BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Hoài Thương VỀ CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Hoài Thương VỀ CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN ***** Trước tiên qua luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành lời chúc sức khỏe tốt đẹp đến thầy: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, PGS.TS BÙI XUÂN HẢI, TS TRẦN TUẤN NAM thầy cô trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho bạn học viên cao học khóa 20 Đặc biệt kính gửi lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ tận tình bảo trình thực luận văn Qua xin chân thành cảm ơn đến tất bạn học viên cao học khóa 20 gắn bó với trình học tập trường quý thầy cô khoa Toán phòng Sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu Và cuối xin cảm ơn gia đình người bạn hỗ trợ, động viên để hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Tác giả luận văn Phạm Thị Hoài Thương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC .4 LỜI MỞ ĐẦU Hệ thống kí hiệu CHƯƠNG 1: NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.1 MÔĐUN .7 1.2 VÀNH NGUYÊN TỐ, VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ 10 1.3.RADICAL NGUYÊN TỐ CỦA MỘT VÀNH 17 1.4 VÀNH ĐƠN, VÀNH NỬA ĐƠN 18 1.5 VÀNH NGUYÊN THỦY, VÀNH NỬA NGUYÊN THỦY 21 1.6 RADICAL JACOBSON CỦA MỘT VÀNH 23 CHƯƠNG 2: LỚP CÁC VÀNH NOETHER VÀ ARTIN 25 2.1 VÀNH NOETHER: 25 2.2.VÀNH ARTIN 28 CHƯƠNG : MỘT SỐ TÌM HIỂU SÂU VỀ LỚP CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN 35 3.1 SỬ DỤNG CÁC MA TRẬN NHƯ VẬT LIỆU ĐỂ XÂY DỰNG VÍ DỤ VỀ VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN 35 3.2.ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HILBERT: 45 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 LỜI MỞ ĐẦU Các vành Noether không giao hoán nghiên cứu từ lâu lớp vành quan trọng Đại số không giao hoán Nhưng ví dụ hình ảnh cụ thể chưa miêu tả cách đầy đủ Mục đích luận văn nghiên cứu lớp vành Noether không giao hoán , đưa ví dụ mô hình cụ thể để chứng minh lớp vành rộng Do giới hạn luận văn, xây dựng ví dụ lớp vành Noether không giao hoán theo hai hướng: 1/ Sử dụng vật liệu ma trận 2/ Sử dụng vật liệu vành đa thức ẩn vành đa thức nhiều ẩn vành R không giao hoán Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: nội dung vành không giao hoán Chương 2: Lớp vành Noether Artin Chương 3: Một số tìm hiểu sâu lớp vành Noether không giao hoán Hệ thống kí hiệu E(M): tập tự đồng cấu nhóm cộng M {r ∈ R : Mr = (0)} AR ( M ) = R R : R môđun phải R R: R môđun trái M R : M môđun phải R R M: M môđun trái R SBT: B (S,T)- song môđun K[x]: Vành đa thức ẩn với hệ số vành K K[x , ,x n ]: Vành đa thức nhiều ẩn với hệ số vành K I( A ) = {r ∈ R / rA ⊆ A} CHƯƠNG 1: NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.1 MÔĐUN Định nghĩa1.1.1 M gọi R – môđun trung thành với r ∈ R mà Mr = (0) r = Cho M R – môđun Ký hiệu AR ( M ) = {r ∈ R : Mr = (0)} Bổ đề 1.1.2 AR(M) iđêan hai phía R Hơn nữa, M R A( M ) - môđun trung thành Cho M R – môđun Với r ∈ R , ta tự đồng cấu nhóm cộng Tr : M → M , Tr (m)= mr , ∀m ∈ M Ký hiệu E(M) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng M Trên E(M) ta trang bị hai phép toán cộng nhân sau: Phép cộng: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ + ψ)(m) = ϕ(m) + ψ(m), ∀m ∈ M Phép nhân: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ.