Biên soạn: Nguyễn Chí Phương D Bài tập mẫu GIẢI TÍCH HÀM CHƯƠNG 1: KHOẢNG CÁCH A Không gian Metric Cho tập hợp X Xét ánh xạ d: X x X  R metric X thỏa cá c tính chất sau: d(x,y)  ,  x, y  X d(x,y) =  x = y d(x,y) = d(y,x) ,  x, y  X d(x,y)  d(x,z) + d(z,y) ,  x, y,z  X Bộ (X,d) gọi không gian metric B Không gian đònh chuẩn Cho tập hợp X Xét ánh xạ ||.||: X x X  R đònh chuẩn X thỏa cá c tính chất sau: ||x||  ,  x  X ||x|| =  x = ||  x|| = |  | ||x|| ,    K,  x  X ||x+y||  ||x|| + ||y|| Bộ (X,||.||) gọi không gian đònh chuẩn * Một số không gian thông dụng Không gian Rn:  x=(x1,x2,…,xn ) y=(y1,y2,…,yn) n d ( x, y )  n  ( xi  yi ) ; ||x|| = i 1 x i i 1 Không gian C[ a ,b ] ={x(t): x liên tục [a,b] d(x,y) = max {x(t) - y(t)} ; ||x|| = max {x(t)} t[ a ,b ] t[ a ,b ] b P Không gian L = { f  C[ a ,b ] :  | f | ds 0,  N  N : d(xn,x0) <  ,  n >N - Cho không gian đònh chuẩn (X,||.||) {xn}  X, xnx0  lim ||xn - x0|| = n   >0,  N  N : ||xn - x0|| <  ,  n >N B Đònh nghóa loại điểm Cho không gian metric (X,d), A  X Lấy x0  X Khi đó: x0 gọi điểm dính A   r >0, S(x0,r)  A   Tập tất cá c điểm dính gọi bao đóng A Kí hiệu: A bao đóng nhỏ chứa A x0 gọi điểm A   r >0, S(x0,r)  A hay S(x0,r)  X\A   Tập tất cá c điểm A gọi phần A Kí hiệu: A0 tập mở lớn nằm A x0 gọi điểm biên A S ( x , r )  A     r >0,  S ( x , r )  X \ A   C Phương pháp chứng minh tập đóng, mở Chứng minh tập A đóng Cách (thông dụng): Lấy tùy ý x0  X Giả sử { x n }  A , xnx0 Ta CM x0  A Cách (thông dụng): Lấy tùy ý x0  A Ta CM điểm dính A  {x n }  A , xn  x0 Cách (ít dùng): CM X\A mở Cách (ít dùng): CM A giao họ tập đóng Cách (dùng ánh xạ tuyến tính): Giả sử f:X  Y axtt liên tục F đóng Y Khi ta có A = f-1(F) đóng Chứng minh tập A mở Cách (thông dụng): Lấy tùy ý x0  A ta CM x0 điểm dính A   r >0, S(x0,r)  A hay S(x0,r)  X\A   Cách (rất thông dụng): CM X\A đóng Cách (ít dùng): CM A hợp họ tập mở Cách (dùng ánh xạ tuyến tính): f: X  Y axtt liên tục G mở Y Khi A = f-1(G) mở Bài : CMR: d(x,A) =  x  A Giải: Áp dụng cách CM tập đóng CM thuận : Cho d(x,A) = CM x  A Do d(x,A)=0  inf d(x,y) = y A  n  N,  {xn}  A cho d(x, xn) =   {xn}  A cho xn  x  x điểm dính A hay x  A CM nghòch: Cho x  A CM d(x,A) = Do x  A nên  {xn}  A cho xn  x   d(x,A)  d(x, xn) Cho n   ta có  d(x,A)  hay d(x,A) = Bài : CMR: a d(x,A) = d(x, A) b d(A,B) = d( A , B ) Giải: a CM: d(x,A)  d(x, A ) Lấy tùy ý y  A  y  A  d(x, A )  d(x,y)  d(x, A )  inf d(x,y) = d(x,A) (1) y A CM: d(x,A)  d(x, A ) Lấy tùy ý y  A  y điểm dính A   {yn}  A cho yn  y Do yn  A nên d(x,A)  d(x, yn)  d(x,y) + d(y, yn) ,  y  A  ta có d(x,A)  d(x,y) ,  y  A  d(x,A)  inf d(x,y) = d(x, A ) (2) Cho n  y A Từ (1) (2) ta có đpcm b Tương tự câu a Bài : CMR: diam A = diam A Giải: CM: diamA  diam A Lấy tùy ý x,y  A  x,y  A  d(x,y)  diam A  sup d(x,y)  diam A x , y A  diam A  diam A (1) CM: diam A  diam A Lấy tùy ý x,y  A  x,y điểm dính A { x n }  A :x n  x  { y n }  A : y n  y Do xn, yn  A nên d(xn, yn)  diam A  d(x,y)  d(x, xn)+d(xn, yn +d(yn,y)  d(x, xn)+diam A+d(yn,y) Cho n   ta có d(x,y)  diamA  sup d(x,y)  diam A  diam A  diam A (2) x , y A D Bài tập mẫu Từ (1) (2) ta có đpcm Bài 4: Các tập sau đón g hay mở Tại sao? a A =(a,b); b A =[a,b); c A =[a,b]; n ) n 1 f A ={(x,y): x2+y2  1} d A =  (0, e A =  ( 2 n , ); n n 1 g A ={(x,y): x2+sin(x+y)>2}; i A ={(x,y), max(|x|,|y|}0 x[ ,1] fn(x) = fn(x)- f 0(x) + f0(x)  |fn(x)-fo(x)| + |f0(x)|  max |fn(x)-f0(x)|+ max |f0(x)| - Với fn  C [ 0,1] cho n  (t )dt -  f (t )dt | = |  [ f n (t )  f (t )]dt | 0 x[ 0,1] = d(fn,f0) +  =  +  =   +  =   <  =3 2  fn(x) Chọn  = x[ ,1]  max |fn(x) – f0(x)| + fn(x) = d(fn,f0) + fn(x) x[ ,1] <  + fn(x)  fn(x) >  -  =  -  1  1 1 = > =1 (vô lý) 2 - Lấy tùy ý z  S(z0,r)  ||z - z0|| 0 cho S(x,r)  G  Lấy tùy ý x  G, tìm r >0 cho lấy tùy ý x0  S(x,r) x0  G  Lấy tùy ý x  G, tìm r >0 cho lấy tùy ý x0  S(x,r) d(x0,A)<  Thật - Do x  G nên d(x,A)<   inf d(x,y) <  b S[x0,r]o = S(x0,r) Giải:   y0  A: d(x, y0) <  Chọn r =  -d(x, y0) > CM S(x,r)  G - Lấy tùy y x0  S(x,r) nên d(x0,x) < r Xét d(x0,A)  d(x0,y0)  d(x0,,x) + d(x,y0) < r + d(x,y0) =  Vậy x0  G hay S(x,r)  G  Lấy tùy ý x  S[x0,r] CM x điểm dính S(x0,r)  Lấy tùy ý x  S[x0,r] Tìm {xn}  S(x0,r) cho xn  x y A Bài 7: Cho X khôn g gian đònh chuẩn, A,B  X, x0  X CMR: a Nếu B mở A+B mở b Nếu A đóng x0+A đóng Giải: a Nếu B mở A+B mở Ghi điều cần CM CM A+B mở  CM  ( x0+B) mở  CM x0+B mở,  x0  X  Lấy tùy ý z0  x0+B CM z0 điểm x0+B  Lấy tùy ý z0  x0+B  r >0 cho S(z0,r)  x0+B  Lấy tùy ý z0  x0+B, tìm r >0 cho lấy tùy ý z  S(z0,r) CM z  x0+B Thật - Do z0  x0 +B nên  y0  B : z0 = x0 + y0  y0 = z0 - x0 Do B mở nên y0 điểm B   r’ >0 cho S(y0,r’)  B Chọn r = r’ > ta có S(y0,r)  B a S ( x , r ) = S[x0,r] a CM S ( x , r )  S[x0,r] S ( x0 , r ) bao đóng nhỏ chứa S(x0,r) S[x0,r] cầu đóng chứa S(x0,r)  S ( x0 , r )  S[x0,r] (1) a CM S[x0,r]  S ( x0 , r ) Ghi điều cần CM S[x0,r]  S ( x , r )  Lấy tùy ý x  S[x0,r] CM x  S ( x , r ) Thật - Do x  S[x0,r] nên ||x- x0||  r )||x- x0|| < r n  ||(1- )(x - x0)|| < r n 1  ||(1- )x - (1- ) x0|| < r n n 1  ||[(1- )x + x0] - x0|| 0 cho S(x,r’)  S[x0,r]   r’ >0 cho (x-r’,x+r’)  [x0-r,x0+r]  x0  r  x  r '  x0  x  r  r '    x  r '  x0  r  x  x0  r  r ' 0  r  r '  r  | x  x0 | r  r '  ||x-x0|| 0 r  || y  x || Xét ||y0-x0|| +  =||y0-x0|| + r  || y0  x0 || r1  r1 = < < r1 2  ||y0-x0|| < r1 -  = r2 < r1 < r Suy y0  S(x0, r2  S(x0, r1  S(x0,r) với r2 r  (2  1) || y  x0 || = 22 Với cách đặt tương tự   …  n … ta xây dựng dãy - Đặt 1= hình cầu mở lồng sau: y0  …  S(x0,rn)  S(x0,rn-1)  …  S(x0,r2)  S(x0,r1)  S(x0,r) r  ( n  1) || y0  x0 || 2n Cho n   rn  ||y0-x0|| Khi đó: y0  S(x0,||y0-x0||)  ||y0-x0|| < ||y0-x0|| (vô lý) Vậy không tồn y0  Y hay Y =  rn = r x + x0 || x || || x || (y- x0)  Y (do t/c kgđc) hay X  Y (2) r Từ (1) (2)  X =Y  x= Bài 10: Giả sử X không gian đònh chuẩn Y không gian X nằm hình cầu S(x0,r) CMR: Y =  Giải: Ghi điều cần CM Y =   Không tồn y  Y Thật CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN ĐẦY & ÁNH XẠ LIÊN TỤC A Dãy (cauchy) & không gian đầy Dãy Cho không gian metric (X,d), dãy {xn} gọi dãy bả n  lim d(xn,xm) = n   >0,  N  N : d(xn,xm) <  ,  n,m >N TC: {xn} hội tụ {xn} Không gian đầy Không gian metric (X,d) không gian đầy   {xn}  X, {xn}  {xn} hội tụ TC: M đóng X đầy  M đầy M đầy  M đóng B Ánh xạ liên tục Cho không gian metic (X,dX) (Y,dY) Xét ánh xạ f: X  Y - f liên tục x0  X   >0,  >0 sc  x  X, dX(x,x0) <  dY(f(x),f(x0)) <  - f liên tục X  f liên tục điểm X Lấy tùy ý x0  X f liên tục x0 - f liên tục X   >0,  >0 sc  x,x’  X, dX(x,x’) <  dY(f(x’),f(x’)) <  - f án h xạ đẳng cự   x,x’  X : dX(x,x’) = dY(f(x’),f(x’)) C Phương pháp chứng minh ánh xạ liên tục - CM f liên tục x0  X  Với  {xn}  X, giả sử xn  x CM f(xn)  f(x) - CM f liên tục X   G mở (đóng) Y, CM f-1(G) mở (đóng) X Bài :  x,y  R, đặt d(x,y) = | ex-ey | CMR: a (R,d) không gian metric b (R,d) không không gian đầy Giải: a Tự làm b (R,d) không không gian đầy Ghi điều cần CM (R,d) không không gian metric đầy   {xn}  