BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Bình PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN CHIỀU VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Bình PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN CHIỀU VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành : Hình học tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Lê Anh Vũ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Anh Vũ TS Dương Minh Thành Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy Quý Thầy giúp đỡ, tạo điều kiện cho tiếp xúc với nguồn tài liệu quý nước, giảng giải dẫn tận tình, đầy trách nhiệm cho suốt trình làm luận văn Hơn nữa, Thầy dành nhiều thời gian công sức để đọc chỉnh sửa luận văn cho Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt quý Thầy Cô tổ Hình học quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học khóa 21 trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh cung cấp kiến thức chuyên môn cần thiết cho để làm tảng cho việc hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Ban phản biện đọc cho nhiều nhận xét, đánh giá bổ ích luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ chức Hành chính, Phòng Sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ toàn thể đồng nghiệp bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ý kiến trao đổi từ bạn đồng nghiệp Seminar định kì nhóm nghiên cứu chuyên ngành Hình học - Tôpô trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Luận văn hoàn thành thiếu chia sẻ, khích lệ, động viên gia đình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến gia đình Tôi xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Bình Bảng dẫn kí hiệu    End(V ) Mat(n) gl (n) sl ( n ) o( n ) so(2n) Tập hợp số tự nhiên Trường số thực Trường số phức Không gian toán tử tuyến tính không gian vector V Tập hợp ma trận vuông cấp n trường  Đại số Lie ma trận vuông cấp n trường số phức Đại số Lie ma trận vuông cấp n có vết trường số phức Đại số Lie ma trận X vuông cấp n trường số phức thỏa mãn X t = − X Đại số Lie ma trận X vuông cấp 2n trường số phức thỏa  In  mãn X t J + JX = với J =   , I n ma trận đơn vị cấp n  In  Đại số Lie ma trận X vuông cấp 2n + trường số phức 1 0  so(2n + 1) t thỏa mãn X J + JX = với J =  0 I n  , I n ma trận đơn vị 0 I  n   cấp n Đại số Lie ma trận X vuông cấp 2n trường số phức thỏa  In  sp(2n) mãn X t J + JX = với J =   , I n ma trận đơn vị cấp n − I  n  Der( A) Đại số ánh xạ đạo hàm A Rad(g) Căn đại số Lie g Span( A) Không gian nhỏ chứa A tr( A) Vết ma trận A dim(g) Chiều không gian vector g d q (g) Chiều toàn phương đại số Lie toàn phương g Tổng trực tiếp ⊕ ⊥ Tổng trực tiếp trực giao ⊕ ∧ (g* ) dup(g) rank( A) Ker( A) Im( A) Cen(g) Không gian 3-dạng phản xứng g* Số dup đại số Lie toàn phương không giao hoán Hạng ma trận A Hạt nhân toán tử tuyến tính A Ảnh toán tử tuyến tính A Không gian centromorphism