BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Năm 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRỊNH CÔNG DIỆU Năm 2011 Mở đầu Nhiều vấn đề thực tế sống lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh tế… dẫn đến việc giải toán tối ưu hóa Trong số mô hình tối ưu hóa hệ tuyến tính liên tục trường hợp có kết tương đối trọn vẹn Tình hình tương tự xảy hệ tuyến tính rời rạc, trường hợp mà tất số biến nhận giá trị nguyên Tuy nhiên thuật toán giải hệ tuyến tính rời rạc áp dụng cho mô hình có tập phương án bị chặn, sở lý luận cho trường hợp không bị chặn chưa có kết Việc hoàn chỉnh sở lý luận cho thuật toán giải quy hoạch nguyên việc làm cần thiết Luận văn góp phần làm điều Luận văn chia làm chương: Chương 1: Cấu trúc tập ràng buộc toán quy hoạch tuyến tính Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên Chương 3: Thuật toán cắt Gomory giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên Chương 4: Thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên Luận văn trình bày chi tiết số kết quy hoạch tuyến tính nguyên Việc nghiên cứu quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính có thêm số kết (không có tài liệu, giáo trình quy hoạch tuyến tính nguyên lưu hành) sau: + Mối liên hệ tính có nghiệm toán quy hoạch tuyến tính nguyên toán quy hoạch tuyến tính (không có điều kiện nguyên) tương ứng (định lý 2.4,2.5) + Mở rộng điều kiện sử dụng phương pháp nhánh cận (định lý 4.6), cho phép thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên áp dụng cho lớp toán rộng kết có Trong luận văn xem kết đóng góp tác giả cho việc khảo sát toán quy hoạch tuyến tính nguyên Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trịnh Công Diệu, Thầy tận tình hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình học tập thực luận văn Mục lục Mở đầu Mục lục Chương 1: CẤU TRÚC TẬP RÀNG BUỘC CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Tập lồi, tập affine tập nón 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Tập affine 1.1.3 Tập nón 1.2 Tập lồi đa diện 1.2.1 Điểm phương cực biên tập lồi, đóng 1.2.2 Tập lồi đa diện Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN 20 2.1 Khái niệm toán quy hoạch tuyến tính nguyên 20 2.2 Mối liên hệ dạng chuẩn tắc tắc toán quy hoạch tuyến tính nguyên 20 2.3 Mối liên hệ tính có nghiệm toán quy hoạch tuyến tính nguyên toán quy hoạch tuyến tính tương ứng 22 Chương 3: THUẬT TOÁN CẮT GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN 25 3.1 Bảng đơn hình 25 3.1.1 Khái niệm 25 3.1.2 Phép biến đổi bảng đơn hình 26 3.2 So sánh theo nghĩa từ vựng 27 3.2.1 Các khái niệm .27 3.2.2 Các tính chất 27 3.2.3 Tối ưu theo nghĩa từ vựng 28 3.3 Bảng đơn hình l-chuẩn 29 3.4 Thuật toán đơn hình đối ngẫu từ vựng tìm phương án tối ưu từ vựng 30 3.5 Thuật toán cắt Gomory 41 3.5.1 Điều kiện để sử dụng thuật toán Gomory 41 3.5.2 Thuật toán cắt Gomory 42 3.5.3 Cơ sở lí luận thuật toán 43 3.5.4 Ví dụ .48 Chương 4: THUẬT TOÁN NHÁNH CẬNGIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN 52 4.1 Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải toán quy hoạch tuyến tính 52 4.2 Kỹ thuật tái tối ưu hóa 53 4.3 Thuật toán nhánh cận 54 4.3.1 Điều kiện để sử dụng thuật toán nhánh cận .54 4.3.2 Thuật toán nhánh cận .54 4.3.3 Cơ sở lí luận thuật toán 56 4.3.4 Ví dụ .61 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 Chương 1: CẤU TRÚC TẬP RÀNG BUỘC CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Tập lồi, tập affine tập nón 1.1.1 Tập lồi + Đoạn thẳng: Tập hợp {λ x + (1 − λ ) y : λ ∈ [ 0;1]} với x, y ∈  n gọi đoạn thẳng nối x y ký hiệu [ x; y ] Nhận xét: [ x; y ] = [ y; x ] + Tập lồi: A ⊂  n gọi tập lồi x, y ∈ A ⇒ [ x; y ] ∈ A Ví dụ: ∅,  n tập lồi + Bao lồi: Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi A Kí hiệu bao lồi A convA Nhận xét: - Bao lồi A tập lồi nhỏ (theo nghĩa bao hàm) chứa A  k   i =1  - conv { x1 , x2 , , xk= } λ1 x1 + λ2 x2 + + λk xk : ∑ λ=i 1, λi ≥ 0∀=i 1, k  1.1.2 Tập affine + Đường thẳng: Tập hợp {λ x + (1 − λ ) y : λ ∈ } với x, y ∈  n gọi đường thẳng qua x y + Tập affine: - A ⊂  n gọi tập affine x, y ∈ A đường thẳng qua x, y nằm A Định lý 1.1: [4, tr.7-8] Nếu A tập affine a ∈ A tập L = { y : ∃x ∈ A, y = x − a} không gian  n đồng thời L A không phụ thuộc vào a Ta viết A= a + L - Số chiều tập affine: Số chiều tập affine A số chiều không gian L gắn với A , tức A= a + L Kí hiệu số chiều A dim A - Bao affine: Giao tất tập affine chứa A gọi bao affine A Kí hiệu bao affine A affA Nhận xét: Bao affine A tập affine nhỏ (theo nghĩa bao hàm) chứa A + Số chiều tập bất kỳ: Số chiều tập A ⊂  n số chiều bao affine A 1.1.3 Tập nón + Tập nón: A ⊂  n gọi là tập nón x ∈ A ⇒ λ x ∈ A, ∀λ > + Tập nón hữu hạn sinh: - Tập hợp {λ1 x1 + λ2 x2 + + λk xk : λi ≥ 0, ∀i ∈1, k} với xi ∈  n gọi nón sinh { x1 , x2 , , xk } , ký hiệu cone { x1 , x2 , , xk } - Tổ hợp tuyến tính λ1 x1 + λ2 x2 + + λk xk với λi ≥ 0, ∀i ∈1, k gọi tổ hợp nón x1 , x2 , , xk Nhận xét: Tập nón hữu hạn sinh tập nón tập lồi 1.2 Tập lồi đa diện 1.2.1 Điểm phương cực biên tập lồi, đóng Cho A tập lồi đóng 1.2.1.1 Điểm cực biên tập lồi, đóng + x ∈ A gọi điểm cực biên A không tồn y, z ∈ A, y ≠ z cho x ∈ [ y; z ] \ { y, z} ,tức không tồn y, z ∈ A, y ≠ z λ ∈ ( 0;1) cho x = λ y + (1 − λ ) z + Tập hợp điểm cực biên A kí hiệu extA 1.2.1.2 Phương vô tận tập lồi, đóng u ∈  n gọi phương vô tận A u ≠ x + λu ∈ A, ∀x ∈ A, λ > Nhận xét: Nếu u phương vô tận λu phương vô tận A với λ > Như tập hợp phương vô tận A tập nón Vì ta thường gọi tập phương vô tận A nón phương vô tận A Định lý 1.2: Một tập lồi đóng không bị chặn có phương vô tận Chứng minh: Xét A ⊂  n tập lồi đóng không bị chặn Vì A không bị chặn nên tồn dãy {ak } ⊂ A cho compact {x ∈  n lim ak = +∞ Xét dãy {bk } xác định bk = k →∞ ak Dãy {bk } nằm tập ak : x = 1} nên chứa dãy hội tụ Không giảm tổng quát, ta xem lim bk = u Ta chứng minh u phương vô tận A k →∞ Đầu tiên, ta thấy u ≠ ( u = 1) lim bk = u bk = 1, ∀k k →∞ Xét x ∈ A λ > cho trước Do lim ak = +∞ nên với k đủ lớn ta có < k →∞ λ ak < Do A lồi nên ta có  λ  λ ak ∈ A 1 −  x + ak  ak   λ  λ Mặt khác, ta có lim 1 − ak = x + λu A đóng nên x + λu ∈ A  x + k →∞ ak  ak  Vậy u phương vô tận A 1.2.2.2 Phương cực biên tập lồi, đóng + u ∈  n gọi phương cực biên A u phương vô tận A không tồn phương vô tận độc lập tuyến tính v, w A α , β > cho = u αv + β w Nhận xét: Vì u phương vô tận A λu phương vô tận A với λ > nên ta định nghĩa phương cực biên tập lồi, đóng sau: + u ∈  n gọi phương cực biên A u phương vô tận A không tồn phương vô tận độc lập tuyến tính v, w A cho u= v + w 1.2.2 Tập lồi đa diện 1.2.2.1 Khái niệm tập lồi đa diện + Tích vô hướng  n : Tích vô hướng véc tơ x, y ∈  n số thực x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn , với x = x1 , x2 , , xn ) , y ( y1 , y2 , , yn ) (= + Siêu phẳng: Tập hợp quy dạng { x ∈  n : a, x = b} ( a ≠ 0, b ∈  ) gọi siêu phẳng  n Nhận xét: Siêu phẳng tập affine + Nửa không gian đóng : Tập hợp quy dạng { x ∈  n : a, x ≤ b} ( a ≠ 0, b ∈  ) gọi nửa không gian đóng  n Nhận xét: Nửa không gian đóng tập lồi đóng + Tập lồi đa diện: D ⊂  n gọi tập lồi đa diện D giao hữu hạn nửa không gian đóng Nhận xét: Tập lồi đa diện tập lồi đóng m Cho D ⊂  n tập lồi đa diện D =  H i H i nửa không gian đóng i =1 Biểu diễn  b1   a11  a1n    Hi = { x ∈  : , x ≤ bi } ; = ( ai1 , , , ain ) ; A =      , b =   a  b   m1  amn   m n Khi ấy, ta biểu diễn tập lồi đa diện D dạng D= {x ∈  n } : , x ≤ bi , ∀i = 1, m ( ∗) D= { x ∈  n : Ax ≤ b} (∗∗) Chú ý: Trong chương kể từ sau đề cập đến tập lồi đa diện D ta hiểu D cho dạng ( ∗) ( ∗∗) Như nhận xét trên, tập lồi đa diện tập lồi đóng Do tập lồi đa diện có khái niệm điểm cực biên, phương vô tận phương cực biên Phần ta nghiên cứu khái niệm tập lồi đa diện 1.2.2.3 Điểm cực biên tập lồi đa diện Bổ đề 1.3: Cho D tập lồi đa diện khác rỗng không chứa đường thẳng Khi ấy, x thuộc D x điểm cực biên tồn y thuộc D thỏa + Nếu , x = bi , y = bi + Tồn i ∈1, m cho , x < bi , y = bi Chứng minh: + Vì x ∉ extD nên tồn y, z ∈ D, y ≠ z λ ∈ ( 0;1) cho x = λ y + (1 − λ ) z Vậy , x = bi ta có λbi ≥ λ , = y , x − (1 − λ ) , z ≥ bi − (1 − λ )= bi λbi Suy , y = bi Tương tự z Vậy ta có a= i, y = , z = , x bi Chương 4: THUẬT TOÁN NHÁNH CẬNGIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN Phương pháp nhánh cận đời năm 1960 áp dụng cho toán tối ưu rời rạc sở hầu hết toán thực tế có tập ràng buộc hữu hạn nguyên tắc điểm diện tất phương án để chọn phương án tối ưu Như thuật toán nhánh cận áp dụng cho toán quy hoạch tuyến tính nguyên với mô hình bị chặn ( tập ràng buộc toán quy hoạch tuyến tính tương ứng tập bị chặn) Một câu hỏi đặt liệu với mô hình không bị chặn thuật toán có sử dụng hay không ? Trong chương ta đề cập đến vấn đề Trong chương ta nghiên cứu thuật toán nhánh cận sở lí luận sử dụng để giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng tắc:  c, x → max ( P′ )   Ax = b, x ≥ 0, x ∈  n A ma trận cấp m × n rankA = m ; ma trận A, b , vectơ c có thành phần số nguyên Bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với ( P′ ) toán  c, x → max ( P )  = b, x ≥  Ax 4.1 Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải toán quy hoạch tuyến tính Thuật toán đơn hình đối ngẫu có bảng đơn hình xuất phát chuẩn: Ý tưởng thuật toán: Bắt đầu từ sở mà bảng đơn hình tương ứng chuẩn, bảng đơn hình chưa chấp nhận ta tiến hành dịch chuyển sang sở mà bảng đơn hình ứng với sở chuẩn gặp bảng đơn hình chấp nhận dừng Khi phương án sở ứng với bảng đơn hình cuối phương án tối ưu Thuật toán: Giả sử tồn sở B cho bảng đơn hình T ứng với B chuẩn Bước Nếu T chấp nhận phương án sở ứng với B phương án tối ưu Thuật toán kết thúc Ngược lại, ta chuyển sang bước Bước Nếu tồn i ∈1, n cho xi < xij ≥ 0, ∀j ∈ N ( P ) phương án ( xi = xi + ∑ xij ( − x j ) < ) Vậy ( P ) phương án tối ưu Thuật toán kết thúc j∈N Ngược lại: + Chọn k = thỏa xk = {xi : i 1, n} x xkl  x0 j  : j ∈ N , xkj <   xkj  0l  + Chọn l thỏa = + Thực phép biến đổi bảng đơn hình : đưa xk khỏi tập biến sở, đưa xl vào Quay trở lại bước Nhận xét: + Trong trình sử dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu bảng đơn hình chuẩn hàm mục tiêu không tăng + Trong trường hợp bảng đơn hình xuất phát không chuẩn tiến hành thuật toán thuật toán đơn hình đối ngẫu từ vựng với trường hợp bảng đơn hình xuất phát không l-chuẩn [3, tr.77-81] 4.2 Kỹ thuật tái tối ưu hóa Giả sử ( P ) có phương án tối ưu Sử dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu tìm phương án tối ưu ( P ) ta thu bảng đơn hình T chuẩn chấp nhận sở tương ứng B Xét toán ( Q ) toán ( P ) có bổ sung thêm ràng buộc n ∑a x i =1 i i ≤α Câu hỏi đặt ra: Liệu thể tận dụng thông tin có tìm phương án tối ưu ( P ) để tìm phương án tối ưu ( Q ) hay không? Trong mục ta nghiên cứu vấn đề Đưa thêm biến phụ xn +1 ≥ với hệ số hàm mục tiêu , chuyển ràng buộc dạng đẳng thức n xn +1 =α + ∑ −ai xi i =1 Do xi= xi + ∑ xij ( − x j ), ∀i= 0, n nên j∈N n    n  xn +1 = α − a x + ∑ ∑ i i0    ∑ − xij  ( − x j ) j∈N  i =i  =  Viết dòng vào cuối bảng đơn hình T ta thu bảng đơn hình T ′ ứng