Tr1 Trường THCS Tân Bình - Chun đề :” Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN TÂN BÌNH TRƯỜNG THCS TÂN BÌNH CHUN ĐỀ TỐN Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII TỐN GVBM : Cơng Huyền Tơn Nữ Huyền Anh Năm Học : 2014 - 2015 GVthực : Cơng Huyền Tơn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh NH :2014-2015 Tr2 Trường THCS Tân Bình - Chun đề :” Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU Chun đề “ HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO TỐN6 - HỌC KỲ II” ĐẶT VẤN ĐỀ : I Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học, có vai trò quan trọng việc rèn luyện tư sáng tạo học sinh Tốn học giúp có nhìn tổng qt hơn, suy luận chặc chẽ logic Trong chương trình HKII mơn Số học 6, học sinh cung cấp đầy đủ kiến thức phân số “Rút gọn phân số - Qui đồng mẫu số - So sánh phân số - Các phép tính phân số” Qua học sinh vận dụng cơng thức, tính chất, qui tắc để giải tốn liên quan đến tính dãy số phân số, tìm x, y , tốn tìm giá trị phân số số cho trước… Với dạng tốn khó, phức tạp, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức học đồng thời có kỹ tư duy, thơng minh, tính tốn cách nhạy bén Đây dạng tốn thường gặp nhiều đợt thi học sinh giỏi, thi Violympic giải tốn mạng Vì nhóm Tốn Trường THCS Tân Bình chúng tơi mạnh dạn trình bày đề tài “ HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO TỐN - HỌC KỲ II “ II Mục đích phạm vi thời gian thực Mục đích: * Định hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, đưa phương pháp phân tích tốn cách nhanh chóng * Nội dung chun đề góp phần nâng cao kiến thức, tư tốn học, khả phân tích, tính tốn cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lý, phù hợp với bài, đối tượng học sinh – giỏi lớp Phạm vi thời gian thực hiện: - Chun đề thực khoảng thời gian 20 tiết Lồng ghép vào tiết luyện tập phù hợp theo nội dung tiết dạy, tiết tự chọn, tiết bồi dưỡng học sinh giỏi Trong chun đề này, chia thành dạng bài, tiện cho việc tiếp thu hệ thống kiến thức học sinh Đối tượng áp dụng cho tập chun đề: “Học Sinh KHÁ – GIỎI ” III.Phương pháp nghiên cứu: * Vận dụng phương pháp dạy học nhằm tích cực hóa hoạt động học tập học sinh Các phương pháp truyền thống dạy học Tốn trung học Phương pháp dạy học phát giải vấn đề PP dạy học theo quan điểm lý thuyết kiến tạo, lý thuyết tình Phương pháp đọc tài liệu Dạy học hợp tác GVthực : Cơng Huyền Tơn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh NH :2014-2015 Tr3 Trường THCS Tân Bình - Chun đề :” Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG CHUN ĐỀ : PHÂN SỐ A> Kiến thức I) -Tính Chất Cơ Bản Của Phân Số -Qui Đồng Mẫu Số - Rút Gọn Phân Số I.1* Các kiến thức vận dụng: a - Số có dạng với a, b số ngun, b ≠ gọi phân số b a c - Hai phân số gọi a.d = b.c b d - Tính chất: • a a.m = với m ∈ Z m ≠ b b.m • a a:n = với n ∈ ƯC(a,b) b b:n *Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu phân số cho số ước chung khác (1 – 1) chúng để phân số đơn giản • Phân số tối giản phân số khơng thể rút gọn (tử mẫu có ƯC – 1) a phân số tối giản  ƯCLN( a ; b ) = b I.2* Một số tốn minh họa: **Dạng 1: 1.1 Tìm số tự nhiên n để ba phân số sau số ngun 15 12 ; ; n n + 2n − 1.2 Tìm số ngun n cho: n+3 số ngun âm n−2 n+7 b) số ngun 3n − 3n + c) số tự nhiên 4n − Phương pháp giải: a) • Nhắc lại kiến thức: a⋮b => b ước a • Cách tìm ước số ngun a: • Áp dụng qui tắc chuyển vế đổi dấu cơng thức để thực