X, giả sử {xn} CM {xn} không hội tụ  tìm xn  R,  >0,  N  N, d(xn,xm)<  ,  n.m > N CM {xn} không hội tụ  tìm xn  R,  >0,  N  N, | e xn - e xm | <  CM {xn} không hội tụ Thậy x e xm | = | e  n - e  m | 1 = | n  m |  n,m   e e  xn dãy xn  -  n   Chọn dãy xn = -n ró ràng | e n - Hay {xn} không hội tụ Bài : Cho không gian metric (X,d) A  X CMR ánh xa d(x,A) liên tục X Giải: Ghi điều cần CM d(x,A) liên tục X  Lấy tùy ý x0  X CM d(x,A) liên tục x0  Lấy tùy ý x0  X,   >0,   >0 sc d(xn,x0)<  | d(xn,A) - d(x0,A)| <  Thật Chọn  =  >0 Xét | d(xn,A) - d(x0,A)|  d(xn,x0) <  =  (xem chương 1) D Bài tập mẫu Bài 1: Cho N tập số tự nhiên Đặt CMR: a (N,d) không gian metric b (N,d) khôn g gian metric đầy Giải: a Tự kiểm tiên đề b (N,d) không gian metric đầy Ghi điều cần CM (N,d) không gian metric đầy  Với  {xn}  X, giả sử {xn} CM {xn} hội tụ Thật {xn} nên   > 0,  N  N sc d(xn,xm ) <  ,  n,m > N Chọn  =1 d(xn,xm ) <  xn = xm ,  n,m > N Đặt xm = x0  n > N ta có xn = x0 Hay d(xn,x0,)  n   hay {xn} hội tụ - Do zn  A +B nên  {xn}  A,{yn}  B cho zn = xn + yn Vì xn  A, A compact nên  { x nk }  {xn} x nk  x0  A CHƯƠNG 4: TẬP COMPACT Vì yn  B, B compact nên  { y nk }  {yn} y nk i A Phủ mở Họ { G }  I họ phủ mở X i  y0  B - Xét dãy z nk = x nk + y nk i i i Theo cách đặt dãy { z nk }  {zn} i Hơn z nk = xnk + y nk i  x0 +y0  A +B i   i i Vậy  {zn}  A +B , tìm { z nk }  {zn} , i B Tập compact Cho không gian metric (X,d) K  X Khi đó: - K bò chặn   M >0 cho ||x||  M,  x  X - K compact   {xn}  K,  { x nk }  {xn}, x nk  x0  K  G chứa K,  { 1 ,  , ,  n } sc:  G i chứa K - K compact   { G } mở C Một số tính chất - K compact  K đầy  K bò chặn - K đóng X compact  K compact - Trong Rn K compact  K đóng bò chặn - Nếu án h xạ f: X  Y liên tục, K compact X f(K) compact Y - Nếu án h xạ f liên tục X compact f liên tục X tồn giá trò min, max X D Bài tập mẫu Bài 1: Cho không gian đònh chuẩn X; A,B  X CMR a Nếu A compact B đóng A +B đóng b Nếu A,B compact A+B compact c Nếu A compact B đóng A  B compact Giải: a Nếu A compact B đóng A +B đóng Ghi điều cần CM A+B đóng   {zn}  A +B, giả sử zn  z0 CM z0  A +B Thật - Do zn  A +B nên  {xn}  A,{yn}  B cho zn = xn + yn  yn = zn - xn Vì xn  A, A compact nên  { x nk }  {xn} x nk  x0  A - Xét dãy { y nk }  B : y nk = z nk - x nk  z0 - x0 mà B đóng  z0 - x0  B  z0  x0 +B  A +B hay z0  A +B Vậy A +B đóng b Nếu A,B compact A+B compact Ghi điều cần CM A+B compact   {zn}  A +B,  { z nk }  {zn} cho z nk z nk  z0 = x0 +y0  A +B i Vậy A +B compact c Nếu A compact B đóng A  B compact Ghi điều cần CM A  B compact   {zn}  A  B,  { z nk }  {zn} cho z nk  z0  A  B   {zn}  A  B, tìm { z nk }  {zn} sc z nk  z0  A  B Thật - Do zn  A  B nên zn  A, zn  B Vì zn  A, A compact nên tìm { z nk }  {zn} z nk  z0  A (1)  z0 mà B đóng nên z0  B (2) Từ (1) (2)  z0  A  B Vậy tìm { z nk }  {zn} sc z nk  z0  A  B Vì { z nk }  {zn}  B, z nk Nên A +B compact Bài : Cho không gian metric (X,d) {xn}  X, xn  x0  X CMR tập K ={xn}  {x0} compact Giải: Ghi điều cần CM K compact   { G }  I mở  G chứa K,  { 1 ,  , ,  n } sc:  G chứa K i Thật - Do x0  K   G nên x0   G    I : x0  G Mà G mở nên x0 điểm G   r >0, S(x0,r)  G (1) - Mặt khác: Do xn  x0 nên   >0,  N  N: d(xn,x0) <  ,  n >N Chọn  =r ta có d(xn,x0) < r,  n >N  xn  S(x0,r),  n >N (2) Từ (1) (2)  xn  G ,  n >N Vậy đặt: G1 chứa x1, G chứa x2 … G N chứa xN G chứa xi lại  z0  A +B   {zn}  A +B, tìm { z nk }  {zn} sc z nk  z0  A +B Thật cho Rõ ràng  G chứa K nên K compact i Bài : Cho f: X  Y ánh xạ liên tục tập compact X CM f ánh xạ liên tục Giải: Ghi điều cần CM f ánh xạ liên tục X  lấy tùy ý x0  X f liên tục x0  Với  {xn}  X, giả sử xn  x0 CM f(xn)  f(x0) Thật Theo ta có tập K ={xn}  {x0} compact - Do f ánh xạ liên tục tập conpact X  f liên tục K hay f liên tục điểm K  f liên tục x0 Bài 4: Cho không gian metric (X,d) {Kn} dãy tập compact khác rỗng với Kn  Kn-1  …  K2  K1 CMR:  K n   Hơn diam K  n   n 1  K n n 1 Giải: - Xét dãy {xn}  K1 Vì K1 compact nên  { x nk }  {xn}, x nk  x0  K1 Tương tự ta thấy với N  N ta chọn n k  N Sao cho { x nk }  Kn , x nk  x0  Kn   K n 1 n  Do: x2+y2+z2+x+y+z   (x+ K n ta CM y0 = x0 n 1 Ta có:  d(x0, y0)  d(x0, xn) +d(xn, y0) , xn  Kn  diam Kn +diam Kn = 2diam Kn   d(x0, y0) = hay y0 = x0 Bài 5: Tập tập sau compact a K ={(x,y,z): x2+y2+|z|  3}; b K ={(x,y,z}: x2+y2+z2+x+y+z  6} c K ={(x,y,z): x+y+z  5, x  -2, y  -3, z  -4} d K ={(x,y,z): x+y+z 0 : ||u||  M nên K bò chặn CM K đóng Với  un =(xn,yn,zn)  K , giả sử un  u0 =(x0,y0,z0) CM u0  K Thật 2 - Do un =(xn,yn,zn)  K nên x n  y n  | z n |  1 27 ) +(y+ )2+(z+ )2  2 1 3 ] cầu đóng, bò chặn  K =S[(- ,- ,- ), 2 2 c K compact Làm câu a với lưu ý: x  y  z   ( x  2)  ( y  3)  ( z  4)  14   x  2; y  3; z  4  x   0; y   0; z   d K không compact CM K không đóng  un =(xn,yn,zn)  K, un  u0 =(x0,y0,z0) CM u0  K )  K, un  u0 =(0,0,5)  K n e K không compact CM K không bò chặn  M >0,  un =(xn,yn,zn)  K : ||un|| >M hay ||un||  Chọn un =(0,0,-n) K ta có ||un||=n   f K không compact CM K không bò chặn  M >0,  un =(xn,yn,zn)  K : ||un|| >M hay ||un||  Chọn un =(n, n 1  - Giả sử  y0  b K compact Chọn un =(0,0,5-  x0   K n hay  hi ta có x02  y 02  | z |   u0 =(x0,y0,z0)  K Vậy K đóng Cho n    1 )  K ta có ||un||= n    n n Bài : Cho X không gian metric compact f: X  X ánh xạ đẳng cự CM f phép đẳng cự lên Giải: Ghi điều cần CM f phép đẳng cự lên  f liên tục f song ánh - CM f liên tục  Lấy tùy ý x0  X CM f liên tục x0   {xn}  X, giả sử xn  x0 f(xn)  f(x0) Thật 0=d(xn, x0)=d(f(xn),f(x0)) n   nên f(xn)  f(x0) - CM f đơn ánh   x1,x2  X, giả sử f(x1)=f(x2) x1= x2 Thật d(x1,x2)=d(f(x1),f(x2))=0  x1= x2 - CM f toàn ánh hay CM f(X)=X Hiển nhiên f(X)  X CM X  f(X)  x0  X Giả sử x0  f(X)  d(x0,f(X)) > Đặt x1=f(x0), x2=f(x1),….xn+1=f(xn) ta dãy {xn}  X Xét d(xn,xn+p)=d(f(xn-1), f(xn+p-1))=d(xn-1,xn+p-1)=… …=d(x0,xp)=d(x0,f(xp-1)) > d(x0,f(X)) >0  {xn} không nên dãy không hội tụ Vô lý X compact Vậy x0  f(X) hay f(X)=X 10 CHƯƠNG 5: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẬT ĐỘNG A Điểm bất động Cho ánh xạ f: X  X x0 điểm bất động ánh xạ f  f(x0)=x0 B Ánh xạ co Cho ánh xạ f: X  Y gọi ánh xạ co   (0,1): d(f(x),f(y))   d(x,y),  x,y  X TC: f án h xạ co  f ánh xạ liên tục Nguyên lý ánh xạ co: Cho X không gian metric đầy, f: X  X án h xạ co tồn điểm bất động x0 C Phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm X B1: CM X đầy B2: CM tồn ánh xạ f: X  X   x  X CM f(x)  X B3: CM f án h xạ co (hoặc f2,f3,… án h xạ co) D Bài tập mẫu Bài 1: Cho không gian metric X đầy án h xạ f: X  X CMR fn ánh xạ co  !x0  X: f(x0)=x0 Giải: - Do fn ánh xạ co nên theo nguyên lý án h xạ co  !x0  X: fn(x0)=x0 - Xét f(x0)=f(fn (x0))= fn+1(x0)= fn(f(x0))  f(x0) điểm bất động fn Mà điểm bất động nên f(x0)= x0 Bài : Cho X không gian compact ánh xạ f: X  X CMR Nếu d(f(x),f(y))0,   2 >0 cho | t - t | <  1  | Ax(t1)-Ax(t2)| < | t1 - t2 | = 2 =  2 Vậy Ax liên tục [0,1] hay Ax  C[ 0,1]  - CM Ax ánh xạ co Xét với  x,y  C[ ,1] , t  [0,1] | Ax(t)-Ay(t)| = | t2 1 | Ax(t1)-Ax(t2)| =| sin(t1  x( s ))ds -  sin(t  x( s ))ds |  20 20 t2 =| x ( s) sin( s) ds |  | x ( s ) | ds   t1  >0 cho | t - t | <  || x ||  =  | Ax(t1)-Ax(t2)| 0,   - CM Ax2 án h xạ co Xét với  x,y  C[ 0,1] , t  [0,1] t t | Ax(t)-Ay(t)| = | x ( s ) sin( s )ds -   y (s ) sin( s )ds | t t  1   | x( s )  y( s ) | ds   max | x( s)  y ( s) | ds 20 s[ ,1] 1 d ( x, y )ds = d(x,y)  20   max | x( s )  y ( s ) | ds =t d(x,y) (*) Vậy Ax án h xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co tồn x0 cho Ax0=x0 Vậy phương trình có nghiệm C[ ,1] b Làm câu a s[ 0,1] t 2 | Ax (t)-Ay (t)| = | t  Ax(s) sin(s)ds -  Ay(s) sin(s)ds | t t   | Ax( s)  Ay( s ) | ds   s.d ( x, y )ds =  1  | Ax(t)-Ay(t)|  d(x,y)  max | Ax(t)-Ay(t)|  d(x,y) t  [ , ] 2  d(Ax,Ay)  d(x,y)     [0,1] : d(Ax,Ay)   d(x,y) t t c Ax(t)= x ( s ) sin( s )ds C[ 0,1]   [0,1] : d(Ax2,Ay2)   d(x,y) Vậy Ax2 ánh xạ co  tồn x0 cho Ax0=x0 Vậy phương trình có nghiệm C[ 0,1] (theo tc 1)    t d Ax(t)=  x(s) cos(ts)ds C[ 0,1] Làm tương tự câu c với lưu ý: t1 t2 | Ax(t1)-Ax(t2)| = | x ( s ) cos(t1 s )ds - x ( s) cos(t s) ds |   t2 t1 = | x ( s )[cos(t1 s )  cos(t s )]ds - x ( s) cos(t s) ds |   t1 - C[ 0,1] đầy t2 t1  C[ 0,1]   max | x( s ) | | t1  t | s.ds + Thật Xét với   t1,t2  đó: t2 | Ax(t1)-Ax(t2)| =| x ( s ) sin(s )ds - x ( s) sin( s) ds | t1 t2 t1  Ax liên tục [0,1]    | x( s) | | cos(t1 s )  cos(t s) | ds +  | x( s) | cos(t s )ds  CM Ax  C[ 0,1] ,  x  C[ ,1]  t2 d(x,y) d(x,y) t1 s[ 0,1] = ||x||.| t1 - t2 | - CM tồn ánh xạ A: C[ 0,1]  max | x(s) | ds t1    | sin( t  x ( s )  sin( t  y ( s ) | ds 20 =  t1 = | [ x ( s)  y ( s )] sin(s) ds |  | x ( s)  y ( s ) | ds 1 sin(t  x( s)) ds -  sin(t  y ( s ))ds |  20 20 t2 s[ 0,1] = ||x||.| t1 - t2 |  max | x( s) | ds t1 s[ ,1] t12 + ||x||.| t1 - t2 |  ||x||.| t1 - t2 | 2 12 Giải: Tích phân vế phương trình ta có: t e Ax(t)= e   x2 ( s ) ds C[ ,1]  t1 | Ax(t1)-Ax(t2)| = | e  t2 =| e  x2 (s) t1  x2 ( s ) t2 t2 ds - x e (s) ( s) ds |   x(  ) - x(0) =  + ds |   | e  x   x' (t )dt   (1  x(t ) cos t )dt Làm tương tự câu c với lưu ý:  x(t ) cos t.dt | ds  | t1 - t2 |   x(  ) =  + t1  x(t ) cos t.dt t Và | Ax(t)-Ay(t)| =| e  x2 (s) ds -  y (s) Đặt Ax(t) = t + ds | e  x2 (s)  ey ( s) t ds |   | e  x ( s)  ey ( s) | ds 0 CM Ax liên tục: Làm tương tự câu c Tìm  để Ax ánh xạ co Xét với  x,y t  | x(s)  y (s) | ds   max | x(s)  y (s) | ds  x(s) cos s.ds t  e t =| t t s[ 0,1]  C[ 0, ] , t  [0,  ] t | Ax(t)-Ay(t)| = | t + t  x(s) cos s.ds - t -  y (s) cos s.ds | =t d(x,y) t Bài 5: Cho f: [0,r]  [0,r] xác đònh f(x)=x2 Tìm r để f ánh xạ co Giải: Rõ ràng [0,r] đầy ánh xạ xác đònh f(x)=x2 án h xạ liên tục [0,r] Xét  x,y  [0,r] |f(x)-f(y)| = |x2-y2|=|x+y|.|x-y|  (|x|+|y|).d(x,y)  2r d(x,y) Để f án h xạ co  2r (0,1)  r  (0, t =| [ x ( s)  y ( s )] cos s.ds |  | x( s)  y ( s ) | ds   0 t   max | x( s )  y ( s ) | ds =t.d(x,y)   d(x,y) s[ 0,1] Vậy với   (0,1) Ax ánh xạ co Khi theo nguyên lý ánh xạ co  !x0  C[ 0, ] để Ax0=x0 ) Bài 6: Cho f: [a,b]  [a,b] khả vi [a,b] CMR f ánh xạ co  K 0 cho |f(x)-f(y)|  K |x-y| f ( x)  f ( y ) f ( x)  f ( y ) |  K  | lim | K y  x x y x y  | f ' ( x) |  K | CM nghòch: Do f khả vi [a,b] nên áp dụng đònh lý lagrange  c’  (a,b) cho f ( x)  f ( y)  f ' (c)  K x y f ( x)  f ( y ) |  K  | f(x)- f(y) |  K.