A ĐẶT VẤN ĐỀ: Hệ phương trình hai hay nhiều phương trình với tập hợp ẩn số Khi giải hệ phương trình ta tìm giá trị ẩn số thỏa mãn phương trình hệ Ngay cụm từ “hệ phương trình” bao hàm “ phương trình” Do đó, mặt chất , hệ phương trình mảng toán rộng Hiểu điều giúp ta nhìn thấy điều kiện cần để học tốt phần hệ phương trình, trang bị tảng tốt giải phương trình Ngoài em cần vận dụng cách linh hoạt biến đổi đại số , đẳng thức , Nhằm giúp HS nắm vững có kó tốt việc giải hệ phương trình ẩn Trong viết này, hệ thống tập phương pháp giải hệ phương trình ẩn mà học sinh thường gặp đề thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên , Tôi hy vọng qua viết đóng góp thêm số kinh nghiệm hướng dẫn HS làm quen tiến tới giải tốt toán giải hệ phương trình nâng cao kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên giúp em lên cấp III , em dễ dàng làm toán giải hệ phương trình B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : DẠNG I: Hệ phương trình bậc hai ẩn số ax + by = c + Hệ phương trình bậc ẩn hệ có dạng  a ' x + b ' y = c ' a, b, c, a’, b’, c’là số thực cho trước a, b, a’ b’ không đồng thời không + Cách giải : dùng phương pháp hay phương pháp cộng cách đặt ẩn phụ Ví dụ : Giải hệ phương trình : 1  + =7 a/  x y  x + y = xy  Giải : ĐK: xy ≠ 1 x + y =  Hệ phương trình cho viết lại:  1 + =  x y 1 Đặt u = v = Khi hệ (*) trở thành: y x THCS: TÂN BÌNH GV: ĐỖ VIỆT HÙNG u + 6v =  u + v = 5v = v = ⇔  ⇔  u + v = u = Vaäy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1 ; 1)   2x − y + x − y =  b/   − =  x − y x − y 18 x = ⇒ y = Giải : ĐK: (2x - y)(x - 2y) ≠ 1 Đặt u = v = Khi hệ (*) trở thành: 2x − y x − 2y 1    4v = 18 2u + 3v = v = ⇔  ⇔   2u − v = 2u = + v u =    18 18 12   x − y = 12 2 x − y = 12  ⇒ ⇔   x − y = 19  =1  x − y x = Giải hệ ta   y = −2 Vậy hệ cho có nghiệm nhaát (x; y) = (5 ; - )   x + + y = c/  (TSL10 chuyeân TPHCM 10 – 11)  + 5y =  x + Giaûi:   −2  −2  x + + y =  x + − y = −2 − y = −2  ⇔  ⇔ x +1   + 5y =  + 5y = 3 y =  x +  x + 1  −2  −2   x + − y = −2  x + − = −2  x = ⇔  ⇔  ⇔  y = y = y =    3 1 1 Vậy nghiệm hệ phương trình:  ;   3 THCS: TÂN BÌNH GV: ĐỖ VIỆT HÙNG x + 2y +  x + y − + x + 2y =  d/   x + y − =1  x + y − x + y (TSL10 ÑHSP TPHCM 12 -13) Giaûi: x + 2y +  x + y − + x + 2y =    x + y − =1  x + y − x + y x +2y +4  x + y − + x + y =  ⇔ x + y − + − =1  x +2y  x + y −2 4    x + y − +1+ x + 2y = x + y − + x + 2y =   ⇔ ⇔ 8 1 +  − =1 − =0  x + y − x + y  x + y − x + y 1 Đặt u = v = Khi hệ (*) trở thành: x+ y−2 x + 2y u +4v =2  2u −8v =0 ⇔ 2u + 8v =  2u − 8v = ⇔ (*) 4u = ⇔  2u − 8v =  x + y − =1 x + y − = x + y = x =  ⇒ ⇔  ⇔  ⇔  x + y = x + y = y =  =1  x + y Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2 ; ) Bài tập: Giải hệ phương trình: 9  − =1 1/  x y 12 x + y = xy   10  − =0 2/  x y 10 x + y = xy    x − y − x + y = −1  3/  (TSL10 – LHP 04 – 05)  − =0  x − y x + y 1  x + 12 y = xy  4/   − = − 47  x y 12 y y  5x  x + + y − = 27  5/  (TSL10 – ÑHSP 07 – 08)  2x − 3y =  x + y −  2x + y  x + + y −1 =  6/   2x + + 3y + = y −1  x + THCS: TÂN BÌNH GV: ĐỖ VIỆT HÙNG u =   v = DẠNG II: Hệ phương PHƯƠNG PHÁP: trình bậc hai hai ẩn số Rút x theo y ( y theo x) từ phương trình bậc , thay vào phương trình bậc hai, ta phương trình ẩn y ( x) Từ tìm y ( x) suy nghiệm hệ phương trình ♦ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (bằng phương pháp trực tiếp) x − y = a/  (PTNK ban AB 00 – 01)  xy = Giaûi: x = + y x − y = x = + y ⇔ ⇔   xy = ( + y ) y = 6 y + y = x = + y  x = 8; y = ⇔ ⇔  x = −2; y − 2 y + y − = Vậy nghiệm hệ phương trình cho : (8 ; 1) , (-2 ; -4) x + y = y + b/  (PTNK 11 – 12)  xy = x +  x + y = y + 1(1) Giaûi:   xy = x + 1(2) x = (2) vô lý Do x ≠ ta coù :   x +12  x + 1 x + y = y +  = 2  +1 x +  x + y = y +    x   x  ⇔  ⇔   x +1  xy = x + y = y = x +1 x   x 2 x + x + 2x + = 2x + 2x + x x + 2x + =   ⇔  ⇔  x +1 x +1 y = y = x x    x2 −1 =  x = ±1   ⇔   x +1 x +1 y =  y = x x  1+1 −1+1 =2 =0 ♦ Xeùt x = ⇒ y = ♦ Xeùt x = -1 ⇒ y = 1 Vậy nghiệm hệ phương trình: (1 ; ) vaø (-1 ; ) ( ) THCS: TÂN BÌNH GV: ĐỖ VIỆT HÙNG  xy = −64  c/  1 x − y =  (LHP ban AB 03 – 04) Giaûi:  xy = −64  1 1 x − y =   xy = −64  xy = −64   ⇔ y−x ⇔ y−x  xy =  − 64 =   y + 16 y + 64 = ⇔  x − y = 16 ( y + 16 ) y = −64 ⇔  x − y = 16 Vậy nghiệm hệ phương trình cho : (8 ; 8)  xy = −64 ⇔  x − y = 16 x = ⇔ y =  x + xy =  (Chuyeân TPHCM 11-12) d/  1 x + y = x + x + y  Giải: Cách 1:  x + xy =  1 x + y = x + x + y   x + xy =  ⇔  x + y x + xy +  xy = x+ y   x + xy =  ⇔ x + y  xy = x + y   x + xy = ⇔ ( x + y ) = xy x + x = ⇔ x = y  x + xy = ⇔ ( x − y ) = x = y = ⇔  x = y = −1  x + xy = ⇔ x = y Vậy nghiệm hệ phương trình: (1 ; ) (-1 ; -1 ) x + xy + = = Nhận xét: Ta thấy x + x2 + xy = giúp có x = y x+ y x+ y x+ y , từ có lời giải  x + y = y + 1(1) Caùch 2:   xy = x + 1(2) x = (2) vô lý Do x ≠ ta có : x + y = y +   xy = x + THCS: TÂN BÌNH   x +12  x + 1 x + y = y +  = 2  +1 x +     x   x  ⇔  ⇔  x +1 y = y = x +1 x   x 2 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG x + x + 2x + = 2x + 2x + x x + 2x + =   ⇔  ⇔  x +1 x +1 y = y = x x   2  x −1 =  x = ±1   ⇔   x +1 x +1 y =  y = x x  1+1 =2 ♦ Xeùt x = ⇒ y = −1+1 =0 ♦ Xét x = -1 ⇒ y = Vậy nghiệm hệ phương trình: (1 ; ) (-1 ; ) ( ) ( x − 1) y + x + y = e/  (TSL10 ÑHQG HN 11 – 12 ) ( y − 2) x + y = x + ( x − 1) y + x + y = ( x − 1) y + ( x − 1) = − y Giaûi:  ⇔ ( y − 2) x + y = x + ( y − 2) x + ( y − 2) = x − 2− y  ( x − 1) = 2  ( x − 1)( y + 1) = − y y +1  ⇔ ⇔  ( y − 2)( x + 1) = x − ( y − 2)( x + 1) = − y  y2 +1 2− y  ( x − ) =  y2 +1  ⇔ ( y − 2)( x + + ) =  y2 +1 x − = ⇔ y = 2− y  ( x − 1) = y +1 ⇔ y − =  x = ⇔ y = Bài tập: Giải hệ phương trình: (bằng phương pháp trực tiếp) x − y = x − y = 1/  (LHP 00 – 01) 2/ (PTNK 00 – 01)   xy = x − y =  x + y = −2 2 x + y = 2 x + y = 3/  4/  5/   xy − y = −9  xy + x + y = −6  x − xy + y = 13 3 x − y + = 6/   xy = 3( x + y ) − x − y = 9/  3  x − y = 126 THCS: TÂN BÌNH  x + y + xy =  x + y = −1 7/  8/  3  xy + x =  x − y = 3( x − y ) x + y = 10/  ( x + 1)( y + 2) + x( y + 2) = 30 y + GV: ĐỖ VIỆT HÙNG ♦ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (bằng phương pháp cộng , trừ vế dùng phương pháp trực tiếp)  x + y − x + y = a/  2 x + y + x − y = Giaûi:  x + y − x + y = 2 x + y − x + y = 5 x − 11 y = −6 ⇔ ⇔    2 2 x + y + x − y = 2 x + y + x − y = x + y − 2x + y = 11y −  x= 11y −   x =  ⇔ ⇔ ( x − 1) + y + y − =  11 y − 11  + y + y − =    11 y −  x = ⇔ 146 y − 167 y + 21 =   x = 1; y =  ⇔ 129 21  x = − 146 ; y = 146  129 21  ;  Vậy nghiệm hệ phương trình cho laø : (1 ; 1) ,  −  146 146   x + y = x b/  (PTNK 