1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Khắc Quỳnh Anh TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Khắc Quỳnh Anh TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất thầy cô cán trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt để học tập, từ có kiến thức, kỹ cho thân hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô trực tiếp giảng dạy, người truyền đạt cho kiến thức, đặc biệt kiến thức chuyên ngành Toán giải tích Những kiến thức hành trang lớn quý báu để tiếp tục hành trình đời Đặc biệt, xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Đình Thanh, thầy trực tiếp hướng dẫn, định hướng, giải đáp thắc mắc, bổ trợ kiến thức, … giúp hoàn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Bích Huy, thầy trực tiếp giảng dạy, hỗ trợ kiến thức chuyên ngành Độ đo Tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến Đây kiến thức tảng, liên quan trực tiếp đến luận văn Gia đình bạn bè nhân tố thiếu giúp hoàn tất công việc Gia đình tạo cho không gian học tập thật tốt Bạn bè giúp đỡ, động viên lúc gặp khó khăn Xin cảm ơn người thân yêu! Cuối cùng, xin gởi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất thầy cô, gia đình bạn bè MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .6 CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 1.1 Kiến thức mở đầu 1.1.1 σ − đại số, độ đo dương .8 1.1.2 Định lý Pettis 1.1.3 Nửa chuẩn 1.1.4 Hàm thực chất bị chặn 1.1.5 Bổ đề Fatou 1.1.6 Topo yếu σ ( E , E * ) 10 1.1.7 Nón thứ tự sinh nón .11 1.2 Hàm đo có giá trị vectơ 12 Bổ đề 1.2.1 13 Mệnh đề 1.2.2 15 1.3 Tích phân hàm có giá trị vectơ 16 1.3.1 Tích phân hàm vectơ 16 1.3.2 Nón thứ tự sinh nón .18 Bổ đề 1.3.1 19 Mệnh đề 1.3.2 19 Hệ 1.3.3 21 Mệnh đề 1.3.4 (Định lý hội tụ yếu đơn điệu) 23 1.4 Tích phân Henstock – Lebesgue (HL – tích phân) 25 1.4.1 K − phân hoạch 25 1.4.2 HL – khả tích 26 1.4.3 Tích phân Henstock – Kurzweil .27 1.4.4 Ví dụ hàm HL – khả tích .27 1.4.5 Tính chất 29 Bổ đề 1.4.1 31 Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Saks – Henstock) .32 Mệnh đề 1.4.3 32 Mệnh đề 1.4.4 32 1.5 Tích phân đạo hàm hàm có giá trị vectơ 33 1.5.1 Hàm có biến phân bị chặn hàm liên tục tuyệt đối .33 Bổ đề 1.5.1 35 Định lý 1.5.2 35 Hệ 42 Hệ 42 Hệ 43 Hệ 43 1.5.2 Nguyên hàm .45 Định lý 1.5.3 46 Định lý 1.5.4 46 Hệ .51 CHƯƠNG 2: HL – TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ 52 2.1 Các tính chất thứ tự HL – tích phân 52 Bổ đề 2.1.1 52 Bổ đề 2.1.2 56 Mệnh đề 2.1.3 59 Mệnh đề 2.1.4 60 Mệnh đề 2.1.5 61 2.2 Các định lý qua giới hạn 62 Định lý 2.2.1 (Định lý hội tụ bị trội cho hàm HL – khả tích) .62 Định lý 2.2.2 (Định lý hội tụ đơn điệu cho hàm HL – khả tích) 66 2.3 Không gian định chuẩn có thứ tự hàm HL – khả tích 67 Bổ đề 2.3.1 68 Định lý 2.3.2 70 KẾT LUẬN .73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 MỞ ĐẦU “Tích phân hàm có giá trị không gian Banach có thứ tự” đề tài thực dựa ý tưởng mở rộng tự nhiên tích phân hàm nhận giá trị  lên tích phân hàm nhận giá trị không gian Banach Việc trang bị thứ tự cho không gian Banach góp phần làm xuất thêm nhiều tính chất giống với tính chất hàm nhận giá trị  , làm bật lên hay, tính chặt chẽ lý thuyết xây dựng với hệ thống khái niệm, định lý, mệnh đề, hệ cho thấy rõ ý tưởng Đề tài gồm hai chương Chương đầu trình bày hai loại tích phân xây dựng theo hai cách khác nhau, tính chất loại mối liên hệ hai loại tích phân Tích phân Bochner có cách xây dựng giống với tích phân Lebesgue cho hàm nhận giá trị  , bắt đầu định nghĩa hàm bậc thang, hàm đo tích phân chúng Tích phân Henstock – Lebesgue lại xây dựng giống với tích phân Riemann, thông qua khái niệm phân hoạch, có nét riêng nó, đối tượng hàm nhận giá trị không gian Banach Trong hai loại tích phân này, bắt gặp nhiều kết gợi nhớ tính chất biết tích phân hàm nhận giá trị  Ở chương hai, vào định lý lớn với tên gọi quen thuộc định lý hội tụ bị trội, định lý hội tụ đơn điệu cho hàm nhận giá trị không gian Banach không gian trang bị thứ tự Bên cạnh đó, chương giới thiệu không gian định chuẩn có thứ tự hàm HL – khả tích với định nghĩa chuẩn Alexiewicz, nón thứ tự sinh nón Đề tài tiến hành sở chấp nhận số kiến thức, lý thuyết tích phân Bochner tích phân Henstock – Kurweil Do có nhiều bổ đề phát biểu, không chứng minh phần chứng minh sử dụng nhiều kiến thức vừa đề cập, đòi hỏi phải trình bày lại lý thuyết, làm nặng nề luận văn không nhằm vào mục tiêu đề tài Tuy nhiên, bỏ qua bổ đề chúng cần cho chứng minh tính chất luận văn Đề tài chủ yếu dựa tài liệu tham khảo [1] [2], lý thuyết tích phân Bochner tích phân Henstock – Kurweil tham khảo tài liệu tham khảo [3] Bên cạnh đó, thấy việc vận dụng kiến thức Giải tích thực, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, … phương pháp chứng minh lĩnh vực luận văn CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 1.1 Kiến thức mở đầu 1.1.1 σ − đại số, độ đo dương Định nghĩa 1.1.1.1 Cho Ω tập hợp ≠ φ ,  ⊂  ( Ω ) gọi