|x-y| x y  d(f(x),f(y))  K.dx,y) | Vậy f ánh xạ co  x' (t )   x(t ) cos t  >0 cho   x(0)  Có nghiệm C[ 0, ] Bài 7: CMR  13 Rõ ràng x0(t)  C[ 0,1] (hàm hằng) CHƯƠNG 6: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC ||x0|| = max |x0(t)| = max |1| = t[ ,1] A Toán tử tuyến tính Cho X, Y khôn g gian tuyến tính A: X  Y toán tử tuyến tính :  x,y  A,   ,   K ta có: A(  x+  y)=  Ax +  Ay x || x|| 1  ||Ax0|| = max |x0(t2)| = Làm câu a với lưu ý ||Ax|| = max |Ax(t)| = max |  (t)x(t)|  ||  ||.||x|| t[ ,1] t[ 0,1] Vậy tồn M = ||  ||  A liên tục ||A||  ||  || Tìm chuẩn A cách đặt x0(t)= 1, t  [0,1] ||A||  ||Ax0|| = max |  (t)x0 (t)| = max |  (t)| =||  || b Ax(t) = tx (t )dt , , x  C[ 0,1]  Giải: a Làm câu a với lưu ý ||Ax|| = |Ax(t)| =| x(1)-x(-1)|  max |x(1) + max |x(-1)| = ||x|| + ||x|| = 2||x|| D Bài tập mẫu t[ ,1] Bài 1: CM cá c toán tử sau tuyến tính liên tục tính chuẩn chúng a A: C[ 0,1]  C[ ,1] , Ax(t)=x(t2)  C[ ,1] , Ax(t)=t2x(0) c A: C[ 0,1]  C[ ,1] , Ax(t)=  (t)x(t), với  (t)  C[ ,1] d A: C[ 0,1]  C[ ,1] , Ax(t)=x(t) t[ ,1] Đặt x0 (t) = t , t  [0,1] ||A||  ||Ax0|| = max | x(1)-x(-1)| = max = t[ ,1] t[ ,1] b Ax(t) =  tx(t )dt CM A toán tử tuyến tính Xét  x,y  A,   ,   K ta có: A(  x+  y) =  C[ ,1] , Ax(t)=x(t2)  t (x  y)(t )dt =  tx(t )  ty (t )dt =  tx (t )   ty (t ) dt =  Ax +  Ay    x(t2) +  y(t2) =  Ax +  Ay CM A liên tục  A bò chặn   M>0: ||Ax||  M.||x|| Thật vậy: ||Ax||= max |Ax(t)| = max |x(t2)|  max |x(u)| =||x|| t[ ,1] CM A toán tử tuyến tính Xét  x,y  A,   ,   K ta có: t[ 0,1] t[ ,1] Bài : CM cá c phiếm hàm sau tuyến tính liên tục tìm chuẩn chúng a Ax(t) = x(1)-x(-1) , x  C[ 0,1] TC: 1.Nếu ||Ax||  M.||x|| ,  x  X ||A||  M 2.||Ax||  ||A||.||x|| b A: C[ 0,1]  (t)  C[0,1] d Làm câu a || Ax || = sup || Ax ||  ||Ax0|| với ||x0||=1 || x || xX A(  x+  y) = (  x+  y)(t 2) = (2) Từ (1) (2)  ||A|| = b Làm câu a c A: C[ 0,1]  C[ 0,1] , Ax(t)=  (t)x(t), với || x|| 1 Giải: a C[ 0,1] || Ax || = sup || Ax || || x || xX t[ ,1] C Không gian L(X,Y) Cho X, Y khôn g gian đònh chuẩn L(X,Y)={ A: X  Y toán tử tuyến tính liên tục} Với phép cộng: (A +B)x =Ax +Bx Phép nhân : (  A)x=  AX Khi đó:   L(X,Y) ta có: x  ||A|| = sup t[ ,1] B Tính liên tục bò chặn Cho X, Y khôn g gian đònh chuẩn A: X  Y toán tử tuyến tính đó: - A liên tục x0  {xn}  A, xn  x0 Axn  Ax0 - A liên tục X  A liên tục điểm X - A bò chặn   M >0: ||Ax||Y  M.||x||X TC: A liên tục  A bò chặn ||A|| = sup t[ 0,1] u[ ,1] Vậy tồn M =1  A bò chặn  A liên tục ||A||  Tìm chuẩn A Đặt x0(t) = , t  [0,1] (1) CM A liên tục  A bò chặn   M>0: ||Ax||  M.||x|| Thật vậy: 1 0 ||Ax|| =| tx(t ) dt |  t | x(t ) | dt  t max | x(t ) | dt    =||x|| tdt =  0 t[ ,1] t2 ||x||  ||x|| 2 14 Vậy  M = 1  A bò chặn  A liên tục ||A||  2 (1) Chọn n =N ta có ||x N||=1 cho ||f(x N)|| > N Tìm chuẩn A Đặt x0(t) = , t  [0,1] Rõ ràng x0(t)  C[ 0,1] (hàm hằn g) yx N yx N | y| || = < r nên x  S(0,r)  ||x|| = || N f (xN ) f (xN ) yx N Xét f(x)=f( )=y f (xN ) Vậy  x  S(0,r) cho y =f(x) hay R  f(S(0,r)) (2) Từ (1) (2)  f(S(0,r))=R Đặt x= ||x0|| = max |x0(t)| = max |1| = t[ ,1] t[ ,1] || Ax || = sup || Ax ||  ||A|| = sup x || x || xX || x|| 1 1  ||Ax0|| = |  tx (t ) dt | =|  tdt | = 0 (2) L(M) = { xn - Do ||Axn|| >n||xn||  ||A( ||x’n|| = || n || xn || xn  x i ni , x ni  M } không gian tuyến tính nhỏ i 1 Bài 3: Cho X,Y không gian đònh chuẩn, A: X  Y toán tử tuyến tính CMR {xn}  X, xn  có {Axn} bò chặn Y A liên tục Giải: Ghi điều cần CM A liên tục  A bò chặn   M >0 : ||Ax||  M.