1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Quảng Đại Mưa TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Quảng Đại Mưa TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Bùi Xuân Hải Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phòng Sau Đại học Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường THPT An phước, Sở giáo dục tỉnh Ninh thuận, tạo điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cám ơn quý thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học chuyên nghành Đại số Lý thuyết số khóa 21, trang bị cho kiến thức làm tảng quý báu cho trình nghiên cứu Đặc biệt xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS - TS Bùi Xuân Hải tận tình dạy, hướng dẫn trình thực luận văn Cám ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Cám ơn bạn lớp cao học chuyên nghành Đại số Lý thuyết số khóa 21 nhiệt tình giúp đỡ, động viên tinh thần để hoàn thành tốt luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, Ngày 24 tháng 09 năm 2012 Học viên Quảng Đại Mưa LỜI NÓI ĐẦU Các nhóm hoán vị đóng vai trò quan trọng lý thuyết nhóm theo Định lý Calley nhóm nhúng vào nhóm đối xứng Với hiểu biết cấu trúc nhóm hoán vị mang lại nhiều tiện lợi cho việc hiểu biết nhóm nói chung Vì vậy, khuôn khổ hạn hẹp đề tài, luận văn nghiên cứu xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm bất kì, sử dụng tích bện chuẩn để mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn Để thực mục đích đó, luận chia thành hai chương gồm: Chương 1: Kiến thức sở Trong chương trình bày định nghĩa tính chất nhóm đối xứng, tác động nhóm lên tập hợp, p – nhóm hữu hạn, tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp cần thiết cho chương Chương 2: Xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn Trong chương xây dựng tích bện hai nhóm hoán vị, sau vận dụng Định lý Calley để xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm bất kì, vận dụng tích bện chuẩn để mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng S n Cuối cho vài ví dụ để minh họa cụ thể MỤC LỤC CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng 1.2 Tác động nhóm lên tập hợp 10 1.3 p - nhóm hữu hạn 20 1.4 Tích trực tiếp tích nửa trực tiếp 26 CHƯƠNG XÂY DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MÔ TẢ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG S n 29 1.1 Tích bện 29 2.2 Mô tả p- nhóm Sylow nhóm đối xứng S n 36 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng Định nghĩa 1.1.1 Cho X ≠ ∅ , tập hợp tất song ánh từ X → X nhóm với phép nhân phép hợp nối ánh xạ, gọi nhóm đối xứng tập X, kí hiệu S X , có phần tử trung hòa ánh xạ đồng id X , phần tử nghịch đảo σ ∈ S X ánh xạ ngược σ −1 Mỗi nhóm nhóm S X gọi nhóm hoán vị tập X Nếu X = {1,2, ,n} ta dùng ký hiệu Sn để thay cho ký hiệu S X gọi Sn nhóm đối xứng bậc n tập X Mỗi phần tử σ nhóm Sn gọi hoán vị bậc n, viết dạng ma trận 1 n  σ = ,  i1 i2 in  đó= ik σ ( k ) , ∀k ∈ {1,2, , n} Vì