CHƯƠNG : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH §5.1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢNCÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1.1 Các phương trình : Trong ba chương ta xác định ba mặt tĩnh học, hình học vật lý môi trường đàn hồi tuyến tính đưa 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần ứng suất : x, y, z, Txy, Tyz, Tzx - Ba thành phần chuyển vị : u, v, w - Sáu thành phần biến dạng : x, y, z, xy, yz, zx Để xác định mười lăm hàm ẩn ta có phương trình sau : Về mặt tĩnh học : a Hệ phương trình cân Navier-Cauchy: Hệ (2.1)  x Tyx Tzx  u  x  y  z  fx  (  t ) ;   Txy y Tzy  2v    fy  (  ) ; (1)   x  y  z  t   Txz Tyz z 2w    fz  (  )  y z t  x b Các phương trình điều kiện biên theo ứng suất: Hệ (2.3) Về mặt hình học : a Hệ phương trình biến dạng Cauchy-Navier : Hệ (3.1) u     x x ;  v   y  ; y   w ;  z  z  v u  ; x y w v  yz   ; y z u w  zx   z x  xy  (2) b Các phương trình liên tục biến dạng : Hệ (3.12) (3.13) 3.Về mặt vật lý : 32 a Biểu thức biến dạng biểu diễn qua ứng suất :  x   ( y  z ) ; E y =  y   ( x  z) ; E z=  z   ( x  y ) ; E x           2(1   ) Txy  Txy ; G E 2(1   ) yz = Tyz  Tyz ; G E 2(1   ) Tzx zx = Tzx  G E xy = (3a) b Biểu thức ứng suất biểu diễn qua biến dạng : x =  + 2Gx ; Txy = Gxy ; y =  + 2Gy ; Tyz = Gyz ; z =  + 2Gz ; Tzx = Gzx 5.1.2 Các cách giải toán đàn hồi tuyến tính : * Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) (3a) (3b) hoàn toàn cho phép xác định 15 hàm ẩn Để giải 15 phương trình ta cần thu gọn chúng số phương trình tương ứng với số hàm ẩn Những phương trình thu gọn phương trình để giải toán Những ẩn số lại tìm sau biết ẩn số Cách giải toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình ba phương trình ba hàm chuyển vị u, v, w Cách giải toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ thành sáu phương trình sáu ẩn ứng suất Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, số toán, ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng phần hàm ẩn chuyển vị phần hàm ẩn ứng suất §5.2 CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ Chọn u, v, w hàm ẩn : 5.2.1.Về mặt vật lý: Từ định luật Hooke tổng quát : x =  + 2Gx Txy = Gxy Tzx = Gzx (a) 5.2.2 Về mặt hình học: Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy : 33 u ; x yx = v  u ; x y zx = w  u ; x z u u Thay (b) vào (a) ta có : x =  + G +G x x x = (b)  v u     x y    w u  Tzx = G     x z  Tyx = G  (c) 3.Về mặt tĩnh học: Từ phương trình cân tĩnh học Navier-Cauchy : x Tyx Tzx 2u    fx  ( ) ; x y z t (d) Thay (c) vào (d) ta có:  2u 2u 2v 2u 2w 2u   u   G G G G G  G  fx  0   x x x xy y xz z  t   2  2 2    u v w    u    G   u  G      fx    t  (*) x  x  y  z  x  x  y  z       2      Với 2 = : Toán tử vi phân Laplace x y z u v w   =x+y+z = : Biến dạng thể tích tương đối x y z (*) ( + G)  + G2u + fx = x Tương tự ( + G)  + G2v + fy = y ( + G)  + G2w + fz = z              u  ; t   v  ; t   w  ; t  (5.1) 34 Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê : Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân quan hệ ứng suất biến dạng nên hệ (5.1) chứa số LaMê  G Phương trình LaMê tổng hợp yêu cầu tĩnh học, hình học vật lý Giải (5.1) ta tìm u, v, w sau xác định biến dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy xác định ứng suất theo định luật Hooke 