Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 tháng 10 năm 2013 1 Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Định lý Croneker - Capelli Hệ Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo Phương pháp định thức Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a  21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2  (1)        a x + a x + ··· + a x = b m1 m2 mn n m        a11 · · · a1n   x1   b1   a   21 · · · a2n      Ma trận A =   , X =   , B =   gọi ma        xn bm am1 · · · amn trận hệ số, ma trận biến số ma trận hệ số tự (1) Khi đó: (1) ⇔ AX = B (2) A = (A|B) gọi ma trận hệ số mở rộng (1) Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm    a1j    Ma trận Aj =   , j ∈ {1, , n} gọi ma trận cột thứ j A   amj Khi đó: (1) ⇔ A1 x1 + · · · + An xn = B (3) T - α = (α1 , α2 , , αn ) gọi nghiệm (2) Aα = B Các cách viết nghiệm (1): (α1 , α2 , , αn ) x1 = α1 , x2 = α2 , , xn = αn - Hai hệ phương trình có ẩn số gọi tương đương chúng có tập nghiệm Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Định nghĩa Có phép biến đổi sơ cấp dòng: P1: Hoán vị dòng P2: Nhân dòng với số λ P3: Nhân dòng với số λ cộng vào dòng khác Định lý Các phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận hệ số A tương ứng biến hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương với Ví dụ:   x + 2y + z + t =    −x + y − 2z − t = −3 Xét hệ phương trình:     2x + 6y + 3z + 2t =    1     −1 −2 −1 −3  d2 →d2 +d1  A =   −−−−−−−−−→    d3 →d3 −2d1  1 −1 −1      Hệ phương trình tuyến tính Định lý Croneker - Capelli Định lý (Croneker - Capelli) Hệ (1) vô nghiệm ⇔ rankA < rank(A) Hệ (1) có nghiệm ⇔ rankA = rank(A) Hệ (1) có nghiệm ⇔ rankA = rank(A) = n Hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ rankA = rank(A) < n Hệ phương trình tuyến tính Định lý Croneker - Capelli Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình sau:   x + 2y + z =    −x + y − 2z =     2x + y + 3z = m Ta có ma trận hệ số hệ phương trình:  2  d →d +d   2 A = (A|B) =  −1 −2  −−−−−−−−−→   d3 →d3 −2d1 m       d3 →d3 −d2    −1  −−−−−−−−→  −1    −3 m − 0 m−1      Nếu m = : rank(A) = = rank(A) < ⇒ Hpttt có vô số nghiệm Nếu m : rank(A) = < rank(A) = ⇒ Hpttt vô nghiệm Hệ Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo Định nghĩa Hệ Cramer hệ phương trình tuyến tính thỏa điều kiện: Số phương trình số ẩn Ma trận hệ số A có định thức khác không Hệ Cramer có nghiệm Hpttt (1) ⇔ AX=B Vì |A| nên A khả nghịch Do đó, X = A−1 B Hệ Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo Ví dụ:   2x + y − z =    y + 3z = Giải hệ phương trình:     2x + y + z = −1 −1 Ta có |A| = = nên hệ cho hệ Cramer 1    −2 −2   −6  Ta tìm A−1 =    −2      −2 −2     −12 1  −6    =  24 Từ ta X = A−1 B =     −2  −4 −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (−3, 6, −1)      −3      =      −1 Hệ Cramer Phương pháp định thức Gọi D = |A| Dj định thức ma trận có cách thay cột j A B Dj Khi đó, hệ Cramer có nghiệm với xj = , j = 1, n D Ví dụ:   2x + y − z =    y + 3z = Giải hệ phương trình     2x + y + z = −1 −1 Ta có D = |A| = = nên hệ cho hệ Cramer 1 1 −1 −1 3 = − 12 = 24 D2 = D1 = −1 1 −1 1 D3 = = − −1 D1 D2 D3 , ) = (−3; 6; −1) Vậy: Hpttt có nghiệm (x, y, z) = ( , D D D Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận hệ số A dạng bậc thang theo dòng Trong trình biến đổi, lưu ý: Nếu có dòng tỉ lệ với bỏ dòng Bỏ tất dòng không (nếu có) Nếu có dòng có dạng (0 · · · 0|a) với a 11 hpttt vô nghiệm Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss   x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4    2x Ví dụ: Giải hệ phương trình  + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5    3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2      −5 −2 −4   −5 −2 −4      Ta có A =  12 −18 −5 −5  −→  0 −8 −1  −→     0 −8 10 18 −23 −6 −2    −5 −2 −4   0 −8 −1      0 0 Ta  có hệ phương trình tương đương     x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4  x5 =     2x − 8x − x = x3 = 4x4 + ⇔         x1 = −6x2 − 3x4 x5 = Vậy tập nghiệm hệ {(−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R} 12 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan Sau đưa ma trận hệ số dạng bậc