CHƯƠNG 3: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH Khái niệm Thế trường điện Phương trình Poisson - Laplace Vật dẫn trường điện tĩnh Điện môi trường điện tĩnh Năng lượng trường điện Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh Chương Khái niệm trường điện từ tĩnh  Các đại lượng điện từ không thay đổi theo thời gian  Không có dòng điện, mật độ dòng  Phương trình điều kiện biên: 0 Các phương trình tách thành nhóm độc lập có mô tả toán học tương tự  khảo sát trường điện Chương Thế trường điện tĩnh  Công  Công lực điện tĩnh theo đường cong kín = Trường điện tĩnh trường  Công lực điện tĩnh không phụ thuộc vào đường dịch chuyển, phụ thuộc điểm đầu điểm cuối Chương 3 Thế trường điện tĩnh  Thế điện 1  Thế điện có nhiều giá trị, xác định cách chọn điện chuẩn  Thực tế: điện chuẩn điện đất Lý thuyết: chọn   Hiệu điện: Nếu chọn () = 0: Thế trường điện tĩnh  Thế điện  Trường điện tích điểm q đối xứng cầu: 4  r: khoảng cách từ điểm khảo sát P đến điện tích điểm  Thế điện điểm mặt cầu r = const Mặt đẳng trường điện tích điểm q mặt cầu có tâm đặt điện tích điểm P  Trường hệ n điện tích điểm: 4 qk Thế trường điện tĩnh  Thế điện  Trường điện tích phân bố liên tục: , , : vector xác định vị trí yếu tố điện tích dq : vector xác định vị trí điểm khảo sát : mật độ điện tích khối thể tích V : mật độ điện tích mặt diện tích S : mật độ điện tích dài đường L Chương Phương trình Poisson Laplace  Phương trình Poisson: Δ : toán tử Laplace : điện / Nghiệm riêng dạng tích phân:  Phương trình Laplace: Nếu miền khảo sát phân bố điện tích:  = Chương Xác định cường độ trường điện biết trường điện tĩnh phân bố sau (toạ độ cầu): 1 Xác định cường độ trường điện mật độ điện tích khối biết môi trường có  = const trường điện tĩnh phân bố sau (toạ độ cầu): Chương Cường độ trường điện có dạng: Xác định hiệu điện điểm A(0,1,2) B(1,2,3) yzdx zxdy xydz d xyz Cường độ trường điện có dạng: Xác định hiệu điện điểm A(0,1,2) B(1,2,3) Giữa hai điện cực phẳng song song cách khoảng x = d, dài y = a, rộng z = b, cường độ điện trường biến thiên theo quy luật: Xác định mật độ điện tích khối hiệu điện hai điện cực Xác định cường độ điện trường nối điện cực với nguồn U0 Chương Δ / Δ Điều kiện biên:  (x = 0) = U0  (x = d) = C1, C0 Chương 10 Vật dẫn trường điện tĩnh 0: mật độ điện tích khối thời điểm t = [C/m3]  Trường điện tĩnh có Trong vật dẫn: 0, → 0, 0→  Thế điện điểm vật dẫn nhau: vật dẫn vật đẳng thế, mặt vật dẫn mặt đẳng  Điều kiện biên:  0→ Điện tích phân bố mặt vật dẫn với mật độ điện tích mặt  [C/m2] Chương 11 Trong miền không khí có  = 0 giới hạn mặt dẫn gồm nửa mặt phẳng x = 0, y > 0; x > 0, y = mặt cong xy = Giả sử điện miền  = 50xy [V] Tính mật độ điện tích mặt mặt dẫn Chương 12 Vật dẫn trường điện tĩnh  Định lý tương hỗ: Hệ thống có n vật dẫn:  Điện tích vật dẫn q1, q2, …, qn điện tương ứng 1, 2, …, n  Điện tích vật dẫn thay đổi thành q’1, q’2, …, q’n điện tương ứng ’1, ’2, …, ’n  Các vật dẫn phân bố miền giới nội đặt môi trường tuyến tính, đẳng hướng phân bố điện tích khối Chương 13 Vật dẫn trường điện tĩnh  Hệ số thế:  Điện dung C vật dẫn cô lập: C = q/ [F] Hệ thống có n vật dẫn, điện vật dẫn thứ k: Bkm: hệ số tương hỗ vật dẫn thứ k vật dẫn thứ m [F-1] Bkm = Bmk  Hệ số tương hỗ vật dẫn thứ k vật dẫn thứ m Bkm