1 CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH TRONG MIỀN TẦN SỐ Tín hiệu hệ thống rời rạc thời gian phân tích miền tần số ta thấy đặc điểm quan trọng hệ thống đáp ứng tần số Phân tích Fourier liên tục thời gian bao gồm chuỗi Fourier biến đổi Fourier chúng hữu ích cho phân tích thiết kế tín hiệu hệ thống liên tục thời gian Sự phát triển lý thuyết xử lý tín hiệu số đặc biêt, biến đổi Fourier rời rạc, xử lý tín hiệu số máy tín phân tích Fourier trì việc sử dụng Sau tóm tắt ngắn gọn biến đổi Fourier liên tục thời gian, chuơng đưa biến đổi Fourier rời rạc thời gian bao gồm chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) biến đổi Fourỉe rời rạc thời gian (DTFT) Phần thảo luận khía cạnh quan trọng DTFT đáp ứng tần số hệ thống DTFT liên quan với nhiều biến đổi phổ biến cho phân tích thiết kế hệ thống rời rạc thời gian, biến đổi z, chủ đề chuơng Để hòan thành tranh biến đổi Fourier, phần cuối đưa giới thiệu biến đổi Fourier rời rạc (DFT), phiên tần số đuợc lấy mẫu DTFT DFT ứng dụng vuợt trội phân tích Fourỉe khác Chúng đuợc nêu chi tiết chuơng 3.1 CHUỖI FOURIER LIÊN TỤC THỜI GIAN (CTFS) Phân tích Fourier liên tục thời gian bao gồm chuỗi Fourier biến đổi Fourier, tích phân Fourier Phân tích Fourier liên tục thời gian khơng đuọec trình bày chi tiết nhìn tổng qt 3.1.1: Chuỗi lƣợng giác Nhà tốn học tiếng người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier minh họa sóng tuần hồn phân tích thành chuỗi vơ hạn thành phần sin cosin có tần số tích tần số sóng v(t) x(t) +A -T0/2 -A T0/2 T0 t Hình 2.1: Dạ sóngtuầ tuầ n ichu Hình.3.1: Mộntgsóng n nhồhoà n vớ chu kỳ kỳ TT0 o Bắt đầu với tín hiệu thời gian x (t ) (Hình.3.1), tuần hồn chu kỳ T0 (s) tần số gốc   2 / T0 (rad/sec) tần số F0 = 1/T0 (Hz) Khai triển lượng giác   n 1 n 1 x( t )  a 0  a n cos n t   bn sin t Ở hệ số cho (3.1) T0 / x( t )dt  T0 T0 / a0  (3.2a) T0 / x( t ) cos n tdt  T0 T0 / 2 T0 / bn  x( t ) sinn tdt  T0 T0 / an  (3.2b) (3.2c) Tích phân giới hạn –T0/2 T0/2, giới hạn khác sử dụng với khoản cách chúng chu kỳ T 0, ví dụ T0 Những thành phần khai triển chứa đựng ý nghĩa sau:  a0 : Trung bình tín hiệu (hoặc thành phần DC)  a1cos  0t + b1sin  0t : Thành phần (nhớ tổng hai sin có tần số sin tần số đó, (xem phần (3.3)) , họa tần thứ  a2cos0t + b2sin0t : Họa tần thứ hai  a3cos0t + b3sin0t : Họa tần thứ ba … Ví dụ 3.1.1 Tìm chuỗi Fourier cho sóng vng đối xứng hình 3.2 Giải Ta quan sát trực tiếp thành phần DC phần dương âm tín hiệu a0 =0 Tất nhiên, sử dụng cơng thức (3.2a), ta có kết Kế đến, sóng bất đối xứng, có nghĩa, đối xứng qua gốc, thành phần cosin 0: an =0 , với tất n v(t) +A T0/2 T0/2 T0 -A Hình.3.2 : Ví dụ 3.1.1 (sóng vng đ ố i xứ ng) Thành phần sin lại cho bn  A T0 / sin n tdt T0 0  4A 1 cos n0t T00 / T0 n0  4A 1 cos n0t T00 / T0 n0   4A 1  1  , 2 n n even t  4A   1  A , n lẻ 2 n 2 n Những hệ số bn đặt hình thức ngắn gọn: 4A , n = 1, 2, 3, … bn   (2n  1) Vì chuỗi Fourier  4A n = 1, 2, 3, … x(t )   sin(2n  1) t , n 1  (2n  1)  4A  1   sin  0t  sin 3 0t  sin 5 0t      bn 4A /  1/3 1/5 1/7 /0 Hình.3.3: Ví dụ 3.1.1 (Phổ biên độ ) Hình 3.3 hình vẽ hệ số chuẩn hóa tương ứng với chuẩn hóa tần số gốc Ta biết tổng hai sin có tần số sin tần số đó, đặc biệt b  a cos t  b sin t  a  b cos t  tan 1  a  (3.3) Vì điều này, cơng thưc (3.1) thay đổi sang dạng biên độ pha:  x( t )  c0   c n cos( n t  Φ0 ) (3.4) n Với c0  a0 (3.5a) c n  a n2  bn2 (3.5b)  n  tan1  bn an (3.5c) Trong phân tích ta nhận thấy c thành phần trung bình, c1 cos(0 t  1 ) thành phần tần số bản, c2 cos(20 t   ) họa tần thứ hai Hình vẽ hệ số so với tần số phổ biên độ (Hình 3.3), hình vẽ pha  n so với tần số phổ pha Cả hai phổ rời rạc phổ đường Ví dụ 3.1.2 Tìm phân tích Fourier sóng ví dụ 3.1.1 hình thức biên độ pha Giải Những hệ số c0  a0 a n2  bn2 = bn cn =  bn = – 90O ( = –/2) an Phổ biên độ trước, phổ pha cho hình 3.4 n = tan-1 n   / 0  Hình.3.4: Ví dụ 3.1.2 (Phổ pha) Sự phân tích diễn tả sau:   4A cos ( 2n - 1) 0t  900 n 1  2n - x (t )     4A cos(2n - 1) 0t n 1  2n -   3.1.2 Khai triển dạng mũ Khai triển Fourier dạng mũ phức dùng thể biên độ pha, dẽ liên hệ với biến đổi Fourier x( t )   X n e jn0t (Tổng hợp cơng thức) (3.6) n   Hai thành phần đối xứng X n X n ln ln xuất theo cặp tổng cặp thực Sự liên hệ mũ phức hệ số lượng giác X  a0  c0 (3.7a) an  jbn c n jn  