LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ 2005 MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU Trang CHƯƠNG I ĐẠI SỐ TỔ HP A.Tóm tắt lý thuyết B Các giải mẫu C Bài tập 10 CHƯƠNG II XÁC SUẤT A Tóm tắt lí thuyết 11 B Các giải mẫu 15 C Bài tập 26 CHƯƠNG III ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN A Tóm tắt lí thuyết 29 B Các giải mẫu 32 C Bài tập 41 CHƯƠNG IV CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI A Tóm tắt lí thuyết 44 B Các giải mẫu 48 C Bài tập 53 CHƯƠNG V LÝ THUYẾT MẪU A Tóm tắt lí thuyết 55 B Các giải mẫu 56 C Bài tập 59 CHƯƠNG V LÝ THUYẾT ƯỚC LƯNG A Tóm tắt lí thuyết 61 B Các giải mẫu 62 C Bài tập 69 CHƯƠNG VII KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ A Tóm tắt lí thuyết 72 B Các giải mẫu 74 C Bài tập 77 CHƯƠNG VIII TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY A Tóm tắt lí thuyết 80 B Các giải mẫu 82 C Bài tập 89 MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO 93 Đáp án thang điểm 99 CÁC BẢNG SỐ 114 TÀI LIỆU THAM KHẢO 120 CÁC KÍ HIỆU i = 1, k i nhận giá trò 1, 2, …, k A nk Số chỉnh hợp chập k n phần tử k An Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử C nk Số tổ hợp chập k n phần tử Pn Số hoán vò n phần tử P(A) Xác suất biến cố A A Biến cố đối lập biến cố A P(A/B) Xác suất biến cố A với điều kiện B Pn(k) = Pn(k ; p) Xác suất để biến cố xuất k lần n phép thử (p xác suất thành công) X, Y Các đại lượng ngẫu nhiên f(x) Hàm mật độ xác suất F(x) Hàm phân phối xác suất E(X) Kì vọng X D(X) Phương sai X (X) Độ lệch X X  B(n ,p) X có phân phối nhò thức X  H (N, M, n) X có phân phối siêu bội X  P(a) X có phân phối Poisson X  N(, 2) X có phân phối chuẩn X  N(0 ; 1) X có phân phối chuẩn chuẩn tắc X2  (n) X có phân phối bình phương n bậc tự X  T(n) X có phân phối Student f Tỉ lệ mẫu X Trung bình mẫu  S Phương sai mẫu S2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh S Độ lệch mẫu hiệu chỉnh  Độ xác ước lượng =1- Độ tin cậy ước lượng  Mức ý nghóa kiểm đònh RXY Hệ số tương quan X, Y rXY Hệ số tương quan tuyến tính mẫu LỜI NÓI ĐẦU Các bạn sinh viên thân mến, Lới nói đầu xin dành riêng cho bạn – đối tượng phục vụ Bài tập Xác suất – Thống kê mà bạn có tay Trong sách bạn tìm thấy nội dung sau đây: Phần đầu sách trình bày cách giải tập theo chương thuộc lónh vực xác suất thống kê toán học Mỗi chương gồm mục Mục A nêu tóm tắt khái niệm, đònh lý công thức sử dụng để giải tập Muốn hiểu nắm vững lý thuyết, bạn cần tham khảo thêm sách lí thuyết xác suất thống kê khác Mục B, “Các giải mẫu”, trọng tâm sách Trong mục này, tập phân loại theo dạng, phù hợp với thứ tự trình bày lí thuyết Một số dạng tập có tổng kết thành phương pháp giải chung Để giúp sinh viên tự đọc làm tập, sách Bài tập Xác suất – Thống kê cố gắng trình bày lời giải tỉ mỉ, đặc biệt tập chương II Mỗi lời giải trọng đến việc phân tích yêu cầu đề mục đích lời giải Các kết tập xác suất thường viết dạng phân số (tức số đúng) Còn tập thống kê có kết số gần với bốn chữ số thập phân Do đó, sai số bé nên bỏ qua Mục C giới thiệu tập tương tự để bạn tự giải Trong sách Bài tập Xác suất – Thống kê có đề thi học kỳ môn xác suất thống kê năm học gần Mỗi đề thi có thời gian làm 90 phút Các bạn tự giải đề thi thời gian qui đònh Sau thử chấm điểm theo đáp án thang điểm kèm theo để tự đánh giá lực Đề thi học kỳ thường có tính chất tổng hợp, có câu khó dành cho sinh viên giỏi Các bạn xem cách phân tích lập luận cách chi tiết đáp án để hiểu lời giải Phần phụ lục cuối sách bảng thống kê, dành cho việc tra cứu số liệu giá trò hàm phân phối xác suất, cần cho việc giải tập Sau cùng, tác giả chân thành cảm ơn TS Lê Anh Vũ Th.S Nguyễn Duy Thanh đọc góp ý sửa chữa thảo Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Dân lập Kỹ thuật Công nghệ TP Hồ Chí Minh, Phòng Quản lý khoa học, Phòng Kế hoạch – Tài chính, Ban Khoa học tập thể giảng viên Bộ môn Toán