σ song ánh nên ik khác , chúng hoán vị n phần tử 1,2,…,n Như vậy, số hoán vị tập có n phần tử n! Ví dụ, với n =4, ta có nhóm đối xứng bậc 4, kí hiệu S4 , nhóm hữu hạn có cấp 4! = 24 Định nghĩa 1.1.2 Phần tử σ ∈ Sn gọi k – chu trình hay chu trình độ dài k tồn tập {i1 , i2 , , ik } ⊆ {1,2, , n} cho σ ( i1 ) = i2 ; = σ ( i2 ) i3 ; ;σ = ;σ ( ik ) i1 , σ ( j ) = j , ∀j ∈ {1,2, , n} \ {i1, i2 ( ik −1 ) ik= , , ik } Khi đó, phần tử σ viết đơn giản ( i1 i2 ik ) Một chu trình độ dài chuyển vị Định nghĩa 1.1.3 Hai chu trình σ = ( i1 i2 ik ) τ = ( j1 j2 jk ) gọi độc lập {i1 , i2 , , ik } ∩ { j1 , j2 , , jk } = ∅ Như vậy, hai chu trình độc lập giao hoán với Do đó, chu trình đôi độc lập với giao hoán với Định lý 1.1.4 Cho id ≠ σ ∈ Sn Khi đó, σ phân tích thành tích chu trình đôi độc lập với Sự phân tích sai khác thứ tự chu trình độc lập Chứng minh Lấy id ≠ σ ∈ Sn X = {1,2, , n} Ta nói hai phần tử x, y ∈ X tương đương với , kí hiệu: x  y , tồn số nguyên n cho x = σ n y Khi đó, quan hệ  quan hệ tương đương tập X Mỗi lớp tương đương gọi quỹ đạo σ Nếu x ∈ X , quỹ đạo σ chứa x , kí hiệu: = x {σ n } x | n∈ Do X tập hữu hạn nên tồn c ∈  + cho x = σ c x Gọi m số nguyên dương nhỏ thỏa x = σ m x Khi { } x = x,σ x, ,σ m−1 x ( ) Xét chu trình độ dài m , τ = x σ x σ m−1 x Khi σ y, y ∈ x τy=  y, y∉x Giả sử σ có tất k quỹ đạo C1 , C2 , , Ck Ứng với quỹ đạo, ta có chu trình τ ,τ , ,τ k (xây dựng theo cách làm trên) Do σ y, τi y =   y, y ∈ Ci y ∉ Ci Rõ ràng, i ≠ j Ci ∩ C j = ∅ , τ i τ j chu trình độc lập với Ta chứng minh σ = τ 1τ τ k Thậy vậy, với y ∈ X , đặt z = σ y Khi đó, y z nằm quỹ đạo Ci σ với τ i y = z , ∀i ∈1, k Rõ ràng , ∀i ≠ j , ta có τ j y = y τ j z = z Do τ 1τ τ k ( y )= z= σ y , nên σ = τ 1τ τ k Giả sử, σ = β1β βl phân tích khác σ thành tích chu trình đôi độc lập với Vì phần tử tham gia vào chu trình β j tạo thành quỹ đạo Ci σ Do β j trùng với τ i (ứng với quỹ đạo Ci ) Vì hai phân tích khác thứ tự chu trình đôi độc lập với  Hệ 1.1.5 Cấp hoán vị bội số chung nhỏ chiều dài chu trình phân tích hoán vị thành tích chu trình đôi độc lập với Chứng minh Để chứng minh Hệ 1.5, ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.6 Cho a, b hai phần tử giao hoán với nhóm G Giả sử a có cấp n, b có cấp m a ∩ b = eG Khi đó, cấp phần tử ab bội chung nhỏ m n Chứng minh Đặt d = [ m, n ] nên tồn t1 , t2 ∈  + : d = mt1 = mt2 , mà d a nt1b mt= e= e e Giả sử tồn a n = e, b m = e Khi đó, ta có ( ab )= a d b= d số nguyên dương k thỏa ( ab ) = e Ta chứng minh d | k k Thật vậy, ( ab ) = e , suy a k = b − k ∈ a ∩ b = e Do đó, k −k = a k b= e , nên m | k n | k Suy d = [ m, n ] | k Vậy ab =  a , b   Ta chứng minh Hệ 1.1.5 Giả sử id ≠ σ ∈ Sn có phân tích thành chu trình đôi độc lập σ = σ 1σ σ k Ta chứng minh σ =  σ , σ , , σ k  Thật vậy, đặt d =  σ , σ , , σ k  Khi đó, ta có = σd d (σ= (σ )d (σ= 1.