BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT TRỊ AN Mã số: SẢN PHẨM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: TỐNG XUÂN TRƯỞNG Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học môn: TOÁN  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác:  Sản phẩm đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học: 2011 - 2012  Hiện vật khác BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Tống Xuân Trưởng Ngày tháng năm sinh: 15-10-1983 Nam, nữ: nam Địa chỉ: số 402, tổ 15, ấp I, xã Vĩnh Tân, Huyện Vĩnh Cửu, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: (CQ)/ 0613960156 (NR); ĐTDĐ:0989603545 Fax: E-mail: xuantruongtong@gmail.com Chức vụ: giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Trị An II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, hệ quy - Năm nhận bằng: 2006 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: + Mô hình hình học không gian + Tổ hợp xác suất + Giải toán hình học không gian phương pháp tọa độ +Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số BM03-TMSKKN Tên sáng kiến kinh nghiệm : GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán phổ thông, tìm giới hạn hàm số ứng dụng giới hạn hàm số phần quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp Tuy nhiên, phần kiến thức giới hạn hàm số trừu tượng nên đa số học sinh thường gặp khó khăn việc giải toán liên quan đến kiến thức này, đặc biệt việc xác định nhân lượng liên hợp không Những dạng toán việc đòi hỏi học sinh nắm lý thuyết cần phải nắm phương pháp nhận dạng cách giải tương ứng Việc ứng dụng sơ đồ tư vào học tập chứng minh có hiệu nhiều quốc gia mẻ giảng dạy toán Việt Nam Chuyên đề hệ thống tập mô tả theo sơ đồ tư phương pháp tìm giới hạn hàm số nêu trang phụ lục Qua hệ thống cho học sinh phương pháp giải cách có hiệu Trong chuyên đề có đề cập đến phương pháp xác định trường hợp phải nhân lượng liên hợp cách xét đến số hạng có lũy thừa bậc cao II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ nên hỗ trợ vẽ sơ đồ tư nhanh chóng, thẩm mỹ hiệu - Tài liệu tham khảo phong phú - Bản thân có kinh nghiệm giảng dạy toán lớp 11 năm trước Khó khăn - Sơ đồ tư khái niệm mẻ học sinh nên việc áp dụng sơ đồ tư để hệ thống lại kiến thức cho học sinh gặp phải khó khăn định - Việc xem xét vấn đề mang tính chủ quan nên không tránh khỏi thiếu sót định - Giới hạn mảng kiến thức trừu tượng học sinh phổ thông nên việc tiếp cận kiến thức khó đa số học sinh Số liệu thống kê - Có đến 40% học sinh gặp khó khăn việc giải toán tìm giới hạn hàm số - Hầu hết học sinh chưa biết đến sơ đồ tư cách sử dụng sơ đồ tư vào học tập III.NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận - Việc áp dụng sơ đồ tư vào dạy học chứng minh có hiệu tốt, tạo tư sáng tạo gợi nhớ tốt kiến thức cũ học - Giới hạn hàm số mảng kiến thức quan trọng mạch kiến thức nghiên cứu hàm số Cụ thể cung cấp kiến thức ban đầu để học