Chương KHÔNG GIAN VECTOR I KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTOR: 1.Khái niệm trường: Ðịnh nghĩa: Cho tập hợp K có phần tử Giả sử K trang bị phép toán đại số cộng (+) nhân (.) Khi K gọi trường điều kiện sau thỏa: (i) (tính giao hoán phép toán +) (ii) (tính kết hợp phép toán +) (iii) Trong tập hợp K tồn phần tử không , ký hiệu 0, cho (iv) Với a, cho , tồn phần tử đối a, ký hiệu - (v) (tính giao hoán phép toán.) (vi) (tính kết hợp phép toán.) (vii) Trong tập K tồn phần tử đơn vị, ký hiệu 1, cho: (viii) Với a, ký hiệu a-1, cho tồn phần tử nghịch đảo (ix) (tính phân phối phép nhân phép cộng) Nhận xét: Trong định nghĩa ta kiểm chứng phần tử phần tử trường K nhất, , phần tử -1 a nhất, a≠0, phần tử nghịch đảo a Ví dụ trường: 1) Tập hợp R số hữu tỉ với phép toán cộng (+) nhân (.) thông thường trường 2) Tập hợp R số thực với phép toán cộng (+) nhân (.) thông thường trường Tập hợp số phức C với phép toán (+) (.) số phức trường 3) với phép toán (+) (.) trường: Ðịnh nghĩa không gian vector: Ðịnh nghĩa: Giả sử V tập hợp khác rỗng K trường Ta nói V không gian vector trường K K không gian vector tập V ta có trang bị phép toán đại số (gọi phép cộng ký hiệu dấu +) có phép nhân (.) với cho kết phần tử thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tính giao hoán phép cộng V: (ii) Tính kết hợp phép cộng V: (iii) Tồn phần tử không V, ký hiệu 0, cho: (iv) Với , tồn phần tử đối, ký hiệu -v thoả mãn: v + (-v) = (v) Với , với u v thuộc V, ta có: (vi) (vii) (viii) Nhận xét: dễ dàng thấy phần tử V nhất; với , phần tử -v Các phần tử không gian vector V gọi vector Các phần tử trường K gọi vô hướng Trong trường hợp K = R (trường số thực) V gọi không gian vector thực Nếu K = R ta gọi V không gian vector phức Từ phép cộng vector không gian vector V ta định nghĩa phép trừ (-) vector công thức sau đây: u - v = u + (- v) Từ chứng minh tính chất phân phối phép trừ: Sau số tính châ1t đơn giản không gian vector suy dễ dàng từ định nghĩa Tính chất: Các ví dụ không gian vector: Ở nêu lên định nghĩa tổng quát không gian vector trường K Trường K gọi trường sở Trong áp dụng lĩnh vực khác không gian vector tập hợp khác Trong mục nêu lên số ví dụ quan trọng không gian vector Ví dụ 1: với K trường , xét tập hợp gồm tất n phần tử K Trên K , xét phép toán định nghĩa sau: n Với : với Dễ dàng kiểm chứng phép toán thoả mãn tất tính chất nêu định nghĩa không gian vector Vậy Kn không gian vector K Trong giáo trình thường xuyên làm việc với không gian vector Rn Cn Nhận xét: Tập hợp vector tự mặt phẳng với phép toán cộng vector phép toán nhân vector với số thực thông thường (đã biết chương trình toán phổ thông) không gian vector trường số thực Về mặt tính toán tọa độ vector mặt phẳng Oxy, nói không gian vector không gian vector R2 Tương tự, tập hợp vector tự không gian không gian vector trường số thực Đây không gian R3 Ví dụ 2: Với K=R C, đặt Mmxn(K) tập hợp tất ma trận có phần tử thuộc K, m n số nguyên dương cho trước Tập hợp Mmxn(K) với phép cộng ma trận phép nhân số với ma trận thông thường không gian vector trường K Ví dụ 3: Đặt Rn[x] tập hợp tất đa thức với hệ số thực có bậc lớn n, n số nguyên dương, đặt R[x] tập hợp tất đa thức với hệ số thực Với phép toán cộng đa thức phép toán nhân số với đa thức thông thường R[x] Rn[x] không gian vector R Ví dụ 4: Gọi C[a,b] tập hợp tất hàm số f(x) liên tục đoạn [a,b] Định nghĩa phép toán C[a,b] sau: Nếu Dễ dàng kiểm chứng C[a,b] không gian vector R, phần tử không hàm số zero, tức hàm với x, phần tử đối f -f với II KHÔNG GIAN VECTOR CON: Ðịnh nghĩa: Cho V không gian vector trường K W tập hợp khác rỗng V Khi W gọi không