B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH NGUYN TON TR TNH GII C CA BI TON BIấN CHO H PHNG TRèNH VI PHN HM TUYN TNH LUN VN THC S TON GII TCH Thnh ph H Chớ Minh - 2011 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH NGUYN TON TR TNH GII C CA BI TON BIấN CHO H PHNG TRèNH VI PHN HM TUYN TNH Chuyờn ngnh: Mó s: Toỏn gii tớch 60 46 01 LUN VN THC S TON GII TCH NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS NGUYN ANH TUN Thnh ph H Chớ Minh - 2011 LI CM N Sau khong thi gian hc ti Trng HSP Tp.HCM, tụi ó hon thnh lun cao hc ca mỡnh Tụi xin c by t lũng bit n sõu sc nht PGS.TS Nguyn Anh Tun, ngi ó tn tỡnh hng dn, giỳp , to mi iu kin tụi hon thnh lun ny Tụi xin gi li cm n chõn thnh n quớ thy cụ Hi ng chm lun cao hc ó dnh thi gian c v cho tụi nhng y kin quớ bỏu cun lun ny c hon thin Tụi cng xin tri õn cỏc thy cụ khoa Toỏn Tin HSP Tp.HCM ó truyn th kin thc cho tụi sut thi gian tụi theo hc cao hc ti trng Xin cm n Ban Giỏm Hiu Trng HSP Tp.HCM, phũng SH ó h tr tụi sut khoỏ hc Cui cựng, xin cm n gia ỡnh, bn bố ó ng viờn tụi giỳp tụi cú thờm nim tin hon thnh lun Chc hn lun khú trỏnh thiu sút, rt mong ún nhn mi y kin úng gúp ca quớ thy cụ v bn c Tp.HCM, thỏng 11 nm 2011 Nguyn Ton Trớ M U Lý thuyt bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn i t th k th 18 nhng n phỏt trin mnh m nh cỏc ng dng sõu sc ca nú cỏc lnh vc khỏc ca khoa hc v i sng nh vt lý, c hc, c khớ, kinh t, sinh hc Trong khong thi gian t 1995 n 2000,I Kiguradze v B Puza nghiờn cu s tn ti v tớnh xp x nghim ca bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh sau: = x '(t ) p( x )(t ) + q(t ) l ( x ) = c ú p l toỏn t tuyn tớnh b chn mnh, l l toỏn t tuyn tớnh liờn tc, q l hm kh tớch Lebesgue cỏc cụng trỡnh [15], [16] Trong trng hp p ch l toỏn t tuyn tớnh b chn thỡ cha c xem xột Mc ớch chớnh ca lun l tip tc xem xột, nghiờn cu cỏc trng hp p ch l toỏn t tuyn tớnh b chn Lun gm hai chng: Chng I: Bi toỏn biờn tng quỏt cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh Chng II: Tớnh gii c ca bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh vi p l toỏn t tuyn tớnh b chn Lun l ti liu tham kho cho cỏc sinh viờn nm cui bc i hc v hc viờn cao hc nghiờn cu bi toỏn biờn tng quỏt cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh MC LC LI CM N M U MC LC Nhng kớ hiu c dựng lun vn: Chng I: BI TON BIấN TNG QUT CHO H PHNG TRèNH VI PHN HM TUYN TNH 1.1 Gii thiu bi toỏn: 1.2 Bi toỏn biờn tng quỏt cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh: 1.2.1 S tn ti v nht nghim: 1.2.2 H phng trỡnh vi phõn hm vi toỏn t Volterra: 18 1.2.3 Tớnh xp x nghim ca bi toỏn biờn tng quỏt: 21 1.3 Cỏc trng hp riờng ca bi toỏn biờn tng quỏt: 27 1.3.1 S tn ti v nht nghim: 27 1.3.2 Tớnh xp x nghim ca bi toỏn (1.5), (1.6): 31 CHNG II: TNH GII C CA BI TON BIấN CHO H PHNG TRèNH VI PHN HM TUYN TNH VI P L TON T TUYN TNH B CHN 38 KT LUN 46 TI LIU THAM KHO 47 Nhng kớ hiu c dựng lun vn: = ( , +) , = [0, +) , = ( ,0] + I = [a , b ] MesA l o L be ca A M ab l cỏc hm o c : I I t I l hm c trng trờn I t I I (t ) = Ent ( x ) l phn nguyờn ca x n n ={x =( xi )in=1 : xi , i =1, , n} vi chun x = xi i =1 nìn l khụng gian cỏc ma trn cp n ì n X = ( xik )in,k =1 ú xik (i, k = 1, , n ) vi chun X = n x i ,k =1 ik n n+ ={x =( xi )in= : xi 0, i =1, , n} n ìn : xik 0, i =1, , n} n+ìn ={x =( xik )in,k = Nu x, y n v X , Y nìn thỡ x y y x n+ , X Y Y X n+ìn Nu v X ( xik )in,k =1 nìn thỡ x = ( xi )in=1 , X = ( xik )in,k =1 x ( xi )in=1 n = = DetX l nh thc ca ma trn vuụng X X l ma trn nghch o ca ma trn vuụng X r ( X ) l bỏn kớnh ph ca ma trn vuụng X I n l ma trn n v l ma trn khụng C ( I ; n ) l khụng gian Banach cỏc hm vect liờn tc x : I n vi chun = x C max{ x (t ) : t I } C ( I ; n ) l khụng gian cỏc hm vect liờn tc tuyt i x : I n L( I ; n ) l khụng gian Banach cỏc hm vect kh tớch Lbe p : I n vi chun b p L = p( s ) ds a C ( I ; + ) ={x C ( I ; ) : x (t ) 0, t I } L( I ; + ) ={p L( I ; ) : p(t ) 0, t I } Lnab l cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn p : C ( I , n ) L( I , n ) Nu p Lab thỡ = p sup{ p( x ) L : x C 1} Toỏn t tuyn tớnh p : C ( I , n ) L( I , n ) c gi l b chn mnh nu p Lnab v tn ti hm kh tớch : I tha: p( x )(t ) (t ) x C , t I , x C ( I , n ) ~ Kớ hiu Lnab l cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn mnh Pab = {p Lab , p : C ( I ; + ) L( I ; + )} Ta t ~ kớ hiu Mp = {y C ( I ; n ) : y (t ) = z (a ) + p ( z )( s )ds, z C(I, n )} , ú a p : C ( I , n ) L( I , n ) l toỏn t tuyn tớnh b chn Là ( I ; n ) , < + , l khụng gian cỏc hm vect x : I n kh tớch bc vi b chun x L = ( x (t ) dt ) a Nu = x ( xi )in=1 Là ( I ; n ) thỡ x Là = ( xi n Là i =1 ) L( I ; nìn ) l khụng gian cỏc ma trn hm kh tớch X : I nìn Nu = X ( xik )in,k =1 : I nìn thỡ max{X (t )} = ( max{xik (t ))in,k =1 t[a ,b ] t[a ,b ] , ess sup{X (t )} = (ess sup{x ik (t)})in,k =1 t[a ,b ] t[a ,b ] Nu Z C ( I , nìn ) l ma trn hm vi cỏc ct z1 , z2 , , zn v g : C ( I , n ) L( I , n ) l toỏn t tuyn tớnh thỡ g ( Z ) l ma trn hm vi cỏc ct g ( z1 ), g ( z2 ), , g ( zn ) Chng I: BI TON BIấN TNG QUT CHO H PHNG TRèNH VI PHN HM TUYN TNH 1.1 Gii thiu bi toỏn: Trờn on I = [a, b] , xột h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh: dx (t ) = p( x )(t ) + q(t ) dt (1.1) vi iu kin biờn tuyn tớnh: l ( x ) = c0 (1.2) ú p : C ( I , n ) L( I , n ) l toỏn t tuyn tớnh b chn mnh v l : C ( I , n ) n l toỏn t tuyn tớnh b chn, q L( I , n ) , c0 n Trng hp riờng ca iu kin (1.2) l iu kin u: x (t0 ) = c0 (1.3) ú t0 I hay iu kin biờn tun hon: x ( b) x ( a ) = c0 (1.4) Nghim ca bi toỏn (1.1), (1.2) l hm vect x : I n liờn tc tuyt i, tha (1.1) hu khp ni trờn I v tha (1.2) Cỏc trng hp riờng ca bi toỏn (1.1), (1.2) l cỏc bi toỏn v s tn ti nghim ca h phng trỡnh vi phõn i s lch: dx (t ) = P (t ) x ( (t )) + q0 (t ) dt (1.5) tho mt cỏc iu kin sau: c0 x (t ) = u (t ) vi t I , l ( x ) = (1.6) c0 x (t ) = u (t ) vi t I , x (t0 ) = (1.7) c0 x (t ) = u (t ) vi t I , x (b) x ( a ) = (1.8) ú P L( I , nìn ) , q0 L( I , n ) , : I l hm o c v u : n l mt hm vect liờn tc v b chn ta t: (t ) < a a = (t ) (t ) a (t ) b b (t ) > b p( x )(t ) = I ( (t )) P(t ) x ( (t )) (1.9) (1.10) q( t ) = (1 I ( (t ))) P (t )u( (t )) + q0 (t ) (1.11) ú I l hm c trng ca I 1.2 Bi toỏn biờn tng quỏt cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh: Cựng vi bi toỏn (1.1), (1.2), ta xột bi toỏn thun nht tng ng: dx (t ) = p( x )(t ) dt (1.1 ) l ( x) = (1.2 ) 1.2.1 S tn ti v nht nghim: nh lớ 1.1: Bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht v ch bi toỏn thun nht tng ng (1.1 ), (1.2 ) ch cú nghim tm thng Chng minh t B C ( I , n ) ì n l khụng gian Banach gm cỏc phn t : = u= ( x; c ), x C ( I , n ), c n vi chun u= B x C + c Ly tu ý u = ( x; c) B v im c nh t0 I Ta t: t ( c + x (t0 ) + p( x )( s )ds, c l ( x )), t I f (u )(t ) = (1.12) t0 t = h(t ) ( q( s )ds, c0 ), t I t0 Khi ú bi toỏn (1.1), (1.2) tng ng vi phng trỡnh toỏn t sau B : = u f (u ) + h (1.13) bi vỡ u = ( x; c) l mt nghim ca (1.13) nu c = v x l mt nghim ca bi toỏn (1.1), (1.2) ~ Tuy nhiờn, p Lnab , l Lnab , q L( I , n ), c0 n v (1.12), nờn ta cú f : B B l mt toỏn t tuyn tớnh compact Tht vy: ~ Do p Lnab , l Lnab , q L( I , n ), c0 n v (1.12), ta cú f l toỏn t tuyn tớnh liờn tc t t f1 : B C ( I , n ) f1 (u )(t ) = c + x (t0 ) + p( x )( s )ds vi v f2 : B n vi t0 f (u )= c l ( x ) Khi u B , ta cú: f (u ) + l , f1 (u )(t ) + L