa: Tập hợp số thực, ký hiệu IR tập với phép toán cọng + nhân xác định đó, thoả mãn tiên đề sau: I (IR, +) nhóm cọng Abel, tức với x, y, z thuộc IR ta có: x+y=y+x x + (y + z) = (x + y) + z (∃ ∈ IR) (∀ x ∈ IR): x + = + x= x (∀ x ∈ IR)(∃ (-x)∈ IR): x + (-x) = II (IR*,.) nhóm phân Abel, IR* = IR \{0}, nghĩa với x, y, z thuộc IR*, ta có: xy = yx x( yz) = (xy) z (( ∃ Є IR*) : x1= 1x = x (∀x ∈ IR*)(∃ x-1∈ IR*): xx -1 = x-1x = (Ở gọn, ta viết xy thay cho x.y) III Phép nhân có tính chất phân phối phép cọng: Với x,y thuộc IR ta có: x(y + z) = xy+ xz Như IR với phép toán cọng nhân lập thành trường IV IR trường thứ tự, nghĩa IR có xác định quan hệ thứ tự ‘≤’ thoả: x ≤ y y ≤ z kéo theo x ≤ z x ≤ y y ≤ z tương đương x = y 3.Với hai phần tử tuỳ ý x,y Є IR x ≤ y y ≤ x x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z với z ∈ IR ≤ x ≤ y kéo theo ≤ xy Nếu x ≤ y x ≠ y ta viết x < y hay y > x V Ta gọi nhát cắt IR cặp (A,B) tập IR cho A, B khác trống, A ∩ B = Ø, IR= A ∪ B với a ∈ A, b ∈ B a < b Tiên đề Dedekink IR trường liên tục, nghĩa là: Với nhát cắt (A,B) tập IR xảy ra: có phần tử lớn A có phần tử nhỏ B khơng thể vừa có phần tử lớn A, vừa có phần tử nhỏ B Phần tử lớn A (hoặc phần tử nhỏ B) gọi biên nhát cắt (A,B) Tập hợp số thực gọi đường thẳng thực 1.2 Các tính chất bản: 1.2.1 Supremum infimum : Cho M tập khác trống IR Số x ∈ IR gọi cận M với y ∈ M y ≤ x, số x ∈ IR gọi cận M x ≤ y với y ∈ M Tất nhiên x cận (tương ứng, cận dưới) với x1 > x ( t.ư… x1 < x) cận (t.ư cận dưới) tập M Cận bé (nếu có) tập M gọi supremum tập M, ký hiệu sup M Như vậy, α = sup M i)∀x ∈ M: x ≤ α ii) (∀α’∈ α < α) (∃ x ∈ M) : α’< x (Điều kiện ii) nói α cận bé nên α’ β) (∃ x ∈ M) : x < β’ Nguyên lý supremum: Mọi tập khác trống IR có cận phải có supremum Cũng vậy, tập khác trống IR có cận phải có infimum Chứng minh: Giả sử M ≠ Ø c cận M Ta xét tập hợp sau: A ={x Є IR : (∃ a ∈ M) x ≤ a}; B ={y Є IR: (∀aЄ M) a < y} Khi A ≠ Ø M ⊂ A; B ≠ Ø với c’ > c c’Є B Với z Є IR z Є A z Є B nên IR = A ∪ B Nếu z Є A∩B có a ∈ M cho z ≤ a < z hay z < z, vô lý nên A∩B = Ø Hơn nữa, x ∈ A , y ∈ B ta có x ≤ a < y với a thuộc M nên x < y Theo định nghĩa, (A,B) nhát cắt IR Gọi m biên (A,B) Khi ta có m = sup A Thực vậy, chẳng hạn m ∈ A theo định nghĩa có a ∈ M để m ≤ a M ⊂ A nên m = a Còn m Є B ∀a ∈ M : a < m Nếu m’ < m m’∉ B tức m’ ∈ A, m’ phần tử lớn A nên có m”∈ A, a ∈ M để m’< m’’ ≤ a < m Phần lại định lý chứng minh tương tự Chú ý: Giả sử M tập khác rỗng IR khơng có cận Khi ta quy ước sup M = + ∞ Tương tự, M khơng có cận dưới, ta quy ước inf M = - ∞ 1.2.2 Ta gọi số a ∈ IR , a > số dương, a < số âm đặt ⎪x⎪ x ≥ 0; ⎪x⎪= - x x < gọi ⎪x⎪là giá trị tuyệt đối số thực x Số a ∈ IR gọi giới hạn dãy số (xn)n ⊂ IR ký hiệu lim xn = a nếu: n →∞ (∀ε > 0)(∃n0)(∀n ≥ n0): ⎟ x – a⎟ < ε Dãy (xn)n gọi đơn điệu tăng (t.ư giảm) xn ≤ xn+1 (t.ư xn ≥ xn+1) với n ∈ N bị chặn (t.ư dưới) tập {xn} có cận (t.ư., dưới) hội tụ (xn) có giới hạn Nguyên lý Weierstrass: Mọi dãy đơn điệu tăng (t.ư.,giảm) bị chặn (t.