BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Ân HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Ân HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ, K20 Mã số: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Mỵ Vinh Quang Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, người cho niềm đam mê khoa học trang bị đầy đủ kiến thức tảng để hoàn thành luận văn Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp giảng dạy hướng dẫn tận tình để hoàn thành luận văn này, người cho định hướng nhận xét quý báu trình xây dựng đề cương trình hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè tin tưởng, động viên ủng hộ mặt tinh thần vật chất để thuận lợi hoàn thành khóa học Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Nguyễn Văn Ân MỤC LỤC Lời cảm ơn i Mục lục ii Lời mở đầu iii Chương MIỀN DEDEKIND 1.1 Khái niệm đóng nguyên 1.2 Vành Noether 1.3 Miền Dedekind 1.4 Hạng nhóm Abel Chương HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ TRÊN MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH 11 2.1 Cấp phần tử 11 2.2 Module cyclic tựa cyclic miền Dedekind 16 2.3 Khái niệm hạng module miền Dedekind 21 2.4 Một số tính chất hạng module miền ideal 31 2.5 So sánh số tính chất hạng module miền ideal miền Dedekind 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 LỜI MỞ ĐẦU Có nhiều nghiên cứu module miền ideal có nhiều tính chất “hay đẹp” miền Dedekind xem mở rộng gần gủi miền ideal chính, miền Dedekind bảo lưu nhiều tính chất giống với miền ideal chính, chẳng hạn: miền Dedekind ideal phân tích thành tích ideal tối đại, ideal nguyên tố miền Dedekind ideal tối đại, nhiên có nhiều tính chất khác so với miền ideal chính, chẳng hạn ideal miền Dedekind nói chung không ideal chính, module môt module cyclic miền Dedekind không module cyclic… Khái niệm hạng module xem khái niệm mở rộng khái niệm hạng module tự do, nhiên khái niệm hạng module đặc biệt hạng module miền Dedekind chưa nghiên cứu nhiều, luận văn nghiên cứu, tìm tòi đưa tính chất hạng module miền Dedekind miền ideal Luận văn gồm chương Chương I: Miền Dedekind Trong chương trình tính chất miền Dedekind cần thiết cho chương II Chương II: Hạng module miền Dedekind miền ideal Trong chương xây dựng nghiên cứu tính chất cấp phần tử module miền Dedekind, xây dựng nghiên cứu tính chất module cyclic tựa cyclic miền Dedekind, xây dựng khái niệm hạng module miền Dedekind miền ideal chính, nghiên cứu tính chất quan trọng hạng module miền Dedekind miền ideal Chương MIỀN DEDEKIND 1.1 Khái niệm đóng nguyên 1.1.1 Định nghĩa phần tử nguyên Cho 𝐴 𝐵 miền nguyên, 𝐴 ⊂ 𝐵 (tháp miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵) Phần tử 𝑏 thuộc 𝐵 gọi phần tử nguyên 𝐴 tồn đa thức 𝑓(𝑥) thuộc 𝐴[𝑥] đơn khởi, bậc lớn 1, nhận 𝑏 làm nghiệm Hay 𝑏 nguyên 𝐴 tồn 𝑎0 , 𝑎1 , … 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴 cho 1.1.2 Định lý 𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑏 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑏 + 𝑎0 = Cho tháp miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵 Nếu 𝐵 𝐴-module hữu hạn sinh 𝐵 nguyên 𝐴 (nghĩa phần tử 𝑏 thuộc 𝐵 nguyên 𝐴) Chứng minh Giả sử 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 hệ sinh 𝐴-module 𝐵, ∀𝑏 ∈ 𝐵 ta có Suy 𝑏1 𝑏 = 𝑎11 𝑏1 + ⋯ + 𝑎1𝑚 𝑏𝑚 𝑏 𝑏 = 𝑎21 𝑏1 + ⋯ + 𝑎2𝑚 𝑏𝑚 � … 𝑏𝑚 𝑏 = 𝑎𝑚1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑚 𝑏𝑚 (𝑎11 − 𝑏)𝑏1 + 𝑎12 b2 … + 𝑎1𝑚 𝑏𝑚 = 𝑎 𝑏 + (𝑎22 − 𝑏)𝑏2 + ⋯ + 𝑎2𝑚 𝑏𝑚 = � 21 … 𝑎𝑚1 𝑏1 + 𝑎𝑚2 𝑏2 + ⋯ + (𝑎𝑚𝑚 − 𝑏)𝑏𝑚 = Hệ có nghiệm 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 khác 0, đó: a11  b a12  a1m a21 a22  b  a2 m 0    am1 am  amm  b Đẳng thức tương đương với (−1)𝑚 𝑏𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑏 𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑏 + 𝑎0 = 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 Vậy 𝑏 nghiệm đa thức: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑚 + (−1)𝑚 