BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ——– ——– TRẦN HẠNH TƯỜNG VY CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA MẶT PHẲNG NIEMYTZKY VÀ BÌNH PHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG SORGENFREY LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh - người thầy tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn: Thầy Bùi Quang Thịnh (giảng viên ĐH Tiền Giang) cung cấp tài liệu , góp ý tận tình luận văn dẫn việc thực LATEX Các bạn nhóm làm luận văn hình học chia khó khăn trình nghiên cứu Cuối xin gởi lời cảm ơn đến người thân yêu gia đình động viên, hỗ trợ mặt để hoàn thành luận văn TRẦN HẠNH TƯỜNG VY ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chương CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1 Tập π-đóng 1.2 Tính chất chuẩn tắc 1.3 Tính chất chuẩn tắc nhẹ 1.4 Tính chất hầu chuẩn tắc 10 1.5 Tính tựa-chuẩn tắc 11 1.6 Tính π-chuẩn tắc 11 1.7 Tính chất nửa chuẩn tắc 17 1.8 Mối quan hệ tính chất chuẩn tắc 17 Chương KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA MẶT PHẲNG NIEMYTZKI 19 2.1 Mặt phẳng Niemytzki 20 2.2 Tính chuẩn tắc mặt phẳng Niemytzki 22 iii iv 2.3 Tính tựa-chuẩn tắc mặt phẳng Niemytzki 23 2.4 Tính chuẩn tắc nhẹ mặt phẳng Niemytzki 24 2.5 Tính hầu-chuẩn tắc mặt phẳng Niemytzki 24 2.5.1 Trường hợp 1: A ⊂ P 25 2.5.2 Trường hợp 2: A ∩ P = ∅ A ∩ L = ∅ 26 Chương KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA BÌNH PHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG SORGENFREY 32 3.1 Đường thẳng Sorgenfrey 33 3.2 Tính chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey 35 3.3 Tính tựa-chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey 35 3.4 Tính chuẩn tắc nhẹ bình phương đường thẳng Sorgenfrey 36 3.5 Tính hầu-chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey 36 3.5.1 Trường hợp 1: A ⊂ P 37 3.5.2 Trường hợp 2: A ∩ P = ∅ A ∩ L = ∅ 38 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 46 MỞ ĐẦU Nghiên cứu tính chuẩn tắc không gian tôpô toán lớn thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học giới Một kết tiếng tính chuẩn tắc kể đến tính chuẩn tắc không gian tôpô tích trường hợp tổng quát không kế thừa từ không gian tôpô thành phần Ngoài hướng nghiên cứu tìm điều kiên cần bổ sung vào không gian tôpô thành phần, nhà Toán học đưa khái niệm tính chuẩn tắc để không gian tôpô tích kế thừa Cụ thể, năm 1968 V Zaitsev [10] đưa khái niệm tựa-chuẩn tắc; năm 1973, M.K Singal A.R Singal [9] giới thiệu chuẩn tắc nhẹ hầu chuẩn tắc; gần đây, năm 2008 L Kalantan [3] định nghĩa tính π-chuẩn tắc, tính chất nằm tính chuẩn tắc tính hầu chuẩn tắc tựa-chuẩn tắc Trong báo mình, L Kalantan [3] giới thiệu khái niệm đặc trưng tính π-chuẩn tắc biểu thị mối quan hệ với tính chuẩn tắc, hầu chuẩn tắc, tựa-chuẩn tắc chuẩn tắc nhẹ Ngoài ra, L Kalantan [3] nêu lên đoán tính chuẩn tắc mặt phẳng