động viên, giúp đỡ để sách đến tay bạn đọc Hi vọng Bài tập Xác suất – Thống kê giúp bạn sinh viên hiểu rõ môn học vừa thú vò, vừa có nhiều ứng dụng thực tế Chúc bạn thành công TP Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng năm 2005 Tác giả CHƯƠNG I ĐẠI SỐ TỔ HP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng Giả sử công việc V tiến hành theo hai phương án A B Phương án A thực m cách, phương án B thực n cách Mỗi cách thực A không trùng với cách thực B Khi công việc V thực m + n cách b) Quy tắc nhân Giả sử công việc V bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A làm theo m cách, công đoạn B làm theo n cách Mỗi cách thực A có n cách thực B Khi công việc V thực theo m.n cách Chỉnh hợp, hoán vò, tổ hợp a) Chỉnh hợp Giả sử A tập hợp gồm n phần tử k số tự nhiên (1  k  n) Kết việc lấy k phần tử khác thuộc A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu A Kn Ta có : n! A kn  (1  k  n) (n  k )! với quy ước : ! = 1, n ! = 1.2.3 n (n  N*) b) Chỉnh hợp lặp Kết việc lấy k phần tử, không cần khác nhau, từ n phần tử cho xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử k Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử kí hiệu A n Ta có : A n = nk k (n  N* , k  N) c) Hoán vò Kết xếp n phần tử khác theo thứ tự gọi hoán vò n phần tử Số hoán vò n phần tử kí hiệu Pn Ta có Pn  A nn  n! (n  N*) d) Tổ hợp Mỗi tập gồm k phần tử khác tập hợp A có n phầ n tử gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C Kn Ta có : C Kn  A Kn  k! n! k!(n  k)! (n  N *,  k  n) B CÁC BÀI GIẢI MẪU Quy tắc cộng Bài Từ tỉnh X đến tỉnh Y ôtô tàu hỏa Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, chuyến tàu hỏa từ X đến Y Hỏi có lựa chọn để từ X đến Y ? Giải Ta xem công việc V từ X đến Y Có hai phương án thực : - A ôtô, có 10 cách chọn - B tàu hỏa, có cách chọn Mỗi cách chọn A không trùng với cách chọn B Theo quy tắc cộng, số cách lựa chọn để từ X đến Y : 10 + = 15 Bài Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác ? Giải Ta có ba phương án lập số : - A : Lập số có chữ số, có số, số 1, 2, - B : Lập số có hai chữ số, có số, số : 12, 13, 21, 23, 31, 32 - C : Lập số có ba chữ số, có số, số : 123, 132, 213, 231, 312, 321 Các cách lập đôi không trùng Vậy, theo quy tắc cộng, ta lập : + + = 15 số có chữ số khác từ ba chữ số cho Quy tắc nhân Bài Một thiết bò lắp ráp từ hai loại linh kiện Linh kiện loại có 10 chiếc, linh kiện loại hai có Hỏi có cách lắp thiết bò ? Giải Ta xem công việc V lắp thiết bò, bao gồm hai công đoạn : - A : Lắp linh kiện loại một, có 10 cách chọn ; - B : lắp linh kiện loại hai, có cách chọn Mỗi cách chọn linh kiện loại có cách chọn linh kiện loại hai Theo quy tắc nhân, số cách lắp thiết bò : 10 = 80 Bài Nếu không kể mã số vùng biển số xe máy có kí tự Kí tự vò trí chữ bảng 24 chữ cái, vò trí thứ hai chữ số thuộc tập hợp 1, 2, , 9 Bốn vò trí bốn chữ số thuộc tập hợp 0, 1, 2, , 9 Hỏi làm biển số xe máy khác nhau, không kể mã số vùng ? Giải Ta có 24 cách chọn chữ để xếp vò trí Tương tự có cách chọn chữ số cho vò trí thứ hai có 10 cách chọn chữ số cho vò trí bốn vò trí lại Theo quy tắc nhân, số biển số xe máy làm 24 10 10 10 10 = 160 000 Chỉnh hợp, hoán vò, tổ hợp Bài Một lớp học có 60 sinh viên Hỏi có cách chọn Ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó đời sống ? Giải Cách thứ Mỗi cách chọn chỉnh hợp chập 60 phần tử Do đó, số cách chọn A 330 = 60 59 58 = 205 320 Cách thứ hai Ta xem V công việc chọn Ban cán lớp, bao gồm ba công đoạn : - Thứ nhất, chọn lớp trưởng từ 60 sinh viên, có 60 cách - Thứ hai, chọn lớp phó học tập từ 59 sinh viên lại, có 59 cách - Thứ ba, chọn lớp phó đời sống, tương tự có 58 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn Ban cán lớp 60 59 58 = 205 320 Bài Trong trận chung kết bóng đá phải phân đònh thắng thua đá luân lưu 11 mét Huấn luyện viên đội cần trình với trọng tài danh sách thứ tự cầu thủ số 11 cầu thủ để đá luân lưu Hỏi huấn luyện viên đội có cách chọn? Giải Mỗi danh sách chỉnh hợp chập 11 phần tử Vậy, số cách chọn huấn luyện viên đội : = 55 440 A 11 Bài Có người lên đoàn tàu gồm toa Hỏi có cách lên tàu cách tùy ý? Giải Cách thứ Mỗi cách lên tàu chỉnh hợp lặp chập phần tử Vậy, số cách lên tàu A = 58 = 390 625 Cách thứ hai ta xem công việc V người lên tàu, bao gồm công đoạn : - Người thứ lên tàu, có cách chọn toa - Người thứ hai lên tàu, có cách chọn toa - v.v Tương tự, người thứ tám có cách chọn toa Theo quy tắc nhân, số cách lên tàu người : = 390 625 Bài Trong học môn Giáo dục quốc phòng, tiểu đội 10 sinh viên xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp ? Giải Mỗi cách xếp hoán vò 10 người Vậy số cách : P10 = 10 ! = 628 800 Bài Một lớp học có 50 sinh viên, buổi học cần chọn sinh viên làm trực nhật lớp Hỏi có cách chọn ? Giải Mỗi cách chọn sinh viên làm trực nhật lớp tổ hợp chập 50 phần tử Vậy số cách chọn C 350 = 19 600 10 Bài tập tổng hợp Bài 10 Một chi đoàn có 30 sinh viên nam 15 sinh viên nữ Cần chọn nhóm gồm sinh viên để tham gia chiến dòch “Mùa hè xanh” Thành Đoàn Hỏi có cách chọn cho nhóm có a) sinh viên chi đoàn ? b) sinh viên nữ ? c) nhiều sinh viên nữ ? d) sinh viên nữ ? Giải a) Mỗi cách chọn tổ hợp chập 45 đoàn viên, số cách C845 = 215 553 195 b) Việc chọn sinh viên theo yêu cầu đề bao gồm hai công đoạn : - Chọn sinh viên nữ số 15 sinh viên nữ, có C15 cách - Chọn sinh viên nam số 30 sinh viên nam, có C 530 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn nhóm C 530 = 64 840 230 C15 c) Việc thành lập nhóm theo yêu cầu đề có hai phương án thực : - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, tương tự câu b), số cách C15 C 30 ; - Nhóm có sinh viên nam, số cách C 830 Theo quy tắc cộng, số cách thành lập nhóm để có nhiều sinh viên nữ + C 830 = 36 389 925 C115 C 30 d) Cách thứ Việc lập nhóm gồm sinh viên chi đoàn thực theo hai phương án : - Nhóm gồm sinh viên nam (không có sinh viên nữ), số cách C 830 , - Nhóm có sinh viên nữ, số cách n Theo câu a), số cách lập nhóm gồm sinh viên C 845 Theo quy tắc cộng, ta có : C 830 + n = C 845 Suy ra, số cách lập nhóm để có sinh viên nữ : n = C 845 - C 830 = 209 700 270 Cách thứ hai Việc lập nhóm để có sinh viên nữ có phương án thực : - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, theo câu c), số cách C115 C 30 ; C 30 - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, tương tự, có C15 cách ; C130 ; - v.v , nhóm có nữ nam, số cách lập C15 - Nhóm có sinh viên nữ, số cách lập C15 Theo quy tắc cộng, số cách lập nhóm để có sinh viên nữ : 7 C115 C 30 C 30 C130 + C15 + C15 + …… + C15 = 209 700 270 11 C BÀI TẬP Một tòa nhà có 10 tầng, người vào thang máy xuất phát từ tầng Hỏi có cách cho a) người tầng khác ? b) người tầng tùy ý ? c) có hai người tầng, người lại tầng khác ? Một đội công nhân có 15 người, gồm nam nữ Có cách thành lập tổ công tác gồm a) người ? b) nam nữ ? c) nam nữ anh A chò B không ? Một lô hàng có 100 sản phẩm, có phế phẩm Chọn 12 sản phẩm để kiểm tra Hỏi có cách chọn a) sản phẩm ? b) cho số sản phẩm có không phế phẩm ? c) cho chọn phế phẩm ? Người ta lấy viên bi từ hộp đựng viên vi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng Hỏi có cách lấy a) viên bi tùy ý ? b) viên bi đỏ, viên bi xanh ? c) viên bi có mầu khác ? d) viên màu đỏ ? e) nhiều viên màu đỏ ? f) viên màu đỏ ? Một có 52 với chất khác nhau, chất rô có màu đỏ, chất pic chuồn có màu đen Chọn từ Hỏi có cách lấy a) màu đỏ ? b) ? c) át K ? d) rô màu đen ? e) không màu đỏ ? f) màu đen ? g) át ? 