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + (−1)𝑚 𝑎1 𝑥 + (−1)𝑚 𝑎0 ∈ 𝐴[𝑥] Từ suy b nguyên A  1.1.3 Hệ Cho tháp miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵, b thuộc B Khi điều kiện sau tương đương i) b nguyên A ii) A[b] A-module hữu hạn sinh iii) A[b] nguyên A 1.1.4 Định nghĩa bao đóng nguyên Cho miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵 Ta định nghĩa bao đóng nguyên A B tập 𝐴𝐵 = {𝑏 ∈ 𝐵|𝑏 nguyên A} Nếu 𝐴𝐵 = 𝐵 ta nói B nguyên A, 𝐴𝐵 = 𝐴 ta nói A đóng nguyên B Nhận xét: 𝐴 ⊂ 𝐴𝐵 ⊂ 𝐵 1.1.5 Định nghĩa đóng nguyên Cho A miền nguyên, K trường thương A Bao đóng nguyên A K gọi bao đóng nguyên A Miền nguyên A gọi đóng nguyên 𝐴𝐾 = 𝐴 1.2 Vành Noether 1.2.1 Định nghĩa dây chuyền tăng ideal Cho dãy vô hạn ideal {𝐼𝑛 |𝑛 = 1,2, … } vành Dãy gọi dây chuyền tăng 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ ⋯ Dãy gọi dây chuyền tăng nghiêm ngặt 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐼𝑛 ⊂ ⋯ 1.2.2 Định nghĩa dãy dừng Một dây chuyền tăng ideal 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ ⋯ vành gọi dừng có số nguyên dương 𝑛0 cho 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛0 , ∀𝑛 ≥ 𝑛0 1.2.3 Định nghĩa điều kiện dây chuyền tăng Một vành R gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dây chuyền tăng ideal R dừng Nói cách khác, R gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng R không chứa dây chuyền tăng nghiêm ngặt ideal 1.2.4 Định nghĩa vành Noether Một vành R gọi vành Noether R thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng 1.2.5 Định nghĩa điều kiện tối đại Một vành D gọi thỏa mãn điều kiện tối đại tập không rỗng S ideal D chứa ideal cho ideal S chứa thực sự; nghĩa S có ideal I cho J ideal S mà 𝐼 ⊆ 𝐽 𝐼 = 𝐽 (hay nói cách khác, tập không rỗng S ideal D chứa phần tử tối đại) 1.2.6 Định lý Cho R vành, mệnh đề sau tương đương: i) R vành Noether ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại iii) Mọi ideal R hữu hạn sinh 1.3 Miền Dedekind 1.3.1 Định nghĩa miền Dedekind Cho D miền nguyên, D gọi miền Dedekind điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: i) D vành Noether ii) Mọi ideal nguyên tố khác tối đại iii) D đóng nguyên Ví dụ Miền ideal miền Dedekind, thậy vậy: Trong miền ideal ideal sinh phần tử nên hữu hạn sinh, miền ideal vành Noether Giả sử 〈𝑝〉 ideal nguyên tố khác miền ideal X, có ideal 〈𝑞〉 cho 〈𝑝〉 ⊂ 〈𝑞〉 ⊂ 𝑋 suy tồn 𝑎 ∈ 𝑋 cho 𝑝 = 𝑎𝑞, 𝑎𝑞 ∈ 〈𝑝〉 kết hợp với 〈𝑝〉 ideal nguyên tố suy 𝑎 ∈ 〈𝑝〉 𝑞 ∈ 〈𝑝〉 điều tương đương 𝑎 = 𝑏𝑝, (𝑣ớ𝑖 𝑏 ∈ 𝑋) 𝑞 = 𝑐𝑝, (𝑣ớ𝑖 𝑐 ∈ 𝑋) Vậy 〈𝑝〉 = 〈𝑞〉 〈𝑞〉 = 𝑋, tức 〈𝑝〉 tối đại Giả sử X miền ideal chính, K trường thương X, Ta có 𝑋 ⊂ 𝑋 𝐾 , ngược lại lấy 𝛼 ∈ 𝑋 𝐾 , ta có 𝛼 ∈ 𝐾 nên 𝛼 = 𝑎/𝑏, với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎, 𝑏) = Vì 𝛼 nguyên X nên tồn 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝑋 cho suy hay 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑎 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 � � + 𝑎0 = � � + 𝑎𝑛−1 � � 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑏 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑏 𝑛−1 + 𝑎0 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 = −𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑏 − ⋯ − 𝑎1 𝑎𝑏 𝑛−1 − 𝑎0 𝑏 𝑛 Vậy 𝑎𝑛 ⋮ 𝑏 mà (𝑎, 𝑏) = nên 𝑏 = 𝛼 = 𝑎 ∈ 𝑋 Do ta có 𝑋 𝐾 ⊂ 𝑋 Ví dụ Cho K trường sau cho ℚ ⊂ 𝐾 ⊂ ℂ, ℚ ℂ trường số hữu tỷ trường số phức, [𝐾: ℚ] = 𝑛 Ta gọi 𝑂𝐾 vành số nguyên K ℤ, tức 𝑂𝐾 = {𝛼 ∈ 𝐾|𝛼 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡𝑟ê𝑛 ℤ} Khi 𝑂𝐾 miền Dedekind (xem [9], trang 194, định lý 8.1.1) 1.3.2 Định nghĩa Ideal phân Cho D miền nguyên, K trường thương D Tập A khác rỗng K gọi ideal phân D có điều kiện sau: i) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐴 ii) ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑎𝑥 ∈ 𝐴 iii) ∃𝛼 ∈ 𝐷, 𝛼 ≠ để 𝛼𝐴 ⊂ 𝐷 Nhận xét Nếu 𝐴, 𝐵 ideal phân 𝐷 𝐴 + 𝐵, 𝐴𝐵 ideal phân 𝐷 