Niemytzki bình phương đường thẳng Sorgenfrey Trong luận văn này, sử dụng kết nghiên cứu S.A.S Thabit H Kamarulhaili Đại học Sains Malaysia để khảo sát tính chuẩn tắc hai không gian tôpô kinh điển: mặt phẳng Niemytzki bình phương đường thẳng Sorgenfrey Qua đó, giải phần đoán L Kalantan [3] đưa vấn đề mở Xuất phát từ mục tiêu trên, nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Cụ thể sau: Phần mở đầu: Đặt vấn đề trình bày sơ lược lịch sử vấn đề Phần nội dung: a Chương – CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ Chương trình bày khái niệm tính chất chuẩn tắc đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu Chương Chương b Chương – KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA MẶT PHẲNG NIEMYTZKI Chương trình bày chi tiết kết nghiên cứu với đầy đủ chứng minh tính chất chuẩn tắc, tựa-chuẩn tắc, chuẩn tắc nhẹ, hầu chuẩn tắc, nửa chuẩn tắc mặt phẳng Niemytzki c Chương – KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA BÌNH PHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG SORGENFREY Chương trình bày chi tiết kết nghiên cứu với đầy đủ chứng minh tính chất chuẩn tắc, tựa-chuẩn tắc, chuẩn tắc nhẹ, hầu chuẩn tắc, nửa chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey Phần kết luận: Tổng kết lại kết nghiên cứu đưa nhận xét vấn đề mở cho hướng nghiên cứu tới Chương CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ Nội dung chương chủ yếu đưa khái niệm tính chất chuẩn tắc sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau Nhiều mệnh đề chương nêu lược bỏ chứng minh Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết tham khảo R Engelking [2] Trần Tráng [1] Trong suốt luận văn, nhầm lẫn thuật ngữ không gian hiểu không gian tôpô Giả sử X không gian định nghĩa xét không gian X Định nghĩa 1.1 Hai tập A B gọi tách tồn hai tập mở U V rời thỏa mãn A ⊆ U B ⊆ V Định nghĩa 1.2 Không gian X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ với điểm x ∈ X, tồn sở địa phương không đếm Định nghĩa 1.3 Tập A gọi Gδ -tập mở giao đếm tập mở không gian X Định nghĩa 1.4 Không gian X gọi cực trị không liên thông X T1 -không gian bao đóng tập mở tập mở Định nghĩa 1.5 Không gian X gọi cực trị không liên thông yếu bao đóng tập mở tập mở 1.1 Tập π-đóng Định nghĩa 1.6 Tập A gọi đóng quy hay miền đóng A = intA Tập B gọi mở quy hay miền mở A = intA Nhận xét 1.1 Từ Định nghĩa 1.6, có nhận xét sau: Mọi tập mở quy tập mở; Mọi tập đóng quy tập đóng; Mọi tập vừa mở, vừa đóng tập mở quy đóng quy Định nghĩa 1.7 Hợp hữu hạn tập mở quy gọi tập π-mở Giao hữu hạn tập đóng quy gọi tập π-đóng Nhận xét 1.2 Từ Định nghĩa 1.7, có nhận xét sau: Giao hai tập đóng quy trường hợp tổng quát không đóng quy Ví dụ 1.1 Trong R với metric thông thường, đoạn tập đóng quy Do đó, [0; 1], [1; 2] tập đóng quy [0; 1] ∩ [1; 2] = {1} không tập đóng quy Hợp hai tập mở quy trường