ư., dưới) hội tụ Chứng minh: Giả sử (xn)n dãy đơn điệu tăng bị chặn Theo nguyên lý supremum, tập {xn} có supremum α Với ε > cho trước, theo điều kiện ii) có số nguyên n0 cho α – ε < xn0 Mặt khác, theo tính đơn điệu tăng dãy (xn), ta có α – ε < xn0 ≤ xn < α + ε với n ≥ n0 Khi đó:⎟ xn – α⎥ < ε với n ≥ n0 Như dãy (xn) hội tụ α Trường hợp (xn) dãy đơn điệu giảm, bị chặn chứng minh tương tự 1.2.3 Các phần tử tập IR: 0, 1, = + 1, = + -1, -2, -3… gọi số nguyên, ký hiệu tập số nguyên Z Tập Z khơng có cận cận Thật vậy, Z có cận α dãy đơn điệu tăng 1, 2, 3… phải có giới hạn α; lúc α – < p với p Z thành α < p + trái với α a cận Ký hiệu Q = { ab-1 = b , a, b Є Z, b ≠ 0} gọi tập hợp số hữu tỉ, N tập số nguyên dương (số tự nhiên) ta có bao hàm thức sau: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b với a > Khi tồn n Є N cho b < na Thực vậy, N khơng bị chặn (tức khơng có cận trên) nên với số b b thực có n ∈ N để a < n hay b < na a 1.2.4 Các tập (a, b) = {x ∈ IR: a < x < b } [a,b] = {x ∈ IR: a ≤ x ≤ b} gọi khoảng (hay khoảng mở) đoạn (hay khoảng đóng) Một dãy đoạn {[an, bn]} gọi thắt lại [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn] lim (b n − a n ) = n →∞ Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đoạn thắt lại có phần tử chung cho tất đoạn Chứng minh: Giả sử ([an, bn])n dãy đoạn thắt lại Ta có: a1 ≤ a2 …≤ an+1 ≤ …≤ bn+1 ≤ bn ≤ … ≤ b1 với n Є N Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (an)n tăng, bị chặn (bởi b1 chẳng hạn) nên hội tụ số ξ = sup {an} Như an ≤ ξ với n Nếu ξ ∉ [ano, bno] với n0 hẳn bno < ξ Đặt ε = ξ - bno Khi với n đủ lớn ξ - a n < ξ - bno tức bno < an! vô lý Vậy ξ Є [an,bn] với n Mặt khác, có ξ’ Є[an,bn] với n thì⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ bn – an Do ≤⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ lim (bn − an ) = n →∞ ’ hay⎥ ξ-ξ ⎥ = nghĩa ξ = ξ’ 1.2.5 Dãy (xn) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Điều tương đương với: (∃a ∈ IR)(∀ n ∈ N):⎟ xn⎟ ≤ a Nguyên lý Bolzano –Weierstrass: Mọi dãy số thực bị chặn (xn)n có dãy hội tụ Chứng minh: Theo giả thiết, tồn số a cho với n Є N ta có – a ≤ xn ≤ a Trong hai giai đoạn [-a,0] [0,a] phải có đoạn chứa vơ số phần tử xn (nếu khơng, hố (xn)n có hữu hạn số hạng) Ta gọi đoạn a1+ b1 [a1,b1].Chia hai đoạn điểm c1= Trong hai đoạn [a1,c1] [c1,b1] có đoạn chứa vơ số xn, ký hiệu đoạn [a2,b2] lại a + b2 v.v Tiếp tục q trình ta thu chia đơi đoạn điểm c2 = 2 dãy đoạn thắt lại [ak, bk] (vì hiển nhiên [ak+1, bk+1] ⊂ [ak, bk] bk – ak a = k → k → ∞) Theo nguyên lý Cantor, dãy đoạn có phần tử chung ∞ ξ Є I [a k , bk ] Vì đoạn [ak, bk] chứa vơ số phần tử xn nên ta k =1 lấy phần tử xn1 ∈ [a1, b1] xn2 ∈ [a2, b2] với n2 > n1, xn3 ∈ [a3, b3], n3 > n2… (xnk)k dãy dãy (xn)n và⎟xnk – ξ⎪ ≤ bk - ak → (k → ∞), nghĩa dãy (xnk) hội tụ ξ 1.2.6 Dãy số thực (xn)n gọi dãy (hay dãy Cauchy) nếu: (∀ε > 0)(∃ n0)(∀ n ≥ n0)(∀ m ≥ n0) : ⎪xn –xm⎪ < ε Nguyên lý Cauchy: Mọi dãy số thực phải hội tụ: Chứng minh: Trước hết ta chứng minh (xn)n phải bị chặn Với ε = 1, tồn n0 để với n ≥ n0 ta có ⎪xn –xno⎪ < hay xno - 1≤ xn ≤ xno + Đặt a = max { ⎪x1⎪,…,⎪xno⎪, ⎪xno⎪+1}, với n -a ≤ xn ≤ a Do theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass, dãy (xn)n có dãy xnk hội tụ ξ Bây với ε > cho trước có n0 cho với m, n ≥ n0 thì⎪xn – xm⎪< ε/2 (xn)n Mặt khác xnk → ξ nên tồn số m0 để n ≥ m0 | xnk – ξ| < ε/2 Đặt n0’ = max(n0, m0) n > n0’ ⎪xn – ξ ⎪ ≤ ⎪xn – xnk ⎪ +⎪ xnk – ξ ⎪ < ε/2 + ε/2 = ε Vậy dãy (xn)n hội tụ ξ điều kết thúc việc chứng minh 1.2.7 Tính trù mật tập Q IR: Định lý: Với cặp số thực (a;b), a < b tồn số hữu tỉ r cho a < r < b Chứng minh: Do tập IR có tính chất Archimède nên có số nguyên n để n > b-a hay b - a > 1/n Tương tự, có số nguyên p để p ≥ nb Gọi q số nguyên bé q-1 q-1 thoả mãn q ≥ n, q-1 < nb hay n < b Lúc a < n a ≥ q-1 q q-1 q-1 dẫn đến b-a ≤ b n < n - n = 1/n trái với b-a > 1/n trở lên Vậy ta n q-1 tìm số hữu tỉ r = n ∈ (a,b) Sự kiện phát biểu định lý gọi tập số hữu