3/5/2009 PHẦN MỞ ĐẦU Phạm Phúc Thịnh Các kiến thức học Các kiến thức học Cơ Sở Logic Phép đếm a) b) c) d) e) f) g) Mệnh đề & chân trị Các phép toán mệnh đề Dạng mệnh đề & Luật logic Quy tắc suy diễn Vị từ & lượng từ Tập hợp – Các phép toán tập hợp Quy nạp toán học – Định nghĩa đệ quy a) b) c) d) e) Định nghĩa – tính chất Nguyễn lý cộng - nguyên lý nhân Nguyên lý Chuồng bồ câu Chỉnh hợp – Tổ hợp Công thức nhị thức Tổ hợp có lặp Quan hệ a) b) c) d) Quan hệ & Các tính chất Biễu diễn quan hệ Quan hệ tương đương – Đồng dư Quan hệ thứ tự Các kiến thức học Thời gian học tập Đại số Bool Tổng số tiết : 45 (Bao gồm lý thuyết + tập a) b) c) d) Hàm Bool Dạng nối rời tắc Công thức đa thức tối tiểu Phương pháp biểu đồ Karnaugh Mạng cổng a) b) c) Lý thuyết : 30 tiết Bài tập : 14 tiết Kiểm tra : tiết Mục tiêu học phần: Nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức Logic, Lý thuyết tập hợp, Các nguyên lý đếm, Quan hệ, Hàm Bool Tài liệu tham khảo: -Các giáo trình toán rời rạc bậc học Cao đẳng (Có thể tìm thấy thư viện mạng Internet) Bài giảng giáo viên quan trang blog : Chuottau.blogtiengviet.net 3/5/2009 CHƯƠNG Khái niệm mệnh đề chân trị PHẦN Khái niệm mệnh đề chân trị Tính chất mệnh đề sai, vừa vừa sai Giá trị sai mệnh đề gọi chân trị mệnh đề Các đối tượng mà khảo sát phát biểu hay mệnh đề.Tuy nhiên, ta xét đến mệnh đề toán học, nói vắn tắt mệnh đề toán học mệnh đề Về mặt ký hiệu, ta dùng mẫu tự (như p, q, r, ) để ký hiệu cho mệnh đề, chúng dùng để ký hiệu cho biến logic, tức biến lấy giá trị sai Mệnh đề toán học phát biểu để diễn đạt ý tưởng trọn vẹn ta khẳng định cách khách quan sai Các ví dụ mệnh đề Chân trị “đúng” thường viết 1, chân trị “sai” viết Các ví dụ mệnh đề Các phát biểu sau mệnh đề (toán học) tính sai chúng không xác định số nguyên tố số nguyên tố -3 < Ai đọc sách? (một câu hỏi) Tam giác cân có hai góc Hãy đóng cửa lại đi! H2O axít Anh ta thông minh Các mệnh đề 2, 3, ví dụ mệnh đề Cho x số nguyên dương a số phương Các mệnh đề 1, mệnh đề sai x + y = z 3/5/2009 Mệnh đề sơ cấp – Mệnh đề phức hợp Phân loại mệnh đề : mệnh đề sơ cấp (elementary), mệnh đề phức hợp (compound) Mệnh đề sơ cấp mệnh đề phân tích thành hay nhiều (từ hai trở lên) mệnh đề thành phần đơn giản Mệnh đề phức hợp mệnh đề tạo thành từ hay nhiều mệnh đề khác cách sử dụng liên kết logic từ “không” dùng việc phủ định mệnh đề, từ nối: “và”, “hay”, “hoặc”, “suy ra”, v.v Ví dụ phân loại mệnh đề p = “15 chia hết cho 3” q = “2 số nguyên tố số lẻ” Ta có p mệnh đề sơ cấp Nhưng q mệnh đề phức hợp, mệnh đề q tạo thành từ hai mệnh đề “2 số nguyên tố” “2 số lẻ” nhờ vào liên kết logic “và” Bảng chân trị mệnh đề PHẦN V n đ : làm để tính toán chân trị mệnh đề phức hợp theo mệnh đề sơ cấp cấu thành mệnh đề phức hợp nhờ vào phép toán logic Các phép toán logic ký hiệu dùng thay cho từ liên kết logic “không”, “và”, “hay”, “hoặc”, “suy ra” hay “nếu ”, “nếu nếu” Bảng chân trị mệnh đề Các phép toán logic định nghĩa bảng chân trị (truth table) Bảng chân trị cho ta chân trị mệnh đề phức hợp theo trường hợp chân trị mệnh đề sơ cấp tạo thành mệnh đề phức hợp Bảng chân trị dùng với mục đích : liệt kê liên hệ chân trị mệnh với mệnh đề đơn giản cấu thành chúng Phép Phủ định Cho p mệnh đề, ký hiệu “¬p” để mệnh đề phủ định mệnh đề p “Sự phủ định” định nghĩa bảng chân trị sau đây: p ¬p 0 Mệnh đề phủ định ¬p có chân trị (1) mệnh đề p có chân trị sai (0), ngược lại ¬p có chân trị sai (0) p có chân trị (1) 3/5/2009 Phép Phủ định Phép Phủ định Ví dụ : Nếu ta ký hiệu p mệnh đề “5 < 3” ¬p ký hiệu cho mệnh đề “5 ≥ 3” Trong trường hợp nầy p sai, ¬ p Ta viết p = 0, ¬ p = Ví dụ : Chỉ ¬(¬p) p có chân trị Giải Lập bảng chân trị mệnh đề ¬(¬ p): Trên dòng giá trị bảng chân trị ta có chân trị p ¬(¬p) (so sánh cột cột bảng) Vậy ¬(¬p) p có chân trị Ta nói ¬(¬p) tương đương logic với p p ¬ p ¬ (¬ p) 1 Mệnh đề ¬(¬p) thường viết ¬¬p Phép Hội Phép Hội Cho p q hai mệnh đề Ta ký hiệu mệnh đề “p hay q” p Λ q Phép “và”, ký hiệu Λ định nghĩa bảng chân trị sau đây: p q pΛq 0 0 1 0 1 Phép Hội Nhận xét: Bằng cách lập bảng chân trị, ta có: Các mệnh đề p p Λ p có chân trị Mệnh đề p Λ¬ p có chân trị (tức mệnh đề sai) Một mệnh đề phức hợp luôn có chân trị sai trường hợp chân trị mệnh đề sơ cấp tạo thành gọi mâu thuẩn Qua định nghĩa ta nhận thấy mệnh đề p Λ q q Λ p luôn có chân trị, hay tương đương logic Tuy nhiên, ngôn ngữ thông thường mệnh đề “p q” “q p” có ý nghĩa khác theo ngữ cảnh Ví d : Cho mệnh đề p = “5 > -7”, q = “2721 số nguyên tố”, r = “một tam giác tam giác cân” Khi ta có : p Λ q = (p Λ q sai, tức có chân trị 0, p = q = 0), p Λ r = (p Λ r đúng, tức có chân trị 1, p = r = 1) Phép Tuyển Cho p q hai mệnh đề Ta ký hiệu mệnh đề “p hay q” p ∨ q Phép “hay”, ký hiệu ∨ , định nghĩa bảng chân trị sau đây: p q p∨q 0 0 1 1 1 3/5/2009 Phép Tuyển Phép Tuyển Chân trị mệnh đề p ∨ q phụ thuộc vào chân trị mệnh đề p, q Trong trường hợp có trường hợp mệnh đề p ∨ q sai, trường hợp p sai q sai Qua định nghĩa ta nhận thấy mệnh đề p ∨ q q ∨ p luôn có chân trị, hay tương đương logic Phép Tuyển Nhận xét : Cho p mệnh đề Lập bảng chân trị mệnh đề p ∨¬ p ta có mệnh đề p ∨¬ p luôn Ví dụ : Cho mệnh đề • p = “5 > 7”, • q = “2721 số nguyên tố”, • r = “một tam giác tam giác cân” Khi ta có : p V q = 0, p V r = Phép Kéo theo p ¬p p∨¬ p 1 1 Phép Kéo theo Mệnh đề p → q, đọc “nếu p q”, phát biểu dạng khác sau đây: ”q p” ”p q” ”p điều kiện đủ cho q” ”q điều kiện cần cho p” Phép kéo theo, ký hiệu → , đưa để mô hình cho loại phát biểu điều kiện có dạng : “nếu ” Cho p q mệnh đề, ta viết p→ q để diễn đạt phát biểu “nếu p q” Phép toán kéo theo → định nghĩa bảng chân trị sau đây: p q 0 p q p q p q 1 0 