t f1 (u )(t ) f1 (u )(= s) p( x)( )d t s t p( x )( ) d ( )d s s Do ú, ta cú f ( B(0,1)) l compact tng i n , f1 ( B(0,1)) l b chn u v ng liờn tc C ( I , n ) vi B(0,1) = {u B : u B 1} Theo nh lớ Ascoli Arzela, ta cú f1 ( B(0,1)) l compact tng i C ( I , n ) Suy f l toỏn t tuyn tớnh compact Do ú, theo nh lớ Fredholm cho cỏc phng trỡnh toỏn t, iu kin cn v cho tớnh gii c nht ca (1.13) l phng trỡnh toỏn t : u = f (u ) (1.14) ch cú nghim tm thng iu ny tng ng vi bi toỏn (1.1 ), (1.2 ) ch cú nghim tm thng Ly mt im c nh tu ý t0 I Ta nh ngha dóy toỏn t : p k : C ( I , n ) C ( I , n ) v cỏc ma trn k nìn nh sau: t = p ( x )(t ) x= (t ), p k ( x )(t ) p( p k = ( x ))( s )ds , (k 1, ) (1.15) t0 = k l ( p ( E ) + p1 ( E ) + + p k ( E )), = ( k 1, ) (1.16) Nu ma trn k khụng suy bin vi mi k , ta t: p k ,0 ( x )(t ) = x (t ) p k ,m (= x )(t ) p m ( x )(t ) [p ( E )(t ) + + p m ( E )(t )] k1l ( p k ( x )) (1.17) nh lớ 1.2: Gi s tn ti cỏc s nguyờn dng k , m , s nguyờn khụng õm m0 v ma trn A n+ìn cho: r ( A) < , ú ma trn k khụng suy bin v bt ng thc: p k ,m ( x ) A p k ,m0 ( x ) C C tha vi mi x l nghim ca bi toỏn (1.1 ), (1.2 ) Khi ú bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht (1.18) Khi ú tn ti s nguyờn dng k0 cho vi mi k k0 , bi toỏn (1.5 k ), (1.6 k ) nghim nht xk v lim x xk k + C = Chng minh Trc ht ta nhn xột cỏc bi toỏn (1.5), (1.6) v (1.5 k ), (1.6 k ) cú th vit li ln lt di dng (1.1), (1.2) v (1.1 k ), (1.2 k ) bng cỏch t: k (t ) , k (t ) I = k (t ) a , k (t ) < a b , k (t ) > b (1.93) pk ( x )(t ) = Pk (t ) I ( k (t )) x ( k (t )) (1.94) qk (t ) = (1 I ( k (t )) Pk (t )uk ( k (t )) + q0 k (t ) (1.95) ú , p , q c nh ngha bi cỏc ng thc (1.9) (1.11) p dng b 1.25, t (1.11) v (1.95) kt hp vi (1.88) (1.91) v (1.92) suy iu kin (1.65) v t (1.92), (1.94) ta c bt ng thc (1.66) Do ú chng minh nh lớ, ỏp dng h qu 1.15, ta ch cn kim tra iu kin (1.64) Tht vy: Vi mi hm vect liờn tc tuyt i y : I n , theo (1.9), (1.88), (1.90), (1.92) v (1.93) thỡ cỏc hm vect v cỏc hm ma trn: H k (t ) = I ( k (t )) Pk (t ) , H (t ) = I ( (t )) P (t ) Vk (t ) = Y ( k (t )) , V (t ) = Y ( (t )) tha cỏc iu kin (1.80) (1.82) Khi ú theo b 1.25, ta cú iu kin (1.83) v kt hp vi (1.10) v (1.94) suy (1.64) nh lớ 1.27: Gi s bi toỏn (1.5), (1.6) cú nghim nht x v: t lim ( k [Pk ( s ) P( s )]ds = u trờn I k + (1.96) a t lim ( k [q k ( s ) q0 ( s )]ds = u trờn I k + lim ( k2 [u k (t ) u(t )] = u trờn k + b ú: k = + Pk (t ) dt a (1.97) a (1.98) v lim lk ( y ) = l ( y ) vi y C ( I , n ) , lim c0 k = c0 k + k + Gi s hm : I liờn tc, n iu, cỏc thnh phn ca hm vect u cú bin phõn b chn v k (t ) (t ) ( k = 1, 2, ) (1.99) Khi ú tn ti s nguyờn dng k0 cho vi mi k k0 , bi toỏn (1.5 k ), (1.6 k ) nghim nht xk v lim x xk C k + = Chng minh Vi mi k = 1, 2, , theo (1.99) thỡ cỏc bi toỏn (1.5), (1.6) v (1.5 k ), (1.6 k ) ln lt tng ng vi cỏc bi toỏn (1.1), (1.2) v (1.1 k ), (1.2 k ) ú , p , q c cho bi (1.9) (1.11) pk ( x )(t ) = Pk (t ) I ( (t )) x ( (t )) (1.100) qk (t ) = (1 I ( (t )) Pk (t )uk ( (t )) + ( q0 k (t )) (1.101) Theo nh lớ 1.14, chng minh nh lớ ny, ta cn chng t rng cỏc dóy pk , qk ( k = 1, 2, ) tha cỏc iu kin (1.43), (1.60) v (1.61) Trc tiờn ta chỳ rng: + pk k ( k = 1, 2, ) (1.102) Mt khỏc, n iu v liờn tc nờn kt hp vi (1.96), ta cú: lim ( k Qik = ) 0= (i 0,1) C (1.103) k + t vi Qik (t )= [i + (1) ( ( s))[P ( s) P( s)]ds (i= i I 0,1) k a p dng (1.10) v (1.100), vi mi hm liờn tc tuyt i y : I n , ta cú: t t ds [pk ( y )( s) p( y )( s)]= ( (s))[p ( s) p( s)]y( a a I k ( s ))ds t = Q'0 k ( s ) y ( ( s ))ds (1.104) a t = Q0 k (t ) y ( (t )) + Q0 k ( s )dy ( ( s )) a t (t ) z ( a ) + I ( ( s )) Pk ( s ) z ( ( s ))ds ú z C ( I , n ) , z C Nu