ψ )(m) =ϕ(ψ (m)), ∀m ∈ M Khi đó, (E(M), +, ) vành Xét ánh xạ φ : R → E ( M ), φ(r )= Tr , ∀r ∈ R Rõ ràng φ đồng cấu vành Kiểm tra trực tiếp ta được R AR ( M ) Ker φ = AR ( M ) Do đó, theo định lý Noether ta ≅ Imφ Bổ đề 1.1.3 R A( M ) đẳng cấu với vành vành E(M) Định nghĩa 1.1.4 Cho M R – môđun Ta định nghĩa commuting vành R C ( M ) = {ϕ∈ E ( M ) : Tr ϕ = ϕTr , ∀r ∈ R} Định nghĩa 1.1.5 M gọi R – môđun bất khả quy thỏa hai tính chất 1) MR ≠ (0) 2) M có hai môđun (0) M Định lý 1.1.6 (bổ đề Schur) Nếu M R – môđuun bất khả quy C(M) vành chia Chứng minh Do C(M) vành vành E(M) nên ta phải chứng minh phần tử khác không C(M) khả nghịch Tuy nhiên, ≠ ϕ ∈ C ( M ) mà có ϕ−1 ∈ E ( M ) từ ϕTr = Tr ϕ ⇒ ϕTr ϕ−1 = Tr ϕϕ−1 ⇒ Tr ϕ−1 = ϕ−1Tr ⇒ ϕ−1 ∈ C ( M ) Do đó, ta cần chứng minh phần tử khác không C(M) khả nghịch E(M) Với ≠ ϕ ∈ C ( M ) , ta có ϕ( M ) ≠ (0) , mà M môđun trung thành nên ϕ( M ) = M Tức ϕ toàn cấu Mặt khác, Kerϕ ≠ (0) M môđun trung thành nên Ker ϕ = M , suy ϕ =0 (MT) Do đó, Kerϕ =(0) hay ϕ đơn cấu Vậy ϕ đẳng cấu Suy ϕ có đồng cấu ngược ϕ−1 ∈ E ( M ) Đây điều ta cần chứng minh Định nghĩa 1.1.7 Một iđêan phải ρ vành R gọi quy tồn r ∈ R cho x − rx ∈ρ, ∀x ∈ R Bổ đề 1.1.8 Nếu M R– môđun bất khả quy M đẳng cấu (như môđun) với R– môđun thương R ρ , ρ iđêan phải tối đại, quy R Ngược lại, ρ iđêan phải tối đại, quy R R ρ R – môđun bất khả quy Chứng minh Vì M R – môđun bất khả quy nên MR ≠ (0) Ký hiệu: S = {u ∈ M : uR = (0)} Dễ thấy S môđun M Do MR ≠ (0) nên S ≠ M , mà M môđun bất khả quy nên S = (0) Điều có nghĩa ∃m ∈ M \{0}: mR ≠ (0) Nhưng mR môđun môđun trung thành M nên mR = M Xét R- đồng cấu ϕ : R → M , ϕ(r= ) mr ∀r ∈ R Ta có ϕ( R) = mR = M nên ϕ laà toàn cấu Theo định lý Noether, M ≅ R ρ , với = ρ Ker ϕ Ta phải chứng minh = ρ Ker ϕ iđêan tối đại quy +) = ρ Ker ϕ iđêan tối đại R: giả sử ρ′ iđêan phải R thỏa ρ ⊂ ρ′ Khi ≠ đó, ρ′ ρ ≠ (0) Mặt khác, M ≅ R ρ nên R ρ môđun quy, đo, ρ′= R ⇒ = ρ′ R ρ ρ Tức ρ iđêan phải tối đại R +) = ρ Ker ϕ quy: mR = M nên ta suy ∃r ∈ R : mr = m ⇒ mrx = mx ⇔ m( x − rx) = 0, ∀x ∈ R ⇔ x − rx ∈ Ker ϕ = ρ, ∀x ∈ R Tức = ρ Ker ϕ iđêan quy Ngược lại, giả sử ρ iđêan phải tối đại, quy R, ta chứng minh R ρ R– môđun bất khả quy +) R ρ= R R ≠ (0) ρ +) Giả sử ρ′ ρ môđun khác không R ρ Khi đó, ρ ⊂ ρ′ Nhưng ρ iđêan ≠ phải tối đại R nên ρ′ =R , tức ρ′ ρ = R ρ Vậy R ρ R – môđun bất khả quy 1.2 VÀNH NGUYÊN TỐ, VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ Định nghĩa 1.2.1 Một idean nguyên tố vành R idean thực P R thỏa mãn I, J idean R IJ ⊆ P I ⊆ P J ⊆ P Một vành nguyên