σ σ k ) ) (σ k ) d d id Giả sử tồn số nguyên dương m thỏa σ m = id Ta chứng minh d | m Thật vậy, với k = 2, ta có σ ,σ hai chu trình độc lập nên σ ∩ σ = id Áp dụng Bổ đề 1.1.6, ta d =  σ , σ  | m Giả sử điều khẳng định với trường hợp nhỏ k Vì σ i chu trình đôi độc lập nên ta có m = id σ= (σ 1.σ σ k = ) (σ 1.σ σ k −1 ) (σ k ) m m m , suy (σ 1.σ σ k −1 ) m = (σ k ) −m Hơn σ 1.σ σ k −1 σ k hai chu trình độc lập nên σ 1.σ σ k −1 ∩ σ k = id Áp dụng Bổ đề 1.1.6, ta  σ 1.σ σ k −1 , σ k  | m Theo giả thiết quy nạp σ 1.σ σ k −1 =  σ , σ , , σ k −1  Do d =  σ , σ , , σ k  | m Như σ =  σ , σ , , σ k   Định nghĩa 1.1.7 Các hoán vị σ τ gọi có cấu trúc chu trình σ = σ 1.σ σ k τ = τ 1.τ τ k phân tích σ τ thành tích chu trình độc lập cho đánh số lại thứ tự chu trình độc lập cần, ta luôn có σ i τ i chu trình có độ dài ( ∀i ∈ 1,k ) Mệnh đề 1.1.8 Nếu σ ∈ Sn chu trình độ dài k ∀τ ∈ Sn , τστ −1 chu trình độ dài k Chứng minh Giả sử σ = ( x1 x2 xk ) Khi τ ( x ) , i ∈1, k − , τστ −1= (τ xi ) τσ= ( xi )  i+1 , x i k τ = ( )  mà ∀k ∈ {1,2, , n} \ { xi }i∈1,k τστ −1 (τ k ) = k Do τστ −1 = (τ x1 τ x2 τ xk ) Vậy τστ −1 chu trình độ dài k  Hệ 1.1.9 σ ,τ ∈ Sn , τστ −1 σ hoán vị có cấu trúc chu trình Chứng minh Giả sử σ phân tích thành tích chu trình đôi độc lập σ = σ 1.σ σ k Khi đó, ta có = τστ −1 τ= (σ 1.σ σ k )τ −1 (τσ τ ).(τσ τ ) (τσ τ ) −1 −1 −1 k Vì σ i chu trình đôi độc lập nên τσ iτ −1 , i = 1, k chu trình đôi độc lập với Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.8 , τσ iτ −1 σ i hai chu trình có độ dài , i = 1, k Do τστ −1 σ hoán vị có cấu trúc chu trình  Mệnh đề 1.10 Mỗi hoán vị khác id phân tích thành tích chuyển vị 33 τ  β −1τβ Như theo Định nghĩa 1.4.8 , cần chứng minh β −1 ( f ( y ))(u ) β = f ( y, u ) , β −1g (u ) β = g ∗ (u ) , β −1l ∗β = l ∗∗ , với ( f ( y ))(u ) , g (u ) , l ∗ phần tử sinh (H  K)  L , f ( y, u ) , g ∗ (u ) , l ∗∗ phần tử sinh H  (K  L) , f ∈ H , g ∈ K , l ∈ L Thật vậy, trước tiên ta định nghĩa hoán vị ( f ( y ))(u ) , g (u ) , l ∗ sau: f ( y )(u ) : Q → Q (( x, y ),u )  ((xf ,y ),u ) , cố định (( x, y1 ), u1 ) y1 ≠ y, u1 ≠ u g(u ) : → Q Q (( x, y ),u )  ((x,yg ),u ) cố định (( x, y ), u1 ) u1 ≠ u l∗ : Q → Q (( x, y ),u )  ((x,y ),ul ) Do đó, β −1 ( f ( y ))(u ) β : T → T ( x,( y, u ))  (xf ,(y, u )) , cố định ( x,( y1 , u1 )) ( y1 , u1 ) ≠ ( y, u ) Vì vậy, với (x,(y,u )) ∈ T ta có ( x,( y, u )) β −1 ( f ( y ))(u ) β = ( xf ,( y, u )) = ( x,( y, u )) f ( y, u ) Suy β −1 ( f ( y )) ( u ) β = f (y,u ) Hơn nữa, β −1g (u ) β : T → T ( x,( y, u ))  (x,(yg , u )) , cố định ( x,( y, u1 )) u1 ≠ u β −1l ∗β : T → T 34 ( x,( y, u ))  (x,(y, ul )) Do với (x,(y,u )) ∈ T ta có −1 ( x,( y, u )) β= g (u ) β (= x,( yg , u )) ( x,( y, u ) g (u )) = ( x,( y, u )) g ∗ (u ) , suy )) β −1l ∗β (= x,( y, ul )) ( x,( y, u )l ∗ ) = β −1g (u ) β = g ∗ (u ) , ( x,( y, u= ( x,( y, u ))l ∗∗ , suy β −1l ∗β = l ∗∗ Vì vậy, ánh xạ α : (H  K)  L → H  (K  L) (α , β ) đồng dạng  Trong Định nghĩa 1.1.1 ta biết tích bện hai nhóm hoán vị Bây giả sử H K nhóm Khi đó, theo Định lý Calley