thang theo dòng theo phương pháp Gauss, ta tiếp tục biến đổi cho Phần tử khác không dòng phần tử khác không cột tương ứng Các phần tử khác không dòng phải 13 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ:   x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4    2x + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5 Giải hệ phương trình     3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2 Sau dùng phương pháp Gauss    biến đổi ta −5 −2 −4    −5 10   0 −8 −1    −→  0 −8 10  −→     0 0 0 0      0   0   0 −8 10  −→  0 −4      0 0 0 0 Ta  có hệ phương trình  tương đương   x + 6x + 3x =     x1 = −6x2 − 3x4   x − 4x = ⇔     x3 = 4x4 +     x5 = x5 = Vậy nghiệm tổng quát hệ (−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R 14 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ:   mx + y + z =    x + my + z = Giải biện luận hệ phương trình:     x + y + mz = Cách 1: Gauss/Gauss-Jordan      m 1   1 m   m 1  A =   −→  m 1  −→     m 1 1 m    m 1 m      m −  m − 1 − m − m 0  −→      − m − m2 − m 0 − m − m2 − m    1 −2    Nếu m = −2 : A −→  −3  ⇒ Hệ vô nghiệm   0 Nếu m = : A −→ 1 1 ⇒ Hệ tương đương x + y + z = ⇔ x = − y − z Nghiệm tổng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R 15      Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan    ∧ m −2 : A −→     1  m     −1  −→    0 2+m       m +      −→   m +     0  m+2 m m−1 1−m Nếu m − m − m2 − m   m   1   −1  −→     0 m +    1   m +         m +     0 m+2 1 , , ) ⇒ Hệ có nghiệm (x, y, z) = ( m+2 m+2 m+2     −→  Vậy: m=-2: Hệ vô nghiệm m=1: Hệ có vô số nghiệm dạng tổng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R m 1∧m 1 −2: Hệ có nghiệm (x, y, z) = ( m+2 , m+2 , m+2 ) 16 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Cách 2: Cramer+Gauss/Gauss-Jordan m 1 Ta có D = |A| = m = m3 − 3m + = (m − 1)2 (m + 2) 1 m |A| = ⇔ m = −2 ∨ m =     1   −2  1 −2      Nếu m = −2 : A =  −2 1  −→  −3  ⇒ Hệ     1 −2 0 vô nghiệm    1 1    Nếu m = : A =  1 1  −→ 1 1 ⇒ Hệ tương   1 1 đương x + y + z = ⇔ x = − y − z suy hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R 17 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan ∧ m −2 : 1 D1 = m = m2 − 2m + = (m − 1)2 1 m Tương tự ta tính m 1 D2 = 1 = m2 − 2m + = (m − 1)2 , 1 m m 1 D3 = m = m2 − 2m + = (m − 1)2 1 1 ⇒ Hệ có nghiệm x = y = z = m+2 Nếu m 18 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Hpttt có ma trận hệ số tự không gọi hpttt   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn =    a x + a x + ··· + a x =   22 2n n  21        a x + a x + ··· + a x = m1 m2 mn n 19 Hệ phương trình tuyến tính Hpttt có nghiệm tầm thường (x1 , , xn ) = (0, , 0) Do ta có rankA = rank(A) nên theo Croneker-Capelli Nếu rankA=n hpttt có nghiệm tầm thường Nếu rankA < n hpttt có vô số nghiệm Trong trường hợp hpttt có số phương trình số ẩn Nếu |A| hpttt có nghiệm tầm thường Nếu |A| = hpttt có vô số nghiệm Lưu ý Khi giải hpttt phương pháp Gauss Gauss-Jordan cần biến đổi dòng ma trận hệ số ẩn A (do B=0) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Tìm m để hệ sau có nghiệm không tầm thường   mx − 3y + z =    2x + y + z =     3x + 2y − 2z = m −3 1 =0 −2 ⇔ − 2m − + − − 12 − 2m = ⇔ − 4m − 20 = ⇔ m = −5 Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ 21 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm hệ sau   x − 2y − z =     −x + y − z =    3x − 5y − z =     2x − 3y + mz =    −1  −2 −1   −2  −1  −1 −1  −2   −→  Ta có A =     −5 −1   −3 m m+2     −1   −2  −2 −1     2    −→      m+2 0 m Vậy:      −→   Nếu m = 0: rank(A)=2 < ⇒ Hệ có vô số nghiệm Nếu m 0: rank(A)=3 ⇒ Hệ có nghiệm tầm thường Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Giải hpttt sau   x −y+z−t=0    x + 2z − t =     x + y + 3z − t =      −1 −1   −1 −1   1   −1  Ta có A =   −→  −→      2 1 −1 −1 −1 −1 −→ 1 0 1 x = −2z + t x + 2z − t = Hpttt ⇔ y = −z y+z=0 Vậy nghiệm tổng quát hệ (−2a + b, −a, a, b), a, b ∈ R 23 [...]...   