Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Viện Cơ Khí Bộ Môn Cơ Học Vật Liệu -**** - Bài Giảng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Người soạn: TS Lê Minh Quý Thời lượng: 30 Tiết Hà Nội-2010 Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương Chương Giới Thiệu Chung 1.1 Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) gì? Phương pháp số dùng để phân tích toán kết cấu & môi trường liên tục Được sử dụng để giải toán sau:  Bài toán kết cấu (tĩnh học/ động lực học, ứng xử tuyến tính/phi tuyến);  Bài toán truyền nhiệt;  Bài toán học chất lỏng;  Bài toán truyền âm;  Bài toán điện từ trường;  Được ứng dụng rộng rãi nhiều ngành kỹ thuật: khí, hàng không, xây dựng, ô tô, Các kiến thức liên quan:  Cơ học môi trường liên tục, sức bền vật liệu, lý thuyết đàn hồi,  Đại số tuyến tính, phương pháp số  Ngôn ngữ lập trình, cấu trúc liệu Một số phần mềm PTHH: ANSYS, MARC, ABAQUS  http://www.ansys.com  http://www.mscsoftware.com  http://www.abaqus.com -1.1- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1.2 Bài toán lò xo 1.2.1 Hệ có lò xo q1a f1a q2a f 2a x O q1b + f1a q2b f 2a O x q1 = f1 q2 f2 O x Hình 1.1 Hệ có lò xo Xét lò xo có độ cứng C, toàn lò xo gọi phần tử có hai đầu đánh số gọi số nút Giả sử ta cần tìm quan hệ chuyển vị q , & q nút (được gọi chuyển vị nút) với lực tập trung f f nút (được gọi lực nút) Trường hợp a: lò xo cố định nút f1a   f 2a f 2a  Cq2 (1.1) Trường hợp b: lò xo cố định nút f1b   f 2b (1.2) f1b  Cq1 Áp dụng nguyên lý chồng chất lực, lời giải toán lò xo chịu tác dụng lực nút f f tổ hợp trường hợp a b f  f  f  C q  q  (1.3) a a b b 2 f  f  f  C  q1  q2  Quan hệ lực nút chuyển vị nút viết dạng ma trận sau:   1 q   f  (1.4) C       1  q   f    1 k e  C   1  với   (1.5) k  ma trận độ cứng phần tử lò xo e q1   q2  f  f      f2  q   véc tơ chuyển vị nút véc tơ lực nút lò xo -1.2- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1.2.2 Hệ gồm nhiều lò xo Q1 1 Q2 F1 F2 x O q11 Q3 F3 = f11 q12 f 21 1 q12 + f12 2 q22 f 22 Hình 1.2 Hệ gồm hai lò xo Xét hệ gồm hai lò xo có độ cứng C C chịu lực hình vẽ 1.2 Lò xo gọi phần tử 1, lò xo gọi phần tử Mỗi phần tử có nút Ký hiệu tổng thể cho hệ: nút đánh số 1, 2, Véc tơ chuyển vị nút: {Q}={Q , Q , Q }T Véc tơ lực nút: {F}={F , F , F }T Ký hiệu địa phương cho phần tử: Mỗi phần tử có nút đánh số nút nút Véc tơ chuyển vị nút phần tử thứ e là: q  q e Véc tơ lực nút phần tử thứ e là: f   f e   q  e e   f  e e Quan hệ véc tơ chuyển vị nút lực nút phần tử 1(áp dụng kết mục 1.2.1):   1 q   f  (1.6) C       1 1 1  q   f  Chú ý sau: Q1  q11 Q2  q12 , viết lại hệ phương trình dạng   0 Q1   f11      C1  1 0 Q2    f 21   0 0 Q3  0  (1.7) Quan hệ véc tơ chuyển vị nút lực nút phần tử (áp dụng kết mục 1.2.1): -1.3- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương   1 q   f  C2         1  q   f  2 Chú ý sau: 2 Q2  q12 (1.8) Q3  q22 , viết lại hệ phương trình dạng 0 0  Q1  0     2 C2 0  1 Q2    f1  0  1  Q3   f  (1.9) Kết hợp (1.7) (1.9) ta có:  C1  C1  C C  C    C2  Q1   f11     f  f 2   C2  Q2         C2  Q3   f    F1   f1 Q1     f  f 2 F   F2     Q  Q2  , F   f  Q   3  3   Chú ý: (1.10) ta có phương trình cân hệ (quan hệ véc tơ lực nút chuyển vị nút): K Q  F   K11 K    K 21  K 31 K13   C1  C1   K 23    C1 C1  C2 K 33    C2 K12 K 22 K 32   C2  C2  (1.11) [K] ma trận độ cứng hệ xây dựng từ ma trận độ cứng phần tử Trong thực hành tính toán, ma trận [K] xây đựng dựa vào bảng ghép nối phần tử Bảng ghép nối phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Chỉ số chuyển vị nút tổng thể 2 Phần tử (1) (2)  Từ bảng ghép nối trên, ma trận [k1] (2 hàng cột) mở rộng thành ma trận [K1] (3 hàng cột) sau: k  k    k 1 11 21  k111 k121 k   1    K    k21 k22 k  