4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê toán tĩnh, lực thể tích số ta có hệ sau: a Hệ : Đạo hàm phương trình hệ (5.1) theo biến x, y, z ta có : u ( + G) + G x = ; x v  ( + G) + G2 y = ; y w  ( + G) + G2 z = z   + ( + G) 2 + G2 =  2 = (5.2) Do  tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta có : 2S = (5.3) Phát biểu hệ 1: Trong toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính đẳng hướng, lực thể tích hệ số hàm biến dạng thể tích hàm ứng suất tổng hàm điều hòa b Hệ : Xét phương trình (5.2) : ( + G)  + G2u +fx = (a) x Lấy đạo hàm bậc (a) lần lượt2 theo biến x, y, z ta có : ( + G) + ( + G)   x    u + G x 2 u + G y = ; xy 2 ( + G) =0;    u + G z = xz  ( + G)   + G22u = (b) x Theo hệ ta có : 2 = thay vào (b) 35 22u = 22v = (5.4) 2 w=0 Phát biểu hệ 2: Trong toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính đẳng hướng, lực thể tích số hàm chuyển vị hàm trùng điều hòa c Ý nghĩa : Hệ cho phép ta đoán nhận sơ dạng nghiệm chuyển vị toán đàn hồi Tất nhiên điều kiện cần, điều kiện đủ chuyển vị phải thỏa mãn phương trình nêu (b)  Tương tự 5.3 GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT Chọn ứng suất x, y, z, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn I Trường hợp lực thể tích số: Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke y = Có  y  ( x  E   z) (*) S = x + y + z (1  )y  S  E z = (1   )z  S  E 2(1   ) (*)  y = Tương tự yz = G Tyz = E (a) Tyz Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục biến dạng :  y   z   yz z 2 y 2 yz (b) Thay (a) vào (b) ta có : (1 + )  y -   S z 2 z +(1 + )  y -   S y 2 y = 2(1 + )  Tyz   2y  2z  2S 2S  (1 +)         = 2(1 + ) yz y  z   z  y  Tyz yz  (c) Về mặt tĩnh học : Dựa vào hệ phương trình cân tĩnh học Navier- Cauchy 36   y Tyx  Tyx Tzx  x    fx (1) y z x Tzy  y Txy    fy (2)  z y x Tyz  z Txz    fz (3)  y z x Tzx  fx  ; x y z Txy  y Tzy    fy  ; x y z Txz Tyz  z    fz  ; x y z        Lấy đạo hàm bậc (2) (3) theo y z ta có :  z   2  Tzy  y  Txy   zy xy y +  Tyz yz   z Txz xz   2y  2z     2Txy  2Txz   Tzy         2 zy z  x  y z   y Thay (1) vào (4) ta có : (4)       (4)   2 y 2 z    x  Tyz        fx  2  y yz  z  x  x   2 2  Tyz   y  x  z  (d)    2  y  z   x y  z  Thay (d) vào (c) ta có :   2 x  2 y  2 z  2 y  2 z    2S  2S             (1 + )   x y z z  y  z    y   2x 2x 2x   2x 2x  2x    2x 2x  2x   (1 + )                y z   y y y   z z z    x   2S  2S  -   y  z   =  Trong : 2 =  x  (**)  y   z S = x + y + z 2    S  S  S  S (**)  (1 + )    x          y z  y    z   - (1 + )2x + 2 2  S  S   S  S   S  S  +        0 z  y  y z  y  z 37  - (1 + )2x + 2  S  S  S  S  +  = x y z x 2  (1 + ) x +  S 2  S = Theo Hệ (1) ta có 2S = x  (1 + )2x + (1 + )2y +  S =0 =0 x  S y (5.5) 2 (1 + ) z +  S =0 z  S (1 + ) Txy + =0 xy (1 + )2Tyz +  S =0 yz (5.6)  S (1 + ) Tzx + =0 xz Hệ phương trình (5.5) (5.6) phương trình để giải toán đàn hồi theo ứng suất, tổng hợp điều kiện mặt tĩnh học, hình học vật lý môi trường Giải (5.5) (5.6) có ứng suất sau tìm biến dạng theo định luật Hooke tìm chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy Hệ (5.5) (5.6) gọi hệ phương trình Beltrmi II Khi lực thể tích số: ta nhận phương trình tương tự có vế phải khác :  fx fy fz  x  2 ;    x y z  x   y    fx fy fz   S  2  y + ;      (1   ) y    x y z  y    fx fy fz   S z  2 2z + ;      (1   ) z    x y z  z 2x +   S  (1   ) x 1  (5.7) (5.7) : Phương trình Beltrami-Michell * Hệ : Trường hợp fx, fy, fz = const 38 Từ phương trình (5.5) Beltrmi, ta suy hệ tính chất n0 ứng suất Xét phương trình (1) hệ phương trình (5.5) : (1 + ) 2x +  S x = (1) Lấy đạo hàm bậc 22 phương trình (1) theo x,y,z ta có :  x  S (1 + )2 x + x + =0  x  S  x  S (1 + )2 y + 2 = x y 2 (1 + ) z + 2 = x z 2 (1 + )   x +  S x 2S = Theo hệ 2S = Ta có :   x = Tương tự ta có : 4ij = ij gồm có (x, y, z, Txy, Tyz, Tzx)  Ứng suất hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa) Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng hàm điều hoà kép  Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng toán đàn hồi tuyến tính lực thể tích số hàm điều hòa kép: 4ij = ; 4ui = ; 4ij = (5.8) 5.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp thuận : phương pháp trực tiếp tính tích phân phương trình Lamê (5.1) giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.5) (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) giải theo ứng suất với điều kiện biên xác định Phương pháp rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học phức tạp thực 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn phương trình bản, điều kiện biên (2.3) tìm ngoại lực tương ứng với chuyển vị hay ứng suất cho 39 trước Phương pháp để tìm nghiệm phải thử nhiều hàm chọn, cồng kềnh có không thực Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp ta cho trước phần ngoại lực phần chuyển vị, tìm yếu tố lại từ điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn phương trình cân Phương pháp mềm dẻo, khắc phục khó khăn mang tính toán học phương pháp thuận cồng kềnh phương pháp ngược Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều toán lý thuyết đàn hồi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải toán thanh, tấm, vỏ Khi giải ta sử dụng nguyên lý Saint-Venant nguyên lý hiệu ứng cần cục ngoại lực.theo nguyên lý này, phần nhỏ vật thể có tác dụng hệ lực cân ứng suất phát sinh tắt dần nhanh đểm xa miền đặt lực Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy sợi dây chổ cắt tác dụng hệ lực cân Dựa vào qui luật vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục phát biểu theo cách khác nhau: “Tại điểm vật rắn cách xa điểm đặt lực trạng thái ứng suất, biến dạng vật phụ thuộc vào cách tác dụng lực” Ví dụ : F : Diện tích mặt cắt ngang 5.5 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Một vấn đề đặt nghiệm toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có không Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị cho ta nhận hệ ứng suất hay chuyển hay ta nhận vài hệ nghiệm khác với điều kiện cho 40  * Nếu nhận vài hệ nghiệm nghiệm toán lý thuyết đàn hồi cho đa trị * Định lý nghiệm : Nếu thừa nhận trạng thái tự nhiên vật đinh luật độc lập tác dụng lực nghiệm toán lý thuyết đàn hồi Thực xét toán thứ lý thuyết đàn hồi Dưới tác    dụng lực bề mặt f x , f y , f z Lực thể tích fx, fy, fz cho Giả thiết ta nhận hệ nghiệm ứng suất khác x, y, z, Txy, Tyz, Tzx x, y, z, Txy, Tyz, Tzx Cả hai hệ ứng suất phải thỏa mãn điều kiện cân tĩnh học Cauchy điều kiện biên tĩnh học  x Tyx Tzx    fx  x y z *  x* Tyx Tzx*    f x*  (a) x y z  f x = x.l + Tyx.m + Tzx.n  f x = x.l + Tyx.m + Tzx.n (b) Tương tự viết cho phương trình lại Trừ phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận hệ phương trình điều kiện Ví dụ viết cho phương trình thứ ta có :   ( x  x ) x    (Txy – Tyx) + (Tzx - Tzx)= z y (x - x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = (c) Theo nguyên lý cộng tác dụng ta xem ứng suất hệ phương trìnhh (c) hệ ứng suất lực thể tích lực bề mặt Theo giả thiết trạng thái tự nhiên vật liệu, ứng suất phải Do : x - x = ; y - y = ; Tyx - Tyx = 0; Hay x = x ; y = y ; Tyx = Tyx Có nghĩa hệ ứng suất trùng Đó điều cần chứng minh! 41 1 Hình 7.4 Như ta đưa toán không gian thành toán phẳng Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn mặt phẳng song song gần xem vô hạn đàn hồi Nếu mỏng ta coi toán toán trạng thái ứng suất phẳng Xét mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng biên Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) hàm chẵn θ nên σr, σθ hàm chẵn θ Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11) C số phải xác định cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hòa điều kiện biên: Theo (7.9) ta có: C   2   cos  r r r  r      r r  (7.12) Trθ = Qua (7.12) cho thấy mặt phẳng vuông góc với bán kính r có ứng suất pháp σr σθ = Trθ = Mặt vuông góc với ứng suất Xác định số C cách tính tổng hình chiếu lên trục lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm  Σx =  P   (rdF ) cos    với dF = r.dθ.1 (1 bề  dày tấm)   P    r.rd cos    59     2C cos  r cos  d r   2  cos 2 d   2C  cos d  2C     2   2C  2   sin 2    C   C  P (7.13)  Thay (7.13) vào (7.12) ta có: r   2P cos  r σθ = Trθ = (7.14) Từ (7.14) cho thấy: Tại điểm đặt lực P: r = σr = ∞ Thực tế chịu lực tập trung điểm đặt lực có ứng suất cục lớn làm cho khu vực điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo Ở ta không xét khu vực mà áp dụng nghiệm rút khu vực nói + Tính chất nghiệm σr: d.cosθ = r cos  (a) d r 2P 2P cos    r   r d 2P  r   d  Từ (7.14) (7.15) Công thức (7.15) cho thấy ứng suất σr tất điểm vòng tròn Vòng tròn gọi đường đẳng suất P P o r x d Hình 7.15 y Ví dụ: cấu kiện chịu nén tâm P 60 Tính hệ tọa độ Descartes: Ta có: * f x = σr.cos(n, x) = σr.l f * = σr.m y f f Mà: * x * y = σx.l + Tyx.m = σx.l Nhân vế phương trình cho l = Tyx.l + σy.m = σr.m Nhân vế phương trình cho m σx.l2 – σy.m2 = σr.l2 – σr.m2 σx + σy = σr + σθ  Ta có: l2 + m2 = y y n f*y P r o  yx r  y r   r  r  yx x  xy f*x  xy x     Mà x x σθ =  σy = σr - σx σx.l2 – (σr - σx)m2 = σr.l2 – σr.m2 σx.l2 – σr.m2 – σx.m2= σr.l2 – σr.m2 σx(l2 + m2) = σr.l2 σx = σr.l2 σy = σr.(1 - l2) = σrm2 Txy = σr.l.m l = cosθ = x = r x x2  y2 y m = cosβ = sinθ =  x x2  y2 σx = σrcos2θ = σr x2 x2  y2 σy = σrsin2θ = σr y2 x2  y2 Txy = σrsinθcosθ = σr Thay σr = - (7.16) xy x  y2 2P cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có: r 61 y r σx = - 2P 2P x3 cos3θ = - r  x  y2 σy = - 2P 2P y2 x sin2θcosθ = - 2 r  x y  Txy = -   (7.17)  2P 2P yx sinθcos2θ = - 2 r  x y   Tính chất nghiệm (7.17): y  0 2P max   x   x x  x * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung hình vẽ, để tính ứng suất điểm ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính Pi cos  i xi n x       Pi  i 1 ri  i 1 ( xi  y i ) 2 y  Pi sin  i cos i xy2 n    Pi i i 2  i 1 ri  i 1 ( xi  yi ) n (7.18)  Pi sin  i cos  i x y n      Pi i i 2 ac  i 1  i 1 ( xi  yi ) ri n P1 P2y1 Pn 1 y x n 2  xy  yx y y3 y2 y1 P o y x Txy n  max x 62 TẤM