x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4    2x Ví dụ: Giải hệ phương trình  1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5    3x1 + 18x2 + 8x3 − 23 x4 − 6x5 = 2      1 6 2 −5 2 −4   1 6 2 −5 2 −4      Ta có A =  2 12 6 −18 −5 −5  −→  0 0 2 −8 −1 3  −→     0 0 2 −8 0 10 3 18 8 23 −6 2    1 6 2 −5 2 −4   0 0 2 −8 −1 3      0 0 0 0 1 7 Ta  có được hệ phương trình... mỗi dòng phải bằng 1 13 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ:   x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4    2x + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5 Giải hệ phương trình  1    3x1 + 18x2 + 8x3 − 23 x4 − 6x5 = 2 Sau khi dùng phương pháp Gauss    biến đổi ta được 1 6 2 −5 2 −4    1 6 2 −5 0 10   0 0 2 −8 −1 3    −→  0 0 2 −8 0 10  −→    ... 17 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan 1 ∧ m 2 : 1 1 1 D1 = 1 m 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1 )2 1 1 m Tương tự ta tính được m 1 1 D2 = 1 1 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1 )2 , 1 1 m m 1 1 D3 = 1 m 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1 )2 1 1 1 1 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = m +2 Nếu m 18 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa Hpttt có ma trận hệ số tự do bằng không được gọi... 0    2x + y + z = 0     3x + 2y − 2z = 0 m −3 1 2 1 1 =0 3 2 2 ⇔ − 2m − 9 + 4 − 3 − 12 − 2m = 0 ⇔ − 4m − 20 = 0 ⇔ m = −5 Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ 21 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của hệ sau   x − 2y − z = 0     −x + y − z = 0    3x − 5y − z = 0     2x − 3y + mz = 0    −1  1 2 −1   1 2  0 −1  −1 1 −1  2   −→...     0 1 0   m + 2   1   0 0 1 m +2 1 1 1 , , ) ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( m +2 m +2 m +2     −→  Vậy: m= -2: Hệ vô nghiệm m=1: Hệ có vô số nghiệm dạng tổng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R m 1∧m 1 1 1 2: Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( m +2 , m +2 , m +2 ) 16 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Cách 2: Cramer+Gauss/Gauss-Jordan...   Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan   1  1 ∧ m 2 : A −→  0  0   1 1  m 1     −1 0  −→  0 1   0 0 2+ m 1   2  1 0  0   m + 2   1    −→  0 1 0  m + 2    1  0 0  1 m +2 1 m 1 m−1 1−m 0 Nếu m 0 2 − m − m2 1 − m   m 1   1 1   0 1 −1 0  −→   1   0 0 1 m + 2   1  1 1 0   m + 2 ...  Ta có A =    0 1 2  3 −5 −1   2 −3 m 0 1 m +2     −1   1 2  1 2 −1   0 1   2 2    −→  0 1     0 1 m +2 0 0 m Vậy:      −→   Nếu m = 0: rank(A) =2 < 3 ⇒ Hệ có vô số nghiệm Nếu m 0: rank(A)=3 ⇒ Hệ chỉ có nghiệm tầm thường Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ: Giải hpttt thuần nhất sau   x −y+z−t=0    x + 2z − t = 0     x + y... tương đương     x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4  x5 = 7     2x − 8x − x = 3 x3 = 4x4 + 5 ⇔   3 4 5       x1 = −6x2 − 3x4 x5 = 7 Vậy tập nghiệm của hệ là {(−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R} 12 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan Sau khi đã đưa ma trận các hệ số về dạng bậc thang theo dòng theo phương pháp Gauss, ta tiếp... trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa Hpttt có ma trận hệ số tự do bằng không được gọi là hpttt thuần nhất   a11 x1 + a 12 x2 + · · · + a1n xn = 0    a x + a x + ··· + a x = 0   22 2 2n n  21 1        a x + a x + ··· + a x = 0 m1 1 m2 2 mn n 19 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hpttt thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường (x1 , , xn ) = (0, , 0) Do ta luôn có rankA = rank(A) nên... + 2 = (m − 1 )2 (m + 2) 1 1 m |A| = 0 ⇔ m = 2 ∨ m = 1     1 1   2 1  1 1 2 1      Nếu m = 2 : A =  1 2 1 1  −→  0 −3 3 0  ⇒ Hệ     1 1 2 1 0 0 0 3 vô nghiệm    1 1 1 1    Nếu m = 1 : A =  1 1 1 1  −→ 1 1 1 1 ⇒ Hệ tương   1 1 1 1 đương x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z suy ra hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R 17 Các phương ... Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan ∧ m 2 : 1 D1 = m = m2 − 2m + = (m − 1 )2 1 m Tương tự ta tính m 1 D2 = 1 = m2 − 2m + = (m − 1 )2 , 1 m m 1 D3 = m = m2 − 2m... Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng   a11 x1 + a 12 x2 + ·... Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ:   x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4    2x + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5 Giải hệ phương trình     3x1 + 18x2