số ngun 2n − * Phương pháp giảng 1.1 Để số ngun 2n – ⋮ 2n − Gỉai Tìm n ∈ N để GVthực : Cơng Huyền Tơn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh NH :2014-2015 Tr4 Trường THCS Tân Bình - Chun đề :” Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII 2n – ước lẻ Ư(6)={1;-1;2;-2;3;-3;6;-6} Chọn ước lẻ Ta lập bảng: 2n – 2n n 1.1 - Để -1 -3 12 số ngun n+2 n = 1;2;4 loại n=3 Để 15 số ngun n = 1; loại n = 2; n Vậy để phân số số ngun n = Khi phân số 15 ; ; -2 1.2 c) * Phương pháp giảng 3n + Để số tự nhiên 4n − ⇒ 3n + ⋮ 4n – ⇒ 4(3n + 2) ⋮ (4n – 5) ⇒ 12n + ⋮ 4n – ⇒ 3(4n – 5) +23 ⋮ 4n – ⇒ 23 ⋮ 4n – Ta tìm n ∈ {1;7} 3n + = -5 khơng số tự nhiên 4n − 3n + Với n = = số tự nhiên 4n − Với n = Vậy n = *Bài tập tự luyện: 1.2) Cho phân số ngun dương n + 3n + 2n + ; ; (n ∈ Z).Tìm giá trị n để phân số có giá trị 1− n + n − 1.3)Tìm số ngun n để n − 2n + HD: Biến đổi: n3 – 2n2 +3=n.n2 – 2n2 + =n2.(n-2) + n−2 nhận giá trị ngun Dùng tính chất chia hết tổng *Dạng 2: Tổng Qt Chứng Minh Là Một Phân Số Tối Giản GVthực : Cơng Huyền Tơn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh NH :2014-2015 Tr5 Trường THCS Tân Bình - Chun đề :” Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII * Các kiến thức vận dụng n Chứng minh phân số phân số tối giản (n ∈ Z; n ≠ 0) n +1 Phương pháp giải: Gọi d ƯC n n+1 ⇒ n + d n  d ⇒ (n + – n) d ⇒ d ⇒ d ∈ Ư(1)= ⇒ ƯCLN(n; n + 1)=1 Vậy phân số n tối giản n +1 2* Bài tập vận dụng: Bài 1: Chứng minh phân số sau tối giản với số ngun n: n +1 2n + n +1 HD: Nếu tử mẫu chia hết cho d d = hay d = - 2n + Vậy d ∈ ƯC(n+1; 2n+3) Ta có: 2n + – 2(n+1)  d  d a)  d= hay d = - n +1 tối giản 2n + 3n + b) (Đề HSG cấp trường 2013-2014) 5n + 3n + HD: Nếu tử mẫu chia hết cho d d = hay d = -1 5n + Vậy d ∈ ƯC(3n+2; 5n+3) Ta có: 5(3n+2) – 3(5n+3) d  d Vậy Vậy d = hay d = -1 Bài 2: Tìm số ngun a biết a+3 = − 2a − Phương pháp giải: Dựa vào tính chất phân số Ta có: a+3 = − 2a − a c = a.d = b.c b d Dùng tính chất phân phối qui tắc chuyển vế ta tìm a  (a+3)(-5) = (7 – 2a).2  -5a -15 = 14 – 4a  -5a + 4a + 14 15  -a = 19 Vậy a = -19 GVthực : Cơng Huyền Tơn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh NH :2014-2015 Tr6 Trường THCS Tân Bình - Chun đề :” Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII Bài 3: Tìm phân số phân số − 188887 , biết tổng tử mẫu phân số 211109 HD: Rút gọn phân số tối giản − 188887 − 17 = 211109 19 Các phân số cần tìm phải có dạng: − 17.k (k ∈ Z; k ≠ 0) 19.k Vì tổng tử mẫu phân số nên -17k + 19k=6 => k = Vậy phân số phải tìm − 17.3 − 51 = 19.3 57 * Một số tập tự luyện: Bài : 1.1 Chứng tỏ 5n + phân số tối giản với n ∈ Z 3n + HD: Cần cm: 5n+3 3n+2 số ngun tố Gọi ƯCLN 5n+3 3n+2 d (d ∈ Z; d ≠ 0)  15n+10 – 15n –  d => d = 15n + 1.2) a) 30n + b) n + 2n n + 3n + 1.3)Tìm tất số ngun n để Bài 2:Tìm phân số biết: 18n + phân số tối giản 21n + BCNN tử mẫu 360 20 4199 b) Phân số phân số hiệu mẫu tử 102 6137 40549 c) Phân số phân số có tổng mẫu tử 1612 82087 a) Phân số phân số Bài 3: Rút gọn phân số sau: 31995 − 81 42660 − 108 3.5.7.13.37 − 10101 b) 1212120 + 40404 27.18.49 c) 14.35.81 34.441 − 34.245 d) 28.119 47.348 + 47.519 e) 867.768 + 867.674 1.2.3 + 2.4.6 + 4.8.12 + 7.14.21 f) 1.3.6 + 2.6.12 + 4.12.24 + 7.21.42 a) GVthực : Cơng Huyền Tơn Nữ Huyền Anh - Võ Thị Ái Huỳnh NH :2014-2015 Bài 4:Chứng minh phân số sau có giá trị số tự nhiên 2003 a) b) 10 2003 + 10 2003 +8 HD: a) Vì 102003 có tổng chữ số = Vậy 102003+2 có tổng chữ số = Nên 102003+2  Vậy phân số có giá trị số tự nhiên b)Tương tự B> Kiến thứcII / 1: SO SÁNH B.