BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Hiếu ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỖN HỢP ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN QUỐC HIẾU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỖN HỢP ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH THANH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2012 Lời cảm ơn Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến: Quý thầy cô thuộc khoa toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh nhiệt tình dạy giúp đỡ trình nghiên cứu học tập khóa học Đặc biệt TS.Trần Đình Thanh, PGS.TS Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Ban giám hiệu quý thầy cô phòng sau đại học trường ĐHSP tạo điều kiện tốt cho suốt khóa học Ban giám hiệu, thầy cô đồng nghiệp trường THPT Vĩnh Kim tạo điều kiện giúp đỡ mặt để hoàn thành luận văn Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2011 Học viên Nguyễn Quốc Hiếu Lời nói đầu Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự đời từ năm 1940 phát triển, hoàn thiện hôm Lí thuyết tìm ứng dụng đa dạng có ý nghĩa để nghiên cứu nhiều lớp phương trình cụ thể xuất phát từ Toán học, Khoa học tự nhiên, Y học Kinh tế học,… Trong lí thuyết phương trình không gian có thứ tự lớp phương trình với ánh xạ tăng đóng vai trò quan trọng Khi nghiên cứu phương trình dạng ta nhận kết sâu nghiệm phương trình ổn định, nhất, tính gần nghiệm nhờ dãy lặp đơn điệu Để nghiên cứu lớp phương trình xuất phát từ nội Toán học Khoa học thời gian gần nhà nghiên cứu đưa vào khảo sát lớp ánh xạ có tính chất gần với ánh xạ tăng nghiên cứu phương pháp tương tự Một lớp ánh xạ ánh xạ hỗn hợp đơn điệu Dựa vào tài liệu, báo khoa học có ánh xạ hỗn hợp đơn điệu luận văn đưa trình bày có hệ thống tương đối đầy đủ kết tồn tại, điểm bất động hỗn hợp ánh xạ hỗn hợp đơn trị đa trị, xây dựng dãy lặp hội tụ điểm bất động Hướng nghiên cứu năm 1980 bước đầu thu nhiều kết thú vị, hứa hẹn có nhiều kết tương lai Luận văn có chương Chương Các khái niệm sử dụng Chương Điểm bất động ánh xạ hỗn hợp đơn trị Chương Điểm tựa bất động ánh xạ hỗn hợp đơn điệu Chương Điểm bất động ánh xạ đa trị hỗn hợp đơn điệu Chương trình bày quan hệ thứ tự, khái niệm tính chất không gian Banach có thứ tự nón, nón sinh, nón chuẩn, nón quy, ánh xạ tăng, nguyên lý Entropi(Brezis, Browder), điểm bất động toán tử compact đơn điệu mà dùng để chứng minh định lý luận văn Chương trình bày điểm bất động ánh xạ hỗn hợp đơn trị Chương trình bày điểm tựa bất động ánh xạ hỗn hợp đơn điệu Chương trình bày điểm bất động ánh xạ đa trị hỗn hợp đơn điệu MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời nói đầu Mục lục .6 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM SỬ DỤNG 1.1 Quan hệ thứ tự .7 1.2 Không gian Banach có thứ tự 1.3 Ánh xạ tăng 10 1.4 Nguyên lý Entropi (Brezis, Brower) 10 1.5 Điểm bất động toán tử compact đơn điệu .11 CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ HỖN HỢP ĐƠN ĐIỆU 12 CHƯƠNG 3: ĐIỂM TỰA BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỖN HỢP ĐƠN ĐIỆU 28 CHƯƠNG 4: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ HỔN HỢP ĐƠN ĐIỆU 37 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM SỬ DỤNG 1.1 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X quan hệ thứ tự " ≤ " , ta nói X tập Định nghĩa 1.1.2 Với S ⊂ X , ta nói S tuyến tính (hay toàn phần) Nếu ∀x, y ∈ S ta có x ≤ y hay y ≤ x Định nghĩa 1.1.3 x ∈ X phần tử tối đại y ∈ X , x ≤ y x = y Chú ý: Trong X có nhiều phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.4 Cho S ⊂ X , x ∈ X gọi biên (chặn trên) S y ≤ x với y ∈ S Nói riêng x ∈ S ta nói x phần tử lớn S Tương tự ta định nghĩa chặn Bổ đề Zorn Nếu X tập thứ tự phận, tập tuyến tính X có biên X có phần tử tối đại 1.2 Không gian Banach có thứ tự 1.2.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.2.1 Cho E không gian Banach thực Tập P chứa E gọi nón P tập đóng; i) ii) P + P ⊂ P, λ P ⊂ P với λ ≥ ; iii) P  ( − P ) = {θ } Nếu P nón thứ tự E sinh nón P định x ≤ y hay y ≥ x ⇔ y − x ∈ P Mỗi x ∈ P \ {θ } gọi dương Mệnh đề 1.2.1 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón P Khi i) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z , λ x ≤ λ y với z ∈ P, λ ≥ ; ( x ≤ y ( n ∈  ) , lim x = * ii) n iii) n n →+∞ n ) x, lim y = y ⇒ x ≤ y; →+∞ n n { } Nếu dãy xn tăng, hội tụ x xn ≤ x với n ∈ * Định nghĩa 1.2.2 Cho E không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh nón P Tập D ⊂ E gọi bị chặn tồn w ∈ E cho x ≤ w với x ∈ D Tương tự ta định nghĩa cho tập bị chặn Định nghĩa 1.2.3 Cho E không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh nón P D ⊂ E Khi z ∈ E gọi cận bé D ( sup D ) i) x ≤ z với x ∈ D ; ii) Nếu ∃y ∈ E cho x ≤ y , ∀x ∈ D z ≤ y Ký hiệu: z = sup D Tương tự ta định nghĩa inf D 1.2.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.2 Nón P gọi nón chuẩn ∃N > : ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y Mệnh đề 1.2.2 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón chuẩn P Khi i) Với u ≤ v đoạn u , v ≡ { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn ; lim xn a= ; lim zn a lim yn = a ; ii) Nếu xn ≤ yn ≤ zn và= n →+∞ n →+∞ { } n →+∞ iii) Nếu dãy xn đơn điệu, có dãy hội tụ a lim xn = a n →+∞ 1.2.3 Nón quy (Regular cone) Định nghĩa 1.2.3 Nón P gọi nón quy dãy tăng, bị chặn hội tụ Mệnh đề 1.2.3 Nón quy nón chuẩn 1.2.4 Nón sinh (Repro ducing cone) Định nghĩa 1.2.4 Nón P gọi nón sinh E= P - P Hay ∀x ∈ E , ∃u , v ∈ P cho x= u − v Mệnh đề 1.2.4 Nếu P nón sinh tồn M > cho ∀x ∈ E , ∃u , v ∈ P : x = u − v, u ≤ M x , v ≤ M x 1.2.5 Nón Minihedral mạnh Nón P gọi nón Minihedral mạnh Nếu ∀A ⊂ P , A bị chặn sup A tồn 1.3 Ánh xạ tăng Định nghĩa Giả sử X, Y không gian Banach thực Với P K nón tương ứng X Y Ánh xạ F : X → Y gọi ánh xạ tăng (hay ánh xạ đơn điệu) Nếu với x1 , x2 x1 ≥ x2 ta có F ( x1 ) ≥ F ( x2 ) Ánh xạ F : X → Y gọi dương ∀x ∈ X , x ≥ θ ta có F ( x ) ≥ θ Chú ý : Nếu F ánh xạ tuyến tính F ánh xạ tăng F dương Định lý 1.3 Giả sử P nón sinh X, K nón chuẩn Y F : X → Y toán tử tuyến tính dương Khi F liên tục 1.4 Nguyên lý Entropi (Brezis, Brower) Giả sử có a) X tập thứ tự cho dãy tăng X có cận ; Nghĩa Nếu un ≤ un+1 với n thuộc * tồn v ∈ X :un ≤ v với n thuộc * b) Phiếm hàm S : X → [ −∞, +∞ ) tăng bị chặn ; Nghĩa Cần chứng minh lim wn = x* n →∞ Ta chứng minh điều quy nạp  Kiểm tra nhận định n = u1 = ≤ w1 B ( w0 , w0 ) ≤ v1 u1 = (1 − t0 ) u0 + t0 B ( u0 , v0 ) ≤ (1 − t0 ) B ( u0 , v0 ) + t0 B ( u0 , v0 ) ≤ B ( u0 , v0 ) ≤ B ( w0 , w0 ) = w1 v1 = (1 − s0 ) v0 + s0 A ( v0 , u0 ) ≥ (1 − s0 ) A ( v0 , u0 ) + s0 A ( v0 , u0 ) ≥ A ( v0 , u0 ) ≥ B ( w0 , w0 ) = w1 Giả sử có = un ≤ wn B ( wn−1 , wn−1 ) ≤ Dễ dàng chứng minh (như bước n = ) kết un +1 ≤ wn +1 ≤ +1 Qua giới hạn, ta lim wn = x*  n →∞ Định lý 4.2 Cho A : u0 , v0 × u0 , v0 → E Là toán tử đa trị hỗn hợp đơn điệu phía thỏa i) ∃β ∈ ( 0,1) thỏa A ( v, u ) − A ( u , v ) ≤ β ( v − u ) ; Với u0 ≤ u ≤ v ≤ v0 ( ) ( ) ii) u0 ≤ A u0 , v0 , A v0 , u0 ≤ v0 ; iii) (4.20) A ( x, y ) có phần tử lớn nhấ t ∀x, y ∈ u0 , v0 thỏa x ≥ y (4.21) Khi A tồn điểm bất động x* ∈ u0 , v0 { }{ } { }{ } Hơn nữa, cho hai dãy tn , sn thỏa (4.5) tồn hai dãy un , thỏa un +1 ∈ (1 − tn ) un + tn A ( un , )   vn +1 ∈ (1 − sn ) + sn A ( , un ) (4.22) {u } ,{v } hội tụ x , thỏa tốc độ hội tụ * n n x* − un ( ) ≤ N 1 − τ (1 − β )  u0 , v0 n (4.23) Chứng minh Bước { }{ } Với hai dãy tn , sn thỏa (4.5), chứng minh tồn hai dãy lặp hỗn { }{ } hợp un , thỏa (4.22) u0 ≤ u1 ≤ ≤ un ≤ ≤ ≤ v1 ≤ v0 (4.24) Đầu tiên ta kiểm tra (4.24) n = Từ (4.20) tính hỗn hợp đơn điệu A, ta u0 ≤ A ( u0 , v0 ) ≤ A ( v0 , u0 ) ≤ v0 (4.25) Do (4.21) (4.25), ta ∃x0 ∈ A ( u0 , v0 ) thỏa u0 ≤ x0 (4.26) y0 = max A ( u0 , v0 ) (4.27) u1 = (1 − t0 ) u0 + t0 x0   (1 − s0 ) v0 + s0 y0 v1 = (4.28) Đặt Từ (4.25) - (4.28) ta chứng minh u0 ≤ x0 ≤ y0 ≤ v0 u0 ≤ u1 ≤ v1 ≤ v0 u1 ≤ A ( u1 , v1 ) ≤ A ( v1 , u1 ) ≤ v1 Giả sử ta có un ≤ xn ≤ yn ≤ un −1 ≤ un ≤ ≤ −1 un ≤ A ( un , ) ≤ A ( , un ) ≤ Trong xn ∈ B ( un , ) thỏa un ≤ xn yn = max A ( , un ) Đặt un +1 = (1 − tn ) un + tn xn   (1 − sn ) + sn yn vn +1 = Ta chứng minh un ≤ un +1 ≤ +1 ≤ un ≤ A ( un , ) ≤ A ( , yn ) ≤ Từ ta (4.24) với n Bước Tương tự cách chứng minh định lý 4.1, ta ≤ vn+1 − un+1 ≤ 1 − τ (1 − β )  ( − un ) ≤ vn+1 − un+1 ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n Vì ≤ un+ m − un ≤ − un ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n ≤ − vn+ m ≤ − un ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n Do P nón chuẩn, với số chuẩn N − un ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 (4.29) − un ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 (4.30) − vn+ m ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 (4.31) n n n Từ (4.29) - (4.31) ta Tồn x* ∈ u0 , v0 thỏa un ≤ xn ≤ Và lim = un lim = x* n →∞ n →∞ Khi (4.23) dĩ nhiên thỏa. Định lý 4.3 Cho A : u0 , v0 → E Là toán tử đa trị tăng phía thỏa i) Tồn số β ∈ ( 0,1) thỏa Av − Au ≤ β ( v − u ) với u0 ≤ u ≤ v ≤ v0 (4.32) ii) u0 ≤ Au0 , Av0 ≤ v0 ; iii) (4.33) Ax có phần tử lớn ∀x ∈ u0 , v0 (4.34) Khi A có điểm bất động x* ∈ u0 , v0 { }{ } { } Hơn nữa, với dãy tn , sn thỏa (4.5) tồn dãy un định un+1 ∈ (1 − tn ) un + tn Aun { } Sao cho un hội tụ x* thỏa tốc độ hội tụ x* − un ≤ N 1 − τ (1 − β )  u0 − v0 n (4.35) Chứng minh Bước { }{ } Với hai dãy số thực tn , sn { } thỏa (4.1.4) ta xây dựng dãy un u0 ≤ u1 ≤ ≤ un thỏa (4.36) Ta chứng minh (4.36) n = Từ A toán tử đa trị tăng phía (4.34), ta có uo ≤ Au0 ≤ Av0 ≤ v0 (4.37) u0 ≤ Au0 , ∃x0 ∈ Au0 để u0 ≤ x0 (4.38) y0 = max Av0 (4.39) u1 = (1 − t0 ) u0 + t0 x0   (1 − s0 ) v0 + s0 x0 v1 = (4.40) Do Đặt Từ (4.37) - (4.40) ta chứng minh u0 ≤ x0 ≤ yo ≤ v0 u0 ≤ u1 ≤ v1 ≤ v0 u1 ≤ Au1 ≤ Av1 ≤ v1 Giả sử (4.36) đến n , un −1 ≤ xn −1 ≤ yn −1 ≤ −1 un −1 ≤ un ≤ ≤ −1 un ≤ Aun ≤ Avn ≤ Khi thực bước 1, ta un ≤ xn ≤ yn ≤ un ≤ un +1 ≤ +1 ≤ un +1 ≤ Aun +1 ≤ Avn +1 ≤ +1 Vậy (4.36) với n Bước Ta có ≤ +1 − un +1 ≤ vn+1 − un+1 ≤ 1 − τ (1 − β )  ( − un ) ≤ vn+1 − un+1 ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n Vì ≤ un+ m − un ≤ − un ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n ≤ − vn+ m ≤ − un ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n Do P nón chuẩn với số chuẩn N nên − un ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 n (4.41) un+ m − un ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 (4.42) − vn+ m ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 (4.43) n n Từ (4.41) - (4.43), ta thu ∃x* ∈ u0 , v0 thỏa un ≤ x* ≤ ; lim = un lim = x* n →∞ Bước Chứng minh x* điểm bất động A Ta có un ≤ Aun ≤ Ax* ≤ Avn ≤ Tồn zn ∈ Ax* thỏa un ≤ zn ≤ Do (4.41) ta lim zn = x* n →∞ Do Ax* đóng x* ∈ Ax* Vậy x* điểm bất động A Trong (4.41) cho m → ∞ ta (4.35). Hệ 4.2 A : u0 , v0 → E Là toán tử đơn trị tăng thỏa n →∞ i) ∃β ∈ ( 0,1) thỏa Av − Au ≤ β ( v − u ) ; (4.44) Với u0 ≤ u ≤ v ≤ v0 ii) u0 ≤ Au0 , Av0 ≤ v0 (4.45) Khi tồn điểm bất động x* ∈ u0 , v0 { }{ } { } Hơn nữa, với dãy tn , sn thỏa (4.5) tồn dãy un thỏa un+1 = (1 − tn ) un + tn Aun (4.46) Sao cho un → x* thỏa tốc độ hội tụ x* − un ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 n (4.47) Và với w0 ∈ u0 , v0 , đặt wn+1 = Awn wn → x* Chứng minh Bước { } Chứng minh tồn dãy un thỏa (4.46) u0 ≤ u1 ≤ ≤ un ≤ v0 Từ (4.45) tính chất tăng toán tử A, ta u0 ≤ Au0 ≤ Av0 ≤ v0 Đặt u1 = (1 − t0 ) u0 + t0 Au0   (1 − s0 ) v0 + s0 Au0  v1 = (4.48) Ta chứng minh u0 ≤ u1 ≤ v1 ≤ v0 u1 ≤ Au1 ≤ Av1 ≤ v1 Giả sử ta có un −1 ≤ un ≤ ≤ −1 un ≤ Aun ≤ Avn ≤ Với un = (1 − tn ) un−1 + tn Aun−1   (1 − sn ) vn−1 + sn Avn−1 vn = Đặt un +1 = (1 − tn ) un + tn Aun   (1 − sn ) + sn Avn vn +1 = Khi ta chứng minh un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤  un+1 ≤ Aun+1 ≤ Avn+1 ≤ vn+1 Vậy nhận định (4.48) với n Bước Thực tương tự định lý 4.1 ≤ vn+1 − un+1 ≤ 1 − τ (1 − β )  ( − un ) ≤ vn+1 − un+1 ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n Khi ta ≤ un+ m − un ≤ − un ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n ≤ − vn+ m ≤ − un ≤ 1 − τ (1 − β )  ( v0 − u0 ) n Do P nón chuẩn nên tồn số N thỏa − un ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 (4.49) un+ m − un ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 (4.50) − vn+ m ≤ N 1 − τ (1 − β )  v0 − u0 (4.51) n n n Lý luận tương tự định lý 4.1, thu x* ∈ u0 , v0 thỏa un → x* tốc độ hội tụ (4.47) Bước Xét w0 ∈ u0 , v0 Đặt wn +1 = Awn Ta giả sử w0 ≤ Aw0 , Aw0 ≤ w0 lý luận tương tự dễ dàng kiểm tra u0 ≤ wn ≤ v0 với n thuộc  (4.52) u0 ≤ w0 ≤ w1 ≤ ≤ wn ≤ ≤ v0 (4.53) Ta có wn+1 − wn= Awn − Awn −1 ≤ β ( wn − wn −1 ) ≤ ≤ β n ( w1 − w0 ) Nên wn+ p − w= n (w n+ p − wn + p −1 ) + ( wn + p −1 − wn + p − ) + + ( wn+1 − wn ) wn+ p − wn ≤ ( β n+ p −1 + β n+ p − + + β n )( w1 − w0 ) wn+ p − wn ≤ βn ( w1 − w0 ) 1− β Do P nón chuẩn với hệ số chuẩn N Nβ n wn+ p − wn ≤ w1 − w0 1− β (4.54) Do (4.54) dãy {wn } dãy Cauchy, nên wn → y* (4.55) Từ (4.53) ta u0 ≤ w0 ≤ w1 ≤ ≤ wn ≤ y * ≤ v0 Nên Awn ≤ Ay * ⇒ Ax* − Awn ≤ β N x* − wn Vậy Awn → Ay* Từ (4.55)-(4.56) ta A ( y* ) = y* (4.56) Tiếp theo ta chứng minh y * điểm bất động Giả sử có z * ∈ u0 , v0 thỏa Az * = z * Chứng minh y* = z * Ta giả sử z * < y* (trường hợp y* < z * tương tự) Ay* − Az * ≤ β ( y* − = z * ) β ( Ay * − Az * ) ≤ ≤ β n ( y* − z * ) ⇒ Ay* − Az * ≤ N β n y * − z * Cho n → ∞ ta Ay * = Az * ⇒ y * = z * (vô lý) Cuối ta thấy: x* điểm bất động A w0 , v0 KẾT LUẬN Luận văn cố gắng trình bày cách hệ thống, với chứng minh chi tiết kết điểm bất động ánh xạ hỗn hợp đơn trị, điểm tựa bất động ánh xạ hỗn hợp đơn điệu điểm bất động ánh xạ hỗn hợp đa trị Luận văn phát triển theo hướng nghiên cứu ứng dụng ánh xạ đa trị Quá trình làm luận văn biết áp dụng phương pháp nghiên cứu kết học phần giải tích hàm, giải tích phi tuyến, phương trình vi phân… để học tập nghiên cứu vấn đề Giúp trưởng thành tư toán học, tính nhẫn nại tự tin trình nghiên cứu khoa học Nếu có điều kiện tiếp tục nghiên cứu thêm vấn đề Do thời gian lực hạn hẹp