tỉ Q trù mật tập số thực IR Cũng từ định lý này, ta suy khoảng (a,b) có chứa vơ số số hữu tỉ §2 LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP Cho tập hợp A, có phần tử đối tượng Ta chưa quan tâm đến chất đối tượng Trước hết thử để ý đến “số lượng” phần tử tập hợp A Có thể xảy hai khả năng: - Nếu đếm hết phần tử tập hợp A A gọi tập hữu hạn số nguyên cuối đếm tới số lượng phần tử tập hợp A - Nếu việc đếm phần tử tập hợp A kết thúc tập hợp A gọi tập hợp vơ hạn - Bây muốn so sánh “số lượng” phần tử hai tập A, B Nếu hai tập có tập hữu hạn việc so sánh trở nên dễ dàng nhờ việc đếm phần tử Trường hợp A lẫn B đề vơ hạn cách đếm khơng thể thực nên chưa so sánh Ta xét ví dụ sau Ký hiệu B tập hợp số tự nhiên chẵn: B = {2,4,6,…, 2n,…} Hiển nhiên B tập thực tập số tự nhiên N = {1, 2,3,…} Tuy nhiên “số lượng” phần tử N nhiều gấp đôi “số lượng” phần tử B Mặt khác, thực chất việc đếm thực đơn ánh từ tập ta đếm vào tập số tự nhiên N muốn biết hai tập hợp có số lượng hay khơng, ta cần xem thiết lập song ánh hai tập ( tức cho tương ứng phần tử tập với phần tử tập kia) hay không Bằng phương pháp này, việc so sánh “số lượng” phần tử tập hữu hạn hay vơ hạn cịn hiệu lực 2.1 Tập hợp tương đương: 2.1.1 Định nghĩa: Ta nói hai tập hợp A, B tương đương với tồn song ánh từ A lên B 2.1.2 Ví dụ: Hai tập hợp hữu hạn có số lượng phần tử tương đương với Ở ví dụ phần mở đầu, hai tập B = {2,4, ,2n,…} N tương đương với ta có song ánh từ N lên B xác định n → 2n, n ∈ N Nhận xét: Tập B có từ N sau bỏ tất số nguyên lẻ B tương đương với N Điều xảy tập hữu hạn 10 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG 2.1 Các định nghĩa Giả sử X không gian mêtric 2.1.1 Lân cận Cho a điểm X a Ta gọi hình cầu mở tâm a bán kính r > X ký hiệu B(a,r) tập {x Є X : d (x,a) < r} gọi r- lân cận điểm a b Tập U ⊂ X gọi lân cận điểm a U có chứa r- lân cận a Tập tất lân cận a ký hiệu N (a) Nói cách khác (U Є N (a)) ⇔ (∃r > : B(a,r) ⊂ U) Theo định nghĩa, r-lân cận a lân cận a 2.2.1 Vị trí tương đối điểm tập: Cho A X x điểm X Có ba vị trí tương đối điểm x A sau: a Có lân cận x chứa A Khi x gọi điểm A (hình 1) b Có lân cận x nằm hoàn toàn A tức tồn U ∈ U (x) cho U ∩ A = Ø Lúc x gọi điểm A (Rõ ràng U ⊂ Ac = X \ A nên x lại trở thành điểm phần bù Ac A) (hình 2) Hình vẽ trang 24 c Bất lân cận x có chứa điểm A điểm Ac, tức với U ∈ N (x): U ∩ A = Ø U ∩ Ac = Ø Khi x gọi điểm biên A Theo đĩnh nghĩa, lúc x điểm biên tập Ac (hình 3) 2.1.3 Tập mở tập đóng: a Tập mở: Tập A ⊂ X gọi tập mở A không chứa điểm biên Các mệnh đề sau tương đương với định nghĩa: i (A mở) ↔(∀x ЄA: X điểm A) ii.(A mở) ↔(∀x Є A ∃ r >0 : B (x,r) ⊂ A) iii.(A mở) ↔(∀x Є A, ∃ U Є N(x) : U ⊂ A) 23 Nhận xét: Theo mệnh đề i) ta có tập X Ø tập mở Ta thường dùng mệnh đề ii) để kiểm tra tập mở b Tập đóng: Tập A ⊂ X gọi tập đóng A chứa tất điểm biên Từ định nghĩa ta suy được: a (A đóng) ↔ (Ac = X\ A mở) Thật vậy, tập điểm A Ac trùng nên A chứa tất điểm biên có Ac không chứa điểm biên ngược lại b Các tập Ø X tập đóng Thật vậy, theo a) tập Xc =Ø Øc = X tập mở 2.1.4 Ví dụ Trong khơng gian mêtric tuỳ ý hình cầu mở tập mở Chứng minh Giả sử B (a,r) hình cầu mở tâm a bán kính r X Khi với x ∈ B(a,r) ta có d(x,a) < r Đặt ε = r - d(x,y) > Xét nhình cầu mở B(x,ε) Ta chứng minh B(x,ε) ⊂ B(a,r) Nếu y Є B(x,ε) d(x,y) < ε Khi d( y,a) ≤ d(x,y) = d(x,a) < ε + d(x,a) = r Nên y ∈ B (a,r) Vậy B(a,r) tập mở Ký hiệu B’(a,r) tập hợp { xЄ X: d(x,a) ≤ r} với r số dương kvà gọi hìnhcầu đóng Ta có B’(a,r) tập