12 ĐỀ SỐ Câu I (3 điểm) Gọi Q biến cố bạn quà khuyến Rõ ràng Q phụ thuộc việc trước bạn vào gian hàng Do đó, ta gọi biến cố vào gian hàng thứ k Gk, k = 1,3 Khi ta có biến cố G1, G2, G3 nhóm đầy đủ nên P(Q) = P(G1)P(Q/G1) + … + P(G3)P(Q/G3) Đề cho ta P(Q/Gk), k = 1,3 Còn xác suất P(Gk) tính đònh nghóa Ta có P(G1) = ; P(G2) = ; P(G3) = 6 Vậy P(Q) = 0,2 + 0,4 + 0,3 = 6 15 Theo đề bài, biến cố Q xảy ra, ta cần tìm P(G3/ Q ) Áp dụng công thức Bayes, ta (1  0,3) P(G )P(Q / G ) P(G3/ Q ) =   22 P(Q) 1 15 Câu II (3 điểm) Ta có hai cách giải sau Cách thứ Gọi Vk biến cố viên đạn thứ trúng vòng tròn thứ k, k = 0,2 (Ở ta xem vòng tròn thứ việc bắn trượt) Tương tự Vk’ biến cố tương ứng viên đạn thứ hai Dễ thấy biến cố Vk, Vk’ độc lập với nên với X = 0, 3, 5, 6, 8, 10, ta có P(X = 0) = P(VoVo’) = 0,22 = 0,04 ; P(X = 3) = P(VoV2’ + V2Vo’) = 2.0,3.0,2 = 0,12 ; P(X = 5) = P(VoV1’ + V1Vo’) = 2.0,5.0,2 = 0,2 ; P(X = 6) = P(V2V2’) = 0,32 = 0,09 ; P(X = 8) = P(V1V2’ + V2V1’) = 2.0,5.0,3 = 0,3 ; P(X =10) = P(V1V1’) = 0,52 = 0,25 Vậy X có bảng phân phối xác suất X 10 P 0,04 0,12 0,2 0,09 0,3 0,25 108 Cách thứ hai Gọi Ti điểm xạ thủ sau bắn viên đạn thứ i (i = 1,2 ) Ta có T1, T2 T  T2 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trò 0, 6, 10 Và X = Ta có bảng giá trò X xác suất tương ứng sau X = (T1 + T2) P(X) T1 P1 10 T2 0,2 0,3 0,5 P2 0 0,2 0,04 0,06 0,10 6 0,3 0,06 0,09 0,15 10 10 0,5 0,10 0,15 0,25 Suy P(X = 0) = 0,04 ; P(X = 3) = 0,12 ; P(X = 5) = 0,20 ; P(X = 6) = 0,09 ; P(X = 8) = 0,30 ; P(X = 10) = 0,25 * Từ bảng phân phối xác suất ta có hàm phân phối xác suất X  , x  - , 0 0,04 , x  0, 3   0,16 , x  3, 5  F(x) = 0,36 , x  5, 6 0,45 , x  6, 8  0,75 , x  8, 10    , x  (10,  ) * E(X) = 6,8 ; E(X2) = 53,52 ; D(X) = 7,28 Câu III (4 điểm) a) (2 điểm) Từ mẫu ta tính  n = 150 ; X = 27,4 ; S X = 5,1225 ;  Y = 12,5733 ; S Y = 1,7679 ; XY = 349,1 Từ RXY = 0,5070 phương trình X theo Y có dạng 109 x  27,4 y  12,5733  0,5070 5,1225 1,7679 Vậy x = 1,4690y + 8,9294 Trong phương trình x đo kg, y đo m Nếu y đo cm vế phải giảm 100 lần nên vế trái phải giảm 100 lần Khi phương trình trở thành x = 1,4690y + 8,9294 100 hay x = 146,90y + 892,94 b) (2 điểm) Đây toán đưa toán kiểm đònh Gọi p tỉ lệ X  30 kg sau áp dụng công nghệ sản xuất Ta giả thiết H : “p = 40%”, trước áp dụng công nghệ Nếu chấp nhận giả thiết việc áp dụng công nghệ tác dụng, bác bỏ tỉ lệ X  30 kg thay đổi Ta tiến hành kiểm đònh với  = 0,05 Từ mẫu đònh tính (theo X) ta tính N = 150 ; k = 30 + 12 + 15 + 17 = 74 ; f = 0,4933 0,4933  0,4 150 Zo = = 2,3325 > Z 0,4.0,6 Do ta bác bỏ H Vì tỉ lệ mẫu f > po = 0,4 nên công nghệ sản xuất làm tăng tỉ lệ X  30 kg ĐỀ SỐ Câu I (3 điểm) Gọi C biến cố bóng bàn lấy lần thứ hai chưa sử dụng lần Gọi Si biến cố bóng lấy lần thứ có i sử dụng i = 0,3 Ta có So, S1, S2, S3 nhóm đầy đủ nên P(C) =  P(Si )P(C / Si ) i0 Các xác suất P(Si) tính đònh nghóa Chẳng hạn, xem phép thử thứ lấy bóng từ 15 ; biến cố S o xảy ta lấy từ chưa sử dụng ; biến cố S1 xảy lấy từ sử dụng từ chưa sử dụng ; v.v… Khi C3 C1 C P(S0) = 39 ; P(S1) = , C15 C15 P(S2) = C 26 C19 C15 ; P(S4) = C 36 C15 Ta tính P(C/Si), i = 0,3 110 - Khi So xảy ra, ta có “chưa sử dụng” biến thành “đã sử dụng” nên lại chưa sử dụng lần mà Suy C3 P(C/So) = 36 C15 - Khi S1 xảy lại chưa sử dụng nên C 37 P(C/S1) = C15 Tương tự, P(C/S2) = Vậy P(C) = C 38 C15 ; P(C/S3) = C 39 C15 3696 41405 Câu II (3 điểm) a) (1 điểm) Gọi S biến cố lấy 10 sản phẩm tốt Theo đònh nghóa C10 14 16 P(S) = 10 = 323 C 20 b) (2 điểm) Ta có X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trò : (ứng với số sản phẩm xấu tối đa 4), 7, 8, 9, 10 Ta tính P(X = k), k = 6,10 Tương tự câu a), theo đònh nghóa, ta tính C16 C 44 C16 C 34 14 80 P(X = 6) = ; P(X = 7) = ;   10 10 323 323 C 20 C 20 P(X = 8) = C16 C 24 P(X = 10) = C10 20 C10 16 C10 20   C C1 135 80 ; P(X = 9) = 1610  ; 323 323 C 20 14 323 Vậy bảng phân phối xác suất X X 10 P 14 323 80 323 135 323 80 323 14 323 * Hàm phân phối xác suất 111 , x  - , 6   14 / 323 , x  6, 7   94 / 323 , x  7, 8 F(x) =  223 / 323 , x  8, 9 309 / 323 , x  9, 10   , x  (10,  ) * E(X) = ; E(X ) = 64,8418 ; 16  0,9175 D(X) = 0,8418 = ; (X) = 19 19 Câu III (4 điểm) a) (2 