e 2 a  jbn c n  jn Xn  n  e 2 Xn  (3.7b) (3.7c) Những hệ số X n tính trực tiếp từ Xn  T0  TO x(t)e  jn0t dt (phân tích cơng thưc) (3.8) Ngưỡng tích phân - T0 / T0 / thay T Vì hệ số X n nói chung phức, ta viết X n  X n e jn (3.9) Biến thiên Xn phổ biên độ, biến thiên  n phổ pha tín hiệu Với tín hiệu thực, phổ biên độ đối xứng chẵn (đối xứng) phổ pha đối xứng lẻ (bất đối xứng) Ví dụ 3.1.3 Tìm khai triển Fourier chuỗi xung đồng Giải Xét chuỗi xung đồng A(t ) khoản chu kỳ T0 (Hình.3.5a): x (t )    A(t  kT ) k   Những hệ số khai triển cho Xn  T0 x(t) –2T0 –T0  T0 /2 T0 /2 A(t )e jn0t dt  T0    A(t )e jn0 dt  Xn A (a) A T0 T0 2T0 t –2 –1 A/T0 (b)  / 0 Hình.3.5: Ví dụ 3.1.4 (tín hiệu phổ nó) Hình.3.5 phổ biên độ Từ hệ số ta tổng hợp tín hiệu như: A  jn0t x(t )   e T0 n   3.1.3 Hàm sinx/x Xem phân tích Fourier, hàm đặc biệt sinx/x (hoặc hàm sincx , hàm Sa(x) ) Chú ý ta viết sinx / x to nghĩa sin(x) / x Biến thiên sinx/x với x hình 3.6 Nó hàm đối xứng với vùng đơn vị, có giá trị lớn gốc, xun qua khoảng  Khoản cách gốc điểm khơng  sinx/x 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 –4 –3 –2 – 0.1284  2 – 0.2178 Hình.3.6: Hàm sinx/x (hoặc sincx, Sa(x)) 3 4 x Hàm dao động hủy dần Đỉnh nhỏ có giá trị -0.2178, đỉnh lớn có giá trị 0.1284 Điểm xun qua xác định sau: sin x 0 x  sin x   x  n , n = 1, 2, 3, sinx = 1  x = (2n + 1)  , n = 1, 2, 3, … Một vài giá trị đỉnh x  3 / 2, x  5 / 2, Chú ý rằng, điểm Tuy nhiên, hủy 1/x giá trị đỉnh khơng xuất xác mà sớm Một số tác giả, vẽ hàm sin  x /  x thay sin x / x sử dụng Ví dụ 3.1.4 (a) Tìm khai triển hệ số Fourier sóng vng đối xứng đưa hình 3.7a, vẽ phổ biên độ cho trường hợp  / T0  / (b) Lặp lại câu hỏi sóng vng bị làm chậm để xung trung tâm bắt đầu t=0 x(t)  A -T0/2 T0/2 -T0 -/2 T0 /2 Hình.3.7a: Ví dụ 3.1.4 (Sóng vng đối xứng chẵn ) Giải (a) Những hệ số Xn  T0  T0 /2 T0 /2 Ae jn0t dt  A /2  jn0t e dt T0 /2  /2 A  e jn0t  A 2sin n0  /     T0   jn0   /2 T0 n0 Thay 0  2 / T0 ta có Xn  A sin n / T0 T0 n / T0 Cái có hình thức hàm sinx/x với x  n / T0 Cực đại xuất gốc n = có X0 = lim X n = n 0 A A 1= T0 T0 Hình 3.7b vẽ phổ biên độ cho trường hợp  / T0 = 1/6 Chú ý đường bao sinx/x t Xn A/6 envelope -18 -15 -12 -6 -4 -2  / 0 12 15 18 Hình.3.7b: Ví dụ 3.1.4 (Phổ biên độ  / T0  / ) (b) Bây giờ, sóng vng làm chậm (dịch sang phải)  / xuất hình 3.7c Những hệ số phân tích Xn  T0  /2 Ae  jn0t x(t) -T0 -T0+    jn0t    jn e   0 A sin n / T0  jn / T0  e T0 n / T0 A dt  T0  A T0  T0+ t Hình.3.7c: Ví dụ 3.1.4 (Sóng vng dịch) Xn A/6 envelope -18 Vì e  jn / T0 -12 -6 -2 12 18 n Hình.3.7d: Ví dụ 3.1.5 (phổ biên độ sóng vng dịch)  biến thiên biên độ giống xác Trong hình 3.7d ta vẽ phổ biên độ thay phổ pha Độ lớn giá trị tuyệt đối (chỉ dương), ngược lại biên độ giá trị có dấu Vì thừa số pha xuất X n , phổ pha khác (xem ví dụ 3.2.1 sau)  3.1.4 Hiệu ứng Gibbs (Hiện tƣợng Gibbs) overshoot undershoot Fig.3.8: Gibbs effect in Fourier expansion Vì chuỗi khai triển vơ hạn, thực tế ta phải bỏ họa tần cao Đây cắt cụt Khi tái tạo (tổng hợp) tín hiệu từ chuỗi cắt cụt ta khơng lấy lại tín hiệu gốc Nó minh họa khai triển Fourier tối giản, nghĩa lỗi bình phương trung bình (MSE) tín hiệu gốc tín hiệu tái tạo từ chuỗi cắt cụt nhỏ so với khai triển khác có hệ số Vì khai triển Fourier, tất nhiên số họa tần lấy lỗi Nhưng thật đáng ý ln có tượng overshot undershot thay đổi đột ngột sóng tín hiệu (hình 3.8), dù số họa tần lớn Đây hiệu ứng Gibbs, tượng Gibbs Với sống vng overshoot undershoot khoảng 9% (hình 3.8) Trong hình 3.9 sóng gốc tam giác so sánh với sóng tái tạo từ bẩy thành phần khai triển Từ điều ta đốn nẩy rõ dù hàng tá nhiều họa tần lấy, biệt thời gian thay đổi đột ngột Thực ra, tượng Gibbs bao gồm nẩy overshoot, undershoot 1/2 Sóng tam giác gốc -1/2 T0 2T0 t tt Sóng tam giác tái tạo Hình.3.9: Sóng tam giác gốc songs tái tạo từ bảy thành phần khai triển 3.2 BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC THỜI GIAN (CTFT) Khai triển chuỗi Fourier tín hiệu cho ta cấu trúc tần số tín hiệu Nhưng khơng may mắn, khai triển chuỗi Fourier áp dụng với tín hiệu tuần hồn tín hiệu thực khơng tuần hồn (tuần hồn thời gian ngắn, khơng lặp lại…) biến đổi Fourier (hay tính phân Fourier) phát triển cho tín hiệu khơng tuần hồn 3.2.1 Đơi biến đổi Fourier Hình.3.10 cải tiến từ chuỗi Fourier đến biến đổi