gian vector V W không gian vector K ứng với phép toán (+) (.) V ta hạn chế chúng W Ví dụ: Tập hợp {0} V không gian vector không gian vector V Để kiểm tra tập hợp có phải không gian vector V không ta cần kiểm tra điều kiện nêu định lý sau đây: Định lý: Tập không gian vector V không gian V điều kiện sau thỏa: (i) (ii) Ghi chú: điều kiện (i) (ii) định lý thay điều kiện đây: Ví dụ:Cho K=R C, A ma trận cấp mxn với phần tử thuộc K Đặt: tức W tập hợp tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A Ta chứng minh W không gian vector Kn Cho Ta có: , tùy ý thuộc W Suy ra: nghĩa Vậy W không gian vector Kn Không gian giao, không gian tổng: Định lý: Giao họ không gian V không gian V Chứng minh: Xét Trong họ không gian V Vì nên (tùy ý) Khi Giả sử nên suy Vậy W không gian V Định lý: Giả sử W1 W2 không gian không gian vector V Đặt: Khi W1 + W2 không gian vector V, gọi không gian tổng W1 W2 Lưu ý: trường hợp viết gian W1 W2 , không gian tổng gọi tổng trực tiếp không III SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH: Ðịnh nghĩa tổ hợp tuyến tính: Định nghĩa: Cho V không gian vector trường K vector thuộc V Một vector tổ hợp tuyến tính vector hướng cho : gọi tồn vô Đẳng thức gọi dạng biểu diễn tuyến tính x theo Ví dụ: 1) vector tổ hợp tuyến tính vector vector vì: tổ hợp tuyến tính v1 , v2 ngược lại tồn cho mà hệ phương trình (*) với ẩn mâu thuẫn vô nghiệm nên có 2) Vector luôn tổ hợp tuyến tính họ vector 3) Trong không gian vector V=Rn cho m vector Trong không gian (C[a,b],R) với tích vô hướng tích phân, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có dạng Định nghĩa trực giao trực chuẩn Cho V không gian Euclide Khi đó: i) Hai vector ii) Hệ vector trực giao trực giao trực giao vector đôi một, nghĩa iii) Hệ vector trực chuẩn hệ trực giao gồm toàn vector đơn vị Định lý Mọi hệ vector trực giao khác không gian Euclide độc lập tuyến tính không Chứng minh Giả sử với Khi cách nhân vô hướng hai vế đẳng thức với ui sử dụng tính trực giao họ vector cho ta Mà chứng tỏ Điều nên độc lập tuyến tính Định nghĩa sở trực giao Một sở trực giao (tương ứng, sở trực chuẩn) không gian Euclide sở mà vector tạo thành hệ trực giao (tương ứng, trực chuẩn) Định lý Cho V không gian Euclide n chiều Khi tồn V sở trực chuẩn Định lý chứng minh thông qua trình giao hóa Gram – Schmidt sau đây: Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt Bước 1: Chọn Bước 2: Xây dựng sở trực giao sở V V sau: Chứng minh Ta cần chứng minh vector xây dựng Bước tạo thành hệ trực giao khác không V (các kết khác hiển nhiên việc kiểm chứng dành cho độc giả) Trước hết dễ thấy tính khác không hệ vector suy trực tiếp từ tính độc lập tuyến tính hệ Ta kiểm chứng qui nạp theo k vk trực giao với chất tích vô hướng ta có với Nhưng theo giả thiếp qui nạp nên hệ thức trở thành Thật vậy, từ tính : với khẳng định chứng minh Ví dụ Trong không gian R4 cho vector Hãy tìm sở trực chuẩn không gian Giải Dễ thấy độc lập tuyến tính chúng tạo thành sở trực chuẩn W Ta xây dựng sở trực chuẩn W trình trực giao hóa Gram-Schmidt Đặt Bây cần chuẩn hóa vector : Khi sở trực chuẩn W Định nghĩa ma trận trực giao Cho Ta nói A trực giao nghĩa A khả nghịch A-1 = AT , Ví dụ Ta có A trực giao Cho Suy A khả nghịch Định lý Nếu ma trận đối xứng có ma trận trực giao cho P-1AP ma trận chéo Khi ta nói A chéo ma trận trực giao P Thuật toán chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao Để chéo hóa ma trận đối xứng giao ta thực bước sau ma trực Bước 1: Tìm sở B1 Rn gồm toàn vector riêng A Bước 2: Xây dựng sở trực giao B2 từ sở B1 trình trực giao hóa Gram-Schmidt Suy sở trực chuẩn B Rn gồm vector riêng A Gọi