07 – 08)  y + = xy Giaûi: ( x − y ) − 6( x − y ) + =  x + y = x  x + y + y − x − xy + = ⇔ ⇔   y + = xy  x + y = x  x + y = x ( x − y − 3) = y = x − y = x − ⇔ ⇔ ⇔  x + y = x  x = 18  x = ±3 ( ) ( ) Giải hệ ta nghiệm : ;3 − , − ;−3 −  x − xy = −  c/   xy − y = − 10  Giaûi:  x − xy = −    xy − y = − 10  THCS: TÂN BÌNH (PTNK 12 – 13 ) ⇔  x − xy = −   2 xy − y = −  GV: ĐỖ VIỆT HUØNG  x − xy = −  x − xy = −  ⇔  2 ⇔   y = x x − y =   x − xy = −  x − x = −    y = x  y = x ⇔  ⇔   x − xy = −  x + x = −    y = − x  y = − x  x =   x = 1; y =  y = x ⇔  ⇔  ∅  x = −1; y = −  x ∈  y = − x  Vậy nghiệm hệ phương trình: (1 ; ) vaø (- ; - )  xy − y + x = d/  (LHP 02 – 03)  y + x y + x = Giải: • Xét x = y = , hệ có nghiệm (x ; y ) = (0 ; 0) • Xét x ≠ , ta coù: 2  xy − y + x =   x y + y − x = xy − y + 3x = ⇔ ⇔    xy + x y + x  y + x y + x = xy + x y + x =  x2 y = x +2  y ( x + 2) = x  ⇔ ⇔  2  xy + x y + x  x x  − 2 x  + x =  x3 +    x +      x2  x2 y = y = x +2   x3 + ⇔ ⇔  x x3 − x3 + + x + 2 = − +3=0   ( x + 2) x +2 ( ) ( )    x2 x2 x2 y = y = y = ⇔ ⇔ ⇔ x +2 x +2 x +2 3 6 3  x − x − + 3x + 12 x + 12 = 3 x + 11x + =  x + 3x + =    ( THCS: TÂN BÌNH )( GV: ĐỖ VIỆT HUØNG )  x + =   3x + = ⇔   x2 y =  x3 +   x = −1   x = − ⇔   y = x  x3 + ( − 1) = • x = -1 , Ta coù: y = ( − 1) + 2 •x= −2   −8 −  3 =− = , Ta coù: y = 3 −2   +  3 −2  x =  x =  x = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho :  ;  ;  y = y = y = −  Bài tập Giải hệ phương trình:(bằng phương pháp cộng , trừ vế dùng phương pháp trực tiếp)  x + y − x + y =  x + y − x + y = 12 1/  2/  2 x + y + x − y =  x + y + x − y =  x + y − x + y = 27  x + y − x + 12 y = 12 3/  4/  2 x + y + x − 15 y =  x + y + x − 10 y = ♦ Ví du 3: Giải hệ phương trình:(Bằng PP đưa phương trình hệ phương trình tích sử dụng phương pháp )  xy + x − = a/  (TSĐH khối D – 2012) 2 2 x − x y + x + y − xy =  xy + x − = Giaûi:  2 2 x − x y + x + y − xy − y =  xy + x − = ⇔ 2 ( x − xy ) − ( x y − y ) + ( x − y ) =  xy + x − = ⇔ x = y  x + x − = ⇔  x = y THCS: TÂN BÌNH hoặc  xy + x − = ⇔  x − y ( x − y + 1) =  xy + x − =   y = 2x + ( ) 2 x + x − =   y = 2x + GV: ĐỖ VIỆT HÙNG x = ⇔ y =1  −1+ x = hoaëc  y =  x = Vậy hệ cho có nghiệm:  y =  −1− x = hoaëc  y = −   −1+ x = ;  y =   −1− x = ; y = −   x + y − xy + y − x = b/  (LQĐ- Bình Định 12 – 13)  x − y + x + 12 = Giaûi:  x + y − xy + y − x =  x − xy + xy − y + y − x = ⇔    x − y + x + 12 =  x − y + x + 12 = ( x − y )( x + y − 1) =  x − y = 0.hay.x + y − = ⇔  ⇔  ⇔ 2  x − y + x + 12 =  x − y + x + 12 =  x = y.hay.x = − y  2  x − y + x + 12 = x = y ♦ 2  x − y + x + 12 = ⇔ x = y  2 4 y − y + 12 x + 12 = x = y x = y ⇔  ⇔  2  y + 4x + = ( y + 2) = x = − y ♦ ⇔ 2 (1 − y ) − y + 6(1 − y ) + 12 = ⇔  x = −4   y = −2 x = 12 y  2 1 − y + y − y + − y +12 = 11   x = − ⇔   y = 19  11 19 Vậy nghiệm hệ phương trình: (-4 ; -2 ) ( − ; ) 8 x = − y ⇔  − y + 19 = x = − y  19 ⇔   y =  x + y + x + y = c/  (HSG TP 02 – 03)  x + y + xy = Giaûi:  x + y + x + y =  x + y − xy = ⇔   2  x + y + xy =  x + y + xy = THCS: TÂN BÌNH 10  x(1 − y ) − (1 − y ) = ⇔ 2  x + y + xy − = GV: ĐỖ VIỆT HÙNG ( x − 1).(1 − y ) = ⇔ 2  x + y + xy − =  x − =  ⇔ 1 − y = ⇔  2  x + y + xy − =  x = 1; y + y − = ⇔  y = 1; x + x − =  x = 1; ( y − 2).( y + 3) = ⇔   y = 1; ( x − 2).