MỎNG CHỊU UỐN CHƯƠNG : $8.1 KHÁI NIỆM CHUNG Tấm vật thể dạng hình trụ hay lăng trụ có chiều cao nhỏ nhiều so với kích thước đáy (h b 100 h - Trường hợp Tấm mỏng tính theo lý thuyết gần đúng, gọi lý thuyết kỹ a thuật, dựa giả thiết (Kirchhoff) b Giả thiết pháp tuyến thẳng: a b x tr­íc biÕn d¹ng mÆt trung gian x sau biÕn d¹ng z Hình 8.2 63 Một phân tố thẳng vuông góc với mặt phẳng trung gian thẳng vuông góc với mặt trung gian sau biến dạng, chiều dài phân tố không thay đổi Điều kiện pháp tuyến thẳng vuông góc cho ta biết góc vuông pháp tuyến trục x,y vuông góc Do đó: γyz = γxz = (8.1) Điều kiện chiều dài phân tố không đổi: εz = (8.2) Giả thiết lớp không chèn ép lên nhau: Có nghĩa: σz = (8.3) Giả thiết không co giãn mặt trung gian: Tức mặt trung gian có chuyển vị theo phương vuông góc với nó, chuyển vị theo phương khác nhỏ nên bỏ qua: u  v  0  w0  (8.4) Các kết tính toán dựa giả thiết cho thấy chúng phù hợp với thực nghiệm $8.2 CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG TRONG TẤM CHỊU UỐN Giả sử chịu tải trọng tác dụng vuông góc với mặt trung gian Khi phát sinh chuyển vị Ta sử dụng giả thuyết để xác định chúng Từ giả thuyết 1: εz = hay εz = w =  Chuyển vị w hàm không z phụ thuộc z  w = w(x,y) Nghĩa với điểm nằm đường vuông góc với mặt trung gian có chuyển vị Vì cần xác định độ võng mặt trung gian đủ Từ (8.1) ta có: v w v w     0  z y z y     w u u w      0  x z z x    yz   zx (8.5) Lấy tích phân (8.5) theo z ta có: w +f1(x,y) x w v = -z +f2(x,y) y u = -z Trong f1, f2 hàm biến (x,y) Để xác định f1(x,y), f2(x,y) Tại z = ta có: u(0) = f1(x,y) ; v(0) = f2(x,y) Theo giả thiết ta có u(0) = f1(x,y) = ; v(0) = f2(x,y) = 64 w  x  w  v=-z y  u=-z  (8.6) Thay (8.6) vào phương trình biến dạng Cauchy ta có: 2w u =-z x x u 2w εy = =-z y y εx = γxy = (8.7) u u 2w + =-2z xy y x Từ (8.6) (8.7) cho thấy thành phần chuyển vị biến dạng biểu diễn qua hàm độ võng mặt trung gian $8.3 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRONG TẤM CHỊU UỐN Xét phân tố tách từ mặt phẳng vuông góc với trục x cách đoạn dx mặt phẳng vuông góc với trục y cách đoạn dy Chiều cao phân tố bề dày dx x h/2 -h/2 dy y  yz x o  xz y  yx  xy z Hình 8.3 + Tại điểm có tọa độ z: - Trên mặt vuông góc với trục x có ứng suất: σx, Txy, Txz - Trên mặt vuông góc với trục y có ứng suất: σy, Tyx, Tyz Theo giả thiết => Txz = Tyz = Trong thực tể ứng suất khác nó, không thõa mãn điều kiện cân phân tố tách để khảo sát Nhưng ứng suất nhỏ so với ứng suất σx, σy, Txy nên bỏ qua + Khi biết biến dạng theo (8.7), dựa vào địng luật Hooke ta nhận ứng suất theo chuyển vị w: 65  2w 2w      ; y   x 2w  E  E.z   w  σy = (εy + μεx) =    ; x  1 2    y σx = E  E.z (εx + μεy) = 1  1 2 Txy = (8.8) E  Ez  w γxy= 2(1   )   xy Vì w không phụ thuộc vào z nên từ (8.8) ta thấy ứng suất σx, σy, Txy hàm bậc z Tức ứng suất phân bố tỉ lệ bậc với khoảng cách tính từ mặt trung gian.(Góc tọa độ nằm mặt trung gian) dx dy h/2 -h/2 x y o z Hình 8.4 - Đối với ứng suất qui luật phân bố tương tự dầm phẳng - Đối với ứng suất tiếp qui luật phân bố tương tự bị xoắn có mặt cắt hình chữ nhật Những ứng suất hợp thành moment uốn moment xoắn mặt cắt * Gọi Mx, My moment uốn tác dụng đoạn mặt cắt ngang dài đơn vị vuông góc với trục x, trục y * Mxy Myx moment xoắn tác dụng đoạn mặt cắt ngang dài đơn vị vuông góc với trục x, trục y Qui ước dấu: Mx, My > : Khi căng thớ phía (+) trục z Mxy, Myx > : Khi ta nhìn theo chiều mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ y y Mx My x o x o Mxy Myx Hình 8.5 z z 66 * Để xét cân phân tố ta phải tính nội lực phân tố: Moment uốn, moment xoắn lực cắt tác dụng lên phân tố Tính moment uốn: a Tính Mx: (Hình 8.3) h dz ) Mx.dy =  (σx.dy.dz)(z + h  (*) Bỏ qua thành phần VCB bậc cao σx.dy.dz.dz/2: h (*)  Mx =  z.