y M p thỡ y= k a Do ú: b y + Pk ( s ) ds = k C (1.105) a b b dy ( s ) Pk ( s ) ds < k a a kt hp vi tớnh n iu ca , ta cú: b dy ( b ( s ))ds dy ( s ) < k a (1.106) a T (1.104) kt hp vi (1.105), (1.106), ta c: t [p ( y )( s) p( y )( s)]ds k k Q0 k vi t I , y M p C k a Vỡ vy theo (1.103), iu kin (1.43) tho Vi mi hm liờn tc tuyt i y : I n , t: = b y C + dy ( ( s )) ds a Khi ú (1.104), ta cú: t [p ( y )( s) p( y )( s)]ds Q0 k k C ,t I a Kt hp vi (1.102) v (1.103) suy iu kin (1.60) Theo (1.11) v (1.101), ta cú: t t [q ( s) q( s)]ds = (1 ( ( s)) P ( s)[u ( ( s)) u( ( s))]ds + k I a k k a t + Q '1k ( s )u( ( s ))ds a p dng tớch phõn tng phn ta c: t Q' 1k t s )u( ( s ))ds Q1k (t )u( (t )) Q1k ( s )du( ( s )) (= a a Do ú: t [q k ( s ) q( s )]ds k uk u a b vi= u C + du( ( s )) a C + Q1k C (1.107) T (1.107) kt hp vi (1.98), (1.102) v (1.103) ta suy iu kin (1.61) nh lớ ó c chng minh CHNG II: TNH GII C CA BI TON BIấN CHO H PHNG TRèNH VI PHN HM TUYN TNH VI P L TON T TUYN TNH B CHN Trong chng ny, ta m rng cỏc kt qu ca chng I trng hp p khụng l toỏn t tuyn tớnh b chn mnh m ch l toỏn t tuyn tớnh b chn Xột bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh: dx (t ) = p( x )(t ) + q(t ) dt l ( x ) = c0 (2.1) (2.2) ú p Lnab v l : C ( I , n ) n l hm tuyn tớnh b chn, q L( I , n ) , c0 n ~ Nghim ca bi toỏn (2.1), (2.2) l hm x C ( I , n ) tho phng trỡnh (2.1) hu khp ni trờn I v tho iu kin (2.2) Cựng vi bi toỏn (2.1), (2.2), ta xột bi toỏn thun nht tng ng: dx (t ) = p( x )(t ) dt (2.1 ) l ( x) = (2.2 ) Vi mi k N , xột bi toỏn biờn: dx (t ) = pk ( x )(t ) + qk (t ) dt lk ( x ) = ck (2.1 k ) (2.2 k ) ú pk Lnab , lk : C ( I , n ) n l hm tuyn tớnh b chn, qk L( I , n ) , ck n Trong chng I, ta ó chng minh c rng p l toỏn t tuyn tớnh b chn mnh thỡ bi toỏn (2.1), (2.2) gii c nht nu v ch nu bi toỏn thun nht tng ng (2.1 ), (2.2 ) ch cú nghim tm thng Nm 1972, H.Schaefer [19] ó chng minh rng tn ti p l toỏn t tuyn tớnh b chn nhng khụng b chn mnh Do ú ta cn nghiờn cu tớnh gii c ca bi toỏn (2.1), (2.2) trng hp p, pk (k ) l cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn Cỏc kt qu chớnh ca phn ny da vo cỏc kt qu t [7], [16] nh lớ 2.1: Cho p Lnab Bi toỏn (2.1), (2.2) cú nghim nht nu v ch nu bi toỏn thun nht tng ng (2.1 ), (2.2 ) ch cú nghim tm thng chng minh nh lớ 2.1, ta cn cỏc b quan trng sau: B 2.2: Cho p L1ab Toỏn t A : C ( I ; ) C ( I ; ) xỏc nh bi: t A( x )(t ) = p( x )( s )ds vi a t b (2.3) a l compact Chng minh Trc ht, ta nhc li mt vi kt qu t [5]: Khụng gian L( I ; ) y yu (nh lớ IV.8.6) Toỏn t tuyn tớnh b chn bin khụng gian C ( I ; ) thnh khụng gian Banach y yu l hon ton liờn tc yu ( nh lớ VI.7.6) Nu M L( I ; ) l compact tng i yu thỡ nú cú tớnh cht ca tớch phõn liờn tc (nh lớ IV.8.11), ngha l: t p( x)( )d > 0, > : vi s, t I , t s , x M s Ta chng minh b 2.2: Gi s M C ( I , ) l b chn tu ý chng minh A l toỏn t compact, ta cn chng minh A( M ) l compact tng i Theo nh lớ Arzela- Ascoli, ta cn phi chng minh A( M ) b chn v ng liờn tc Chng minh A( M ) b chn: Theo nh ngha toỏn t A , ta cú: t = A( x ) C max{ p( x )( s )ds : t I } p( x ) L p x C , x M a Vỡ p l toỏn t tuyn tớnh b chn v M l b chn nờn A( M ) b chn Chng minh A( M ) ng liờn tc: Da vo cỏc kt qu 1), 2) ta cú toỏn t p hon ton liờn tc yu Do ú = p( M ) {p( x ) : x M } compact tng i yu Theo kt qu 3) p( M ) cú tớnh cht ca tớch phõn liờn tc tuyt i, ngha l: > 0, > : t p( x)( )d vi s, t I , t s , x M s Mt khỏc: t A( x )(t ) A( x )( s ) = p( x )( )d vi s, t I , x C ( I ; ) s Suy A( x )(t ) A( x )( s ) vi s, t I , t s , x M Vy A( M ) ng liờn tc B 2.2 c chng minh B 2.3: Cho p Lnab Toỏn t A : C ( I ; n ) C ( I ; n ) xỏc nh bi ng thc (2.3) l compact Chng minh: Gi x = ( x j )nj =1 l mt phn t ca C ( I ; n ) v x j = (0, , x j , ,0) Do p l toỏn t tuyn tớnh nờn: n = p( x ) ( pi ( x ))= i =1 , pi ( x ) n = pij ( x j ) (i 1, , n ) j =1 ú pi : C ( I ; n ) L( I ; ) , pij : C ( I ; ) L( I ; ) , pij ( x j ) = pi ( x j ) Vỡ p Lnab nờn ta cú pij L1ab (i, j = 1, , n ) Do ú, theo b (2.2), toỏn t t a t b (i , j p ( x )( s)ds ,= = Aij ( x )(t ) ij j 1, , n ) l compact a n Mt khỏc, A( x )(t ) = ( Aij ( x )(t ))in=1 j =1 Do ú, A compact T b 2.3, ta cú b sau: B 2.4: Cho p Lnab , toỏn t A : C ( I ; n ) C ( I ; n ) xỏc nh bi ng thc (2.3) v { k }k+=1 C ( I ; n ) l dóy b chn Khi ú, dóy {A( k )}k+=1 cha mt dóy hi t u Chng minh nh lớ 2.1: t X C ( I ; n ) ì n l khụng gian Banach gm cỏc phn t u = ( x, c) vi chun = u= X x C + c , ú x C ( I ; n ) v c n Ly tu = ý u ( x, c) X , ta t: t f (u )(t ) = ( c + x ( a ) + p( x )( s )ds, c l ( x )) , vi t I a t g (t ) = ( q( s )ds, c0 ) vi t I a Khi ú bi toỏn (2.1), (2.2) tng ng vi phng trỡnh toỏn t sau õy X : = u f (u ) + g (2.4) vỡ u = ( x, c) l nghim ca (2.4) nu c = v x l nghim ca bi toỏn (2.1), (2.2) Ngc li, nu x l mt nghim ca bi toỏn (2.1), (2.2) thỡ u = ( x,0) l mt nghim ca bi toỏn (2.4) Mt khỏc, theo cỏch t f nh trờn, kt hp vi b 2.3, ta cú f : X X l toỏn t tuyn tớnh compact Do ú theo nh lớ Fredholm cho phng trỡnh toỏn t thỡ iu kin cn v phng trỡnh phng trỡnh (2.4) cú nghim nht l phng trỡnh toỏn t : u = f (u ) (2.4 ) ch cú nghim tm thng Tuy nhiờn, iu ú tng ng vi bi toỏn thun nht (2.1 ), (2.2 ) ch cú nghim tm thng nh lớ c chng minh Ging nh chng I, ta tip tc nghiờn cu tớnh xp x nghim ca bi toỏn (2.1), (2.2) nh lớ 2.5: Gi s bi toỏn (2.1), (2.2) cú nghim x nht, dóy cỏc toỏn t pk , lk tho cỏc iu kin: t sup{ [pk ( y )( s ) p( y )( s )]ds : a t b, y M pk } k + (2.5) a lim lk ( y ) = l ( y ) vi y C ( I ; n ) k + (2.6) ~ Gi s vi mi y C ( I ; n ) , ta cú: t lim (1 + pk ) [pk ( y )( s ) p( y )( s )]ds = u trờn I k + (2.7) a Hn na: t lim (1 + pk ) [q k ( s ) q( s )]ds = u trờn I k + a (2.8) lim ck = c (2.9) k + Khi ú tn ti k0 cho vi mi k > k0 , bi toỏn (2.1 k ), (2.2 k ) cú nghim xk nht v lim xk x k + C = (2.10) chng minh nh lớ 2.5, ta cn cú b sau: B 2.6: Gi s bi toỏn (2.1 ), (2.2 ) ch cú nghim tm thng v dóy cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn pk v lk thoó cỏc iu kin (2.5), (2.6) Khi ú tn ti s nguyờn dng k0 v s > cho vi mi hm vect liờn tc tuyt i z : I n , ta cú : z C k ( z )= ( k k0 , k0 + 1, ) ú: t = k ( z ) max{ lk ( z ) + (1 + pk ) [z '( s ) pk ( z )( s )]ds : t I } (*) a Chng minh: T iu kin (2.6) v theo nh lớ Banach Steinhauss , ta cú dóy { lk }k+=1 b chn, ngha l tn ti s > cho: lk ( y ) y C vi mi y C ( I ; n ) , k (2.11) Vi y C ( I ; n ) , t: t A( y )(t ) = p( y )( s )ds a t = Ak ( y )(t ) , t I ,k p ( y )( s)ds = k 1, 2, a Khi ú A , Ak : C ( I ; n ) C ( I ; n ) l cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn v Ak pk , k = 1, 2, (2.12) Mt khỏc, theo (2.5) ta cú: sup{ Ak ( y ) A( y ) C : y M pk } k + (2.13) Gi s trỏi li b khụng ỳng Khi ú tn ti mt dóy tng cỏc s nguyờn dng {km }m+=1 v dóy cỏc hm vect zm : I n ( m = 1, 2, ) liờn tc tuyt i cho: zm C > m km ( zm ) ( m = 1, 2, ) (2.14) Vi mi m = 1, 2, , ta t ym (t ) = zm ( t ) zm C t ' vm ( t ) = [ym ( s) pkm ( ym )( s)]ds , t I (2.15) a y0 m (t ) =ym (t ) vm (t ) , t I (2.16) w m (t ) = Akm ( y0 m )(t ) A( y0 m )(t ) + Akm ( vm )(t ) , t I (2.17) y= 1= , m 1, 2, m C (2.18) y0 m (t )= ym ( a ) + Akm ( ym )(t ) , t I , m= 1, 2, (2.19) y0 m (t )= ym ( a ) + A( y0 m )(t ) + w m (t ) , t I , m= 1, 2, (2.20) Khi ú: Theo (*) v (2.14), vi mi m = 1, 2, , ta cú: (t ) vm= t zm [z C ' m ( s ) pkm ( zm )( s )]ds a zm (1 + pkm ) km ( zm ) vi mi t I C Suy ra: vm C km ( zm ) zm (1 + pkm ) C < m(1 + pkm ) ,m = 1, 2, (2.21) V (2.12), ta cú: Akm ( vm ) C pkm vm C < ,m = 1, 2, m (2.22) T (2.18) v (2.19), ta cú: y0 m M pk , m m Kt hp vi (2.13) suy ra: lim Ak ( y0 m ) A( y0 m ) C = m + m T (2.22), (2.23), (2.17) suy lim w m m+ C =0 (2.23) (2.24) Mt khỏc, theo (2.16), (2.18) v (2.21), ta cú: y0 m C ym C + vm C ,m = 1, 2, Vỡ vy, tn ti hm kh tớch : I + cho bt ng thc: p( y0 m )(t ) (t ) ( m = 1, 2, ) tha hu khp ni trờn I Khi ú ta cú: (2.25) t A( y0 m )(t ) A( y0 m )( s ) ( )d , a s t b (m = 1, 2, ) (2.26) s Theo (2.20), (2.24) v (2.26), dóy {y0 m }m =1 ng liờn tc Do ú, theo b Arzel Ascoli ,khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s rng dóy {y0 m }m =1 hi t u t lim = y0 m ( t ) y0 ( t ) , t I m + Khi ú theo (2.16), (2.18), (2.20), (2.21) v (2.24), ta cú: lim ym y0 m + y0 C C = (2.27) = , y0 ( t ) = y0 ( a ) + A( y0 )(t ) , t I Do ú y0 l mt nghim khụng tm thng ca h (2.1 ) T (2.11) v (2.14), ta cú: lk m ( y ) lk m ( y y m ) + lk m ( y m ) y0 y m y0 y m y0 y m C C C + + zm lk m ( z m ) C zm km ( zm ) C + (m = 1, 2, ) m Theo (2.6) v (2.27), ta cú l ( y0 ) = , ngha l y0 l mt nghim ca bi toỏn (2.1 ), (2.2 ) iu ny trỏi vi gi thit bi toỏn (2.1 ), (2.2 ) ch cú nghim tm thng B c chng minh Chng minh nh lớ 2.5: Gi s k0 l s nguyờn dng b 2.6 Khi ú theo b ny, vi mi k > k0 , bi toỏn thun nht: dx (t ) = pk ( x )(t ) dt lk ( x ) = ch cú nghim tm thng Theo nh lớ 2.1, vi mi k > k0 , bi toỏn (2.1 k ), (2.2 k ) cú nghim nht, gi s l xk t z= xk (t ) x (t ) vi a t b k (t ) Khi ú vi mi k k0 , ta cú: ~ dzk (t ) = pk ( zk )(t ) + qk (t ) vi t I dt lk ( z k ) = k (2.28) ú: ~ qk (t= ) pk ( x )(t ) p( x )(t ) + qk (t ) q(t ) vi t I k = ck c + l ( x ) lk ( x ) Theo (2.7),(2.8), (2.9) ta cú: t ~ k= (1 + pk )max{ qk ( s )ds : t I } k + (2.29) a lim k = (2.30) k + Mt khỏc theo b (2.6) v (2.28) , (2.29), tn ti s > cho: zk C k ( zk ) ( k + k ) , (= k k0 , k0 + 1, ) Do ú, theo (2.29) v (2.30), ta cú lim zk k + C = hay lim x xk k + nh lớ 2.5 c chng minh xong C = KT LUN Lun ó trỡnh by cỏc c bn liờn quan n bi toỏn biờn tng quỏt cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh nh s tn ti v nht nghim, tớnh xp x nghimCỏc kt qu chớnh ca bi toỏn biờn tng quỏt c ỏp dng cho cỏc trng hp riờng c bit, lun trung nghiờn cu v tớnh gii c ca bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh p ch l toỏn t tuyn tớnh b chn Lun gm hai chng Chng I: Lun nghiờn cu s tn ti, nht nghim, tớnh xp x nghim ca bi toỏn biờn tng quỏt cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh m kt qu chớnh l cỏc nh lớ 1.2, 1.6, 1.14 Riờng h phng trỡnh vi phõn hm vi toỏn t Volterra, lun cng ó trỡnh by c iu kin cn v cho s tn ti v nht nghim vi kt qu l nh lớ 1.12 Chng II: T cỏc kt qu ca chng I, lun trỡnh by v tớnh gii c, tớnh xp x nghim ca bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh p l toỏn t tuyn tớnh b chn vi kt qu chớnh l cỏc nh lớ 2.1, 2.5 Nh vy, v c bn lun ó gii quyt c cỏc liờn quan n bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh p l toỏn t tuyn tớnh b chn mnh k c p ch l toỏn t tuyn tớnh b chn Tuy nhiờn, cỏc trng hp c th ca bi toỏn biờn nh bi toỏn biờn tun hon, bi toỏn biờn hai im hoc nhiu im cha c xem xột ú l cỏc hng s c tip tc xem xột cú iu kin Rt mong quớ thy cụ, ng nghip gúp ý thờm lun c hon thin TI LIU THAM KHO 1) N.V.Azbelev, V.P.Maksimov and L.F.Rakhmatullina: Introduction to the theory of functional differential equations Nauka, Moscow, 1991 (In Russian) 2) S.R.Bernfeld and V.Lakshmikantham: An introduction to nonlinear boundary value problems Academic Press, Inc., Newyork and London, 1974 3) R.Conti : Recent trends in the theory of boundary value problems for ordinary