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương so sánh tử :tử lớn phân số lớn −11 17 & ? 12 −18 −11 −33 17 −17 −34 = & = = Ta viết : ; 12 36 −18 18 36 Ví dụ : So sánh II/CÁCH 2: Vì −33 −34 −11 17 > ⇒ > 36 36 12 −18 Chú ý :Phải viết phân số mẫu dương Quy đồng tử dương so sánh mẫu có dấu “+” hay dấu “-“: mẫu nhỏ phân số lớn 2 3 > − < −4; > vì7 > −5 −4 5 Ví dụ 2: So sánh & ? 10 10 10 10 Ta có : = & = ; Vì < ⇒ < 25 24 25 24 −3 −6 & ? Ví dụ 3: So sánh −3 −6 6 −3 − = = & = ⇒ > Ta có : ; Vì > −4 −8 −7 −8 −7 Ví dụ : Chú ý : Khi quy đồng tử phân số phải viết tử dương III/CÁCH 3: (Tích chéo với mẫu b d dương ) +Nếu a.d>b.c a c > b d + Nếu a.d ; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên −4 −5 − 4 −5 −4 −5 Chú ý : Phải viết mẫu phân số mẫu dương −4 < 3.5 < -4.(-4) sai −4 chẳng hạn IV/CÁCH 4: Dùng số phân số làm trung gian 1) Dùng số làm trung gian: a) Nếu a > 1&1 > c ⇒ a > c b d b d a c b) Nếu − M = 1; − N = mà M > N a > c b d b d • M,N phần thừa so với phân số cho • Phân số có phần thừa lớn phân số lớn c) Nếu a + M = 1; c + N = mà M > N a < c b d b d • M,N phần thiếu hay phần bù đến đơn vò phân số • Phân số có phần bù lớn phân số nhỏ  Bài tập áp dụng : 19 2005 & ? 18 2004 19 2005 1 19 2005 − = ; Vì > ⇒ > Ta có : − = 1& 18 18 2004 2004 18 2004 18 2004 72 98 & ? Bài tập 2: So sánh 73 99 72 98 1 72 98 + = 1& + =1; Vì > ⇒ < Ta có : 73 73 99 99 73 99 73 99 19 19 19 Bài tập : So sánh & ? Ta có < < ⇒ < 17 17 17 Bài tập 1: So sánh 2) Dùng phân số làm trung gian: (Phân số có tử tử phân số thứ , có mẫu mẫu phân số thứ hai) 18 15 18 & ta xét phân số trung gian 31 37 37 18 18 18 15 18 15 > & > ⇒ > Vì 31 37 37 37 31 37 Ví dụ : Để so sánh *Nhận xét : Trong hai phân số , phân số vừa có tử lớn , vừa có mẫu nhỏ phân số lớn (điều kiện tử mẫu dương ) *Tính bắc cầu : a c c m a m > & > > b d d n b n  Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 72 58 & ? 73 99 72 72 72 72 58 72 58 > & > ⇒ > , ta thấy 99 73 99 99 99 73 99 58 72 58 58 58 72 58 > & > ⇒ > -Hoặc xét số trung gian , ta thấy 73 73 73 73 99 73 99 n n +1 & ; (n ∈ N * ) Bài tập 2: So sánh n+3 n+2 n Dùng phân số trung gian n+2 n n n n +1 n n +1 < & < ⇒ < ;( n ∈ N * ) Ta có : n+3 n+2 n+2 n+2 n+3 n+2 -Xét phân số trung gian Bài tập 3: (Tự giải) So sánh phân số sau: a) 12 & 13 ? e) 456 & 123 ? 49 47 b) 64 & 73 ? 85 81 c) 19 & 17 ? 31 35 d) 67 & 73 ? 77 83 461 128 f) 2003.2004 − & 2004.2005 − ? 2003.2004 2004.2005 g) 149 & 449 ? 157 457 h) 1999.2000 & 2000.2001 ? 1999.2000 + 2000.2001 + (Hướng dẫn : Từ câu a → c :Xét phân số trung gian Từ câu d → h :Xét phần bù đến đơn vò ) 3)Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian Ví dụ : So sánh 12 19 & ? 47 77 Ta thấy hai phân số cho xấp xỉ với phân số trung gian Ta có : 12 12 19 19 12 19 > = & < = ⇒ > 47 48 77 76 47 77  Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : 11 16 58 36 12 19 18 26 & ; b) & ; c ) & ; d ) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 e) & ;f) & ; h) & 79 204 103 295 63 55 V/ CÁCH 5: a) Dùng tính chất sau với m ≠ : a a a+m * 1⇒ > b b b+m a a a+m * =1⇒ = b b b+m a c a+c * = = b d b+d 1011 − 1010 + Bài tập 1: So sánh A = 12 & B = 11 ? 10 − 10 + 11 1011 − (1011 − 1) + 11 1011 + 10 1010 + 10 − = = =B Ta có : A = 12 < (vì tử < mẫu) ⇒ A = 12 < 12 10 − (10 − 1) + 11 1012 + 10 1011 + 10 − Vậy A < B 2004 2005 2004 + 2005 + &N = ? 