0  12 22 0  0  -1.4- (1.12) Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 2 Ma trận [k ] (2 hàng cột) mở rộng thành ma trận [K ] (3 hàng cột) sau: 0 0 2   k k  12  k    112   K   0 k112 k122    k21 k22  0 k212 k222  (1.13)  K    K    K  K11  k111 ; K12  k121 ; K13  0; 1 K 21  k21  k112 ; K 23  k122 ; ; K 22  k22 K 31  0; K 32  k212 ; K 33  k222 ; Áp dụng phương pháp ta thiết lập mối quan hệ lực nút chuyển vị nút, tính ma trận độ cứng cho hệ gồm nhiều lò xo 1.3 Bài toán chịu kéo nén q1 f1 q2 f2 q1 f1 x O O q2 f2 x Hình 1.3 Thanh coi lò xo có độ cứng C=AE/L Xét kết cấu gồm có mô đun đàn hồi E, tiết diện ngang A, chiều dài L chịu lực hình 1.3 Kết cấu gồm phần tử có hai nút (1.14) Ứng suất là:   f A Quan hệ biến dạng chuyển vị:   q L (1.15) (1.16) Quan hệ ứng suất biến dạng:   E Từ (1.14), (1.15), (1.16) suy quan hệ lực nút nút chuyển vị nút là: AE f  A  AE  q (1.17) L Đối chiếu với mô hình lò xo, ta coi lò xo có độ cứng C=AE/L Từ (1.5) suy ma trận độ cứng phần tử thanh: -1.5- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương  1  1 k   AE L  e  (1.18) Ví dụ 1.1 A B C P=10N 1 L1 L2 O Q1 2 Q2 Chỉ số nút tổng thể x Q3 2 Chỉ số nút địa phương Hình 1.4 Tính trục bậc nhờ PTHH Cho trục bậc có kết cấu & chịu lực hình 1.4 Biết: A =20mm2; A =10mm2; L =L =100mm; E=200GPa Tính chuyển vị nút, ứng suất biến dạng phần tử, phản lực liên kết Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu Chia kết cấu thành phần tử đánh số nút số phần tử hình 1.4 Bước 2: Tính ma trận độ cứng phần tử A E  1  4   k   1   104 N / mm   L1  1   4  A E  1  2   k   2   104 N / mm   L2  1   2  -1.6- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương Bước 3: Ghép phần tử & tính ma trận độ cứng kết cấu [K]  K11  K    K 21  K31 Phần tử (1) (2) K12 K 22 K32 K13  K 23  K33  Bảng ghép nối phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Chỉ số chuyển vị nút tổng thể 2 Từ bảng ghép nối ta có K11  k111 ; K12  k121 ; K13  0; 1 ; K 22  k22 K 21  k21  k112 ; K 23  k122 ; K 31  0; K 32  k212 ; K 33  k222 ;  4   K   4 2 104 N / mm  2  Bước 4: Quy đổi ngoại lực nút  R phản lực ngàm nút {F}=[R 10]T Bước 5: Hệ phương trình PTHH  4   Q1   R1      104   4 2  Q2      2  Q3  10  Bước 6: Áp dụng điều kiện biên Q =0, ta loại bỏ dòng cột hệ ta có hệ phương trình ẩn số:  2  Q2    104        2  Q3  10  -1.7- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương Kết Quả Chuyển vị: Q =0,25x10-3mm; Q =0,75x10-3mm Q =0; Phản lực liên kết ngàm (nút 1) m R1   K1 j Q j  K12Q2  10 N j 1 Biến dạng phần tử  q11  q12 Q1  Q   2,5 106   L1 L  q12  q22 Q  Q    106 ;   L2 L Ứng suất phần tử   E  0,5 N / mm ;   E  1N / mm ; Lời giải theo phương pháp PTHH trùng với lời giải xác theo phương pháp sức bền vật liệu Chú ý:  Tương tự cách thiết lập ma trận độ cứng phần tử lò xo phần tử thanh, ta thiết lập ma trận độ cứng phần tử trục chịu xoắn dầm chịu uốn (xem tập)  Ma trận độ cứng phần tử lò xo, chịu kéo nén, trục chịu xoắn, dầm chịu uốn thiết lập dựa điều kiện cân lực liên tục chuyển vị  Phương pháp không áp dụng cho toán phức tạp Khi đó, ma trận độ cứng phần tử xây dựng khái niệm hàm dạng, hàm nội suy nguyên lý di chuyển -1.8- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1.4 Hàm dạng hàm nội suy 1.4.1 Hàm dạng P(x,y,z) y r(x,y,z) r(,,) z o x Hình 1.5 Vị trí điểm xác định véc tơ định vị Biểu diễn hình học: Véc tơ định vị {r}=[x, y, z]T điểm phần tử Ve xác định hàm tham số ,   qua việc đổi biến sau:  x   x  , ,    r   y    y  , ,    z   z  , ,        Xấp xỉ hình học: Toạ độ (x,y,z) điểm xác định toạ độ nút (x i , y i , z i ) hàm dạng N  , ,   : i n x   N i xi ; i 1 n n i 1 i 1 y   N i yi ; z   N i zi (x4, y4, z4) u4, v4, w4 (x1, y1, z1) u1, v1, w1 (x3, y3, z3) u3, v3, w3 