nên luận văn hẳn thiếu sót Tôi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp từ quý Thầy cô bạn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Guo D.J (1988), V.Lakshmikantham, Nonliner Problems in Abstract cones, Academic Press, Inc.1250 sixth Avenue, San Diego,CA92101, pp.1-17 [2] Zhang Z.T ( 1996 ), New fixed point theorems of Mixed Monotone operators and applications JMAA, 204, pp 307-319 [3] Hong S.H (2003), Fixed points for Mixed monotone multivalued operators in Banach spaces with applications Appl Anal.40, pp.1-7 [4] Du Y.H (1990), Fixed points of increasing operators in ordered Banach spaces with applications, Appl Anal 38, pp – 20 [5] Guo D.J (1988), Fixed points of mixed monotone operators with applications, Appl Anal 31, pp 215 – 224 [...]... hợp này thì v là điểm bất động • Nếu 1 v < A ( 0, v ) < v 2 1 Do B ( v,0 ) = v − A ( 0, v ) ; v < A ( 0, v ) < v 2 Khi đó 1 0 < B ( v,0 ) < v 2 Do (2.25), ta được B ( 0, v ) ≥ cB ( v,0 ) Áp dụng định lý (2.1) cho toán tử B, có duy nhất điểm bất động x ∈ 0, v Tức là ( ) A v − x, v − x =v − x Vậy x*= v − x là điểm bất động của A Bước 2 Chứng minh sự duy nhất của điểm bất động Giả sử x 0 là điểm bất động. .. K → E là toán tử hỗn hợp đơn điệu B : D′ → E ′ B ( x, y ) = ( A′ ( x, y ) , A′ ( y, x ) ) Khi đó i) ( x, y ) là cặp điểm tựa bất động của A nếu và chỉ nếu là điểm bất động của B; ii) B đơn điệu tăng với quan hệ "α " ; iii) Nếu u0 ≤ A′ ( u0 , v0 ) ; A/ ( v0 , u0 ) ≤ v0 Khi đó ( u0 , v0 ) α B ( u0 , v0 ) và B ( v0 , u0 ) α ( v0 , u0 ) Chứng minh i) ( x, y ) là cặp điểm tựa bất động của A  A′ ( x,... v ) 2 Khi đó A có duy nhất điểm bất động x* ∈ u, v Chứng minh Xét B : 0, v − u × 0, v − u → 0, v − u B ( x, y )= A ( x + u , y + u ) − u , với mọi x, y thuộc 0,v − u Ta có B thỏa tất cả các điều kiện của định lý 2.2 Khi đó B có duy nhất điểm bất động x ∈ 0, v − u Tức là ( ) B x, x = x A ( x* , x* ) = x* với x*= x + u CHƯƠNG 3: ĐIỂM TỰA BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỖN HỢP ĐƠN ĐIỆU Gọi E là không gian Banach...  m Định nghĩa 3.1 i) Toán tử A : D K → E gọi là hỗn hợp đơn điệu nếu A tăng đối với mỗi một trong m biến đầu tiên và giảm đối với mỗi một trong các biến còn lại ii) A : D K → E là hỗn hợp đơn diệu  A ( x, , x, y, , y ) = x  A ( y, , y, x, x ) = y Khi đó ( x, y ) gọi là cặp điểm tựa bất động của A nếu  Nhận xét i) Giả sử A là toán tử hỗn hợp đơn điệu, xét A′ : D′ ⊂ E ′ → E A′ ( x, y ) = A ( x,... điểm bất động trên M Hệ quả 1.5.1 Giả sử i) P là nón chuẩn , A ( v0 ) ≤ v0 và u0 ≤ A ( u0 ) ; ii) Toán tử A : u0 , v0 → u0 , v0 là toán tử đơn điệu và tập A ( u0 , v0 compact tương đối Khi đó A có điểm bất động trên u0 , v0 Hệ quả 1.5.2 i) P là nón chính quy , A ( v0 ) ≤ v0 và u0 ≤ A ( u0 ) ; ii) Toán tử A : u0 , v0 → u0 , v0 là toán tử đơn điệu Khi đó A có điểm bất động ) là tập CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT... định lý 3.1 và P là nón chính quy ( ) Khi đó A có cặp điểm tựa bất động u * , v* Chứng minh Từ giả thuyết A là là toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa (3.1) trong định lý 3.1 Áp dụng bổ đề 3.1, ta được B toán tử đơn điệu tăng đối với quan hệ "α " Mà P là nón chính quy Áp dụng hệ quả 1.5.2 thì B có điểm bất động trên D/ ( ) Suy ra A có cặp điểm tựa bất động u * , v*  ... lý 3.1 và A là toán tử hỗn hợp đơn điệu Nên ( B là toán tử tăng Mặt khác do A u , v k ) là tập compact tương đối trong E / Suy ra B(D/) compact tương đối trong E/ và P là nón chuẩn ( ) Theo hệ quả 1.5.1 thì B có điểm bất động u * , v* trên D/ ( ) Khi đó A có cặp điểm tựa bất động u * , v*  Định lý 3.5 Giả sử u0 , v0 ∈ E , u0 < v0 và A : u0 , v0 k → E là toán tử hỗn hợp đơn điệu thỏa (3.1) trong định... ii) Toán tử A : u0 , v0 → u0 , v0 là toán tử đơn điệu Khi đó A có điểm bất động ) là tập CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ HỖN HỢP ĐƠN ĐIỆU Trong này, ta xét E là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón P Định nghĩa 2.1 • Cho D ⊂ E , toán tử A: D× D → E gọi là hỗn hợp đơn điệu nếu A tăng theo biến thứ nhất và giảm theo biến thứ hai Nghĩa là ( ) ( ) ( ) ( ) ∀x1 ; x2 ∈ D, x1 ≤ x2...  n (2.27) Có sự hội tụ Chứng minh Bước 1 Chứng minh sự tồn tại điểm bất động v A ( v − x, v − y ) với mọi x,y thuộc 0,v Đặt B ( x, y ) =− Dễ dàng chứng minh được rằng B là toán tử hỗn hợp đơn điệu B (., y ) : 0, v → 0, v lõm B ( x,.) : 0, v → 0, v lồi • Nếu A ( 0, v ) = v Vì 0 < v ⇒ A ( 0, v ) ≤ A ( v,0 ) (Do A là toán tử hỗn hợp đơn điệu) Do (2.25) A ( v,0 ) ≤ cA ( 0, v ) + (1 − c ) v ≤ v Vì vậy...  A/ ( u * , v* ) = u *  Tức là  / * * *  A ( v , u ) = v ( ) Hay A có cặp điểm tựa bất động u * , v*  Định lý 3.4 Giả sử u0 , v0 ∈ E , u0 < v0 và A : u0 , v0 k → E là toán tử hỗn hợp đơn điệu ( thỏa (3.1) trong định lý 3.1; P là nón chuẩn và A u0 , v0 k ) là tập compact tương đối trong E Khi đó A có cặp điểm tựa bất động Chứng minh Đặt D / = u0 , v0 × u0 , v0 , E / = E×E Và B : D/ → E / ( u, v ... Các khái niệm sử dụng Chương Điểm bất động ánh xạ hỗn hợp đơn trị Chương Điểm tựa bất động ánh xạ hỗn hợp đơn điệu Chương Điểm bất động ánh xạ đa trị hỗn hợp đơn điệu Chương trình bày quan hệ... ĐƠN ĐIỆU 12 CHƯƠNG 3: ĐIỂM TỰA BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỖN HỢP ĐƠN ĐIỆU 28 CHƯƠNG 4: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ HỔN HỢP ĐƠN ĐIỆU 37 KẾT LUẬN ... bất động ánh xạ hỗn hợp đơn trị Chương trình bày điểm tựa bất động ánh xạ hỗn hợp đơn điệu Chương trình bày điểm bất động ánh xạ đa trị hỗn hợp đơn điệu MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời nói