σ − đại số Ω nếu: i Ω ∈  , A ∈  Ac ∈  ii , n 1, 2, ⇒ ∪ An ∈  An ∈ = ∞ n =1 Khi đó, phần tử  gọi tập đo Định nghĩa 1.1.1.2 Ta gọi độ đo dương  hàm µ :  → [ 0; +∞ ] thỏa: i µ (φ ) = ii Nếu { An }n =1 ⊂  thỏa An ∩ Am = φ với n ≠ m µ  ∪ An  = ∑ µ ( An )  n =1  n =1 ∞ ∞ ∞ Khi đó, ta gọi ( Ω,  , µ ) không gian độ đo 1.1.2 Định lý Pettis 1.1.2.1 Định nghĩa Cho ( Ω,  , µ ) không gian độ đo, ( E , ) không gian Banach f : Ω → E ánh xạ a) f gọi µ − đo yếu với ánh xạ tuyến tính liên tục g : E →  (tức g ∈ E * ) g  f :Ω →  s  g ( f ( s ))  − đo b) f gọi có hữu hạn giá trị f hàm hằng, khác θ hữu hạn ( ) tập  − đo được, rời Ai với µ ( Ai ) < +∞ f ( s )= θ , ∀s ∈ Ω \ ∪ Ai i c) f gọi µ − đo mạnh (hay µ − đo được) tồn dãy hàm có hữu hạn giá trị, hội tụ mạnh theo điểm µ − h.k.n Ω tới f d) f gọi có giá trị khả ly f ( Ω ) (miền giá trị) tập khả ly e) f gọi có giá trị khả ly µ − h.k.n tồn tập µ − không Z cho f ( Ω \ Z ) khả ly 1.1.2.2 Định lý Pettis f µ − đo mạnh f µ − đo yếu có giá trị khả ly µ − h.k.n 1.1.3 Nửa chuẩn Cho E không gian vectơ, ánh xạ p : E →  gọi nửa chuẩn nếu: i p ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ E ii p ( λ x= ) λ ⋅ p ( x ) , ∀x ∈ E , ∀λ ∈  iii p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) , ∀x, y ∈ E 1.1.4 Hàm thực chất bị chặn Hàm u : Ω → E gọi thực chất bị chặn ∃k ∈  : u ( t ) ≤ k h.k.n Ω { } Khi đó, ta định nghĩa essup u ( t ) : t ∈= Ω inf {k ∈  : k thỏa điều kiện } 1.1.5 Bổ đề Fatou Cho ( Ω,  , µ ) không gian độ đo Kí hiệu = L+ { f : Ω → [ 0, +∞ ] hàm  − đo } Bổ đề: Cho { f n } dãy L+ Khi ∫ liminf f n ≤ liminf ∫ f n n →∞ n →∞ 10 1.1.6 Topo yếu σ ( E , E * ) Cho ( E, ) không gian Banach trường  , ≤ p < ∞ , dãy { xn }n ⊂ E , xn  x , x ∈ E Khi {x } bị chặn x ≤ liminf xn p p n n p n →∞ Chứng minh: Do xn  x nên {x } n bị chặn, n {x } p n n bị chặn Bây giờ, ta chứng minh x ≤ liminf xn Thật vậy: p p n →∞ • Bất đẳng thức với x = θ • Xét trường hợp x ≠ θ : ∀f ∈ E * \ {θ } , xn  x f ( xn ) →  f ( x )  , nên p f ( xn ) → f ( x )   , lim f ( xn ) = f ( x )  p n →∞ Ta có: f ( xn ) ≤ f ⋅ xn , ∀n ∈ * , ∀f ∈ E * \ {θ } p ⇒ f ( xn ) ≤ f  ⋅ xn , ∀n ∈ * , ∀f ∈ E * \ {θ } p p p ⇒ liminf f ( xn ) ≤ f  ⋅ liminf xn , ∀f ∈ E * \ {θ } p p n →∞ n →∞ p ⇒ f ( x) ≤ f  ⋅ liminf xn , ∀f ∈ E * \ {θ } p p n →∞  f ( x) ⇒  f  p  p xn , ∀f ∈ E * \ {θ }  ≤ liminf n →∞   f ( x) ⇒ sup  f ∈E \{θ }   f * p  xn  ≤ liminf n →∞  p Ta có: f ( x ) ≤ f ⋅ x , ∀f ∈ E * \ {θ } ⇒ f ( x) f ≤ x , ∀f ∈ E * \ {θ } suy 60 