điểm) Đây toán kiểm đònh Ta xem tổng thể toàn số gói đường có siêu thò Gọi  khối lượng trung bình tổng thể Ta giả thiết H : “ = kg”, quy đònh ghi bao bì Nếu giả thiết chấp nhận việc đóng gói đảm bảo yêu cầu ngược lại Ta tiến hành kiểm đònh với  = 0,05 Mẫu đònh lượng đề cho ta số liệu n = 100, X = 0,9702 (kg), S = 0,0206 Do Zo = 0,9702  100 0,0206 = 14,466 > Z Suy H bò bác bỏ Vì X < o = kg nên máy đóng gói không đảm bảo quy đònh khối lượng gói đường b) Đây toán ước lượng tỉ lệ tổng thể Gọi tỉ lệ gói đường có khối lượng mức quy đònh tổng thể p Ta cần ước lượng p với  = 0,9544 Từ mẫu đònh tính ta có n = 100, k = 19 + 30 + 32 + = 89 Do f = 0,89 ; độ xác  = 0,0626 Vậy p = 0,89  0,0626, hay 82,74%  p  95,26% ĐỀ SỐ Câu I (6 điểm) 1) (3 điểm) a) (1,5 điểm) Ta có T đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, T nhận giá trò 0, 1, 2, Ta tính P(T = k), k = 0,3 Gọi S biến cố xuất hai mặt sấp gieo đồng xu Ta có P(S) = ; P( S ) = 4 Rõ ràng, biến cố “T = k” phụ thuộc nhóm đầy đủ S, S  Do 112 P(T = k) = P(S)P(T = k/S) + P( S )P(T = k/ S ) Ta tính xác suất P(T = k/S) P(T = k/ S ), k = 0,3 - Khi S xảy ra, để T = xảy phải lấy phế phẩm từ kiện thứ phế phẩm từ kiện thứ hai Do C1 C 12 P(T = 0/S) = 14 23 = ; 450 C10 C10 Tương tự, P(T = 0/ S ) = C 24 C13 C10 C110 = 18 450 - Đối với biến cố lại, ta tính tương tự kết C16 C 32 102 C14 C17 C13 P(T = 1/S) = +  ; C10 C10 C10 C10 450 P(T = 1/ S ) = C16 C14 C13 C 24 C17 114 + = ; 2 450 C10 C10 C10 C10 C16 C17 C13 C14 C 27 210 P(T = 2/S) = + = ; 450 C10 C10 C10 C10 P(T = 2/ S ) = P(T = P(T = C 26 C13 C10 C110 C16 C 27 3/S) = C10 C10 C C1 3/ S ) = 26 17 C10 C10 + C16 C14 C10  126 ; 450  105 450 C17 C110 = 213 ; 450 Vậy 22 148 283 147 ; P(T = 1) = ; P(T = 2) = ; P(T = 3) = 600 600 600 600 Suy bảng phân phối xác suất T T P(T = 0) = P 22 600 148 600 b) (0,5 điểm) Hàm phân phối xác suất , t  - , 0   22 / 600 , t  0, 1  F(t) = 170 / 600 , t  1, 2 453 / 600 , t  2, 3   , t  (3,  ) 113 283 600 147 600 1155 2603 ; E(T2) = 600 600 d) (0,5 điểm) D(X) = 0,6327 2) (3 điểm) a) (1,5 điểm) Gọi B biến cố sản phẩm lấy sau sản phẩm tốt Vì T  k , k  0,3 nhóm đầy đủ nên c) (0,5 điểm) E(T) =   P(B) =  P(T  k)P(B / T  k) k 0 Ta tính P(B/T = k) đònh nghóa Chẳng hạn, T = kiện thứ ba có sản phẩm tốt phế phẩm Do phép thử lấy sản phẩm từ 10 sản phẩm B xảy ta lấy sản phẩm tốt từ sản phẩm tốt Như P(B/T = 0) = C 43 C103 Tương tự, P(B/T=1) = C 35 C 36 , P(B/T=2) = , 3 C10 C10 P(B/T=3) = C 37 , C10 12373 7200 b) (1,5 điểm) Theo đề bài, biến cố B xảy ra, ta cần tính P(T = 0/ B ) Áp dụng công thức Bayes, ta 22 (1  ) P(T  0)P(B / T  0) 600 2552 120 P(T = 0/ B ) =   12373 59627 P(B) 1 7200 Câu II (4 điểm) 1) (2 điểm) Từ mẫu ta tính Vậy P(B) =  n = 100 ; X = 130 ; S X = 50,9902 ;  Y = 56,6 ; S Y = 21,7357 ; XY = 8140 Từ ta có RXY = 0,7056 phương trình có dạng y = 0,3008x + 17,496 2) (1 điểm) Đây toán ước lượng giá trò trung bình tổng thể với n = 100 > 30  = 0,95 Do ta cần tính độ lệch mẫu hiệu chỉnh theo Y Sử dụng mẫu câu 1) ta có  100 S 2Y = 472,44 ; S2 = 472,44 = 477,2121 ; S = 21,8452 99 114 Suy 21,8452 = 4,2817 10 Vậy, công ty có lãi ròng trung bình hàng tháng  = Y   = 56,6  4,2817 (triệu đồng) 3) (1 điểm) Đây toán kiểm đònh Gọi p tỉ lệ tháng có lãi ròng cao 65 triệu công ty (ta xem công ty tổng thể) Ta có giả thiết H : “p = 70%” Ta cần kiểm đònh giả thiết với  = 0,01 Từ mẫu đònh tính ta có n = 100, k = + 10 + 20 = 35 Do f = 0,35 0,35  0,70 Zo = 10 = 7,6 > Z = 2,58 0,7.0,3  = 1,96 Suy H bò bác bỏ Vậy, báo cáo không chấp nhận 115 CÁC BẢNG SỐ Bảng : GIÁ TRỊ CỦA HÀM a Pk(a) a ke  a k! 