tố vành mà idean nguyên tố Chú ý vành nguyên tố phải khác Mệnh đề 1.2.2 Với idean thực vành R, điều kiện sau tương đương: a) P idean nguyên tố b) Nếu I, J idean R thực chứa P IJ ⊄ P c) R/P vành nguyên tố d) Nếu I, J idean phải R IJ ⊆ P I ⊆ P J ⊆ P e) Nếu I, J idean trái R IJ ⊆ P I ⊆ P J ⊆ P f) Nếu x, y ∈ R xRy ⊆ P x ∈ P y ∈ P Chứng minh: a ) ⇒ b) Hiển nhiên b) ⇒ c) Lấy I J idean R/P, tồn idean I ' ⊇ P J ' ⊇ P R cho I’/P=I J’/P=J Nếu IJ=0 I ' J ' ⊆ P Do b), I’=P J’=P I=0 J=0 c) ⇒ a ) Nếu I J idean R thỏa IJ ⊆ P (I+P)/P (J+P)/P idean R/P mà có tích Nếu R vành vành S, S R hữu hạn sinh R Noether phải S Noether phải Hệ 3.1.4 Nếu R ⊆ S ⊆ M n ( R ) vành S Noether phải R Noether phải Chứng minh: Nếu S Noether phải theo bổ đề 3.1.3 M n (R) Noether phải, theo mệnh đề 3.1.2 R Noether phải Ngược lại, R Noether phải thỉ theo 3.1.3 S Noether phải Trước tiên ta dùng công cụ ma trận để xây dựng ví dụ có tồn vành Noether phải mà không Noether trái ngược lại Ví dụ 3.1.5 a b Cho R vành tất ma trận cấp 2x2 dạng   với a số nguyên, b c 0 c  số hữu tỉ Rõ ràng R vành Noether phải không vành Noether trái Chứng minh: Tương đối đơn giản để R không vành Noether trái m    n   | m∈Z = Với số tự nhiên n lấy I n   0   I Rõ ràng I n idean trái R I  I1  Khó khăn để R vành Noether phải Phương pháp sử dụng chứng minh R vành Noether phải tất idean phải R hữu hạn sinh Lấy I idean phải R Chúng ta I hữu hạn sinh cách kiểm tra tất trường hợp xảy 0 y  Trường hợp 1: Tất ma trận I có dạng  z  với y, z ∈ Q   0 y  Với c ∈ Q ,   ∈ I có: 0 z  y  0   cy   =   ∈ I  z  c   cz  Do I idean phải R nên I không gian vecto hữu tỉ   0 y  Thật vậy, ý V = không gian vecto ∈ I ( y , z ) ∈  |    0 z   không gian vecto chiều 2 nên V tồn hai vecto ( không thiết độc lập tuyến tính) Với phần tử 0 y   ∈ I 0 z tương ứng với vecto ( y, z ) ∈ V ( y, z ) = (c1 y1 + c2 y ; c1 z1 + c2 z2 ) với c1 , c2 ∈   y   y1   0   y2   0  = Do    +     z   z1   c1   z2   c2   y1   y2   Từ suy I sinh tập hữu hạn  z  ;  z   idean phải      R Trường hợp 2: Giả sử có số ma trận I mà vị trí (1,1) khác Khi tồn số nguyên dương n nhỏ vị trí (1,1) Do ma trận I có dạng  kn y    với k ∈ ; y, z ∈  0 z  n b Theo định nghĩa n có ma trận   I 0 c   n b 1   n   n 0 Vì I idean phải R   =  nên   nằm I c 0 0 0        Ta có khả năng: Khả 2.1: Giả sử ma trận I có vị trị (2,2)  kn y  Khi ma trân I có dạng   với k ∈ ; y ∈  0   y  kn y   n   k  Để ý  n =   0   0   0     n 0 Do I sinh tập   idean phải R 0 0 Khả 2.2: Giả sử I có ma trận mà vị trí (2,2) khác  mn y1  Khi I có ma trận   với m ∈ ; y1 , z1 ∈ ; z1 ≠ 0 z    n 0 Vì   ∈ I kéo theo 0 0  n y1   ∈ I  z1   1 y1   − y z  k   kn y  n z1    kn y   n y1   Lấy  nên I sinh   tùy ý I Vì  =  z 0 z   z   z1     z1    n y1    idean phải R  z1  Vậy tất trường hợp I hữu hạn sinh, ta có điều phải chứng minh Tiếp theo ta dùng công cụ ma trận để xây dựng lớp vành Noether phải (trái) sở vành S,T vành Noether phải (trái) Định nghĩa 3.1.6 Cho S, T