Ta có f ( s ) ≤ u ( s ) ≤ g ( s ) h.k.n [ a; b ] nên θ ≤ g ( s ) − u ( s ) ≤ g ( s ) − f ( s ) h.k.n [ a; b ] hay ∀n ∈ * h.k.n [ a; b ] Mà g − f HL – khả tích (do g f HL – khả tích) ∃n0 ∈ * : ∀n ≥ n0 đo mạnh (do g HL – khả tích nên g đo mạnh, có u đo mạnh) theo bổ đề 2.1.2, ∃n0 ∈ * : ∀n ≥ n0 HL – khả tích Ta có u =g − ( g − u ) với g g − u HL – khả tích nên u HL – khả tích  Mệnh đề 2.1.4 Cho ( E , ) không gian Banach có thứ tự sinh nón E+ Hàm v : [ a; b ] → E HL – khả tích d K ∫ v ( s ) ds ∈ E , ∀[c, d ] ⊂ [ a, b] + c Khi v ( t ) ∈ E+ h.k.n [ a; b ] Chứng minh: t Đặt f : [ a; b ] → E định f ( t ) = K ∫ v ( s ) ds , ∀t ∈ [ a; b ] f a nguyên hàm v Do định lý 1.4.3, ta f khả vi h.k.n [ a; b ] f ' ( t ) = v ( t ) h.k.n [ a; b ] Như vậy, tồn tập có độ đo không Z ⊂ [ a; b ] cho f ' ( t ) = v ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z Lấy tùy ý t ∈ ( a; b ) \ Z , cố định lại Tồn dãy {tn }n ⊂ ( t , b ) dãy giảm, hội tụ tới t Khi đó, lim n →∞ f ( tn ) − f ( t ) = f '(t ) tn − t   K t  f '(t ) = v (t ) ⇒ lim  ⋅ ∫ v ( s ) ds  =  n →∞  t n − t  t  n (2.12) 61 Ta có tn > t nên tn − t > Ngoài [t , tn ] ⊂ [ a; b ] nên theo giả thiết tn K ∫ v ( s ) ds ∈ E + t  Kt * Do E+ nón nên   ⋅ ∫ v ( s ) ds ∈ E+ Điều ∀n ∈   tn − t  t n (2.13) Từ (2.12), (2.13) E+ tập đóng suy v ( t ) ∈ E+ Như v ( t ) ∈ E+ , ∀t ∈ ( a; b ) \ Z µ ( Z ∪ {a, b} ) = Vậy v ( t ) ∈ E+ h.k.n [ a; b ] (Ở µ độ đo Lebesgue  )  Mệnh đề 2.1.5 Cho ( E, ) không gian Banach có thứ tự sinh nón E+ hàm f , g : [ a; b ] → E HL – khả tích d Khi đó, K ∫ c d f ( s ) ds = K ∫ g ( s ) ds , ∀ [ c, d ] ⊂ [ a, b ] f ( t ) = g ( t ) h.k.n c [ a; b ] Chứng minh: Đặt v : [ a; b ] → E định v= ( t ) f ( t ) − g ( t ) , ∀t ∈ [ a; b] v HL – khả tích (do f , g HL – khả tích) Chiều thuận: Giả sử d K ∫ c d f ( s ) ds = K ∫ g ( s ) ds , ∀ [ c, d ] ⊂ [ a, b ] Ta chứng minh f ( t ) = g ( t ) h.k.n c [ a; b ] Ta có d K d d d θ ∈ E , ∀ [ c, d ] ⊂ [ a , b ] ∫ v ( s ) ds = ∫  f ( s ) − g ( s ) ds = ∫ f ( s ) ds − ∫ g ( s ) ds = K K K + c c c c nên theo mệnh đề 2.1.4, ta v ( t ) ∈ E+ h.k.n [ a; b ] 62 d Ta có K d d θ ∈E ∫ −v ( s ) ds = ∫ g ( s ) ds − ∫ f ( s ) ds = K c K c + , ∀ [ c, d ] ⊂ [ a, b ] nên theo c mệnh đề 2.1.4, −v ( t ) ∈ E+ h.k.n [ a; b ] Do v ( t ) , −v ( t ) ∈ E+ h.k.n [ a; b ] E+ nón nên v ( t ) = θ h.k.n [ a; b ] Vậy u ( t ) := −v ( t ) = lim un ( t ) h.k.n [ a; b ] n →∞ Chiều ngược: Giả sử f ( t ) = g ( t ) h.k.n [ a; b ] Khi v ( t ) = θ h.k.n [ a; b ] Theo ví