Fourier Trong cơng thức (3.6) ta thay  2F0 , viết X (nF0 ) với X n , x(t) v(t) Tuần hồnn tuầ n hoà Chu kỳ trung tâm x(t) v(t) aperiodic không tuần hoàn T0 -T0/2 T0/2 t X(nF0) ) V(nf FF  /T0 T0  1/ f00 =1/T original triangular wave reestablished triangular0 t X(F) V(f) T0 dF df -f -F00 00 fF 00 Ff nF0 f F f F Hình.3.10: Cải tiến từ chuỗi Fourier sang biến đổi Fourier   X(nF )e x( t )  j2 nF0 t (3.10) n   Hệ số phân tích tƣơng ứng (cơng thức (3.8)) T0 /  j nF0t X (nF0 )  dt T0 / x(t )e T0 (3.11) Tín hiệu tuần hồn có phổ rời rạc Bây ta thay cơng thức phân tích X (nF0 ) vào cơng thức tổng hợp: 1   x(t )e  j nF0t dt e j nF0t T0 /   T   x (t )  n   T0 / Lấy T0   để đẩy tất chu kỳ hai bên chu kỳ trung tâm x(t) đến vơ hạn, điều biến tín hiệu tuần hồn thành tín hiệu khơng tuần hồn Mặt khác, chu kỳ T0   , / T0  dF (một đại lượng vơ nhỏ), nF0  F (tần số tương tự) giới hạn  T0   , phổ rời rạc trở thành liên tục Vì T0   ,   dF x(t) = n     x( t )e  j2 Ft dt e j2 Ft  Thành phần ngoặc, định nghĩa, biến đổi Fourier (tích phần Fourier) X (F ) x (t ) Vì  X ( F )    x( t )e  j 2Ft dt (CTFT) ( cơng thức phân tích) (3.12) Biến đổi ngược x( t )    dFX(F)e j2 Ft n   Hoặc x t  = ∞ -∞ x F e j2πFt dF (ICTFT) (cơng thức tổng hợp) x(t ) X (F ) hình thành đơi biến đổi Fourier (CTFT): CTFT x(t )   X (F ) (3.13) (3.14) 10 3.2.2 Phổ biên độ phổ pha Biến đổi Fourier X (F ) nhìn chung phức, ta viết (3.15a) Với X (f ) phổ biên đ ộ , (F ) phổ pha X (F )  X R2 ( F )  X I2 ( F ) ( F )  tan 1 (3.15b) X I (F ) X R (F ) (3.15c) Nó cho thấy tín x (t ) thực X R (F ) đối xứng (cũng gọi đối xứng chẵn đối xứng dương) X I (F ) bất đối xứng (đối xứng lẻ đối xứng âm), phổ biên độ X ( F ) đối xứng phổ pha bất đối xứng: X(F)  X(  F) ( F )  ( F ) (3.16) Ví dụ 3.2.1 (a) Tìm biến đổi Fourier, phổ biên độ phổ pha xung chũ nhật đối xứng có độ lớn A chiều rộng  (b) Áp dụng kết để tìm biến đổi xung đơn vị (t) (Hàm delta Dirac) (c) Lặp lại câu hỏi xung làm chậm t0 Giải (a) Xung nêu vẽ hình Fig.3.11a Nó thích    x(t) = Ap  ,   2 x(t – t0) x(t) A A      t t0   Hình.3.11a: Ví dụ 3.2.1 (Xung trễ nó) Biến đổi Fourier CTFT X(F) =    x(t)e j Ft dt =   /2  /2 Ae j Ft dt  /2  e j Ft  sin F = A = A  F   j 2F  /2 t0 t0+  t 32 Kết để lại hai hình thức Hình thức sau chứa hàm sinx/x (phần 3.1.3) có ngương x  Ta xử lý trường hợp n = tách biệt với cách kia: (1) thay n = tích phân đầu lấy tích phân, (2) đặt kết thành phân hàm sin x x sử dụng ngưỡng x  , (3) sử dụng qui luật L’Hospital’s d (sin nc )  cos nc  dn h(n)  |n 0  c |n 0  c d   (n) dn (3.67) Vì đáp ứng xung h(n)  sin c n , n c ,  n0 n0 Hình.3.32 kết giá trị khác tần số cắt cụt c Trường hợp với tần số cắt cụt  c với  / điển hình Vì để tham chiếu đáp ứng xung h(n) ,  n  , liệt kê diễn tả hình 3.33 n h(n) 0,500 0,318 -0,106 0,064 -0,045 0,035 33 Fig.3.32: Ví dụ 3.8.2 (đáp ứng xung lọc thơng thấp lý tưởng có giá trị tần số cắt khác c h(n) 0,5 0,318 -7 -6 -5 -4 0,064 -3 -2 -1 n -0,106 Hình 3.33: Đáp ứng xung lọc thơng thấp có tần số cắt cụt c   / ■ 3.8.2 Biên độ đáp ứng tần số thang decibel Thang tuyến tính sử dụng trục ngang để diễn tả biên độ đáp ứng tần số Ta biết điện tử thang log, thang decibel (dB), thường sử dụng cho trục đứng để giảm dao động lớn chẳng hạn từ 10 đến 109 Nhưng DSP (DTSP) thang log sử dụng tung độ để làm lớn biến đổi nhỏ biên độ để sidelobe thể rõ H(  ) H(  )dB 10 10-5 -100 10-4 -80 10-3 -60 10-2 -40 10-2 -20 10 20 102 40 103 60 H(  )dB = 20log10H(  ) -6 0,1 0,5 34 H(  ) Hính.3.34: H () Biên độ dBs H () dB dB so với H () liên hệ với biên độ H () thang tuyến tính H(  )dB = 20log10H(  ) (3.68) Xem hình.3.34 Nhớ H () = H () dB  , H () > dBs dương, H () < dBs âm Số ví dụ sau Quan sát dao động log, ta thấy H () dải đến 0.1, biến đổi dB cự kỳ nhanh từ   đến – 20 dB Và H () có giá trị từ 0.5 từ đỉnh dB xuống Hình 3.35 cho thấy quan sát Sự quan sát nhỏ H () quanh biến H () dB , ngược lại khơng thấy dao động H () quanh có biên độ H () dB Hình.3.35: Ví dụ đáp ứng biên độ thang tuyến tính dB 35 3.8.3 Hàm riêng trị riêng hệ thống DSP Ta muốn tìm tín hiệu mà giữ thời gian xác định xun qua hệ thống Bắt đầu với cosin rời rạc x(n) = cos  n Tín hiệu ngõ tương ứng hệ thống trình bày đáp ứng xung h(n)  yn    hk cos n  k  k            hk  cos k  cos n    hk sin k  sin  n k   k   Cả hai thừa số ngoặc độc lập thời