g Cen I (g) det( A) Không gian centromorphism khả nghịch g Định thức ma trận A Mở đầu Trong luận văn không gian vector chủ yếu xét trường số phức  hữu hạn chiều Nghiên cứu đại số Lie, đặc biệt nghiên cứu đại số Lie nửa đơn, lĩnh vực nghiên cứu rộng toán học có nhiều ứng dụng vật lí Một công cụ hữu hiệu sử dụng nhiều nghiên cứu đại số Lie nửa đơn dạng Killing nhờ tính chất đối xứng, bất biến không suy biến Chẳng hạn tiêu chuẩn Cartan toán phân loại đại số Lie nói g đại số Lie nửa đơn dạng Killing không suy biến g × g Do người ta đặt câu hỏi rằng, cho đại số Lie g (không thiết nửa đơn), liệu có tồn dạng song tuyến tính có tính chất đối xứng, bất biến không suy biến giống dạng Killing g hay không? Trong trường hợp tồn dạng song tuyến tính g gọi đại số Lie toàn phương Đại số Lie toàn phương nghiên cứu từ lâu gần quan tâm nghiên cứu xuất nhiều công cụ dành cho đại số Lie toàn phương [6], [14], [16], [17] người ta thấy mối liên hệ chúng với số toán vật lí (xem [13] tài liệu trích dẫn đó) Bản thân khái niệm đại số Lie toàn phương công cụ hoàn toàn tổng quát lên cho trường hợp siêu đại số Lie toàn phương (xem [5]) áp dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác (xem [2], [6] số tài liệu trích dẫn đó) Chú ý rằng, đại số Lie toàn phương xem xét trường hợp vô hạn chiều [14] Trong luận văn tiếp cận đại số Lie toàn phương theo hướng quen thuộc, nghiên cứu đại số Lie toàn phương thấp chiều Cách tiếp cận có lợi điểm chổ xem xét nhiều khái niệm phức tạp lớp đại số Lie toàn phương ví dụ cụ thể chiều thấp sau tổng quát trở lại khái niệm Một lợi điểm khác thông qua việc phân loại nghiên cứu tính chất đáng ý đại số Lie toàn phương thấp chiều, hi vọng phát nhiều lớp đặc biệt lớp đại số Lie toàn phương tìm thấy công cụ nghiên cứu Do cố gắng trình bày đầy đủ khái niệm với nhiều ví dụ, chứng minh diễn giải chi tiết tính toán mô tả cụ thể Kết phân loại đến chiều trường hợp giải được thực [18] tiến hành chứng minh lại kết cách ngắn gọn nhờ áp dụng Phân tích Witt (xem [9]) kết [17] Hơn nữa, kết kiểm chứng thông qua phương pháp mở rộng kép, phương pháp hiệu nghiên cứu đại số Lie toàn phương Trường hợp xem ví dụ cho trường hợp lại chương Đối với việc phân loại trường hợp giải chiều, công việc thực [11] công cụ mở rộng kép Trường hợp phân loại [11] công cụ mở rộng kép Hơn áp dụng phương pháp để phân loại đại số Lie toàn phương rút gọn thu kết giống [17] sử dụng ứng dụng đại số Lie phân bậc tích super-Poisson Qua cách làm chúng tôi, độc giả thấy hạn chế phương pháp sử dụng Phân tích Witt đòi hỏi phải sử dụng phương pháp phân loại tốt hơn, chẳng hạn mở rộng kép, muốn phân loại trường hợp số chiều lớn Cho đến nay, phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều toán mở Bằng cách áp dụng kết từ mở rộng kép [13] [15] kết hợp với kết phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie cổ điển o(m) [10] [11], chứng