( x + 3) =  x = 1; x + y + xy − =   y = 1; x + y + xy − =  x = 1; y − y + y − = ⇔   y = 1; x − x + x − =  x = 1; y = 2hay y = −3 ⇔  y = 1; x = 2hay.x = −3 Hệ phương trình có nghiệm laø : x = x = x =  x = −3 ;  ;  ;   y =  y = −3 y = y = Bài tập : Giải hệ phương trình:(Bằng phương pháp đưa phương trình hệ phương trình tích sử dụng phương pháp ) 2 x − x + y = xy 1/  ( HSG Bình Định 09 – 10)  x + xy =  x − y − xy = −1 2/  (chuyeân TPHCM 09 – 10))  x y − xy = 2 x − x + y = xy 3/   x + xy =  x( y − ) = ( x + )( y − ) 4/  ( x − 3)( y + ) = ( x − )( y + 3) 2  x + x = y + y 5/   y + x = (PTNK 08 – 09) (TSL10 chuyên - Hải Dương 05 -06) (TSL10 chuyên Hà Tónh 07 – 08)  x − y + xy = 6/  3 x + y = y + (TSL10 ÑHNN HN 08 – 09)  x + y + 2( xy + x + y ) = 7/   x + y + x − y + = (TSL10 ÑHNN HN 09 – 10)  x − x y + x − y = 8/   x − x y + xy + y = 54  x − x y + x − y = 9/  9 x − x y + xy − 3x y = 32 THCS: TÂN BÌNH 11 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG ♦ Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ( Viết phương trình (1) hệ thành phương trình bậc hai theo ẩn x ( y) , sau tính x theo y)  x + xy − = y − x(1) a/   x + y = 10(2) Giaûi: (1) ⇒ x2 + ( y + 1)x – – y = (*) Giải pt (*) ta được: x1 = ; x2 = – – y Với x1 = ⇒ y12 = ⇒ y1 = ± Với x2 = – – y ⇒ y2 + 2y – = ⇒ y = hay y = -3 Từ ta tìm hệ phương trình có nghiệm : x = x =  x = −3 ;  ;   y =  y = −3 y =1 2 x + xy − y − x + y + = b/  (TSL10 ÑHQG HN 03 – 04)  x + y + x + y − = Giaûi: 2 x + xy − y − x + y + =  y − ( x + 1) y − x + x + = 0(1) ⇔   x + y + x + y − =  x + y + x + y − = 0(2) Giaûi pt (1) ta được: y1 = – x ; x2 = 2x + Với y1 = – x ⇒ x2 – 2x + = ( vô nghiệm) Với y2 = 2x – ⇒ 5y2 – x – = ⇒ y = hay y = −  13  Từ ta tìm hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1) ;  − ;−   5  x − xy + x + y = c/  (PTNK Hải Phòng 02 -03)  x + y = Giaûi:  x − xy + x + y =   x + y =  x + (1 − y ) x + y − = 0(1) ⇔  x + y = 5(2) Giaûi pt (1) ta được: x1 = ; x2 = 4y – Với x1 = ⇒ y12 = ⇒ y1 = ± Với x2 = 4y – ⇒ 17y2 – 16y – = ⇒ y = hay y = −1 17 Từ ta tìm hệ phương trình có nghiệm :  38  (1 ; 2) , ( ; - ) , ( ; 1) ,  − ;−   17 17  THCS: TÂN BÌNH 12 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG Bài tập Giải hệ phương trình ( Viết phương trình (1) hệ thành phương trình bậc hai theo ẩn x, sau tính x theo y)  x + xy + = 3x + y  x + xy − = y − x 1/  2/   x + y =  x + y = 10 2 x + xy + = 3x + y  x − xy + y + x − y = 3/  4/   x + y =  x − xy + y − 10 x + 14 y = 6 x − xy + x = − y 5/  (TSL10 ÑHNN HN 04-05)  x + y = 2 x + xy − y − x + y + = 6/  ( HSG Thanh Hoùa 07 – 08)  x + y + x + y − = ♦ Ví Dụ : Giải hệ phương trình : ( PP chia vế theo vế dùng PP theá)   x + y = (PTNK ban AB 01 – 02)  y + =  x Giải: Điều kiện x , y ≠   xy +  x + y =  y = (1) ⇔  y + =  xy + = ( )   x x 3 x Laáy (1) chia (2) vế theo vế ta được: = y 7  3  x + y =  y + y = ⇔ Hệ cho tương đương  x = y x = y   2  y =  3 y − y + = ( y − )( y − 1) =  y =   ⇔ ⇔ ⇔   3 x = y  x = y   x = y  1 1 Vậy hệ cho có nghieäm : (3 ; 2) ,  ;   3 Bài tập:: Giải hệ phương trình : ( PP chia vế theo vế dùng PP thế) THCS: TÂN BÌNH 13 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG   x + y 1/  y +  x   x + y 3/  y +  x 21 21 = 15 = 15 = =   x + y 2/  y +  x   x + y 4/  y +  x = =4 =7 = 14 DẠNG