1.3.3 Tính chất 1) Nếu 𝐴 ⊲ 𝐷 A ideal phân D Ngược lại, A ideal phân D 𝐴 ⊂ 𝐷 𝐴 ⊲ 𝐷 2) Mỗi ideal phân A D viết 𝐴 = � 1.3.4 Định nghĩa Ideal 𝑷 𝐼 𝛼 với 𝛼 ∈ 𝐷, 𝐼 ⊲ 𝐷 Cho D miền Dedekind, P ideal nguyên tố D, K trường thương D Ta định nghĩa 𝑃� = {𝛼 ∈ 𝐾|𝛼𝑃 ⊂ 𝐷} Nhận xét: 𝑃� ideal phân D, • ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃�: (𝛼 + 𝛽)𝑃 ⊂ 𝛼𝑃 + 𝛽𝑃 ⊂ 𝐷 + 𝐷 = 𝐷, 𝛼 + 𝛽 ∈ 𝑃� • ∀𝑎 ∈ 𝐷, ∀𝛼 ∈ 𝑃�: (𝛼𝑎)𝑃 = 𝑎(𝛼𝑃) ⊂ 𝑎𝐷 ⊂ 𝐷, suy 𝛼𝑎 ∈ 𝑃� • Lấy 𝛼 ∈ 𝑃\{0} Khi ∀𝛽 ∈ 𝑃�, ta có 𝛼𝛽 = 𝛽𝛼 ∈ 𝛽𝑃 ⊂ 𝐷, nên 𝛼𝑃� ⊂ 𝐷 1.3.5 Mệnh đề Cho D miền Dedekind, P ideal nguyên tố khác D Khi 𝑃�𝑃 = 𝐷 Chứng minh Vì 𝑃�, 𝑃 ideal phân D nên 𝑃�𝑃 ideal phân D Với 𝛼 ∈ 𝑃� 𝛼𝑃 ⊂ 𝐷 nên 𝑃�𝑃 ⊂ 𝐷, suy 𝑃� 𝑃 ⊲ 𝐷 Vì ∈ 𝐷 ⊂ 𝑃� nên 1𝑃 ⊂ 𝑃� 𝑃 ⊲ 𝐷, tính tối đại P ta có 𝑃�𝑃 = 𝑃 𝑃�𝑃 = 𝐷 Giả sử 𝑃�𝑃 = 𝑃, Khi ta chứng minh 𝑃� miền nguyên K chứa D Thật vậy, 𝑃� ideal phân D nên 𝑃� đóng với phép trừ Để chứng minh 𝑃� đóng với phép nhân ta lấy 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃�, cần chứng minh 𝛼𝛽 ∈ 𝑃� Ta có:(𝛼𝛽)𝑃 = 𝛼(𝛽𝑃) ⊂ 𝛼𝑃 ⊂ 𝑃 ⊂ 𝐷(vì 𝑃�𝑃 = 𝑃) 𝛼𝛽 ∈ 𝑃� 𝑘 � 𝑎𝑟𝑖 𝛼𝑖 = 𝑖=1 Suy 𝑎𝑟𝑖 𝛼𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑘 hay 𝑎𝑟𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑘 tức 𝑟𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑘 Do 𝑙 � 𝑠𝑖 𝛽𝑖 = 𝑖=1 Từ tính độc lập hệ {𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑙 } ta suy 𝑠𝑖 𝛽𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑙 Cho nên {𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑙 } độc lập 𝑀 Gọi 𝐻0 = 〈𝛼1 , … , 𝛼𝑘 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑙 〉 = 〈𝛼1 〉⨁ … ⨁〈𝛼𝑘 〉⨁〈𝛽1 〉⨁ … ⨁〈𝛽𝑙 〉 Ta có 𝐻0 ∈ 𝑋 𝑑(𝐻0 ) = 𝑟(𝐻0 ) = 𝑘 + 𝑙 = 𝑛 Do 𝑚𝑎𝑥 {𝑑(𝐻)} ≥ 𝑑(𝐻0 ) = 𝑛 𝐻∈𝑋 Chứng minh chiều đảo Giả sử 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)} = 𝑛 < ∞, ta cần chứng minh 𝑟(𝑀) < ∞ Phản chứng, giả sử 𝑟(𝑀) = ∞ hay 𝑟0 (𝑀) + max 𝑟𝑃 (𝑀) = ∞ Xảy hai trường hợp: Trường hợp 𝑟0 (𝑀) = ∞, suy tồn hệ {𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛+1 } độc lập gồm phần tử không xoắn 𝑀 Lấy 𝐻1 = 〈𝛼1 , … , 𝛼𝑛+1 〉 = 〈𝛼1 〉⨁ … ⨁〈𝛼𝑛+1 〉 ∈ 𝑋 Khi 𝐻1 ∈ 𝑋 nên dẫn đến điều mâu thuẩn: 𝑑(𝐻1 ) = 𝑟(𝐻1 ) = 𝑛 + > 𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 {𝑑(𝐻)} 𝐻∈𝑋 Trường hợp 𝑟𝑃 (𝑀) = ∞, suy tồn ideal nguyên tố 𝑃 cho 𝑟𝑃 (𝑀) = 𝑚 > 𝑛 Gọi {𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑚 } hệ độc lập tối đại phần tử cấp lũy thừa P Lấy 𝐻2 = 〈𝛼1 , … , 𝛼𝑚 〉 = 〈𝛼1 〉⨁ … ⨁〈𝛼𝑚 〉 ∈ 𝑋 Khi 𝐻2 ∈ 𝑋 nên dẫn đến điều mâu thuẩn: 𝑑(𝐻2 ) = 𝑟(𝐻2 ) = 𝑚 > 𝑛 = 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)} 𝐻∈𝑋 Vậy ta có 𝑟(𝑀) < ∞, kết hợp với chiều thuận ta có 𝑟(𝑀) = 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)}  2.4.3 Định lý Nếu M, N module hữu hạn sinh miền ideal R N không xoắn ta có 𝑑(𝑀⨁𝑁) = 𝑑(𝑀) + 𝑑(𝑁) Chứng minh Vì N hữu hạn sinh không xoắn nên ta viết 𝑁 = 〈𝑦1 〉⨁〈𝑦2 〉⨁ … 〈𝑦𝑘 〉 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 phần tử có cấp vô hạn Theo định lý 2.4.1 Và M hữu hạn sinh nên 𝑑(𝑁) = 𝑟0 (𝑁) = 𝑘 𝑀 = 〈𝑥1 〉⨁〈𝑥2 〉⨁ … 〈𝑥𝑛 〉 ⨁〈𝑎11 〉⨁〈𝑎12 〉⨁ … 〈𝑎1𝑘1 〉 ⨁〈𝑎21 〉⨁〈𝑎22 〉⨁ … 〈𝑎2𝑘2 〉 … ⨁〈𝑎𝑚1 〉⨁〈𝑎𝑚2 〉⨁ … 〈𝑎𝑚𝑘𝑚 〉 Trong 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 phần tử có cấp vô hạn; 𝑎𝑖𝑗 có cấp lũy thừa ideal nguyên tố 𝑃𝑖 Giả sử 𝑘1 ≥ 𝑘2 ≥ ⋯ ≥ 𝑘𝑚 , theo định lý 2.4.1 ta có Suy 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀) = 𝑛 + 𝑘1 𝑀⨁𝑁 = 〈𝑥1 〉⨁〈𝑥2 〉⨁ … 〈𝑥𝑛 〉 ⨁〈𝑦1 〉⨁〈𝑦2 〉⨁ … 〈𝑦𝑘 〉 ⨁〈𝑎11 〉⨁〈𝑎12 〉⨁ … 〈𝑎1𝑘1 〉 ⨁〈𝑎21 〉⨁〈𝑎22 〉⨁ … 〈𝑎2𝑘2 〉 … Suy ⨁〈𝑎𝑚1 〉⨁〈𝑎𝑚2 〉⨁ … 〈𝑎𝑚𝑘𝑚 〉 𝑑(𝑀⨁𝑁) = 𝑛 + 𝑘 + 𝑘1 = 𝑑(𝑀) + 𝑑(𝑁)  Nhận xét Nếu bỏ giả thiết 𝑁 không xoắn định lý không Sau ví dụ Ví dụ Xét ℤ6 = �0� , 1� , 2� , 3� , 4� , 5� � ℤ module, ta có ℤ6 = 〈1� 〉 = 〈2� , 3� 〉 = 〈2� 〉⨁〈3� 〉 Lấy 𝑀 = 〈2� 〉 module cyclic cấp 〈3〉 Khi ta có Suy 𝑟0 (𝑀) = 0, 𝑟〈3〉 (𝑀) = 1, 𝑟𝑃 (𝑀) = 0, ∀𝑃 ≠ 〈3〉 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀) = Lấy 𝑁 = 〈3� 〉 module cyclic cấp 〈2〉 Khi ta có Suy 𝑟0 (𝑀) = 0, 𝑟〈2〉 (𝑀) = 1, 𝑟𝑃 (𝑀) = 0, ∀𝑃 ≠ 