minh trường hợp bất khả phân, đại số Lie toàn phương giải chiều mở rộng kép chiều đại số giao hoán ta nhận phân loại gồm họ đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân Phân loại đến đẳng cấu đẳng cự Kiểu mở rộng kép đại số Lie giao hoán kiểu mở rộng kép phân loại hoàn toàn Các đại số Lie toàn phương thu từ kiểu mở rộng kép gọi đại số Lie toàn phương kì dị Trong luận văn trình bày thêm cách tiếp cận khác đến đại số Lie toàn phương thông qua việc nghiên cứu 3-dạng liên kết với chúng Từ phân loại 3-dạng liên kết không gian đến chiều chứng minh đại số Lie toàn phương giải không giao hoán đến chiều đại số Lie toàn phương kì dị Kết trùng với kết thu từ phương pháp mở rộng kép Một đặc trưng lí thú nghiên cứu đại số Lie toàn phương tính toán chiều toàn phương chúng, tức tính toán chiều không gian sinh dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến đại số Lie toàn phương cho trước Cho đến nay, công thức tổng quát cho chiều toàn phương đại số Lie toàn phương toán mở Người ta tính toán công thức cách xác cho chiều toàn phương lớp đại số Lie đơn, lớp đại số Lie rút gọn lớp đại số Lie toàn phương kì dị thu chặn chặn chiều toàn phương trường hợp tổng quát (xem [4], [11] số tài liệu trích dẫn đó) Trong Chương 3, trình bày cách chi tiết cách tính chiều toàn phương đại số Lie toàn phương áp dụng cho đại số Lie toàn phương thu từ phân loại Kết nhận công thức tường minh cho đại số Vì nội dung luận văn khảo sát toán phân loại đại số Lie giải đến chiều tính chiều toàn phương chúng nên luận văn có tên “Phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều chiều toàn phương” Phần nội dung luận văn chia làm chương Chương dành chủ yếu để giới thiệu định nghĩa số kết đại số Lie đại số Lie toàn phương Vì đại số Lie toàn phương đối tượng xuất tự nhiên từ việc tổng quát trường hợp đại số Lie nửa đơn với dạng Killing nên tập trung giới thiệu tính chất đặc biệt dạng Killing số kết quen thuộc liên quan đến đại số Lie nửa đơn liên quan đến việc tổng quát hóa Đối với đại số Lie toàn phương, giới thiệu kiến thức cần thiết liên quan đến việc phân loại đại số Lie toàn phương giải tính toán chiều toàn phương Chương thứ hai chủ yếu dành để khảo sát đại số Lie toàn phương tiến hành phân loại lại phân tích Witt Chương thứ ba trình bày chi tiết việc phân loại tính toán chiều toàn phương đại số Lie toàn phương đến chiều Chúng trình bày thêm cách tiếp cận đến đại số Lie toàn phương thấp chiều thông qua 3-dạng liên kết với chúng Phần cuối luận văn số kết luận kiến nghị 10 Chương Mở đầu đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho g không gian vector trường  Ta nói g đại số Lie g trang bị phép toán (gọi tích Lie) [.,.]: g × g → g ( X ,Y )  [ X ,Y ] thỏa mãn điều kiện sau: i) Phép toán [.,.] ánh xạ song tuyến tính; ii) Phép toán [.,.] phản xứng, tức [ X , X ] = với X ∈ g ; iii) [ X ,[Y , Z ]] + [Y ,[ Z , X ]] + [ Z ,[ X , Y ]] = với X , Y , Z ∈ g (đồng thức Jacobi) Số chiều đại số Lie g số chiều không gian vector g 1.1.2 Đại số Lie ideal Định nghĩa 1.2 Cho đại số Lie g Một không gian vector A g gọi đại số Lie g [ X , Y ] ∈ A với X , Y ∈ g Định nghĩa 1.3 Cho đại số Lie g Một không gian vector I g gọi ideal g [ X , Y ] ∈ I với X ∈ g, Y ∈ I Cho đại số Lie g ta kí hiệu [g, g] {[ X , Y ] | X , Y ∈ g} gọi đại số = dẫn xuất đại số Lie g ideal g Kí hiệu Z (g) = { X ∈ g|[ X , Y ] = 0, ∀Y ∈ g} ideal tâm g Định nghĩa 1.4 Cho đại số Lie g trường  Ta kí hiệu ( 2) (n) = g(1) [g, g], g= [g(1) , g(1) ],…, g= [g( n −1) , g( n −1) ] Khi đại số Lie g gọi giải tồn m ∈   {0} cho g( m ) = {0} 41 Do D( X ) ∈ g6,1 , nên D( X ) phải có dạng D( X ) = a1 X + a2 X + a3 X + a4 Z1 + a5 Z + a6 Z , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ∈  Ta có = D= (0) D([ X , X = [ X , D( X )] , suy a= a= Nên ]) D( X ) = a1 X + a4 Z1 + a5 Z + a6 Z , a1 , a4 , a5 , a6 ∈  = D( Z ) D= ([ X , X ]) [ = X , D( X )] a1Z = D( Z ) D= ([ X , X ]) [ D = ( X ), X ] a1Z Tương tự ta có D( X ) = a1 X + a5 Z1 + b5 Z + b6 Z , a1 , a5 , b5 , b6 ∈  = D( Z1 ) D= ([ X , X ]) [ D = ( X ), X ] a1Z1 D( X ) = a1 X + a6 Z1 + b6 Z + c6 Z , a1 , a6 , b6 , c6 ∈  Vì  a1 0  0 D=  a4  a5   a6 0 0 a1 0 0 0 a1 0 a5 b5 b6 a1 a6 b6 c6 a1 0  0  0 0  a1  ta nhận thấy D phụ thuộc vào a1 , a4 , a5 , a6 , b5 , b6 , c6 Do d q (g) = Một cách khác, ta nhận thấy Z (g) = Z1 ⊕ Z ⊕ Z Do dim( Z (g)) = Vì đại số Lie đại số Lie kì dị rút gọn nên áp dụng công thức Mệnh đề 1.55, ta có dim( Z (g))(1 + dim( Z (g))) 3(1 + 3) d q (g) = 1+ = 1+ = 2 b Chiều toàn phương đại số Lie toàn phương g6,2 (λ ) Để tính chiều toàn phương ta phải tìm ma trận biểu diễn centromorphism khả nghịch D : g → g g muốn ta phải tính D( X ), D( X ) , D( X ), D( Z1 ), D( Z ), D( Z ) Do D( X ) ∈ g6,2 nên D( X ) phải có dạng D( X ) = aX + bX + cX + dZ1 + eZ + fZ , a, b, c, d , e, f ∈  Ta có 42 = D= ([ X , X ]) [ X , D( X )] , suy a= b= d= e= Nên D( X= cX + fZ , c, f ∈  3) = D( Z1 ) D= ([ X , Z1 ]) [ D = ( X ), Z1 ] cZ1 D( Z ) = 1 D([ X , Z ]) = [ D( X ), Z ] cZ = λ λ = D( Z ) D= ([ Z1 , X ]) [ D = ( Z1 ), X ] cZ = D( X ) D= ([ X , X ]) [ = X , D( X )] cX = D( X ) 1 = D([ X , X ]) = [ X , D( X )] cX λ λ Vì c 0  0 D= 0 0  0 c 0 0 0 c 0 f 0 c 0 0 0 c 0  0  0 0  c ta nhận thấy D phụ thuộc vào c,f Do d q (g) = Một cách khác, ta nhận thấy Z (g) = Z Do dim( Z (g)) = Vì đại số Lie đại số Lie kì dị rút gọn nên áp dụng công thức Mệnh đề 1.55, ta có dim( Z (g))(1 + dim( Z (g))) 1(1 + 1) d q (g) = 1+ = 1+ = 2 c Chiều toàn phương đại số Lie toàn phương g6,3 Để tính chiều toàn phương ta phải tìm ma trận biểu diễn centromorphism khả nghịch D : g → g g muốn ta phải tính D( X ), D( X ) , D( X ), D( Z1 ), D( Z ), D( Z ) Do D( X ) ∈ g6,3 nên D( X ) phải có dạng D( X ) = aX + bX + cX + dZ1 + eZ + fZ , a, b, c, d , e, f ∈  Ta có 43 = D= ([ X , X ]) [ X , D( X )] , suy a= b= d= e= Nên D( X= cX + fZ , 3) c, f ∈  Tương tự = D( Z1 ) D= ([ X , Z1 ]) [ D = ( X ), Z1 ] cZ1 D = ( Z ) D([ X , Z ]= − Z1 ) D([ X , Z ]) − D = ( Z1 ) cZ D( X ) = − D([ X , X ]) = −[ D( X ), X ] = cX D= ( X ) D([ X , X ] −= X ) D([ X , X ]) − D= ( X ) cX = D( Z ) D= ([ Z , X ]) [ Z = cZ , D ( X )] Vì c 0  0 D= 0 0  0 c 0 0 0 c 0 f 0 c 0 0 0 c 0  0  0 0  c ta nhận thấy D phụ thuộc vào c,f Do d q (g) = Một cách khác, ta nhận thấy Z (g) = Z Do dim( Z (g)) = Vì đại số Lie đại số Lie kì dị rút gọn nên áp dụng công thức Mệnh đề 1.55, ta có dim( Z (g))(1 + dim( Z (g))) 1(1 + 1) d q (g) = 1+ = 1+ = 2 3.3.3 Phân loại 3-dạng không gian vector phức đại số Lie toàn phương kì dị Trong phần trình bày cách tiếp cận khác đến phân loại đại số Lie toàn phương giải thấp chiều Như thấy trên, đại số Lie toàn phương giải đến chiều kì dị Kết chứng minh thông qua việc phân loại cách cụ thể theo số chiều tăng dần Tuy nhiên, cách phân loại (đúng đên đẳng cấu) 3-dạng không gian vector V với ≤ dimV ≤ , chứng minh đại số Lie toàn phương giải đến chiều kì dị ta thu toàn 44 đại số Lie toàn phương giải đến chiều nhờ phương pháp mở rộng kép phân loại quỹ đạo không gian xạ ảnh đại số o(n) Phương pháp chủ yếu thay đổi sở không gian đối ngẫu V * Ta thấy dimV = chiều I ∈ Λ (V * ) 3-dạng V I = Do ta xét trường hợp V lớn chiều I ≠ Trường hợp dimV = Nếu I ≠ tồn sở {α1 , α , α } V * thỏa mãn I = aα1 ∧ α ∧ α , a ≠ Thay α1 α1 , ta I = α1 ∧ α ∧ α a Trường hợp dimV = Ta chứng minh 3-dạng V khả phân Gọi {α1 , α , α , α } sở V * Khi I có dạng I = aα1 ∧ α ∧ α + bα1 ∧ α ∧ α + cα1 ∧ α ∧ α + dα ∧ α ∧ α a, b, c, d ∈  Ta viết lại I = α1 ∧ α ∧ (aα + bα ) + (cα1 + dα ) ∧ α ∧ α Nếu aα + bα = cα1 + dα = I khả phân Nếu aα + bα ≠ cα1 + dα ≠ , ta giả sử a ≠ c ≠ Chuyển sở V * sau β1 cα1 + dα =  1  β2 α2 − α4 = c a  α4  β = aα + bα β = Khi d  α1 = c β1 − d β − a β  c  cβ + β = α a  b  β3 − β 4α = β4 α = a a  45 thay vào 3.1 ta I = β1 ∧ β ∧ β3 Do I khả phân Trường hợp dimV = Bổ đề 3.5 Cho V1 không gian vector phức 4-chiều J 2-dạng V1 Khi tồn sở {β1 , β , β3 , β } V1* thỏa mãn J = p β1 ∧ β + q β3 ∧ β , p, q ∈  Chứng minh Gọi {β1 , β , β3 , β } sở V1* , J có dạng: J = β1 ∧ (a β + bβ3 + cβ ) + β ∧ (d β3 + eβ ) + f β3 ∧ β , a, b, c, d , e, f ∈  a) Nếu aβ + bβ3 + cβ = d β3 + eβ = ta có kết b) Nếu aβ + bβ3 + cβ = d β3 + eβ ≠ ta giả sử d ≠ Khi thay β3′ = c f ′ β − β , ta nhận kết β , β= d d c) Nếu aβ + bβ3 + cβ ≠ d β3 + eβ = ta giả sử a ≠ a = lại quay phần b) Ta thay β 2′ =β + b c β3 + β ta thu kết a a e d ′ β3 + β ta c) d) Nếu f = , ta giả sử d ≠ Sau thay β= e) Nếu aβ + bβ3 + cβ ≠ d β3 + eβ ≠ , ta giả sử d ≠ Sau e d ′ β3 + β ta d) Tóm lại J có dạng thay β= J = p β1 ∧ β + q β3 ∧ β , p, q ∈  Trên V * chọn sở {α1 , α , α , α , α } thỏa mãn 3-dạng I có dạng I = α1 ∧ Ω + aα ∧ α ∧ α + bα ∧ α ∧ α + cα ∧ α ∧ α + dα ∧ α ∧ α , = Ω pα ∧ α + qα ∧ α