vành Một (S,T )-song môđun nhóm aben B trang bị cấu trúc S-môđun trái cấu trúc T-môdun phải (cả với phép cộng) cho: s(bt)=(sb)t với s ∈ S , b ∈ B , t ∈ T Kí hiệu S B T dùng trường hợp Một (S,T) song môdun B nhóm B vừa S-môđun trái, vừa T-môđun phải Chú ý C song môđun B, nhóm thương B/C song môđun Ví dụ, S vành T vành S, S (hoặc iđean S) xem (S,T) –song môđun (hoặc (T,S)- song môđun) Ví dụ khác, B môdun phải vành T S vành End T (B) B (S,T)-song môđun Nếu I ⊆ J iđean vành S, J/I (S,S)-song môđun Định nghĩa 3.1.7 S B Cho S B T song modun, viết   cho nhóm aben S ⊕ B ⊕ T , ba 0 T  s (s,b,t) từ S ⊕ B ⊕ T viết ma trận hình thức cấp 2x2 dạng  0 b  t S B Dễ dàng phép cộng nhân ma trận có nghĩa   , với 0 T  S B phép toán   trở thành vành 0 T  Thật vậy, ta cần kiểm tra phép nhân S B s b  s b  Với  1   2    , ta có:  t1   t2  0 T   s1 b1  s2 b2   s1s2 s1b2 + b1t2   S B  =     ∈  t t t t     0 T   B S-môđun trái T-môdun phải S  Tương tự   vành ma trận tam giác B T  S B S   ≅  0 T   B T  S  S B Một vành ma trận tam giác hình thức vành có dạng     B T  0 T  S B mô tả Một cách tóm lược, ta viết “cho   vành ma trận tam giác 0 T  hình thức trên” thay cho “cho S T vành, B (S,T)-song modun”, S B   tương ứng “vành ma trận tam giác hình thức dưới” T   Mệnh đề 3.1.7 S B Cho R=   vành ma trận tam giác hình thức Khi R vành Noether phải 0 T  S T vành Noether phải B T hữu hạn sinh Tương tự, R Noether trái S T Noether trái S B hữu hạn sinh Chứng minh: Giả sử S T vành Noether phải B T hữu hạn sinh S  Rõ ràng vành   đẳng cấu với SxT vành Noether phải T   Cũng dễ thấy phần tử b , ,b n phần tử sinh B T- 1   b   b2   bn  modun phải ma trận   ,   ,    , ,  0 0       0  S  Là phần tử sinh R   -modun Do theo hệ 2.1.7 R 0 T  vành Noether phải s Ngược lại, giả sử R vành Noether phải Rõ ràng ánh xạ chiếu  0 s  0 b  → s t b  → t đồng cấu vành R vào S R vào T nên S T phải t vành Noether phải 0 B Hơn nữa,   idean phải R phải có tập sinh hữu hạn 0   b1   b2   bn    ,  , ,  0  0  0  Từ dễ dàng suy b , ,b n tập sinh B T Với vành Noether trái chứng minh hoàn toàn tương tự   Từ mệnh đề ta chứng minh ví dụ 3.1.5, tức vành   0  vành Noether phải không Noether trái Cùng ý tưởng trên, loại ví dụ thứ gần ví dụ có tên gọi Morita context Định nghĩa 3.1.8 Với vành R M R-môđun phải Nếu đặt M*=Hom(M,R) S=End M R S M R R M* S song mođun Hơn nữa, cho m,n ∈ M α ∈ M * , có tích α m ∈ R , m α ∈ S cho α m = α( m ) m α ánh xạ n  mα( n ) Do M.M* ⊆ S , M * M ⊆ R Ta kiểm tra tập ma trận M * R = M S      r α      m s   r ∈ R , s ∈ S , m ∈ M , α ∈ M *  với phép toán  hình thức ma trận 2x2 thực vành Tổng quát hơn, giả sử R,S vành, R V S , S W R song môdun θ : V ⊗ S W → R , ψ : W ⊗ R V → S đồng cấu song môđun R V  Tập hợp ma trận T =   cho phép toán hình thức W S   ma trận cấp 2x2, sử dụng θ , ψ để định nghĩa phép nhân Nếu θ , ψ thỏa mãn điều kiện kết hợp đòi hỏi để T vành, tập hợp (R,S,V,W, θ , ψ ) gọi Morita context, T gọi vành Morita