H K nhúng vào nhóm đối xứng S H S K Do ta xem H K nhóm hoán vị nhóm H K W = H  K gọi tích bện chuẩn Tích bện chuẩn có sở B = Dr H g g∈K H g ≅ H, g ,−1H g g , = H gg , , g , ∈ K Như ta định nghĩa tích bện hai nhóm bất kì, giả sử cho H K nhóm hoán vị tập hữu hạn X Y Khi cấp tích bện chuẩn H  K biểu diễn phần tử tích bện chuẩn mô tả ?, để mô tả này, có ví dụ sau : Ví du 1.1.3 Cho X ,Y tập hữu hạn H, K hai nhóm hoán vị tương ứng tập X Y Chứng minh H  K = H Y K Thật vậy, giả sử tập X, Y có cấp m , n nên ta có sở tích bện B = Dr H ( yi= ) H ( y1 ) × H ( y2 ) × × H ( yn ) ( n thừa số) yi ∈Y 35 Suy n = B H = H H H Do H=  K B = K ∗ B= K n H K = H Y K  Ví dụ 1.1.4 Biểu diễn phần tử tích bện chuẩn    Ta có    = B  ∗2 , với ∗2 ≅ S2 , B = Dr (  )i Với f ∈  ta i∈{1,2} có ( f (1), f (2) ) ∈ B Vì vậy, ( ( f (1), f (2)); π ) ∈    , với π ∈ S2 cấp    23 Khi tích bện chuẩn    có phần : ( (1 ,1); 1) , ( (1 , (12)) ;1) , ( ((12) , 1) ; 1) , ( ((12) , (12)) ; 1) ( (1  ,1) ; (12) ) , ( (1, (12)); (12) ) , ( ((12), 1) ; (12) ) , ( ((12),  (12)); (12) ) Nhận xét 2 = 23.3 2   = 2  = 2= 23 , S4= 4! 2 Do , tích bện chuẩn    mô tả 2- nhóm Sylow S4 Như vậy, với hình thức tổng quát ta dùng tích bện chuẩn để mô tả p nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn Do để giải điều qua phần hai 36 2.2 Mô tả p- nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn Định lý 2.2.1 Cho p số nguyên tố, m số nguyên dương, ord p ( p m !) lũy thừa lớn p p ord p ( p m !) ước ( p m !) Khi ta có ord p ( p m !) =1 + p + p +  + p m−1 Để chứng minh Định lý 2.2.1 ta có Bổ đề sau: Bổ đề 2.2.2 Cho p số nguyên tố Với số tự nhiên n ta có n ord p (n!) = ∑ hh  i  p  Chứng minh Giả sử n = ao + a1 p +  + as p s ,0 ≤ < p, s = log p n  Ta chứng minh n n  n  ord p (n!)=   +   +  +  s   p  p  p  Trước hết ta có  n     n    p k −1   * =  k   p ,k ∈ p       n  n n Thật vậy, đặt l =  k  , ta có l ≤ k < l + 1.Suy lp ≤ k −1 < (l + 1) p , nên p p p   n  lp ≤  k −1  < (l + 1) p p  37 Khi đó,  n   p k −1   < l + Vì vậy, l≤ p  n    k −1     p  = l =  n   k  p  p      Ta có n! = 1.2.3 n , thừa số , thừa số chia hết cho p n p,2 p,3 p, ,   p Suy  p n  p   n n! p= =  p  !v1 ,(v1 , p ) Vì vậy,     n     n ord p (n!) = ord p  p  p    !v1    p    n   n =   + ord p    !  p  p  n n Vì   ! = 1.2.3   nên thừa số, thừa số chia hết cho p  p  p  n  p,2 p, ,   p Suy p   n   2  n  n  p  ! p = =   !v2 ,(v2 , p )  p   p    n    n   n    n  n p   Vì vậy, ord p (   !) = ord p  p    = !v2    + ord p    !   p  p    p   p     Lập luận tương tự ta 38  n    n  n ord p (  = + ord !) p    !  2   p p   p    n    n  n  ord p (  = + ord !)    ! p  3 2 p  p   p     n    n  n ord p (  s −= !) ord + p   s  !  s 1 p p      p   a n  a a =  s  + ord p   os + s1−1 +  + s −1 + as  ! p p p    p n  n  =  s  + ord p ([ as ]!= )  s  (0 ≤ as < p ) p  p  Vậy ta n n  n  ord p (n!)=   +   +  +  s   p  p  p  Chứng minh Định lý 2.2.1 Áp dụng Bổ đề 2.2.2 cho n = p m ta  pm   pm   pm  !)   +   +  +  m  ord p ( p =  p  p  p  m =1 + [ p ] +  p  +  +  p m−1  Vì , ord p ( p m !) =1 + p + p +  + p m−1 = µ (m)  Chú ý • Cho n = ao + a1 p +  + as p s ,0 ≤ < p, s = log p n  , i ∈ {0,1, , s} , 39 n  n  n η (n)= ord p (n!)=   +   + +  s  Suy  p  p  p  η (n) = ord p (n!) = a1 + a2 p + + as p s −1 + a2 + a3 p + + as p s −2  + as Vì vậy, η (n) = ord p (n!) = a1 + a2 (1 + p ) + a3 (1 + p + p ) + + as (1 + p + p + + p s −1 ) = a1 + a2 µ (2) + a3µ (3) + + as µ ( s ) = N Do , p N cấp p - nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn ord ( p s !) p • p µ ( s ) p= = p1+ p + p ++ p s −1 cấp p -nhóm Sylow nhóm đối xứng S p s Định lí 2.2.3 (Kaloujnine,1948) Nếu p số nguyên tố p -nhóm Sylow S p m đẳng cấu với tích bện chuẩn lặp lại m  p , với Wm+1 = Wm   p Chứng minh Với m = p - nhóm Sylow S p có cấp p Do Định lý 2.3 Với m > , cho Λ gồm có p m phần tử D p nhóm Sylow SΛ Do Λ D - tập Cho Ω = {0,1,2, , p − 1} nên Ω ≅  p Như cần chứng minh nhóm Sylow nhóm đối xứng S p m+1 đẳng cấu với tích bện chuẩn D   p = D, ∗ p ,với p- 40 D = ( ( p   p )  )   p ( m  p ) p- nhóm Sylow S pm { } Thật vậy, ta có song ánh ϕ : Λ × Ω → ∆ = 1,2, , p m+1 , Λ × Ω = p m+1 (i, j )  jp m + i , ≤ j ≤ p -1, ≤ i ≤ p m Nên ta phân chia ∆ thành ∆ k∈{1,2, , p} đôi rời có cấp p m sau : { } ∆1 =1,2, , p m ; ∆= {p = ∆3 {2 p m } + 1, p m + 2, ,2 p m ; m } + 1,2 p m + 2, ,3 p m ;  { } ∆ p −1 =( p − 2) p m + 1,( p − 2) p m + 2, ,( p − 2) p m + p m = ( p − 1) p m ; { } ∆ p = ( p − 1) p m + 1,( p − 1) p m + 2, ,( p − 1) p m + p m =p m+1 Khi ta có ( )( g = p m + p m + ( p − 2) p m + ( p − 1) p m + p m + ) ( p m + ( p − 2) p m + ( p − 1) p m + p m p m 3p m ( p − 1) p m ) p m+1 Suy g ∈ S p m+1 , S p m ⊂ S p m+1 , g p = Mặt khác, với d ∈ D ta định nghĩa ánh xạ τ ψ sau : 41 τ : D → S pm+1 , ψ : g p → S p m+1 g  g j , d  dj dj : Λ×Ω → Λ×Ω (i, j )  (id , j ) , cố định (i, j1 ) j1 ≠ j g j : Λ×Ω → Λ×Ω (i, j )  (i, jg ) , với j ∈ {0,1,2, , p − 1} Do đó, phần tử biểu diễn sở tích bện chuẩn D   p ⊂ S p m+1 g − j dg j = d j ∈ S p m+1 , ≤ j ≤ p − 1, g ∈ S p m+1 Nên ta = D0 D= , D1 g −1Dg1 , , D p −1 = g − ( p −1) Dg p −1 Hay D j +1 = g −1D j g1 , với ≤ j < p − 1, D0 = g −1D p −1 g1 Suy ra, sở tích bện chuẩn D  g B = DrD j j∈{0,1,2, , p −1} p ≅ D   p p Do đó, B = D D   p = B   p = B  p = D p = (p µ ( m ) ) p p = p1+ p + + p = p µ ( m+1) , với µ (m + 1) = ord p ( p m+1 !) m p Vì vậy, p - nhóm Sylow nhóm đối xứng S p m+1 đẳng cấu với tích bện chuẩn D   p = D, ∗ p ≅ D, g  Khi sử dụng Định lý 2.2.3 để mô tả p -nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn sau 42 Cho n = ao + a1 p +  + as p s ,0 ≤ < p, s = log p n  , i ∈ {0,1, , s} , X = {1,2, , n} Khi ta chia tập X thành tập đôi dời gồm : X = {1,2, , a0 } có cấp a0 a1 - tập X 11 = {a0 + 1, , a0 + p} ; {a0 + p + 1, , a0 + p} ; X 12 =  X 1a1 = {a0 + (a1 − 1) p + 1, , a0 + a1 p} có cấp p a2 - tập { = {a } X 21 = a0 + a1 p + 1, , a0 + a1 p + p, , a0 + a1 p + p ; X 22 + a1 p + p + 1, , a0 + a1 p + p + p, , a0 + a1 p + p }  { X a2 = a0 + a1 p + (a2 − 1) p + 1, , a0 + a1 p + (a2 − 1) p + p } , ,a0 + a1 p + a2 p có cấp p  as - tập X s1 = {a + a1 p + + as −1 p s −1 + 1, , a0 + a1 p + + as −1 p s −1 + p s −1 , , } a0 + a1 p + + as −1 p s −1 + p s X s2 = {a + a1 p + + as −1 p s −1 + p s + 1, , a0 + a1 p + + as −1 p s −1 + p s + } p s −1 , , a0 + a1 p + + as −1 p s −1 + p s 43  {a X sas = + a1 p + + as −1 p s −1 + (as − 1) p s + 1, , a0 + a1 p + + as −1 p s −1 } +(as − 1) p s + p s −1 , , a0 + a1 p + + as −1 p s −1 + as p s , có cấp p s Như tập X ij có cấp p i , ta xây dựng p nhóm Sylow P   p ⊂ S pi , với P p - nhóm Sylow S pi −1 có cấp p µ (i −1) = p1+ p + p + + pi − , i ∈ {1,2, , s} , j ∈ {a1 , a2 , , as } ,0 ≤ as < p Khi đó, ta có tích trực tiếp P   p = P  p s ∏ (∏ ( P   p )) ⊂ Sn , với i =1 ( ( =  p   p )  )   p s   p (gồm s  p ) Vì vậy, p - nhóm Sylow Sn s  p) ∏ (∏ ( s = (1   p ) a1 × (   p ) a2 × × ( s   p ) as có cấp p N , với i=1 s N = ord p (n!) = a1 + a2 µ (2) + a3µ (3) + + as µ ( s ) , ≤ < p, n = ∑ p i i =0 Ví dụ 2.2.4 Tìm 3- nhóm Sylow S15 Ta có n = 15, p = 3, nên n = × + × + × 32 Vì ta phân chia thành tập sau : {1,2,3} , {4,5,6} , {7,8,9,10,11,12,13,14,15} Từ tập {1,2,3} , {4,5,6} ta hai nhóm (1 3) , ( 6) có cấp Từ tập {7,8,9,10,11,12,13,14,15} , ta xây dựng tích bện chuẩn nhóm cấp cấp với nhóm cấp W1 = ( ) , (10 11 12 ) , (13 14 15 ) ( 10 13)( 11 14 )( 12 15 )   B Suy K 44 3 W = B = K 3= 34 Do đó, 3- nhóm Sylow S15 = W (1 3) × ( ) × W1 ≅  ×  × (   ) , W = 32.34 = 36 Ví dụ 2.2.5 Tìm 2- nhóm Sylow S14 Ta có n = 14, p = Suy n = × + × + × 22 + × 23 Do đó, 2- nhóm Sylow S23 ⊂ S14 (   )   Suy (   )=      2=  (2 = ) 27 , 2- nhóm Sylow S22 ⊂ S14    , suy    = 23 Hơn nữa, 2- nhóm Sylow S2 ⊂ S14  Vì vậy, 2- nhóm  × (    ) × ( (   )   ) Suy Sylow S14 W = = W 2.2 = 211 Ví dụ 2.2.6 (i) Chứng minh    ≅ D8 Từ suy 2- nhóm Sylow S5 đẳng cấu với D8 (ii) Chứng minh 2- nhóm Sylow S6 đẳng cấu với D8 ×  Chứng minh (i) Để chứng minh ta có Mệnh đề sau : Mệnh đề 2.2.7 Nếu D2 n ≅ a, x , a ≅  n , x ≅  a  D2 n , D2 n / a ≅ x Thật , ta có D2n = a  x , suy a ∩ x = ∅ 45 Khi x ≅ a  x / a ≅ D2 n / a  Do đó, D2 n ≅  n   , suy D8 ≅    Gọi B sở tích bện chuẩn    Do đó, B sinh ( )i với i ∈ {1,2} Suy ra, B = 4, nên B ≅  Vì vậy,    ≅    ≅ D8  Mặt khác , ta có m = = + × 22 Suy ra, 2- nhóm Sylow S4 ⊂ S5    Vì , 2- nhóm Sylow S5    ≅ D8 (ii) m = p = , m = × + × + × 22 Do đó, 2- nhóm Sylow S2  2- nhóm Sylow S4    Vì vậy, 2- nhóm Sylow S6  × (   ) Mặt khác ta có    ≅ D8 , nên 2- nhóm Sylow S6 đẳng cấu với  × D8  46 KẾT LUẬN Nhiệm vụ chủ yếu luận văn xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm vận dụng chúng để mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn Chính để làm rõ ràng chương 2, cần chứng minh Bổ đề, Mệnh đề, Định lý minh họa chúng dạng ví dụ cụ thể Cuối cùng, mặt dù cố gắng quan tâm dành nhiều thời gian