〈2〉 𝑑(𝑁) = 𝑟(𝑁) = Khi 𝑀⨁𝑁 = 〈2� 〉⨁〈3� 〉 𝑟0 (𝑀⨁𝑁) = 0, 𝑟〈2〉 (𝑀⨁𝑁) = 1, 𝑟〈3〉 (𝑀⨁𝑁) = 1, 𝑟𝑃 (𝑀) = 0, ∀𝑃 ≠ 〈2〉, 〈3〉 Suy 2.4.4 Định lý 𝑑(𝑀) + 𝑑(𝑁) = > = 𝑑(𝑀⨁𝑁)  Cho M module miền ideal R, 𝑟(𝑀) hữu hạn, P ideal nguyên tố R, N module M Khi ta có: i) 𝑟0 (𝑁) + 𝑟0 (𝑀/𝑁) = 𝑟0 (𝑀) ii) 𝑟𝑃 (𝑁) + 𝑟𝑃 (𝑀/𝑁) ≥ 𝑟𝑃 (𝑀) Chứng minh i) Gọi {𝛼 ���� 𝛼2 , … , ����} 𝛼𝑚 hệ độc lập tối đại phần tử không , ���� xoắn 𝑀/𝑁 {𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } hệ độc lập tối đại phần tử không xoắn N Khi {𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑚 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } hệ độc lập tối đại phần tử không xoắn M Thật vậy, giả sử Suy Do 𝛽𝑖 ∈ 𝑁 nên ta có 𝑚 𝑛 𝑖=1 𝑗=1 𝑚 𝑛 𝑖=1 𝑗=1 � 𝑎𝑖 𝛼𝑖 + � 𝑏𝑗 𝛽𝑗 = � 𝑎𝑖 𝛼�𝚤 + � 𝑏𝑗 𝛽�𝚥 = 𝑚 � 𝑎𝑖 𝛼�𝚤 = 𝑖=1 Lại {𝛼 ���� 𝛼2 , … , ����} 𝛼𝑚 hệ độc lập nên 𝑎𝑖 𝛼�𝚤 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑚 hay , ���� 𝑎𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑚 Như ta có 𝑛 � 𝑏𝑗 𝛽𝑗 = 𝑗=1 Từ suy 𝑏𝑗 𝛽𝑗 = 0, ∀𝑗 = 1, , 𝑛 Vậy ta có hệ {𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑚 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } độc lập, hệ độc lập tối đại phần tử không xoắn M, 𝑥 ∈ 𝑀 phần tử không xoắn xảy hai trường hợp: Trường hợp Phần từ 𝑥̅ không xoắn, {𝑥̅ , ���� 𝛼1 , ���� 𝛼2 , … , ����} 𝛼𝑚 phụ thuộc nên tồn 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎𝑥̅ ≠ cho 𝑚 Suy 𝑎𝑥̅ + � 𝑎𝑖 𝛼�𝚤 = 𝑖=1 𝑚 𝑎𝑥 + � 𝑎𝑖 𝛼𝑖 = 𝑦 ∈ 𝑁 𝑖=1 Lại xảy hai trường trường hợp:  Nếu 𝑦 không xoắn ta có {𝑦, 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } phụ thuộc nên tồn 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑏𝑦 ≠ cho 𝑛 Từ ta có 𝑏𝑦 + � 𝑏𝑗 𝛽𝑗 = 𝑗=1 𝑚 𝑛 𝑖=1 𝑗=1 𝑏𝑎𝑥 + � 𝑏𝑎𝑖 𝛼𝑖 + � 𝑏𝑗 𝛽𝑗 = Trong đẳng thức có 𝑎𝑏𝑥 ≠ ( 𝑎𝑏𝑥 = mà 𝑥 không xoắn 𝑎 ≠ nên 𝑏 = suy 𝑏𝑦 = vô lý) nên hệ {𝑥, 𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑚 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } phụ thuộc  Nếu 𝑦 xoắn tồn 𝑐 ∈ 𝑅\{0} cho 𝑚 𝑐𝑎𝑥 + � 𝑐𝑎𝑖 𝛼𝑖 = 𝑐𝑦 = 𝑖=1 Từ đẳng thức suy hệ {𝑥, 𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑚 } phụ thuộc nên {𝑥, 𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑚 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } phụ thuộc Trường hợp Phần từ 𝑥̅ xoắn, tồn 𝑎0 ∈ 𝑅\{0} cho 𝑎0 𝑥̅ = suy 𝑎0 𝑥 = 𝑦0 ∈ 𝑁, mà 𝑥 không xoắn nên 𝑦0 không xoắn, suy {𝑦0 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } phụ thuộc nên tồn 𝑏0 ∈ 𝑅, 𝑏0 𝑎0 𝑥 ≠ cho 𝑛 𝑏0 𝑎0 𝑥 + � 𝑏𝑗 𝛽𝑗 = 𝑗=1 Từ đẳng thức ta có {𝑥, 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } {𝑥, 𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑚 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } phụ thuộc phụ thuộc nên Tóm lại với 𝑥 ∈ 𝑀, 𝑥 không xoắn {𝑥, 𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑚 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } phụ thuộc, nên hệ {𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑚 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 } hệ độc lập tối đại phần tử không xoắn M Vậy 𝑟0 (𝑀) = 𝑚 + 𝑛 = 𝑟0 (𝑀/𝑁) + 𝑟0 (𝑁) Chứng minh ii) Gọi {𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 } hệ độc lập tối đại phần tử có cấp lũy thừa 𝑃 𝑁 {𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑛 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑚 } hệ độc lập tối đại phần tử có cấp lũy thừa 𝑃 M Khi 𝑟𝑃 (𝑀) = 𝑛 + 𝑚 ���1 , ��� ���� Ta thấy �𝛽 𝛽2 , … , 𝛽 𝑚 � hệ độc lập phần tử có cấp lũy thừa 𝑃 𝑀/𝑁 Thật vậy, 𝛽𝑗 có cấp lũy thừa 𝑃 nên 𝛽�𝚥 có cấp lũy thừa 𝑃, mặt khác có 𝑚 � 𝑏𝑗 𝛽�𝚥 = 𝑗=1 Suy 𝑚 � 𝑏𝑗 𝛽𝑗 = 𝑥 ∈ 𝑁 𝑗=1 Đặt 𝑘 = max�𝑘𝑗 �𝑂�𝛽𝑗 � = 𝑃𝑘𝑗 �, ta có 𝑃𝑘 ⊂ 𝑃𝑘𝑗 , ∀𝑗 = 1, … , 𝑚 Khi ∀𝑎 ∈ 𝑃𝑘 𝑎 ∈ 𝑃𝑘𝑗 , ∀𝑗 = 1, … , 𝑚, 𝑚 𝑎𝑥 = � 𝑏𝑗 𝑎𝛽𝑗 = 𝑗=1 Từ suy 𝑃𝑘 ⊂ 𝑂(𝑥) tức 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑙 , với ≤ 𝑙 ≤ 𝑘 Vậy 𝑥 có cấp lũy thừa 𝑃, nên {𝑥, 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 } phụ thuộc, tức tồn 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎𝑥 ≠ (tức (〈𝑎〉, 𝑃) = 1) cho 𝑛 𝑎𝑥 + � 𝑎𝑖 𝛼𝑖 = 𝑖=1 Cho nên 𝑚 𝑛 𝑗=1 𝑖=1 � 𝑎𝑏𝑗 𝛽𝑗 + � 𝑎𝑖 𝛼𝑖 = Mà hệ {𝛼1 , 𝛼2 … , 𝛼𝑛 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑚 } độc lập nên suy 𝑎𝑏𝑗 𝛽𝑗 = 0, ∀𝑗 = 1, … , 𝑚, tức 𝑎𝑏𝑗 ∈ 𝑂(𝛽𝑗 ) hay 〈𝑎〉〈𝑏𝑗 〉 ⋮ 𝑂(𝛽𝑗 ), kết hợp với (〈𝑎〉, 𝑃) = suy 〈𝑏𝑗 〉 ⋮ 𝑂(𝛽𝑗 ) tức 𝑏𝑗 ∈ 𝑂(𝛽𝑗 ), nên ta có 𝑏𝑗 𝛽𝑗 = 0, 𝑏𝑗 𝛽�𝚥 = 0, ∀𝑗 = ���1 , ��� ���� 1, … , 𝑚 Vậy �𝛽 𝛽2 , … , 𝛽 𝑚 � hệ độc lập Do ta có 𝑟𝑃 (𝑀/𝑁) ≥ 𝑚 = 𝑟𝑃 (𝑀) − 𝑛 = 𝑟𝑃 (𝑀) − 𝑟𝑃 (𝑁) Hay 𝑟𝑃 (𝑁) + 𝑟𝑃 (𝑀/𝑁) ≥ 𝑟𝑃 (𝑀)  2.5 So sánh số tính chất hạng module miền ideal miền Dedekind Các định lý mục 2.4 phát biểu miền Dedekind đặt biệt miền ideal chính, vấn đề đặt tính chất miền Dedekind hay không Sau xem xét tính chất 2.5.1 Nhận xét định lý 2.4.1 Nhắc lại: “Cho M module hữu hạn sinh miền ideal R 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀), 𝑑(𝑀) = 𝑟0 (𝑀) M không xoắn” Nếu ta thay giả thiết 𝑅 miền ideal định lý miền Dedekind 𝐷 định lý không đúng, để chứng tỏ xét ví dụ sau đây: Ví dụ Xét vành 𝐷 = ℤ + ℤ√−5 ideal 𝐼 = 〈3,1 + √−5〉 Khi 𝐷 miền Dedekind (đã chứng minh ví dụ 2.2.6), ta xem 𝐼 𝐷-module 𝐼 sinh hai phần tử, ta có 𝐼 không ideal chính, nên 𝐼 sinh phần tử, ta có 𝑑(𝐼) = Mặt khác ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐼 ⊂ 𝐷, 𝛼, 𝛽 ≠ 0, ta có 𝛽𝛼 + (−𝛼)𝛽 = 0, hai phần tử khác 𝐼 phụ thuộc, ta có Dễ thấy 𝑟0 (𝐼) = 𝑟𝑃 (𝐼) = 0, ∀𝑃 Vậy ta có 𝑟(𝐼) = < = 𝑑(𝐼)  Tuy nhiên định lý 𝑀 module 𝑃-nguyên sơ, cụ thể ta có định lý sau 2.5.2 Định lý Cho M module P-nguyên sơ hữu hạn sinh miền Dedekind D 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀) Để chứng minh định lý trước hết ta có vài nhận xét sau:  Cho 𝛽 ∉ 𝑃, ∀𝑥 ∈ 𝑀 tồn 𝑥 ′ ∈ 𝑀 cho 𝑥 = 𝛽𝑥′, 𝑥′ nên ta ký hiệu 𝑥 ′ = 𝑥/𝛽 Sự tồn Giả sử 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑘 , từ (〈𝛽〉, 𝑃) = ta có (〈𝛽〉, 𝑃𝑘 ) = nên tồn 𝑢 ∈ 𝐷, 𝑣 ∈ 𝑃 𝑘 cho 𝑢𝛽 + 𝑣 = Khi 𝑥 = (𝑢𝛽 + 𝑣)𝑥 = 𝛽(𝑢𝑥) Sự Giả sử 𝑥 = 𝛽𝑥 ′ = 𝛽𝑥", suy 𝛽(𝑥 ′ − 𝑥") = 0, giả sử 𝑂(𝑥 ′ − 𝑥") = 𝑃𝑙 ta có (〈𝛽〉, 𝑃𝑙 ) = nên tồn 𝑠 ∈ 𝐷, 𝑡 ∈ 𝑃𝑙 cho 𝑠𝛽 + 𝑡 = Khi 𝑥 ′ − 𝑥" = 𝑠𝛽(𝑥 ′ − 𝑥") + 𝑡(𝑥 ′ − 𝑥") = 0, 𝑥 ′ = 𝑥"  Bây ta xét 𝐷𝑃 vành địa phương 𝐷 theo ideal 𝑃 𝛼 𝐷𝑃 = � �𝛼 ∈ 𝐷, β ∈ 𝐷\𝑃� ⊂ 𝑄(𝐷) β Ta có 𝐷𝑃 miền ideal (xem [1], trang 19, mệnh đề 1.4.25) Do nhận xét  nên ta xem 𝑀 𝐷𝑃 module với phép nhân (𝐷𝑃 ) × 𝑀 𝛼 � , 𝑥� β ⟶ 𝑀 𝑥 ⟼ 𝛼� � β  Tập {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } hệ sinh 𝑀 𝐷 hệ sinh 𝑀 𝐷𝑃 Suy 𝑀 module hữu hạn sinh 𝐷 𝑀 module hữu hạn sinh 𝐷𝑃 , suy 𝑑(𝑀) 𝐷 𝐷𝑃 Chứng minh, chiều thuận hiển nhiên ta cần chứng minh chiều đảo Giả sử 𝑀 = 〈𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 〉 𝐷𝑃 Khi ∀𝑥 ∈ 𝑀 tồn 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐷, 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ∈ 𝐷\𝑃 cho 𝑛 𝑥=� 𝑖=1 Đặt 𝑏 = 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ∈ 𝐷\𝑃, 𝑐𝑖 = Khi 𝑎𝑖 (𝑥 ) 𝑏𝑖 𝑖 𝑏𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑛 = (𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑖−1 𝑏𝑖+1 … 𝑏𝑛 )𝑎𝑖 ∈ 𝐷 𝑏𝑥 = � 𝑐𝑖 𝑥𝑖 𝑖=1 Gọi 𝑘 = max1≤𝑖≤𝑛 {𝑘𝑖 | 𝑂(𝑥𝑖 ) = 𝑃𝑘𝑖 }, 𝑃𝑘 ⊂ 𝑂(𝑥𝑖 ), ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 Mặt khác từ 𝑏 ∉ 𝑃 ta suy (〈𝑏〉, 𝑃𝑘 ) = 1, tồn 𝑢 ∈ 𝐷, 𝑣 ∈ 𝑃 𝑘 cho 𝑢𝑏 + 𝑣 = 1, nên ta có 𝑛 𝑥 = (𝑢𝑏 + 𝑣)𝑥 = 𝑢𝑏𝑥 + 𝑣𝑥 = 𝑢𝑏𝑥 = � 𝑢𝑐𝑖 𝑥𝑖 Từ ta có 𝑀 = 〈𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 〉 𝐷 𝑖=0  Tập {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } độc lập tối đại 𝑀 𝐷 tập độc lập tối đại 𝑀 𝐷𝑃 Suy 𝑟(𝑀) 𝐷 𝐷𝑃 Chiều thuận Giả sử {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập độc lập tối đại 𝑀 𝐷 Khi có 𝑛 Với 𝑎𝑖 𝑏𝑖 ∈ 𝐷𝑃 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 � 𝑖=1 𝑎𝑖 (𝑥 ) = 𝑏𝑖 𝑖 Đặt 𝑏 = 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ∈ 𝐷\𝑃, 𝑐𝑖 = Khi 𝑛 𝑏𝑎𝑖 𝑏𝑖 = (𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑖−1 𝑏𝑖+1 … 𝑏𝑛 )𝑎𝑖 ∈ 𝐷 � 𝑐𝑖 𝑥𝑖 = 𝑖=1 Do {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } độc lập 𝐷 nên 𝑐𝑖 