context Mệnh đề 3.1.10 Vành T Noether phải R R , S S , V S W R Noether phải Chứng minh: Ta có:  R V  0  T= A⊕ B  0  ⊕ W S  =     Vì T T Noether A T B T Noether Chú ý A R ⊕ S -môđun phải T-môđun A R ⊕ S -môđun Do có đơn ánh từ L( AT ) → L( AR ⊕ S ) , với L kí hiệu họ môđun Vì R R V S Noether, A T Tương tự với B T Ngược lại, có phép nhúng L( RR ) → L( AT ), L( VS ) → L( AT ) đơn ánh cho bởi: với I  RR , V '  VS , ta có:  I IV  I , 0  V ' W V'   0 V'  Cùng với lập luận tương tự cho W,S ta có chứng minh chiều ngược lại Trong trường hợp đặc biệt, W=0, ánh xạ θ , ψ dĩ nhiên Vành kết R V  T=  thường xuyên sử dụng để chứng minh số phản ví dụ Ở 0 S  0 V  iđean   lũy linh, bậc 0   Ví dụ: Z Q Ví dụ, R=Z, V=S=Q T =   vành Noether phải không Q   Noether trái Z Q không Noether Q R  Tương tự, vành   Artin phải không Artin trái R   Tiếp tục với ý tưởng trên, loại ví dụ thứ gần ví dụ Trước hết ta định nghĩa idealizer vành Định nghĩa 3.1.11 Có Morita context xây dựng cách tự nhiên kết nối với iđean phải A vành R, nghĩa là: I( A ) A  R R   I ( A ) = {r ∈ R / rA ⊆ A} Vành I(A) gọi idealizer A, dễ dàng thấy vành lớn R chứa A iđean hai phía Vành I(A)/A gọi eigenring A Điều tác động, phép nhân trái, môdun R/A, kiểm tra I(A)/A  End ( R / A ) Bây đủ để xem xét trường hợp A iđean phải tối đại Định lý 3.1.12 Nếu A iđean phải tối đại R thì: (i) R I(A)-môđun phải hữu hạn sinh (ii) R/A xem I(A)-môđun phải, có dãy hợp thành có chiều dài RA=A chiều dài RA ≠ A (iii) I(A) Noether phải R Noether phải (iv) I(A) Artin phải R Artin phải Chứng minh: Chú ý RA=A ( tức A iđean hai phía R) hiển nhiên có điều phải chứng minh Giả sử RA ≠ A, RA=R (i) = ∑ i =1 ri với ri ∈ R , ∈ A Vì A ⊆ I ( A ) , kéo theo {r i } sinh n R I(A) (ii) Lấy B/A I(A)-môđun thật R/A Khi (BA+A)/A ⊆ B / A R-môđun thật R/A, Do BA ⊆ A B ⊆ I ( A ) Tuy nhiên, I ( A ) / A  End ( R / A ) vành chia Do B/A=I(A)/A B/A=0 (iii) Nếu I(A) Noether phải, (i), R I(A)-môđun Noether phải R-môđun Noether phải Ngược lại, R Noether phải, lấy B iđean phải I(A) Ta có BR ⊇ B ⊇ BA , với BR BA hữu hạn sinh iđean phải R I(A)-môđun phải (do (i)) Hơn nữa, kéo theo BR/BA ảnh đồng cấu (R/A)n với n Do (ii) nên có chuỗi hợp thành hữu hạn I(A), B/BA vậy, hữu hạn sinh Do B hữu hạn sinh, I(A) Noether phải (iv) Điều suy dễ dàng từ (iii) Ví dụ:  I ( A ) A Nếu A iđean phải tối đại vành Noether phải R vành T =  R   R Noether phải Điều kéo theo từ mệnh đề 3.1.10 định lý 3.1.12 (iii) A A  Hơn T idealizer iđean phải tối đại   M (R), kéo R R theo từ định lý 3.1.12 (iii) 3.2.ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HILBERT: Công cụ thứ hai để xây dựng ví dụ vành Noether không giao hoán vành đa thức Chúng ta xem xét định lý tiếng định lý Hilbert Định lý 3.2.1 [Định lý Hilbert] Cho S=R[x] vành đa thức Nếu vành hệ số R vành Noether phải (trái) S vành Noether phải (trái) Chứng minh: Đầu tiên giả sử R vành Noether phải chứng minh idean I S hữu hạn sinh Chúng ta cần xem xét trường hợp I ≠ Bước 1: Lấy J tập hệ số đứng đầu phần tử I, với Chính xác J = {r ∈ R | rx d + rd −1 x d −1 + + ro ∈ I ; rd −1 , ro ∈ R} Khi ta kiểm tra J idean phải R (chú ý r,r’ ∈ J hệ số đứng đầu phần tử s,s’ ∈ I với bậc d,d’ sau thay s s’ sxd’ s’d s s’ bậc) Bước 2: Vì R vành Noether phải nên J hữu hạn sinh Gọi r , r k tập sinh J, thừa nhận tất khác Mỗi r i hệ số đứng đầu đa thức p i ∈ I với bậc n i Đặt n=max{n , ,n k } thay p i pi x n − ni Do không tính tổng quát ta thừa nhận tất p i có bậc n Bước 3: Đặt N=R+Rx+ +Rxn-1=R+xR+ +xn-1R, tập phần tử S với bậc nhỏ n Đây idean S, R-modun phải trái Được xem R-modun phải, N hữu hạn sinh Noether theo hệ 2.1.6 Bây I ∩ N R-modun phải N , phải hữu hạn sinh Gọi q , ,q t tập sinh tập I ∩ N Bước 4: Chúng ta chứng minh p , ,p k ,q , ,q t tập sinh I Gọi I o idean phải S sinh tập đa thức Khi I o ⊆ I Và ta đa thức p ∈ I nằm I o Điều dễ dàng p có bậc nhỏ n, trường hợp p ∈ I ∩ N p= q1a1 + + qt at với a j ∈ R Bước 5: Giả sử p ∈ I có bậc m ≥ n I o chứa tất phần tử I với bậc nhỏ m Lấy r hệ số p Khi r ∈ J r=r a + +r k a k với ∈ R Đặt q=(p a + +p k a k )xm-n , phần tử I o có bậc m hệ số đầu r Bây p-q phần tử I với bậc nhỏ m Do giả thiết quy nạp nên p − q ∈ I o p ∈ I o Vậy I=I o , ta có điều phải chứng minh Như ta dễ dàng suy vành đa thức R[x , ,x n ] với số biến hữu hạn vành Noether phải (trái) R vành Noether phải (trái), ta xem R[x , ,x n ] vành đa thức biến x n với hệ số vành R[x , ,x n-1 ] Hệ 3.2.2: Cho R đại số trường k Nếu R giao hoán hữu hạn sinh kđại số R vành Noether Chứng minh: Cho x , ,x n tập sinh R k-đại số, đặt S=k[y1 , ,y n ] vành đa thức k với n biến độc lập ) xi ∀i Vì R giao hoán nên tồn ánh xạ k-đại số ϕ : S → R cho ϕ ( yi= ϕ toàn ánh x i hệ sinh R Do R ≅ S / ker ϕ Theo định lý Hilbert ta có S vành Noether, R vành Noether Ta có điểu phải chứng minh Trong trường hợp R k-đại số hữu hạn sinh không giao hoán Noether không Noether, chẳng hạn hai ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho k trường Gọi V không gian vecto vô hạn đếm chiều k với sở {v ,v , } Định nghĩa s,t ∈ End k (V ) cho s(v i )=v i+1 với i t(v i )=v i-1 với i>1 t(v )=0 Gọi R k-đại số End k (V) sinh s t Khi R không vành Noether phải không vành Noether trái Chứng minh: Định nghĩa e , e End k (V) cho e i (v i )=v i với i e i (v j )=0 với i ≠ j Ta ei ∈ R với i Khi ∑ e R ∑ Re i i i i không hữu hạn sinh Do R không vành Noether phải không vành Noether trái Ví dụ 2: Cho R đại số trường k, giả sử R sinh hai phần tử x y thỏa xy=-yx Khi x2 y2 tâm R R modun hữu hạn sinh đại số S sinh x2 y2 Và theo hệ mệnh đề 2.1.8 ta có R vành Noether Kết luận Bài toán thực luận văn mô tả định nghĩa, tính chất lớp vành Noether phải (trái) lớp vành Artin phải (trái); đồng thời đưa số ví dụ hình ảnh cụ thể số lớp vành Noether không giao hoán Các kết luận văn: Trong chương 1, luận văn trình bày kiến thức vành không giao hoán Trong chương 2, luận văn trình bày định nghĩa, tính chất vành Noether vành