điện vật dẫn k vật dẫn m mang điện tích 1C vật dẫn khác không mang điện  Hệ số riêng Bkk điện vật dẫn k vật dẫn k mang điện tích 1C vật dẫn khác không mang điện Chương 14 Vật dẫn trường điện tĩnh  Hệ số điện dung (Hệ số cảm ứng): Akm: hệ số điện dung tương hỗ vật dẫn thứ k vật dẫn thứ m Akm = km/ ∆ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ km: phần phụ đại số phần tử Bkm định thức  ⋮ Chương 15 Điện môi trường điện tĩnh  Không có điện tích tự  Các điện tích dương âm chuyển dịch theo hướng ngược Hình thành lưỡng cực điện (2 điện tích –q +q cách khoảng l) Q rR –q l r+ : moment lưỡng cực +q Chương 16 Điện môi trường điện tĩnh Thế điện Q gây lưỡng cực yếu tố thể tích dV: Q : moment lưỡng cực điện đơn vị thể tích = N dV N: số lưỡng cực điện đvtt ′ ′ ′ Biến đổi: ′ ′ Chương 17 Điện môi trường điện tĩnh 4 ′ [C/m2]: mật độ điện tích phân cực mặt 1 : điện gây điện tích phân cực phân bố mặt S ′ ′ : điện gây điện tích phân cực phân bố thể tích V ′ [C/m3]: mật độ điện tích phân cực khối Thế điện có điện môi: 1 ′ Chương ′ 18 Tính điện dung tụ điện phẳng chứa đầy lớp điện môi 1,2 với độ dày d1, d2 song song với tụ có diện tích S D1 = D2 = 1E1 = 2E2 D = const C = q/U Chương 19 Năng lượng trường điện Nếu trường điện tạo điện tích phân bố khối mật độ  phân bố mặt mật độ : 2 Nếu trường điện tạo n vật dẫn mang điện q1, q2, … : Chương 20 10 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật hình cầu mang điện Chọn gốc tọa độ tâm hình cầu, vẽ mặt S1 S2 mặt cầu đồng tâm  Vùng cầu mang điện: S2 a S1 q: điện tích vật mang điện = Q Vật mang điện 3 Chương 27 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật hình cầu mang điện ∞ Chọn () = Chương 3 28 14 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật hình cầu mang điện  Vùng cầu mang điện: q: điện tích bên cầu S1 4 3 3 3 Chương 29 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật hình cầu mang điện  Năng lượng trường điện: 2 Điện tích phân bố bên cầu nên: 2 Chương 15 30 15 Xác định điện cường độ điện trường bên bên mặt cầu bán kính a mang điện tích Q tích phân bố mặt cầu Trong mặt cầu: Ngoài mặt cầu: 4 Trong mặt cầu: Ngoài mặt cầu: Chương 31 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật dẫn hình trụ dài mang điện Điện tích Q phân bố liên tục hình trụ kim loại mỏng bán kính a chiều dài L (L >> a) đặt môi trường đồng đẳng hướng  Vùng bên hình trụ: 0 Chương 32 16 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật dẫn hình trụ dài mang điện  Vùng hình trụ: Bỏ qua hiệu ứng mép, vector cường độ điện trường vuông góc với trục hình trụ có giá trị điêm cách trục S1 Vật dẫn hình trụ h S2 Chọn gốc tọa độ tâm hình trụ, trục z trùng với trục hình trụ, vẽ mặt trụ S trục, thiết diện tròn bán kính r > a, chiều cao h 33 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật dẫn hình trụ dài mang điện S1, S2: mặt đáy; Sxq: diện tích xung quanh Đối với mặt đáy: vuông góc mặt đáy 2 Cường độ trường điện không phụ thuộc bán kính a  thay trục Chương 34 mang điện 17 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật dẫn hình trụ dài mang điện Chọn gốc điện r = b: (r=b) = b a ln Cáp đồng trục có lõi dẫn hình trụ bán kính a, vỏ bán kính b, vỏ lõi mang điện tích trái dấu Lõi dẫn hình trụ Lớp điện môi Vỏ Chọn (r=b) = (vỏ nối đất) r < a r > b: a < r < b:  =  tính 35 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật dẫn hình trụ dài mang điện Trục mang điện có mật độ điện tích 2 ln ln Chương 36 18 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện hai trục mang điện trái dấu, song song Hai trục mang điện song song cách khoảng 2x0 có mật độ điện dài  - y x y  r+ - O P _ rx 2 ln Đường đẳng x0 x0  = const Đường đẳng Chương Đường sức điện 37 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện hai trục mang điện trái dấu, song song y x y  r+ - O P 1 rx Đường đẳng đường tròn x0 x0 Đường sức điện Đường đẳng Chương Đường sức điện 38 19 Xác định điện cường độ điện trường bên bên hình trụ dài bán kính tiết diện a, điện tích phân bố bên hình trụ với mật độ khối  Trong mặt trụ: Ngoài mặt trụ: Trong mặt trụ: Ngoài mặt trụ: Chương 39 Xác định điện cường độ điện trường bên bên mặt phẳng z = -a/2 z = a/2 biết điện tích phân bố mặt phẳng với mật độ khối  Xác định điện cường độ điện trường gây điện tích phân bố với mật độ khối  0 Xác định điện cường độ điện trường gây điện tích phân bố với mật độ mặt  ê ặ ê ặ Chương 40 20 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Phương pháp ảnh điện: Thay hai hay nhiều môi trường khác môi trường đồng đồng thời đưa thêm điện tích cho đảm bảo điều kiện biên trước  Trường điện điện tích điểm mặt phẳng dẫn A -q  h B r+ rh Xét điện tích điểm q –q đặt cách khoảng 2h P +q x 2.2 Chương 41 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện điện tích điểm mặt phẳng dẫn Nhận xét: - Trên mặt phẳng AB: r+ = r-   = - Khi r+     (tỷ lệ với 1/r) - Khi r+     Tương tự với toán gồm điện tích điểm +q đặt cách mặt phẳng dẫn nối đất khoảng h Bài toán xét trường điện điện tích điểm +q đặt cách mặt dẫn AB giống bỏ AB đưa vào điện tích điểm –q đối xứng với q qua AB (-q gọi điện tích ảnh q) Chương 42 21 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện điện tích điểm mặt phẳng dẫn A P 1 h -q +q 2.2  h B x 4 A P r r+ r- 4 h a  4 Chương B 43 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện điện tích điểm mặt phẳng dẫn Xét mặt dẫn: Trên mặt dẫn: Điện tích cảm ứng mặt dẫn: A P r B → h a 2 (bằng điện tích ảnh) Lực tác dụng lên mặt dẫn:  4 (bằng lực tác dụng 44 q –q)) 22 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện điện tích điểm cầu dẫn Điện tích điểm q đặt cách cầu dẫn nối đất bán kính a khoảng d Dùng phương pháp ảnh điện, thay cầu dẫn điện tích điểm q1 Do tính đối xứng, q1 nằm đường thẳng nối tâm cầu q, cách tâm cầu khoảng x a q M q1 N 4 x d 0 (Mặt dẫn đẳng nối đất   = 0) 45 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện điện tích điểm cầu dẫn Điện tích điểm q đặt cách cầu dẫn nối đất bán kính a khoảng d Xác định trường điện điện tích điểm q q1 cách khoảng d’ Nếu cầu dẫn không nối đất không mang điện: q q1 q2 d' d Quả cầu không mang điện (M) = (N)  Hệ gồm điện tích điểm q q1  (M) = (N) = Để (M) = (N)  đặt thêm q2 tâm cầu 46 23 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện trục mang điện hình trụ dẫn Trục mang điện đều, mật độ điện dài  đặt cách cầu dẫn nối đất bán kính a khoảng d > a Dùng phương pháp ảnh điện, thay cầu dẫn trục mang điện 1 (M) = (N) =  M a 1 N ln ln x d Kết giống trục mang điện trái dấu song song Chương 47 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện điện tích điểm đặt gần mặt phân chia điện môi q h 1 2 q (1) 1 h (1) (2) Điện tích điểm q đặt môi trường đồng 1 cách môi trường 2 khoảng h  Tính cho môi trường 1 Thêm điện tích điểm q1 đối xứng q qua mặt phân cách  1 (1) q1 Chương 48 24 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện điện tích điểm đặt gần mặt phân chia điện môi q2 (2) 2 2  Tính cho môi trường 2 Thay điện tích điểm q điện tích điểm q2 h  (2) Điều kiện biên: E1t = E2t D1n = D2n 4 4 Chương 49 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện điện tích điểm đặt gần mặt phân chia điện môi  Lực tác dụng lên q 4  Nếu 1 < 2: F <  q bị hút đến mặt phân cách  Nếu 1 > 2: F >  q bị đẩy xa mặt phân cách  Nếu 1 = 2: q1 = 0, q2 = q  điện tích điểm q đặt môi trường đồng Chương 50 25 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Giải phương trình Poisson - Laplace:  Phương trình Poisson Δ /  Phương trình Laplace Nếu môi trường điện tích Δ Chương 51 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện Một cầu mang điện có mật độ điện tích khối  bán kính a tâm gốc tọa độ / Trong hệ tọa độ cầu: h1 = 1, h2 = r, h3 = rsin ∆ ∆ 1 ∆ Do tính đối xứng cầu, điện hàm r ∆ / Chương 0, 52 26 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện Theo định luật Gauss, xét mặt cầu bán kính r: Khi r  q  0: Chọn () = 0: 4 4 A=0 D=0 Chương 53 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện Tại r = a: Thế điện liên tục: Dn liên tục: 3 3 Chương 3 54 27 Xác định điện cường độ điện trường bên bên hình trụ dài bán kính tiết diện a, điện tích phân bố bên hình trụ với mật độ khối  cách giải phương trình Poisson – Laplace Trong hệ tọa độ trụ: h1 = 1, h2 = r, h3 = 1 ∆ ∆ 1 Do tính đối xứng, , D, E phụ thuộc r ∆ E(r = 0) hữu hạn  A = Chọn (0) =  B = Tại r = a: Thế điện liên tục: Dn liên tục: Chương 55 Xác định điện cường độ điện trường bên bên mặt cầu bán kính a mang điện tích Q tích phân bố mặt cầu Xác định điện gây điện tích phân bố khối hệ tọa độ trụ với mật độ: Chọn (0) = 0 Xác định điện gây điện tích phân bố khối hệ tọa độ cầu với mật độ: Chọn () = 0 Chương 56 28 [...]... 0 Chương 3 3 28 14 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều  Vùng trong quả cầu mang điện: q: điện tích bên trong quả cầu S1 4 4 3 3 3 3 3 3 6 Chương 3 29 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều  Năng lượng trường điện: 1 2 1 2 Điện tích chỉ phân bố bên trong quả cầu nên: 1 2 1 2 3 4 6 Chương 3. .. hướng Chương 3 26 13 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều Chọn gốc tọa độ tại tâm hình cầu, vẽ các mặt S1 và S2 là các mặt cầu đồng tâm  Vùng ngoài quả cầu mang điện: S2 a S1 q: điện tích của vật mang điện = Q 4 Vật mang điện 4 3 3 4 Chương 3 27 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật hình cầu mang điện đều 4 3 ∞ 3 Chọn... có mật độ điện tích 2 2 2 ln 2 ln Chương 3 36 18 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của hai trục mang điện trái dấu, song song Hai trục mang điện song song cách nhau khoảng 2x0 có mật độ điện dài  và - y x y  r+ - O P _ rx 2 2 2 ln Đường đẳng thế x0 x0  = const Đường đẳng thế Chương 3 Đường sức điện 37 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của hai... (1) q1 4 Chương 3 48 24 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm đặt gần mặt phân