𝑥𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑛, hay (𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑖−1 𝑏𝑖+1 … 𝑏𝑛 )𝑎𝑖 𝑥𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 Với 𝑖 ta đặt 𝑑𝑖 = 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑖−1 𝑏𝑖+1 … 𝑏𝑛 ∉ 𝑃, nên 𝑑𝑖 ∉ 𝑂(𝑥𝑖 ) = 𝑃𝑘𝑖 Khi �〈𝑑𝑖 〉, 𝑂(𝑥𝑖 )� = 1, tồn 𝑢𝑖 ∈ 𝐷, 𝑣𝑖 ∈ 𝑂(𝑥𝑖 ) cho 𝑢𝑖 𝑑𝑖 + 𝑣𝑖 = Khi 𝑎𝑖 𝑥𝑖 = (𝑢𝑖 𝑑𝑖 + 𝑣𝑖 )𝑎𝑖 𝑥𝑖 = 𝑢𝑖 𝑑𝑖 𝑎𝑖 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 𝑎𝑖 𝑥𝑖 = Cho nên ta có 𝑎𝑖 𝑥 = 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑏𝑖 𝑖 Vậy {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập độc lập 𝑀 𝐷𝑃 , {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập độc lập tối đại 𝑀 𝐷𝑃 , ∀𝑥 ∈ 𝑀 {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập độc lập tối đại 𝑀 𝐷, nên {𝑥, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập phụ thuộc 𝐷, tức tồn 𝑎, 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐷, 𝑎𝑥 ≠ cho 𝑛 𝑎𝑥 + � 𝑎𝑖 𝑥𝑖 = Đẳng thức viết lại 𝑖=1 𝑛 𝑎 𝑎𝑖 𝑥 + � 𝑥𝑖 = 1 𝑖=1 Nghĩa {𝑥, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập phụ thuộc 𝐷𝑃 Chiều đảo Giả sử {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập độc lập tối đại 𝑀 𝐷𝑃 Khi hiển nhiên ta có {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập độc lập 𝑀 𝐷 Nếu với 𝑥 ∈ 𝑀 𝑎 𝑎 𝑎 {𝑥, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập phụ thuộc 𝐷𝑃 , nên tồn , , … , 𝑛 ∈ 𝐷, 𝑎0 𝑏0 𝑥 ≠ cho 𝑏0 𝑏1 𝑏𝑛 𝑛 𝑎0 𝑎𝑖 𝑥 + � 𝑥𝑖 = 𝑏0 𝑏𝑖 𝑖=1 Đặt 𝑏 = 𝑏0 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ∈ 𝐷\𝑃, 𝑐𝑖 = Khi 𝑛 𝑏𝑎𝑖 𝑏𝑖 = (𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑖−1 𝑏𝑖+1 … 𝑏𝑛 )𝑎𝑖 ∈ 𝐷 𝑐0 𝑥 + � 𝑐𝑖 𝑥𝑖 = Trong đẳng thức có 𝑐0 = 𝑖=1 𝑏𝑎0 𝑏0 = (𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 )𝑎0 , từ 𝑎0 𝑏0 𝑥 ≠ ta có 𝑎0 ∉ 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑘 nên 𝑎0 ∉ 𝑃, kết hợp với 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ∉ 𝑃, ta có 𝑐0 ∉ 𝑃 𝑐0 ∉ 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑘 tức 𝑐0 𝑥 ≠ Nên {𝑥, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập phụ thuộc 𝐷 Vậy {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } tập độc lập tối đại 𝑀 𝐷 Chứng minh định lý Ta xét 𝑀 module miền ideal 𝐷𝑃 , 𝑀 hữu hạn sinh 𝐷 nên theo nhận xét  𝑀 hữu hạn sinh 𝐷𝑃 Vậy ta có 𝑀 module hữu hạn sinh miền ideal 𝐷𝑃 , nên theo định lý 2.4.1 ta có 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀) 𝐷𝑃 , kết hợp với nhận xét   ta suy 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀) 𝐷  2.5.3 Nhận xét định lý 2.4.2 Nhắc lại: “Cho M module miền ideal R Gọi 𝑋 tập module hữu hạn sinh M Khi 𝑟(𝑀) hữu hạn 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋 {𝑑(𝐻)} hữu hạn, trường hợp ta có 𝑟(𝑀) = 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋 {𝑑(𝐻)}” Nếu ta thay giả thiết 𝑅 miền ideal định lý miền Dedekind 𝐷 định lý không Ví dụ Xét vành 𝐷 = ℤ + ℤ√−5 ideal 𝑀 = 〈3,1 + √−5〉 Khi 𝐷 miền Dedekind, ta xem 𝑀 𝐷-module Như ta có 𝑑(𝑀) = 2, mà 𝑀 ∈ 𝑋 nên 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋 {𝑑(𝐻)} ≥ Ta có 𝑟(𝑀) = Do 𝑟(𝑀) < 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋 {𝑑(𝐻)}  2.5.4 Nhận xét định lý 2.4.3 Nhắc lại: “Nếu 𝑀, 𝑁 module hữu hạn sinh miền ideal 𝑅 𝑁 không xoắn ta có 𝑑(𝑀⨁𝑁) = 𝑑(𝑀) + 𝑑(𝑁)” Nếu 𝑅 miền Dedekind định lý không Ví dụ Xét vành 𝐷 = ℤ + ℤ√−5 ideal 𝑀 = 〈3,1 + √−5〉 Khi 𝐷 miền Dedekind, ta xem 𝑀 𝐷-module Xét ánh xạ 𝑓: 𝐷⨁𝐷 (𝑥, 𝑦) ⟶ 𝑀 ⟼ �1 + √−5�𝑥 + 3𝑦 Dễ thấy 𝑓 toàn cấu module ta có dãy khớp ngắn 𝑖 Xét 𝑗: 𝐷⨁𝐷 (𝑥, 𝑦) 𝑓 ⟶ Ker𝑓 → 𝐷⨁𝐷 → 𝑀 ⟶ �⎯⎯⎯� ⟼ Ker𝑓 ��2 + √−5�𝑥 + 3𝑦, �1 − √−5�𝑥 − �1 + √−5�𝑦� Kiểm tra trực tiếp ta có �2 + √−5�𝑥 + 3𝑦, �1 − √−5�𝑥 − �1 + √−5�𝑦 ∈ Ker𝑓 Do 𝑗 ánh xạ đồng cấu module Hơn (𝑥, 𝑦) ∈ Ker𝑓 tức �1 + √−5�𝑥 + 3𝑦 = �2 + √−5�𝑥 + 3𝑦 = 𝑥 �1 − √−5�𝑥 − �1 + √−5�𝑦 = �1 − √−5� � −3𝑦 �2 + √−5� � − �1 + √−5�𝑦 = 𝑦 Do 𝑗𝑖(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦) hay 𝑗𝑖 = 1Ker𝑓 Vậy 𝑖: Ker𝑓 ⟶ 𝐷⨁𝐷 khả nghịch trái, nên dãy khớp ngắn