a, b, c, d , p, q ∈  □ 46 Bổ đề 3.6 Mọi 3-dạng I có dạng I= α1 ∧ Ω + I1 , I1 = I1 khả phân Hơn I dạng sau a) I= α1 ∧ Ω b) I= α1 ∧ Ω + α ∧ α ∧ (aα + bα ), a ≠ c) I= α1 ∧ Ω + (cα + dα ) ∧ α ∧ α , c ≠ d) I= α1 ∧ Ω + α ∧ (aα − cα ) ∧ α , a, c ≠ Chứng minh Trước hết ta viết lại I= α1 ∧ Ω + α ∧ α ∧ (aα + bα ) + (cα + dα ) ∧ α ∧ α Nếu aα + bα = cα + dα = I có dạng a), b) c) Nếu aα + bα ≠ cα + dα ≠ d c b a ta giả sử a ≠ c ≠ Sau thay α 2′ = α + α , α 4′ = α + α5 Khi ta có I= α1 ∧ Ω + aα 2′ ∧ α ∧ α 4′ + cα 2′ ∧ α 4′ ∧ α Nghĩa I có dạng d) Mệnh đề 3.7 Nếu I 3-dạng bất khả phân V tồn sở {α1 , α , α , α , α } V * thỏa mãn I có dạng I = α1 ∧ (aα ∧ α + bα ∧ α ) Chứng minh Theo Bổ đề 3.5 ta chọn {α1 , α , α , α , α } sở V * thỏa mãn I có dạng I = α1 ∧ Ω = aα ∧ α ∧ α + bα ∧ α ∧ α + cα ∧ α ∧ α + dα ∧ α ∧ α , = Ω pα ∧ α + qα ∧ α với a, b, c, d , p, q ∈  Theo Bổ đề 3.6 I dạng Ta chứng minh dạng b), c), d), sau loại bỏ phần khả phân ta đưa dạng a) Thật vậy, dạng b) c) tương đương nên ta xét dạng b) Ta viết lại sau I = α1 ∧ ( pα ∧ α + qα ∧ α ) + α ∧ α ∧ (aα + bα ) = α ∧ α ∧ ( pα1 + aα + bα ) + qα1 ∧ α ∧ α 47 Thay α 4′= p b α1 + α + α , ta a a I = α 4′ ∧ (aα ∧ α − qα1 ∧ α ) Từ d) ta viết lại I = α ∧ α ∧ ( pα1 + aα ) + (qα1 + cα ) ∧ α ∧ α Nếu p= q= I= α ∧ α ∧ (−aα + cα ) khả phân a p ′ α1 + α Nếu p ≠ , ta thay α= I = pα ∧ α ∧ α1′ + (qα1′ + cα ) ∧ α ∧ α = α 2′ q α1′ + α c I = α 2′ ∧ ( pα ∧ α1′ + cα ∧ α ) □ Hệ 3.8 Cho V không gian vector, V * không gian đối ngẫu I 3-dạng V Ta định nghĩa VI = {α ∈ V * | α ∧ I = 0} dup(V ) = dim(VI ) dup(V ) ≠ ≤ dim(V ) ≤ Chứng minh Nếu I = VI = V * Nếu I 3-dạng khả phân dup(V ) = Giả sử I bất khả phân Do dim(V ) ≤ có trường hợp dim(V ) = Trong trường hợp theo Mệnh đề 3.8 với a, b ≠ dup(V ) = Hệ 3.9 Cho g đại số Lie toàn phương không giao hoán thỏa mãn dim[g, g] ≤ Khi g kì dị Chứng minh Ta có I ∈ Λ (WI ) WI = φ ([g, g]) (Hệ 1.28) Do dim[g, g] ≤ nên dup(g) ≠ g đại số Lie kì dị Hệ 3.10 Cho g đại số Lie toàn phương giải không giao hoán thỏa mãn dim(g) ≤ Khi g kì dị Chứng minh Từ g giải nên [g, g] ≠ g dim[g, g] ≤ Áp dụng Hệ 3.9 ta có điều cần chứng minh 48 Kết luận Trong luận văn trình bày số kết đại số Lie toàn phương thấp chiều đặc trưng chiều toàn phương chúng Chúng tiếp cận vấn đề qua hai phương pháp nghiên cứu đại số Lie toàn phương: Mở rộng kép 3-dạng liên kết Chú ý cách tiếp cận khác theo phương pháp Mở rộng T * tài liệu [6] phân loại chiều thấp với nhiều tiêu chuẩn khác thực hiện, ví dụ nhóm tác giả G Favre (cho trường hợp lũy linh đến chiều) hay nhóm tác giả S Benayadi (cho trường hợp đại số Lie toàn phương symplectic đến chiều) Đây vấn đề lý thú nghiên cứu đại số Lie toàn phương Một câu hỏi đặt với số chiều lớn hơn, chiều lớp đại số Lie toàn phương giải không kì dị ( dup(g) = ) gì? Có tính chất hay bất biến không? Có lẽ công việc phân loại đại số Lie toàn phương giải không kì dị chiều sau với