đóng lý luận tương tự ví dụ ta thấy X\ B’(a,r) tập mở Tập gồm điểm không gian mêtric tập đóng ln ln chứa điểm biên Giả sử a, b hai số thực Các tập (a,b), (a,+ ∞) mở: tập [a,b], [a,+ ∞] đóng IR Lưu ý: Trong không gian mêtric tuỳ ý X ta có: (A mở) ↔ (Ac đóng) Có thể có tập khơng mở mà khơng đóng Có tập vừa mở, vừa đóng (chẳng hạn, tập Ø, X) 2.2 Các tính chất tập mở tập đóng 2.2.1 Định lý Trong khơng gian mêtric X ta có: a Hợp họ tuỳ ý tập mở tập mở b Giao họ hữu hạn tập mở tập mở Chứng minh: 24 a Giả sử ( Ai )i∈ I họ tập mở Đặt A = U Ai Nếu x ∈ A tồn i∈ I i0 ∈ I để io ∈ Aio Vì Aio mở nên có số dương r cho B(x,r) ⊂ Aio Khi B(x,r) ⊂ U Ai Vậy A tập mở i∈ I b Nếu Ai,…,An tập mở ta đặt A = n I Ai Với x Є A ta có x Є Ai với i =1 i = 1, ,n Mỗi Ai tập mở nên tồn số dương ri cho B(x,ri) ⊂ Ai Đặt r = {r1,…,rn} > 0, B(x,r) ⊂ B(x,ri) ⊂ Ai với i = 1, ,n Do B(x,r) ⊂ n I Ai hay A tập mở i =1 2.2.2 Định lý: Trong không gian mêtric ta có: a) Hợp họ hữu hạn tập đóng tập đóng b) Giao họ tuỳ ý tập đóng tập đóng Chứng minh a Giả sử F1, F2,…,Fn tập đóng.Khi tập F1c ,…, Fnc mở Theo n n công thức De Morgan, ( U Fi )c = I Fi c Áp dụng định lý 2.2.1 ta suy i=1 i =1 n ( U Fi )c tập mở nên i =1 n n U F = (( U F ) i c c i i =1 ) tập đóng i =1 b Chứng minh tương tự a) Chú ý: Giao họ vơ hạn tập mở nói chung chưa tập mở n Chẳng hạn, ta xét họ Gn= (- , ) khoảng mở tập mở IR Khi n ∞ I Gn ={0} lại tập không mở Tương tự, hợp họ tập đóng chưa i =1 tập đóng (Lấy ví dụ, chẳng hạn xét họ Fn= Gnc = (- ∞ , -1/n] ∪[1/n; + ∞ )) 2.3 Điểmtụ, Điểm dính 2.3.1 Định nghĩa Cho A tập X Ta gọi điểm x ∈ X điểm tụ tập A lân cận x có chứa vơ số điểm tập A 2.3.2 Ví dụ 1 n Trong IR cho tập A = { 1, , ,… ,…} Khi A có điểm tụ điểm Mọi điểm thuộc A điểm dính điểm tụ A Mọi điểm tập B = (0,1] điểm tụ B 25 2.3.3.Định lý Điểm x ∈ X điểm tụ tập hợp A lân cận x có chứa điểm A khác với x Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh kiện đủ Giả sử lân cận x có chứa điểm khác với x Cho U lân cận x, ta chứng minh U có chứa vô số phần tử A Theo định nghĩa lân cận, tồn số dương r1 cho B(x,r1) ⊂ U Gọi x1Є A ∩ B(x,r1), x1 ≠ x Lấy số dương r2 < d(x,r1) Xét hình cầu mở B(x,r2) Chọn x2 ∈ A ∩ B(x,r2), x2 ≠ x Hiển hiên x2 ≠ x1 Bằng qui nạp, lấy số dương rn < d(x, xn1) chọn xn Є A ∩ B(x, xn), xn ≠ x với n Є N Ta thấy với n ≠ n’ xn ≠ xn’ Như U có chứa vơ số phần tử xn A Vậy theo định nghĩa, x điểm tụ tập A 2.3.4 Định nghĩa Điểm x Є X gọi điểm dính tập A ⊂ X lân cận x có chứa điểm A 2.3.5 Nhận xét Điểm tụ điểm dính tập hợp A khơng thiết phải thuộc A Nếu x điểm tụ tập A x điểm dính A Ngược lại nói chung khơng x điểm tụ A tồn dãy (xn) A với xn ≠ xn’ n ≠ n’, hội tụ x Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử U lân cận x Khi tồn r > : B(x,r) ⊂ U Do xn → x nên với r > tồn n0 để xn Є B(x,r) với n ≥ n0 Vì ’ n ≠ n xn ≠ xn’ nên U chứa vô số điểm A Điều kiện cần: Lập luận chứng minh điều kiện đủ Định l ý 1 2.3.2 cách chọn rn < n Khi dãy xn Є A hội tụ x d(xn, x) ≤ n x điểm dính A tồn dãy (xn) ⊂ A (các phần tử dãy không cần phân biệt ) hội tụ x x điểm tụ hay điểm dính A x khơng thể điểm ngồi A Vì có lân cận x khơng chứa điểm A 2.3.6 Định lý Tập A đóng A chứa điểm tụ (hoặc điểm dính) Chứng minh Giả sử A đóng x điểm tụ (hay điểm dính) A Lúc x điểm hay điểm biên A nên phải thuộc A Ngược lại x ∉ A x khơng phải điểm tụ (hay điểm dính) A nên x phải điểm ngồi A Vì tồn r > để B(x,r) ∩ A = Ø Do Ac mở tức A đóng Hệ sau dùng thường xuyên để kiểm tra tập hợp đóng 26 2.3.7 Hệ Tập A đóng với dãy (xn) ⊂ A mà xn→ x x phải thuộc A Chứng minh Suy trực tiếp từ định lý 2.3.6 nhận xét 3,4 mục 2.3.5 2.4 Phần bao đóng tập 2.4.1 Phần Cho A tập X Ln ln có tập mở chứa A, chẳng hạn tập Ø a) Định nghĩa Hợp tất tập mở chứa A gọi phần A; ký hiệu A hay int A Hiển nhiên A ⊂ A Như A tập mở lớn chứa A theo định nghĩa G tập mở G ⊂ A G ⊂ A Từ định nghĩa ta có ngay: (A mở) ⇔ (A = A ) b Định lý: Phần A tập A tập hợp tất điểm A 0 Chứng minh Giả sử x Є A Vì A mở nên A lân cận x x điểm A Ngược lại x điểm A có r < để hình 0 cầu mở B(x,r) ⊂ A Theo nhận xét sau định nghĩa B(x,r) ⊂ A Vậy x Є A 2.4.2 Bao đóng Nếu A ⊂ X có tập đóng chứa A (Ví dụ X ⊃ A) a) Định nghĩa Giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng tập A Kí hiệu A Hiển nhiên A tập đóng bé chứa A b) Định lý Bao đóng tập A hợp A tập tất điểm biên A Chứng minh: Kí hiệu ∂ A tập tất điểm biên A A Ta chứng minh A = A ∪ ∂A Nhận xét với tập đóng F ⊃ A tương ứng với tập mở G = Fc ⊂ Ac ngược lại Do đó: A = I F = I G c = ( U G)c F dong ⊃ A G mo ⊂ A c G mo ⊂ A c Vậy 27 xЄ A ⇔x∉ U G , Gmở ⊂ Ac ⇔ x không điểm Ac ⇔ x Є A hay x Є ∂ A Từ đó: A = A ∪ ∂ A Hệ ( A đóng)↔ (A = A ) A tập hợp tất điểm dính A (x Є A )↔(∃(xn) ⊂ A : xn → x) 2.4.3 Các ví dụ Giả sử a, b hai số thực Đặt A = (a,b] 0 A = (a,b), A = [a,b], A =(a,b) Bao đóng tập số hữu tỉ IR tập IR Trong khơng gian mêtric ta có B (a, r) ⊂ B’(a,r) 2.5 Tập hợp trù mật – không gian khả ly 2.5.1 Định nghĩa Giả sử A,B hai tập không gian mêtric X Nếu B ⊂ A ta nói tập A trù mật tập B 2.5.2 Nhật xét Từ định nghĩa, ta thấy (A trù mật B) ⇔ (Với x Є B, x điểm dính A) Điều tương đương với tồn dãy (xn) ⊂ A, xn→ x Nếu A ⊂ B A ⊂ B Do đó, A trù mật B; B trù mật C A trù mật C Thật vậy, ta có C ⊂ B B ⊂ A nên C ⊂ B ⊂ A = A Nếu A ⊂ X A = X tập A gọi tập trù mật khắp nơi (trong X) Ví dụ: Trong IR, tập số hữu tỷ Q trù mật khắp nơi 2.5.3 Định nghĩa Một không gian mêtric X gọi khả ly tồn tập hợp hữu hạn đếm trù mật khắp nơi Có thể chứng tập Q k = Q × × Q (Q tập số hữu tỉ) đếm trù 1442443 k lan k k mật IR Do IR ví dụ không gian mêtric khả ly 2.6 Tập mở đóng đường thẳng thực 2.6.1 Định lý Mỗi tập mở IR hợp số hữu hạn hay đếm khoảng mở không giao 28 Chứng minh Giả sử G tập mở IR Với x Є G tồn r > 0: B(x,r) = (x- r, x+ r) ⊂ G Ký hiệu ∆x hợp tất khoảng mở chứa G có chứa x Ta chứng minh ∆x khoảng mở Thật vậy, đặt p = inf ∆x, q = sup ∆x (p,q (- ∞, + ∞) Với y Є ∆x p < y < q trước hết rõ ràng ta có p ≤ y ≤ q Nếu y = p có khoảng mở chứa x chứa p nên mâu thuẫn với p = inf ∆x Tương tự y q Vậy ∆x ⊂( p,q) Ngược lại y Є( p,q), giả sử p < y < x Theo định nghĩa infimum t y p x q tồn t ∈ ∆ x : p < t ≤ y < x Do có khoảng mở chứa x chứa t Vì y thuộc khoảng mở tức y ∈ ∆x Vậy ∆x = (p,q) Bây ta xét tất khoảng ∆x ứng với điểm x ∈ G Hiển nhiên G = U ∆ x Nhận xét z ∈∆x ∆ x ⊂ ∆x (Vì ∆ z khoảng mở lớn x∈G chứa x) Cho nên với khoảng mở ∆x ∆y ∆x ∩ ∆y = ∅ ∆x = ∆y (vì có z ∈ ∆x ∩ ∆y ∆x = ∆y = ∆z ) Vậy G hợp khoảng mở rời Trong khoảng mở ta chọn số hữu tỉ Vì tập số hữu tỉ đếm nên số khoảng mở lập thành G hữu hạn hay đếm Định lý chứng minh xong Do tập đóng phần bù tập mở nên ta có: 2.6.2 Hệ Mỗi tập đóng IR phần cịn lại sau rút khỏi IR số hữu hạn hay đếm khoảng mở rời Các khoảng mở gọi khoảng kề tập đóng 2.7 Tập mở tập đóng khơng gian: Giả sử X không gian mêtric, Y không gian X A tập Y Để ý rằng, A tập mở (hay đóng) Y chưa A mở (hay đóng) X Tuy nhiên ta có: 2.7.1 Định lý Điều kiện cần đủ tập A mở không gian mêtric Y tồn tập mở G X cho A = G ∩ Y Chứng minh Ký hiệu BX(a,r), BY(a,r) hình cầu mở X Y tương ứng Nếu a ∈ Y BY(a,r) = {y ∈ Y : d(a,y) < r} = Y ∩ B(a,r) Giả sử A tập mở Y, với x ∈ A tồn rx > cho BY(x,rx) ⊂ Y Đặt G = U Bx (x,rx), tức G hợp họ tập mở (trong X) nên i∈ A tập mở X Hơn nữa, 29 A= ⎛ ⎞ U BY ( x ,rx ) = U B X ( x ,rx ) ∩ Y = Y ∩ ⎜⎜ U B X ( x ,rx ) ⎟⎟ = Y ∩ G Ngược lại, ⎠ ⎝ x∈ A cho A = G ∩ Y với G tập mở X Nếu x∈G ∩ A G mở nên tồn r > cho BX(x,r) ⊂ G Thành BY(x,r) = BX(x,r) ∩ Y ⊂ G ∩ Y = A hay A mở Y x∈ A x∈ A 2.7.2 Định lý Điều kiện cần đủ để tập A đóng Y tồn tập đóng F X cho A = Y ∩ F Chứng minh Tập A đóng Y Y \ A mở Y Theo định lý 2.7.1, tồn tập mở G X cho Y \ A= G ∩ A Khi A= Y ∩ (X\G) = Y ∩ F với F = X\G tập đóng Từ định lý ta dễ dàng suy hệ sau 2.7.3 Hệ Để tập A ⊂ Y mở (t ư., đóng) Y mở (t ư., đóng) X, điều kiện cần đủ Y tập mở (t ư., đóng) X BÀI TẬP =∅ 2.1 Giả sử X không gian mêtric, A ⊂ X x ∈ X a) Chứng minh x đểm dính A d(x,A) = Suy ra: (A đóng) ⇔ (d(x,A) = ⇔ x ∈ A) b) Cho ε > chứng minh {x ∈ X : d (x,a) < ε } tập mở {x ∈ X : d (x,a) ≤ ε } tập đóng 2.2 Cho F1, F2 hai tập đóng khơng gian mêtric X cho F1 ∩ F2 a Chứng minh tập G = {x ∈ X : d (x,F1) < d (x,F2)} tập mở, đồng thời F1⊂ G, G ∩ F2 = ∅ b Từ a suy có tập mở G1, G2 cho F1⊂ G1, F2 ⊂ G2 G1 ∩ G2 = ∅ 2.3* Một tập A không gian mêtric X gọi tập kiểu Gδ tập mở kiểu Fσ 2.4 Giả sử A, B tập không gian mêtric Chứng minh: a int(int A) = intA, A = A 0 b Nếu a ⊂ B A ⊂ B 30 0 0 c int (a ∩ B) = A ∩ B Int (A∪B ) ⊃ A ∪ B d A ∩ B = A ∪ B , A ∩ B ⊂ A ∩ B 2.5 Chứng minh không gian không gian mêtric khả ly khả ly 2.6 Ký hiệu c0 tập hợp tất dãy số thực hội tụ Ta xem c0 không gian không gian c (bài tập 1.2) Chứng minh c0 không gian khả ly 2.7 Giả sử X không gian mêtric Y không gian X cho Y = U ∩ V với U, V tập mở, khác trống Y U ∩ V = ∅ Chứng minh tồn tập mở A, B X, A ∩ B = ∅ U = A ∩ Y, V = B ∩ Y 31 §3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 3.1 Định nghĩa tính chất chung Cho hai khơng gian mêtric (X,d1) (Y,d2) Nếu không sợ nhầm lẫn, ta dùng kí hiệu d để d1 lẫn d2 Giả sử f ánh xạ từ X vào Y x0 điểm X 3.1.1 Định nghĩa Ánh xạ f gọi liên tục x0 ε > cho trước, tồn δ > cho d(f(x), f(x0)) < ε với x ∈ X mà d(x, x0) < δ Định nghĩa thường gọi định nghĩa tính liên tục ngơn ngữ ε , δ Ánh xạ f gọi liên tục A ⊂ X f liên tục điểm x ∈ A Một tiêu chuẩn tương đương với định nghĩa thường dùng để khảo sát tính liên tục cách có hiệu sau: 3.1.2 Định lý (Tiêu chuẩn qua dãy) Ánh xạ f liên tục x0 ∈ X dãy (xn)n ⊂ X, xn → x0 dãy f(xn) → f(x0) Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử f liên tục x0 (xn) dãy X cho xn → x0 Ta chứng minh f(xn) → f(x0) Y Cho ε > 0, f liên tục x0 nên có δ > để d(f(x),f(x0)) < ε d(x,x0) trên, có n0 để d(xn, x0) < δ n ≥ n0 Nhưng lúc d(f(x),f(x0)) < ε Vậy f(x) → f(x0) Điều kiện đủ: Giả sử f khơng liên tục x0 Khi tồn ε > cho với δ > tồn x ∈ X : d(x,x0) < δ mà d((f(x),f(xo)) ≥ ε Lấy δ 1, 1 ,…, ,… có x1, x2,…,xn…thuộc X thoả mãn d(xn,x0) < n n d((f(x),f(xo)) ≥ ε Như có dãy (xn) ⊂ X, xn → x0 f(xn) → f(x0), mẫu thuẫn với giả thiết Vậy định lý chứng minh Một khái niệm liên quan chặt chẽ với khái niệm liên tục giới hạn hàm số định nghĩa sau: 3.1.3 Định nghĩa Cho A tập không gian mêtric X f ánh xạ từ A vào không gian mêtric Y, xo điểm dính A Ta nói f 32 có giới hạn l ∈Y x dần đến x0, kí hiệu lim f ( x ) = l ánh xạ F xác định x → x0 x∈A bởi: F: A ∪ {xo} → Y ⎧ f(x), x A \ {x0 } x a F( x ) = ⎨ x = x0 ⎩l, liên tục điểm x0 Diễn tả lại, ta có: ( lim f ( x ) = l ) ⇔ ( ∀ε > 0,∃δ > : ∀x ∈ A x → x0 x∈A < d (x,x0) < δ ⇔ d(f(x), l) < ε) 3.1.4 Địnhlý Cho X, Y hai không gian mêtric f : X → Y ánh xạ Các mệnh đề sau tương đương a) f liên tục X b) với tập đóng F ⊂ Y f -1(F) tập đóng X c) với tập mở G ⊂ Y f -1(G) mở X d) f ( A ) ⊂ f ( A ) với tập A ⊂ X Chứng minh a) ⇒ d) Giả sử y ∈ f( A ) Khi tồn x ∈ A để y = f(x) Theo tính chất bao đóng, tồn dãy (xn) ⊂ A: xn → x f liên tục nên f(A) ∋ f(xn) → f(x) = y Vậy y ∈ f ( A) d) ⇒ b) Giả sử F đóng Y Đặt A = f -1(F) Khi ta có f(A) ⊂ F f ( A) ⊂ F Mặt khác, để ý E tập X ta ln ln có E ⊂ f (f(E)) Do lấy E = A , ta -1 -1 A ⊂ f (f( A ))⊂ f ( f ( A) ) =A Vậy A = A = f -1(F) tập đóng b) ⇒ c) Nếu G mở Y Y/G = Gc Từ f -1(Y/G) = X\f -1(G) đóng X nên f -1(G) mở (trong X) c) ⇒ a) Giả sử x ∈ X ε > Do B(f(x0),ε) mở Y nên f (B(f(x0),ε) tập mở X chứa x0 Vì có số δ > để B(x0,δ) ⊂ f (B(f(x0),ε)) Điều có nghĩa x ∈ X cho d(x,x0) < δ hay x ∈ B(x0,δ) nên f(x)∈ B(f(x0,δ) hay d(f(x), f(x0)) < ε tức f liên tục x0 theo định nghĩa Vậy định lý chứng minh đầy đủ 3.1.5 Định lý Giả sử X, Y, Z ba không gian mêtric, f : X → Y liên tục x0, g : Y → Z liên tục y0 = f(x0) Khi ánh xạ hợp h = g o f : X → Z liên tục x0 33 Chứng minh: Giả sử (xn) ⊂ X xn → x0 Do f liên tục x0 nên f(xn) → f(x0) = y0 lúc g liên tục y0 = f(x0) suy g(f(xn) → g(y0) = g(f(x0) Nói cách khác (g o f)(xn) → (g o f)(x0).Vậy h = g o f liên tục x0 3.2 Ánh xạ đồng phôi 3.2.1 Phép đồng phôi Cho X, Y hai không gian mêtric Giả sử f : X → Y song ánh cho f f -1 ánh xạ liên tục f coi phép đồng phôi từ X lên Y Hai không gian mêtric gọi đồng phôi với có phép đồng phơi từ khơng gian lên khơng gian Ví dụ Lấy X = (a,b), Y = (0,1) hai tập tập số thực IR, X, Y đồng phơi với nhờ phép đồng phôi x a f(x) = − b−a b−a Cho X = IR, Y = (0,1) với mêtric thơng thường chúng đồng phơi với nhờ phép đồng phôi F(x) = π actg x Nhận xét 1.Theo định lý 3.1.4, phép đồng phơi biến tập mở (t.ư., đóng) khơng gian thành tập mở (t.ư., đóng) khơng gian Có thể chứng minh dễ dàng định nghĩa lân cận, điểm tụ, điểm chính, bao đóng, phần trong, tập trù mật,… bất biến qua phép đồng phôi, nghĩa tập A ⊂ X điểm x ∈ X có tính chất kể qua ánh xạ đồng phơi f, tập f(A), điểm f(x) có tính chất Cịn khái niệm hình cầu, khoảng cách, bán kính,… bất biến qua phép đồng phôi 3.2.2 Phép đẳng cự Cho X, Y hai không gian mêtric Một song ánh f từ X lên Y gọi phép đẳng cự với x, x’∈ X ta có d(f(x), f(x’)) = d(x,x’) Hiển nhiên lúc f -1 : Y → X phép đẳng cự ta gọi X, Y hai không gian đẳng cự với Nhận xét 1) Nếu f phép đẳng cự từ X lên Y rõ ràng f phép đồng phôi X Y 2) Cho X không gian mêtric, Y tập Giả sử có song ánh f : Y → X Khi đặt d*(y, y’) = d(f(x), f(y’) d* mêtric Y X, Y hai không gian mêtric đẳng cự 34 3) Theo quan niệm không gian mêtric, X Y đẳng cự chúng đồng với 3.2.3 Mêtric tương đương Cho d1,d2 hai mêtric tập X Khi ta có hai khơng gian mêtric khác (X,d1) X,d2) có chung “tập nền” X Hai mêtric d1,d2 gọi tương đương tôpô ánh xạ đồng id: X → X x ax phép đồng phôi từ không gian (X,d1) lên (X,d2) Nếu tồn số dương m, M cho md(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ Md1(x,y) với x, y ∈ Y d1,d2 gọi hai mêtric tương đương Nhận xét Từ định nghĩa ta suy d1, d2 tương đương chúng tương đương tơpơ điều ngược lại nói chung khơng Hai mêtric tương đương tơpơ tập mở (t.