hợp tổng quát không mở quy Mối quan hệ tính chất đóng quy, π-đóng đóng: Đóng quy =⇒ π-đóng =⇒ Đóng Tập π-đóng có tính chất quan trọng sau: Mệnh đề 1.1 Phần bù tập π-mở tập π-đóng Ngược lại, phần bù tập π-đóng π-mở Mệnh đề 1.2 Hợp (giao) hữu hạn tập π-đóng tập pi-đóng Nhận xét 1.3 Hợp (giao) vô hạn tập π-đóng trường hợp tổng quát không π-đóng Ví dụ 1.2 Xét Q với tôpô thông thường cảm sinh từ R Tập {q} với q ∈ Q tập π-đóng Q = {q} không tập đóng nên không π-đóng q∈Q Mệnh đề 1.3 Dưới tác động song ánh liên tục,vừa đóng vừa mở ảnh tập π-đóng tập π-đóng, Nhận xét 1.4 Từ Mệnh đề 1.3, có: Dưới tác động hàm số đóng, ảnh tập π-đóng trường hợp tổng quát không tập π-đóng Ví dụ 1.3 Xét hàm số: f : (R, U ) → (R, CF ) cho f (x) = 1, ∀x ∈ R f hàm số từ R với không gian tô pô thông thường đến R với không gian tô pô hữu hạn, liên tục Ta f hàm số đóng Thật : Lấy F tập đóng (R, U ) ⇒ f (F ) = {1} tập đóng (R, CF ) Trong (R, CF ), bao đóng tập mở khác rỗng R, phần tập đóng ∅ Vì có tập đóng qui (R, CF ) R ∅ Hiển nhiên có tập π-đóng (R, CF ) R ∅ Lấy A tập π-đóng (R, U ) f (A) = {1} không tập π-đóng (R, CF ) Ảnh tập π-đóng (π-mở) hàm số mở chưa π-đóng (π-mở) Ví dụ 1.4 Xét hàm số f : (R, U ) → R, T√2 cho f (x) = R, T√2 tô pô điểm riêng với T√2 = {∅} ∪ {V ⊆ R : √ √ 2, ∀x ∈ R ∈ V } f hàm số mở Thật : √ Lấy V tập mở khác rỗng (R, U ) ⇒ f (V ) = { 2} tập mở R, T√2 Trong R, T√2 , bao đóng tập mở khác rỗng R , phần tập đóng ∅ Vì có tập mở qui (đóng qui) R, T√2 R, ∅ Hiển nhiên có tập π-mở (π-đóng) R, T√2 R, ∅ √ Nếu lấy A tập π-đóng khác rỗng (R, U ) f (A) = { 2} không tập π-đóng R, T√2 33 Không không gian nửa chuẩn tắc 3.1 Đường thẳng Sorgenfrey Trên tập hợp số thực R, xây dựng tô pô T sinh hệ lân cận xác định sau: B = {[a, b) : a, b ∈ R; a < b} Định nghĩa 3.1 Tập hợp R với tô pô T xây dựng gọi đường thẳng Sorgenfrey Ký hiệu S Mở rộng hơn, R2 với hệ trục tọa độ Decartes, xây dựng tô pô T sinh hệ lân cận sau: B = {[a, b) × [c, d) : a, b, c, d ∈ R; a < b; c < d} Định nghĩa 3.2 Tập hợp R2 với tô pô T xây dựng gọi bình phương đường thẳng Sorgenfrey (còn gọi mặt phẳng Sorgenfrey ) Ký hiệu S Nhận xét 3.1 Bình phương đường thẳng Sorgenfrey tích đường thẳng Sorenfrey với Bình phương đường thẳng Sorgenfrey có tính chất sau: Mệnh đề 3.1 Trong không gian tô pô bình phương đường thẳng Sorgenfrey (R2 , S ) , tập hợp L = { x, −x : x ∈ R} π-đóng tập phần tử có dạng { x, −x } , x ∈ R π-đóng Chứng Minh Ta chứng minh vấn đề trên: 34 L π-đóng ∀n ∈ N: đặt Ln = x, y : y = −x + An = x, y : −x + 4n−2 Bn = x, y : −x + 4n n < y < −x + < y < −x + ; 4n−3 4n−1 ; An , Bn tập mở (R2 , S ) An ∩ Bn = ∅ (∀n ∈ N) Đặt A = ∪ An , B = ∪ Bn suy A, B tập mở (R2 , S ) n∈N n∈N A∩B =∅ Ta lại có {An : n ∈ N} họ tập mở, rời đôi Bởi tính hữa hạn địa phương ⇒ A = ∪ An = n∈N Tương tự: B = ∪ Bn = n∈N ∪ An ∪ L n∈N ∪ Bn ∪ L n∈N Vì ∀n ∈ N, An ∩ Bn = ∅ ⇒ ∪ An ∩ n∈N ∪ B n = ∅ ⇒ A ∩ B = L với n∈N A, B tập đóng quy (R2 , S ) ⇒ L π-đóng Mọi tập phần tử có dạng { x, −x } , x ∈ R π-đóng Với x ∈ R bất kỳ, ta có { x, −x } = ([x, x + 1) × [−x, −x + 1)) ∩ L Vì tích [x, x + 1)×[−x, −x + 1) đóng quy ( hiển nhiên π-đóng) L π-đóng nên ⇒ ([x, x + 1) × [−x, −x + 1)) ∩ L π-đóng ⇒ { x, −x } , x ∈ R π-đóng Mệnh đề 3.2 Trong không gian tô pô đường thẳng Sorgenfrey (R, S) tập 35 phần tử có dạng {x} dều π-đóng tập phần tử dạng { x, y } tập π-đóng (R2 , S ) 3.2 Tính chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey Định lý 3.1 Bình phương đường thẳng Sorgenfrey không không gian chuẩn tắc Chứng Minh Xét K = {(x, −x) |x ∈ Q} ∆ = {(x, −x) |x ∈ R\Q} Theo mệnh đề 3.1, ta có K, ∆ tập đóng Vàhiển nhiên tồn tập U ,V mở , rời thỏa điều kiện     K⊆U     ∆⊆V Vì ta phản ví dụ, chứng minh S không chuẩn tắc (đpcm) 3.3 Tính tựa-chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey Định lý 3.2 Bình phương đường thẳng Sorgenfrey không gian tựa-chuẩn tắc Chứng Minh Hoàn toàn cách chứng minh tính tựa chuẩn tắc mặt phẳng Niemyzki theo phản chứng 36 3.4 Tính chuẩn tắc nhẹ bình phương đường thẳng Sorgenfrey Kết hợp Định lý 3.2 Mệnh đề 1.11, có Định lý 3.3 Bình phương đường thẳng Sorgenfrey không gian chuẩn tắc nhẹ 3.5 Tính hầu-chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey Định lý 3.4 Bình phương đường thẳng Sorgenfrey không gian hầu-chuẩn tắc Chứng Minh Cách chứng minh hoàn toàn tương tự mặt phẳng Niemyzki: Trong không gian tô pô bình phương đường thẳng Sorgenfrey (R2 , S ) gọi L = { x, −x : x ∈ R} L π-đóng tập phần tử có dạng { x, −x } , x ∈ R π-đóng P = {(x, y) : y = −x; x, y ∈ R} Đặt X = P ∪ L X không gian tô pô bình phương đường thẳng Sorgenfrey Lấy A , B tập đóng kỳ X = P ∪ L thỏa A ∩ B = ∅, A tập đóng quy ( ⇒ A π-đóng) Rõ ràng, B π-đóng A B tập π-đóng rời X Do không gian tô pô bình phương đường thẳng Sorgenfrey tựa chuẩn tắc định nghĩa tựa chuẩn tắc, ta A B tách Xét với tập B không tập π-đóng Ta có: A = int (A) (do A tập đóng qui ) 37 Giả sử : A ⊆ L ⇒ int (A) = ∅ = A (!) Nghĩa với tập đóng A X thỏa A ⊆ L A tập đóng không qui ( mâu thuẫn) Nên    ⇒  A ⊂ L ,mà A ∈ X = P ∪ L (P ∩ L = ∅) A⊂P A∩P =∅∧A∩L=∅  Với trường hợp A , ta có ba trường hợp sau B 3.5.1     :    B⊂P B⊂L B∩P =∅∧B∩L=∅ Trường hợp 1: A ⊂ P Xét B ⊂ P Theo giả thiết A , B tập đóng rời X: ta có P không gian X (P ≤ X), đó: ∃A, B đóng X cho A = A ∩ P, B = B ∩ P ⇒ A, B tập đóng rời P với không gian tô pô Euclid thông thường ⇒ tồn tập mở rời U , V X cho A ⊆ U B ⊆ V P tập mở X ⇒ U, V tập mở X Hiển nhiên A , B tách ( theo định nghĩa tách) Xét B ⊂ L Vì A ⊂ P ⇒ A ∩ L = ∅ ; A ,L tập π-đóng X ; X tựa chuẩn tắc nên suy tồn tập mở U , V rời X cho : 38      A⊆U     L ⊆ U ⇒ B ⊆ V (doB ⊂ L) ⇒ A, B tách Lấy B ∩ P = ∅ B ∩ L = ∅ A⊂P      A∩B =∅     ⇒ A ∩ (B ∩ P ) = ∅ ⇒ A, B ∩ P (⊂ P ) tập đóng rời P với không gian