VI TÍCH PHÂN A2 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CBGD Lê Hoài Nhân Ngày 10 tháng 11 năm 2014 CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Mục lục Phương trình tách biến Phương trình Phương trình vi phân tồn phần Phương trình tuyến tính cấp Phương trình Bernoulli Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình tách biến Phương trình vi phân tách biến phương trình có dạng M(x).dx + N(y ).dy = M N hàm số biến Lấy tích phân hai vế phương trình ta tích phân tổng qt sau: M(x).dx + N(y ).dy = C Ví dụ 1.1 Giải phương trình tách biến sau x(1 + y )dx + y (1 + x )dy = dy = x y với y (1) = dx CBGD Lê Hoài Nhân () y = xy (y + 2) y = cos(x − y − 1) y = e 9y −x với y (0) = Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình tách biến Ví dụ 1.2 Giải phương trình sau: dy = 6y x với y (1) = dx 25 3x + 4x − y = với y (1) = 2y − xy 3 y = √ với y (0) = −1 + x2 y = e −y (2x − 4) với y (5) = dr r2 = với r (1) = dθ θ dy + t2 = e y −t với y (0) = dt cos y y − (4x − y + 1)2 = với y (0) = CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình Định nghĩa 2.1 Hàm số hai biến f (x, y ) thỏa điều kiện f (k.x; k.y ) = f (x, y ), ∀k = Mỗi hàm số biểu diễn dạng y y f (x, y ) = f (1, ) = g ( ) = g (u), ∀x = x x CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình Định nghĩa 2.2 Phương trình vi phân phương trình có dạng y = f (x, y ) f (x, y ) hàm Cách giải 2.1 Đổi biến u = y hay y = ux Suy ra: x y = dy du = u + x dx dx Thay y y vào phương trình ban đầu ta thu phương trình tách biến với ẩn hàm u CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình Ví dụ 2.1 Kiểm tra phương trình sau phương trình giải chúng x − xy + y y = xy y + x2 − y2 dy = với x > dx x xyy + 4x + y = với y (2) = x > a xy = y (ln x − ln y ) với y (1) = x > a Nguồn http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Substitutions.aspx CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình vi phân tồn phần Định nghĩa 3.1 Phương trình vi phân tồn phần phương trình có dạng P(x, y )dx + Q(x, y )dy = P Q hàm số hai biến x, y thỏa điều kiện ∂Q ∂P = ∂y ∂x Cách giải 3.1 − → − → − → Tìm hàm φ(x, y ) vị trường vector F = P i + Q j Tích phân tổng qt phương trình có dạng φ(x, y ) = C CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình vi phân tồn phần Ví dụ 3.1 Kiểm tra cá phương trình sau phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình (3y + 2xy + 2x)dx + (6xy + x + 3)dy = (x + y − 1)dx + (e y + x)dy = dy = với y (0) = −3 2xy − 9x + (2y + x + 1) dx 4xy + = 2(3 − x y )y = với y (−1) = 2ty − 2t − (2 − ln(t + 1))y = với y (5) = t +1 3y e 3xy − + (2ye 3xy + 3xy e 3xy )y = với y (0) = CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Thừa số tích phân Bài tốn 3.1 Giả sử phương trình M(x, y )dx + N(x, y )dy = phương trình vi phân tồn phần Hãy tìm hàm số µ = µ(x, y ) cho phương trình µ(x, y ).M(x, y )dx + µ(x, y ).N(x, y )dy = phương trình vi phân tồn phần CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 10 / 28 Phương trình Bernoulli Định nghĩa 5.1 Phương trình Bernoulli phương trình có dạng y + P(x).y = Q(x).y α với Q(x) không đồng α số khác khác Cách giải 5.1 Xem xét y = có nghiệm phương trình hay không Giả sử y = Chia hai vế phương trình cho y α đặt z = y 1−α Chuyển phương trình dạng tuyến tính cấp với ẩn hàm z Giải phương trình suy nghiệm y CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 15 / 28 Phương trình Bernoulli Ví dụ 5.1 Xác định giá trị α phương trình Bernoulli sau giải chúng 1 y + y = xy x dy dy x sin y + 2y = x dx dx y + y = x y với y (2) = −1 x > x y = 5y + e −2x y −2 với y (0) = 6y − 2y = xy với y (0) = −2 √ y y + = x với y (1) = x CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 16 / 28 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số Định nghĩa 6.1 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số phương trình có dạng y + py + qy = f (x) (1) với p, q số Nếu f (x) ≡ ta có phương trình Nếu f (x) khơng đồng ta có phương trình khơng CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 17 / 28 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số Định nghĩa 6.1 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số phương trình có dạng y + py + qy = f (x) (1) với p, q số Nếu f (x) ≡ ta có phương trình Nếu f (x) khơng đồng ta có phương trình khơng Phương trình bậc hai (ẩn k): k + pk + q = (2) gọi phương trình đặc trưng phương trình (1) CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 17 / 28 Phương trình y + py + qy = Nghiệm k1 , k2 phương trình k + pk + q = Nghiệm tổng quát phương trình nghiệm thực, phân biệt y = C1 e k1 x + C2 e k2 x nghiệm thực, kép y = e k0 x (C1 + C2 x) nghiệm phức dạng a ± ib y = e ax (C1 cos bx + C2 sin bx) C1 , C2 số CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 18 / 28 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số Ví dụ 6.1 Xác định phương trình đặc trưng, sau viết nghiệm tổng quát phương trình sau: y + 5y − 6y = y − 4y = y + 2y = y + 2y + y = y + 2y + 2y = y + 9y = CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 19 / 28 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số khơng Ta giải phương trình tuyến tính cấp hai hệ số khơng y + py + qy = f (x) theo bước sau đây: Tìm nghiệm tổng quát y phương trình (1) Tìm nghiệm riêng Y phương trình khơng (2) cách dựa vào dạng vế phải f (x) Tổng hợp nghiệm CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 20 / 28 Vế phải có dạng f (x) = e αx Pn (x) Nếu phương trình đặc trưng Y có dạng α khơng nghiệm Y = e αx Qn (x) α nghiệm đơn Y = e αx xQn (x) α nghiệm kép Y = e αx x Qn (x) Qn (x) đa thức bậc n mà hệ số cần xác định CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 21 / 28 Vế phải có dạng f (x) = e αx Pn (x) Nếu CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT p.trình đặc trưng Y có dạng f (x) = a.e αx α không nghiệm α nghiệm đơn α nghiệm kép Y = Ae αx Y = Ae αx x Y = Ae αx x f (x) = ax + b không nghiệm nghiệm đơn nghiệm kép Y = Ax + B Y = x(Ax + B) Y = x (Ax + B) f (x) = ax + bx + c không nghiệm nghiệm đơn nghiệm kép Y = Ax + Bx + C Y = x(Ax + Bx + C ) Y = x (Ax + Bx + C ) A, B, C hệ số cần xác định CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 22 / 28 Nghiệm riêng phương trình với vế phải f (x) = e αx Pn (x) Ví dụ 6.2 Xác định tham số α phương trình sau đây, nhận định α có nghiệm phương trình đặc trưng hay khơng giải phương trình y − 3y + 2y = 4x y − 3y + 2y = e x (3 − 4x) y − 4y + 4y = 4.e 2x CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 23 / 28 Nghiệm riêng phương trình với vế phải f (x) = e αx (Ur (x) cos βx + Vs (x) sin βx) Nếu phương trình đặc trưng Y có dạng α ± βi không nghiệm Y = e αx (Pn (x) cos βx + Qn (x) sin βx) α ± βi nghiệm đơn Y = e αx x (Pn (x) cos βx + Qn (x) sin βx) Trong n = max(r , s); Pn (x) Qn (x) đa thức bậc n mà hệ số chúng cần xác định CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 24 / 28 Nghiệm riêng phương trình với vế phải f (x) = e αx (Ur (x) cos βx + Vs (x) sin βx) Nếu CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT p.trình đặc trưng Y có dạng f (x) = a sin βx ±βi không nghiệm ±βi nghiệm đơn Y = A cos βx + B sin βx Y = x(A cos βx + B sin βx) f (x) = a cos βx ±βi không nghiệm ±βi nghiệm đơn Y = A cos βx + B sin βx Y = x(A cos βx + B sin βx) CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 25 / 28 Nghiệm riêng phương trình với vế phải f (x) = e αx (Ur (x) cos βx + Vs (x) sin βx) Ví dụ 6.3 Giải phương trình y + y − 2y = cos x − sin x y + y = 4x sin x CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 26 / 28 Nguyên lý chồng chất nghiệm Định lý 6.1 Nếu Y1 Y2 nghiệm phương trình: y + py + qy = f1 (x) y + py + qy = f2 (x) Y1 + Y2 nghiệm phương trình y + py + qy = f1 (x) + f2 (x) CBGD Lê Hồi Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 27 / 28 Nguyên lý chồng chất nghiệm Ví dụ 6.4 Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình sau: y + y = xe x + 2e −x y − 2y = cos2 x y − 4y + 4y = sin x sin 3x CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 28 / 28 ... lục Phương trình tách biến Phương trình Phương trình vi phân tồn phần Phương trình tuyến tính cấp Phương trình Bernoulli Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số CBGD Lê Hoài Nhân () Chương. .. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Substitutions.aspx CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình vi phân tồn phần Định nghĩa 3.1 Phương trình vi phân tồn phần phương trình có dạng P(x,... vào phương trình ban đầu ta thu phương trình tách biến với ẩn hàm u CBGD Lê Hoài Nhân () Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 10 tháng 11 năm 2014 / 28 Phương trình Ví dụ 2.1 Kiểm tra phương trình