2005 2006 2005 + 2006 2004 2004  > 2005 2005 + 2006   Cộng theo vế ta có kết M > N Ta có : 2005 2005  > 2006 2005 + 2006  37 3737 & Bài tập 3:So sánh ? 39 3939 37 3700 3700 + 37 3737 a c a+c = = = ) Giải: (áp dụng = = 39 3900 3900 + 39 3939 b d b+d Bài tập 2: So sánh M = VI/CÁCH 6: Đổi phân số lớn đơn vò hỗn số để so sánh : +Hỗn số có phần nguyên lớn hỗn số lớn +Nếu phần nguyên xét so sánh phân số kèm theo 134 55 77 116 ; ; ; theo thứ tự tăng dần 43 21 19 37 13 Giải: đổi hỗn số : ; ; ;3 43 21 19 37 13 5 55 134 116 77 < < < Ta thấy: < < < nên 21 43 37 19 21 43 37 19 108 + 108 Bài tập 2: So sánh A = & B = ? 10 − 10 − 3 3 ⇒ A< B Giải: A = & B = mà < 10 − 10 − 10 − 10 − 47 17 27 37 ; ; ; Bài tập 3: Sắp xếp phân số theo thứ tự tăng dần 223 98 148 183 223 98 148 183 35 13 13 35 ; ; ; Giải: Xét phân số nghòch đảo: , đổi hỗn số : ;5 ;5 ; 47 17 27 37 47 17 27 37 13 13 35 35 17 27 37 47 a c b d ⇒ < < < (vì < ⇒ > ) Ta thấy: > > > 17 27 37 47 98 148 183 223 b d a c 3535.232323 3535 2323 ;B = ;C = Bài tập 4: So sánh phân số : A = ? 353535.2323 3534 2322 Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C hỗn số ⇒ A x +1= 2005 hay x = 2004 * Khai thác tập: 1 1998 + + = 10 x( x + 1) 2000 b) + + Hướng dẫn cách tìm lời giải : b ) Trước hết ta xét phân số x( x + 1) ta nhận thấy phân số có tử 2, có mẫu tích số liên tiếp, nên viết :  1 =  − ÷ x( x + 1)  x x +1  Vấn đề đặt ta biến đơit phân số : 1 ; ; ; dạng phân số có tử 10 mẫu tích số tự nhiên liên tiếp khơng? Để có tử cho phân số trên, ta cần áp dụng tính chất phân số, cụ thể : 1.2 1.2 1.2 = = ; = = ; = = 2.3 2.3 6.2 3.4 10 10.2 4.5 Như vế trái đẳng thức gồm phân số có dạng tử mẫu tích số tự nhiên liên tiếp Cần tính tổng phân số vế trái để đưa tốn dạng tìm x đơn giản mà ta biết *) Cách giải : Tìm x, 1 1998 Biết : + + 10 + + x( x + 1) = 2000 Ta viết đẳng thức cho sau : 2 2 1998 + + + + = 2.3 3.4 4.5 x( x + 1) 2000  1 1  1998  + + + + = x( x + 1)  2000  2.3 3.4 4.5 1  1998 1 1 1  − − + − + + − = x x +  2000 2 4  1998 1  − ÷=  x +  2000 1 1998 − = :2 x + 2000 1 999 − = x + 2000 1 999 = − x + 2000 1000 − 999 = = x +1 2000 2000 Ta có hai phân số với tử mẫu phải nhau, tức : x+1 = 2000 => x = 1999 1 1 101 *Bài tập tương tự : Bài : Tìm x biết : 5.8 + 8.11 + 11.14 + + x( x + 3) = 1540 *) Hướng dẫn tìm lời giải : Ta thấy bên trái đẳng thức phân số có tử số mẫu số tích số đơn vị Ta xét : 1 11 1 − = ⇒  − ÷= 5.8   5.8 1 11  − = ⇒  − ÷= 11 8.11  11  8.11 1 1 1  − = ⇒  − ÷= 11 14 11.14  11 14  11.14 1 11  − = ⇒  − ÷= x x + x( x + 3)  x x +  x.( x + 3) Từ ta có cách giải tốn : Bài Tìm số tự nhiên x, biết: + + + +…+ = (**) • * Hướng dẫn tìm cách giải Ta có: + + + + …+ = + + + +…+ = + + + +…+ = 2.( + + + + … + ) = 2.( - + - + - + - +… + - ) = 2.( - ) Vậy (**) 2( - ) = => - = :2 = => = - = => x+1 = 4010 hay x = 4010 – = 4009 Để ý rằng, tất tốn giải sử dụng đẳng thức Đó “chìa khố ” quan trọng giúp ta khơng gặp khó khăn tính giá trị biểu thức, chứng minh, hay tìm thừa số x đẳng thức Bài 3: Tìm x biết : 1 1 101 + + + + = 5.8 8.11 11.14 x( x + 3) 1540 *) Hướng dẫn tìm lời giải : Ta thấy bên trái đẳng thức phân số có tử số mẫu số tích số đơn vị Ta xét : 1 11 1 − = ⇒  − ÷= 5.8   5.8 1 11  − = ⇒  − ÷= 11 8.11  11  8.11 1 1 1  − = ⇒  − ÷= 11 14 11.14  11 14  11.14 1 1 1  − = ⇒  − ÷= x x + x ( x + 3)  x x +  x.