chia 2 điện môi q2 (2) 2 2  Tính cho môi trường 2 Thay điện tích điểm q bằng điện tích điểm q2 h  4 (2) 4 Điều kiện biên: E1t = E2t D1n = D2n 4 4 4 4 Chương 3 2 49 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm đặt gần mặt phân chia 2 điện môi... h2 = r, h3 = rsin ∆ 1 ∆ 1 1 ∆ Do tính đối xứng cầu, thế điện chỉ là hàm của r ∆ 1 / 0 Chương 3 0, 0 52 26 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện đều 3 6 Theo định luật Gauss, xét mặt cầu bán kính r: 4 Khi r  0 thì q  0: 3 Chọn () = 0: 4 4 4 3 4 3 A=0 4 D=0 Chương 3 53 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện đều 3 6 Tại r = a: Thế điện liên... chiều cao h 33 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật dẫn hình trụ dài mang điện đều S1, S2: 2 mặt đáy; Sxq: diện tích xung quanh Đối với 2 mặt đáy: vuông góc mặt đáy 2 0 2 2 Cường độ trường điện không phụ thuộc bán kính a  có thể thay bằng trục Chương 3 34 mang điện 17 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của vật dẫn hình trụ dài mang điện đều Chọn... phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Bài toán trường điện tĩnh chủ yếu xác định và   Nếu môi trường đồng nhất, đẳng hướng: ∆ 0 0  Thế điện  phải liên tục tại biên phân chia 2 môi trường: n: thành phần pháp tuyến : thành phần tiếp tuyến 0 Chương 3 21 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Nguyên lý chồng trường: Thế điện gây ra bởi n điện tích điểm qi: 1 4 Nếu điện tích phân bố... 4 4 Chương 3 B 43 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm và mặt phẳng dẫn 2 Xét trên mặt dẫn: 4 Trên mặt dẫn: 2 Điện tích cảm ứng trên mặt dẫn: 2 A P r B → h a 2 2 (bằng điện tích ảnh) Lực tác dụng lên mặt dẫn:  4 4 4 (bằng lực tác dụng 44 giữa q và –q)) 22 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Trường điện của điện tích điểm và quả cầu dẫn Điện. .. = 2: q1 = 0, q2 = q  điện tích điểm q đặt trong môi trường đồng nhất Chương 3 50 25 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Giải phương trình Poisson - Laplace:  Phương trình Poisson Δ /  Phương trình Laplace Nếu môi trường không có điện tích Δ 0 Chương 3 51 Các phương pháp giải bài toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện đều Một quả cầu mang điện đều có mật độ điện tích khối  bán kính... thế điện và cường độ điện trường bên trong và bên ngoài 2 mặt phẳng z = -a/2 và z = a/2 biết điện tích phân bố đều giữa 2 mặt phẳng với mật độ khối  Xác định thế điện và cường độ điện trường gây ra bởi điện tích phân bố đều với mật độ khối  0 0 Xác định thế điện và cường độ điện trường gây ra bởi điện tích phân bố đều với mật độ mặt  ê ặ ê ặ 0 Chương 3 á 40 20 Các phương pháp giải bài toán trường điện ... giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật hình cầu mang điện  Vùng cầu mang điện: q: điện tích bên cầu S1 4 3 3 3 Chương 29 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật hình... cầu mang điện: S2 a S1 q: điện tích vật mang điện = Q Vật mang điện 3 Chương 27 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Trường điện vật hình cầu mang điện ∞ Chọn () = Chương 3 28 14 Các... 0: 4 4 A=0 D=0 Chương 53 Các phương pháp giải toán trường điện tĩnh  Quả cầu mang điện Tại r = a: Thế điện liên tục: Dn liên tục: 3 3 Chương 3 54 27 Xác định điện cường độ điện trường bên bên