sinh tiếp cận đạo hàm hàm số, đường tiệm cận mối liên quan đến biến thiên đồ thị hàm số Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài - Trình bày sơ đồ tư cách phân tích toán tìm giới hạn hàm số từ khóa nhóm từ khóa - Bản thân nghiên cứu sơ đồ tư thử nghiệm sử dụng sơ đồ tư giảng dạy ghi nhớ có hiệu - Trong đề tài, có đề cập đến phương pháp (theo nhận định chủ quan tôi): + Cách thêm bớt số hạng cách xem xét đưa dạng vô định thành tổng hai dạng vô định loại Phương pháp giúp học sinh dễ dàng việc xác định số hạng cần thêm bớt + Cách dùng “số hạng vô cùng” để xác định toán cần nhân lượng liên hợp toán không nhân lượng liên hợp Phương pháp giúp học sinh nhân lượng liên hợp cách hợp lý cho toán cụ thể, tránh việc nhân lượng liên hợp tùy ý thấy có thức - Nội dung cụ thể chuyên đề: SƠ ĐỒ TƯ DUY: Kiến thức cần nhớ: Hằng đẳng thức đáng nhớ (dùng nhân liên hợp) a − b2 = ( a − b ) ( a + b ) a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) Một số định lý giới hạn hàm số: Định lý: (Các phép toán giới hạn hàm số) Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x → lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x) x →a x →a a thì: x →a lim [ f ( x).g ( x) ] = lim f ( x).lim g ( x) x →a lim x →a x →a x →a f ( x) f ( x ) lim = x →a ,(lim ≠ 0) g ( x ) lim g ( x) x→a x →a lim f ( x) = lim f ( x),( f ( x) ≥ 0) x →a x →a Giới hạn bên : Định nghĩa: Số L gọi giới hạn bên phải( bên trái) hàm số f(x) x dần tới a, với dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) cho limxn = a limf(xn) = L lim = L (hoặc lim f ( x) = L ) Ta viết: x →a x →a + − f ( x) = L lim f ( x), lim f ( x) Định lý: Điều kiện có đủ để lim x →a x →a x →a tồn L Các dạng vô định: Khi tìm giới hạn hàm số, ta gặp số trường hợp vô định sau (dạng vô định dạng suy kết mà phải tìm cách để khử) u ( x) lim u ( x) = lim v( x) = x → x0 1/ xlim mà x→ x0 (ta ký hiệu ) → x0 v ( x ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) u ( x) ∞ lim u ( x) = lim v( x) = ∞ x → x0 2/ xlim mà x→ x0 (ta ký hiệu ) → x0 v ( x ) ( x →∞ ) ( x→∞ ) ∞ ( x →∞ ) + 3/ 4/ lim [ u ( x).v( x) ] x → x0 ( x →∞ ) lim [ u ( x) − v( x)] x → x0 ( x →∞ ) mà lim u ( x) = x → x0 ( x →∞ ) mà x → x0 ( x→∞ ) lim v( x) = ∞ x → x0 ( x →∞ ) (ta ký hiệu 0.∞ ) lim u ( x) = lim v( x) = +∞ x→ x0 ( x →∞ ) lim u ( x) = lim v( x) = −∞ x→ x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ ) (ta ký hiệu − ∞−∞) Các toán có giải minh họa phân tích theo sơ đồ tư duy: I Dạng không vô định: Nhận dạng: x dần đến a, a vào ta kết số thực dạng L/0 Cách giải: a vào, ta kết quả, giải thích kết số thực / lim(2 x + 3) = 2.2 + = x →2 Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào / lim (2 x − x + 4) = ( −2 ) − ( −2 ) + == −26 x →−2 Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào x + x + 12 + 4.1 + / lim = =6 x →1 x − x + 1 −1 +1 Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào − ( −3 ) + ( −3 ) − x + 2x / lim = =2 x →−3 x +1 −3 + Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào / lim( x + + x ) = ( −1 + + −1) = x →−1 Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào x − 25 52 − 25 / lim = =0 x →5 x + 5+2 Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào x + 3x + x + 3x + = lim =0 x →−2 x + x + x →−2 x + x + / lim Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào, kết (a -2 )  lim− ( x + 1) = 2x +  x→1 / lim− = −∞  x →1 x − x − 1) = 0− (  lim − x →1 Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào, kết giải thích kết số thực  lim+ ( x + 1) = x +1  x→2 / lim+ = −∞  x→ 2 − x − x ) = 0− (  xlim + →2 Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào, kết giải thích kết số thực 2x + 10 / lim x→3 x −  lim+ ( x + 1) = 2x +  x→3 * lim+ = +∞  x →3 x − x − 3) = 0+ (  xlim + →3  lim− ( x + 1) = 2x +  x→3 * lim− = −∞  x →3 x − ( x − 3) = 0−  xlim →3− ( 1) ( 2) 2x + Từ (1) (2) suy không tồn giới hạn x→3 x −  lim ( x + x + ) = 12 x2 + x +  + 11 / lim+ = +∞  x→2 x →2 x−2 lim+ ( x − ) = 0+   x →2 lim Bài có dạng x dần tới a, không vô định nên ta a vào, kết giải thích kết số thực II Dạng 0/0, không chứa căn: Nhận dạng: x dần tới a, không chứa thức, a vào ta 0/0 Cách giải: ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết giải thích kết số thực x2 + x − ( x − ) ( x + 3) = lim x + = 12 / lim = lim x→ x→2 ( x − ) ( x + ) x→2 x + x −4 Bài có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a 2) x − 16 ( x − ) ( x + ) = lim x + = 13 / lim = lim x → x + x − 20 x→4 ( x − ) ( x + ) x→4 x + Bài có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a 4) x2 − x + ( x − 1) ( x − 3) = lim x −1 = 14 / lim = lim ( ) x →3 x →3 x →3 x −3 x −3 Bài có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a 3) x3 − 3x + ( x − 1) ( x − ) = lim ( x − ) 15 / lim = lim 2 x →1 x − x − x + x →1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 ( x − 1) ( x + 1) Bài có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết không tồn giới hạn giới hạn bên trái giới hạn bên phải khác (a 1) − x2 ( − x ) ( + x ) = lim − x = = 16 / lim = lim x →−2 x + x →−2 x + ( ) ( x − x + ) x→−2 x − x + 12 Bài có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a -2) x+3 x+3 −1 = lim = lim = x →− x − x →−3 ( x + ) ( x − ) x →− x − 17 / lim Bài có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a -3) x2 − 4x + ( x − 1) ( x − 3) = lim x −1 = 18 / lim = lim ( ) x →3 x →3 x →3 x −3 x −3 Bài có dạng x dần tới a, vô định, ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a 3) III Dạng 0/0, có chứa căn: Nhận dạng: x dần tới a, a vào ta 0/0, có chứa không đặt nhân tử chung (x-a) Cách giải: ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết giải thích kết số thực + 2x − 19 / lim = lim x→0 x→ 2x ( )( + 2x − 2x ( ) = lim + 2x + ) + 2x + x→ 2x ( 2x ) + 2x + = lim x→ = + 2x + Bài có dạng x dần tới a, vô định (có không đặt nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a 0) 4x 20 / lim = lim x→0 + x − x→ 4x ( ( 9+ x +3 9+ x −3 )( ) 9+ x +3 ) = lim 4x ( 9+ x +3 x x→0 ) = lim x→ ( ) 9+ x +3 = Bài có dạng x dần tới a, vô định (có không đặt nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a 0) 21 / lim x →1 = lim x →1 ( ( −2 + x + ( )( )( 2x + − 2x + − = lim x →1 2− x+3 2− x +3 2x + + ) ( ) = −4.4 = )( x + + 3) ( + ) = lim ( x − ) ( + x + x + 3) ( − x ) ( x + + 3) 2x + + + x + x →1 Bài có dạng x dần tới a, vô định (có không đặt nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp cho tử mẫu, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a 1) x − 3x − x + 3x − x − 3x − x − 3x + 22 / lim = lim = lim x →2 x →2 x2 − ( x − ) ( x + ) x + x − x →2 ( x − ) ( x + ) x + x − ( ( x − 1) ( x − ) x →2 ( x − ) ( x + ) ( x + 3x − ) = lim )( ( = lim x →2 ) ) ( x − 1) ( x + 2) ( x + 3x − ( ) = 16 Bài có dạng x dần tới a, vô định (có không đặt nhân tử chung (xa), ta nhân liên hợp cho tử mẫu, đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào ta kết (a 2) ) 40 / lim x2 + − x →1 = lim x →1 = lim x →1 (x x −1 ( x − 1) ( − 1)   = lim x →1 ( ( ) + x + 1÷  x2 + + ( x + 1)  ( x )  )( ) x −   x2 + − x2 + + ( x) + x + 1÷  = lim = x →1 x )( ) ( + x + 1÷ x + +  x + +  x + x + 1÷   )( ) ( x − 1) ( x2 + + ( x − 1) ( x + 1)  ( x ) )  + x + 1÷   = 3 x − + − x + x2 x − + + − x + x2 − 41 / lim = lim x→1 x →1 x2 − x2 −  x − +1 − x + x2 −  = lim  + ÷ 2 x →1  ÷ x − x −     x − 2 − x − + 1 x − +  ÷ − x + x2 − 1 − x + x2 +   + = lim  x →1  ( x − 1)  x − − x − + 1÷ ( x − 1) − x + x +    ( )( (   = lim  x →1  ( x − 1) ( x + 1)      = lim  x →1  ( x − 1) ( x + 1)    ( ) ) )( ( ) ÷÷ )  ÷ x −1 x −x + ÷ 2 x − − x − + 1÷ ( x − 1) ( x + 1) − x + x + ÷    ÷ x x − x −1 ( ) + ÷ 2  3 x − x + 1 − x + x + )( ) ÷ x − − x − + 1÷ (      ÷ 1 x = lim  + ÷= + = x →1   3  ( x + 1)  x − − x − + 1÷ ( x + 1) − x + x + ÷ 12     + 2x − + 2x + x +2 + 2x − 42 / lim = lim x →4 x →4 x −2 x −2 x + + 2x + ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( x − 8) ( x + ) x →4 ( x − ) ( + x + 3) = lim ) ( ) ( )( = lim x →4 )( 2( x − 4) ( x − 4) ( ( )( x +2 )( ) + 2x + ) ) = lim x →4 ) ( x +2 ) + 2x + = = ÷  ( ) ( ) 1 + − x + − x  − − x  ÷ 1− 1− x   43 / lim = lim x →0 x → 3x x 1 + − x + − x ÷   x = lim = lim x →0 x →0  x 1 + − x + − x ÷ 1 + − x + − x    IV Dạng vô định chứa hai loại thức ( ( ) ) ( )  ÷  = Nhận dạng: x dần tới a x dần tới vô cùng, vô định, đặt nhân tử chung nhân liên hợp có hai loại thức bậc hai bậc ba Cách giải: Để giải toán dạng vô định, có hai loại bậc hai bậc ba, ta thêm bớt số hạng cần thiết để tạo hai dạng vô định loại so với dạng vô định ban đầu Phương pháp thêm bớt trình bày cụ thể toán cụ thể: 3 x + 11 − x + x + 11 − + − x + 44 / lim = lim x→2 x→2 x − 3x + x − 3x +  x + 11 −  x + 11 − 3 − x +  3− x+7  = lim  + = lim + ÷  ÷ x→2 x → ( x − 1) ( x − ) ( x − 1) ( x − )   x − 3x + x − 3x +   ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )   x + 11 + 3 x + 11 +  x + 11 −  ÷    + 3− x + 3+ x + = lim  x→2  ( x − 1) ( x − )  x + 11 + 3 x + 11 + ÷ ( x − 1) ( x − ) + x +      x − 16 2−x = lim  + x→2  ( x − 1) ( x − )  x + 11 + 3 x + 11 + ÷ ( x − 1) ( x − ) + x +     ÷ ÷ ÷   ÷ ÷ ÷     ÷ 8( x − 2) 2− x = lim  + ÷ x→2  ( x − 1) ( x − )  x + 11 + 3 x + 11 + ÷ ( x − 1) ( x − ) + x + ÷       = lim  x→2  ( x − 1)    ( ( )( ) ( )  ÷ 8 − − = ÷=  27 54 3 x − + x + ) ÷ x + 11 + x + 11 + ÷ (   ) ( ) Bài có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, đặt nhân tử chung nhân liên hợp có hai loại bậc hai bậc ba (a 2) Ta thêm bớt số hạng vào tử sau: Do x dần tới nên: x + 11 → 3, − x + → −3 ⇒ x + 11 − → 0, − x + + → Do đó, dựa vào ta suy cách thêm bớt – + để tạo hai dạng vô định loại so với dạng vô định ban đầu 0/0  1+ x −1 1− 1− x  1+ x − 1− x 45 / lim = lim  + ÷ x →0 x →0 x x x     = lim  x →0   ( (   = lim  x →0  x     = lim  x →0    )( ( ) + x −  + x + + x + 1÷ − − x + − x  + x 1+ 1− x x  + x + + x + 1÷   ( ( ) ( )( )  )÷ ÷ ÷   ÷ x x + ÷  3 x + − x ÷ + x + + x + 1÷   ) ( )  1 ÷ + = + = ÷ 3 + − x ÷ 1+ x + 1+ x +1  ) Bài có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, đặt nhân tử chung nhân liên hợp có hai loại bậc hai bậc ba (a 0) Ta thêm bớt số hạng vào tử sau: Do x dần tới nên: + x → 1, − − x → −1 ⇒ + x − → 0, − − x + → Do đó, dựa vào ta suy cách thêm bớt – + để tạo hai dạng vô định loại so với dạng vô định ban đầu 0/0 46 / lim  x +1 − 2 − x +  x +1 − x + = lim  + ÷ x →3 x−3 x − x−3     = lim  x →3    + 23 x + + x +   − x +  ÷÷ x +1 − x +1 +   + ÷   3 ( x − 3) x + + ( x − 3)  + x + + x + ÷ ÷    x →3 ( ( )( ) ( ) ) ( (   x−3 3− x = lim  + x →3  ( x − 3) x + + ( x − 3)  + x + +   ( )  −1 = lim  + x →3   x +1 + + 23 x + +  ( ( ) )  ÷ ÷ x + ÷÷  )  ÷= − = ÷ x + ÷ 12  ) Bài có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, đặt nhân tử chung nhân liên hợp có hai loại bậc hai bậc ba (a 3) Ta thêm bớt số hạng vào tử sau: Do x dần tới nên: x + → 2, − x + → −2 ⇒ x + − → 0, − x + + → Do đó, dựa vào ta suy cách thêm bớt – + để tạo hai dạng vô định loại so với dạng vô định ban đầu 0/0 47 / lim x →1   = lim  x →1   (  x−9 +2 x−9 + x+3 = lim  + x →1 x −1 x −  )( x − +  x − − x − + ÷  + ( x − 1)  x − − x − + ÷   (   = lim  x →1  ( x − 1)     = lim  x →1    ) ( x+3−2 ÷ x −1  x−9 ( ) ) x+3−2 ( x − 1) (  x+3+2 ÷ ÷ x+3+2 ÷  )(  ÷ x −1 x −1 + ÷  x − x + + ( ) ÷ x − − x − + 4÷   ( ) ( −2 x−9 +4 +  ÷= + = x+3+2÷ ÷ 12  ) ) ) Bài có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, đặt nhân tử chung nhân liên hợp có hai loại bậc hai bậc ba (a 1) Ta thêm bớt số hạng vào tử sau: Do x dần tới nên: x − → −2, x + → ⇒ x − + → 0, x + − → Do đó, dựa vào ta suy cách thêm bớt + – để tạo hai dạng vô định loại so với dạng vô định ban đầu 0/0 48 / lim x →−2  x−6 +2 x−6 + x+6 x+6 −2 = lim +  ÷ 2 x →−2 x2 + x −  x + x−2 x + x−2  ( )( ( ) )    x − − 23 x − + 4 x − +  ÷ x + − x + +  ÷  + = lim  ÷ 2 x →−2   3 x + x − x + + ( )  ( x + x − 2)  x − − x − + ÷ ÷        ÷ x+2 x+2 = lim  + ÷ x →−2  ( x − 1) ( x + )  x − − x − + ÷ ( x − 1) ( x + ) x + + ÷        ÷ −1 −1 1 = lim  + − = ÷= x →−2   36 12 3 x − x + + ( )  ( x − 1)  x − − x − + ÷ ÷     ( ( ( )( ( ( ) ) ) ) ( ) ) Bài có dạng x dần tới a, vô định dạng 0/0, đặt nhân tử chung nhân liên hợp có hai loại bậc hai bậc ba (a -2) Ta thêm bớt số hạng vào tử sau: Do x dần tới -2 nên: x − → −2, x + → ⇒ x − + → 0, x + − → Do đó, dựa vào ta suy cách thêm bớt + – để tạo hai dạng vô định loại so với dạng vô định ban đầu 0/0 V Dạng vô định không căn: Nhận dạng: x dần đến vô cùng, không chứa Cách giải: đặt lũy thừa bậc cao x làm nhân tử chung, đơn giản, suy kết giải thích kết số thực 1  x5 1 + + ÷ 1+ + x + 2x + x x  x x = +∞ 49 / lim = lim  = lim x x →+∞ x →+∞ x →+∞ 1 x +1   1+ x3 1 + ÷  3  lim x = +∞  x→+∞  1+ +  x x =1  xlim →+∞  1+  Bài có dạng x dần đến vô cùng, không chứa nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy kết quả, phải giải thích kết số thực 1  x2  + + ÷ 2+ + 2 x + 3x + x x x x =2 50 / lim = lim  = lim x→∞ x − x + x→∞  5  x→∞ 3− + x 3 − + ÷ x x x x   Bài có dạng x dần đến vô cùng, không chứa nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy kết 1 x (1 − )(2 + )( − 4) ( x − 2)(2 x + 1)(1 − x) x x x 51 / lim = lim x →−∞ x →−∞ (3 x + 4) x (3 + )3 x 1 (1 − )(2 + )( − 4) −8 x x x = lim = x →−∞ 27 (3 + )3 x Bài có dạng x dần đến vô cùng, không chứa nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy kết     x 1 + − ÷ 1+ − ÷  x x  x x  52 / lim  = lim  = 0.1 = x →∞   x→∞ x   x 1 − + ÷ 1 − + ÷ x x  x x    Bài có dạng x dần đến vô cùng, không chứa nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy kết VI Dạng vô định có chứa căn: Nhận dạng: x dần đến vô cùng, có chứa Cách giải: dạng phải nhân liên hợp Ta gọi axn “số hạng vô cùng” xn lũy thừa bậc cao x, axn tính cách quan tâm đến số hạng có lũy thừa cao Nếu axn =0xn: ta nhân liên hợp Nếu axn ≠ 0xn: ta không nhân liên hợp mà đặt nhân tử chung lũy thừa bậc cao x Có thể minh họa ví dụ cụ thể sau đây:   3 x + x − x  x3 + x + x x3 + x + x ÷   53 / lim ( x3 + x − x) = lim ( x →+∞ = lim x →+∞ ( ( x →+∞ x +x 3 ) x2 = lim +x x +x +x 3 = )( x3 + x = lim x →+∞ ) ) + x x3 + x + x x2    1 3 x   + ÷ + + + 1÷  ÷ x x    1  1+ ÷ + 1+ +1 x x  Bài có dạng x dần đến vô cùng, vô định, dạng phải nhân liên hợp có chứa căn, cách nhận biết nhân liên hợp sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao kết 0x ta phải nhân liên hợp Ở ta có: x + x − x ? ? x3 − x ? ? x − x ? ? x Do ta phải nhân liên hợp, đặt nhân tử, đơn giản suy kết    54 / lim x − − x − x − = lim  x − − x  − − ÷ ÷ x →−∞ x →−∞  x x ÷    x →+∞ ( )       = lim  x − − x  − − ÷÷ = lim  x − + x  − − ÷÷ x →−∞  x→−∞  x x ÷ x x ÷          = lim x  − +  − − ÷÷ = −∞ x →−∞  x x