||x||,  x  X Phản chứng: giả sử A không liên tục Ta tìm điều vô lý   {xn}  X,  n  N ||Axn|| >n||xn|| Ta tìm điều vô lý Thật xn Bài : Bao tuyến tính tập M m Từ (1) (2)  ||A|| = Đặt x’n=   n  N,  {x n}  X cho ||f(x n)|| > n||x n||   n  N,  {x n}  X, ||x n||=1 cho ||f(x n)|| > n chứa M Cho X, Y khôn g gian đònh chuẩn A,B: X  Ylà toán tử tuyến tính liên tục M  X cho L(M ) =X CMR: Nếu Ax=Bx,  x  M Ax=Bx  x  X Giải: - CM Ax=Bx,  x  L(M) m Ax = A = m  A i x ni =   i Axni , x ni  M i 1 m i 1 m )|| > n i 1 m   Bx =  B x i ni i 1 n || xn || m   i xni = i i 1 ni =B  x i ni =Bx i 1 - CM Ax=Bx,  x  L (M ) Do x  L(M ) nên x điểm dính L(M)   {xn}  L(M) cho xn  x  L(M) nên ta có Axn=Bxn  lim Axn = lim Bxn  Ax=Bx,  x  L(M ) Do xn || = n || xn || xn ||Ax’n||= ||A( n || xn ||  nên {x’n} hội tụ n )|| > n n n   nên {Ax’n} không bò chặn Bài 6: Cho x không gian đònh chuẩn thực f phiếm hàm xác đònh X CMR: f liên tục  A ={x X: f(x)  } Vô lý cho x’n  có {Ax’n} bò chặn Vậy A liên tục Bài 4: Giả sử f phiếm hàm tuyến tính không liên tục không gian đònh chuẩn thực X CMR:  r>0 f(S(0,r))=R Giải: Hiển nhiên f(S(0,r)  R (1) Cần CM R  f(S(0,r)) Ghi điều cần CM R  f(S(0,r))  lấy tùy ý y  R CM y  f(S(0,r))   x  S(0,r) cho y =f(x) Thật - Do y  R nên  N  N cho | y| n.||xn||   n  N,  {xn}  X, ||xn|| =1: ||f(xn)|| > n xn x || x ||  || x’n || =|| n ||= n =  n n n n x f (xn ) n f(x’n)=f( n )= > =1 nên x’n  A, mà A đóng nên x’n  n n n 15  A (vô lý f(0)0  |Tx(t)|   +2M2   8 ) =M CM d(Tx,Ty)   d(x,y) Với   =   8    +2( cos(xy(x)); y(0)=0 có Câu (2008): 16 Câu (2009): ||Tf||  2||f|| nên T liên tục ||T||  Đặt f0(t)=2t-1, t  [-1,1] ta CM ||T||  Câu (2009): Sử dụng BĐT: | e  u3  e v |  3 | u - v| 9e  B fn   B n B không mở tồn r=10 dso cho s(x,10>  C[ 0,1] \B   Bài (2010) B không đóng  fn=6+ Câu (2011 đợt 2) ||Ax||  2||f|| nên A liên tục ||A||    ;0  t  , t  [0,1] ta CM ||A||  Đặt f0(t)=   t 1; t  Câu (2012 đợt 1) a CM G tập đóng Ghi điều cần CM G đóng   {( x n , f ( x n )}  G giả sử cho ( x n , f ( x n )  ( x , y ) n Ta CM ( x , y )  G hay CM y  f ( x ) Thật - Do ( x n , f ( x n )  ( x , y ) n   nên ta có: xn  x0 f ( xn )  y (1) Vì f liên tục nên f liên tục x  Nếu xn  x0 n   f ( xn )  f ( x0 ) (2) Mà giới hạn nên từ (1), (2) ta có f ( x )  y b Giả sử G đóng, Y compact CM f liên tục Ghi điều cần CM f liên tục  Lấy tùy ý x  X f liên tục x0     ,   , {xn }  X , giả sử cho d ( xn , x0 )   ta CM p ( f ( x n ), f ( x ))   Thật - Do G mở nên {x n , f ( x n )}  G ; ( x n , f ( x n ))  ( x , f ( x ))  G , x  X - Do Y compact nên  {yn }  Y , {ynk }  {yn }: ynk  y0 Y    : d * (( x n , f ( xn )), ( x0 , f ( x0 ))   Chọn  =   d * (( x n , f ( x n )), ( x , f ( x )) >0 - Ta có d ( x n , x )    d ( xn , x0 )    d * (( xn , f ( xn )), ( x0 , f ( x0 )  d ( xn , x0 )    d ( x n , x0 )  p ( f ( x n ), f ( x0 ))  p ( f ( xn ), f ( x0 ))    2d ( xn , x0 )   17 [...]... về 0 n )|| > n n n   nên {Ax’n} không bò chặn Bài 6: Cho x là không gian đònh chuẩn thực và f là phiếm hàm xác đònh trên X CMR: f liên tục  A ={x X: f(x)  1 } Vô lý vì bài cho nếu x’n  0 đều có {Ax’n} bò chặn Vậy A liên tục Bài 4: Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính không liên tục trên không gian đònh chuẩn thực X CMR:  r>0 thì f(S(0,r))=R Giải: Hiển nhiên f(S(0,r)  R (1) Cần CM R  f(S(0,r))... x0(t)= 1, t  [0,1] khi đó ||A||  ||Ax0|| = max |  (t)x0 (t)| = max |  (t)| =||  || 1 b Ax(t) = tx (t )dt , , x  C[ 0,1]  0 Giải: a Làm như câu a bài 1 với lưu ý ||Ax|| = |Ax(t)| =| x(1)-x(-1)|  max |x(1) + max |x(-1)| = ||x|| + ||x|| = 2||x|| D Bài tập mẫu t[ 0 ,1] Bài 1: CM cá c toán tử sau là tuyến tính liên tục và tính chuẩn của chúng a A: C[ 0,1]  C[ 0 ,1] , Ax(t)=x(t2)  C[ 0 ,1] , Ax(t)=t2x(0).. .Giải: Tích phân 2 vế của phương trình ta có: t e Ax(t)= e   x2 ( s ) ds trong C[ 0 ,1]  0 t1 | Ax(t1)-Ax(t2)| = | e  t2 =| e  x2 (s) t1  x2 ( s ) 0 t2 t2 ds - x e 2 (s) 0 2 ( s) 0 ds |   x(  ) - x(0) =... tuyến tính nhỏ nhất i 1 Bài 3: Cho X,Y là không gian đònh chuẩn, A: X  Y là toán tử tuyến tính CMR {xn}  X, xn  0 đều có {Axn} bò chặn trong Y thì A liên tục Giải: Ghi ra điều cần CM A liên tục  A bò chặn   M >0 : ||Ax||  M.