tô pô Euclid thông thường Bởi tính chuẩn tắc P , nên tồn hai  tập mở rời U1 , V1 P ( hiển nhiên mở X ) cho:     A ⊆ U1     B ∩ P ⊆ V1 (1) Tương tự: A∩(B ∩ L) = ∅, B∩L (⊂ B) , tập đóng X mà B∩L ⊂ L Nên theo trường hợp 1.2 tồn hai tập mở rời U2 , V2 X :      A ⊆ U2     B ∩ L ⊆ V2 (2)      A ⊆ U1 ∩ U2    B ⊆ V1 ∪ V2 Từ (1),(2) ⇒  Đặt      U = U1 ∩ U2     V = V1 ∪ V2 U, V mở, rời X      A⊆U     B⊆V (U ∩ V = (U1 ∩ U2 ) ∩ (V1 ∪ V2 ) = (U1 ∩ U2 ∩ V1 ) ∪ (U1 ∩ U2 ∩ V2 ) = ∅ ∪ ∅ = ∅) ⇒ A, B tách 3.5.2 Trường hợp 2: A ∩ P = ∅ A ∩ L = ∅ Xét B ⊂ P 39 Từ A ∩ B = ∅ nên (A ∩ P ) ∩ B = ∅ Khi A ∩ P (⊂ A) B tập đóng rời P với tô pô Euclid thông thường Bởi tính chuẩn tắc P , nên tồn tập mở U1 , V1 , rời (U1 ∩ V1 = ∅) P hiển nhiên X cho: A ∩ P ⊆ U1 B ⊆ U1 (3) Mặt khác A tập đóng quy P tập mở trù mật X nên: A = A ∩ P = int (A) ∩ P từ (3) ta A ∩ P ⊂ U1 ⇒ A ⊂ U1 Bởi tính trù mật, mở tính chuẩn tắc P ⇒ U1 ∩V1 = ∅ ⇒ A∩V1 = ∅ Do đó, A V1 tập đóng quy rời X Bởi tính chuẩn tắc nhẹ X, nên tồn tập mở rời U2 V2 X cho A ⊆ U2 V1 ⊂ V2 Đặt U = U1 , V = V1 ∩ V2 ⇒ U, V tập mở rời X thỏa A ⊆ U B ⊂ V ⇒ A, B tách Lấy B ⊂ L :      A∩P =∅    A∩L=∅ Vì       A∩P =A    B∩ A∩P =∅ , A đóng quy A∩B = ∅ nên  Suy với x, −x ∈ B ta có x, −x ∈ / A ∩ P Do đó, tồn lân cận mở Bx = [x, x + 1) × [−x, −x + 1) x, −x cho Bx ∩ (A ∩ P ) = ∅ ⇒ Bx ∩ A = ∅ 40 Vì Bx Bx có phần tử L nên Bx ∩ A = ∅ với x, −x ∈ B Ta lại có: B ⊆ x,−x ∈B Đặt V = x,−x ∈B Bx Bx V tập mở X thỏa B ⊆ V V ∩ A = ∅ Từ A = int (A) (do A đóng quy) ta : V ∩ int (A) = ∅ ⇒ V ∩ int (A) = ∅ ⇒ V ∩ int (A) = ∅ Do đó, ta chứng minh tồn tập mở V X cho B ⊆ V, V ∩ A = ∅ V ∩ int (A) = ∅ (4) Vì tập đóng X tập Gδ nên B tập Gδ X Từ X thỏa tiên đề đếm thứ B tập Gδ X , ta suy tồn dãy giảm U1 ⊇ U2 ⊇ U3 ⊇ ⊇ Un ⊇ tập mở X thỏa B = n∈N Un ⇒ B ⊆ Un (∀n ∈ N) ⇒ B ⊆ Un ∩ V (do (4)) ⇒ Un ∩ V = ∅ (∀n ∈ N) Đặt Vn = Un ∩ V {Vn : n ∈ N} dãy giảm tập mở thỏa B= n∈N Vn Bổ đề 3: Tồn số m ∈ N cho Vm ∩ A = ∅      y∈A    y ∈ Vn (∀n ∈ N) Chứng Minh Giả sử: Vn ∩A = ∅, (∀n ∈ N) ⇒ ∃y ∈ X :       y∈ / int (A)    y∈ / Vn (∀n ∈ N) Vì Vn ⊂ V ⇒ Vn ⊂ V ⇒ y ∈ V từ (4) ⇒  41 Từ y ∈ Vn (∀n ∈ N) y ∈ A với lân cận mở By y ta có: By ∩ Vn = ∅ (∀n ∈ N) (5) Rõ ràng ∀n ∈ N, By ∩ Vn ∩ L = ∅ Nếu với số k ∈ N mà By ∩ Vk ∩ L = ∅ tồn phần tử z L cho z ∈ By z ∈ Vk Vì By có phần tử L y ∈ L nên ta suy y = z Vì y ∈ Vk Từ y ∈ A Vk ∩ A = ∅ mâu thẩu, (5) Do ∀n ∈ N, By ∩ Vn ∩ L = ∅ ⇒ By ∩ Vn ⊂ P (∀n ∈ N) Từ By ∩ Vn = ∅ (∀n ∈ N) ⇒ tồn phần tử ⇒z∈ n∈N      z ∈ By     z ∈ Vn , ∀n ∈ N Vn = B ⇒z∈B⊆L Nhưng By có phần tử L mà      z ∈ By     z∈L nên suy z = y Hiển nhiên y ∈ B Nhưng y ∈ A A ∩ B = ∅ suy mâu thuẩn (!) Vì Vn ∩ A = ∅ (∀n ∈ N) mâu thuẩn nên ta suy : “Tồn số m ∈ N cho Vm ∩ A = ∅ ” Trở lại vấn đề A, Vm tập đóng quy rời X Bởi tính chuẩn tắc nhẹ X nên ta suy ra: 42 Tồn tập mở rời G H X cho A ⊆ G Vm ⊆ H Do B ⊆ Vm ⇒ B ⊆ H Vậy ta chứng minh tồn hai