chẻ ra, tức Ker𝑓⨁𝑀 ≅ 𝐷⨁𝐷 Khi ta có Ker𝑓 hữu hạn sinh 𝑑(Ker𝑓⨁𝑀) = 𝑑(𝐷⨁𝐷) = Mặt khác 𝑑(Ker𝑓) ≥ 1, 𝑑(𝑀) = 2, suy 𝑑(Ker𝑓⨁𝑀) < 𝑑(Ker𝑓) + 𝑑(𝑀)  Như đa số tính chất hạng module miền ideal không miền Dedekind bất kỳ, có tính chất xét miền Dedekind Câu trả lời có, tính chất sau chuyễn từ miền ideal sang miền Dedekind tính chất 2.5.5 Nhận xét định lý 2.4.4 Nhắc lại: Cho M module miền ideal R, 𝑟(𝑀) hữu hạn, P ideal nguyên tố R, N module M Khi ta có: i) 𝑟0 (𝑁) + 𝑟0 (𝑀/𝑁) = 𝑟0 (𝑀) ii) 𝑟𝑃 (𝑁) + 𝑟𝑃 (𝑀/𝑁) ≥ 𝑟𝑃 (𝑀) Nếu thay giả thiết miền ideal 𝑅 miền Dedekind 𝐷 định lý Phép chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh định lý 2.4.4 Chú ý Từ định lý ta có hệ sau đây, hệ xem mở rộng kết đặt trưng hạng không gian vectơ trường sang hạng module không xoắn miền Dedekind (không thiết module tự do) 2.5.6 Hệ Nếu 𝑀, 𝑁 module không xoắn miền Dedekind D, 𝑀 có hạng hữu hạn, 𝑓: 𝑀 ⟶ 𝑁 đồng cấu D-module 𝑟(𝑘𝑒𝑟𝑓) + 𝑟(𝐼𝑚𝑓) = 𝑟(𝑀) Chứng minh Vì ker𝑓 module 𝑀, 𝑀 có hạng hữu hạn, nên theo định lý 2.4.4 ta có 𝑟0 (𝑘𝑒𝑟𝑓) + 𝑟0 (𝑀/𝑘𝑒𝑟𝑓) = 𝑟0 (𝑀) Do 𝑀 không xoắn nên suy 𝑟(𝑘𝑒𝑟𝑓) + 𝑟(𝑀/𝑘𝑒𝑟𝑓) = 𝑟(𝑀) Theo định lý đồng cấu module ta có M/𝑘𝑒𝑟f ≅ Im𝑓 Từ ta có điều phải chứng minh KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu mở rộng khái niệm hạng nhóm abel sang hạng module miền Dedekind miền ideal chính, chứng minh đầy đủ so sánh cách triệt để, trực quang tính chất hạng module miền Dedekind miền ideal cách đưa ví dụ phản ví dụ Cụ thể đạt kết sau: Cho 𝑀, 𝑁 module miền ideal 𝑅 ta có: i) 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀) (với M hữu hạn sinh) ii) 𝑟(𝑀) hữu hạn 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋 {𝑑(𝐻)} hữu hạn Khi 𝑟(𝑀) = 𝑚𝑎𝑥𝐻∈𝑋 {𝑑(𝐻)} (với 𝑋 tập module hữu hạn sinh M) iii) 𝑑(𝑀⨁𝑁) = 𝑑(𝑀) + 𝑑(𝑁) (với M, N hữu hạn sinh N không xoắn) iv) 𝑟0 (𝑁) + 𝑟0 (𝑀/𝑁) = 𝑟0 (𝑀) 𝑟𝑃 (𝑁) + 𝑟𝑃 (𝑀/𝑁) ≥ 𝑟𝑃 (𝑀) (với 𝑟(𝑀) hữu hạn, P ideal nguyên tố R, N module M ) Nếu xét 𝑀, 𝑁 module miền Dedekind 𝐷 tính chất i), ii), iii) không đúng, tính chất iv) Đặt biệt phát điều 𝑀 module 𝑃-nguyên sơ miền Dedekind tính chất i) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Võ Thị Vân Anh (2011), Module chia miền Dedekind, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh [2] Dương Thị Phong Lan (2005), Cấu trúc số lớp module vành chính, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh [3] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số (giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh [4] Mỵ Vinh Quang (1998), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh Tiếng anh [5] Derek J S Robinson, A course in the theory of groups, Springer-Verlag, New York [6] Joseph J Rotman, An introduction to the theory of groups, SpringerVerlag, New York [7] H.Cartan and S.Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton University Press [8] L Fuchs (1960), Abelian Groups, Pergamon Press [9] Saban Alaca and Kenneth S Williams (2004), Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge University Press [...]... miền Dedekind Dựa vào tính chất cấp của phần tử chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind Trên cơ sở đó chúng tôi xây dựng khái niệm hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính, nghiên cứu các tính chất quan trọng về hạng của module trên miền Dedekind và miền các ideal chính Trong chương này giả sử D là miền Dedekind, 𝑅 là vành... gian vectơ trên 𝐷/𝑃, 𝑆0 là cơ sở của 𝑀[𝑃] do đó |𝑆| = |𝑆0 | = 𝑑𝑖𝑚𝑀[𝑃] (𝑑𝑖𝑚𝑀[𝑃] không phụ thuộc vào cách chọn S)  Từ hai bổ đề trên ta có thể khẳng định tính hợp lý của khái niệm hạng của module trên miền Dedekind bằng định lý quan trọng sau đây: 2.3.12 Định lý (định lý về tính hợp lý của khái niệm hạng module trên miền Dedekind) Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố của D, M là module trên D Khi... của ideal trong miền Dedekind, Sau đây chúng ta sẽ xây dựng tính chất số học của các ideal trong miền Dedekind tương tự