III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I ∗ Kiến thức thường vận dụng + Hệ phương trình đối xứng loại I hệ không thay đổi thay x y; y x ∗ Phương pháp thường vận dụng + Đặt S = x + y P = xy : Biến đổi phương trình cho hệ hai ẩn S P + Khi x, y nghiệm phương trình: t2 – St + P = Điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ = S2 - 4P ≥ Chú ý: Nếu hệ phương trình đối xứng loại I có nghiệm (x , y) (y, x) nghiệm ∗ Các ví dụ minh họa:  x + y + x + y = 12 ♦Ví dụ : Giải hệ phương trình: a/  (Olympiad Canada 2010  x + y + xy = – 2011) Giải: Đặt S = x + y P = xy điều kiện : S2 ≥ 4P Khi đó, hệ phương trình viết lại thành S − P + S = 12 S − P + S = 12(1) ⇔  S + P =  P = − S (2) Thế (2) vào (1) ta thu S2 – 2(3 – S) + S = 12 ⇔ S2 + 3S – 18 = ⇔ S = hay S = - x + y = Với S = ⇒ P = 0, tức  ⇔ (x , y) = (0 ; 3) hay (x , y) = (3 ; 0)  xy = Với S = - ⇒ P = Khi : x, y nghiệm phương trình : X2 + 6X + = ⇔ (X + 3)2 = ⇔ X = -3 ⇒ x = y = -3 THCS: TÂN BÌNH 14 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm (0 , 3) ; (3 ; 0) ; ( -3 ; -3) x + y = ♦Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  (TSL10 Chuyên ĐH Vinh 07 - 08)  x y + xy = 30 Giải: Hệ phương trình cho tương đương: x + y = x + y = ⇔   2  xy ( x + y ) = 30  xy ( x + y ) − xy = 30 Đặt S = x + y; P = x y, điều kiện : S2 ≥ 4P ta có hệ phương trình: S = S = S = S =  ⇔  ⇔ ⇔  P =  P (16 − P ) = 30  P S − P = 30 2 P − 16 P + 30 =  P =  S = x + y = x = x = ⇔ Với  ta có:   P =  x y = y = y = S = x + y = Với  ta có:  (vô nghiệm) P =  x y = [ [ ] ] Vậy hệ phương trình có nghiệm : (1 ; 3) , (3 ; 1) ( x + 1)( y + 1) = ♦Ví dụ 3:  (TSL10 – chuyên HN 02 – 03)  x( x + 1) + y ( y + 1) + xy = 17 Giaûi: ( x + 1)( y + 1) =  x + y + xy = ( x + 1)( y + 1) = ⇔ ⇔   2  x( x + 1) + y ( y + 1) + xy = 17  x + x + y + y + xy = 17 ( x + y ) − xy + x + y = 17 Đặt S = x + y; P = x y,điều kiện : S2 ≥ 4P ta có hệ phương trình: S + P =  S + S − P = 17 Giaûi ta nghiệm (S ; P) (4 ; 3)và (-6 ; 13) S = x + y = x = x = ⇔ Với  ta có:   P =  x y = y = y = S = −6  x + y = −6 Với  ta có:  (vô nghiệm)  P = 13  x y = Vậy hệ phương trình có nghiệm : (1 ; 3) , (3 ; 1) THCS: TÂN BÌNH 15 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG  x − y = 126 ♦Ví dụ 4:  (*) x − y = Đặt t = - y hệ phương trình trở thành: ( x + t ) ( x + t ) − xt = 126  x + t = 126 ( x + t ) x − xt + t = 126 ⇔ ⇔  x + t = x + t = x + t = Đặt S = x + y; P = x y,điều kiện : S2 ≥ 4P ta có hệ phương trình: ( S ) ( S ) − 3P = 126 6( 36 − 3P ) = 126 P = ⇔ ⇔  S = S = S = ( [ [ ) ] ] x + t = x = x = ⇒ ⇔ vaø   xt = t = t = Vậy hệ phương trình (*) có nghiệm : (5 ; -1) , (-1 ; 5)  x + y = 65 ♦Ví dụ 5:  (*)  x + y = Đặt u = x2 ; v = y2 hệ phương trình trở thành: ( u + v ) ( u + v ) − 3uv = 65 u + v = 65 ⇔   u + v = u + v = Dùng phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I để giải [ ]  x + y + xy = ♦Ví dụ 6:  (*) (PTNK ban AB 03 – 04) 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35  x + y + xy =  x + xy + y + = ( x + 1)( y + 1) = ⇔ ⇔ Giaûi:  3 3 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 Đặt u = (x + 1) ; v = (y + 1) heä phương trình trở thành: ( u + v ) ( u + v ) − 3uv = 35 u + v = 35 ⇔   u.v = u.v = Đặt S = x + y; P = x y,điều kiện : S2 ≥ 4P ta có hệ phương trình: ( S ) ( S ) − 3P = 35 S − 18S − 35 = ⇔   P = P = [ [ ] ] S − 5S + 5S − 25S + S − 35 = ⇔ P = ( S − 5) S + 5S + = S − = ⇔ ⇔ ( Vì S2 + 5S +7 > ) P = P =   ( ) S = ⇔ P = u + v = u = u = ⇒ ⇔ vaø  uv = v = v = Vậy hệ phương trình (*) có nghiệm : (1 ; 2) , (2 ; 1) THCS: TÂN BÌNH 16 GV: ĐỖ VIỆT HUØNG  x( x + y + 1) − =  ♦Ví dụ  ( x + y ) − x + = Giải : đk : x ≠ (ĐH khối D 09 – 10)  x( x + y) + x = Hệ phương trình cho viết thành:  (*) 2 x ( x + y ) + x = t + x = Đặt u = x (x + y) hệ phương trình (*) tương đương  2 t + x = Đây hệ phương trình đối xứng loại I quen thuộc  3 Giải ta hệ phương trình cho có hai nghiệm là: (1 ; 1) ;  2;   2 1  2 x + y + x + y =  ♦Ví dụ 8:  (*) x + y + + =  x y Giải: đk : x, y ≠ 2  1  1  1 x + y + + =    x +  +  y +  = 13  x2 y2   x  y ⇔   x + y + + = x + y + + =   x y x y  1 Đặt u = x + ; v = y + hệ phương trình trở thành: y x ( u + v ) − 2uv = 13 u + v = 13 ⇔ ⇔ u + v = u + v = Đặt S = u + v; P = u.v , điều kiện : S2 ≥ 4P ta có hệ phương trình: S −2 P =13 S − P = 13 ⇒  S = S = u.v = u = u = ⇒ ⇔ hay  u + v = v = v =  x+ =3  3±  u = x  x = ⇒ ⇔   Với  v = y + = y =1   y THCS: TÂN BÌNH 17 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG  x+ =2 x =  u = x   ⇒ ⇔ Với  3± v = y + = y =   y Vậy hệ phương trình (*) có nghiệm : 3+  3−   3+   3+           ;1 ;  ;1 ; 1;  ; 1;  ;           xy + xy =  ♦Ví dụ :  (Chuyên T Vónh Phuùc) x + y + + =  x y 1 Đặt u = x + ; v=y+ ⇒ u.v = x.y + + để đưa hệ phương trình thành y xy x hệ phương trình theo hai ẩn u v Bài tập: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I  x + y = 35  x + y = 10 1/  2/   x y + xy = 30 x + y =  x − y = 126 4/  x − y = 1  2  x + y + x + y = 16  7/  x + y + + =  x y  x + y = 730 5/   x + y = 10 ( x + y ) xy = 30 3/   x + y = 82  x + y − x − y = 12 6/   xy ( x − 1)( y − 1) = 27 37   xy + xy =  8/   x + y + + = 35  x y DẠNG IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II ∗ Kiến thức thường vận dụng + Hệ phương trình đối xứng loại II hệ thay đổi thay x y; y x phương trình trở thành phương trình ∗Phương pháp thường vận dụng + Trừ vế hai phương trình hệ đưa phương trình tích 2 x + xy = 1(1) ♦ Ví Dụ 1: Giải hệ phương trình:  (PTNK ban A , B 06 – 07) 2 y + xy = 1(2) Giải : Lấy (1) trừ (2) theo vế , Ta có: 2(x2 – y2 ) = ⇔ (x – y)(x + y) = ⇔ x = y hay x = - y THCS: TÂN BÌNH 18 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG 3 2 Với x = - y , ta coù: 2x – x = ⇔ x = ± Với x = y , ta có: 2x2 + x2 = ⇔ x = ± Vậy phương trình cho có nghiệm là:  3  3  ; −  ; ; − (-1 ; -1) ; (1,1) ;     3      x + = xy (1) ♦ Ví Dụ 1: Giải hệ phương trình:   y + = yx (2) Giaûi : Từ phương trình (1), ta thấy x ≤ 3xy2 ≤ < x2+ (vô lý) Suy x > Hoàn toàn tương tự , ta y > Lấy (1) trừ (2) theo vế , Ta có: x2 – y2 = 3xy2 - 3yx2 ⇔ (x – y)(x + y) = 3xy(y – x) ⇔ (x – y)(x + y + 3xy) = Ở ta vừa chứng minh x > y > nên x + y + 3xy > Do xảy trường hợp x – y = ⇔ x = y Thế y = x vào phương trình hệ , ta thu x2 + = 3x3 – – = (x – 1)(3x2 + 2x + 2) = x = ⇔  3 x + x + = Với x = ⇒ y = Thử lại thấy Với (3x2 + 2x + 2) = 0, ta coù ∆ = 12 – 3.2 = -5 < nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm laø (x, y) = (1,1)  x2 + 3 x = y  ♦ Ví Dụ 2: Giải hệ phương trình :  ( ĐH khối B 2003) 3 y = y +  x2 Ñk: x > 0, y > 3 xy = x + 2(1) Hệ phương trình cho trở thaønh :  3 yx = y + 2(2) Lấy (1) trừ (2) theo vế , Ta coù: 3xy2 –3yx2 = x2 - y2 ⇔ (x – y)(3xy + x + y) = ⇒ x = y ( 3xy + x+ y > với moïi x > , y > Thay x= y vào phương trình (1) ta 3x3 – x2 – = ⇔ (x – 1)(3x2 + 2x + 2) = ⇔ x = 1) (vì 3x2 + 2x + 2> với x) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (1 ; 1) THCS: TÂN BÌNH 19 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG  x = x + y (1) ♦ Ví Dụ 3: : Giải hệ phương trình :   y = y + x(2) Giải: Lấy (1) trừ (2) theo vế , Ta có: x = y x3 – y3 = x – y ⇔ (x – y)(x2 + y2 + xy – 1) = ⇔  2  x + y + xy − = Với x = y thay vào (1) ta có : x3 = 3x Giải phương trình ta nghiệm : x = ; x = ; x = - Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: x3 + y3 = x + y Kết hợp phương trình x2 + y2 + xy – =  x + y = 3( x + y ) Ta có hệ:  (*)  x + y + xy − = Đặt S = x + y P = xy điều kiện : S2 ≥ 4P Khi đó, hệ phương trình (*)trở thành : S − 3SP = 3S S − 3S ( S − 1) = 3S S = x + y = ⇔ ⇔ ⇔    S − P − =  P = S −  P = −1  xy = −1 Giải hệ phương trình ta (x ; y) = (1 ; -1) , (- ; 1) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (1 ; -1) ; (- ; 1) ; (0 , 0) ; − 3;− ; 3; ( ) ( )  x + y − = ♦ Ví Dụ 4: Giải hệ phương trình :   y + x − = Giải: ĐK: x ≥ 1; y ≥ Đặt X = x − ; Y = y − ; X ≥ ; Y ≥ Hệ phương trình cho trở thành  X + + Y =  X + Y = 1(1) ⇔   Y + + X =  X + Y = 2(2) Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được: X2 – X + Y – Y2 = ⇔ ( X2 – Y2) – X – Y = ⇔ ( X – Y) ( X + Y – ) = X − Y = ⇔ X + Y −1 = ( ( ) ) + Với X – Y = ⇔ X = Y , thay vào (1) ta được: −1+ 1+ X2 + X – = ⇒ X = ⇒x=y= 2 THCS: TÂN BÌNH 20 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG 1+ 1+   ; Hệ có nghiệm   2   + Với X + Y – = ⇔ –X + = Y , thay vaøo (1) ta được: X2 – X = ⇔ X ( X – 1) = ⇒ x = ⇒ y = Hệ có nghiệm (1 ; 2) 1+ 1+   ; (1 ; 2) ; Vậy hệ cho có nghiệm     2 + x =  ♦ Ví Dụ 5:  x3 − =  Giải: Đặt z = y y3 y (TSL10 Chuyên Nghệ An 10 – 11) 2 + x = z 2 + x = z ⇔ Hệ cho trở thành:   x − = 3z 2 + z = x Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được: 3(x – z) = z3 – x3 ⇔ x3 – z3 + 3(x – z) = ⇔ (x – z)(x2 + xz + z2 + 3) = ⇔ x = z ( x2 + xz + z2 + 3> , ∀ x, z) x = Từ ta có phương trình: x3 – 3x – = ⇔  x = Vậy hệ cho có nghiệâm: (-1 ; -2) ; (2 ; 1) Bài tập :HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II  x = y − x  x − y = x − y 1/  2/   y = x − y  y − x = y − x  2 x = y + y  x = y − x 3/  4/  ( TSL10 TÑN 00 – 01)  y = x − y 2 y = x +  x 2 x = y + y  x + y = 5/  ( TSL10 ĐHSP 06 – 07) 6/  ( chuyên TTHueá 07 - 08 ) 2 y = x + x  y + 2x = 2 x − x = y − 7/  (chuyên Lam Sơn 05 - 06 ) 2 y − y = x − THCS: TÂN BÌNH 21 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG DẠNG V: Hệ phương trình đẳng cấp ∗ Kiến thức thường vận dụng Đa thức P(x ; y) gọi đơn thức có bậc n Khi âý phương trình P(x ; y) = a, ( a số ) gọi là Một hệ phương trình gọi là đẳng cấp bậc n phương trình hệ đẳng cấp bậc n Khi hệ đẳng cấp bậc n hệ có nghhiệm dạng (0 ; y 0) ( x0 ; k x0) ∗Phương pháp thường vận dụng + Xét riêng trường hợp x = + Khi x ≠ , đặt y = k.x vào hệ chia vế phương trình giải k, từ suy x ; y ♦Ví dụ :Giải hệ phương trình 2 3 x + xy − y = 38  5 x − xy − y = 15 Giải: Ta thấy x = nghiệm hệ phương trình Với x ≠ 0, đặt y = kx, k ∈ R Hệ cho trở thành : 2 2 3 x + x(kx) − 4(kx) = 38  x (3 + 5k − 4k ) = 38 ⇔  5 