differential equations Boll Unione mat ital 22 (1967), 135 178 4) R.Conti: Problộmes lineaires pour les equations differentielles ordinaires Math Nachr 23 (1961), 161 178 5) N.Dunford and J.T.Schwartz: Linear Operators.I.General Theory , Pure and applied Mathematics, vol 7, Interscience Publishers, New York, 1958 6) S.M.Gelashvili: On a boundary value problem for systems of functional differential equations Arch Math (Brno) 20 (1964), 157 168 (In Russian) 7) R.Hakl, A.Lomtatidze, I.P.Stavroulakis: On a boundary value problem for scalar linear functional differential equations Abstr Appl Anal 2004, No 1, 45 67 8) J.Hale: Theory of functional differential equations Springer Verlag, Newyork Heidelberg Berlin, 1977 9) G.H.Hardy, J.E.Littlewood and G.Púlya: Inequalities Cambridge Univ Press, Cambridge, 1934 10) P.Hartman: Ordinary differential equations John Wiley, Newyork, 1964 11) L.V.Kantorovic, Leningrad, B.Z Vulich and A.G.Pinsker: Functional analysis in semiordered spaces GITTL, Leningrad, 1950 (In Russian.) 12) L.V.Kantorovich and G.P.Akilov: Functional analysis (Russian) Nauka, Moscow, 1977 13) I.Kiguradze: Some singular boundary value problems for ordinary differential equations Tbilisi Univ Press, Tbilisi, 1975 (In Russian.) 14) I.Kiguradze: Boundary value problems for systems of ordinary differential equations Current problems in mathematics Newst results, vol 30, 3-103, Itogi Nauki I Tekhniki, Akad Nauk SSSR, Vses Inst Nauchn I tekh Inform, Moscow (1978) (In Russian.) 15) I.Kiguradze and B Puza: Boundary value problems for systems of linear functional differential equations Folia Facultatis Scientiarium Naturalium Universitatis Masarykianae Brunensis Mathematica, 12 Masaryk University, Brno, 2003 16) I.Kiguradze and B Puza: On boundary value problems for systems for systems of linear functional differential equations Czechoslovak Math J 47(122) (1997), No 2, 341-373 17) Z.Opial: Linear problems for systems of nonlinear differential equations J Diff Eqs (1967), 580-594 18) R.A.Tsitskishvili: Unique solvability and correctness of a linear boundary value problem for functional differential equations Rep Enlarged Sessions Sem I.N Vekua Inst Appl Math (1990), No 3, 195-198 (In Russian.) 19) H.H.Scheafer, Normed tensor products of Banach lattices Proceedings of the international symposium on partial differential equations and the geometry of normed linear spaces (Jerusalem, 1972) Isreal J Math 13 (1972), 400 415 (1973) [...]... thuẫn với (1.68) Hệ quả đã được chứng minh 1.3 Các trường hợp riêng của bài toán biên tổng quát: 1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Theo chú ý đã nêu trong phần giới thiệu, bài toán (1.5), (1.6) có thể được vi t lại thành dạng (1.1), (1.2), trong đó toán tử p và hàm vectơ q được cho bởi đẳng thức (1.10) và (1.11), đồng thời hàm τ 0 được cho bởi đẳng thức (1.9) Do đó, định lí 1.1 cho bài toán (1.5), (1.6)... ( A) < 1 2n Định lí đã được chứng minh 1.2.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát: Cho k là số nguyên dương tùy ý Cùng với bài toán (1.1), (1.2), ta xét bài toán sau: dx (t ) = pk ( x )(t ) + qk (t ) dt (1.1 k ) lk ( x ) = cok (1.2 k ) trong đó: i pk : C ( I ,  n ) → L( I ,  n ) là một toán tử tuyến tính bị chặn mạnh ii lk : C ( I ,  n ) →  n là toán tử tuyến tính bị chặn iii qk ∈ L(... Bi−1 B i + 2 ) < 1 Hệ quả đã được chứng minh Định lý 1.6: Giả sử tồn tại ma trận hàm P0 ∈ L( I ,  n×n ) sao cho hệ phương trình vi phân: dx (t ) = P0 (t ) x (t ) dt (1.30) với điều kiện biên (1.2 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường và: b ∫ G (t, s)[p( x)( s) + P ( s) x( s)]ds ≤ A x 0 a 0 C (1.31) thoả với mọi nghiệm