Artin Trong chương 3, đưa số hình ảnh cụ thể số lớp vành Noether không giao hoán, xây dựng dựa vật liệu ma trận vật liệu vành đa thức ẩn vành đa thức nhiều ẩn vành R không giao hoán Mặc dù nội dung nghiên cứu đề tài nhiều mẻ, cảm thấy kiến thức củng cố mở rộng nhiều, cảm thấy tâm huyết bỏ qua thời gian qua thật xứng đáng Tuy khó tránh sai sót mà không nhận ra, mong quý thầy cô tận tình góp ý để hoàn thành luận văn cách tốt Xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô nhiều Tài liệu tham khảo [1] J.C.McConnell and J.C Robson (2001), Noncommutative Noetherian rings, Americian Mathematical Society, Providence Rhode Island [2] I.N.Herstein (1968), Noncommutative rings, The Mathematical Association of America [3] K.R.Goodearl and R.B.Warfieald.Jr (2004), An introduction to Noncommutative Noetherian rings, London Mathematical Society, Cambridge university press [4] John Cozzens and Carl Faith ( ), Simple Noetherian rings, Cambridge Jracts in Mathematics [5] A.V.Jategaonkar and Fordham university, ( ), Localization in Noetherian rings, London Mathematical Society Lecture Note Series 98 [...]... LỚP CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này chúng ta đi tìm cách xây dựng một hệ thống các ví dụ để có một cái nhìn cụ thể và sâu sắc hơn về lớp các vành Noether không giao hoán Đồng thời để chỉ ra rằng lớp vành Noether không giao hoán là một lớp vành rất rộng Chúng ta sẽ có 2 hướng lớn để xây dựng các ví dụ về lớp các vành Noether không giao hoán cụ thể: 1/ Sử dụng vật liệu là các ma trận... Trên vành giao hoán R, bất kì môdun đơn nào cũng đẳng cấu với R/M trong đó M là idean tối đại, và ann R (R/M)=M Do đó tất cả các idean nguyên thủy của R là tối đại, tương đương, tất cả các vành nguyên thủy giao hoán đều là vành đơn Điều này thì không đúng trong vành không giao hoán Mệnh đề 1.5.3 Trong bất kì vành R, các tập sau là trùng nhau: a) Giao của tất cả các idean phải tối đại của R b) Giao. .. Sử dụng vật liệu là vành đa thức một ẩn và vành đa thức nhiều ẩn trên vành không giao hoán R 3.1 SỬ DỤNG CÁC MA TRẬN NHƯ VẬT LIỆU ĐỂ XÂY DỰNG VÍ DỤ VỀ VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN Định nghĩa 3.1.1 Trong đại số tuyến tính, nếu R là một vành và Rn là R-modun phải tự do bậc n (các phần tử được biểu diễn như các vectơ cột trên R) thì EndR n ≅ M ( R ) vành các n ma trận n x n trên R Các ma trận trên Rn... là Noether Ví dụ: 1) Vành số nguyên Z là vành Noether vì tất cả các idean của nó đều idean chính 2) Vành đa thức k[x] xác định trên trường k là vành Noether 3) Không gian vecto hữu hạn chiều trên trường k là vành Noether Mệnh đề 2.1.4 Cho B là một môdun con của môdun A Khi đó A là vành Noether nếu và chỉ nếu B và A/B đều Noether Chứng minh: Đầu tiên giả sử A là Noether Vì bất kì dây chuyền tăng các. .. Vành ma trận vuông cấp n trên một vành chia là vành Artin Tổng quát hơn, nếu R là vành Artin thì vành ma trận Rn cũng là vành Artin 3) Vành số nguyên Z