dụ hàm HL – khả tích, ta v HL – khả tích d K ∫ v ( s ) ds = θ , c ∀ [ c, d ] ⊂ [ a , b ] ⇒ d K d ∫ f ( s ) ds = ∫ g ( s ) ds , ∀[c, d ] ⊂ [ a, b]  K c c 2.2 Các định lý qua giới hạn Cho ( E , ) không gian Banach [ a; b ] ⊂  ( a < b ) Kí hiệu HL ([ a; b ] , E ) không gian hàm HL – khả tích từ [ a; b ] đến E Định lý 2.2.1 (Định lý hội tụ bị trội cho hàm HL – khả tích) Cho ( E , ) không gian Banach có thứ tự sinh nón chuẩn E+ Các hàm f , g , un : [ a; b ] → E đo mạnh, ∀n ∈ * thỏa: i f ( t ) ≤ un ( t ) ≤ g ( t ) h.k.n [ a; b ] , ∀n ∈ * ii lim un ( t ) = u ( t ) h.k.n [ a; b ] iii f , g ∈ HL ([ a; b ] , E ) n →∞ Khi u , un ∈ HL ([ a; b ] , E ) , ∀n ∈ * lim n →∞ K b b a a K ∫ un ( s ) ds = ∫ u ( s ) ds Chứng minh: i Chứng minh u , un ∈ HL ([ a; b ] , E ) , ∀n ∈ * 63 • Với n ∈ * , f ( t ) ≤ un ( t ) ≤ g ( t ) h.k.n [ a; b ] ; f , g ∈ HL ([ a; b ] , E ) un đo mạnh nên theo mệnh đề 2.1.3, un ∈ HL ([ a; b ] , E ) • Do lim un ( t ) = u ( t ) h.k.n [ a; b ] {un }n dãy hàm đo mạnh nên u n →∞ đo mạnh (2.14) • Với n ∈ * , f ( t ) ≤ un ( t ) ≤ g ( t ) h.k.n [ a; b ] nên tồn tập có độ đo không Z n ⊂ [ a; b ] cho f ( t ) ≤ un ( t ) ≤ g ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z n Do lim un ( t ) = u ( t ) h.k.n [ a; b ] nên tồn tập có độ đo không Z ⊂ [ a; b ] n →∞ cho lim un ( t ) = u ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z n →∞ ∞ Đặt Z = ∪ Z n Z tập có độ đo không n =0  f ( t ) ≤ un ( t ) ≤ g ( t ) , ∀n ∈ * , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z  lim u t u t = ( ) ( ) n  n →∞ Lấy tùy ý t ∈ [ a; b ] \ Z , cố định lại Do dãy vectơ {u ( t )} n n ⊂  f ( t ) , g ( t )  , lim un ( t ) = u ( t )  f ( t ) , g ( t )  tập đóng E nên u ( t ) ∈  f ( t ) , g ( t )  n →∞ Như f ( t ) ≤ u ( t ) ≤ g ( t ) h.k.n [ a; b ] (2.15) Từ (2.14), (2.15) f , g ∈ HL ([ a; b ] , E ) suy u ∈ HL ([ a; b ] , E ) (do mệnh đề 2.1.3) ii Chứng minh lim n →∞ b K b ∫ u ( s ) ds = ∫ u ( s ) ds K n a a • Với n ∈ * , cố định lại, Ta có f ( t ) ≤ un ( t ) ≤ g ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z ⇒ − g ( t ) ≤ −un ( t ) ≤ − f ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z Mà f ( t ) ≤ u ( t ) ≤ g ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z ⇒ f ( t ) − g ( t ) ≤ u ( t ) − un ( t ) ≤ g ( t ) − f ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z 64 ⇒ θ ≤ u ( t ) − un ( t ) + g ( t ) − f ( t ) ≤  g ( t ) − f ( t )  , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z ⇒ u ( t ) − un ( t ) + g ( t ) − f ( t ) ≤ 2λ ⋅ g ( t ) − f ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z (2.16) λ số định nghĩa nón chuẩn E+ ∀t ∈ [ a; b ] ( t ) = u ( t ) − un ( t ) + g ( t ) − f ( t ) , Đặt ∀t ∈ [ a; b ] , h ∈ HL ([ a; b ] , E ) = h ( t )  g ( t ) − f ( t )  , u , un , g , f ∈ HL ([ a; b ] , E ) ) (do θ ≤ ( t ) ≤ h ( t ) h.k.n [ a; b ] • Do g − f ∈ HL ([ a; b ] , E ) g ( t ) − f ( t ) ∈ E+ h.k.n [ a; b ] nên theo bổ đề 2.1.1, tồn tập đo theo Lebesgue Bn , n ∈ * thỏa Bn ⊂ Bn +1 , ∞ ∀n ∈ * , ∪ Bn = [ a; b] g − f khả tích theo Bochner tập Bn , thỏa: n =1 b lim ∫  g ( s ) − f ( s )  ds = K ∫  g ( s ) − f ( s )  ds n →∞ Bn (2.17) a • Với n ∈ * , , h ∈ HL ([ a; b ] , E ) θ ≤ ( t ) ≤ h ( t ) h.k.n [ a; b ] nên theo chứng minh bổ đề 2.1.2, công thức (2.16) với I = [ a; b ] , ta được: b K ∫ v ( s ) ds − ∫ v ( s ) ds n n a ≤λ⋅ Bm b K ∫ h ( s ) ds − ∫ h ( s ) ds a , ∀m ∈ * Bm b K Mà ∫ v ( s ) ds − ∫ v ( s ) ds n n a = ≥ Bm b K b ∫ u ( s ) − u ( s ) ds − ∫ u ( s ) − u ( s ) ds + ∫  g ( s ) − f ( s ) ds − ∫  g ( s ) − f ( s ) ds K n K n a Bm a b ∫ u ( s ) − un ( s ) ds − K ∫ u ( s ) − un ( s ) ds − a Bm Bm b ∫  g ( s ) − f ( s ) ds − ∫  g ( s ) − f ( s ) ds a Bm ,∀m ∈ * 65 b K ∫ h ( s ) ds − ∫ h ( s ) ds = ⋅ a Vậy b K Bm ∫  g ( s ) − f ( s ) ds − ∫  g ( s ) − f ( s ) ds , ∀m ∈  a * Bm b K ∫ u ( s ) − u ( s ) ds − ∫ u ( s ) − u ( s ) ds n n a Bm ≤ ( 2λ + 1) ⋅ b K ∫  g ( s ) − f ( s ) ds − ∫  g ( s ) − f ( s ) ds , ∀m, n ∈  a * (2.18) Bm • Với ε > cho trước, Do (2.17) nên tồn m0 ∈ * cho b K ∫  g ( s ) − f ( s ) ds − ∫  g ( s ) − f ( s ) ds a Bm0 ≤ ε , ( 2λ + 1) kết hợp với (2.18) ta b K ∫ u ( s ) − u ( s ) ds − ∫ u ( s ) − u ( s ) ds n n a Bm0 ≤ ε , ∀n ∈ * (2.19) (2.16) ⇒ u ( t ) − un ( t ) − g ( t ) − f ( t ) ≤ 2λ ⋅ g ( t ) − f ( t ) h.k.n [ a; b ] , ∀n ∈ * ⇒ u ( t ) − un ( t ) ≤ ( 2λ + 1) ⋅ g ( t ) − f ( t ) h.k.n [ a; b ] , ∀n ∈ * ⇒ u ( t ) − un ( t ) ≤ ( 2λ + 1) ⋅ g ( t ) − f ( t ) h.k.n Bm , ∀n ∈ * (2.20) Với n ∈ * , u − un ∈ HL ([ a; b ] , E ) nên u − un đo mạnh (do bổ đề 1.3.1), suy hàm t  u ( t ) − un ( t ) đo theo Lebesgue Ngoài ra, lim u ( t ) − un ( t ) = h.k.n [ a; b ] (do lim un ( t ) = u ( t ) h.k.n [ a; b ] ) n →∞ n →∞ (2.20) với hàm t  ( 2λ + 1) ⋅ g ( t ) − f ( t ) khả tích theo Lebesgue Bm (do g − f khả tích theo Bochner Bm nên hàm t  g ( t ) − f ( t ) khả tích theo Lebesgue Bm ) Theo định lý Lebesgue (định lý hội tụ bị trội cho hàm nhận giá trị thực), ta 66 lim n →∞ Do ∃n0 ∈ * : ∀n ≥ n0 ∫ u ( t ) − u ( t ) dt = n Bm0 ∫ u ( t ) − u ( t ) dt < n Bm0 ⇒ ∫ u ( t ) − u ( t ) dt ∫ u ( t ) − u ( t ) dt ≤ n n Bm0 (2.19) ⇒ Bm0 b K < ∫ u ( s ) − u ( s ) ds n a ≤ ε ε , ∀n ≥ n0 ∫ u ( s ) − u ( s ) ds n + ε Bm0 Như ∀ε > , ∃n0 ∈  : ∀n ≥ n0 * b K < ∫ u ( s ) − u ( s ) ds n ε + ε = ε , ∀n ≥ n0 cho: x, y ∈ E thỏa θ ≤ x ≤ y x ≤ λ ⋅ y Lấy tùy ý hai hàm u , v ∈ HL ([ a; b ] , E ) thỏa  ≤ u ≤ v Khi θ ≤ u ( t ) ≤ v ( t ) h.k.n [ a; b ] Theo mệnh đề 1.3.4, ta θ ≤ K ∫ u ( s ) ds ≤ K ∫ v ( s ) ds, ∀I ∈  I ⇒ K ∫ u ( s ) ds ≤λ⋅ ∫ v ( s ) ds ≤ v A , ∀I ∈  I mà K I K ∫ v ( s ) ds , ∀I ∈  I I 71 ⇒ K ∫ u ( s ) ds ≤ λ ⋅ v A , ∀I ∈  I  = ⇒ u A sup   K ∫ u ( s ) ds I  :I ∈≤ λ⋅ v  A Như vậy, u , v ∈ HL ([ a; b ] , E ) thỏa  ≤ u ≤ v u A ≤λ⋅ v A với λ > Vậy HL ([ a; b ] , E+ ) nón chuẩn HL ([ a; b ] , E ) b) Giả sử E+ nón quy E Lấy tùy ý dãy hàm {un }n ⊂ HL ([ a; b] , E+ ) dãy tăng có cận v ∈ HL ([ a; b ] , E+ ) Ta chứng minh {un }n hội tụ HL ([ a; b ] , E ) • Với n ∈ * , un ∈ HL ([ a; b ] , E+ ) un ≤ v nên θ ≤ un ( t ) ≤ v ( t ) h.k.n [ a; b] Ngoài ra, E+ nón quy, {un }n dãy tăng  , un , v ∈ HL ([ a; b ] , E ) , ∀n ∈ * nên theo định lý hội tụ đơn điệu, tồn u ( t ) = lim un ( t ) h.k.n [ a; b ] n →∞ b lim n →∞ K b ∫ u ( s ) ds = ∫ u ( s ) ds K (2.23) n a a • Đặt Z= {t ∈ [ a; b ] : lim un ( t ) không tồn tại} Z tập có độ đo không n →∞ • Xét hàm u : [ a; b ] → E định u ( t ) lim un ( t ) , ∀t ∈ [ a; b ] \ Z = n →∞ u ( t ) = θ , ∀t ∈ Z Khi u ∈ HL ([ a; b ] , E ) • Do {un }n dãy tăng nên {u ( t )} n n dãy tăng h.k.n [ a; b] , mà lim un ( t ) = u ( t ) h.k.n [ a; b ] suy un ( t ) ≤ u ( t ) h.k.n [ a; b ] , ∀n ∈ * n →∞ (tính chất nón E+ ) ⇒ u ( t ) − un ( t ) ≥ θ h.k.n [ a; b ] , ∀n ∈ * ⇒ K ∫ u ( s ) − un ( s )  ds ≥ θ , ∀I ∈  , ∀n ∈ * (do mệnh đề 1.3.4) I 72 ⇒θ ≤ d K c d ∫ u ( s ) − u ( s ) ds ≤ ∫ u ( s ) − u ( s ) ds + ∫ u ( s ) − u ( s ) ds K K n n c n a c + b K ∫ u ( s ) − u ( s ) ds n d = b K ∫ u ( s ) − u ( s ) ds, n ∀ [ c; d ] ⊂ [ a; b ] , ∀n ∈ * a ⇒ d K ∫ u ( s ) − un ( s ) ds ≤ λ ⋅ b K ∫ u ( s ) − u ( s ) ds , ∀[c; d ] ⊂ [ a; b] , ∀n ∈  * n c a (do E+ nón quy nên nón chuẩn)  ⇒ = u − un A sup    u s − u s ds : c ; d ⊂ a ; b   ( ) ( ) [ ] [ ] ≤λ⋅ n ∫c    d K b K ∫ u ( s ) − u ( s ) ds , n a ∀n ∈ * b Mà lim n →∞ K ∫ u ( s ) − u ( s ) ds n = (do (2.23)) a Suy lim u − un n →∞ A = hay lim un = u HL ([ a; b ] , E ) n →∞ Vậy HL ([ a; b ] , E+ ) nón quy HL ([ a; b ] , E )  73 KẾT LUẬN Dựa vào kiến thức học, tài