( x + 3) Từ ta có cách giải tốn : Bài : Chứng minh : 1 1 + + + + ; ; > 20 50 21 50 22 50 49 50 => S > 30 Lại có : => S > 50 5 5 5 5 = ; < ; < ; ; < 20 20 21 20 22 20 49 20 (1) => S < 30 150 = => S < 20 20 (2) Từ (1) (2) => < S < Bài 6( hs tự giải ): Cho S = 1 1 1 + + + + + Hãy so sánh S với 51 52 53 99 100 Ví dư : : a) Tính giá trị biểu thức:  555 4444 33333 11 13  B=  + + + + ÷  222 12221 244442 330 60  • Hướng dẫn tìm cách giải  555 4444 33333 11 13  B=  + + + + ÷  222 12221 244442 330 60  15 13  B=  + + + + ÷  11 22 30 60  1 13  B=  + + + + ÷  2.1 1.11 11.2 2.15 15.4  13   B= + + + + ÷  2.7 7.11 11.14 14.15 15.28  1 1 1 1 1 B= − + − + − + − + − 7 11 11 14 14 15 15 28 1 13 Vậy B = − = 28 28 92 1 1 E ;F = + + + ×××+ Ví dụ : Cho E = 92 − − − − ×××− Tính 10 11 100 45 50 55 500 F • Hướng dẫn tìm cách giải 92 E = 92 − − − − ×××− 10 11 100 Số số hạng A là: 1+(92-1+1)=93(số hạng) a) Cho E = 92 − − − − ×××− 92 ; F = + + + ×××+ Tính E 10 11 100 45 50 55 92 E = (1 − ) + (1 − ) + (1 − ) + ×××+ (1 − ) ( Có 92 nhóm) 10 11 100 8 8 E = + + + ×××+ 10 11 100 1 1 E = 8( + + + ×××+ ) 10 11 100 1 1 Mà F = ( + + + ×××+ ) 10 11 100 E => =8: =40 F • Ví dụ : Tính giá trị biểu thức 500 F 12 12 12 5   12 − − 289 − 85 + 13 + 169 + 91  158158158 : B = 81  4 6  711711711  4− −  − 6+ + + 289 85 13 169 91   *Hướng dẫn tìm cách giải 12 12 12 5   12 − − 289 − 85 + 13 + 169 + 91  158158158 : Ta có: B = 81  4 6 6  4− − − 6+ + +  711711711 289 85 13 169 91     1   1  12 1 − − 289 − 85 ÷ 1 + 13 + 169 + 91 ÷ 158.1001001 :   = 81     − − −  1 + + +   711.1001001  ÷   289 85 ÷   13 169 91   18 324  12  158 = 81  : ÷ = 81 = = 64,8   711 MỘT SỐ BÀI TẬP CHO TIẾT THAO GIẢNG DẠY MINH HỌA CHUN ĐỀ “THEO HƯỚNG NGHIÊN CỨU ĐỔI MỚI CHUN MƠN” 1) Tính tổng Tính 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 16 14 7 + + + + M= 15.31 31.45 45.52 52.65 13.70 B= H= 2)Tính nhanh 1  1      − 1÷ 1) Tính B =  − 1÷  − 1÷  − 1÷       16   400     2011   A = 1 − ÷ 1 − ÷ 1 − ÷  2010   2010   2010        A = 1 − ÷ 1 − ÷ 1 − ÷ 1 − ÷  1991   1992   1993   1999  2) Tính 3 1 × + × − ÷ 11 13  13 11 13  5 5 5+ − + − 2011.2013 − 2012 B= × 13 1001 11 8 8 + 2013.2010 + − − +8 1001 13 11 ) Tính nhanh nhất: A= ) Tính giá trị biểu thức: M= 20 20 20 20 + + + 112 280 520 832 35 39 30 + − + 12 ×17 17 ×18 18 ×21 21 ×72  555 4444 33333 11 13  B=  + + + + ÷  222 12221 244442 330 60  So sánh 4) 1 1 + + + + So sánh A với 28 70 130 208 12 2011 2012 2013 + + Bài : So sánh : C = với 2012 2013 2011 1 1 Bài : So sánh M = + + + ×××+ 31 32 33 60 Cho A = Bài : PHẦN THỨ BA ; Một số đề thi Học sinh giỏi Học kỳ năm học ( ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN Năm học 2013 – 2014 )  7777 77 77  123498766 7777 A =  8585 − 85 + 16362 − 162 ÷ 987661234   * Hướng dẫn tìm cách giải A ) Tính Ta có  75 7777 7777 :101 77 = = 8585 8585 :101 85 7777 7777 :101 77 = = 16362 16362 :101 162 75 77 77  123498766 A =  85 − 85 + 162 − 162 ÷ 987661234   Vậy A = ( + 0) 123498766 = 987661234 *B ) Cho biết S = 1 1 91 + + + Chứng minh < S < 101 102 130 330 • Chứng minh S < 91 330  1   1   1   1   1   1  S =  101 + 102 + + 110 ÷+  111 + 120 ÷+  121 + 130 ÷       S <  100 + 100 + + 100 ÷+  110 + 110 ÷+  120 + 120 ÷       S< 1 1 1 ×10 + ×10 + ×10 = + + 100 110 120 10 11 12 S< 66 + 60 + 55 660 S< 181 182 91 < hay S < 660 660 330  ÷+  ÷+  ÷ 110   120 120   130 130   110 S > 1 1 1 ×10 + ×10 + ×10 = + + 110 120 