Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Lời nói đầu Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng nhiều tác giả viết hay Qua trình giảng dạy đúc rút kinh nghiệm nội dung có “thích thú” nên làm việc tập hợp trình bày mảng nhỏ ứng dụng vào giải số toán đại số theo quan điểm cá nhân Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm gồm phần Khai thác phương trình đường thẳng để tìm cách đặt ẩn số phụ phù hợp số phương trình vô tỷ hệ phương trình vô tỷ Khai thác vò trí tương đối đường thẳng với đường tròn để giải toán về: biện luận theo tham số tìm tham số để phương trình hệ phương trình thỏa mãn yêu cầu cho trước Khai thác vò trí tương đối đường thẳng với đường tròn để giải toán về: biện luận theo tham số tìm tham số để bất phương trình hệ bất phương trình thỏa mãn yêu cầu cho trước Khai thác vò trí tương đối đường thẳng với đường tròn để giải toán về: giá trò lớn – giá trò nhỏ biểu thức Trong viết này, cố gắng sử dụng hình vẽ trực quan nhằm mô tả tối đa mối liên hệ hình học đại lượng liên quan toán, nhằm trực quan hóa vấn đề giúp học sinh tự học Do khả có hạn chắn hạn chế sai sót khó tránh khỏi kính mong q đồng nghiệp học sinh góp ý để viết ngày hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Nguyễn Lê Quỳnh Tổ Toán – Tin, Trường THPT Thống Nhất A DĐ: 0902 887 192 Email: nguyenlequynhtna@yahoo.com.vn Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Tên SKKN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương pháp tọa độ mặt phẳng học sinh học chương trình hình học lớp 10 Đây nội dung mà đa số học sinh dễ tiếp thu dễ thực hành giải tốn Tầm ảnh hưởng phương pháp vào phân mơn Tốn chương trình tốn học phổ thơng tương đối rộng Bài viết khai thác phương pháp để giải số tốn đại số Mục đích giúp đối tượng học sinh khá, giỏi sau học xong phương pháp tọa độ mặt phẳng ngồi kỹ giải tốn quen thuộc em thấy tầm quan trọng phương pháp việc giải số tốn đại số, từ học sinh thấy mạch liên thơng Đại số Hình học chương trình tốn lớp 10 giúp em hứng thú kích thích em tìm tòi, đào sâu vai trò phương pháp tọa độ mặt phẳng Những tốn đại số cụ thể hình vẽ hình học góp phần trực quan hóa vấn đề giúp học sinh dễ hiểu đơi lời giải gọn gàng II TỔ CHỨC THỰC HIỆN Cơ sở lý luận Nội dung kiến thức kỹ phương pháp tọa độ mặt phẳng dựa theo SGK hình học 10 nâng cao Bộ Giáo dục Đào tạo Dựa vào viết phương pháp tọa độ (trích dẫn phần tài liệu tham khảo) thầy giáo có kinh nghiệm Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy thân đưa vào tốn có ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng làm cho học sinh thích thú Từ tơi sưu tầm, tập hợp trình bày theo quan điểm cá nhân thành chun đề làm tư liệu phục vụ cho việc giảng dạy thân chia sẻ với học sinh, với đồng nghiệp Nội dung thực 2.1 Khai thác phương trình đường thẳng để tìm cách đặt ẩn số phụ phù hợp số phương trình vơ tỷ hệ phương trình vơ tỷ Trong mục tốn xét sau có nhiều cách giải khác, nhiên phạm vi viết trọng đến phương pháp khai thác phương trình đường thẳng để tìm cách đặt ẩn phụ phù hợp nên khơng trình bày cách giải Bài tốn 2.1.1 Giải phương trình 12  x  14  x  (1) Nhận xét Nếu đặt u  12  x , v  14  x (1) trở thành: u + v = phương trình đường thẳng hệ trục Ouv, đường thẳng qua điểm I(1; 1) có VTCP Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số  u   t a  1; 1 nên phương trình tham số  Thành thử thực v   t phép đặt ẩn phụ 12  x   t 14  x   t Lời giải Đặt 12  x   t  x  11  3t  3t  t , phương trình (1) trở thành 25  3t  3t  t   t t  2 Khi t = 2 tìm x = 13, t = tìm x = 15  t2    t   Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {15; 13} Bài tốn 2.1.2 Giải phương trình 1 x  x 1 2 (1) 1  x, v   x (1) trở thành: u + v = phương trình 2 đường thẳng hệ trục Ouv, đường thẳng qua điểm I(1; 0) có VTCP  u   t a  1; 1 nên phương trình tham số  Thành thử thực  v  t Nhận xét Nếu đặt u  1  x   t  x  t , t  2 1 Lời giải ĐK: x  (*) Đặt  x   t  x   3t  3t  t phương trình (1) trở 2 t  3 t  thành 3t  3t  t  t    t  1  t  4t  3t  t   Khi t = 3 tìm x = thỏa (*); 17 t = 1 tìm x =  thỏa (*); t = tìm x =  thỏa (*) 2  17 1  Vậy phương trình có tập nghiệm S   ;  ;   2 2 phép đặt ẩn phụ Bài tốn 2.1.3 Giải phương trình 3 x    5x   (1) (K.A  2009) Nhận xét Phân tích hai tốn ta có cách đặt ẩn phụ sau: 3 x    3t  x   2t , t  Lời giải ĐK: x  (*) Đặt 3 x    3t  x   3t  9t  9t (1) trở thành: t  t  1  15t  45t  45t   2t     2 45t  49t  7t   (t  1)(45t  4t  3)   t = 1 từ tìm x = 2 thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm x = 2 Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số  x  y  xy  Bài tốn 2.1.4 Giải hệ phương trình  (I) x   y    (K.A  2006) Nhận xét Từ phương trình x   y   , coi u  x  1, v  y  ta phương trình u + v = phương trình  đường thẳng hệ trục Ouv, đường thẳng qua điểm I(2; 2) có VTCP a  (1; 1) đường thẳng có phương  x 1   t  u   t trình tham số  từ thực phép đặt ẩn phụ  y    t v   t  2  t   Lời giải ĐK: x, y  1 xy  (*)  x 1   t  x  t  4t    Đặt  y    t   y  t  4t  phương trình x  y  xy  trở thành:  2  t  2  t    2t   (t   4t )(t   4t )  t  10t   2t   3t  22t   t  Khi tính x = y = thỏa (*) Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm (3; 3)  x  xy  xy  y  27 (1) Bài tốn 2.1.5 Giải hệ phương trình  (2)  x  y  Nhận xét  x   t Khai thác phương trình (2) giống cách tốn 2.1.4 có cách đặt  y  t   x   t Lời giải ĐK: x  y  (*) Đặt  với t  (**), ta  y  t  x  (t  1)  t  2t  , (1)  x( x  y)  y( x  y)  27 trở thành:   y  t (t  1) (2t  1)  t (2t  1)  27    2t   27 , (**) từ giải t = thỏa (**) suy x = 25 y = 16 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (25; 16) Các tốn tự luyện Giải phương trình hệ phương trình sau x3   12  x3  10 x   x  1  x  y  x  y  3)  2 2 x  y  x  y   1) 2) Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số 2.2 Khai thác vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn để giải tốn về: biện luận theo tham số tìm tham số để phương trình hệ phương trình thỏa mãn u cầu cho trước Bài tốn 2.2.1 Tìm a để phương trình Lời giải ĐK:  x  , đặt y = x  x  a  x (1) có nghiệm phân biệt  y  (2)  x  x , y  , ta có hệ  x  y  x  (3)  x  y  a  (4)  1  x, y thỏa (2) (3) M(x; y) thuộc nửa đường tròn (C) tâm I  ;0  , bán kính R = 2  nằm phía trục Ox (4) phương trình đường thẳng d có hệ số góc – y (C) O 1 x d1 d d2 Hình 2.2.1 Gọi d1 qua điểm (1; 0) có hệ số góc –1  d1 có phương trình: x + y = 1 Gọi d2 tiếp tuyến (C) có hệ số góc –1  d2 có phương trình: x + y =  2 d có phương trình: x + y = a Do (1) có hai nghiệm phân biệt  d có điểm chung phân biệt với nửa đường tròn (C) mơ tả Dựa vào hình 2.2.1 suy giá trị a cần tìm là: 1 1 a   2 1 Nhận xét (1) có nghiệm   a  a   2 1 (1) có nghiệm   a   2 Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Bài tốn 2.2.2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình:  x  mx   m (1)  y  (2)  Lời giải ĐK: 2  x  , đặt y   x , y  , ta có hệ  x  y  (3)  mx  y   m  (4)  Nghiệm thỏa mãn (2) (3) có điểm biểu diễn thuộc nửa phía Ox đường tròn (C) tâm O, bán kính R = (4) phương trình đường thẳng d ln qua điểm cố định I(1; 2) có hệ số góc m Do số nghiệm phương trình (1) số giao điểm d với nửa đường tròn (C) hình vẽ Hình 2.2.2 Đường thẳng d1 qua I A(2; 0) có hệ số góc k1 = 2 d: mx – y + – m = tiếp xúc với (C)  d(O, d) = R  m  2  m   m 1  2m Từ I có hai tiếp tuyến với (C) d2 có hệ số góc k1   , d3 có hệ số góc k3 = Đường thẳng d4 qua I B(2; 0) có hệ số góc k4 = Quan sát hệ số góc đường thẳng dựa vào hình 2.2.2 ta biện luận sau  Nếu m < 2 m =  m = m > (1) có nghiệm 3  Nếu –  m <  < m  (1) có nghiệm phân biệt 3  Nếu  < m < (1) vơ nghiệm Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Bài tốn 2.2.3 Biện luận theo m số nghiệm phương trình x  x2  m (1)  y  (2)  Lời giải ĐK: 2  x  , đặt y  x  x , y  , ta có hệ  x  y  x  (3)  y  m  (4)   x   2  x  y  x  (3)   (x; y) thỏa hệ (2) (3) có điểm biểu diễn nằm hai nửa x     x  y  x  đường tròn C1(I1 ;R1) C2(I2 ;R2) I1(1; 0), R1 = I2(1;0), R2 = nằm phía Ox (Hình 2.2.3) y y=1 y=m y=0 x -2 -1 O Hình 2.2.3 Phương trình (4) phương trình đường thẳng song song trùng với Ox Số nghiệm (1) số giao điểm d với hai nửa đường tròn nói Dựa vào Hình 2.2.3 ta biện luận  Nếu m < m > (1) vơ nghiệm  Nếu m = (1) có nghiệm  Nếu < m < (1) có nghiệm  Nếu m = (1) có nghiệm  x2  y  m (1) Bài tốn 2.2.4 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm   x  y  xy  m (2) ( x  y)2  m Lời giải (1)  (x + y) – 2xy = m  xy  thay vào (2), ta được: (x + y)2 + 2(x + y)  3m = phương trình theo ẩn x + y có  = + 3m Từ (1) suy m   > nên ta có x + y = 1   3m  x  y  m  x  y  m Hệ cho   (I)  (II)  x  y  1   3m  x  y  1   3m Do hệ cho có nghiệm  hệ (I) (II) có nghiệm Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số a) Hệ (I) có nghiệm  đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R = d: x + y = 1   3m có điểm chung m đường thẳng 1   3m  d (O; d )  R   m  2m   3m   3m   3m  m   vơ nghiệm m  Vậy hệ (I) vơ nghiệm b) Hệ (II) có nghiệm  đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R = m đường thẳng d: x + y = 1   3m có điểm chung  d(O; d)  R  1   3m  m  2m   3m   3m   3m  m   m  8m    m  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  m   x  y  m Bài tốn 2.2.5 Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình  (I) x  y  xy  m  Lời giải ĐK x  0, y  Đặt u  x , v  y , u  0, v  Khi hệ (I) trở thành  u  0, v  (1) u  0, v     u  v  m (2) (II) u  v  m u  v  uv  m   u  v  m  2m (3)  (2) phương trình đường thẳng d, (3) phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0) m2  2m (vì từ (1) (2)  m  0) hệ trục Ouv Mỗi nghiệm (u; v) thỏa (1) hệ (II) hệ (I) có nghiệm (x; y) Do số nghiệm (I) số nghiệm hệ (II), số nghiệm hệ (II) số giao điểm d với (C) phần tư thứ hệ trục Ouv (Hình 2.2.5)  m  2m   m  2m  (C) cắt Ou A  ;0  cắt Ov B  0;  , phương trình đường     3     bán kính R = m  2m Gọi d2 tiếp tuyến với phần đường tròn (C), ta tìm phương trình d : thẳng d1 qua hai điểm A, B là: u  v  2m  4m uv (Hình 2.2.5) Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Hình 2.2.5 Dựa vào hình 2.2.5 ta biện luận  Nếu m  m  2m 2m  4m m    m  m > hệ (I) vơ 3 nghiệm m  m  2m  Nếu m   Trường hợp m = hệ (I) có nghiệm m  (0;0), trường hợp m = hệ (I) có hai nghiệm (1; 0) (0; 1) m  2m  4m  Nếu m   hệ (I) có nghiệm m  m  2m 2m  m  Nếu m   m  hệ (I) có hai nghiệm 3 Kết luận: * m = m = 4: Hệ (I) có nghiệm *  m < 4: Hệ (I) có hai nghiệm *  m < m > 4: Hệ (I) vơ nghiệm 2  x  y  x  y  16  (1) (I) Bài tốn 2.2.6 Biện luận theo m số nghiệm hệ  2 y  mxy  m x  (2)  Lời giải (1) phương trình đường tròn (C) tâm I(4; 3), bán kính R = (2)  (mx – y)2 =  y = mx phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O có hệ số góc m Thành thử số nghiệm hệ (I) số giao điểm d (C) Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Từ O ta viết tiếp tuyến với (C) có phương trình: y = y  trình đường thẳng OI y  24 x , phương x (Hình 2.2.6) Hình 2.2.6 Dựa vào hình 2.2.6 ta biện luận 24  Nếu m < m > hệ (I) vơ nghiệm 24  Nếu m = m  hệ (I) có nghiệm 24  Nếu < m < hệ (I) có hai nghiệm Các tốn tự luyện 1) 2) Tìm k để phương trình x   x  k có hai nghiệm phân biệt 2  x  y  2(1  a) Tìm a để hệ phương trình  có hai nghiệm phân biệt ( x  y )  2.3 Khai thác vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn để giải tốn về: biện luận theo tham số tìm tham số để bất phương trình hệ bất phương trình thỏa mãn u cầu cho trước Bài tốn 2.3.1 Tìm m để bất phương trình x    x  m (1) có nghiệm Lời giải ĐK: 1  x  Đặt u  x  1, v   x với u  0, v  Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 10 Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số u  0, v  (2)  Khi (1) có nghiệm  hệ (I) u  v  m (3) có nghiệm u  v  (4)  Xét hệ tọa độ Ouv, số (u; v) thỏa (2) (4) điểm M(u; v) thuộc phần tư thứ đường tròn (C) tâm O, bán kính R  Đường thẳng d: v = u – m có hệ số góc  5;0 có phương trình v = u  Đường thẳng có hệ số góc qua điểm B  0;  có phương trình v = u  Đường thẳng có hệ số góc qua điểm A 5 Đường thẳng có hệ số góc qua điểm O  0;0  có phương trình v = u Hình 2.3.1 Bất phương trình v < u – m có miền nghiệm phần chưa bị gạch Hệ (I) có nghiệm   AB có điểm thuộc miền nghiệm (chưa bị gạch) bất phương trình (3), dựa vào hình 2.3.1 suy giá trị m cần tìm m < Bài tốn 2.3.2 Tìm m để bất phương trình với x [4; 6] (4  x)(6  x)  x  m (1) nghiệm Lời giải Với x [4; 6], đặt y  (4  x )(6  x ), y  , ta hệ (1) y   ( I )  x  y  x  24  (2) Bất phương trình cho nghiệm [4; 6]  x  y  m (3)   hệ (I) nghiệm Thật vậy, nghiệm (x; y) thỏa (1) (2) điểm M(x; y) thuộc nửa đường tròn (C) tâm I(1; 0), bán kính R = nằm phía Ox (Hình 2.3.2) Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 11 Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Đường thẳng  có phương trình dạng y = x + m tiếp xúc với nửa đường tròn (C), ta tìm m   , tiếp tuyến d với nửa đường tròn (C) có phương trình: y  x   Đường thẳng d1 qua gốc tọa độ O song song với d có phương trình y = x, đường thẳng d2 qua A(6; 0) song song với d có phương trình y = x – Miền nghiệm (3) miền phía (chưa bị gạch) kể biên đường thẳng  có phương trình y = x + m Dựa vào hình 2.3.2 suy (I) nghiệm nửa đường tròn (C) nằm phía đường thẳng  Từ suy giá trị m cần tìm m   Hình 2.3.2  x  y  x  (1) Bài tốn 2.3.3 Tìm m để hệ  có nghiệm (2) x  y  m  Lời giải (1)  (x – 1)2 + y2  3, nghiệm (x; y) (1) có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ thuộc hình tròn (C) tâm I(1; 0), bán kính R = kể cản biên (2)  y = x + m phương trình đường thẳng d có hệ số góc Ta tìm hai tiếp tuyến với đường tròn có phương trình (x – 1)2 + y2 = có phương trình y  x   y  x   Dựa vào hình 2.3.3 đây, hệ cho có nghiệm  d tiếp xúc với (C)  m   m    Vậy giá trị m cần tìm m    Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 12 Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Hình 2.3.3  x  ( y  1)  m Bài tốn 2.3.4 Tìm m để hệ bất phương trình sau  2 ( x  1)  y  m (1) (2) có nghiệm Lời giải Từ đề bài, điều kiện cần để hệ có nghiệm m > Nghiệm bất phương trình (1) có điểm biểu diễn thuộc hình tròn (C1) tâm I1(0; 1) bán kính R1 = m kể biên Nghiệm bất phương trình (2) có điểm biểu diễn thuộc hình tròn (C2) tâm I2(1; 0) bán kính R2 = m kể biên Thành thử hệ bất phương trình cho có nghiệm (Hình 2.3.4, hai hình tròn có điểm chung)  I1I2  R1 + R2   m  m  Hình 2.3.4 Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 13 Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số 2 x  y   Bài tốn 2.3.5 Tìm m để hệ  x  y  có nghiệm khơng âm  x  y  x  y  20  m   Lời giải Phương trình x2 + y2 – 4x – 8y + 20 – m =  (x – 2)2 + (y – 4)2 = m Với m  phương trình đường tròn (C) tâm I(2; 4), bán kính R = m Xác định  x, y   miền nghiệm hệ ( I )  x  y  hình 2.3.5 (phần chưa bị gạch) x  3y   Hình 2.3.5 Gọi d đường thẳng có phương trình x + 3y – = Dựa vào hình 2.3.5, hệ cho có nghiệm khơng âm  đường tròn (C) có điểm thuộc miền nghiệm hệ (I)  IH  R  max{IA; IB; IC; ID} = ID (*), với D(9; 0) Trong đó, IH = d(I;d) = , ID = 65 5 Thành thử (*)   m  65   m  65 Vậy giá trị m cần tìm  m  65 2 Các tốn tự luyện 1) Tìm m để bất phương trình x(6  x)  x  m  nghiệm với x thuộc [0; 6]  x  y  16  x  y 2) Tìm m để hệ  có nghiệm x  y  m  Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 14 Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số 2.4 Khai thác vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn để giải tốn về: giá trị lớn – giá trị nhỏ biểu thức Bài tốn 2.4.1 Cho hai số thực x, y thỏa mãn (x – 2)2 + (y – 4)2 = Tìm x, y để biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ giá trị lớn Lời giải (x – 2)2 + (y – 4)2 = phương trình đường tròn (C) tâm I(2; 4), bán kính R = Gọi M(x; y)  (C), ta có: P = x2 + y2 = OM2, với O gốc tọa độ Gọi d đường thẳng qua hai điểm O, I  phương trình d y = 2x Gọi A, B giao điểm d với (C), ta tìm A(1; 2), B(3; 6) Dựa vào hình 2.4.1, minP  5, x  1, y  ta có: OA  P  OB   P    maxP = ,khi x  3, y  Hình 2.4.1 Bài tốn 2.4.2 Cho hai số thực x, y thỏa mãn 3x – y + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2  y  2x  y   x2  y2  x  Lời giải P  ( x  1)  ( y  1)  ( x  3)  y Xét hai điểm A(1; 1), B(3; 0) điểm M(x; y) thuộc đường thẳng d có phương trình 3x – y + = Ta có AM = ( x  1)  ( y  1) , BM = ( x  3)  y P = AM + BM Bài tốn trở thành “ Tìm điểm M thuộc d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ ”  9 Thật vậy, gọi A đối xứng với A qua d, ta tìm A '   ;  , ta có MA = MA,  5 113 113 P = AM + BM = AM + BM  AB =  minP =  M  Mo, 5 với Mo = AB  d Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 15 Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Hình 2.4.2  x   22t  17 33  Từ tìm AB có phương trình:  suy tọa độ Mo   ;   75 25   y   9t 17 33 Vậy x   , y  P đạt giá trị nhỏ 75 25 Bài tốn 2.4.3 Cho x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y + 3)2  Tìm x, y để biểu thức A = (2x – 3y – 6)2 đạt giá trị nhỏ giá trị lớn  x  y   A  ( d1 ) Lời giải Từ A = (2x – 3y – 6)2 ta có A    x  y   A  ( d ) Gọi M(x; y) x, y thỏa mãn (x – 4) + (y + 3)2   M thuộc hình tròn tâm I(4; 3), bán kính R = (kể biên) 11  A Ta có d(I;d 2) =  1, A   d (C) khơng có điểm chung 13 d có điểm chung với hình tròn (C)  d(I; d1)  R  11  A  13  11  13  A  11  13  134  22 13  A  134  22 13 (*) Gọi  đường thẳng qua I vng góc với đường thẳng d2,  có phương trình: 3x + 2y – = Giao điểm  (C): (x – 4)2 + (y + 3)2 = nghiệm hệ    78  117   78  117  x   x  2    3 x  y   39 39          