liệu tham khảo giúp đỡ thầy hướng dẫn, trình bày lại theo hiểu biết thân tính chất có thứ tự tích phân Bochner HL – tích phân Bên cạnh đó, có đưa vào phần chứng minh nhiều giải trình chi tiết, đưa vào luận văn nhận xét nhỏ mà rút trình nghiên cứu Đây tính chất quen thuộc người sâu nghiên cứu chuyên ngành Giải tích tôi, khám phá, hiểu biết thân Khi thực đề tài này, có hội vận dụng kiến thức, phương pháp chứng minh mà học môn chung môn chuyên ngành Bên cạnh đó, củng cố kiến thức nghiên cứu sâu hơn, hiểu số tính chất Topo đại cương, Độ đo Tích phân, Giải tích hàm Do hạn chế thời gian nên đề tài chưa nghiên cứu tính chất sâu ứng dụng tích phân Bochner HL – tích phân Tôi mong nhận đóng góp chân thành để luận văn hoàn thiện Chân thành cảm ơn! 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Carl, S Heikkila, Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications, Springer, New York, 2011 [2] S Heikkila, V Lakshmikantham, Monotone iterative techniques for discontinuous nonlinear differential equations, Marcel Dekker, New York, 1994 [3] Schwabik, Š., Ye, Guoju, Topics in Banach Space Integration, World Scientific, Singapore, 2005 [...]... y − x ∈ E+ Như vậy, E+ = { x ∈ E : θ ≤ x} Không gian E được trang bị thứ tự sinh bởi nón được gọi là không gian định chuẩn có thứ tự c) Đoạn có thứ tự n ∑ u (ξ ) ⋅ I i =1 i i − K ∫ u ( s ) ds ≤ ε là một tập con đóng của Ii E , ∀y, z ∈ E Một dãy hoặc một tập con của E được gọi là bị chặn theo thứ tự nếu nó được chứa trong một đoạn có thứ tự [ y; z ] nào đó của E d) Nón E+ được gọi là nón chuẩn nếu... Vậy θ ≤ F ([ a; b ]) = b K ∫ u ( s ) ds = a b K K ∫ g ( s ) ds − a b ∫ f ( s ) ds Ta có đpcm  a 1.5 Tích phân của đạo hàm các hàm có giá trị vectơ 1.5.1 Hàm có biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối Định nghĩa Cho ( E , ) là không gian Banach và [ a; b ] ⊂ , a ... ĐẦU Tích phân hàm có giá trị không gian Banach có thứ tự đề tài thực dựa ý tưởng mở rộng tự nhiên tích phân hàm nhận giá trị  lên tích phân hàm nhận giá trị không gian Banach Việc trang bị thứ. .. cho hàm nhận giá trị không gian Banach không gian trang bị thứ tự Bên cạnh đó, chương giới thiệu không gian định chuẩn có thứ tự hàm HL – khả tích với định nghĩa chuẩn Alexiewicz, nón thứ tự sinh... dụng kiến thức Giải tích thực, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, … phương pháp chứng minh lĩnh vực luận văn 8 CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 1.1 Kiến thức mở