để chăm luận văn chắn có nhiều sai sót, mong đóng góp quý báu thầy, cô để luận văn hoàn thiện 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Mỵ Vinh Quang , Bài tập đại số đại cương , NXB Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh, 1998 [ 2] Nguyễn Tiến Quang, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 2008 [3] Bùi Xuân Hải, Trường thuyết Galois, NXB Đại học Quốc gia, Thành phố Hồ Chí Minh, 2011 [ 4] Nguyễn Tuyết Nga, Ứng dụng lý thuyết nhóm số toán sơ cấp, luận văn thạc sĩ toán, Đại học Thái Nguyên, Đại học khoa học, 2009 Tiếng Anh [5] Derek J.S Robinson, A Course in the Theory of Groups, GTM 80, 2nd Edition, Spriger-Verlag, 1995 ( từ trang 31 đến trang 43) [6] Joseph J.Rotman , An introduction to theory of the groups, 4nd Edition, Springer – Verlag, New York, 1994 [7] Helmut Wieland , Finite permutation groups, Academic press New York and London,1989 [8] Adalbert Kerber, Representations of permutation groups I, BerlinHeidelberg- New York, 1971 [...]... m, p ) = 1và n là số nguyên dương, p là số nguyên tố 23 (i) Mọi p - nhóm con của G đều nằm trong p - nhóm con Sylow nào đó của G (ii) Mọi p - nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau (iii) Số các p - nhóm con Sylow của G Kí hiệu r , là ước của m và r ≡ 1( mod p ) Chứng minh (i) Lấy H là một p – nhóm con và K là một p – nhóm con Sylow của G Nên ta có = H pk , = K p n ,( p, = m) 1, k ≤ n Đặt X= {=l Kg |... – nhóm con Sylow g −1Kg (vì g −1Kg= K = pn ) của G 24 (ii) Nếu ta lấy H và K là các p – nhóm con Sylow của G, thì theo (i) ta có tồn tại g ∈ G : H ≤ g −1Kg và H và g −1Kg có cùng lực lượng nên H = g −1Kg Vậy H và K liên hợp với nhau (iii) Lấy H là một p – nhóm con Sylow của G Đặt Y= {K ≤ G | ∃g ∈ G : H= g −1Kg } Theo (ii) thì Y là tập tất cả các p – nhóm con Sylow của G Xét tác động liên hợp của nhóm. .. 1.4.1 (tích trực tiếp) Cho G là một nhóm có họ nhóm con {H λ / λ ∈ Λ} và (i) thỏa điều kiện sau: Các nhóm con H λ là chuẩn tắc của G, với mọi λ ∈ Λ (ii) = G H λ / λ ∈ Λ và H λ ∩ H µ / µ ∈ Λ, µ= ≠ λ 1 Khi đó, ta nói G là tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc H λ Kí hiệu: G = Dr H λ λ∈Λ Từ định nghĩa tích trực tiếp trên ta có những kết quả sau đây Bổ đề 1.4.2 Cho G có các nhóm con chuẩn tắc H và K... 1.4.5 (tích nửa trực tiếp) Cho G là một nhóm Giả sử G có một nhóm con H và một nhóm con chuẩn tắc N sao cho G = N.H và N ∩H = 1 Khi đó, ta gọi G là tích nửa trực tiếp của N bởi H Ta kí hiệu : G = N  H Nếu thêm điều kiện H là nhóm con chuẩn tắc của G thì G chính là tích trực tiếp của N và H Ví dụ 1.4.6 Đặt G = S3 , N = A3  G và H = (12 ) thì G = N  H nhưng H không là nhóm con chuẩn tắc của G nên... 1.3 p - nhóm hữu hạn Định nghĩa1.3.1 Cho p là số nguyên tố và H ≤ G Nhóm G được gọi là p - nhóm hữu hạn nếu cấp của G là một lũy (i) thừa của p , tức là tồn tại số nguyên dương n sao cho G = p n (ii) Nhóm H được gọi là p - nhóm con của G nếu H là một p - nhóm (iii) Giả sử G = n và P là p - nhóm con của G sao cho P = p m với p không là ước của n Khi đó P được gọi là p - nhóm con Sylow pm của G Định... DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MÔ TẢ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Sn 1.1 Tích bện Định nghĩa 1.1.1 Cho H, K là hai nhóm hoán vị tương ứng trên các tập X và Y Đặt Z= X × Y , ∀f ∈ H , g ∈ K và ( x, y ) ∈ Z , với x ∈ X , y ∈ Y Xét các hoán vị f ( y ) , g ∗ trên tập Z, được xác Z → Z   f ( y ) :  ( x, y )  (xf ,y )  ( x, y1 )  (x, y1 ), y1 ≠ y  Z → Z g∗ :  ( x, y )  (x,yg ) Định nghĩa các ánh... ra H = An Vậy An là nhóm con chỉ số 2 duy nhất của Sn Bổ đề 1.1.18 Nhóm đối xứng Sn được sinh bởi các chu trình (1 2 n ) và (1 2 ) Chứng minh Đặt σ = (1 2 n ) và τ = (1 2 ) Gọi G là nhóm con của Sn sinh bởi σ và τ Khi đó G chứa στσ −1 = ( 2 3) , do đó G chứa σ ( 2 3)σ −1 = (3 4) … Vậy, một cách tổng quát, G chứa tất cả các chuyển vị dạng ( j j + 1) Từ đó ta thấy G chứa các chuyển vị = (1 3)... nghịch thế của σ thì ( i, j ) không là nghịch thế của τ và ngược lại 7 b) Nếu h, k ≠ i, j thì ( h, k ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( h, k ) là nghịch thế của τ c) Nếu h < i thì ( h, i ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( h, j ) là nghịch thế của τ d) Nếu j < k thì ( j , k ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( i, k ) là nghịch thế của τ Những điều trên chứng tỏ số các nghịch thế của σ và τ hơn... a, b ∈ A Ta có −1 ( g −1bg= ) −1 g −1ag g −1b= gg −1ag g −1 (b −1a ) g ∈ g −1 Ag Vì vậy g −1 Ag là nhóm con của G Cho A là nhóm con của một nhóm G Nhóm con B của G được gọi là liên hợp với A nếu tồn tại g ∈ G sao cho B = g −1 Ag Bổ đề 1.2.7 Cho A là nhóm con của một nhóm G Nếu B liên hợp với A và C liên hợp với B thì C liên hợp với A −1 để B g= Chứng minh Theo giả thiết tồn tại g , l ∈ G= Ag ,... (1) gọi là công thức các lớp Với ∆ là tập con của G sao cho (G ( a )) a∈∆ là họ các quỹ đạo đôi một dời nhau Chú ý 1.2.17 Giả sử G là nhóm hữu hạn và X là G- tập Với x ∈ X theo Định lý 1.2.16 số phần tử quỹ đạo G ( x ) bằng chỉ số nhóm con đẳng hướng Gx , vì thế nó là ước của cấp G Sử dụng Định lý 1.2.16 ta có công thức sau đây Mệnh đề 1.2.18 Nếu H, K là các nhóm con của một nhóm hữu hạn G thì ta ... chất nhóm đối xứng, tác động nhóm lên tập hợp, p – nhóm hữu hạn, tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp cần thiết cho chương Chương 2: Xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng. .. chương xây dựng tích bện hai nhóm hoán vị, sau vận dụng Định lý Calley để xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm bất kì, vận dụng tích bện chuẩn để mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng S n Cuối cho vài ví dụ... 26 CHƯƠNG XÂY DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MÔ TẢ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG S n 29 1.1 Tích bện 29 2.2 Mô tả p- nhóm Sylow nhóm đối xứng S n 36 KẾT LUẬN