x ÷    x = −∞  xlim →−∞      lim − + − − ÷÷ =   x→−∞   x x x ÷     Bài có dạng x dần đến vô cùng, vô định, dạng phải nhân liên hợp có chứa căn, cách nhận biết nhân liên hợp sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao kết 0x ta phải nhân liên hợp Ở ta có: x −1 − x − x − ? ? x − x ? ? x − x ? ? x + x ? ? x (ta cần lưu ý x → −∞ nên x0, x = x ) Do ta phải nhân liên hợp, đặt nhân tử, đơn giản suy kết      1 56 / lim x + x − x = lim  x 1 + ÷ − x ÷ = lim  x + − x ÷ ÷ x →−∞ x →−∞ x →−∞  x x      ( )    1  = lim  − x + − x ÷ = lim x  − + − 1÷ = +∞ x →−∞ x→−∞ x x     x = −∞  xlim →−∞     − + − 1÷ = −2   xlim x  →−∞   Bài có dạng x dần đến vô cùng, vô định, dạng phải nhân liên hợp có chứa căn, cách nhận biết nhân liên hợp sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao kết 0x ta phải nhân liên hợp Ở ta có: x + x − x ? ? x − x ? ? x − x ? ? −x − x ? ? −2 x (ta cần lưu ý x → −∞ nên x0, x = x ) Do ta phải nhân liên hợp, đặt nhân tử, đơn giản suy kết x →+∞ ( 58 / lim ( x + x + x ) = lim x →−∞ = lim x2 + x + x = lim x2 + x − x ) x2 + x − x x →−∞ x )( x = lim x x →−∞  1 x 1+ − x x 1 + ÷ − x x x  x x −1 = lim = lim = lim = x →−∞ x →−∞   x→−∞ 1 −x + − x − 1+ −1 x  − + − 1÷ x x x   Bài có dạng x dần đến vô cùng, vô định, dạng phải nhân liên hợp có chứa căn, cách nhận biết nhân liên hợp sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao kết 0x ta phải nhân liên hợp Ở ta có: x + x + x ? ? x + x ? ? x + x ? ? −x + x ? ? x (ta cần lưu ý x → −∞ nên x[...]... việc sử dụng sơ đồ tư duy vào phân tích bài toán tìm giới hạn của hàm số; cách phân dạng bài toán giới hạn; cách sử dụng sơ đồ tư duy đơn giản nhất Chuyên đề này là ý kiến chủ quan cũng như kinh nghiệm của cá nhân tôi nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Việc sử dụng thuật các thuật ngữ mới có thể chưa thật hợp lý Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thày cô và các e học sinh để chuyên đề được... thống lại kiến thức đã học - Việc phân dạng và cách giải các bài toán cơ bản trở nên có hệ thống hơn, nhờ đó học sinh thấy những bài toán này trở nên đơn giản hơn - Việc ôn tập lại kiến thức giới hạn hàm số cũng trở nên dễ dàng hơn rất nhiều học sinh chỉ cần nhìn sơ đồ tư duy và xem dạng toán nằm ở nhánh nào của sơ đồ tư duy để xác định phương pháp giải thích hợp - Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm. .. tìm giới hạn của hàm số V BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Bản thân cần nghiên cứu sâu hơn cách giúp học sinh tiếp cận cách sử dụng sơ đồ tư duy trong học tập - Chuyên đề đã được áp dụng ở học sinh lớp 11 cơ bản và đã đạt được những kết quả nhất định những vẫn còn những hạn chế cần nghiên cứu và bổ sung thêm - Việc sử dụng sơ đồ tư duy là khá đơn giản mà tiết kiệm được thời gian ghi chép cũng như hệ thống kiến. .. 