không là vành Artin vì nó chứa dây chuyền giảm vô hạn các idean là (2) ⊃ ( 22 ) ⊃ ( 23 ) ⊃ 4) Vành đa thức A[t 1 ,t 2 , ] với các biến t 1 ,t 2 , trên vành A không là vành Artin vì nó chứa dây chuyền giảm vô hạn các idean là (t1 ) ⊃ ( t12 ) ⊃ ( t13... M n (R) là vành Noether phải nếu và chỉ nếu R là vành Noether phải Bất kì vành con S của vành R đều có thể xem xét như R-mođun phải, S R Lập luận trên có thể được dùng để chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 3.1.3: Nếu R là vành con của vành S, S R là hữu hạn sinh và R là Noether phải thì S là Noether phải Hệ quả 3.1.4 Nếu R ⊆ S ⊆ M n ( R ) là các vành thì S là Noether phải nếu và chỉ nếu R là Noether phải... Noether phải Chứng minh: Nếu S là Noether phải thì theo bổ đề 3.1.3 M n (R) cũng Noether phải, theo mệnh đề 3.1.2 thì R cũng Noether phải Ngược lại, nếu R Noether phải thỉ theo 3.1.3 S cũng Noether phải Trước tiên ta dùng công cụ là các ma trận để xây dựng ví dụ chỉ ra có tồn tại các vành Noether phải mà không Noether trái và ngược lại Ví dụ 3.1.5 a b Cho R là vành tất cả các ma trận cấp 2x2 dạng  ... ràng rằng R là vành Noether phải nhưng không là vành Noether trái Chứng minh: Tương đối đơn giản để chỉ ra R không là vành Noether trái m    0 2 n   | m∈Z = Với mỗi số tự nhiên n lấy I n   0 0   I 2 Rõ ràng rằng I n là idean trái của R và I 0  I1  Khó khăn hơn để chỉ ra R là vành Noether phải Phương pháp sử dụng ở đây là chứng minh R là vành Noether phải nếu tất cả các idean phải... hạn của các bản sao của môdun Noether R R , nên nó là Noether theo hệ quả 2.1.5 Do đó theo mệnh đề 2.1.4, A phải Noether Hệ quả 2.1.7 Cho S là một vành con của vành R Nếu S là Noether phải và R là hữu hạn sinh như một S-môdun phải thì R là Noether phải Chứng minh: Theo hệ quả 2.1.6, R là Noether như một S-môdun phải Vì tất cả các idean phải của R cũng là S-môdun phải, do đó điều kiện ACC trên các idean... nửa nguyên thủy nếu và chỉ nếu I là giao của các idean nguyên thủy phải Do đó các idean nửa nguyên thủy của vành R có mối liên hệ với các idean nguyên thủy giống như mối liên hệ của idean nửa nguyên tố và idean nguyên tố Chú ý rằng tất cả các idean nửa nguyên thủy là nửa nguyên tố Ví dụ k[[x]] là vành các chuỗi lũy thừa trên trường chỉ ra rằng không phải tất cả các vành nửa nguyên tố ( thậm chí nguyên ... SÂU VỀ LỚP CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương tìm cách xây dựng hệ thống ví dụ để có nhìn cụ thể sâu sắc lớp vành Noether không giao hoán Đồng thời để lớp vành Noether không giao hoán. .. CHƯƠNG : MỘT SỐ TÌM HIỂU SÂU VỀ LỚP CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN 35 3.1 SỬ DỤNG CÁC MA TRẬN NHƯ VẬT LIỆU ĐỂ XÂY DỰNG VÍ DỤ VỀ VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN 35 3.2.ĐỊNH... ĐẦU Các vành Noether không giao hoán nghiên cứu từ lâu lớp vành quan trọng Đại số không giao hoán Nhưng ví dụ hình ảnh cụ thể chưa miêu tả cách đầy đủ Mục đích luận văn nghiên cứu lớp vành Noether