σx.dz h  thay σx =  E.z 1 2 Ta có  2w 2w      từ (8.8): y   x Mx =  E.z 1 2 2 h  w  w      z dz y  h  x  = Đặt: D =  E.h 12(1   )  2w 2w      y   x E.h 12(1   ) (8.9) D: Độ cứng chịu uốn  2w 2w      x y   Thay (8.9) vào Mx,ta có: Mx = -D  (8.10) b Tính My: (Hình 8.3) h My.dx =  (σy.dx.dz)(z + h  dz )  2w 2w     x   y Tương tự ta có: M y = -D  (8.11) Tính moment xoắn: a Tính Mxy: h Mxy.dy =  (Txy.dy.dz)(z + h  dz dz ), bỏ qua cô bé bậc cao , ta có: 2 h  Mxy =  z.Txy.dz h  67 Thay Txy =  Ez  w từ (8.8) ta có:   xy h 2 Mxy =  Ez  w  E.h (1   )  w z dz =   xy h 12(1   ) xy  Mxy = -D(1-μ) 2w xy (8.12) b Tính Myx: h Myx.dx =  (Txy.dy.dz)(z + h  dz ) Tương tự ta có: 2w Myx = + D(1-μ) xy (8.13) Từ (8.12) (8.13) ta thấy: Mxy = - Myx (8.14) Kết (8.14): Định luật đối ứng moment xoắn mỏng chịu uốn Tính lực cắt: h   Qx.dy   Txz.dy.dz  h    h  Qy.dx   Tyz.dx.dz   h   (8.15) Quan hệ moment uốn ứng suất: σx = (8.8)  2w 2w      y   x (a)   2w 2w      x   y 2w   E.h   w   Mx =   y  12(1   )  x σy = Từ  E.z 1 2 (8.10)  (8.11)  My =  E.z 1 2  E.h 12(1   )  2w 2w      x   y (b) (c) (d) Theo sức bền vật liệu ta có: σx = Mx 12 Mx Mx z = z = z Jx 1.h h b 12 Từ (a) (c) ta có: 68 σx =  2w 2w  Mx E   z = z   y  h3    x 12 Từ (b) (d) ta có: σy =  2w 2w  My E   z = z   x  h3    y 12 Các ứng suất đạt cực trị mặt có z =  h 1.h (Wx = ) 6 | Mx | | Mx | h Max |σx| = = h2 h 12 | My | | My | Max |σy| = = My h2 $8.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA MẶT TRUNG GIAN KHI UỐN TẤM Xét phân tố có cạnh dx, dy mặt trung gian, chịu tác động ngoại lực phân bố q(x,y) vuông góc với mặt - Nội lực phân tố biễu diễn hình (Hình 8.6) dx Qy dy Qx Mx oM My  Mxy B y M yx  M yx y Qy  y Qy y dy My A Myx y Mx  dy C Qx  dy M xy  M x dx x Qx dx x M xy x dx z Hình 8.6 - Nội lực cạnh bao gồm: Các cạnh vuông góc với Ox: Cạnh OB: Qx, Mx, Mxy Cạnh AC: Qx + Qx Mx Mxy dx, Mx + dx, Mxy + dx x x x Các cạnh vuông góc với Oy: Cạnh OA: Qy, My, Myx 69 Cạnh BC: Qy + Qy My Myx dy, My + dy, Myx + dy y y y * Phân tố trạng thái cân tác dụng ngoại lực nội lực Từ điều kiện cân có tổng hình chiếu lực lên trục z: Σz =  - Qx.dy +(Qx +  Qy Qx dx).dy – Qy.dx + (Qy + dy).dx + qdxdy = x y Qx Qy + +q=0 x y (8.16) Viết phương trình moment lực trục y: Myx Mx dx)].dy + [Myx - (Myx + dy)].dx x y Qy dx dx Qx dx – (Qy + dy).dx + Qy.dx - (Qx + dx).dydx - qdxdy =0 2 x y ΣMy =  [- Mx +( Mx + Bỏ qua đại lượng vô bé bậc cao chia cho dxdy ta có: Mx Myx - Qx = x y  Qx  (8.17) Mx Myx y x Thay Mx từ (8.10) Myx từ (8.13) vào Qx ta có: Qx   2w  2w 2w      - D(1-μ) y xy y   x 2w 2w 2w    w = - D         x  x y  y y     2w 2w  Qx = - D    x  x y   =-D x (8.18) Tương tự:  Qy = - D y   2w 2w     y   x (8.19) Thay Qx Qy từ (8.18) (8.19) vào (8.16) ta có: -D 2 x   2w 2w  2    - D y  y  x   2w 2w     = -q y   x      2  q      w  D y  x y   x  4   w  2 w   w  q  x D x y y  Hay viết dạng toán tử vi phần Laplace:  ( w )  q D (8.20) Phương trình (8.20) phương trình vi phân mặt trung gian chịu uốn gọi phương trình Sophie-Germain 70 Khi tích phân (8.20) xuất số tích phân, chúng xác định từ điều kiện biên $8.5 CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN Biên ngàm: y y=b 0    w  yb  y  w Tại ngàm độ võng góc xoay 0: Biên gối khớp: y b (8.21) x y y=b Tại khớp độ võng moment uốn My = w y b = My y b   2w 2w     y x   =  - D  y b =0 Theo phương trục x biên thẳng độ cong  2w x y b 2w =0 x =0 w  Điều kiện gối khớp: y b 2w y     0  0 y b (8.22) Biên tự do: y=b y Tại biên moment, lực cắt, moment xoắn 0   Qy y b    Myx y  b  0 My  yb (8.23) 71 $8.6 TÍNH BẢN MỎNG HÌNH E-LIP NGÀM CHU TUYẾN CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU Xét mỏng hình ellip ngàm chu tuyến chị tải trọng phân bố xđều q x2 y2  1  a2 b2 Phương trình Ellip: A Tìm hàm độ võng dạng:  x2 y2  w(x,y) = C    1 b a  b (8.24) a o b y a A' Trong C số cần xác định cho (8.25) thõa mãn phương trình Sophia-Germain q q 4w 4w 4w q     (*) D x x y y D h  ( w)  Tính đạo hàm:  w 4Cx  x y      1  a a b   x 3w 8Cy   w 4C  x y 2    8Cx 2      1   x  y a b    x a a b a   4w 8C   w 8Cx 16Cx     a a x y a b  x   w 24C   a  x 24C 8C 24C q  w 24C Tương tự: (*)   2    4 D a a b b y b q  C= 16 24   24 D  2   a b b  a (8.25) Phương trình độ võng w(x,y) phải thõa mãn điều kiện biên sau: Khi x, y thõa mãn phương trình chu tuyến x2 y2  1  a2 b2 Thì độ võng w = (1) w w  0 Các góc xoay x y (2) Kiểm tra điều kiện biên: Từ (8.25) cho thấy x,y thỏa mãn phương trình chu tuyến w = Điều kiện 2: ta có:  w 4Cx  x y     1  x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến x a a b   w 4Cy  x y     1  x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến y b a b  Vậy điều kiện biên (1) & (2) thỏa mãn 72 Phương trình độ võng:  x2 y2  q    1 w(x,y) = 16 24  a b  24  D  2    a a b b   (8.26) Nhận thấy wmax tâm O tức x=y=0  |wmax| = q 16 24   24 D  2   a b b  a (8.27) Tính moment uốn tấm:  2w 2w     Mx= - D   x y   2  8cx 4c  x y y2   8cy 4c  x   =- D      1       1  a a b b a b   b    a  2w 2w     My= - D   y x    8cy 4c  x y 4c  x y   8cx   = - D      1       1   b a b a a b   a    b Giá trị Mx tâm đầu trục ngắn:  1  DC     y x 0 b   a  8DC  Mx y 0    x  a a Mx (a) Giá trị My tâm đầu trục dài:  1 My y  x 0  4DC    a  b  8DC  Mx x 0    y b b (b) So sánh (a) & (b)  Max | M | = DC a2 (Tại A & A’) Max | M | max | M | = (h: bề dày bản) h2 Wx max | M |  [] Điều kiện: Max | σ | = h2 Max | σ | =  73 [...]... sinθ =  x x2  y2 σx = σrcos2θ = σr x2 x2  y2 σy = σrsin2θ = σr y2 x2  y2 Txy = σrsinθcosθ = σr Thay σr = - (7.16) xy x  y2 2 2P cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có: r 61 y r σx = - 2P 2P x3 cos3θ = - 2 r  x  y2 σy = - 2P 2P y2 x sin2θcosθ = - 2 2 r  x y  Txy = -  2  (7.17)  2P 2P yx 2 sinθcos2θ = - 2 2 r  x y  2  2 Tính chất nghiệm của (7.17): y  0 2P max   x   x x  x... h 2 dz ) 2 Mx.dy =  (σx.dy.dz)(z + h  2 (*) Bỏ qua thành phần VCB bậc cao σx.dy.dz.dz /2: h 2 (*)  Mx =  z.