2 ( x  4)  ( y  3)    39  117 39  117 y  y  13 13   Từ (*) suy Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 16 Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số   78  117  x  2  39    maxA = 134  22 13   39  117 y  13    78  117  x  2  39    minA = 134  22 13   39  117 y  13  Hình 2.4.3 Bài tốn 2.4.4 Tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) = x  2x+2  x  2x+2 Nhận xét Viết lại f(x) = ( x  1)   ( x  1)  thức dạng độ dài vectơ, ta chọn hai vectơ mà vectơ có độ dài biểu thức f(x)     tổng hai vectơ vectơ khơng đổi, kết hợp với tính chất u  v  u  v ta tìm giá trị nhỏ f(x) Lời giải Hàm số f xác định R, xR mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai vectơ     u   x  1;1 v    x  1;1 ta có u  ( x  1)  1, v  ( x  1)          u  v  (2;2)  u  v  2 Mà ta ln có u  v  u  v suy ra:     f(x)  u  v  2 Vậy f ( x)  2 u , v phương  x = R Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 17 Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số tốn Đại số Các tốn tự luyện c  d  Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ a  b  biểu thức P = c2 + d2 – 2ac – 2bd + 1) 2) 3) Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x )  x  x  13  x  x  10 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x – 2y + = Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x )  ( x  3)  ( y  5)  ( x  5)  ( y  7) III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Sáng kiến kinh nghiệm hồn thành, xong trước áp dụng rải rác q trình giảng dạy tốn Từ năm học tơi thực giới thiệu nhiều với học sinh lớp tơi phụ trách chia sẻ cho em tham khảo thêm Giúp học sinh khá, giỏi hứng thú việc tìm tòi ứng dụng khác phương pháp tọa độ Ở góc độ tổ chun mơn đồng nghiệp khích lệ ủng hộ đề tài tài liệu tham khảo nội tổ chun mơn giảng dạy từ năm học 2011  2012 IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài xem tài liệu tham khảo dành cho học sinh giáo viên dạy tốn Sau thẩm định hội đồng khoa học Sở Giáo dục đề nghị chia sẻ hình thức với học sinh đồng nghiệp V TÀI LIỆU THAM KHẢO      Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số  NXB Giáo dục – Phan Huy Khải Các phương pháp giải nhanh đề thi đại học – Hồng Việt Quỳnh – mathvn.com Các đề thi Đại học – Cao đẳng Bộ Giáo dục Đào tạo Giải tốn hình học 12 – Trần Thành Minh (chủ biên) – NXB Giáo dục 1995 SGK Hình học 10 Đại số 10 nâng cao Trảng Bom, ngày 28 tháng 01 năm 2012 Người thực Nguyễn Lê Quỳnh Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 18 [...]... Nhất A Trang 14 Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số 2.4 Khai thác vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn để giải các bài toán về: giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Bài toán 2.4.1 Cho hai số thực x, y thỏa mãn (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5 Tìm x, y để biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Lời giải (x – 2)2 +... cần tìm m   6  1 Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 12 Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số Hình 2.3.3  x 2  ( y  1) 2  m Bài toán 2.3.4 Tìm m để hệ bất phương trình sau  2 2 ( x  1)  y  m (1) (2) có nghiệm Lời giải Từ đề bài, một điều kiện cần để hệ có nghiệm là m > 0 Nghiệm của bất phương trình (1) có điểm biểu diễn thuộc... Trang 17 Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số Các bài toán tự luyện c  d  6 Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 a  b  1 biểu thức P = c2 + d2 – 2ac – 2bd + 2 1) 2) 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x )  x 2  4 x  13  x 2  6 x  10 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x – 2y + 2 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x... Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 15 Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số Hình 2.4.2  x  3  22t  17 33  Từ đó tìm được AB có phương trình:  suy ra tọa độ Mo   ;   75 25   y   9t 17 33 Vậy x   , y  thì P đạt giá trị nhỏ nhất 75 25 Bài toán 2.4.3 Cho x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y + 3)2  1 Tìm x, y để biểu thức A = (2x – 3y – 6)2 đạt giá trị.. .Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số u  0, v  0 (2)  Khi đó (1) có nghiệm  hệ (I) u  v  m (3) có nghiệm u 2  v 2  5 (4)  Xét hệ tọa độ Ouv, bộ số (u; v) thỏa (2) và (4) thì điểm M(u; v) thuộc một phần tư thứ nhất của đường tròn (C) tâm O, bán kính R  5 Đường thẳng d: v = u – m có hệ số góc bằng 1  5;0 có phương...  R1 + R2  2  2 m  m  2 Hình 2.3.4 Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 13 Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số 2 x  y  2  Bài toán 2.3.5 Tìm m để hệ  x  3 y  9 có nghiệm không âm  x 2  y 2  4 x  8 y  20  m  0  Lời giải Phương trình x2 + y2 – 4x – 8y + 20 – m = 0  (x – 2)2 + (y – 4)2 = m Với m  0 thì đây là phương... hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 16 Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số   78  117  x  2  39    và maxA = 134  22 13 khi   39  117 y  13    78  117  x  2  39    minA = 134  22 13 khi   39  117 y  13  Hình 2.4.3 Bài toán 2.4.4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x 2  2x+2  x 2  2x+2 Nhận xét Viết lại... thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang 11 Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số Đường thẳng  có phương trình dạng y = x + m tiếp xúc với nửa đường tròn (C), ta tìm được m  5 2  1 , thành thử tiếp tuyến d với nửa đường tròn (C) có phương trình: y  x  5 2  1 Đường thẳng d1 đi qua gốc tọa độ O và song song với d có phương trình y = x, đường thẳng... ( x  1) 2  1  ( x  1) 2  1 mỗi căn thức là dạng độ dài của một vectơ, vì vậy ta chọn hai vectơ nào đó mà mỗi vectơ có độ dài trong biểu thức f(x)     và tổng của hai vectơ đó là một vectơ không đổi, kết hợp với tính chất u  v  u  v ta có thể tìm được giá trị nhỏ nhất của f(x) Lời giải Hàm số f xác định trên R, xR trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai vectơ     u   x  1;1 và v  ... áp dụng rải rác trong quá trình giảng dạy toán Từ năm học này tôi đã thực hiện giới thiệu nhiều hơn với các học sinh trong các lớp tôi phụ trách và chia sẻ cho các em tham khảo thêm Giúp học sinh khá, giỏi hứng thú hơn trong việc tìm tòi những ứng dụng khác của phương pháp tọa độ Ở góc độ tổ chuyên môn được đồng nghiệp khích lệ và ủng hộ và đề tài cũng là tài liệu tham khảo nội bộ của tổ chuyên môn trong .. .Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Đại số Tên SKKN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương pháp tọa độ mặt phẳng. .. Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Đại số 2.2 Khai thác vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn để giải toán về: biện luận theo tham số tìm tham số để phương... gốc tọa độ O có hệ số góc m Thành thử số nghiệm hệ (I) số giao điểm d (C) Người thực hiện: Nguyễn Lê Quỳnh – THPT Thống Nhất A Trang Ứng dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số toán Đại số