với sở = B′ B  {n + 1} T chuẩn nên T ′ chuẩn Vậy ta áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu bảng đơn hình T ′ để tìm phương án tối ưu ( Q ) Thủ tục vừa mô tả gọi “ kĩ thuật tái tối ưu hóa” quy hoạch tuyến tính Kỹ thuật áp dụng gặp toán quy hoạch tuyến tính với số ràng buộc tăng dần, giúp tiết kiệm thời gian so với việc giải lại từ đầu toán với ràng buộc thêm vào 4.3 Thuật toán nhánh cận 4.3.1 Điều kiện để sử dụng thuật toán nhánh cận Điều kiện để sử dụng thuật toán nhánh cận giống điều kiện để sử dụng thuật toán Gomory tức cần có điều kiện ( i ) Tập phương án tối ưu ( P ) bị chặn hai điều kiện sau ( ii ) Hàm mục tiêu bị chặn tập phương án ( P ) , ( iii ) ( P ) có phương án nguyên 4.3.2 Thuật toán nhánh cận Bước 0: Sử dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu để tìm phương án tối ưu ( P ) Nếu ( P ) phương án tối ưu ( P′ ) phương án tối ưu Thuật toán kết thúc Ngược lại, ( P ) có phương án tối ưu x Ta kiểm tra: + Nếu x phương án nguyên ( P ) x phương án tối ưu ( P′ ) Thuật toán kết thúc + Ngược lại, x là phương án nguyên ta tiến hành: - Đưa ( P′ ) vào danh mục toán cần xét: Ω ={( P′ )} - Đặt cận ( P′ ) giá trị tối ưu toán quy hoạch tương ứng ( P ) - Nếu biết y′ phương án ( P′ ) : • Gán giá trị kỉ lục x0 := c, y′ ( giá trị tốt mà ta biết), • Gán phương án kỉ lục x∗ := y′ ( phương án tốt mà ta biết) Ngược lại, gán giá trị kỉ lục x0 := −∞ - Chuyển sang bước lặp thứ r = Bước lặp thứ r ( r ≥ 1) : + Nếu Ω ≠ ∅ chọn ( Q′ ) toán Ω có cận lớn Đặt xQ = ( x1Q , , xnQ ) phương án tối ưu toán quy hoạch tương ứng ( Q ) Đặt k {i : xiQ ∉ } = Tách ( Q′ ) thành hai toán ( Q1′ ) , ( Q2′ ) ( Q1′ ) ( Q′ ) có bổ sung thêm ràng buộc xk ≤  xkQ  ( Q2′ ) ( Q′ ) có bổ sung thêm ràng buộc xk ≥  xkQ  + Lần lượt tìm phương án tối ưu toán quy hoạch tương ứng ( Q1 ) , ( Q2 ) Ta gặp phải trường hợp: - ( Qi ) phương án Khi loại bỏ ( Qi′ ) khỏi việc xem xét - ( Qi ) có phương án tối ưu nguyên xQ Khi c, xQ > x0 xác định lại giá trị kỉ i lục x0 := c, xQ i i phương án kỉ lục x∗ := xQ i - ( Qi ) có phương án tối ưu không nguyên xQ Trong trường hợp này, đặt cận i ( Qi′) c, xQi kết nạp ( Qi′ ) vào danh mục toán cần xét: Ω := Ω ∪ {( Qi′ )} Loại bỏ khỏi Ω toán ( Q′ ) toán có cận nhỏ hay giá trị kỉ lục Chuyển sang bước lặp r + + Nếu Ω = ∅ , ta xét : - Nếu x0 > −∞ ( P′ ) có phương án tối ưu x∗ giá trị tối ưu x0 Thuật toán kết thúc - Nếu x0 = −∞ ( P′ ) phương án Vậy ( P′ ) phương án tối ưu Thuật toán kết thúc 4.3.3 Cơ sở lí luận thuật toán Gọi x0r giá trị kỉ lục sau kết thúc bước lặp thứ r thuật toán Theo cách thức vận hành thuật toán, dãy { x0r }r ≥0 dãy không giảm Vậy thuật toán kết thúc ta nhận giá trị kỉ lục x0 x0r ≤ x0 , ∀r ≥ Định lý 4.1: Nếu Ω = ∅ ta nhận x0 > −∞ ( P′ ) có phương án tối ưu x∗ giá trị tối ưu x0 Chứng minh: Trước hết, tập phương án ( P′ ) khác rỗng ( x∗ phương án ( P′ ) ) Xét x′ phương án ( P′ ) Khi x′ phương án toán ( Q′ ) bị loại bỏ bước lặp r ( bị loại bỏ không bị tách thành hai toán con) Gọi ( Q ) toán quy hoạch tương ứng với ( Q′) Vì ( Q′) bị loại bỏ nên có khả sau: + ( Q ) có phương án tối ưu nguyên xQ Khi đó, ta có c, x′ ≤ c, x Q ≤ x0r ≤ x0 = c, x ∗ + ( Q ) có phương án tối ưu không nguyên xQ cận nhỏ giá trị kỉ lục: c, x Q ≤ x0r −1 ≤ x0 = c, x ∗ Do c, x′ ≤ c, x Q ≤ x0 = c, x ∗ Vậy hai khả , ta có c, x′ ≤ x0 = c, x ∗ Điều có nghĩa ( P′ ) có phương án tối ưu x∗ giá trị tối ưu x0 Định lý 4.2: Nếu Ω = ∅ ta nhận x0 = −∞ ( P′ ) phương án Chứng minh: Phản chứng Giả sử ( P′ ) có phương án x′ Khi x′ phương án toán ( Q′) bị loại bỏ bước lặp r (bị loại bỏ không bị tách thành hai toán con) Gọi ( Q ) toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với ( Q′ ) Vì ( Q′ ) bị loại