tập mở rời G H X cho A ⊆ G B ⊆ H ⇒ A B tách Xét      B∩P =∅     B∩L=∅ Vì A ∩ B = ∅ ⇒ (A ∩ P ) ∩ (B ∩ P ) = ∅ Do đó: A ∩ P, B ∩ P tập đóng rời P với tô pô thông thường Bởi tính chuẩn tắc P , ta suy tồn hai tập mở U1 V1 rời P ( hiển nhiên trongX ) cho: A ∩ P ⊆ U1 , B ∩ P ⊆ V U1 ∩ V = ∅ (6) Do A tập đóng quy P tập trù mật mở X nên A∩P =A Vì A ⊆ U1 Từ (6), ta có A ∩ V = ∅ Vì A V1 tập đóng quy X Bởi tính chuẩn tắc nhẹ X , nên tồn hai tập mở rời U2 V2 X cho A ⊆ U2 V1 ⊆ V Vì ta có: A ⊆ U2 , B ∩ P ⊆ V2 U2 ∩ V2 = ∅ (7) Từ A ∩ (B ∩ L) = ∅ B ∩ L ⊂ L tập đóng X , theo trường 43 hợp 2.2 ta suy A, B ∩ L tách, nghĩa tồn tập U3 , V3 mở X cho : A ⊆ U3 , B ∩ L ⊆ V3 U3 ∩ V3 = ∅ (8) Từ (7),(8), đặt G = U2 ∩ U3 ;H = V2 ∪ V3 G, H tập mở rời X thỏa A ⊆ G; B ⊆ H Vậy ta chứng minh tồn tập G, H mở rời cho A ⊆ G B ⊆ H ⇒ A B tách Trong tất trường hợp, ta chứng minh: A, B tách hai tập mở rời X Vậy X không gian hầu chuẩn tắc Kết thu hoàn toàn tương tự mặt phẳng Niemytzki Ta chứng minh không gian bình phương đường thẳng Sorgenfrey hầu chuẩn tắc Giả sử , không gian bình phương đường thẳng Sorgenfrey chuẩn tắc.Theo Mệnh đề 1.21, ta không gian gian bình phương đường thẳng Sorgenfrey không gian tô pô chuẩn tắc (mâu thuẫn !) Vậy ta hệ quả: Hệ 3.1 Không gian bình phương đường thẳng Sorgenfrey không nửa chuẩn tắc KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Nghiên cứu tính chất chuẩn tắc không gian tôpô toán thú vị Toán học Luận văn tổng kết lại nghiên cứu tính chất chuẩn tắc mặt phẳng Niemytzki bình phương đường thẳng Sorgenfrey Mặt phẳng Niemytzki bình phương đường thẳng Sorgenfrey: Không không gian chuẩn tắc; Là không gian tựa-chuẩn tắc; Là không gian hầu chuẩn tắc; Là không gian chuẩn tắc nhẹ; Không không gian nửa chuẩn tắc Thông qua kết này, phần đoán L Kalantan [3] giải Phần lại đoán tiếp tục xem vấn đề mở Mặc dù luận văn có đề cập đến tính chất π-chuẩn tắc không gian tôpô hạn chế thời gian kiến thức nên luận văn không đưa kết luận tính chất mặt phẳng Niemytzki bình phương đường thẳng Sorgenfrey Đây xem hạn chế hướng phát triển luận văn thời gian tới 44 45 Ngoài ra, việc nghiên cứu tính chất chuẩn tắc cho không gian tôpô khác xem hướng nghiên cứu luận văn Đối với chúng tôi, kết luận văn khởi đầu cho trình nghiên cứu Chúng cần nhiều thời gian công sức để tiếp tục học tập, nghiên cứu Trong trình soạn thảo luận văn khó tránh thiếu sót, mong góp ý quý độc giả Những ý kiến đóng góp cho luận văn quý độc giả ý kiến chân thành; xin trân trọng cảm ơn ghi nhận Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2012 Trần Hạnh Tường Vy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Tráng, Tôpô đại cương, Tài liệu lưu hành nội bộ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2005 [2] R Engelking, General Topology, Polish Scientic publishers, Warszawa, 1988 [3] L Kalantan, π-normal topological spaces, Filomat, Volume 