NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A3 2 x y z    2 a b c THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 CHƯƠNG 1.1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Hàm nhiều biến 1.1.1 Các định nghĩa Một qui luật f đặt tương ứng cặp số thực ( x, y )  D  D, D  R với phần tử z  R ta nói f hàm hai biến số D  D Ký hiệu f : D  D  R hay z  f ( x, y ) Ví dụ: Các hàm z  xy, t  x  y  Đối với hàm ba biến ta có định nghĩa tương tự, ta có: u  f ( x, y, z ) Chẳng hạn u   x  y  z , u  x  y  z , Tập hợp cặp ( x, y ) mà ứng với chúng xác định giá trị z gọi miền xác định hàm hai biến z  f ( x, y ) , ký hiệu D( f ) Ví dụ: Miền xác định hàm z  2 x  y  Vậy D( f ) gồm điểm 1 x  y nằm vòng tròn tâm gốc toạ độ bán kính Miền xác định hàm z  sin( x  y) R 1.1.2 Giới hạn hàm hai biến Số L gọi giới hạn hàm z  f ( x, y ) điểm M ( x, y) tiến đến điểm M ( x0 , y0 ) với   bé tuỳ ý cho trước tìm   cho  M M   f ( x, y )  A   Ký hiệu lim f ( x, y)  A hay lim f ( x, y )  A M M x  x0 y  y0 Giới hạn hàm hai biến định nghĩa thông qua giới hạn dãy sau: Cho hàm số f ( M )  f ( x, y ) xác định miền D chứa điểm M ( x0 , y0 ) trừ điểm M Ta nói L giới hạn f ( x, y ) điểm M ( x, y ) dần tới điểm M ( x0 , y0 ) với dãy M n ( xn , yn ) thuộc D dần tới M ta có lim f ( xn , yn )  L n Ký hiệu Ví dụ: Tính lim ( x , y ) ( x0 , y0 ) lim ( x , y )  (0,0) f ( x, y)  L hay lim f ( M )  L M M f ( x, y ) với f ( x, y)  xy x  y2 Ta có f ( x, y )  lim ( xn , y n )  (0,0) x x2  y2 y  y , ( x, y )  (0, 0) ,  ( xn , yn )  (0, 0) ta có f ( xn , yn )  = Ví dụ: Chứng minh lim x 0 y 0 xy không tồn x  y2 Cho y  x ta có L  lim x 0 y 0 x2 2x2  L  lim  Vậy , cho y  x 2 2 x  x x x  4x y 0 ( x, y ) tiến (0, 0) theo hướng khác f ( x, y ) có giới hạn khác xy Do lim không tồn x 0 x  y y 0 1.1.3 Tính liên tục hàm hai biến Giả sử M ( x0 , y0 )  D( f ) Hàm z  f ( x, y ) gọi hàm liên tục điểm M0 lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) x  x0 y  y0 Hàm số liên tục điểm miền gọi hàm liên tục miền Điểm mà hàm số không liên tục gọi điểm gián đoạn hàm số Ví dụ: Hàm số f ( x, y)  x  y liên tục điểm R Hàm số lim x 0 y 0 1.2  xy , ( x, y )  (0, 0)  f ( x, y)   x  y gián đoạn (0, 0) không tồn 1 , ( x, y)  (0, 0)  xy x  y2 Đạo hàm riêng 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm z  f ( x, y ) Nếu xem y số (tham số) f trở thành hàm biến số x Ta gọi đạo hàm riêng z theo biến x giới hạn z f ( x  x, y)  f ( x, y )  lim  x  x x Ký hiệu z x' , f x' , z f , Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng hàm x x z  f ( x, y ) theo biến y Ví dụ: Cho z  x  y Ta có z z  x,  x y Hàm số z  x y Ta có z z  x y ln x  yx y -1 y x 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm số z  f ( x, y ) Các đạo hàm f x' , f y' đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp hai Ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai sau:   f   f  f x''2  x, y    x  x  x   f   f  f yx''  x, y    x  y  xy   f   f  f xy''  x, y    y  x  yx   f   f  f y''2  x, y    y  y  y Nếu lân cận U điểm M ( x0 , y0 ) hàm số z  f ( x, y ) có đạo hàm riêng f xy'' , f yx'' đạo hàm liên tục M f xy'' ,  f yx'' M Ví dụ: z  e xy ; 1.3 2 z 2 z  e xy  xye xy  xy yx Vi phân