||x||,  x  X Phản chứng: giả sử A không liên tục Ta tìm một điều vô lý   {xn}  X,  n  N thì ||Axn|| >n||xn|| Ta tìm một điều vô lý Thật vậy xn Bài 5 : Bao tuyến tính... CM Ax liên tục: Làm tương tự câu c bài 4 Tìm  để Ax là ánh xạ co Xét với  x,y t  | x(s)  y (s) | ds   max | x(s)  y (s) | ds 0  x(s) cos s.ds 0 t 0  e 0 t =| t t s[ 0,1]  C[ 0, ] , t  [0,  ] khi đó t | Ax(t)-Ay(t)| = | t + t  x(s) cos s.ds - t -  y (s) cos s.ds | 0 =t d(x,y) t Bài 5: Cho f: [0,r]  [0,r] xác đònh bởi f(x)=x2 Tìm r để f là ánh xạ co Giải: Rõ ràng [0,r] đầy và ánh xạ... đònh bởi a d(x,A)=d(x, A ) b d(A,B)=d( A , B ) Câu 6 : CMR phương trình sau có nghiệm x chuẩn của A  C[ 0, ] 1 sin(t  s )  x 2 ( s ) e ds t  s 0 x(t) = Đề thi năm 2009 Câu 5 : CMR phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trên C[1,1] Tf =  1 Ax(t )  2 t x(t ) CM A là toán tử tuyến tính liên tục và tìm Hướng dẫn: Cậu 5 (2006): Câu 6 (2006): tích phân 2 vế từ 0 tời t ta có:  0 3 t  1 0 f (t ) dt -... f  C[1,1] Tìm chuẩn của T 0 Câu 5 (2007): A đóng, làm như bài 5 chương 2 Câu 6 (2007): t Câu 6 : CMR phương trình f(t) = 1 [ t  f ( s )] 2 e ds có nghiệm 2 0 t  0 x[ 0 ,1] mở không đóng trong C[ 0,1] Đặt M =  +  max | x( s) | 2 ds 0 = Đề thi năm 2010 Câu 5 : CMR tập hợp B ={ f  C[ 0,1] : 6< min f(x)  10 } không Câu 6 : CMR phương trình y’=x + t 2 |Tx(t)| = |  + x ( s )ds |  duy nhất... ) | ds =t.d(x,y)   d(x,y) 0 s[ 0,1] Vậy với   (0,1) thì Ax là ánh xạ co Khi đó theo nguyên lý ánh xạ co  !x0  C[ 0, ] để Ax0=x0 1 ) 2 Bài 6: Cho f: [a,b]  [a,b] khả vi trên [a,b] CMR f là ánh xạ co khi và chỉ khi  K 0 sao cho |f(x)-f(y)|  K |x-y| f ( x)  f ( y ) f ( x)  f ( y ) |  K  | lim | K y  x x y... chặn   M>0: ||Ax||  M.||x|| Thật vậy: ||Ax||= max |Ax(t)| = max |x(t2)|  max |x(u)| =||x|| t[ 0 ,1] 0 1 CM A là toán tử tuyến tính Xét  x,y  A,   ,   K ta có: t[ 0,1] t[ 0 ,1] Bài 2 : CM cá c phiếm hàm sau tuyến tính liên tục và tìm chuẩn của chúng a Ax(t) = x(1)-x(-1) , x  C[ 0,1] TC: 1.Nếu ||Ax||  M.||x|| ,  x  X thì ||A||  M 2.||Ax||  ||A||.||x|| b A: C[ 0,1]  (t)  C[0,1] d... f ( y ) |  K  | f(x)- f(y) |  K.|x-y| x y  d(f(x),f(y))  K.dx,y) | Vậy f là ánh xạ co  x' (t )  1  x(t ) cos t  >0 sao cho   x(0)  0 Có nghiệm duy nhất trên C[ 0, ] Bài 7: CMR  13 Rõ ràng x0(t)  C[ 0,1] (hàm hằng) CHƯƠNG 6: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC ||x0|| = max |x0(t)| = max |1| = 1 t[ 0 ,1] A Toán tử tuyến tính Cho X, Y là khôn g gian tuyến tính A: X  Y là toán tử tuyến tính ... động x0 C Phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm X B1: CM X đầy B2: CM tồn ánh xạ f: X  X   x  X CM f(x)  X B3: CM f án h xạ co (hoặc f2,f3,… án h xạ co) D Bài tập mẫu Bài 1: Cho... không bò chặn Bài 6: Cho x không gian đònh chuẩn thực f phiếm hàm xác đònh X CMR: f liên tục  A ={x X: f(x)  } Vô lý cho x’n  có {Ax’n} bò chặn Vậy A liên tục Bài 4: Giả sử f phiếm hàm tuyến... trò min, max X D Bài tập mẫu Bài 1: Cho không gian đònh chuẩn X; A,B  X CMR a Nếu A compact B đóng A +B đóng b Nếu A,B compact A+B compact c Nếu A compact B đóng A  B compact Giải: a Nếu A compact