22-1, pp 173-181, 2008 [4] L Kalantan, Results about κ-normality, Topology and its Applications, vol 125, 1, pp 47-62, 2002 [5] S Lal and M S Rahman, A note of quasi-normal spaces, Indian Journal of Math., vol.32, No.1, pp 87-94, 1990 [6] E V Shchepin, Real function and near normal spaces, Sibirskii Mat Zurnal, 13,pp 1182-1196, 1972 [7] E V Shchepin, Real function and near normal spaces, Siberian Mathematical Journal, 13:5, pp 820-830, 1972 [8] M Singal and S Arya, Almost normal and almost completely regular spaces, Kyungpook Math J., volume 25, 1, pp 141-152, 1970 46 47 [9] M K Singal and A R Singal, Mildly normal spaces, Kyungpook Math J., 13,pp 27-31, 1973 [10] V Zaitsev, On certain classes of topological spaces and their bicompactifications, Dokl Akad Nauk SSSR, 178, pp 778-779, 1968 [...]... pô chuẩn tắc 31 (mâu thuẫn ) Vậy ta được 1 hệ quả: Hệ quả 2.1 Không gian mặt phẳng Niemytzki không nửa chuẩn tắc Chương 3 KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA BÌNH PHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG SORGENFREY Tiếp nối ý tưởng của Chương 2, nội dung Chương 3 của luận sẽ khảo sát các tính chất dưới chuẩn tắc của bình phương đường thẳng Sorgenfrey Hoàn toàn tương tự với các chứng minh của mặt phẳng Niemytzki, bình. .. là nữa chuẩn tắc nếu với mỗi tập A đóng và tập B mở bất kỳ thỏa A ⊆ B , thì tồn tại một tập mở U sao cho A ⊆ U ⊆ int U ⊆ B 1.8 Mối quan hệ giữa các tính chất dưới chuẩn tắc Mối quan hệ được mô tả theo sơ đồ sau: • Chuẩn tắc ⇒ π -chuẩn tắc ⇒ hầu chuẩn tắc ⇒ chuẩn tắc nhẹ • Chuẩn tắc ⇒ π -chuẩn tắc ⇒ tựa chuẩn tắc ⇒ chuẩn tắc nhẹ Xét về mối quan hệ giữa tính chuẩn tắc và các tính chất dưới chuẩn tắc, M.K... gọi là mặt phẳng Sorgenfrey) Chương 2 KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA MẶT PHẲNG NIEMYTZKI Chương 2 của luận văn dành cho việc khảo sát các tính chất dưới chuẩn tắc của mặt phẳng Niemytzki Thông qua các phản ví dụ cũng như các đặc trưng của tập π-đóng, chúng ta chứng minh được rằng mặt phẳng Niemytzki: 1 Không là không gian chuẩn tắc; 2 Là không gian tựa -chuẩn tắc; 3 Là không gian chuẩn tắc. .. gian chuẩn tắc là không gian tựa chuẩn tắc Mệnh đề 1.11 Mọi không gian tựa chuẩn tắc là không gian chuẩn tắc nhẹ Điều ngược lại của các mệnh đề trên không đúng Điều này đã được E.V Shchepin [6] chứng minh và đưa ra phản ví dụ về không gian chuẩn tắc nhẹ và không tựa -chuẩn tắc Một phản ví dụ nổi tiếng về không gian tựa -chuẩn tắc và không chuẩn tắc chính là mặt phẳng Niemytzki 1.6 Tính π -chuẩn tắc Thuật... Singal và A.R Singal đã giới thiệu và chứng minh một kết quả quan trọng: Mệnh đề 1.21 Một không gian là chuẩn tắc khi và chỉ khi nó vừa là không gian hầu chuẩn tắc, vừa là không gian nửa chuẩn tắc 18 Từ kết quả này, ta sẽ khảo sát được một vài tính chất dưới chuẩn tắc khá thú vị của 2 không gian tô pô nổi tiếng : • Mặt phẳng Niemytzki (hay còn gọi là mặt phẳng Moore) • Bình phương đường thẳng Sorgenfrey. .. 