ư.,đóng) hai không gian trùng Tất nhiên khái niệm khác dẫn xuất từ tập mở trùng Hai mêtric tương đương thêm tính chất định tính liên quan đến khoảng cách bất biến 3.3 Suy rộng ánh xạ liên tục Giả sử X, Y không gian mêtric f ánh xạ từ X vào Y Nếu f liên tục với A ⊂ X, thu hẹp f lên A, kí hiệu f⎪A : A → Y f⎪A(x) = f(x) ánh xạ liên tục A Ngược lại cho h : A → Y liên tục với điều kiện tồn ánh xạ F : X → Y liên tục, f⎪A = h? Trước hết ta thiết lập định lý để suy tính suy rộng Định lý 3.3.1 Giả sử f, g hai ánh xạ liên tục từ X vào Y Khi tập hợp A = {x ∈ X : f(x) = g(x)} tập đóng A Chứng minh: Giả sử x0 ∈ A Khi tồn tại dãy (xn) ⊂ A cho xn → x0 Theo tiêu chuẩn qua dãy ta có f(xn) → f(x0) g(xn) → g(x0) Vì xn∈A nên f(xn) = g(xn) với n ∈ N nên f(x0) = g(x0) giới hạn dãy hội tụ Vậy xn ∈ A hay A = A , có nghĩa A đóng 3.3.2.Hệ Giả sử f, g hai ánh xạ liên tục từ X vào Y Nếu f(x) = g(x) với x∈X Ta có X= A ⊂ D =D⊂A 35 Vậy D = X hay f(x) = g(x) với x∈X 3.3.3 Định lý cho X, Y hai không gian mêtric, A tập trù mật X f ánh xạ liên tục từ A vào Y Điều kiện cần đủ để tồn ánh xạ f : X → Y liên tục, thoả mãn f ⎪A = f lim f ( z ) tồn với x ∈ X Khi ánh xạ f z∈ A Chứng minh Trước hết ta diễn tả lại khái niệm giới hạn định nghĩa 3.1.3, nhờ dãy, sau ( lim f ( z ) = l) ⇔ (∀(zn) ⊂ A : (zn → a) ⇒ (f(zn) → l) z∈ A Điều kiện cần Giả sử tồn f liên tục f ⎪A = f Khi ∀x ∈ X ∀(zn) ⊂ A cho zn → x f (zn) → f (x) Nhưng f(zn) = f (zn) nên f(zn) → l = f (x) tức giới hạn lim f ( z ) tồn với x∈X z∈ A Điều kiện đủ Với x ∈ X đặt f (x) = lim f ( z ) Nếu x ∈ A hiển nhiên z∈ A f (x) = f(x) tức f = f Ta chứng minh f liên tục Giả sử x ∈ X (xn)n dãy X hội tụ đến x Theo cách đặt, ta có f (xn) = lim f ( z ) Do đó, theo điều diễn tả lại nói trên, với n ∈ N tồn zn ⎪A z∈ A 1 d ( f ( xn ), f ( z n )) < n n Vì d(zn,x) ≤ d(zn,xn) + d(xn,x) < + d(xn,x) → )( n → ∞ ) n tức zn → x, zn ∈ A nên f (x)= lim f(zn) ∈ A cho d(zn, xn) < x →∞ Suy ra: d( f (xn), f (x)) ≤ d( f (x), f (zn)) + d( f (zn), f (xn)) d( f (zn), f (x)) → ( n → ∞ ) n Điều có nghĩa f liên tục x∈X x nên f liên tục X < Tính f suy từ hệ 3.3.2 Nhận xét Một số hàm số liên tục IR xem suy rộng hàm sốliên tục xác định tập số hữu tỉ Q trù mật IR, chẳng hạn hàm số mũ mở rộng lũy thừa 36 BÀI TẬP 3.1 Giả sử f ánh xạ không gian mêtric X vào Y Chứng minh mệnh đề sau tương đương a f liên tục x0 ∈ X b Nếu V ∈ N(f(x0) f-1 (V) ∈ N(x0) c.Với V∈ N(f(x0) tồn U ∈ N(x0) : f(U ⊂ V) 3.2 Chứng minh ánh xạ từ C[a ,b ] vào IR cho công thức sau liên tục b a x(t) → f(x) = ∫ x (t )dt a b x → f(x) = x(a) 3 Cho F1 F2 hai tập đóng khơng gian mêtric X Đặt A = F1 ∪ F2 f : A → Y ánh xạ xác định A Chứng minh f⎪F1, f⎪F2 ánh xạ liên tục f liên tục A 3.4* Cho X, Y, Z không gian mêtric, f : X → Y, g : Y → X ánh xạ liên tục Chứng minh f tồn ánh cịn gof phép đồng phơi X lên Z ánh xạ f, g phép tốn đồng phơi 3.5 Trong tập IRk ta xét mêtric sau: k ∑ (x d1(x,y) = i − y i )2 i =1 d2(x,y) = max x i − y i i= k d3(x,y) = k ∑x i − yi i =1 k k k Với x = (x ,…,x ), y = (y ,…,y ) ∈ IR Chứng minh ba mêtric tương đương với 37 ... minh không gian không gian mêtric khả ly khả ly 2.6 Ký hiệu c0 tập hợp tất dãy số thực hội tụ Ta xem c0 không gian không gian c (bài tập 1. 2) Chứng minh c0 không gian khả ly 2.7 Giả sử X không gian. .. chứng minh 1. 4 Khơng gian metric khơng gian metric tích 1. 4 .1 Định nghĩa Giả sử (X,d) không gian metric Y tập khác trống X Nếu xét hàm thu hẹp d’ hàm d lên tập Y x Y : d\Y x Y hiển nhiên d’ metric. .. hiệu Skm +1 tập hợp tất dãy có dạng (ai1, ai2,…,aim, ak) Giữa Skm +1 Sm có song ánh cho (ai1, ai2,…,aim,ak) → ∞ (ai1,ai2,…,aim) nên Skm +1 đếm Mặt khác Sm +1 = U S mk +1 nên Sm +1 đếm k =1 theo định