y z o x (x2, y2, z2) u2, v2, w2 Hình 1.6 Phần tử tứ diện nút toán chiều -1.9- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6.2 Phần tử tam giác ba nút 6.2.1 Hàm dạng hàm nội suy y y (x3, y3) x a) (x1, y1) η q5 (0, 1) q6 q1 (x2, y2) x q2 q3 ξ q4 (0, 0) b) (1, 0) c) Hình 6.3 a) Ví dụ rời rạc hoá kết cấu phần tử tam giác nút; b) Phần tử thực; c) Phần tử quy chiếu ⇒ Toạ độ (x,y) điểm thuộc phần tử xác định toạ độ nút (xi, yi) & hàm dạng N i (ξ ,η ) : x = N (ξ ,η ) x1 + N (ξ ,η ) x2 + N (ξ ,η ) x3 y = N (ξ ,η ) y1 + N (ξ ,η ) y2 + N (ξ ,η ) y3 ⇒ Tại nút (ξ1=η1=0) ta có: x1 = N ( 0, ) x1 + N ( 0, ) x2 + N ( 0, ) x3 N ( 0, ) = 0; N ( 0, ) = 0; Suy ra: N ( 0, ) = 1; ⇒ Kết hợp với điều kiện nút & ta có điều kiện sau để xác định hàm dạng: Hàm N1 N2 N3 Nút 0 Nút (ξ1=η1=0) Nút (ξ2=1; η2=0) 0 Nút (ξ3=0; η3=1) ⇒ Với hàm dạng Ni (ξ ) có phương trình để xác định hệ số nó, ta tìm Ni (ξ ) dạng đa thức bậc ξ & η sau: N i = + biξ + ciη ⇒ N (ξ ,η ) = − ξ − η ; N (ξ ,η ) = ξ ; -6.4- N (ξ ,η ) = η ; Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương ⇒ Dùng phần tử đẳng thông số, hàm nội suy chọn hàm dạng: Ni ≡ N i ⇒ u & v thứ tự chuyển vị theo phương Ox & Oy q e2i −1 & q e21 thứ tự chuyển vị nút i theo phương Ox & Oy ⇒ Véc tơ chuyển vị {q}=[u, v]T điểm phần tử xác định chuyển vị nút & hàm nội suy Ni: u = N1 (ξ ,η ) q1e + N (ξ ,η ) q3e + N3 (ξ ,η ) q5e = (1 − ξ − η ) q1e + ξ q3e + η q5e ; v = N1 (ξ ,η ) q2e + N (ξ ,η ) q4e + N3 (ξ ,η ) q6e = (1 − ξ − η ) q2e + ξ q4e + η q6e ; ⇒Đặt [ N] = ⎡⎢ N1 N1 ⎣ ⇒ {q } = ⎡⎣q ⇒ {q} = [ N ]{q } e e N2 q e2 N3 N2 q 3e q e4 ⎤ N3 ⎥⎦ q 6e ⎤⎦ q 5e T e 6.2.2 Phép biến đổi Jacobi ⇒ Xét đạo hàm hàm hợp: f = f ( x, y ) = f ( x ( ξ, η) , y ( ξ, η) ) ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = + ; ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ⇒ ⎧ ∂f ⎫ ⎡ ∂x ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ∂ξ ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ ⎬= ⎪ ∂f ⎪ ⎢ ∂x ⎪⎩ ∂η ⎪⎭ ⎣⎢ ∂η ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = + ; ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ∂y ⎤ ⎧ ∂f ⎫ ∂ξ ⎥ ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ ∂y ⎥ ⎪ ∂f ⎪ ∂η ⎦⎥ ⎪⎩ ∂y ⎭⎪ ⇒ Ký hiệu: x ij = x i − x j y ij = y i − y j ; & ⎡ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ⎤ ⎡x Chú ý: x ij = − x ji & y ij = − y ji y ⎤ 21 21 Đặt: [ J ] = ⎢∂x ∂η ∂y ∂η⎥ = ⎢ x y ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 31 31 ⎦ Ta có: det [ J ] = 2A = x 21y31 − x 31y21 ; A: diện tích phần tử tam giác ⎡y −1 31 ⇒ [ J ] = det J ⎢-x [ ] ⎣ 31 ⇒ -y 21 ⎤ x 21 ⎥⎦ ⎧ ∂f ⎫ ⎧ ∂f ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ ⎡ y31 −1 ⎪ ∂ξ ⎪ = = J [ ] ⎨ ∂f ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ∂f ⎪ det [ J ] ⎣ -x 31 ⎪⎩ ∂η ⎪⎭ ⎩⎪ ∂y ⎪⎭ ∂f ∂f ⎫ ⎧ ∂f ⎫ ⎧ y31 − y 21 ⎪ ⎪ ⎪ -y 21 ⎤ ⎪ ∂ξ ⎪ ∂ξ ∂η ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎬= ⎨ ⎬ x 21 ⎥⎦ ⎪ ∂f ⎪ det [ J ] ⎪ ∂f ∂f ⎪ − x 31 + x 21 ∂ξ ∂η ⎭⎪ ⎩⎪ ∂η ⎭⎪ ⎩⎪ ⇒ Vi phân diện tích: dA = dxdy=det [ J ] dξdη -6.5- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6.2.3 Biểu diễn biến dạng & ứng suất qua chuyển vị nút ⇒ Áp dụng phép biến đổi Jacobi ta tính đạo hàm chuyển vị u & v theo x & y sau: ∂u ∂u ⎫ ⎧ ⎧ ∂u ⎫ y − y 31 21 ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ ∂ξ ∂η ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎨ ∂u ⎬ = ⎨ u u ∂ ∂ det J [ ] ⎪ ⎪ ⎪− x + x 21 ⎪ 31 ⎪⎩ ∂ξ ∂η ⎪⎭ ⎩⎪ ∂y ⎭⎪ & ∂v ∂v ⎫ ⎧ ⎧ ∂v ⎫ − y y 31 21 ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ ∂ξ ∂η ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ∂v ⎬ = ⎨ ⎬ v v ∂ ∂ det J [ ] ⎪ ⎪ ⎪− x + x 21 ⎪ 31 ⎪⎩ ∂y ⎭⎪ ⎪⎩ ∂ξ ∂η ⎭⎪ ⇒ Véc tơ biến dạng điểm phần tử: ⎧ ∂u ⎫ ⎪ ⎪ x ∂ ⎪ ⎪ ⎧ε xx ⎫ ⎧ ε xx ⎫ y 23q1 + y31q + y12 q ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 32 q + x13q + x 21q {ε} = ⎨ε yy ⎬ = ⎨ ε yy ⎬ = ⎨ ⎬= ⎨ ⎬ ⎪ γ ⎪ ⎪2ε ⎪ ⎪ ∂y ⎪ det [ J ] ⎪ x q + y q + x q + y q + x q + y q ⎪ 23 13 31 21 12 ⎭ ⎩ 32 ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎪ ∂u ∂v ⎪ ⎪ + ⎪ ⎩ ∂y ∂x ⎭ ⇒ Véc tơ chuyển vị nút phần tử là: {q} = [q1 ⇒ Đặt ⎡ y 23 ⎢ [ B] = det [ J ] ⎢ ⎢⎣ x 32 x 32 y31 0 x13 y12 y 23 x13 y31 x 21 q2 q3 q q5 q ] T ⎤ x 21 ⎥⎥ y12 ⎥⎦ ⇒ Quan hệ véc tơ biến dạng véc tơ chuyển vị nút: {ε} = [ B]{q} ⇒ Quan hệ véc tơ ứng suất véc tơ chuyển vị nút: {σ } = [C ]{ε } = [C ][ B ]{q} 6.2.4 Ma trận độ cứng phần tử ⇒ Ta có: {δε } = {δ q} [ B ] ⇒ Thế biến dạng phần tử di chuyển khả dĩ: T T T ⎛ ⎞ δ Winte = ∫ {δε } {σ } dV = ∫ {δ q} [ B ] [C ][ B ]{q} dV = {δ q} ⎜ ∫ [ B ] [C ][ B ] dV ⎟ {q} T T Ve T T Ve ⇒ Ma trận độ cứng phần tử: T ⎜V ⎝ e T ⎡⎣ k e ⎤⎦ = ∫ [ B ] [C ][ B ] dV Ve e e ⇒ δ Wint = {δ q} ⎡⎣ k ⎤⎦ {q} T T ⇒ Véc tơ lực nút phần tử là: {f } = [f1 f f3 f f5 f6 ] -6.6- ⎟ ⎠ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương ⇒ Công lực nút (ngoại lực quy đổi nút) gây di chuyển là: T δ Wexe t = {δ q} { f } ⇒ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ, ta có phương trình cân cho kết cấu có phần tử là: T T δ Wint = δ Wext ⇒ δ Winte = δ Wexte ⇒ {δ q} ⎡⎣ k e ⎤⎦ {q} = {δ q} { f } ⇒ ⎡⎣ k e ⎤⎦ {q} = { f } ⇒ Tính ma trận độ cứng phần tử: ⎡⎣ k ⎤⎦ = e 1−ξ ∫ [ B ] [C ][ B ] dV = te ∫ [ B ] [C ][ B ] dA = te det [ J ] ∫ ∫ [ B ] [C ][ B ] dξ dη T T Ve T 0 Ae u1 v1 u2 v2 u3 v3 C1 y 223 + Gx 223 C2 x 32 y 23 + Gx 32 y 23 C1 y31 y 23 + C x13 y 23 + C1 y12 y 23 + Gx 32 x13 Gx 32 y31 Gx 21x 32 C2 x 21 y 23 + Gx 32 y12 C1x 223 + Gy 223 C2 x 32 y31 + Gx13 y 23 C1x13 x 32 + C1x 21x 32 + Gy 23 y31 C2 x 32 y12 + Gx 21 y 23 C1 y13 + Gx13 C x13 y31 + C1 y12 y31 + C x 21 y31 + Gx13 y 31 Gx13 x 21 Gx13 y12 C1x13 + Gy13 C x13 y12 + C1x13 x 21 + Gx 21 y31 Gy12 y31 C1 y12 + Gx12 C x 21 y12 + t ⎡⎣ k ⎤⎦ = e 4A e Sym Gy12 y 23 Gx 21 y12 C1x 21 + Gy 221 C1 = 2G (1 − aν ) (1 −ν − aν ) ; C2 = C1ν ; (1 − aν ) G= E ; (1 + ν ) a=0 với toán ứng suất phẳng, a=1 với toán biến dạng phẳng -6.7- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6.3 Phần tử tứ giác bốn nút 6.3.1 Hàm dạng hàm nội suy (x4, y4) y η q7 (x3, y3) x (x1, y1) q1 (-1, 1) q8 (x2, y2) q2 q5 q6 (1, 1) ξ o q3 (-1, -1) q4 (1, -1) a) b) Hình 6.4 Phần tử tứ giác bốn nút: a) Phần tử thực, b) Phần tử quy chiếu ⇒ Toạ độ (x,y) điểm thuộc phần tử xác định toạ độ nút (xi, yi) & hàm dạng N i (ξ ,η ) : x = ∑ N i (ξ ,η ) xi ; i =1 y = ∑ N i (ξ ,η ) yi ; i =1 ⇒ Điều kiện để xác định hàm dạng: Hàm Nút (ξ1=-1; η1=-1) (ξ2=1; η2=-1) (ξ3=1; η3=1) (ξ4=-1; η4=1) N1 N2 N3 N4 0 0 0 0 0 0 ⇒ Với hàm dạng Ni có phương trình để xác định hệ số nó, ta tìm Ni dạng đa thức ξ & η sau: N i = + biξ + ciη + diξη ⇒ N i (ξ ,η ) = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) ; i = 1, 4; ⇒Dùng phần tử đẳng thông số, hàm nội suy chọn hàm dạng: Ni ≡ N i ⇒ u & v thứ tự chuyển vị theo phương Ox & Oy -6.8- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương q e 2i −1 & q e 2i thứ tự chuyển vị nút i theo phương Ox & Oy ⇒ Véc tơ chuyển vị {q}=[u, v]T điểm phần tử xác định chuyển vị nút & hàm nội suy Ni: u = N1 (ξ ,η ) q1e + N (ξ ,η ) q3e + N3 (ξ ,η ) q5e + N (ξ ,η ) q7e v = N1 (ξ ,η ) q2e + N (ξ ,η ) q4e + N3 (ξ ,η ) q6e + N (ξ ,η ) q8e ⇒Đặt: [ N ] ⎡ N1 = ⎢ ⎣0 & {q e } = ⎡⎣q1e q e2 N2 N1 0 N2 q 3e e ⇒ {q} = [ N ]{q } N3 q e4 N4 N3 q 5e ⎤ ⎥ N4 ⎦ q 6e q 7e q 8e ⎤⎦ T 6.3.2 Phép biến đổi Jacobi ⇒ Xét đạo hàm hàm hợp: f = f ( x, y ) = f ( x ( ξ, η) , y ( ξ, η) ) ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = + = + ; ; ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ⎧ ∂f ⎫ ⎡ ∂x ∂y ⎤ ⎧ ∂f ⎫ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ∂ξ ∂ξ ⎥ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎨⎪ ⎪⎬ = ⎨ ⎬ ⇒ ∂f ⎢ ∂x ∂y ⎥ ∂f ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎩ ∂η ⎪⎭ ⎣ ∂η ∂η ⎦ ⎩⎪ ∂y ⎭⎪ ⇒ Ký hiệu: x ij = x i − x j & y ij = y i − y j ; Chú ý: x ij = − x ji & y ij = − y ji ⎡ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ⎤ Đặt: [ J ] = ⎢∂x ∂η ∂y ∂η⎥ ⎣ ⎦ ⎡J 11 ⇒ [J] = ⎢J ⎣ 21 J12 ⎤ ⎡ x 21 (1 − η) + x 34 (1 + η) = ⎢ J 22 ⎥⎦ ⎣ x 41 (1 − ξ ) + x 32 (1 + ξ ) ⎡ J -J ⎤ −1 22 12 ⇒ [ J ] = det J ⎢-J J ⎥ [ ] ⎣ 21 11 ⎦ ⇒ ⎧ ∂f ⎫ ⎧ ∂f ⎫ ⎧ ∂f ⎫ ⎪ ⎪ ⎡ J 22 -J12 ⎤ ⎪⎪ ∂ξ ⎪⎪ −1 ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ = = J [ ] ⎨ ∂f ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ∂f ⎪ det [ J ] ⎣ -J 21 J11 ⎦ ⎪ ∂f ⎪ ⎪⎩ ∂y ⎪⎭ ⎪⎩ ∂η ⎪⎭ ⎪⎩ ∂η ⎪⎭ ⇒ Vi phân diện tích: dA = dxdy=det [ J ] dξdη -6.9- y 21 (1 − η) + y34 (1 + η) ⎤ ⎥ y 41 (1 − ξ ) + y32 (1 + ξ ) ⎦ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6.3.3 Biểu diễn biến dạng ứng suất qua chuyển vị nút ⇒ Áp dụng phép biến đổi Jacobi ta tính đạo hàm chuyển vị u & v theo x & y sau: ⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂u ⎫ ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ ⎡ J 22 -J12 ⎤ ⎪⎪ ∂ξ ⎪⎪ ⎨ ⎬= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎪ ∂u ⎪ det [ J ] ⎣ -J 21 J11 ⎦ ⎪ ∂u ⎪ ⎪⎩ ∂η ⎪⎭ ⎩⎪ ∂y ⎭⎪ & ⎧ ∂v ⎫ ⎧ ∂v ⎫ ⎪⎪ ∂x ⎪⎪ ⎡ J 22 -J12 ⎤ ⎪⎪ ∂ξ ⎪⎪ ⎨ ∂v ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎪ ⎪ det [ J ] ⎣ -J 21 J11 ⎦ ⎪ ∂v ⎪ ⎪⎩ ∂y ⎪⎭ ⎪⎩ ∂η ⎪⎭ ⇒ Véc tơ biến dạng điểm phần tử: ⎧∂u ⎧ε xx ⎫ ⎧ ε xx ⎫ ⎧ ⎫ ∂u ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂u ∂v ∂y {ε} = ⎨ε yy ⎬ = ⎨ ε yy ⎬ = ⎨ ⎬ = [A] ⎨ ⎪ γ ⎪ ⎪2ε ⎪ ⎪( ∂u ∂y + ∂v ∂x ) ⎪ ⎪∂v ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩ ⎩⎪∂v Với mà Với ⎡ J 22 ⎢ [A] = det [ J ] ⎢ ⎢⎣ −J 21 ⎧∂u ⎪∂u ⎪ ⎨ ⎪∂v ⎪⎩∂v -J12 0 -J 21 J11 J 22 ∂ξ ⎫ ∂η⎪⎪ ⎬ ∂ξ ⎪ ∂η ⎭⎪ ⎤ J11 ⎥⎥ − J12 ⎥⎦ ∂ξ ⎫ ∂η⎪⎪ e ⎬ = [ G ]{q } ∂ξ ⎪ ∂η ⎪⎭ 1− η 1+ η -(1 + η) ⎤ ⎡ −(1 − η) ⎢ −(1 − ξ) −(1 + ξ) 0 1+ ξ (1 − ξ) ⎥⎥ 1⎢ [G ] = ⎢ −(1 − η) 1− η 1+ η -(1 + η) ⎥ ⎢ ⎥ −(1 − ξ) −(1 + ξ) 0 1+ ξ 1− ξ ⎦ ⎣ ⇒ Quan hệ véc tơ biến dạng véc tơ chuyển vị nút: {ε} = [ A ][G ]{q e } = [ B]{q e } (Với [ B] = [ A ][G ] ) ⇒ Quan hệ véc tơ ứng suất véc tơ chuyển vị nút: {σ } = [C ]{ε } = [C ][ B ]{q e } 6.3.4 Ma trận độ cứng phần tử ⇒ Ta có: {δε } = {δ q} [ B ] ⇒ Thế biến dạng phần tử di chuyển khả dĩ: T T T ⎛ ⎞ δ Winte = ∫ {δε } {σ } dV = ∫ {δ q e } [ B ] [C ][ B ]{q e } dV = {δ q e } ⎜ ∫ [ B ] [C ][ B ] dV ⎟ {q e } T Ve T T T ⎜V ⎝ e Ve ⇒ Véc tơ lực nút phần tử là: -6.10- T ⎟ ⎠ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương {f } = ⎡⎣f1 f 2i −1 f2 & f 2i f3 f4 f5 f6 f8 ⎤⎦ f7 T thứ tự chuyển vị nút i theo phương Ox & Oy ⇒ Công lực nút (ngoại lực quy đổi nút) gây di chuyển là: T δ Wexe t = {δ q} { f } ⇒ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ, ta có phương trình cân cho kết cấu có phần tử là: δ Wint = δ Wext ⇒ δ Winte = δ Wexte ⇒ {δ q ⎛ ⎞ } ⎜⎜ ∫ [ B ] [C ][ B ] dV ⎟⎟ {q } = {δ q } { f } e T T ⎝ Ve e T e ⎠ ⎛ ⎞ e T B C B dV ⎜ ⇒ ⎜ ∫ [ ] [ ][ ] ⎟⎟ {q } = { f } ⇒ ⎡⎣ k e ⎤⎦ {q e } = { f } ⎝ Ve ⎠ ⇒ Ma trận độ cứng phần tử: [k ] = ∫ [B] [C ][B]dV = t ∫ [B] [C ][B]dA = t ∫ ∫ det[J ][B] [C ][B]dξdη T e 1 T e Ve T e −1 −1 Ae 6.3.5 Phần tử hình chữ nhật bốn nút y ξ=x a η= y b (-1, 1) x o 2b η 2a (1, 1) ξ o 2 (1, -1) (-1, -1) a) b) Hình 6.5 Phần tử thực a), phần tử quy chiếu b) phần tử hình chữ nhật nút bậc tự 1− η ⎡ 1− η − ⎢ a a ⎢ 1− ξ [ B] = ⎢⎢ − b ⎢ ⎢− 1− ξ − 1− η − 1+ ξ ⎢⎣ b a b 1+ ξ b 1− η a 1+ η a − 1+ ξ b -6.11- 1+ ξ b 1+ η a − 1+ η a 1− ξ b ⎤ ⎥ ⎥ 1− ξ ⎥ b ⎥ ⎥ 1+ η ⎥ − a ⎥⎦ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương t ab ⎡⎣ k e ⎤⎦ = e [ 12 4C1 a + 4G b ] 3c ab 4C1 b + 4G a −4C1 a + 2G b 3d − ab 4C1 a + 4G b 3d ab −2C1 a − 2G b 3c − ab 2C1 b − 4G a 3c − ab 2C1 a − 4G b 3d − ab 4C1 b + 4G a [ ]= 4C1 a + 4G b − 3c ab −2C1 b − 2G a 3d ab −4C1 b + 2G a 3c ab 4C1 b + 4G a 2C1 a − 4G b 3d ab −2C1 a − 2G b 3c ab −4C1 a + 2G b 3d − ab 4C1 a + 4G b Sym − 3d ab −4C1 b − 4G a 3c ab −2C1 b − 2G a 3d ab 2C1 b − 4G a 3c − ab 4C1 b + 4G a G= E ; (1 + ν ) C1 = 2G (1 − aν ) (1 −ν − aν ) ; C2 = C1ν ; (1 − aν ) c = H + G; d = H − G; a=0 với toán ứng suất phẳng, a=1 với toán biến dạng phẳng 6.4 Một số vấn đề phần tử phẳng 6.4.1 Phân loại phần tử phẳng ⇒ Theo hình học: phần tử tam giác & tứ giác ⇒ Theo chất toán học: ứng suất phẳng, biến dạng phẳng, & đối xứng trục ⇒ Theo bậc đa thức hàm dạng: bậc nhất, bậc 2, bậc ⇒ Theo loại hàm dạng: Lagrange, serendipity, & hierarchical -6.12- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6.4.2 Hàm dạng phần tử phẳng ⇒Hàm dạng kiểu Lagrange: ⎛ p i i ⎞⎛ p j j ⎞ N ( ξ, η ) = N ( ξ ) N ( η ) = ⎜ ∑ α ξ ⎟ ⎜ ∑ α η ⎟ ⎝ i=0 ⎠ ⎝ j= ⎠ p p j j • N ( ξ ) = ∑ α ξ & N ( η) = ∑ α η đa thức Lagrange i i i=0 ξ & η j= • p bậc đa thức • Khai triển đa thức theo tam giác Pascal hàm dạng phần tử quy chiếu hình tam giác hình vuông p=1 ξ ξ2 p=2 ξη ξ3 p=3 η ξ2η ξ4 ξ3η η2 ξη2 ξ2η2 η3 ξη3 η4 Hình 6.6 Đa thức Lagrange phần tử tam giác biểu diễn tam giác Pascal p=1 p=2 ξ4 ξ ξ2 ξ3 η ξη ξ2η ξ3η η2 ξη2 ξ η2 η3 ξη3 η4 Hình 6.7 Đa thức Lagrange phần tử hình vuông biểu diễn tam giác Pascal -6.13- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương ⇒ Hàm dạng kiểu serendipity: Cách xây dựng hàm dạng theo đa thức Lagrange không áp dụng cho số phần tử, chẳng hạn phần tử chữ nhật nút Khi hàm dạng thiết lập cách sử dụng tính chất hàm dạng N i (ξ j ,η j ) = 0; N i (ξi ,ηi ) = 1; & ( i ≠ j) ⇒ Các phần tử bậc cao (p≥2) dùng để rời rạc hoá miền phẳng có biên đường cong η 5 y x y x 2 ξ η 8 ξ Hình 6.8 Phần tử thực có cạnh đường cong 6.4.3 Hàm dạng số phần tử phẳng thông dụng η N1 = λ; N2 = ξ N = η; λ = − ξ − η η ξ 2 N1 = λ ( 2λ − 1) ; N = 4ξλ N = ξ ( 2ξ − 1) ; N = 4ξη N = η ( 2η − 1) ; N = 4ηλ ξ N1 = λ ( 3λ − 1)( 3λ − ) 2; N = 9λξ ( 3λ − 1) η 10 N = 9λξ ( 3ξ − 1) 2; N = ξ ( 3ξ − 1)( 3ξ − ) N = 9ξη ( 3ξ − 1) 2; N = 9ξη ( 3η − 1) N = 9ηλ ( 3λ − 1) 2; N10 = 54ξηλ ξ N = η ( 3η − 1)( 3η − ) 2; N8 = 9ηλ ( 3η − 1) Hình 6.9 Hàm dạng số phần tử tam giác -6.14- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương η ξ β =1 N i (ξ ,η ) = α (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) i = 1, η N i (ξ ,η ) = α (ξiξ + ηiη − 1)(1 + ξiξ )(1 + ηiη ) ( i = 1,3,5, ) N i (ξ ,η ) = β (1 − ξ ) (1 + ηiη ) ξ ( i = 2, ) N i (ξ ,η ) = β (1 + ξiξ ) (1 − η ) ( i = 4,8) N1 = αξ(1 − ξ)η(1 − η); η α =1 N = −αξ(1 + ξ)η(1 − η); N = βξ(1 + ξ)(1 − η2 ) ξ N = −β(1 − ξ )(1 − η)η N = αξ(1 + ξ)(1 + η)η; N = β(1 − ξ )(1 + η)η N = −αξ(1 − ξ)(1 + η)η; N8 = −βξ(1 − ξ)(1 − η)η N = (1 − ξ )(1 − η2 ); 10 η 11 N i = (1 + ξi ξ)(1 + ηi η)(9ξ + 9η2 − 10) 32; ξ 12 ( i = 1, 4, 7, 10 ) N i = 9(1 + ξi ξ)(1 − η2 )(1 + 9ηi η) 32; ( i = 5, 6,11,12 ) N i = (1 + ηi η)(1 − ξ2 )(1 + 9ξi ξ) 32; ( i = 2, 3, 8, ) Hình 6.10 Hàm dạng số phần tử tứ giác -6.15- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6.5 Quy đổi lực mặt lực thể tích nút ⇒ { fv } & { f s } thứ tự véc tơ lực thể tích & lực mặt tác dụng lên phần tử phẳng: ⎧ f vx ⎫⎪ ⎬; ⎪⎩ f vy ⎪⎭ ⎧ f sx ⎫⎪ ⎬; ⎪⎩ f sy ⎪⎭ { f v } = ⎪⎨ { f s } = ⎪⎨ ⇒ Công lực thể tích lực mặt di chuyển là: δ Wexeft = ∫ {δ q} { f v }dV + ∫ {δ q} { f s }dA T T Ve Ae e mà {q} = [ N ]{q } ⇒ {δ q} T T e T T δW T v s Ve ef ex t T ∫ {δ q } [ N ] { f }dV + ∫ {δ q } [ N ] { f }dA e T δ Wexeft = = {δ q e } [ N ] = {δ q Ae } e T ⎛ ⎞ ⎜ [ N ]T { f v }dV + [ N ]T { f s }dA ⎟ ∫ ⎜ V∫e ⎟ Ae ⎝ ⎠ ⇒ Gọi { f } & { f } thứ tự véc tơ lực nút lực thể tích lực mặt gây ra: { fve } = ∫ [ N ]T { fv }dV ; { f se } = ∫ [ N ]T { f s }dA e v e s Ve Ae ef e ⇒ δ Wex t = {δ q } T ( ) { fve } + { f se } = {δ qe } T {f } e ⇒ Trong { f e } véc tơ lực nút lực thể tích lực mặt quy đổi nút: { f } = { f }+{ f } e e v e s Ví dụ 6.1: Quy đổi lực tác dụng lên cạnh phần tử tam giác nút (lực mặt) ⇒ Phần tử tam giác có nút i, j, k tương ứng với nút 1, 2, theo ký hiệu số địa phương Ngoại lực tác dụng lên cạnh i-j phần tử có cường độ phân bố hàm s (s toạ độ địa phương cạnh i-j) ⎧ f sx ( s ) ⎫⎪ ⎬ ⎪⎩ f sy ( s ) ⎪⎭ { f s } = ⎪⎨ -6.16- Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương η fs(s) (0, 1) j (2) s ξ i (1) y (0, 0) x k (3) (1, 0) Hình 6.11 Lực phân bố tác dụng lên cạnh phần tử tam giác ⇒ Vì η = cạnh 1-2 nên ta có: ξ 0 0⎤ ⎡1 − ξ N = [ ] ⎢0 − ξ ξ 0⎥ ⎣ ⎦ ⎤ ⎧(1 − ξ ) f sx ( s ) ⎫ ⎡1 − ξ ⎪ ⎪ ⎢ 1− ξ ⎥ − ξ f s ( ) ( ) sy ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ξ ⎥ ⎪⎧ f sx ( s ) ⎪⎫ ⎪⎪ ξ f sx ( s ) ⎪⎪ T N f = [ ] { s} ⎢ ⎬ ⎥⎨ ⎬=⎨ f s ξ ( ) ξ f s ( ) ⎪ ⎪ ⇒ sy sy ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 0 ⎣ ⎦ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧(1 − ξ ) f sx ⎫ ⎪ ⎪ ⎪(1 − ξ ) f sy ⎪ 1 L ⎪⎪ ξ f sx ⎪⎪ T T T e f s } = ∫ [ N ] { f s }dA = t ∫ [ N ] { f s } ds =tL ∫ [ N ] { f s } d ξ =tL ∫ ⎨ { ⎬d ξ ⇒ ξ f sy ⎪ Ae 0 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⇒ Chỉ nút cạnh có lực tác dụng có lực quy đổi Nút lại lực quy đổi ⇒ Khi f sx ( s ) = f sx = const & f sy ( s ) = f sy = const ta có: { f se } = Lt ⎡ f sx ⎣ f sy f sx f sy -6.17- 0 ⎤⎦ T Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương ⇒ Ví dụ 6.2: Quy đổi lực thể tích tác dụng lên toàn phần tử tam giác nút có cường độ phân bố hàm x & y: ⎧ f ( x, y ) ⎫⎪ { f v } = ⎪⎨ vx ⎬ ⎪⎩ f vy ( x,y ) ⎪⎭ 1−ξ T Ta có véc tơ lực nút quy đổi: { f } = ∫ [ N ] { f v }dV = At ∫ ∫ [ N ] { f v } dξ dη T e v Ve Trong đó: ⎡ N1 ⎢0 ⎢ ⎢N T [ N ] { fv } = ⎢0 ⎢ ⎢ N3 ⎢ ⎣⎢ 0 ⎧ N1 f vx ( x, y ) ⎫ ⎤ ⎪ ⎪ ⎥ N1 ⎥ ⎪ N1 f vy ( x, y ) ⎪ ⎥ ⎧⎪ f vx ( x, y ) ⎫⎪ ⎪⎪ N f vx ( x, y ) ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬=⎨ ⎬ N ⎥ ⎪⎩ f vy ( x,y ) ⎪⎭ ⎪ N f vy ( x, y ) ⎪ ⎪ N f vx ( x, y ) ⎪ ⎥ ⎥ ⎪ ⎪ N ⎦⎥ ⎪⎩ N f vy ( x, y ) ⎭⎪ ⇒ Khi f vx ( x, y ) = f vx = const & f vy ( x,y ) = f vy = const ta có: { f } = At3 ⎡⎣ f e v vx f vy f vx f vy 12 12 12 12 f vy ⎤⎦ f vx T 23 16 16 16 23 16 Hình 6.12 Quy đổi lực phân bố (có tổng độ lớn 1) cạnh số phần tử tam giác tứ giác nút 14 13 14 14 13 13 13 13 13 14 14 13 14 13 14 13 14 13 Hình 6.13 Quy đổi lực thể tích phân bố (có tổng độ lớn 1) toàn phần tử nút cho số phần tử tam giác hình chữ nhật -6.18- [...]... giải tìm đuợc nếu biết chuyển vị tại mọi điểm của kết cấu (bài toán có vô hạn ẩn hay vô hạn số bậc tự do) Cách giải theo phương pháp PTHH được tóm tắt như sau:  Chia kết cấu thành một số hữu hạn các miền con được gọi là các phần tử  Các phần tử được kết nối với nhau bởi một số hữu hạn các nút  Trong mỗi phần tử: -1.13- Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương 1  Chuyển vị tại một điểm bất kỳ được biểu diễn... của phần tử dầm chịu uốn 1.4 Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu một chiều 3 nút:  1 =-1,  1 =0,  1=1 -1.14- Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương 1 1.5 Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu hình tam giác có các nút như sau: nút1 ( 1 =0,  1 =0), nút 2 ( 2 =1,  2 =0), nút 3 ( 3 =0,  3 =1) 1.6 Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu hình chữ nhật 4 nút như hình vẽ 1.7 -1.15- Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương... -2.6- Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương 2 2.