như tính chất số học của các phần tử trên miền các ideal chính 1.3.8 Định nghĩa chia hết Cho A, B là ideal (nguyên, phân) của D Ta nói A chia hết cho B, viết 𝐴 ⋮ 𝐵, nếu tồn tại ideal nguyên C để 𝐴 = 𝐵𝐶 Khi 𝐴 ⋮ 𝐵 ta còn nói B là ước của A, viết 𝐵|𝐴 𝐴 Sự tồn tại ideal nguyên 𝐶 như trên. .. module con của module cyclic cấp vô hạn là module cyclic Tuy nhiên, trong miền Dedekind kết quả này không còn đúng nữa, tức là module con của module cyclic cấp vô hạn trên miền Dedekind có thể không là module cyclic Ví dụ sau sẽ cho ta thấy rõ điều này 2.2.6 Ví dụ Xét vành 𝐷 = ℤ + ℤ√−5 và ideal 𝐼 = 〈3,1 + √−5〉 Khi đó D là miền Dedekind và D là D -module cyclic cấp vô hạn, có module con I không là module. .. Trong luận văn này chúng tôi chuyển một số kết quả về hạng của nhóm Abel sang hạng của module trên miền các ideal chính và miền Dedekind Sau đây là một số kết quả cơ bản được nhắc lại 1.4.1 Độc lập và hạng Cho S là tập khác rỗng và không chứa phần tử 0 của nhóm Abel G, S được gọi là độc lập nếu 𝑠1 , … , 𝑠𝑟 là các phần tử của S, và 𝑚1 , … , 𝑚𝑟 là các số nguyên thỏa hệ thức 𝑚1 𝑠1 + ⋯ + 𝑚𝑟 𝑠𝑟 = 0 ta sẽ... là các nhóm Abel hữu hạn sinh và B không xoắn thì ta có 𝑑(𝐴⨁𝐵) = 𝑑(𝐴) + 𝑑(𝐵) 1.4.6 Mệnh đề (xem [5], Bài tập 7, trang 102) Cho 𝐻 là nhóm con của nhóm Abel 𝐺 thì ta có i) 𝑟0 (𝐻) + 𝑟0 (𝐺/𝐻) = 𝑟0 (𝐺) ii) 𝑟𝑃 (𝐻) + 𝑟𝑃 (𝐺/𝐻) ≥ 𝑟𝑃 (𝐺) Chương 2 HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ TRÊN MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH Trong chương này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của cấp một phần tử trong module trên. .. là miền nguyên, M là module trên R Tập con 𝑋 của M được gọi là hệ sinh của M nếu ∀𝑥 ∈ 𝑀 thì tồn tại các phần tử 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 thuộc X, và 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 là các phần tử thuộc R sao cho 𝑥 = 𝑎1 𝑥1 + ⋯ 𝑎𝑛 𝑥𝑛 2.3.3 Định nghĩa hệ độc lập và phụ thuộc Cho R là miền nguyên, M là module trên R Tập con 𝑆 của M không chứa phần tử 0 được gọi là tập độc lập nếu 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 là các phần tử của S, và 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 là các. .. đó, 𝑥 = 𝑚𝑎 ���𝑘 và (〈𝑚〉, 𝑃) = 1 Suy ra 𝑘 tồn tại 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑏 ∈ 𝑃 sao cho 𝑎𝑚 + 𝑏 = 1, cho nên 𝑎𝑘 = (𝑎𝑚 + 𝑏)𝑎𝑘 = 𝑎𝑚𝑎𝑘 = 𝑎𝑥 ∈ 𝑁 Do đó 𝑘 ≤ 𝑛, suy ra 𝑎𝑘 ∈ 〈𝑎𝑛 〉 hay 𝑥 ∈ 〈𝑎𝑛 〉, vậy 𝑁 ⊂ 〈an 〉 Như vậy các module con của 𝐷(𝑃∞ ) là 0 ⊂ 〈𝑎1 〉 ⊂ ⋯ ⊂ 〈𝑎𝑛 〉 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐷(𝑃∞ ) Dễ thấy module 〈𝑎𝑛 〉 có cấp là 𝑃𝑛  2.3 Khái niệm hạng của module trên miền Dedekind Trước khi định nghĩa hạng của module trên miền Dedekind ta có... ii) Nếu 𝑀 = ⨁𝑖∈𝐼 〈𝑥𝑖 〉 với 𝑥𝑖 là các phần tử có cấp là lũy thừa của ideal nguyên tố P thì {𝑥𝑖 }𝑖∈𝐼 là tập độc lập tối đại các phần tử của 𝑀 có cấp là lũy thừa của P Suy ra 𝑟(𝑀) = 𝑟𝑃 (𝑀) = |𝐼| iii) Cho 𝑀 là module trên vành miền các ideal chính 𝑅, 𝑥 ∈ 𝑀, 𝑃 là ideal nguyên tố của 𝑅 Khi đó Nếu 𝑥 không xoắn, thì 〈𝑥〉/𝑃〈𝑥〉 là module cyclic cấp 𝑃 Nếu 𝑂(𝑥) = 𝑃 𝑘 thì 〈𝑥〉/𝑃〈𝑥〉 là module cyclic cấp 𝑃 (1) (2) Nếu... ⊂ 〈𝑥 + 𝑦〉 tương tự 〈𝑦〉 ⊂ 〈𝑥 + 𝑦〉 Vậy ta có 〈𝑥〉⨁〈𝑦〉 ⊂ 〈𝑥 + 𝑦〉  2.4 Một số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính 2.4.1 Định lý Cho 𝑀 là module hữu hạn sinh trên miền các ideal chính 𝑅, gọi 𝑑(𝑀) là lực lượng bé nhất trong tất cả lực lượng các tập sinh của 𝑀 Khi đó 𝑑(𝑀) = 𝑟(𝑀), hơn nữa 𝑑(𝑀) = 𝑟0 (𝑀) khi và chỉ khi 𝑀 không xoắn Chứng minh Do M hữu hạn sinh nên ta có thể viết (xem [2], trang ... tính chất module cyclic tựa cyclic miền Dedekind Trên sở xây dựng khái niệm hạng module miền Dedekind miền ideal chính, nghiên cứu tính chất quan trọng hạng module miền Dedekind miền ideal Trong... hạng module miền Dedekind miền ideal Luận văn gồm chương Chương I: Miền Dedekind Trong chương trình tính chất miền Dedekind cần thiết cho chương II Chương II: Hạng module miền Dedekind miền ideal. .. (