130 11 12 13 S > 156 + 143 + 132 1716 S > 431 429 > Hay S > 1716 1716 Từ (1) (2) ta có 91 < S < 330 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013-2014 Bài : Thực phép tính: 12 12 12 3 − − 3+ + + 289 85 : 13 169 91 a) 12 12 12 7 4− − − 7+ + + 289 85 13 169 91 12 − *Cách giải 12 12 12 3 12  − − −   + + +  − − 3+ + +  ÷  ÷  289 85  :  13 169 91  289 85 : 13 169 91 12 12 12 7 = 1 1  1 1 4− − − 7+ + + 4 − − − ÷ 7 + + + ÷ 289 85 13 169 91  289 85   13 169 91  13 13 91 = : = = 12 12 − B biết: A 1 1 A= + + + + + 1.2 2.3 n ( n + 1) 2008.2009 b ) Tính B= 1 1 + + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) 2008.2009.2010 Hướng dẫn tìm cách giải 1 1 Ta có n ( n + 1) = n − n + n ( n + 1) ( n + ) = n ( n + 1) − ( n + 1) ( n + ) Nên: A= 1 1 2008 + + + + + = 1− = 1.2 2.3 n ( n + 1) 2008.2009 2009 2009 2B = 2 2 1 2019044 + + + + + + = − = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) 2008.2009.2010 1.2 2009.2010 2009.2010 2019044 1009522 ⇒B= = 2009.2010 2009.2010 B 1009522 2008 1009522.2009 5047611 1011531 : = = =2 Do = A 2009.2010 2009 2008.2009.2010 2018040 2018040 Bài 2: (ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 – 2011 ) 2010 2010 1003 1007 + − − 113 117 119 119 Bài : Thực phép tính A = 2011 2011 1003 1008 1003 + 1008 + + − − 113 117 119 119 1003 + 1007 + cách giải : 2010 2010 2010 2010 ×1 + + −  + −  ÷  113 117 119  = 2010 113 117 119 = A= 2011 2011 2011 1  2011  2011 + + − 2011 ×1 + + − ÷ 113 117 119  113 117 119  2010 + Bài 3: (ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011 – 2012 ) Bài Thực phép tính sau: 15 15 15 + + ×16 16 ×26 26 ×36 A = 633 63 93 − + ×16 16 ×26 26 ×36 cách giải : 15 15 15 5 + + + + ×16 16 ×26 26 ×36 = ×16 16 ×26 26 ×36 A = 33 63 93 11 21 31 − + − + ×16 16 ×26 26 ×36 ×16 16 ×26 26 ×36 10 10 10 + + ×16 16 ×26 26 ×36 = 22 42 62 − + ×16 16 ×26 26 ×36 1 1 1 1 − + − + − − − 16 16 26 26 36 36 36 36 36 = 1 1 1 =1 = = =7 + − − + + + + 16 16 26 26 36 36 36 36 36 * CÁC DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1.1, Cho biểu thức: A= −5 n−2 a, Tìm số ngun n để biểu thức A phân số b, Tìm số ngun n để biểu thức A số ngun 1.2, Cho biểu thức B = −7 n−2 a, Tìm n ngun để B phân số b, Tìm n ngun đẻ B số ngun 1.3 ) Chứng minh: 12n + (n ∈ Z) tối giản 30n + Bài 2: So sánh biểu thức A B biết: a / A = 19 23 29 + + 41 53 61 B= 12 23 + 1411 1412 1920 + c / A = 20 19 - 1002009 +1 d / A = 1002008 +1 50 + 51 + 52 + + 59 e / A = + 51 + 52 + + 58 21 23 33 + + 41 49 65 12 23 + 1412 1411 1921 + B = 21 19 - 1002010 +1 B= 1002009 +1 30 + 31 + 32 + + 39 B= + 31 + 32 + + 38 b / A = B= 2 2 + + + + 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 + + + + B = 40.44 44.48 76.80 2003 h/ ) A = Bài 3: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + < a) + + + + 31 35 37 47 53 61 1 1 1 < b) < + + + 6 100 1 1 1 < c) < - + - + + 5 98 99 1 99 < < d) 15 100 10 3 3 * g )Cho S = 1.4 + 4.7 + 7.10 +  + n(n + 3) n ∈ N Chứng minh: S < 2 100 101 Bai : Cho biểu thức D = + 32 + 33 + ×××××+ 3100 + 3101 Chứng minh rằng: D < HD 3D = + 100 101 + + ×××××+ 99 + 100 3 3 1 1 101 3D − D = + + + ×××××+ 99 + 100 − 101 3 3 1 1 D < + + + ×××××+ 99 + 100 3 3 1 1 Đặt D ' = + + ×××××+ 99 + 100 3 3 1 3D ' = + + ×××××+ 98 + 99 3 1 D ' = − 100 < ⇒ D ' < 2D < + D ' ⇒ 2D < + Bài ⇒D< + 14 27 + 21.36 5.1) Rút gọn A = 21.27 + 42.81 + 63.108 5.2)Tính cách hợp lí giá trị biểu thức sau: 2006 2006 2006 2006 + + + + 2007 C= 2006 2005 2004 + + + + 2006 5.3) Tính nhanh 2004 2004 + 3006 B = 2005 2005 − 1003 5.4) Tính: 101 + 100 + 99 + 98 + + + + 101 − 100 + 99 − 98 + + − + 423134 846267 − 423133 B= 423133 846267 + 423134 2.4 + 2.4.8 + 4.8.16 + 8.16.32 C= 3.4 + 2.6.8 + 4.12.16 + 8.24.32 A= 5 5 5− + − + 1003.2005 − 1002 11 17 2004 5.5 ) Tính nhanh: A = 13 13 13 13 1003 + 2005.1002 − + − + 13 2004 17 11 2 4 + − 4− + − 19 43 2004 : 29 41 2005 Rút gọn: A = 3 5 3− + − 5− + − 19 43 2005 29 41 401 1 1 1 + + a) Tính A = + + + 10 40 88 154 238 340 2− 5.6) 5.7 ) Phần thứ tư : KẾT LUẬN Qua suốt thời gian vận dụng phương pháp tích cực hóa học tập tiết luyện tập, ơn tập tơi thấy việc dạy học theo hướng khai thác tập đạt kết học sinh giỏi tích cực học tập tự tìm tòi cách giải tập độc đáo Đây số tập nâng cao có tính chất mở rộng sử dụng kết tập tổng qt Trong q trình thực tơi thấy phát huy tính sáng tạo học sinh, tạo hứng thú q trình giải tốn Học sinh biết tư duy, sáng tạo giải tốn, có nhiều cách giải độc đáo Từ tập tổng qt biết khai thác nhiều tập nâng caovà có phương pháp giải Xin thay lời kết lời nhà giáo quen thuộc Vũ Hữu Bình:“Khơng dừng lại tốn giải Hãy tìm thêm kết thu sau tốn tưởng chừng đơn giản, tinh thần để tiến cơng học tốn, phẩm chất mà người làm tốn cần phải rèn luyện” Trên nội dung mà nhóm tốn tơi đúc kết đưa mong quan tâm hỗ trợ ban giám khảo đồng nghiệp để đề tài tơi hồn thiện Rất chân thành cảm ơn Tân Bình , Ngày 02 tháng năm 2015 Người thực Cơng Huyền Tơn Nữ Huyền Anh Võ Thị Ái Huỳnh PHẦN ĐĨNG GĨP Ý KIẾN VÀ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG TÀI LIỆU THAM KHẢO Bồi dưỡng học sinh khiếu Tốn PGS.PTS Phan Văn Đức NXB Đồng Nai Tìm chìa khóa vàng giải tốn hay Lớp Nhà giáo nhân dân: Lê Hải Châu.NXB đại học Quốc Gia Hà Nội Ơn luyện theo chuẩn KTKN Tốn (T2) Nhà xuất GD Việt Nam Các chủ đề nâng cao Tốn Nhà xuất GD Đổi phương pháp dạy học THCS (phần tốn học) PGS PTS Phan Phương Tra [...]... Qua suốt thời gian vận dụng phương pháp tích cực hóa trong học tập của những tiết luyện tập, ơn tập tơi thấy việc dạy học theo hướng khai thác bài tập đạt kết quả học sinh khá giỏi tích cực trong học tập hơn và tự mình tìm tòi cách giải bài tập độc đáo hơn Đây là một số bài tập nâng cao có tính chất mở rộng và sử dụng kết quả của một bài tập tổng qt Trong q trình thực hiện tơi thấy phát huy được tính... (1) là chìa khóa để giải câu b của bài tốn Nếu kết hợp 2 tổng A và B ta sẽ có được một dãy cộng tổng qt hơn Trở lại bài tập1 : Bây giờ ta lại xét bài tốn theo nội dung khác, chẳng hạn: Ví dụ 4 : Tính nhanh tổng sau: P= + + + +… + * Tìm hiểu bài tốn: Khác với các bài tốn ở trên, bài tốn 7 là tính nhanh tổng các phân số có tử bằng 1, còn mẫu của mỗi phân số trong tổng đều bằng 2 và có số mũ khác nhau (Từ... b + d C 2 HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI -DẠNG 1 :* Phương pháp tính tổng ( Hiệu ) : Loại tốn tìm tổng của một dãy số , trong đó thường có 3 phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng qt Để làm dạng tốn này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng qt để tìm ra cách viết phân số rồi dần dần tìm ra cách giải Để... giải tốn Học sinh biết tư duy, sáng tạo trong giải tốn, có nhiều cách giải độc đáo hơn Từ bài tập tổng qt biết khai thác nhiều bài tập nâng caovà có phương pháp giải Xin được thay lời kết bằng lời của một nhà giáo khá quen thuộc đối với chúng ta Vũ Hữu Bình:“Khơng