0 ∈ ∩ intFi = F ⇒ E ∩ F = 0 ( trái giả thiết E và F rời nhau ) i=1 Vậy X là tựa chuẩn tắc 24 2.4 Tính chuẩn tắc nhẹ của mặt phẳng Niemytzki Kết hợp Định lý 2.2 và Mệnh đề 1.11, chúng ta có Định lý 2.3 Mặt phẳng Niemytzki là không gian chuẩn tắc nhẹ 2.5 Tính hầu -chuẩn tắc của mặt phẳng Niemytzki Định lý 2.4 Mặt phẳng Niemytzki là không gian hầu -chuẩn tắc Chứng Minh Lấy A , B là 2 tập đóng rời nhau... không gian chuẩn tắc là không gian hầu chuẩn tắc Mệnh đề 1.9 Mọi không gian hầu chuẩn tắc là không gian chuẩn tắc nhẹ Điều ngược lại với các mệnh đề trên không đúng Thật vậy, Ví dụ 1.6 Không gian tôpô bù hữu hạn là một không gian hầu chuẩn tắc và không chuẩn tắc Chúng ta quan tâm đến tính chất sau của không gian hầu chuẩn tắc: Định lý 1.3 Nếu X là không gian hầu chuẩn tắc, compact đếm được và M là không... như trên, tập hợp X trở thành một không gian tôpô và được gọi là mặt phẳng Niemytzki hay mặt phẳng Moore Mặt phẳng Niemytzki có các tính chất sau: Mệnh đề 2.1 Mặt phẳng Niemytzki là không gian Tychonoff Mệnh đề 2.2 Trong mặt phẳng Niemytzki, L ≡ Ox = { x, 0 : x ∈ R} và tập hợp chỉ gồm một phần tử bất kỳ {< x, y >} là các tập π-đóng Chứng Minh Trong mặt phẳng Niemytzki, 21 1 L là tập π-đóng Thật vậy,... tập đóng của 1 không gian chuẩn tắc đều đượcmở rộng thành 1 hàm số liên tục trên chính không gian đó), nên ta suy ra X là không chuẩn tắc (đpcm) 23 2.3 Tính tựa -chuẩn tắc của mặt phẳng Niemytzki Định lý 2.2 Mặt phẳng Niemytzki là không gian tựa -chuẩn tắc 2 Chứng Minh Lấy p : X → L là phép chiếu thông thường từ X ⊂ R lên trục x là L Bổ đề 1: Lấy E và F là 2 tập đóng rời nhau bất kỳ của X ; E và F là... B ⊆ V Từ Định nghĩa 1.12, chúng ta có: 12 Mệnh đề 1.12 Mọi không gian chuẩn tắc là không gian π -chuẩn tắc Mệnh đề 1.13 Mọi không gian π -chuẩn tắc là không gian hầu chuẩn tắc Mệnh đề 1.14 Mọi không gian π -chuẩn tắc là không gian tựa -chuẩn tắc Mệnh đề 1.15 Mọi không gian π -chuẩn tắc là không gian chuẩn tắc nhẹ Điều ngược lại của các mệnh đề trên không đúng Thật vậy, Ví dụ 1.7 Xét không gian tôpô bù ... SÁT CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA BÌNH PHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG SORGENFREY 32 3.1 Đường thẳng Sorgenfrey 33 3.2 Tính chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey 35 3.3 Tính. .. 35 3.3 Tính tựa -chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey 35 3.4 Tính chuẩn tắc nhẹ bình phương đường thẳng Sorgenfrey 36 3.5 Tính hầu -chuẩn tắc bình phương đường thẳng Sorgenfrey 36 3.5.1... SÁT CÁC TÍNH CHẤT DƯỚI CHUẨN TẮC CỦA BÌNH PHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG SORGENFREY Chương trình bày chi tiết kết nghiên cứu với đầy đủ chứng minh tính chất chuẩn tắc, tựa -chuẩn tắc, chuẩn tắc nhẹ, hầu chuẩn