gian, khơng kèm theo phần sin Bây ta kiểm tra với mũ phức x  n = e jωn (3.69) Ngõ     yn    hk e jnk     hk e  jk e jn k   k   Vì tín hiệu vào xuất hồn tồn ngõ ra, biến đổi thời gian khơng thay đổi Thừa số ngoặc có đáp ứng tần số H(), y(n)=H(ω)e jωn (3.70a) Trong ngơn ngữ tốn học H() trị riêng ejn hàm riêng Thật ra, pha tín hiệu vào ejn thay đổi Vì điều ta viết yn  H  e je jn  H  e j n (3.70b) Ví dụ 3.8.4 Một lọc có đáp ứng xung h(n) = 0.8nu(n) Tìm ngõ với ngõ vào (a) x(n) = (b) x(n) = 1.64 ejn/2 1.64 cosn/2 Giải Đầu tiên ta tìm đáp ứng số lọc H     n   n 0  hn e  jn   0.8e  j   n 1  0.8e  j Chú ý hai tín hiệu (a) (b) có cung tần số gốc  = /2 Đáp ứng tần số tần số 1   j 38.660 H    e    0.8e  j/2  j 0.8 1.64 (a) Ngõ tín hiệu tương ứng với ngõ vào 36 y ( n )  H ( ) x ( n )  e  j 38.660  1.64e jn/2 1.64 e j ( n/238.660 ) (b) Với ngõ vào cosin, ta viết cos n     2 1.64e jn  jn  e e 2 Vì ngõ y ( n)  H  jn/2    H    2 1.64e  jn/2 1.64  j 38.660 jn/2 1.64 j 38.600  jn/2 e e  e e 1.64 1.64 j ( n/238.660 )  j ( n/238.660 ) e e   cos n /  38.66    3.8.4 Đáp ứng tần số hệ thống tầng song sóng Trong tình khác nhau, lọc kết nối dạng tầng song song Phần 2.3 trình bày vấn đề tương ứng với đáp ứng xung Bây ta xử lý vấn đề với đáp ứng tần số Bằng cách sử dụng kết hợp phân bố đáp ứng xung, định lý nhân chập DTFT ta lấy (Hình 3.36) Hệ thống tầng H(  ) = H1(  ) H2(  )  (3.71) Hệ thống song song H(  ) = H (  ) + H2(  ) + Hệ thống Hệ thống 1 x(n) X(  ) h1(n) H1(  ) x(n) * h1(n) X(  ) H1(  ) h2(n) H2(  ) (3.72) y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] Y(  ) = X(  ) [H1(  )H2(  )] Filter x(n) X(  ) h1(n) H1(  ) x(n) * h1(n) X(  ) H1(  ) + Filter h2(n) H2(  ) x(n) * h2(n) y(n) = [h1(n) + h2(n)] * x(n) Y(  ) = X(  ) [H1(  ) + H2(  )] H2(  ) X(  ) Hình.3.36: Hệ thống dạng tầng song song 3.8.5 Đáp ứng tần số thành phần hệ số lọc Từ phương trình tín hiệu lọc tuyến tính tổng qt (cơng thức 2.21) 37 N y ( n)   a k y ( n  k )  k 1 M  b x( n  k ) k  M (3.73) k Từ tín hiệu vào e jn ngõ y(n) = H() ejn Ta thay vào phương trình tín hiệu N H e jn   ak H e jn k   k 1 M a e k  M jn k  k Vì M H  ω = be -jωk k k=-M N 1-  ak e (3.74) -jωk k=1 Chú ý cơng thức lọc viết (2.22), thay (3.73) trên, biểu diễn (3.74) cho H () khơng áp dụng (thực phân số ta có cộng dấu cho dấu trừ) Khi ta biết hệ số lọc ta biểu diễn đáp ứng tần số cách Ngược lại, ta biết biểu diễn đáp ứng tần số hệ thống ta viết phương trình Cũng ý với lọc khơng đệ qui, mẫu số Cách thơng thường để tính đáp ứng tần số biểu diễn dạng hàm tỉ số j   N  N  e N (3.75a) H    D D e j D  Với ΦN() or  N() pha N () , ΦD(N)  D() pha D() , H   N  D () = N() - D() or  H() =  N() –  D() (3.75b) (3.75c) Ví dụ 3.8.5 Một lọc FIR có hệ số khác khơng a0 = 0.04, a2 = - 0.05, a4 = 0.06, a6 = - 0.11, a8 = 0.32, a9 = - 0.5, a10 = 0.32, a12 = - 0.11, a14 = 0.06, a16 = - 0.05, a18 = 0.04 Viết phương trình tín hiệu lọc tìm đáp ứng tần số với chu kỳ       Giải Phương trình tín hiệu lọc FIR y(n) = 0.04x(n) – 0.05x(n-2) + 0.06x(n-4) – 0.11x(n-6) + 0.32x(n-8) – 0.5x(n-9) + 0.32x(n-10) – 0.11x(n-12) + 0.06x(n-14) – 0.05x(n-16) + 0.04x(n-18)  jk  cos k  j sin k ta tìm biểu diễn cho phần Vì tất hệ số thật, biểu diễn e thực phần ảo như: HR() = 0.04cos0 - 0.05cos2 + 0.06cos4 - 0.11cos6 + 0.32cos8 - 0.5cos9 + 0.32cos10 - 0.11cos12 + 0.06cos14 38 - 0.05cos16 + 0.04cos18 HI() = - 0.04sin0 + 0.05sin2 – 0.06sin4 + 0.11sin6 - 0.32sin8 + 0.5sin9 - 0.32sin10 + 0.11sin1 - 0.06sin14 + 0.05sin16 - 0.04sin18 H      Hình.3.37: Ví dụ 3.8.5 (Phổ biên độ pha lọc thơng cao FIR) Hai thành phần dẫn đến phổ biên độ pha: H    H R    H I      tan 1 H I  H R  Mơ Matlab hình 3.37 Ta thấy đặc điểm thơng cao lọc với tần số chuyển tiếp /2 ■ Ví dụ 3.8.6 Cho phương trình tín hiệu lọc y(n) = 1.77y(n-1) – 1.19y(n-2) + 0.28y(n-3) + 0.14x(n-2) Tìm phổ biên độ pha với chu kỳ       39 | H(ω) | ω () ω Hình 3.38: Ví dụ 3.8.6 ( phổ biên độ pha lọc thơng thấp IIR) Giải Chú ý lọc IIR có bậc lọc Từ phương trình tín hiệu ta viết đáp ứng số H    1.77e  j 0.14e  j2  1.19e  j2  0.28e  j3 Matlab vẽ phổ biên độ pha hình 3.38 Chú ý với vài thành phần IIR cho phổ biên độ trơn Ví dụ 3.8.7 Sau cơng thức lọc lựa y(n) = 1.8523y(n-1) – 0.94833y(n-2) + x(n) – 1.9021x(n-1) + x(n-2) Vẽ phổ biên độ phổ pha với chu kỳ       Giải Đáp ứng tần số H    1.9021e  j  