x của bài toán (1.1 0 ), (1.2 0 ) trong đó G0 là ma trận Green của bài toán (1.30), (1.2 0... q(t ) Do đó, kết hợp với bất đẳng thức (1.35), bất đẳng thức (1.34) bao hàm bất đẳng thức (1.31) Vì vậy, tất cả giả thiết của định lý 1.6 được thỏa mãn Hệ quả đã được chứng minh xong 1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra: Trong mục này ta sẽ xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) khi p là toán tử Volterra Lấy tuỳ ý t0 , t ∈ I , và x ∈ C ( I ,  n ) , đặt: α* (t0... k và m sao cho Λ k =E , l ( p k ( x )) = 0 , p k ,m ( x )(t ) = p m ( x )(t ) Do đó, theo định lí 1.2 hệ quả được chứng minh Chú ý: Điều kiện đặt ra cho ma trận A trong hệ quả 1.3 là tối ưu và không thể thay thế bởi điều kiện: r ( A) ≤ 1 Thật vậy,xét hệ phương trình vi phân : 1 dx (t ) = 2 ∫ x ( s )ds dt 0 (1.21) trên I = [0,1] với điều kiện đầu x (0) = 1 (1.22) Mỗi nghiệm của hệ phương trình (1.21)... trên I Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất Hệ quả 1.21: Giả sử 1/2 det( B0 ) ≠ 0 và r ( B + B0−1 B 2 ) < 1 trong đó: b = B0 b χ I (τ ( s )) P( s )ds , B ∫= ∫ χ (τ ( s)) P( s) ds a a I Khi đó bài toán (1.5), (1.8) có nghiệm duy nhất Định lí 1.22: Giả sử tồn tại ma trận hàm P0 ∈ L( I ,  n×n ) sao cho hệ phương trình vi phân dx (t ) = P0 (t ) x (t ) dt (1.76) với điều kiện biên l ( x ) =... Khi đó bài toán (1.5), (1.8) có nghiệm duy nhất 1.3.2 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán (1.5), (1.6): Cho k là một số nguyên dương bất kì Cùng với bài toán (1.5), (1.6), ta hãy xét bài toán: dx (t ) = Pk (t ) x (τ k (t )) + q0 k (t ) dt (1.5 k ) = lk ( x ) c0 k= , x (t ) uk (t ) , t ∉ I (1.6 k ) trong đó Pk ∈ L( I ;  n×n ), q0 k ∈ L( I ,  n ), c0 k ∈  n ,τ k : I →  là đo được, uk :  →  n là hàm vectơ... đây: Định lí 1.16: Bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán thuần nhất tương ứng: dx(t ) = χ I (τ (t )) P(t ) x (τ 0 (t )) dt l ( x) = 0 chỉ có nghiệm tầm thường Vì l : C ( I ,  n ) →  n là toán tử tuyến tính liên tục nên theo định lí Riesz, tồn tại duy nhất một ma trận hàm Λ : I →  n×n sao cho các thành phần của Λ có biến phân bị chặn trên I và không mất tính tổng quát, ta... 1 Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất Chứng minh Theo định lý 1.1, ta cần chứng minh bài toán (1.1 0 ), (1.2 0 ) với giả thiết của định lý 1.6 chỉ có nghiệm tầm thường Giả sử x là một nghiệm tùy ý của bài toán (1.1 0 ), (1.2 0 ) Khi đó vì (1.30), (1.2 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường nên bài toán: dx(t) = p( x )(t ) = P0 (t ) x (t ) + [p( x )(t ) − P0 (t ) x (t )] dt với điều kiện biên (1.2... (1.59), ta có l ( y0 ) = 0 , nghĩa là, y0 là một nghiệm của bài toán (1.1 0 ), (1.2 0 ) Điều này trái với giả thiết hệ phương trình (1.1 0 ), (1.2 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường Bổ đề được chứng minh Định lí 1.14: Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất x , dãy các toán tử pk và lk ( k = 1, 2, ) thoả các điều kiện (1.43), (1.44) Giả sử với mọi hàm liên tục tuyệt đối y : I →  n ta có: t lim ((1 + ... tng quỏt cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh Chng II: Tớnh gii c ca bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh vi p l toỏn t tuyn tớnh b chn Lun l ti liu tham kho cho cỏc sinh vi n nm... toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh p l toỏn t tuyn tớnh b chn vi kt qu chớnh l cỏc nh lớ 2.1, 2.5 Nh vy, v c bn lun ó gii quyt c cỏc liờn quan n bi toỏn biờn cho h phng trỡnh vi phõn... hm vi cỏc ct z1 , z2 , , zn v g : C ( I , n ) L( I , n ) l toỏn t tuyn tớnh thỡ g ( Z ) l ma trn hm vi cỏc ct g ( z1 ), g ( z2 ), , g ( zn ) Chng I: BI TON BIấN TNG QUT CHO H PHNG TRèNH VI