B0 sở tắc Rn ma trận trực giao cần Khi P tìm Ví dụ Cho ma trận đối xứng Ta chéo hóa A ma trận trực giao P Bước Tìm sở R3 gồm toàn vector riêng A: Ta có đa thức đặc trưng A có trị riêng c1= c2 = Cơ sở không gian riêng E1=E(0) Cơ sở không gian riêng E2=E(3) Vậy sở R3 gồm toàn vector riêng A nên A Bước Từ sở B3 , ta xây dựng sở trực chuẩn B R3 với Gọi R3 Ma trận chuyển sở từ B0 sang B là sở tắc Khi ta có P ma trận trực giao cần tìm Đưa dạng toàn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao Xét dạng toàn phương với ma trận A dạng toàn phương sở tắc Rn ma trận đối xứng Khi tồn sở trực chuẩn A: gồm vector riêng ma trận chuyển sở trực chuẩn, P ma trận trực giao, nghĩa là: Giả sử A’ ma trận Q B Thế A’ ma trận chéo với đường chéo trị riêng tương ứng với vector riêng uj theo (2) ta có: Nếu có tọa độ sở B là: A’ có dạng chéo nên Do A có đa thức đặc trưng nên A’ trị riêng A Ví dụ Giả sử Q dạng toàn phương không gian vector Euclide R3 xác định Đa thức đặc trưng A với Vậy c1= c2 = -1 trị riêng A Cơ sở không gian riêng Cơ sở không gian riêng Vậy sở R3 gồm toàn vector riêng A Thực trình trực giao hóa, ta thu sở trực chuẩn Và ma trận P phép chuyển sở tắc sang sở trực chuẩn Nếu có tọa độ sở hay thay biểu thức dạng toàn phương cho Q(u), ta dạng tắc toàn phương gồm tổng bình phương BÀI TẬP CHƯƠNG Bài Viết ma trận dạng song tuyến tính R3, a) b) Bài Tìm ma trận dạng toàn phương R3 có biểu thức tọa độ sau: a) b) c) Bài 3.Cho dạng toàn phương sau viết dạng ma trận Hãy viết chúng dạng thông thường: a) b) Bài Tìm biểu thức tọa độ dạng toàn phương sau thực phép biến đổi tọa độ tương ứng: a) Bài Trong không gian R3, đưa dạng toàn phương sau dạng tắc thuật toàn Lagrange: a) b) c) Bài Trong không gian R4, đưa dạng toàn phương sau dạng tắc thuật toán Lagrange: a) b) Bài Đưa dạng toàn phương sau dạng chuẩn tắc: a) b) c) Bài Trong không gian R4, đưa dạng toàn phương sau dạng tắc Biện luận theo số quán tính dạng toàn phương này: a) b) Bài Chứng minh cấu trúc E không gian Euclide: số thực dương cho trước; b) hàm thực cho trước, liên tục dương [a,b]; Bài 10 Cho V không gian Euclide minh rằng: Chứng a) b) c) d) Nếu u = v e) Nếu tập hợp trực giao V f) Nếu sở trực chuẩn V Bài 11 Hãy xác định m để : a) b) Bài 12 Xây dựng sở trực giao sở trực chuẩn từ sở sau R3: a) b) Bài 13 Tìm ma trận trực giao P cho P-1AP ma trận chéo Bài 14 Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao: a) b) c) d) e) f) [...]... (1,3 ,2) ,u1 = (1,1,1), u2 = (1,0,1), u3 = (0,1,1) b) u = (7,17,14),u1 = (1 ,2, 3), u2 = (2, 1 ,2) , u3 = (1,4 ,2) c) u = (1,3,4),u1 = (1 ,2, 3), u2 = (3 ,2, 1), u3 = (2, 1,0) Bài 10: Trong các câu sau, hãy tìm mối liên hệ giữa a,b,c,d để vector u = (a,b,c,d) là tổ hợp tuyến tính của các vector u1,u2,u3 a) u1 = (1 ,2, 1,1) ,u2 = (1,1 ,2, 1) ,u3 = (1,1,1 ,2) b) u1 = (1,1,1,0) ,u2 = (1,1,0,1) ,u3 = (1,0,1,1) c) u1 = (0,1 ,2, 3)... và Ta có: 2) Cho W là một không gian vector con của R4 gồm các vector thỏa hệ phương trình tuyến tính: Tìm một tập hợp sinh của W Biến đổi sơ cấp theo dòng trên ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính ta có: Suy ra hệ phương trình tương đương với hệ phương trình mới sau đây: Hệ số có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do  Suy ra một tập hợp sinh của W gồm các vector Mệnh đề: Giả sử W1 và W2 là các không... so sánh từng thành phần tương ứng của các vector ở 2 vế của (1) ta được: là một hệ phương trình tuyến tính theo các ẩn phương trình với: Ma trận hệ số là : = ma trận gồm các vector cột và cột hệ số vế phải là gồm n là một tổ hợp tuyến tính của các vector Vậy khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (2) có