toàn phần 1.3.1 Định nghĩa Nếu hàm số z  f ( x, y ) có đạo hàm riêng lân cận điểm ( x0 , y0 ) đạo f f hàm riêng , liên tục ( x0 , y0 ) ta có x y z  f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f f ( x0 , y0 )x  ( x0 , y0 )y  0(  ) x y Trong x  x  x0 , y  y  y0 ,   (x)2  (y )2   , z  f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) gọi số gia toàn phần z Hàm 0(  ) vô bé cấp cao    Ta nói hàm z khả vi điểm ( x0 , y0 ) Khi z  f ( x, y ) khả vi ( x0 , y0 ) ta gọi phần tuyến tính f f ( x0 , y0 ) x  ( x0 , y0 )y vi phân toàn phần z  f ( x, y ) ( x0 , y0 ) ký hiệu x y dz ( x0 , y0 ) Vậy: dz ( x0 , y0 )  f f ( x0 , y0 ) x  ( x0 , y0 ) y x y hay df ( x, y )  f f ( x, y)dx  ( x, y )dy x y Ví dụ: Xét hàm z  x y ta có: dz  z z dx  dy  yx y 1dx  x y ln x dy x y 1.3.2 Vi phân cấp hai Vi phân cấp hai hàm z  f ( x, y ) vi phân toàn phần df ( x, y ) tức d (df ) kí hiệu d z hay d f Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta công thức: d f ( x, y )  2 f 2 f 2 f dx  dxdy  dy x xy y 1.3.3 Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần Xét hàm z  f ( x, y ) khả vi ( x0 , y0 ) Khi x y đủ bé ta có công thức gần sau: z  f ( x, y)  f ( x0 , y0 )  f f ( x0 , y0 )x  ( x0 , y0 )y x y f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f f ( x0 , y0 ) x  ( x0 , y0 ) y x y Ví dụ: Tính gần giá trị 1, 023,01 Xét hàm z  x y , x  1, y  3, x  0, 02, y  0, 01 Khi đó: 1, 023,01   0,06  1, 06 1.3.4 Đạo hàm hàm hợp Cho z  f (u , v) với u  u ( x, y), v  v( x, y ) đạo hàm riêng tính sau: z z u z v   x u x v x Tương tự z z u z v   y u y v y Ví dụ: Với z  eu  v2 , u  a cos x, v  a sin x thì: dz z du z dv   dx u dx v dx  eu  v2  2aeu 1.4 2u (a sin x)  eu v 2  v2 2v(a cos x) (v cos x  u sin x) Cực trị hàm hai biến 1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu M ( x0 , y0 ) gọi điểm cực đại z  f ( x, y ) điểm M ( x, y) lân cận M0 ta có f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) Trong trường hợp ta nói hàm z  f ( x, y ) đạt cực đại M ( x0 , y0 ) Nếu thay chữ “đại” chữ “tiểu” bất đẳng thức f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) thay f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) M ( x0 , y0 ) gọi điểm cực tiểu z  f ( x, y ) Điểm cực đại cực tiểu chưa cần phân biệt gọi chung cực trị Ví dụ: Cho hàm z  x  ( y  1)2  Ta có z (0,1)  z ( x, y )   z (0,1), ( x, y ) Vậy (0,1) điểm cực tiểu hàm z Giá trị cực tiểu thu Điểm (2,3) điểm cực trị hàm z lân cận có điểm khác mà giá trị chúng lớn hơn, nhỏ giá trị z (2,3) ? 1.4.2 Cách tìm điểm cực trị hàm hai biến Người ta chứng minh hàm z  f ( x, y ) đạt cực trị M ( x0 , y0 ) f f , không tồn hai đạo hàm riêng đạo hàm riêng Các x y f f điểm ( xo , yo ) mà ( xo , yo )  ( xo , yo )  điểm dừng x y Như để tìm cực trị hàm hai biến trước hết ta tìm điểm ( xo , yo ) mà không tồn hai đạo hàm riêng điểm dừng Giả sử M ( x0 , y0 ) điểm dừng z  f ( x, y ) M0 hàm z có đạo hàm riêng 2 z 2 z 2 z ( x , y )  A , ( x , y )  B , ( x0 , y0 )  C Khi đó: 0 0 x xy y Nếu B  AC  hàm đạt cực trị M0 (đạt cực tiểu A  , đạt cực đại A  ) Nếu B  AC  hàm cực trị M0 Nếu B  AC  chưa có kết luận Ví dụ : Tìm cực trị hàm số f ( x, y)  x3  y  xy Ta có f x'  x  y, f y'  y  x ( x, y ) hay hàm số tồn hai đạo hàm riêng Các điểm dừng nghiệm 3 x  y   y  12 x   2 3 y  x   x  y Giải hệ ta hai điểm dừng M (0; 0) M (2; 2) Xét điểm M (0; 0) : Ta có: A  f xx'' (0; 0)  x M  , B  f xy'' (0; 0)  6 , C  f yy'' (0; 0)  y M  0 B  AC  36  nên M0 cực trị Xét điểm M (2; 2) : Ta có: A  f xx'' (2, 2)  x M  12 , B  f xy'' (2, 2)  6 , C  f yy'' (2, 2)  y M  12 1 B  AC  108  Mà A  12  Do (2, 2) điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu f (2, 2)    24  8 1.4.3 Cực trị có điều kiện Bài toán cực trị có điều kiện toán tìm cực trị hàm z  f ( x, y ) với ràng buộc  ( x, y )  Điều khác với tìm cực trị tự hàm z  f ( x, y ) toàn tập xác định thỏa điều kiện  ( x, y )  Từ điều kiện  ( x, y )  suy y  y( x) hàm z  f ( x, y)  f ( x, y ( x)) hàm số biến Ta tìm cực trị hàm biến Trong trường hợp việc rút y  y( x) phức tạp ta sử dụng phương pháp nhân tử số Lagrange theo bước sau: Bước Lập hàm Lagrange: L( x, y,  )  f ( x, y)   ( x, y) với  gọi nhân tử số Lagrange Bước Tìm điểm dừng hàm L, tức giải hệ phương trình:  L'x ( x, y,  )   '  Ly ( x, y,  )   '  L ( x, y,  )  Bước Xét dấu d L  L''xx dx  L''xy dxdy  L''yy dy điểm dừng ( x0 , y0 , 0 ) Nếu d L ( x0 , y0 , 0 )  zmax  f ( x0 , y0 ) Nếu d L ( x0 , y0 , 0 )  zmin  f ( x0 , y0 ) BÀI TẬP CHƯƠNG I Câu Miền xác định hàm số  x2  sin xy a) z  b) z  2 1 x  y  x2  y2  x2  sin x d) z  ln c) z  e) z  e1sin xy f) z  Câu Miền giá trị hàm số a) z  cos(1  xy ) b) w  xy sin z Câu Tính giới hạn xy  a) lim ( x , y ) (0;0) x  d) lim x 2 y 2 g) b) lim e x2  x  y lim e) x2  y x2 y2 lim ( x , y ) (0;0) x y h) ( x , y )(1;1) x2  y2  1 x y x4  y x2 y lim ( x , y ) (0;0) Câu Cho hàm số f ( x, y)   x2  y2 8 x  y c) w  x  x   y ( x , y )(1;0) x  xy  y x y xy x y c) lim ( x , y )(2;1) f) e e y sin(1/ x ) ( x , y )( ;1) 1/ x i) lim ( x  y ) sin x 0 y 0  x3  y ,  x, y   1, 1  c) f ( x, y )    x  y  1, 1  a , x, y  1, 1      Câu Tính đạo hàm riêng cấp d) z  x3  3x y e) z  ln x  x y Định nghĩa f (0, 0) để hàm số liên tuc R  x3  y ,  x, y    0,   b) f ( x, y)   x  y  0,   a ,  x, y    0,   b) z  e x  1 lim Câu Tìm a để hàm số liên tục  cos2 xy  ,  x, y    0,   a) f ( x, y)   x y R  a ,  x, y    0,0   a) z  x3  ln y  xy x2  y  yx x2  y2  ln x  c) z  x sin f) z  x 2tg x y x y Câu Tính đạo hàm riêng cấp hai a) z  e x sin y  x3  y c) z  x  y b) z  x  y d) z  sin(2 x  y ) Câu Tính b) z  x3  y3  ln  xy  c) z  cot g  x  y  z x với z = eucosv, u = xy, v = y y Câu Cho z  e x  y2 , x  a cos t , y  a sin t Tính Câu Cho z  ln x  y , y  sin x Tính z t z x Câu 10 Tìm cực trị hàm số sau: a) z  x  x  y  b) z  x  y  x  c) z  x  y d) z  xy  3x  y b) z  x  y c) z  4( x  y )  x  y ... y sin (1/ x ) ( x , y )(  ;1) 1/ x i) lim ( x  y ) sin x 0 y 0  x3  y ,  x, y   1, 1  c) f ( x, y )    x  y  1, 1  a , x, y  1, 1      Câu Tính đạo hàm riêng cấp d)... ( x0 , y0 ) y x y Ví dụ: Tính gần giá trị 1, 023, 01 Xét hàm z  x y , x  1, y  3, x  0, 02, y  0, 01 Khi đó: 1, 023, 01   0,06  1, 06 1. 3.4 Đạo hàm hàm hợp Cho z  f (u , v) với... -1 y x 1. 2.2 Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm số z  f ( x, y ) Các đạo hàm f x' , f y' đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp hai Ký hiệu đạo hàm riêng cấp