1 1 Phép Kéo theo chiều Phép kéo theo chiều hay phép tương đương, ký hiệu ↔, đưa để mô hình cho loại phát biểu điều kiện hai chiều có dạng : “ ” Cho p q mệnh đề, ta viết p↔q để diễn đạt phát biểu “p q” Phép toán tương đương định nghĩa bảng chân trị sau p q p ↔q p q p ↔q 0 1 0 1 1 3/5/2009 Phép Kéo theo chiều Mệnh đề p↔ q, đọc “p q”, phát biểu dạng khác sau đây: ”p q” ”p điều kiện cần đủ cho q” Mệnh đề p↔q có chân trị (=1) trường hợp p q có chân trị Độ ưu tiên toán tử Logic Tương tự phép toán số học, để tránh phải dùng nhiều dấu ngoặc biểu thức logic, ta đưa thứ tự ưu tiên việc tính toán Ở ta có toán tử logic:¬ ¬ (không) , ∧ (và), ∨ (hay), → (kéo theo), ↔ ( tương đương) Thứ tự ưu tiên : ¬ ∧,∨ →↔ đó, toán tử liệt kê dòng có độ ưu tiên Độ ưu tiên toán tử Logic Ví dụ : ¬ p∨q có nghĩa ((¬ p) ∨ q) ¬ p∨ q→ r ∧ s có nghĩa (((¬ p) ∨ q)→ (r ∧ s)) ¬ p∨ q∧ r không rõ ràng, trường hợp cần phải dùng dấu ngoặc để rõ nghĩa Định nghĩa biểu thức Logic Biểu thức logic biểu thức xây dựng từ : Các mệnh đề hay giá trị Các biến mệnh đề Các phép toán logic, dấu ngoặc “( )” để rõ thứ tự thực phép toán Giả sử E, F biểu thức logic, ¬ E, E ∧ F, E → F, E ↔ F biểu thức logic Ví dụ: Biểu thức E(p,q,r) = (((¬ p) ∨ q)→ (r ∧ s)) biểu thức logic p, q, r biến mệnh đề PHẦN Bảng chân trị biểu thức Logic Bảng chân trị biểu thức logic bảng liệt kê chân trị biểu thức logic theo trường hợp chân trị tất biến mệnh đề biểu thức logic hay theo giá trị biến mệnh đề Với biến mệnh đề, ta có trường hợp (sai) (đúng) Với biến mệnh đề p, q ta trường hợp chân trị biến (p,q) giá trị (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) Trong trường hợp tổng quát, với n biến mệnh đề ta có 2n trường hợp chân trị cho n biến 3/5/2009 Bảng chân trị biểu thức Logic Bảng chân trị biểu thức Logic Ví dụ 2: Bảng chân trị biểu thức logic p ∨ ( q ∧ r) theo biến mệnh đề p, q, r sau: Ví dụ 1: Bảng chân trị biểu thức logic p→ q ¬ p ∨ q theo biến mệnh đề p,q sau: p q p→ →q ¬p p q r q∧r p ∨ ( q ∧ r) 0 0 ¬p∨q 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 Sự tương đương Logic Hai biểu thức logic E F theo biến mệnh đề gọi tương đương logic E F luôn có chân trị trường hợp chân trị biến mệnh đề Khi ta viết: E ⇔ F đọc “E tương đương với F” Như vậy, theo định nghĩa ta kiểm tra xem biểu thức logic có tương đương hay không cách lập bảng chân trị biểu thức logic Ví d : từ bảng chân trị biểu thức logic p → q ¬ p∨q theo biến mệnh đề p, q ta có: p → q ⇔ ¬ p∨q Biểu thức đúng, sai Biểu thức logic E gọi chân trị E luôn (đúng) trường hợp chân trị biến mệnh đề biểu thức E Nói cách khác, E ta có: E ⇔1 Biểu thức logic E gọi sai chân trị E luôn (sai) trường hợp chân trị biến mệnh đề biểu thức E Nói cách khác, E ta có: E ⇔ Như vậy, ta kiểm tra xem biểu thức logic có phải (hằng sai) hay không cách lập bảng chân trị biểu thức logic Biểu thức đúng, sai Ví dụ: Biểu thức p ∧ ¬ p sai Biểu thức p → q ↔ ¬ p∨ q PHẦN L