bỏ nên có khả sau: + ( Q ) có phương án tối ưu nguyên xQ Khi đó, ta có c, x′ ≤ c, x Q ≤ x0r ≤ x0 + ( Q ) có phương án tối ưu không nguyên xQ cận nhỏ giá trị kỉ lục: c, xQ ≤ x0r −1 ≤ x0 Trong hai khả , ta có x0 > −∞ Điều mâu thuẫn với giả thiết x0 = −∞ Vậy x0 = −∞ ( P′ ) phương án Giả sử D, D tập lồi đa diện không chứa đường thẳng  n D ⊂ D Khi ta có hai định lý sau Định lý 4.3: Nếu { toán max { c, x : x ∈ D} (1) có phương án tối ưu toán } max c, x : x ∈ D ( ) có phương án tối ưu tập phương án D khác rỗng Chứng minh: Giả sử toán (1) có giá trị tối ưu x0 Khi ấy, ta có c, x ≤ x0 , ∀x ∈ D Mà D ⊂ D nên c, x ≤ x0 , ∀x ∈ D Vậy hàm mục tiêu c, x bị chặn trên D nên toán ( ) có phương án tối ưu D ≠ ∅ Nhận xét: Nếu { max { c, x : x ∈ D} có toán phương án tối ưu toán } max c, x : x ∈ D phương án có phương án tối ưu Định lý 4.4: Nếu tập phương án tối ưu toán max { c, x : x ∈ D} (1) khác rỗng bị chặn tập phương án tối ưu toán max { c, x : x ∈ D} ( ) bị chặn Chứng minh: Giả sử tập phương án tối ưu toán ( ) không bị chặn Đặt x0 giá trị tối ưu toán ( ) Khi tập phương án tối ưu D = D  { x ∈  n : c, x = x0 } tập lồi đa diện Vì D không bị chặn nên D có phương vô tận v Lấy cố định x0 nên c, v = Do v phương vô tận D D ⊂ D nên v x∗ ∈ D Ta có c, x∗ + v = phương vô tận D Lấy cố định x∗ phương án tối ưu toán (1) Khi x∗ + λ v phương án tối ưu toán (1) với λ > Điều mâu thuẫn với tập phương án tối ưu toán (1) bị chặn Vậy tập phương án tối ưu toán (1) khác rỗng bị chặn tập phương án tối ưu toán ( ) bị chặn Định lý 4.5: Nếu tập phương án ( P ) bị chặn thuật toán nhánh cận kết thúc sau số hữu hạn bước lặp Chứng minh: Giả sử thuật toán có vô hạn bước lặp Vậy thuật toán tồn dãy vô hạn toán {( P′)} r r ≥1 bị chia tách cho ( Pr′+1 ) nhận từ ( Pr′) sau số bước lặp Vì phương án ( P′ ) có hữu hạn thành phần ( n thành phần) nên không giảm tổng quát ta giả sử ( Pr′) bị chia tách thành phần thứ không nguyên với r ≥1 Đặt x P = ( x1P , , xnP ) phương án tối ưu ( Pr ) ( toán quy hoạch tương ứng với r r r ( Pr′) ) Do tập phương án ( P ) bị chặn nên tồn a1 , b1 ∈  cho x1 ∈ A1 = [ a1 , b1 ] với phương án ( x1 , , xn ) ( P1 ) Giả sử x1 ∈ Ar với phương án ( x1 , , xn ) ( Pr ) Do ( Pr′+1 ) nhận từ ( Pr′) sau số bước lặp nên x1 ≥  x1Pr  + với phương án x1 ≤  x1Pr  ( x1 , , xn ) ( Pr +1 ) ( x1 , , xn ) phương án x1 ∈ Ar +1 ( Pr +1 ) phương án ( Pr ) Vậy= ( ) Ar \  x1Pr  ,  x1Pr  + với phương án ( x1 , , xn ) ( Pr +1 ) Như ta xây dựng dãy vô hạn tập hợp { Ar }r ≥1 Do a1 , b1 ∈  nên với cách xây dựng tập hợp Ar ta thấy Ar có điểm biên ( ) số nguyên Vậy từ x1P ∈ Ar x1P ∉  , ta có  x1P  ,  x1P  + ⊂ Ar Vậy, ta có r r (( r r )) µ ( A= µ ( Ar ) − µ  x1P  ,  x1P  += µ ( Ar ) − 1, ∀r ≥ r +1 ) r r µ ( A ) độ đo Lebesgue A Điều dẫn đến µ ( Ar ) = µ ( A1 ) − r + = b1 − a1 + − r , ∀r ≥ Do lim µ ( Ar ) = −∞ (vô lý độ đo Lebesgue độ đo dương) r →+∞ Vậy thuật toán nhánh cận kết thúc sau số hữu hạn bước lặp Định lý 4.6: Nếu điều kiện giống điều kiện để sử dụng thuật toán Gomory thỏa thuật toán nhánh cận kết thúc sau số hữu hạn bước lặp Chứng minh: Giả sử thuật toán có vô hạn bước lặp Vậy thuật toán tồn dãy vô hạn toán {( P′)} r r ≥1 bị chia tách bước lặp nr cho ( Pr′+1 ) nhận từ ( Pr′) sau số bước lặp Vì phương án ( P′ ) có hữu hạn thành phần ( n thành phần) nên không giảm tổng quát ta giả sử ( Pr′) bị chia tách thành phần thứ không nguyên với r ≥1 Đặt x0P giá trị tối ưu ( Pr ) ( toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với ( Pr′) ) r Ta chứng minh dãy { x0P }r ≥1 bị chặn Thậy vậy, điều kiện ( ii ) thỏa tức hàm r mục tiêu bị chặn tập phương án ( P ) ta có điều phải chứng minh điều kiện ( iii ) thỏa tức ( P ) có phương án nguyên x′ ta xét: + Nếu bước lặp nr giá trị kỉ lục = x0 x0 > −∞ theo cách thức tiến nr0 hành thuật toán ta loại bỏ tất toán danh mục toán cần xét mà có cận nhỏ hay giá trị kỉ lục nên x0P ≥ x0 với r > r0 Vậy dãy { x0P }r ≥1 bị chặn nr0 r r n + Ngược lại, giá trị kỉ lục x0 = x0 = −∞ bước lặp nr Khi x′ phải phương r0 án toán danh mục toán cần xét bước lặp nr x0P cận lớn cận toán danh mục toán r cần xét bước lặp nr nên x0P ≥ c, x′ với r ≥ r Vậy trường hợp ta có dãy { x0P }r ≥1 bị chặn r Đặt α = inf { x0P }r ≥1 r c, x Pr = x0Pr nên ta có { x Pr } r ≥1 x Pr = ( x1Pr , , xnPr ) phương án tối ưu ( Pr ) Vì ⊂ { x ∈  n : c, x ≥ α } Đặt D1 tập phương án ( P1 ) Vì ( Pr ) nhận từ ( P1 ) sau số bước lặp nên phương án ( Pr ) phương án ( P1 ) Do dãy { x P }r ≥ r nằm D1 Vậy ta có r {x } Pr r ≥ r1 ⊂= D1 D1  { x ∈  n : c, x ≥ α } Ta chứng minh D1 tập bị chặn Thật giả sử ngược lại D1 không bị chặn D1 có phương vô tận v Vì ( P1 ) có phương án tối ưu nên hàm mục tiêu c, x bị chặn trên D1 Mà D1 ⊂ D1 nên hàm mục tiêu c, x bị chặn trên D1 Do vậy, ta phải có c, v ≤ Lại có D1 ⊂ { x ∈  n : c, x ≥ α } nên c, v ≥ Vậy phải có c, v = Do v phương vô tận D1 D1 ⊂ D1 nên v phương vô tận D1 Vậy ta có x P + λ v phương án tối ưu ( P1 ) với λ > Điều dẫn đến ( P1 ) có tập phương án tối ưu không bị chặn Ta gặp mâu thuẫn theo điều kiện ( i ) , tập phương án tối ưu ( P ) bị chặn nên định lý 4.4 ta có tập phương án tối ưu ( P1 ) bị chặn Vậy D1 tập bị chặn Ta chứng minh dãy { x P }r ≥1 dãy không bị chặn Do ( Pr′+1 ) nhận từ ( Pr′) sau r số bước lặp nên x1 ≤  x1P  với phương án r ( x1 , , xn ) ( Pr +1 ) P x1 ≥  x1Pr  + với phương án ( x1 , , xn ) ( Pr +1 ) Nếu tồn r1 cho x1 ≤  x1 r1  với phương án ( x1 , , xn ) (P ) r1 +1 P Khi đó, ta có x1 ∈ 0;  x1   với phương án  r1  ( P ) Tới hoàn toàn tương tự chứng minh trường hợp tập ( x1 , , xn ) r1 +1 phương án ( P ) bị chặn ta dẫn đến điều vô lý Vậy ta có với r ≥ , x1 ≥  x1P  + với r phương án ( x1 , , xn ) ( Pr +1 ) Do x1P ≥  x1P  + với r ≥ Điều dẫn đến r +1 r dãy số { x1P }r ≥1 không bị chặn Vậy dãy { x P }r ≥1 dãy không bị chặn r r Ta có { x P }r ≥1 ⊂ D1 dãy { x P }r ≥1 không bị chặn nên D1 không bị chặn Điều r r mâu thuẫn với D1 tập bị chặn Vậy thuật toán nhánh cận kết thúc sau số hữu hạn bước lặp 4.3.4 Ví dụ Ví dụ 4.7: Ta xét lại ví dụ minh họa cho phương pháp cắt Gomory Bây ta giải toán phương pháp nhánh cận Giải toán  x1 + x2 →  x −x ≤3  3 x + x ≥ 2   x ≥ 0, x ∈ , ∀i =1, i  i Xét toán phụ − x1 − x2 → max  x0 = x = − x + x    x4 =−2 + x1 + x2  x ≥ 0, x ∈ , ∀i =1, i  i Bài toán phụ có phương án (1,1,3, ) bảng đơn hình xuất phát l-chuẩn Vậy điều kiện ( iii ) ( i ) thỏa Ta áp dụng thuật toán nhánh cận để giải toán phụ: + Đặt toán phụ ( P′ ) Sử dụng phương pháp đơn hình đối ngẫu xác định phương án  17  tối ưu toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với ( P′ )  0, , ,  Thành phần thứ  5  hai phương án tối ưu chưa nguyên nên ta gán: - Danh mục toán cần xét Ω :={( P′ )} - Phương án kỉ lục x∗ := (1,1,3, ) - Giá trị kỉ lục x0 := −2 Chuyển qua bước lặp r = + Bước lặp r = : Chia ( P′ ) thành hai toán ( P1′) , ( P2′ ) ( P1′) ( P′ ) có bổ sung thêm ràng buộc x2 ≤ ( P2′ ) ( P′ ) có bổ sung thêm ràng buộc x2 ≥ 2  Giải ( P1′) tìm phương án tối ưu chưa nguyên  , 0, ,  giá trị tối ưu tương 3  ứng − Giải ( P2′ ) tìm phương án tối ưu nguyên ( 0,1, 4,3) giá trị tối ưu tương ứng −1( > x0 ) Xác định lại phương án kỉ lục x∗ := ( 0,1, 4,3) giá trị kỉ lục x0 := −1 Gán: Danh mục toán cần xét Ω :={( P1′)} Chuyển qua bước lặp r = + Bước lặp r = : Chia ( P1′) thành hai toán ( P3′) , ( P4′ ) ( P3′) ( P′ ) có bổ sung thêm ràng buộc x1 ≤ ( P4′ ) ( P′ ) có bổ sung thêm ràng buộc x1 ≥ Giải ( P3′) ( P3′) phương