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh ba nút 1 2 3 x1 x2 x3 x 1 2 ξ1=-1 ξ2=0 x1 ≤x ≤ x3 3 ξ ξ3=1 −1 ≤ ξ≤ 1 Hình 2.5 Phần tử thực và phần tử quy chiếu một chiều 3 nút Phần tử thanh 2 nút chỉ cho kết quả chính xác trong trường hợp thanh chịu tác dụng của lực tập trung Trong trường hợp lực phân bố ta nên dùng phần tử thanh 3 nút Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử. . .Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương 1  Nút (-1, 1) 4 (1, 1) 3  y o x o Phần tử 1 (-1, -1) 2 (1, -1) Hình 1.7 Phần tử thực & phần tử quy chiếu hình chữ nhật 4 nút Hệ toạ độ O được gọi là hệ toạ độ quy chiếu Bằng phép biến đổi nói trên, mọi phép tính toán trên phần tử thực Ve được tiến hành trên phần tử quy chiếu Vr trong hệ toạ độ O x  O O x1 x2 1=-1 2=1 x1 x  x2 1   1 Hình 1.8 Phần. .. đánh số nút và số phần tử như hình 3.3 ⇒ Mỗi phần tử có 4 bậc tự do trong hệ toạ độ Oxy, véc tơ chuyển vị nút của phần tử là {q e } = ⎡⎣q1e q2e q3e q4e ⎤⎦ T ⇒ Số bậc tự do của cả hệ là 6, véc tơ chuyển vị nút của cả hệ là: T {Q} = [Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 ] ⇒ Đã biết Q1 = Q2 = Q5 = Q6 = 0 , tìm Q3 & Q4 -3.4- Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương 3 Bước 2: Tính ma trận độ cứng của phần tử ⇒ Phần tử 1: θ = 00 ⇒... của bài toán thanh với phần tử thực & phần tử quy chiếu một chiều Chọn trục Ox trùng với trục của thanh, trong bài toán thanh lực tác dụng có phương trùng với trục của thanh Chia thanh thành các phần tử được đánh số nút (1, 2, 3, , m) và số phần tử (1, 2, 3, , m-1) như hình 2.1 Các chỉ số này gọi là các chỉ số trong hệ tổng thể hay chỉ số toàn cục Có m nút và m-1 phần tử Mỗi phần tử có 2 nút đánh số là... dựng ma trận độ cứng của phần tử thanh có ba nút được coi như bài tập Bài Tập 2.1 Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử thanh ba nút như hình 2.5 2.2 Quy đổi lực phân bố có cường độ f tác dụng dọc theo trục thanh về các nút 2.3 Giải ví dụ 2.1 dùng 1 phần tử thanh ba nút So sánh với kết quả khi dùng 2 phần tử 2 nút -2.7- Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương 3 Chương 3 PTHH Trong Hệ Thanh Phẳng 3.1 Mô hình... được gọi là chỉ số nút địa phương Toạ độ tại nút 1 và 2 trong hệ toạ độ địa phương tương ứng là x1 và x2 T T Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {q e } = ⎡⎣q1e q2e ⎤⎦ = [u1 u2 ] -2.1- Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương 2 {Q} là véc tơ chuyển vị nút của cả kết cấu: {Q} = [Q1 Q2 Qm ]T Thông số của mỗi phần tử: • chiều dài Le=x2-x1 • tiết diện ngang Ae • mô đun đàn hồi Ee Chọn phần tử quy chiếu có 2 nút như... tơ lực mặt tác dụng lên biên S  {n}=[n x , n y , n z]T là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của biên & Su  S    Chịu tác dụng của lực thể tích {f v }=[f vx , f vy , f vz]T S S  Su  S  fs Nút S V y y Su o x o a) x Phần tử b) Hình 1.9 Mô hình bài toán: a) kết cấu thực; b)rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử hữu hạn 1.7 Sơ lược về giải bài toán kết cấu bằng phương pháp PTHH Bài toán đặt ra là tìm... Phương pháp phần tử hữu hạn- Chương 2 Chương 2 PTHH Trong Bài Toán Thanh Bài toán thanh đã được đề cập đến trong chương I, trong chương này ma trận độ cứng phần tử thanh được xây dựng nhờ nguyên lý di chuyển khả dĩ 2.1 Ma trận độ cứng của phần tử thanh hai nút 2.1.1 Chọn hàm nội suy P L1 L2 1 1 L3 2 x1 x 3 1 2 3 4 Q1 Q2 Q3 Q4 e x2 x1 ≤x ≤ x2 ξ1=-1 1 −1 ≤ ξ≤ 1 2 x ξ2=1 ξ 2 Hình 2.1 Mô hình PTHH của bài ... lời giải toán chịu kéo nén & chịu uốn Véc tơ chuyển vị nút phần tử là: {q } = [q * * q 2* q 3* q 4* q 5* q 6* ] T Véc tơ lực nút phần tử là: {f } = [ f * * f 2* f 3* f 4* f 5* -5.1- f 6* ] T Phng... Thanh chu kộo (hoc nộn) v un ng thi Dựng phn t thc v phn t quy chiu chiu nỳt Xét kết cấu gồm phần tử chịu kéo nén uốn đồng thời Vì kết cấu làm việc miền đàn hồi biến dạng bé, nên áp dụng nguyên