e  j 2  1.8523e  j  0.94833e  j 2 40 H ω   () /2  Hình.3.39: Ví dụ 3.8.7 (phổ biên độ pha lọc lựa IIR) Hình.3.39 phổ u cầu Đáp ứng biên độ cho thấy lọc lựa rõ ràng   0.1 rad/mẫu Vì đối xứng phổ, ta thường vẽ chúng với      3.9 GIỚI THIỆU BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) Trong chương ta thấy chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS) liên hệ chu kỳ thời gian liên tục với tần số rời rạc, biến đổi Fourier liên tục thời gian (CTFT) liên hệ thời gian liên tục với tần số liên tục, chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) liên hệ chu kỳ thời gian rời rạc với tần số rời rạc, cuối cùng, biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) liên hệ thời gian rời rạc với tần số liên tục Hai hình thức trình bày sau khác hai hình thức trình bày trước, chúng 2 - có tuần hồn miền tần số hiệu ứng lấy mẫu miền thời gian Mặc dù DTFT hữu ích cho xem xét đặc tính tần số tín hiệu hệ thống rời rạc, có vấn đề tính tốn, trình bày tần số liên tục Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) làm đầy tranh thời gian-tần số, liên hệ thời gian rời rạc với tần số rời rạc Đó biến đổi Fourier nhanh (FFT) thuật tốn để tính DFT Cả DFT FFT cơng cụ thực quan trọng để giải nhiều vấn đề DSP (DTSP) Trong phần cuối ta trình bày giới thiệu ngắn gọn DFT Chúng trình bày chi tiết chương 3.9.1 Từ DTFT đến DFT Khi chuỗi rời rạc x(n) rời rạc thời gian, DTFT X() liên tục chu kỳ 2 tần số  , điều khơng thuận tiện cho tính tốn máy tính Vì vậy, thay đổi tần số  phải rời rạc chu kỳ [0,2] ta lấy biến đổi tần số rời rạc Cho thuận tiện ta nhắc lại đơi DTFT (Cơng thức (3.39) (3.40)): X()    x ( n )e  jn (DTFT) (3.76a) (IDTFT) (3.76b) n   x (n )   X()e jn d    2 Với chuỗi x(n) có N mẫu (chỉ số thời gian) ta rời rạc tần số liên tục  với khoảng thành N điểm khoảng [0,2] : 41 k  2 k, N k  0, 1, 2, , N  (3.77) Đây tần số lấy mẫu ta lấy tổng từ đến N-1 thay từ   đến  DTFS, để lấy DFT x(n) : N 1 X(k)   x(n)e  j 2π kn N , k = 0, 1, 2,…, N-1 (DFT) (cơng thức phân tích) (3.78) n 0 Đây DFT N điểm (cơng thức phân tích) X(k) thành phần phổ Chú ý ta viết X(k) có nghĩa X(k ) , cho ngắn gọn số tác giả khác Thành phần mũ viết  j(2 / N)kn Để thuận tiện, nhiều tác giả viết  j2kn / N , cách viết nhiều ý nghĩa Vì X(k) rời rạc, ta khơng lấy tích phân cơng thức(3.77) để phục hồi chuỗi thời gian x(n), tổng: x(n)  N 1 j 2π kn N X(k)e , n = 0, 1, 2,…, N-1 (IDFT) (cơng thức tổng hợp) (3.79)  N k 0 Đây DFT (IDFT) đảo (cơng thức tổng hợp) X(k) x(n) từ đơi biến đổi DFT x(n)   X(k) Sự biến đổi áp dụng đến hệ thống trình bày đáp ứng xung chúng h(n): N 1 H(k)   h(n)e h(n)   j 2π kn N , n 0 N 1 k  0, 1, 2, , N  1 j 2π kn H(k)e N , n  0, 1, 2, , N   N k 0 (3.80) (3.81) Nó thích hợp để so sánh N điểm DFT với N mẫu DTFS (Cơng thức (3.37) (3.38)) Bên cạnh thừa số N thêm vào phương trình tín hiệu, ta thấy có hệ số a k nơi hệ số X(k ) Ý tưởng chuỗi rời rạc khơng tuần hồn x(n) có N mẫu, ta phải sử dụng DTFT, ta xem chuỗi tuần hồn có chu kỳ vơ hạn có gốc x(n) chu kỳ sau sử dụng DTFS với tến DFT Nếu ta tính cơng thức DFT ngồi khoảng  k  N   n  N  ta có giá trị lặp lại Vì lý cho tính tốn thuận tiện N thường lấy mũ ngun (ví dụ N  n với n ngun) Khi số mẫu (mẫu liệu) bên số ta sử dụng kỹ thuật gọi thêm or dán 0, ta lấp đầy mẫu trống với để tổng số mẫu với mũ Liên quan tới DFT ta hỏi lấy mẫu tần số  N khoảng cách điểm trình bày tương ứng dao động miền tần số Song song với định lý lấy mẫu miền thời gian (phần 1.3.1), ta có định lý lấy mẫu miền tần số phát biểu sau: Phổ tần số liên tục tín hiệu tồn khoảng thời gian hữu hạn T0 s đƣợc trình bày cách hồn tồn mẫu tần số đƣợc tách rời khoảng cách khơng lớn T0 Hz Phổ tần số đƣợc phục hồi cách hồn tồn từ mẫu Nó kiểm tra lấy mẫu trước N điểm khơng thỏa mãn định lý lấy mẫu Một cách khác để kiểm tra hợp lý đơi DFT từ biến đổi X(K) ta phục hồi x(n) Vấn đề đơn giản trường hợp CTFT (phần 3.5), khác phần ta sử dụng tính chất trực giao mũ rời rạc thời gian Ví dụ 3.9.1 Tìm DFT N điểm tín hiệu sau (a) x(n)  (n) (b) x (n)  42 (c) x (n )  a n (d) x(n)  cos 0 n Giải (a) X(k )  (b) X(k )  N 1  (n)e n 0 N 1 1e  j 2N kn  1e  j 2N k  1, k  0,1,2, , N   j 2N kn n 0 Tổng có giá trị N với k=0 với k  , X(k)  N(k) (c) X(k )  N 1 a ne  j 2N kn n 0 N 1   (ae  j 2N k n ) n 0 Sử dụng cơng thức chuỗi hình học hữu hạn (Cơng thức (2.11)) ta lấy X( k )  Với b thay cho e  j 2N k  bn , 1 b k  0,1,2, , N  (d) Như thơng thường, ta diễn tả thành phần mũ dạng cosin x(n)  cos 0 n  e j0n  e 0n DFT N 1 X ( k )   x ( n )e N 1  e  j 2N kn n 0  j( 2N k 0 ) n n 0 N 1  e  j( 2k  0 ) n n 0 Để thuận tiện, gọi hệ số phổ k tương ứng với tần số đưa  , thỏa: 2 k  0 N k0  or N N0 2 Viết lại biến đổi N 1 X( k )   e  j 2N ( k  k ) n n 0 N 1  e  j 2N ( k  k ) n n 0 Tổng đầu với N k  k , k  k Tổng thứ hai với N k  N  k , với k  N  k Vì X (k )  N , k  k0 k  N  k0 and = 0, khác For example with 0   radians/sample then k0  N  N  , 2 N  k0  7N ■ Ví dụ 3.9.2 Một lọc nhân có đáp ứng xung h(0)  3, h(1)  2, h(2)  1, h(3)  0, h(n)  otherwise (a) Tìm DFT điểm đáp ứng xung (b) Lấy DFT đảo để xem liệu ta phục hồi đáp ứng xung Giải (a) DFT điểm đáp ứng xung 43 H (k )   h(n)e   h(n)e  j 24 kn n 0  j 2 kn k  0,1, 2,3 , n 0 Sự tính tốn xử lý sau: H(0) =  h ( n )e   j 0n =3+2+1+0=6 n 0 H(1) =  h ( n )e   j 1n = h(0) + h(1) e j  + h (2)e j + = - j2 n 0 H(2) =  h ( n )e   j 2n = h(0) + h(1) e  j + h (2)e j 2 + = n 0 H(3) =  h ( n )e   j 3n = h(0) + h(1) e j 3 + h (2)e j 6 + = + j2 n 0 2π 2  k H(0) H(0) , H(1) H( ) H ( ) , H(2) N 2 2 3 H( 2) H ( ) , H(3) H( 3) H( ) Kết vẽ hình 3.40 giá trị 4 Nhớ H(k) H(ωk ) với ωk  H( k ) H(  ) 2 2   3  2 Hình.3.40: Ví dụ 3.9.2 (DFT điểm đáp ứng xung) DFT mẫu tương ứng với đáp ứng tần số liên tục H() cho DTFT đáp ứng xung (b) Giả sử đáp ứng tần số liên tục H(  ) cho ta lấy mẫu tần số k  0,  2,  , 3 để có giá trị, tương ứng, 6, – j2, , + j2 Từ giá trị ta lấy DFT đảo để tìm đáp ứng xung: h(n) =  j kn H( k ) e  k 0 n = 0, 1,2,3 Vì  j k0 h(0) =  H(k )e k 0 = h(1) = [6 + (2 - j2) + + (2 + j2)] =  j k1 H( k ) e  k 0 44 =  3 j j   j   j e  e   j e    2 =2     Tiếp tục ta lấy trở lại h(2) h(3) mong đợi Trong phần (a) ta định giá H(4) ta thấy với H(1), phần (b) ta định giá h(4) ta thấy với h(1) Lý H(k) tuần hồn h(n) giả sử tuần hồn Ví dụ minh họa phương pháp lấy mẫu tần số thiết kế lọc FIR (phần 5.5) 3.9.2 Thuộc tính DFT Biến đổi Fourier rời rạc DFT có nhiều thuộc tính giống với biến đổi Fourier rời rạc thời gian DTFT khác sau Vì chuỗi x(n) giả sử lặp lại (chuỗi dài có chu kỳ x(n)) tần số điểm lấy mẫu khoảng [0,2] lặp lại khoảng 2 , ta quan tâm đến dịch tròn thay dịch tuyến tính, nhân chập tròn thay nhân chập tuyến tính Những thuộc tính khía cạnh khác DFT, thuộc tốn FFT liên quan thảo luận chương 3.10 TĨM TẮT CHƢƠNG 3.1 Chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS) Phần đưa tóm tắt chuỗi Fourier liên tục thời gian (khai triển Fourier) tín hiệu tuần hồn Một tín hiệu tuần hồn có tần số 0  2 F0 khai triển thành chuỗi vơ hạn Sin cosin có tần số tích tần số Ở có ba hình thức khai triển: Lượng giác (3.1) , biên độ pha(3.4) , mũ phức (3.6) Vì hệ số khai triển (cơng thức phân giải) phức (3.9), ta có phổ biên độ | X n | phổ pha  n  X n Chu kỳ tín hiệu có phổ đường (phổ rời rạc) Trong phân tích Fourier ta thảo luận hàm đặc biệt sin x / x (viết cho sin( x) / x ), gọi sincx Sa(x) (Hình.3.6) Khi ta tái tạo tín hiệu từ họa tần khai triển ta lấy dạng sóng xấp xỉ với nẩy, đặc biệt thời gian tức thời (Hình 3.9) Overshoot, undershoot ripples When we reconstruct the signal from its expanded harmonics we can get only an approximate waveform with ripples , especially at the abupt changes (Fig.3.9) The overshoot and undershout and ripples cấu tạo hiệu ứng Gibbs (hiện tượng Gibbs) 3.2 Biến đổi Fourier liên tục thời gian(CTFT) Tín hiệu thực tế khơng tuần hồn chuỗi Fourier áp dụng với tín hiệu tuần hồn Hình 3.10 cải tiến chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn đến biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn Như kết quả, ta lấy CTFT (phân giải Fourier) (3.12) CTFT ngược (cơng thức tổng hợp) (3.13) The CTFT is complex , giving rise to a magnitude spectrum | X ( F ) | and a phase spectrum ( F ) For real-valued signals the magnitude spectrum is symmetric and the phase spectrum is antisymmetric (3.16) CTFT phức, gồm phổ biên độ | X ( F ) | phổ pha ( F ) Với tín hiệu thực phổ biên độ đối xứng phổ pha bất đối xứng (3.16) CTFT có nhiều thuộc tính hiệu quả: tuyến tính, dịch thời gian, dịch tần số, nhân chập thời gian, định lý Parseval Nhân chập thời gian có nghĩa nhân chập hai hàm thời gian tích thường biến đổi Fourier, đơi