dừng lại ở một bài tốn đã giải Hãy tìm thêm các kết quả thu được sau mỗi bài tốn tưởng chừng như đơn giản, đó là tinh thần để tiến cơng... này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng Nội dung của bài tốn như sau: 1 Ví dụ 1 : Tính tổng sau S= 1 1 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 100.101 • Hướng dẫn cách tìm lời giải : Bài tốn này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; 100.101 Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Cách giải bài tốn này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành... 123123123=123.1001001 ;… 17 1717 & ? Bài tập 6: So sánh 19 1919 a c a+c 17 1700 ; chú ý : = Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng = = b d b+d 19 1900 +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101… Bài tập 7: Cho a,m,n ∈ N* Hãy so sánh : A =  10 9  1  10 9  10 10 11 9 + n &B= m + n ? m a a a a 1 Giải: A =  m + n ÷+ n & B =  m + n ÷+ m a  a a  a a a Muốn so sánh A & B ,ta so sánh 1 1 bằng cách xét các trường hợp sau: n & a... − − + + + + 6 16 16 26 26 36 6 36 36 36 36 * CÁC DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1 1.1, Cho biểu thức: A= −5 n−2 a, Tìm các số ngun n để biểu thức A là phân số b, Tìm các số ngun n để biểu thức A là số ngun 1.2, Cho biểu thức B = −7 n−2 a, Tìm n ngun để B là phân số b, Tìm n ngun đẻ B là số ngun 1.3 ) Chứng minh: 12n + 1 (n ∈ Z) tối giản 30n + 2 Bài 2: So sánh các biểu thức A và B biết: 2 a / A = 19 23 29... với 4 28 70 130 208 12 2011 2012 2013 + + Bài 2 : So sánh : C = với 3 2012 2013 2011 1 1 1 1 4 Bài 3 : So sánh M = + + + ×××+ và 31 32 33 60 5 Cho A = Bài 1 : PHẦN THỨ BA ; Một số đề thi Học sinh giỏi và Học kỳ các năm học ( ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN 6 Năm học 2013 – 2014 )  7777 77 77  123498766 7777 A =  8585 − 85 + 16362 − 162 ÷ 987661234   * Hướng dẫn tìm cách giải A ) Tính Ta có  75 7777 7777... chắn sẽ gặp khó khăn Mặt khác (1) sẽ là một cơng thức mà các em còn gặp nhiều ở lớp 7,8,9…) * Khai thác bài tập: Bài tốn có 2 câu, ở câu a ta đã chứng minh được = - (1), nhờ có (1) mà việc tính 2 tổng A và B một cách nhanh chóng bằng cách biến đổi phân số trong dãy thành hiệu của 2 phân số, ta đã biến dãy cộng thành dãy trừ và cộng để ước lược các số hạng đối nhau Chẳng hạn - và + ; - và + ; … Như vậy,... Rút gọn M = 21.27 + 42.81 + 63.108 = 21.27.(1 + 2.3 + 3.4) & N = 333 : 37 = 9 Bài tập 9: So sánh M = Vậy M = N 1 x y 1 < < < ? 18 12 9 4 2 3x 4 y 9 ⇒ 2 < 3x < 4y < 9 < < < Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 36 36 36 36 Bài tập 10: Tìm các số nguyên x,y biết: Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2 7 6 5 3  1   1  3  5  Bài tập 11: So sánh a ) A =  ÷ & B =  ÷ ; b)C =  ÷ & D =  ÷  80   243  8 ... Trường THCS Tân Bình - Chun đề :” Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU Chun đề “ HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO TỐN6 - HỌC KỲ II” ĐẶT VẤN ĐỀ : I Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa... tích cực hóa học tập tiết luyện tập, ơn tập tơi thấy việc dạy học theo hướng khai thác tập đạt kết học sinh giỏi tích cực học tập tự tìm tòi cách giải tập độc đáo Đây số tập nâng cao có tính chất... Tân Bình - Chun đề :” Hệ thống tập nâng cao tốn 6–HKII Bài 3: Tìm phân số phân số − 188887 , biết tổng tử mẫu phân số 211109 HD: Rút gọn phân số tối giản − 188887 − 17 = 211109 19 Các phân số cần