x − x( kx) − 3(tx ) = 15  x (5 − 9k − 3k ) = 15  x (3 + 5k − 4k ) = 38 (1)  ⇔  + 5k − 4k 38 (2) =  15  − 9k − 3k Quy đồng mẫu phương trình (2) rút gọn ta được: 145  k = − 18 54k2 + 417k – 145 = ⇔  k =  145 • Với k = − ta có: hệ vô nghiệm 18 THCS: TÂN BÌNH 22 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG 38 = ⇒ x = - hay x = ta coù: x = 3 + 5k − 4k Vậy hệ cho có nghiệm: (- ; - ) ; ( ; ) • Với k = ♦Ví dụ : Giải hệ phương trình 2  x + y = (PTNK ban AB 06 – 07)  2 xy − y = Giải: Ta thấy x = nghiệm hệ phương trình Với x ≠ 0, đặt y = kx, thay vào hệ ta : (1)  x + 2k x =  x (2k + 1) = ⇔   (2) 2kx − k x =  x (− k + 2k ) = Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta được: 4k2 – 4k + = ⇔ k = Với k = ta coù: x = ± ⇒ y = ± Vậy hệ cho có nghiệm: (2 ; 1) ; (-2 ; -1) ♦Ví dụ :Giải hệ phương trình : 2 − x + xy + y =  2 x − xy + y = Giải: Ta thấy x = nghiệm hệ phương trình Với x ≠ 0, đặt y = kx, thay vào hệ ta : 2 2 2 (1) − x + kx + k x =  x (k + k − 2) = ⇔   2 x − 3kx + k x =  x (k − 3k + 2) = (2) Laáy (1) chia cho (2) vế theo vế ta được: k = k2 + 9k -10 = ⇔  k = −10 • Với k = ta có: hệ vô nghiệm • Với k = -10 ta có: x = THCS: TÂN BÌNH 11 11 − 11 ⇒ y =-10 = 22 22 11 23 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG Vậy hệ cho có nghiệm: 11 − 11 ; 22 11 BÀI TẬP : HỆ ĐẲNG CẤP Giải phương trình:  x + 3x y = 1/  (TSL10 ÑHTN HN 03 – 04 )  y + xy = 2 x y − y x = 2/  (TSL10 ÑHTN HN 08 – 09 ) 8 x − y =  x − xy + y = 3/  (TSL10 ÑHNN HN 06 – 07 ) 2 x − xy + = 3 x − xy + y = −3 4/  ( ĐH Kiến trúc 95 ) 9 y + 11xy − x =  x − xy + y = 5/  ( ĐH Kiến trúc 01 ) 2 x − 13xy + 15 y =  x + y + xy = 6/  (TSL10 chuyên - Hải Dương 09 – 10 ) 3 x + xy = C/ KẾT QUẢ: Sáng kiến kinh nghiệm tổng hợp số đề thi : học sinh giỏi tỉnh , thi vào trường chuyên , thường gặp , hệ thốâng lại số dạng cách giải để giúp em dễ hiểu, nhận biết dạng toán hệ phương trình ẩn thường gặp Qua trình dạy học sinh giỏi năm, chưa hệ thống kiến thức, dạng toán giải hệ phương trình ẩn thường gặp Tôi thấy em giải toán hệ phương trình ẩn nâng cao khó khăn em bắt đầu giài từ đâu , dạng toán em giải qua hệ thống lại dạng cho em củng cố tập tương tự , thấy em nắm vững kiến thức tốt cho dạng tương tự em giải dễ dàng ( đạt 85%) Bài toán giải hệ phương trình mảng toán rộng, có nhiều dạng, nhiều cách giải Trong viết này, xin nêu vài dạng thường gặp kì thi học sinh giỏi, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên, Để trình bày tương đối đầy đủ dạng cần nhiều thời gian cần hợp tác thầy cô THCS: TÂN BÌNH 24 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG Tân Bình, ngày 25 tháng năm 2015 Đỗ Việt Hùng THCS: TÂN BÌNH 25 GV: ĐỖ VIỆT HÙNG ... toán giải hệ phương trình ẩn thường gặp T? ?i thấy em giải toán hệ phương trình ẩn nâng cao khó khăn em b? ?t đầu giài t? ?? đâu , dạng toán em giải qua hệ thống lại dạng cho em củng cố t? ??p t? ?ơng t? ??... đổi thay x y; y x phương trình trở thành phương trình ? ?Phương pháp thường vận dụng + Trừ vế hai phương trình hệ đưa phương trình t? ?ch ? ?2 x + xy = 1(1) ♦ Ví Dụ 1: Giải hệ phương trình:  (PTNK... trường chuyên , thường gặp , hệ thốâng lại số dạng cách giải để giúp em dễ hiểu, nhận bi? ?t dạng toán hệ phương trình ẩn thường gặp Qua trình dạy học sinh giỏi năm, chưa hệ thống kiến thức, dạng