biến đổi (3.21) Ở có nhân chập tần số (3.23) Ta ý nhân chập tín hiệu với xung đơn vị tín hiệu (3.22) Định lý Parseval với lượng tín hiệu miền thời gian miền tần số Phần 3.2.4 cho CTFT nhiều tín hiệu bản: Xung hẹp  t , xung đơn vị  (t ) , số, bậc đơn vị, cosin sin 45 3.3 Hệ thống CTFT CTFT áp dụng đến hệ thống liên tục thời gian Biến đổi Fourier H(F) đáp ứng xung h(n) gọi đáp ứng tần số hệ thống Nhân chập đáp ứng tần số tỉ số biến đổi Fourier ngõ với ngõ vào (3.33) Vì đáp ứng tần số phức (3.34), cố đáp ứng biên độ, đáp ứng pha Hệ thống lý tưởng có đáp ứng biên độ số (độc lập tần số), đáp ứng pha tuyến tính (pha tỉ lệ với tần số) (3.35 a) (3.35b) 3.4 Chuỗi Fourier rời rạc (DTFS) Một chuỗi x(n) tuần hồn chu kỳ N mẫu (3.36) Chuỗi khai triển thành chuỗi gồm N thành phần tần số (cơng thức tổng hợp) (3.37) Hệ số phổ (cơng thức phân tích) cho (3.38) Chú ý có hai khác DTFS chuỗi Fourier liên tục thời gian 3.5 Biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) Ta cải tiến DTFS có phổ rời rạc đến DTFT có phổ liên tục Biến đổi (cơng thức tổng hợp) thích X ( ) với ω tần số gốc số (radians/mẫu) DTFT (cơng thức phân tích) cho (3.40) Với chuỗi khơng tuần hồn x(n), DTFT tuần hồn  chu kỳ 2 radians với khoản trung tâm cho [ ,  ] [0, 2 ] Nhớ giải tần số [ ,  ] tương ứng với khoảng Nyquist [ f s / 2, f s / 2] tương ứng với tần số analog F DTFT chuỗi chuỗi hội tụ (tổng hồn hảo) Thường DTFT đại lượng phức (3.43) có phổ biên độ | X ( ) | phổ pha ( ) Với tín hiệu thực | X ( ) | đối xứng ( ) bất đối xứng (3.44) Ví dụ điển hình DFTF xung chữ nhật đối xứng Phổ biên độ gồm dốc vài dốc nghiêng (Hình 3.23) Chú ý Typical example is the DTFT of a digital symmetric rectangular pulse The magnitude spectrum consists of a mainlobe and several sidelobes (Fig.3.23) Cơng thức chuỗi hình học (3.45) hốn chuyển lượng giác (3.46) hữu ích 3.6 Thuộc tính DTFT DTFT có nhiều thuộc tính hữu ích giống với CTFT: tuyến tính, dịch thời gian, dịch tần số, nhân chập thời gian, nhân chập tần số, định lý Parsevel Khi tín hiệu dịch thời gian, phổ biên độ khơng thay đổi bổ pha tỉ lệ với tần số (3.53) hình 3.25c 3.7 DTFT tín hiệu cực Đầu tiên, nhiều biến đổi khác, DTFT mẫu đơn vị  (n) Kế đến, mẫu đơn vị trễ, bậc đơn vị, xung chữ nhật đối xứng Cuối mũ phức, cosin, sin, biến đổi tín hiệu hàm xung tần số 3.8 Đáp ứng tần số hệ thống LTI (LSI) Với hệ thống liên tục thời gian, DTFT H ( ) đáp ứng xung đáp ứng tần số Bằng định lý nhân chập đáp ứng tần tỉ số với DFT cảu tín hiệu DFTF ngõ vào (3.63) Đáp ứng tần số đại lượng phức có đáp ứng biên độ đáp ứng pha (3.64) Đáp ứng tần số tồn đáp ứng hệ thống tổng tuyệt đối (3.67) Ví dụ 3.8.2 biết đáp ứng xung, tìm đáp ứng tần số Ngược lại, ví dụ 3.8.3 biết đáp ứng tần số tìm đáp ứng xung với tần số cắt cụt khác (hữu ích cho chương 5) Để nhấn mạnh biên đổi nhỏ gần với 0, trục biên độ sử dụng thang decibel (dB) thay thang tuyến tính (3.68), điều thể rõ dốc nghiêng Khi tín hiệu vào mữ phức e jn , ngõ ngõ vào nhân với đáp ứng tần số (3.69b) 46 Khi hệ thống chồng chập, đáp ứng tổng thể tích đáp ứng thành phần Khi hệ thống song song, đáp ứng tổng thể tổng đáp ứng thành phần (Hình 3.34) Khi biết phương trình tín hiệu lọc ta viết diễn tả đáp ứng tần số (3.74) ngược lại Cho điều này, ba ví dụ điển hình xét đến 3.9 Giới thiệu biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) liên hệ rời rạc thời gian rời rạc tần số Nó áp dụng với tín hiệu tuần hồn nào, giống chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS), tín hiệu khơng tuần hồn Trong DFT đáp ứng tần số  lấy mẫu để trở thành rời rạc Cả DFT (3.78) DFT đảo (3.79) có tổng hữu hạn Một chuỗi N mẫu khai triển thành số thành phần tần số N, thay chuỗi vơ hạn DTFS tích phân liên tục DTFT Vì DFT hiệu cho tính tốn Giống CTFT DTFT , DFT áp dụng cho hai tín hiệu hệ thống Ở định lý lấy mẫu miền tần số giống với định lý lấy mẫu miền thời gian, điều hữu ích cho phân xử DFT Chương thảo luận nhiều DFT thuật tốn tính tốn FFT [...]... liệt kê và diễn tả trong hình 3. 33 n h(n) 0 0,500 1 0 ,31 8 2 0 3 -0,106 4 0 5 0,064 6 0 7 -0,045 8 0 9 0, 035 33 Fig .3. 32: Ví dụ 3. 8.2 (đáp ứng xung của lọc thông thấp lý tưởng có những giá trị tần số cắt khác nhau c h(n) 0,5 0 ,31 8 -7 -6 -5 -4 0,064 3 -3 -2 -1 0 1 2 4 5 7 6 n -0,106 Hình 3. 33: Đáp ứng xung của lọc thông thấp có tần số cắt cụt c   / 2 ■ 3. 