án Giải ( P4′ ) tìm phương án tối ưu nguyên (1, 0, 2,1) giá trị tối ưu tương ứng −1( = x0 ) Gán: Ω :=∅ Kết luận: Vì giá trị kỉ lục x0 = −1 < +∞ nên toán phụ ( P′ ) có phương án tối ưu x∗ := ( 0,1, 4,3) Vậy toán cho có phương án tối ưu ( 0,1) Nếu toán quy hoạch tuyến tính không thỏa điều kiện Gomory tiến hành thuật toán nhánh cận xảy vô hạn bước lặp ( thuật toán kết thúc) Các ví dụ sau đề cập đến vấn đề Ví dụ 4.8: Giải toán − x1 → max  2 x1 − x2 =   xi ≥ 0, xi ∈ , ∀i =1, 1  Bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng có phương án tối ưu  ,  nên 2  toán thỏa điều kiện (i) Vì cặp số nguyên x1 , x2 thỏa điều kiện x1 − x2 = nên tập phương án toán tập rỗng hàm mục tiêu − x1 không bị chặn tập phương án toán quy hoạch tuyến tính tương ứng ( − x1 = − x2 + → −∞ x2 → +∞ ) Vậy toán không thỏa điều kiện (ii) (iii) nên toán không thỏa điều kiện Gomory Thuật toán nhánh cận áp dụng cho toán có vô hạn bước lặp Ở bước lặp thứ r có toán đươc xem xét: toán có tập phương án rỗng, toán  1+ r r  lại có phương án tối ưu  ,  ∉ 2  2 Ví dụ 4.9: Giải toán  x1 − x2 → max 2 x − x + x =    x1 − x4 =  x ≥ 0, x ∈ , ∀i =1, i  i Bài toán có phương án (1,1, 0, ) Vậy toán thỏa điều kiện (iii) Tuy nhiên tập   phương án tối ưu toán quy hoạch tương ứng ( x1 , x2 , 0, ) : x1 − x=  , x2 ≥  tập  không bị chặn nên toán không thỏa điều kiện (i) Vậy toán không thỏa điều kiện Gomory Thuật toán nhánh cận áp dụng cho toán có vô hạn bước lặp Ở bước lặp thứ r có toán xem xét: toán có tập phương án rỗng ( r lẻ) r r  có phương án tối ưu nguyên  , , 0,  ứng với giá trị tối ưu ( r chẵn) , 2   1+ r r  toán lại có phương án tối ưu  , , 0,  ∉  2   Kết luận Luận văn trình bày chi tiết số kết có quy hoạch tuyến tính nguyên thu số kết việc nghiên cứu quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính Bài toán quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính chưa giải cách trọn vẹn Như ví dụ 4.8,4.9 cho thấy thuật toán nhánh cận khảo sát giải toán Điều đòi hỏi phải có cải tiến thuật toán nghiên cứu thuật toán hoàn toàn Đó vấn đề mà tác giả tiếp tục nghiên cứu Tài liệu tham khảo [1] R Tyrrell Rockafellar, Convex analysis [2] Bùi Thế Tâm (2008), Quy hoạch rời rạc (Bài giảng cao học), Hà Nội [3] Nguyễn Đức Nghĩa (1998), Tối ưu hóa ( Quy hoạch tuyến tính rời rạc), Nhà xuất Giáo dục [4] Hoàng Tụy (1968), Lý thuyết quy hoạch, Nhà xuất Khoa học [...]... 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN 2.1 Khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ( toàn phần) là bài toán quy hoạch tuyến tính có thêm ràng buộc các biến phải là các số nguyên Dạng chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên:  c, x → max  n  Ax ≤ b, x ≥ 0, x ∈   c, x → max được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với bài  Ax... thành phần là các số nguyên 2.2 Mối liên hệ giữa dạng chuẩn tắc và chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên Vấn đề đặt ra là liệu có thể giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chuẩn tắc nếu biết cách giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chính tắc không Xét bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chuẩn tắc  c, x → max ( P′ )   Ax ≤ b, x ≥ 0, x ∈  n Ta xét bài toán phụ... các ràng buộc Ax ≤ b, ( − A ) x ≤ −b nên một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc cũng là bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc Định lý sau đưa ra một điều kiện cần và đủ để một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc có phương án tối ưu Định lý 1.16:  c, x → max có phương án tối ưu khi  Ax ≤ b, x ≥ 0 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc  và chỉ khi tập các phương án của... x∗ ) với mọi x ∈ X thì x∗ được gọi là phương án tối ưu của bài toán và giá trị f ( x∗ ) được gọi là giá trị tối ưu của bài toán 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính Cho E ={ x ∈  n : Ax ≤ b, x ≥ 0} và c ∈  n , c ≠ 0 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc là bài toán có dạng max { c, x : x ∈ E}  c, x → max  Ax ≤ b, x ≥ 0 Bài toán thường được viết dưới dạng  Bài toán quy hoạch tuyến tính. .. thuẫn với giả thiết ( P ) có phương án tối ưu Vậy nếu ( P ) có phương án tối ưu và có phương án nguyên thì ( P′ ) cũng có phương án tối ưu Chương 3: THUẬT TOÁN CẮT GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN Có thể nói tối ưu rời rạc khai sinh lịch sử phát triển của mình từ năm 1985 khi Gomory công bố thuật toán cắt nổi tiếng để giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên Trong chương này ta sẽ nghiên. .. nghiên cứu thuật toán cắt Gomory và cơ sở lí luận của nó sử dụng để giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chính tắc:  c, x → max ( P′ )   Ax = b, x ≥ 0, x ∈  n trong đó A là ma trận cấp m × n và rankA = m ; các ma trận A, b , vectơ c có các thành phần là các số nguyên Bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với ( P′ ) là bài toán  c, x → max ( P )  = b, x ≥ 0  Ax 3.1 Bảng đơn hình. .. Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên:  c, x → max ( P′ )   Ax = b, x ≥ 0, x ∈  n  c, x → max được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với = b, x ≥ 0  Ax Bài toán ( P )  bài toán ( P′ ) Chú ý: Từ đây về sau ta chỉ xét trường hợp các dữ liệu của bài toán đều là các số nguyên nghĩa là các ma trận A, b , vectơ c có các thành phần là các số nguyên 2.2 Mối liên hệ giữa... u Ta có u ′ là phương cực biên của D có các thành phần là các số hữu tỷ un  c, x → max và  Ax ≤ b, x ≥ 0 Xét ( P′ ) là bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chuẩn tắc  ( P ) là bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Hai định lý sau thể hiện mối liên hệ về tính có nghiệm giữa hai bài toán: Định lý 2.4: Nếu ( P ) không có phương án tối ưu thì ( P′ ) cũng không có phương án tối ưu Chứng minh:... không có phương án tối ưu + Nếu ( P′′ ) có phương án tối ưu = z∗ ( x , y )( x ∗ ∗ ∗ ∈  n , y ∗ ∈  m ) thì x∗ là phương án tối ưu của ( P′ ) 2.3 Mối liên hệ về tính có nghiệm giữa bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên và bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Bổ đề 2.3: Nếu D = { x ∈  n : Ax ≤ b} là tập lồi đa diện không bị chặn, không chứa đường thẳng và A có các thành phần là các số hữu tỷ thì các... định lý 1.8, không mất tính tổng quát ta coi hệ {a1 , a2 , , an−1} là độc lập tuyến tính và Đặt  a11  a1n    B=     Vì a   ( n −1)1  an −1n  ai , u = 0, ∀i = 1, n − 1 hệ {a1 , a2 , , an−1} là độc lập tuyến tính nên rankB= n − 1 Vậy có thể chọn từ B n − 1 vec tơ cột độc lập tuyến tính Không mất tính tổng quát ta giả sử B có n − 1 vec tơ cột đầu tiên độc lập tuyến tính, tức là ma trận  ... tuyến tính nguyên Luận văn trình bày chi tiết số kết quy hoạch tuyến tính nguyên Việc nghiên cứu quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính có thêm số kết (không có tài liệu, giáo trình quy hoạch tuyến. .. TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN 2.1 Khái niệm toán quy hoạch tuyến tính nguyên Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ( toàn phần) toán quy hoạch tuyến tính có thêm ràng buộc biến phải số nguyên. .. toán quy hoạch tuyến tính Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên Chương 3: Thuật toán cắt Gomory giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên Chương 4: Thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch tuyến