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.904837 0.818731 0.740818 0,670320 0,606531 0,548812 0.090481 0.001521 0.163746 0.016375 0.222245 0.033337 0.268128 0,053626 0,303265 0,075817 0,329287 0,098786 0.000151 0.000004 0.001091 0.000055 0.033334 0.000250 0,007150 0,000715 0,012636 0,001580 0,019757 0,002964 0.000002 0.000015 0.000001 0,000057 0,000004 0,000158 0,000013 0.000001 0,000356 0,000035 0,000003 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367877 0,135335 0,049787 0,347610 0,359463 0,365913 0,367879 0,270671 0,149361 0,121663 0,113785 0,164661 0,483940 0,270671 0,224042 0,028388 0,038343 0,049398 0,0611313 0,180447 0,224042 0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031 0,000695 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819 0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409 0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003137 0,021604 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008101 0,000001 0,000191 0,002701 10 0,000038 0,000810 11 0,000007 0,000221 12 0,000001 0,000055 k a k 13 0,000013 14 0,000003 15 0,000001 116 a 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756 10 0,005292 0,018133 0,041303 0.070983 0,099262 0,118580 11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384 15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 22 0,000003 0,000022 0,000108 23 0,000001 0,000008 0,000042 24 0,000003 0,000016 25 0,000001 0,000006 k 26 0,000002 27 0,000001 117 Bảng : GIÁ TRỊ HÀM GAUSSE f (x)  2π e  x2 x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 x 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0031 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 9653 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3986 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0006 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0006 0004 0003 0002 3984 3945 3867 3752 3605 3929 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 1516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0388 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 118 Bảng : HÀM LAPLACE Φ(x)  2π x  e t2 dt x 0,0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0,00000 03983 07926 11791 15542 19146 22575 25804 28814 31594 00399 04380 08317 12172 15910 19497 22907 26115 29103 31859 00798 04776 08706 12556 16276 19847 23237 26424 29389 32121 01197 05172 09095 12930 16640 20194 23565 26730 29673 32881 01595 05567 09483 13307 17003 20194 23891 27035 29955 32639 01994 05962 09871 13683 17364 20884 24215 27337 30234 32894 02392 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147 02790 06749 10642 14431 18082 21566 24857 27935 30785 33398 03188 07142 11026 14803 18439 21904 25175 28230 31057 33646 03586 07535 11409 15173 18793 22240 25490 28524 31327 33891 1,0 1.1 1,2 1.3 1,4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 34143 36433 38493 40320 41924 43319 44520 45543 46407 47128 34375 36650 38686 40490 42073 43448 44630 45637 46485 47193 34614 36864 38877 40658 42220 43574 44738 45728 46562 47257 34850 37076 39065 40824 42364 43699 44815 45818 46638 47320 35083 37286 39251 40988 42507 43822 44950 45907 46712 47381 35314 37493 39435 41149 42647 43943 45053 45994 46784 47441 35543 37698 39617 41309 42786 44062 45154 46080 46856 47500 35769 37900 39796 41466 42922 44179 45254 46164 46926 47558 35993 38100 39973 41621 43056 44295 45352 46246 46995 47615 36214 38298 40147 41774 43189 44408 45449 46327 47062 47670 2,0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 47725 48214 48610 48928 49180 49379 49534 49653 49744 49813 47778 48257 48645 48956 49202 49396 49547 49664 49752 49819 47831 48300 48679 48983 49224 49413 49560 49674 49760 49825 47882 48341 48713 49010 49245 49430 49573 49683 49767 49831 47932 48382 48745 49036 49266 49446 49585 49693 49774 49836 47982 48422 48778 49061 49285 49261 49598 49702 49781 49841 48030 48461 48809 49086 49305 49477 49609 49711 49788 49846 48077 48500 48840 49111 49324 49492 49621 49720 49795 49851 48124 48537 48870 49134 49343 49506 49632 49728 49801 49856 48169 48574 48899 49158 49361 49520 49643 49763 49807 49861 3,0 3.5 4,0 4.5 0,49865 