σx.dz h  2 thay σx =  E.z 1 2 Ta có  2w 2w   2   2  từ (8.8): y   x Mx =  E.z 1 2 2 2 h 2  w  w 2  2   2   z dz y  h  x  2 = Đặt: D =  E.h 3 12( 1   2 )  2w 2w   2   2  y   x E.h 3 12( 1   2 ) (8.9) D: Độ cứng của bản khi chịu uốn  2w...  2 f sin 2  + + + 2 r  r 2 r r r  r2  2 f sin 2 f sin 2 f cos 2   2 f cos 2  + + + 2 r r r  r 2 r  r2 Lấy tổng hai biể thức ta được:  f= 2 f  2 f 1 f 1 2 f 2 f + = + + r r r 2  2 x 2 r 2 y 2   = 2 2 2 1  1 2 + + r 2 r r r  2 (7.7) Thay (7.7) vào (7.6)  2 1  1 2     r 2  r r  r  2 ( r    )  0   (7.8) Cũng tương tự như trong hệ tọa... 2 vế của phương trình cho m σx.l2 – σy.m2 = σr.l2 – σr.m2 σx + σy = σr + σθ  Ta có: l2 + m2 = 1 y y n f*y P r o  yx r  y r   r  r  yx x  xy f*x  xy x     Mà x x σθ = 0  σy = σr - σx σx.l2 – (σr - σx)m2 = σr.l2 – σr.m2 σx.l2 – σr.m2 – σx.m2= σr.l2 – σr.m2 σx(l2 + m2) = σr.l2 σx = σr.l2 σy = σr.(1 - l2) = σrm2 Txy = σr.l.m l = cosθ = x = r x x2  y2 y m = cosβ = sinθ =  x x2  y2... i=f=0 (2) Từ (d) & (f) ta có : a=d=0 (3) 2  b + 3 2   t 2 t   b  2ex 2 f  3ix  3k    0  2  2     f 0 2   t t  2  b  2ex 2 f  3ix  3k     0 2  2    kt =0 4  b = 3 2 kt (4) t t * Biên trái (x = 0, y   ,   ) ta có :  2 x= 0 2 (g) t  2 (h)  Txy.dF  p t  2 Từ (g)  c = g = 0 (5) 3 3  Txy = - (- kt2 + 3ky2) = kt2 - 3ky2 4 4   t 2 t 2 t 2 3 ... ta có thể áp dụng ngun lý cộng tác dụng để tính Pi cos 3  i xi 3 2 n x       Pi 2  i 1 ri  i 1 ( xi  y i 2 ) 2 2 y  Pi sin 2  i cos i xy2 2 n    Pi 2 i i 2 2  i 1 ri  i 1 ( xi  yi ) 2 n (7.18)  2 Pi sin  i cos 2  i x y 2 n      Pi 2 i i 2 2 ac  i 1  i 1 ( xi  yi ) ri 2 n P1 P2y1 Pn 1 y x n 2  xy  yx y y3 y2 y1 P o y x Txy n  max x 62 TẤM MỎNG CHỊU UỐN CHƯƠNG... j =l = 0 (1) 2 x = y =   2 = 2c + 2fx + 6gy + 6kxy 2 = 2c + 6dx + 6ey + 6ixy x 2   x 2   Txy = =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2 xy (b) 2 Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất : t ; x 0, L 2 * Biên trên (y = : t ; x 0, L 2 * Biên dưới (y =- : Txy = 0 , (c) y = 0 (d) Txy = 0 , (e) y = 0 (f) Từ (c) & (e) ta có : t t 2 2 t t 2a + 6dx - 2e - 6ix = 0 2 2 2a +6dx +2e( )+6ix( )... tròn tâm 0  Σx = 0 2  P   (rdF ) cos   0  với dF = r.dθ.1 (1 là bề  2 dày của tấm)  2  P    r.rd cos    2 59  2    2C cos  r cos  d r 2   2 2 1  cos 2 d 2   2C  cos 2 d  2C     2 2   2C 2 1  2   2 sin 2    C   2 C  P (7.13)  Thay (7.13) vào (7. 12) ta có: r   2P cos  r σθ = 0 Trθ = 0 (7.14) Từ (7.14) cho thấy: Tại điểm đặt lực P: r... cosθ 2   r  r   r  x f sin   r f cos   r f sin   sin   f  r cos    r  r 57 f cos   f cos   cos    f   f 2 f = sinθ sin   sin   2    r  r   r r  r   r  y Sau biến đổi ta nhận được: 2 f 2 f = cos2θ 2 2 x r 2 2 f  f = sin2θ 2 2 r y  2 f sin 2 f sin 2 f sin 2   2 f sin 2  + + + 2 r  r 2 r r r  r2  2 f... ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (7.1), (7 .2) : r    T r  1  1  2  r r r 2  2  2  2 (7.9) 1  1  2  r 2 r r r Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất trong tọa độ cực Thay (7.9) vào (7.8) ta có:  2 1  1  2    2 1  1  2   2   2   =0  2  2 2   2  r  r r  r  r r    r r      2 2   (  φ) = 0 (7.10) (7.10): Phương trình trùng điều hòa của ... σx.l2 – (σr - σx)m2 = σr.l2 – σr.m2 σx.l2 – σr.m2 – σx.m2= σr.l2 – σr.m2 σx(l2 + m2) = σr.l2 σx = σr.l2 σy = σr.(1 - l2) = σrm2 Txy = σr.l.m l = cosθ = x = r x x2  y2 y m = cosβ = sinθ =  x x2... nghiệm tốn lý thuyết đàn hồi cho đa trị * Định lý nghiệm : Nếu thừa nhận trạng thái tự nhiên vật đinh luật độc lập tác dụng lực nghiệm tốn lý thuyết đàn hồi Thực xét tốn thứ lý thuyết đàn hồi Dưới... 2 x  2 y  2 z  2 y  2 z    2S  2S             (1 + )   x y z z  y  z    y   2 x 2 x 2 x   2 x 2 x  2 x    2 x 2 x  2 x   (1 + )  