u ý: Giả sử E F biểu thức logic Khi đó, E tương đương logic với F (tức ta có E ⇔ F) biểu thức logic E ↔ F (tức E ↔F ⇔1) 3/5/2009 Luật Logic ? Các luật logic sở để ta thực biến đổi biểu thức logic nhằm có biểu thức logic tương đương logic với biểu thức logic có trước Các luật nầy suy trực tiếp từ bảng chân trị biểu thức logic Các Luật Logic Luật phép phủ định ¬ ¬ p ⇔ p (luật phủ định phủ định) ¬1⇔0 ¬0⇔1 Luật giao hoán p∧q⇔q∧p p∨q⇔q∨p Luật kết hợp p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r Các Luật Logic Luật phân bố p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Luật De Morgan ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q Các Luật Logic Luật kéo theo p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Luật tương đương ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q Luật phần tử bù p∨¬p⇔1 p∧¬p⇔0 Các Luật phép Hội p ∨ p ⇔ p (tính lũy đẳng) p ∨ ⇔ (Luật thống trị) p ∨ ⇔ p (Luật trung hòa) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p (Luật hấp thụ) Các Luật phép Hội p ∧ p ⇔ p (tính lũy đẳng) p ∧ ⇔ p (Luật trung hòa) p ∨ ⇔ (Luật thống trị) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p (Luật hấp thụ) 3/5/2009 Các quy tắc thay PHẦN Qui tắc Trong biểu thức logic E, ta thay biểu thức biểu thức logic tương đương với biểu thức ta biểu thức E' tương đương với biểu thức E Ví dụ: Cho biểu thức logic E = q ∨¬ p Thay q biểu thức E biểu thức ¬ ¬ q (tương đương với q) ta biểu thức E' = ¬ ¬ q ∨¬ p Theo qui tắc thay ta có: q∨¬p⇔¬¬q∨¬ p Các quy tắc thay Qui tắc Giả sử biểu thức logic E Nếu ta thay biến mệnh đề p biểu thức logic tuỳ ý ta biểu thức logic E’ Ví dụ: Ta có biểu thức E(p,q) = (p → q) ↔ ( ¬ p ∨ q) Thay biến q biểu thức E biểu thức q ∧ r ta biểu thức logic mới: E’(p,q,r) = (p → (q ∧ r)) ↔ ( ¬ p ∨ (q ∧ r)) Theo qui tắc thay ta có biểu thức E’(p,q,r) Các ví dụ quy tắc thay Ví dụ 1: Chứng minh (p → q) ⇔ (¬ q → ¬ p) Giải : Ta có (p → q) ⇔ (¬ p ∨ q) (luật kéo theo) ⇔ (q ∨ ¬ p) (luật giao hoán) ⇔ (¬ ¬ q ∨ ¬ p) (luật phủ định) ⇔ (¬ q ¬ p) (luật kéo theo) Bài tập nhỏ: chứng minh a) ((p → q) ∧ p) → q b) p ∧ q → p c) p → p ∨ q ... p, q, r sau: Ví dụ 1: Bảng chân trị biểu thức logic p→ q ¬ p ∨ q theo biến mệnh đề p,q sau: p q p→ →q ¬p p q r q∧r p ∨ ( q ∧ r) 0 0 ¬p∨q 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 Sự tương đương... trị ( =1) trường hợp p q có chân trị Độ ưu tiên toán tử Logic Tương tự phép toán số học, để tránh phải dùng nhiều dấu ngoặc biểu thức logic, ta đưa thứ tự ưu tiên việc tính toán Ở ta có toán tử... đề toán học, nói vắn tắt mệnh đề toán học mệnh đề Về mặt ký hiệu, ta dùng mẫu tự (như p, q, r, ) để ký hiệu cho mệnh đề, chúng dùng để ký hiệu cho biến logic, tức biến lấy giá trị sai Mệnh đề toán