49977 499968 499997 4999999 3,1 3,6 48903 49984 3,2 3,7 49931 49989 3,3 3,8 49952 49993 3,4 3,9 49966 49995 5,0 119 Bảng : PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG 2, P(X > 2 (n, )) VỚI X  2 (n)  n 0,995 0,0000393 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,99 0,000157 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,975 0,000982 0,0506 0,216 0,484 0,831 0,95 0,00393 0,103 0,352 0,711 1,145 0,05 3,841 5,991 7,815 9,488 11,071 0,025 5,024 7,378 9,348 11,143 12,833 0,01 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 0,005 7,879 10,597 12,838 14,860 16,749 10 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 12,592 14.067 15,507 16,919 18,307 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 18,548 20,278 21,955 13,590 25,188 11 12 13 14 15 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 21,920 23,337 24,736 26,119 27,489 24,725 26,217 27,688 29,142 30,578 26,758 28,299 29,820 31,320 32,801 16 17 18 19 20 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 28,845 30,191 31,526 32,853 34,170 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 34,268 35,717 37,156 38,581 39,997 21 22 23 24 25 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 32,671 33,926 35,172 36,415 37,652 35,479 36,781 38,075 39,364 40,646 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 41,400 42,796 44,184 45,559 46,930 26 27 28 29 30 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 12,198 12,878 13,565 14,256 14,953 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 41,924 43,195 44,461 45,722 46,979 45,643 46,963 48,278 49,588 50,892 48,290 49,647 50,994 52,338 53,673 120 Bảng : PHÂN PHỐI STUDENT t : P( X > t(n, )) =  VỚI X  t(n)  n 0,20 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 0,10 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 0,05 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 0,02 31,820 6,965 4,541 3,747 3,365 0,01 63,526 9,925 5,841 4,604 4,032 0,001 363,6 31,600 12,922 8,610 6,869 10 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 11 12 13 14 15 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 16 17 18 19 20 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 21 22 23 24 25 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 26 27 28 29 + 1,315 1,314 1,313 1,311 1,282 1,706 1,703 1,701 1,699 1,645 2,056 2,052 2,048 2,045 1,960 2,479 2,473 2,467 2,462 2,326 2,779 2,771 2,763 2,756 2,576 3,707 3,690 3,674 3,659 3,291 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp, Lê Thiên Hương Lý thuyết xác suất Thống kê toá n học Trường Đại học kó thuật công nghệ (Lưu hành nội bộ), 1998 Đinh Văn Gắng Bài tập xác suất thống kê NXB Giáo dục, 2000 Đặng Hấn Bài tập xác suất thống kê Trường Đại học kinh tế TP.Hồ Chí Minh (Lưu hành nội bộ), 1994 Hoàng Ngọc Nhậm Bài tập xác suất thống kê NXB Thống kê, 1996 Đặng Hùng Thắng Bài tập xác suất NXB Giáo dục, 1998 Tống Đình Quỳ Hướng dẫn giải tập Xác suất Thống kê NXB Giáo dục, 1998 122 [...]... Vậy, theo đònh nghóa, xác suất sinh viên đậu môn Triết là C 3  C 2 C1 33280 1664 P(Đ) = 40 3 40 30    0,6 54740 2737 C 70 3 Tính xác suất của biến cố theo đònh nghóa hình học Nêu phép thử, tìm tập hợp biểu diễn phép thử và độ đo của tập hợp này Nêu biến cố cần tìm xác suất, tìm tập hợp biểu diễn biến cố và độ đo của tập hợp đó Áp dụng đònh nghóa để tìm xác suất của biến cố 18 Bài 3 a) Cho một tấm... điểm của một tập hợp có độ đo M, các kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với các điểm của một tập hợp có độ đo m Khi đó ta gọi xác suất của biến cố A là số m M Ở đây độ đo có thể là độ dài, diện tích hay thể tích, tùy theo tập hợp đang xét thuộc 2 R, R hay R3 P(A) = c) Đònh nghóa thống kê Giả sử trong n phép thử với điều kiện giống nhau, biến cố A xuất hiện k lần Ta gọi k n là tần suất xuất hiện... C10 Bài 7 Một nhà máy có ba phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm Phân xưởng thứ nhất sản xuất 25%, phân xưởng thứ hai sản xuất 35% và phân xưởng thứ ba sản xuất 40% tổng số sản phẩm của toàn nhà máy Tỉ lệ phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là : 1% ; 3% ; 2% Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng do ba phân xưởng sản xuất a) Tìm xác suất lấy được phế phẩm b) Giả sử lấy được phế phẩm Tìm xác. .. hay không, có tạo thành nhóm đầy đủ không … Chọn công thức tính xác suất của biến cố ban đầu thông qua xác suất của các biến cố “đơn giản” Tính xác suất của các biến cố “đơn giản” (nếu cần) Tính xác suất của biến cố ban đầu Bài 4 Một sinh viên phải thi Toán và Lý Cho biết xác suất đậu hai môn đó lần lượt là 0,7 ; 0,6 Hãy tính các xác suất sau đây a) Sinh viên đó rớt Toán b) Sinh viên đó chỉ đậu... 0,021 P( A ) Các xác suất trên đây đặc trưng cho khả năng sản phẩm tốt do từng phân xưởng sản xuất Vậy, khi lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thì khả năng sản phẩm này do phân xưởng thứ ba sản xuất là nhiều nhất Bài 8 Các sản phẩm được đóng thành hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm, trong đó 4 sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất, còn lại do máy thứ hai sản xuất Tỷ lệ sản phẩm loại A do hai máy đó sản xuất lần lượt... vòng hai a) Tìm xác suất để một thí sinh lọt qua cả ba vòng thi b) Biết rằng thí sinh đó bò loại, tìm xác suất để anh ta bò loại ở vòng thứ hai 10 Một bài thi trắc nghiệm nhiều lựa chọn gồm 12 câu hỏi Mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng Cho biết mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bò trừ đi 1 điểm Một sinh viên không học bài nên đã làm bài bằng cách chọn... i 1 i j  P(A A A i j k i j k )   (-1)n – 1P(A1A2…An) 5 Xác suất có điều kiện Công thức nhân xác suất a) Xác suất có điều kiện Ta gọi xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là xác suất của biến cố A với điều kiện B, kí hiệu là P(A/B) Ta có P(A/B) = P(AB) P(B) b) Biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào sự xảy ra hay không... đủ các biến cố 3 Đònh nghóa xác suất a) Đònh nghóa cổ điển Cho phép thử T có không gian mẫu  là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng (tức là có cùng khả năng xuất hiện) Giả sử A là một biến cố liên quan với phép thử T và  A là tập hợp các kết quả mô tả A (còn gọi là các kết quả thuận lợi cho A) Khi đó, xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác đònh bởi công thức : Số... điểm Một sinh viên không học bài nên đã làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 phương án trả lời trong từng câu hỏi Tìm xác suất anh ta a) được 13 điểm b) bò điểm âm 11 Một người bắn ba viên đạn Xác suất để cả ba viên trúng vòng 10 là 0,008 Xác suất để một viên trúng vòng 8 là 0,15 Xác suất để một viên trúng vòng dưới 8 là 0,4 Tìm xác suất để người đó đạt ít nhất 28 điểm 12 Một máy bay có 5 động cơ, trong... được phát đi 4 lần Xác suất thu được ở mỗi lần phát đều là 0,4 a) Tìm xác suất để nơi thu nhận được tín hiệu đó b) Muốn xác suất thu được tín hiệu không bé hơn 95% thì phải phát tối thiểu bao nhiêu lần ? 19 Giả sử xác suất sinh con trai là 0,51 Một gia đình có 4 người con Tìm xác suất để gia đình đó có a) hai con trai b) không quá một con trai c) Nếu muốn có ít nhất một con trai với xác suất trên 80% ... phục vụ Bài tập Xác suất – Thống kê mà bạn có tay Trong sách bạn tìm thấy nội dung sau đây: Phần đầu sách trình bày cách giải tập theo chương thuộc lónh vực xác suất thống kê toán học Mỗi chương... thuyết Một số dạng tập có tổng kết thành phương pháp giải chung Để giúp sinh viên tự đọc làm tập, sách Bài tập Xác suất – Thống kê cố gắng trình bày lời giải tỉ mỉ, đặc biệt tập chương II Mỗi lời... mẫu 62 C Bài tập 69 CHƯƠNG VII KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ A Tóm tắt lí thuyết 72 B Các giải mẫu 74 C Bài tập 77 CHƯƠNG VIII TƯƠNG QUAN