số chiều lớn Từ hi vọng tìm thấy lớp đủ lớn đại số Lie toàn phương giải không kì dị để khảo sát tính chất bất biến cho lớp Như ta biết Mở rộng kép đại số Lie toàn phương giao hoán đạo hàm phản xứng cho ta đại số Lie toàn phương giải kì dị Do để tìm đại số Lie toàn phương giải không kì dị chiều ta xét mở rộng kép đại số Lie toàn phương chiều ( g = Span {Z1 , Z , T , X , X } ) đạo hàm phản xứng sau loại đạo hàm sau a b  c −a  D = 0  0  0 (a, b, c) ≠ (0, 0, 0), a, b, c ∈  0 0 0  0 0  − a −c  −b a  49 Kết ta đại số Lie toàn phương giải được, không giao hoán g ⊕ X ⊕ Z Tích Lie định nghĩa [ X , Z1 ]= aZ1 + cZ [ X , Z ]= bZ1 − aZ [ X , X1 ] = −aX − bX [ X3, X ] = −cX + aX [ Z1 , X ] = aZ [ Z1 , X ] = cZ [Z2 , X1 ] [Z2 , X ] = bZ = −aZ [T , X ] = Z2 [T , X ] = − Z1 [ X1, X ] = T Khi 3-dạng liên kết I = X 1* ∧ X 2* ∧ T * + (aX 1* + cX 2* ) ∧ X 3* ∧ Z1* + (bX 1* − aX 2* ) ∧ X 3* ∧ Z 2* , (a, b, c) ≠ (0, 0, 0), a, b, c ∈  Từ ta đại số Lie toàn phương giải không kì dị gồm Nếu a= 1, b= c= I = X 1* ∧ X 2* ∧ T * + X 1* ∧ X 3* ∧ Z1* − X 2* ∧ X 3* ∧ Z 2* Nên dup(g) = , đại số Lie không kì dị Nếu a ≠ 0, b =1, c =0 I = X 1* ∧ X 2* ∧ T * + aX 1* ∧ X 3* ∧ Z1* + ( X 1* − aX 2* ) ∧ X 3* ∧ Z 2* Nên dup(g) = , đại số Lie không kì dị Nếu = a 0,= b 1, c ≠ I = X 1* ∧ X 2* ∧ T * + cX 2* ∧ X 3* ∧ Z1* + X 1* ∧ X 3* ∧ Z 2* Nên dup(g) = , đại số Lie không kì dị Nếu = a 1,= b 0, c ≠ I = X 1* ∧ X 2* ∧ T * + ( X 1* + cX 2* ) ∧ X 3* ∧ Z1* − X 2* ∧ X 3* ∧ Z 2* Nên dup(g) = , đại số Lie không kì dị Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 50 I = X 1* ∧ X 2* ∧ T * + (aX 1* + cX 2* ) ∧ X 3* ∧ Z1* + (bX 1* − aX 2* ) ∧ X 3* ∧ Z 2* Nên dup(g) = , đại số Lie không kì dị Công việc lại tìm xem đại số Lie toàn phương không kì dị có đẳng cấu đẳng cự với không? Khi toán phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều không kì dị kết thúc Chúng hy vọng thời gian tới giải triệt để điều số chiều lớn hơn, tìm bất biến, tính chất đặc trưng cho lớp đại số Lie toàn phương giải không kì dị 51 Mục lục Lời cảm ơn Bảng dẫn kí hiệu Mở đầu Chương Mở đầu đại số Lie đại số Lie toàn phương 10 1.1 Đại số Lie 10 1.1.1 Định nghĩa 10 1.1.2 Đại số Lie ideal 10 1.1.3 Dạng Killing 11 1.2 Đại số Lie toàn phương 14 1.2.1 Định nghĩa 14 1.2.2 Các ví dụ đại số Lie toàn phương 14 1.2.3 Một số kết đại số Lie toàn phương 14 1.2.4 3-dạng đại số Lie toàn phương 18 1.2.5 Mở rộng kép đại số Lie toàn phương 19 1.2.6 Chiều toàn phương 25 Chương Đại số Lie toàn phương 30 Chương 34 Phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều chiều toàn phương 34 3.1 Phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều chiều toàn phương 34 3.1.1 Phân loại nhờ Phân tích Witt 34 3.1.2 Tính chiều toàn phương 35 3.2 Phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều chiều toàn phương 36 3.2.1 Phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều 36 3.2.2 Tính