8.2 Biên độ đáp ứng tần số trên thang decibel...  2 3 4     HI() 2 1 - 0 -1 -2 H(  ) 31 5 4 0 3 2 1 0 - (  ) 0 -      2   2 Hình .3. 30:Ví dụ 3. 8.2 (Phổ của hệ thống với đáp ứng xung phân hủy) Ví dụ 3. 8 .3 Đáp ứng tần số H() của một lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt c (Hình .3. 31) là H ( )  1 ,    c    c    0 , khác Tìm đáp ứng xung của nó h(n) H() - - c 1 0 c   Hình .3. 31: Ví dụ 3. 8 .3 (đáp ứng tần số của... gian x(-n)  X(-) (3. 48) (c) Dịch thời gian x(n - n0)  X() e (d) Dịch tần số  jn0 23 x(n) e j0 n  X(  -  0 ) (3. 49) (e) Nhân chập thời gian( hoặc định lý nhân chập) Nhân chập trong miền thời gian tương ứng với nhân thường trong miền tần số: x1 ( n)  x2 ( n)  X 1 () X 2 () (3. 50) (f) Nhân chập tần số Nhân thường trong miền thời gian tương ứng với nhân chập trong miền tần số x1 nx2 n ... (3. 60) Và DTFT ngược hn   1  jn  H e d 2 (3. 61) H () được gọi là đáp ứng tần số hoặc đặc tính tần số của hệ thống Nó là đặc điểm về mặt tần số của hệ thống, ngược lại đáp ứng xung là đặc điểm về mặt thời gian 28 3. 7.1 Đáp ứng tần số Bây giờ ta sử dụng thuộc tính nhân chập thời gian (hoặc định lý nhân chập) để khớp ngõ ra y(n) trong miền thời gian với biến đổi của nó Y () trong miền tần. .. một trong 3 cách kia: (1) thay n = 0 tích phân đầu và lấy tích phân, (2) đặt kết quả trong thành phân hàm sin x x và sử dụng ngưỡng 1 khi x  0 , và (3) sử dụng qui luật L’Hospital’s d (sin nc )  cos nc  dn h(n)  |n 0  c |n 0  c d   (n) dn (3. 67) Vì vậy đáp ứng xung là h(n)  sin c n , n c ,  n0 n0 Hình .3. 32 chỉ kết quả 4 giá trị khác nhau của tần số cắt cụt c Trường hợp với tần số. .. đổi của nó Y () trong miền tần số (Hình .3. 28) : y(n) = x(n)  h(n)  Y(  ) = X(  )H(  ) (3. 62) Hoặc H   Y  X  (3. 63) Tín hiệu vào Miền thời gian : x(n) F Miền tần số : X(  ) DSP (LTI) Tín hiệu ra h(n) y(n) = x(n) F H(  ) F * h(n) (nhân chậ p) Y(  ) = X(  )H(  ) Hình .3. 28: Khớp miền thời gian sang miền tần số và thuộc tính nhân chập thời gian Đáp ứng tần số H() thường là một đại lượng... bằng nhau và là 0.2 như ví dụ 3. 5.1, vì vậy đáp ứng tần số của hệ thống là 1.0 H() 0 2/5  (a) N=2 (5 hệ số) 1.0  H() 0 2/21 (b) N=10 (21 hệ số)   Hình 3. 29: Đáp ứng biên độ của lọc trung bình di chuyển cho hai trương hợp có số hệ số trên Độ hoành của 32 0 mẫu 2 H    hn e  jn n  2 = 0.2(1 + 2cos  + 2 cos2  ) Đáp ứng tần số được chỉ trong hình 3. 23 Hình 3. 29 là một cách khác để trình... x(Ω)=jπδ(Ω-Ω0 )+jπδ(Ω-Ω0 ) (3. 31a) (3. 31b) t 16 3. 3 ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG LIÊN TỤC THỜI GIAN Hệ thống liên tục thời gian có đặc tính là đáp ứng xung Trong miền thời gian ngõ ra tín hiệu y(t) của hệ thống là nhân chập của tín hiệu vào x(t) với đáp ứng xung h(t): y( t )  x( t )  h( t ) Bằng lý thuyết nhân chập, công thức trên được biến đổi sang miền tần số như: Y ( F )  X ( F )H ( F ) (3. 32) Với H(F) là... nhìn lại công thức (1 .39 ), (1.40) và (1.41) cho sự liên hệ giữa tần số gốc và tần số tương tự, bao gồm tần số lấy mẫu Bên trên, ta vừa đề cập đôi biến đổi, bây giờ ta sẽ kiểm tra rằng hai công thức thật sự là một đôi biến đổi Để làm điều này, ta chỉ đưa ra công thức phân tích, công thức tổng hợp được giữ, hoặc ngược lại Để thay RHS của công thức phân tích vào RHS của công thức phân tích: 1 π 1 π  j ωn... 2Ft 0 (c) Dịch tần số (đƣợc gọi là lý thuyết điều biến) x( t )e j 2F0t  X ( F  F0 ) Khi tín hiệu có pha dịch đi bởi +2Ft0 biến đổi của nó dịch tần số đi F0 Ví dụ 3. 2.2 Tìm phổ biên độ của tín hiệu điều biến biên độ (AM) x(t) = m(t) cos2Fct (3. 19) 13 Với phổ của tín hiệu tần số thấp trình bày thông tin thì được biết, và cos2Fct là sóng mang (Tần số của nó là Fc lơn hơn nhiều tần số của m(t)) Điều ... din t hỡnh 3. 33 n h(n) 0,500 0 ,31 8 -0,106 0,064 -0,045 0, 035 33 Fig .3. 32: Vớ d 3. 8.2 (ỏp ng xung ca lc thụng thp lý tng cú nhng giỏ tr tn s ct khỏc c h(n) 0,5 0 ,31 8 -7 -6 -5 -4 0,064 -3 -2 -1 n... vi ngừ vo (3. 33) Vỡ ỏp ng tn s l phc (3. 34), nú c ỏp ng biờn , v ỏp ng pha H thng lý tng cú ỏp ng biờn hng s (c lp tn s), v ỏp ng pha tuyn tớnh (pha t l vi tn s) (3. 35 a) v (3. 35b) 3. 4 Chui Fourier... Gii ỏp ng tn s H 1.9021e j e j 1.8523e j 0.94 833 e j 40 H () /2 Hỡnh .3. 39: Vớ d 3. 8.7 (ph biờn v pha ca lc la IIR) Hỡnh .3. 39 ch ph c yờu cu ỏp ng biờn cho thy mt lc la rừ