nghiệm Áp dụng: Tìm m để cho vector v = (1,m,3) là một tổ hợp tuyến tính của 2 vector , và viết... một cơ sở của không gian con thành các cơ sở của W1 và W2 như sau: Bổ túc (1) tương ứng (2) (3) Ta chỉ cần chứng minh họ các vector sau đây lập thành một cơ sở của W1+W2: (4) Xét vector Vì v là một tổ hợp tuyến tính của (2) , w là một tổ hợp tuyến tính của (3) nên rõ ràng u là một tổ hợp tuyến tính của (4) Vậy họ (4) sinh ra không gian vector W1+W2 Bây giờ giả sử (5) trong đó khi đó ;; (6) Viết Suy ra... trên R ? Bài 4: Cho V = R2 Tìm một phản ví dụ chứng tỏ rằng V không là một không gian vector trên R nếu ta định nghĩa các phép toán (+) và (.) trên V bởi: a) và b) c) và và Bài 5: Trong các tập con W sau đây của K3 thì tập hợp nào là không gian con của K3 với các phép toán cộng và nhân thông thường ? a) b) c) d) e) Bài 6: Cho là không gian các ma trận vuông cấp n trên K với phép toán cộng và nhân thông... S1 và S2 Khi ấy không gian tổng W1 + W2 có một tập hợp sinh là Nói cách khác Ví dụ: Trong không gian vector R4 cho các vector Gọi W1 là không gian và vector con sinh bởi bởi và W2 là không gian vector con sinh điều Tìm kiện để vector , nghĩa là tìm W Theo mệnh đề trên thì W sinh bởi , nên vector khi và chỉ khi Điều kiện này có nghĩa là hệ phương trình (với ẩn là sau đây có nghiệm Hệ phương trình. .. thường, nghĩa là: với các phép toán cộng và nhân thông Chứng minh rằng V là một không gian vector trên K Bài 2: Cho V là tập hợp tất cả các hàm số phép toán cộng và nhân thông thường, nghĩa là : với các Chứng minh rằng V là một không gian vector trên R ? Bài 3: Cho V là tập hợp tất cả các hàm thực, liên tục, dương trên đoạn [-a,a] (a>0) Trên V ta định nghĩa các phép toán (+) và (.) như sau: Chứng... tuyến tính của 2 vector , và viết v thành tổ hợp tuyến tính của Điều kiện để v là tổ hợp tuyến tính của là hệ phương trình tuyến tính theo 2 ẩn với ma trận mở rộng là có nghiệm Dùng phương pháp Gauss – Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính ta tìm được m = 3, và trong trường hợp này nghiệm 2 Ðịnh nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính Định nghĩa: cho V là một không gian vector trên trường... có và là 2 cơ sở được sắp khác nhau của R2 (mặc dù B = B’) 2. Ðịnh lý và Ðịnh nghĩa Cho V là một không gian vector n chiều trên K và là một cơ sở được sắp của V Khi đó, với mọi , tồn tại duy nhất một vector Khi đó ta ký hiệu: trong cơ sở B sao cho và ta gọi là tọa độ của vector u Tồn tại: Vì B là một cơ sở của V nên , do đó tồn tại Chứng minh: sao cho (1) Duy nhất: Giả sử tồn tại , sao cho (2) Khi đó... thì có độc sao cho …………… Vì V hữu hạn chiều nên quá trình trên sẽ dừng lại sau một số hữu hạn bước, cuối cùng ta được tập hợp sở của V chứa S là một cơ Ví dụ: Ta có tập hợp độc lập tuyến tính trong R3 nên ta có thể thêm vào S một vector để có một cơ sở của R3 Thật vậy, chẳng hạn lấy ta có độc lập tuyến tính nên là cơ sở của R3 5 Ðịnh lý 2 Cho W1,W2 là các không gian con của không gian vector V hữu ... B sang B’ Bài 21 : Trong R3, cho vector u1 = (2, 1,-1), u2 = (2, -1 ,2) , u3 = (3,0,1), v1 = (-3,1 ,2) , v2=(1, -2, 5) v3= (2, 4,1) a) Chứng tỏ R3 sở thỏa u=(1 ,2, 3), b) Cho Hãy tìm Bài 22 : Trong R4,... x + x2 Bài 20 : Cho W không gian K4 sinh vector u1 = (1 ,2, 2,1), u2 = (0 ,2, 0,1) u3 = ( -2, 0,-4,3) a) Chứng tỏ sở V b) Tìm điều kiện để tìm [u]B Với điều kiện c) Cho v1 = (1,0 ,2, 0), v2 = (0 ,2, 0,1),... (1 ,2, 3), u2 = (3 ,2, 1), u3 = (2, 1,0) Bài 10: Trong câu sau, tìm mối liên hệ a,b,c,d để vector u = (a,b,c,d) tổ hợp tuyến tính vector u1,u2,u3 a) u1 = (1 ,2, 1,1) ,u2 = (1,1 ,2, 1) ,u3 = (1,1,1 ,2)