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên) – Nxb Giáo Dục - Năm xuất bản 2007 2 LẬP SƠ ĐỒ TƯ DUY – TONY BUZAN – Nxb Tổng hợp TP.HCM Năm xuất bản 2010 3 VÀ MỘT SỐ TÀI LIỆU TỪ INTERNET NGƯỜI THỰC HIỆN Tống Xuân Trưởng BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM... chứa căn Cách giải: đây là dạng có thể sẽ phải nhân liên hợp Ta gọi axn là số hạng vô cùng” trong đó xn là lũy thừa bậc cao nhất của x, và axn được tính bằng cách chỉ quan tâm đến những số hạng có lũy thừa cao nhất Nếu axn =0xn: ta nhân liên hợp Nếu axn ≠ 0xn: ta không nhân liên hợp mà đặt nhân tử chung lũy thừa bậc cao nhất của x Có thể minh họa như các ví dụ cụ thể sau đây: 2   3 3 x + x 2 − x... GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ và tên tác giả: Đơn vị (Tổ): Lĩnh vực: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn:  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác:  1 Tính... nhân liên hợp do có chứa căn, cách nhận biết nhân liên hợp như sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao nhất nếu kết quả là 0x thì ta sẽ phải nhân liên hợp Ở đây ta có: x − 3 3 x 2 − x 3 ? ? x − 3 − x 3 ? ? x + x ? ? 2 x Do đó ta không nhân liên hợp mà đặt nhân tử, suy ra kết quả và giải thích vì kết quả không phải là số thực 2   x + 3 3 x 2 − x 3  x 2 − x 3 3x 2 − x 3 + 3 3 x 2 − x3 ÷   63 / lim... liên hợp do có chứa căn, cách nhận biết nhân liên hợp như sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao nhất nếu kết quả là 0x thì ta sẽ phải nhân liên hợp Ở đây ta có: x + 3 3 x 2 − x 3 ? ? x + 3 − x 3 ? ? x − x ? ? 0 x Do đó ta phải nhân liên hợp, đặt nhân tử, đơn giản và suy ra kết quả và giải thích vì kết quả không phải là số thực ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) x +1 = lim 2 x + 3 x→−∞ 2 64 / lim x →−∞ 1  1  1... căn bậc ba (a là -2) Ta thêm bớt số hạng vào tử như sau: Do x dần tới -2 nên: 3 x − 6 → −2, x + 6 → 2 ⇒ 3 x − 6 + 2 → 0, x + 6 − 2 → 0 Do đó, dựa vào đây ta suy ra được cách thêm bớt + 2 – 2 để tạo ra hai dạng vô định cùng loại so với dạng vô định ban đầu là 0/0 V Dạng vô định không căn: Nhận dạng: x dần đến vô cùng, không chứa căn Cách giải: đặt lũy thừa bậc cao nhất của x làm nhân tử chung, đơn giản,... biết nhân liên hợp như sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao nhất nếu kết quả là 0x thì ta sẽ phải nhân liên hợp Ở đây ta có: 2 x −1 − 4 x 2 − 4 x − 3 ? ? 2 x − 4 x 2 ? ? 2 x − 2 x ? ? 2 x + 2 x ? ? 4 x (ta cần lưu ý rằng x → −∞ nên x ... tuyến đồ thị hàm số BM03-TMSKKN Tên sáng kiến kinh nghiệm : GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán phổ thông, tìm giới hạn hàm số ứng dụng giới hạn hàm số phần quan... tạo tư sáng tạo gợi nhớ tốt kiến thức cũ học - Giới hạn hàm số mảng kiến thức quan trọng mạch kiến thức nghiên cứu hàm số Cụ thể cung cấp kiến thức ban đầu để học sinh tiếp cận đạo hàm hàm số, đường... - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III .KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: + Mô hình hình