chiều toàn phương 38 3.3 Phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều chiều toàn phương 39 52 3.3.1 Phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều 39 3.3.2 Tính chiều toàn phương 40 3.3.3 Phân loại 3-dạng không gian vector phức đại số Lie toàn phương kì dị 43 Kết luận 48 Mục lục 51 Tài liệu tham khảo 53 Chỉ mục 55 53 Tài liệu tham khảo [1] Karin Erdmann and Mark J Wildon, Introduction to Lie Algebras, Springer, 2006 [2] I Ayadi and S.Benayadi, Symmetric Novikov superalgebras, J.Math Phys, 51 (2) (2010), 023501 [3] D Arnal, M Cahen and J Ludwig, Lie groups whose coadjoint orbits are of dimension smaller or equal to two, Lett Math Phys, 33, no (1995), 183-186 [4] S Benayadi, Socle and some invariants of quadratic Lie superalgebras, J of Algebra 261 (2003) 245-291 [5] H Benamor and S Benayadi, Double extension of quadratic Lie superalgebras, Comm Algebra 27 (1999) 67-88 [6] M Bordemann, Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras, Acta Math Uni Comenianac, Vol LXVI, 2(1997), 151-201 [7] N Bourbaki, Éléments de Mathématiques Algèbre, Algèbre Multilinèaire, Vol Fasc VII, Livre II, Hermann, Paris, 1958 [8] N Bourbaki, Éléments de Mathématiques Algèbre, Formes sesquilinéaires et formes quadratiques, Fasc XXIV, Livre II, Hermann, Paris (1959), 211 pages [9] N Bourbaki, Éléments de Mathématicques Algèbre, Formes sesquilinéaires et formes quadratiques, Fasc XXIV, Livre II, Hermann, Paris (1959), 211 pages [10] D H Collingwood and W M McGovern, Nilpotent Orbits in Semisimple Lie Algebras, Van Nostrand Reihnhold Mathematics Series, New York (1993), 186 pages [11] M.T Duong, G Pinczon and R Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie algebras, J Alg Rep Theory, online first 2011, DOI: 10.1007/s10468-011- 9284-4 54 [12] G Favre and L J Santharoubane, Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a Lie algebra, J Algebra 105 (1987), 451- 464 [13] J.M Figueroa-O’Farrill, S Stanciu, On the structure of symmetric self-dual Lie algebras, J Math Phys 37 (8) (1996) [14] V Kac, Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, 1985 [15] A Medina, Groupes de Lie munis de métriques bi- invariantes, Tôhoku Math Journ 37(1985), 405 – 421 [16] A Medina and P Revoy, Algèbres de Lie et produit scalaire invariant, Ann Sci Éc Norm Sup., 4ème sér t.18 (1985) 553-561 [17] G Pinczon and R Ushirobira, New Applications of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras, and Cohomology, J of Lie Theory, 17 (2007), 633-667 [18] F Zhu and Z Chen, Novikov algebras with associative bilinear forms, J Physics A: Math Theor 40 (2007) 14243-14251 55 Chỉ mục [...]... một đại số Lie toàn phương bằng việc nghiên cứu các đại số Lie toàn phương bất khả phân Theo Mệnh đề 1.30 một đại số Lie toàn phương kì dị là bất khả phân khi và chỉ khi nó rút gọn Theo Mệnh đề 1.37 và Mệnh đề 1.44 thì mọi đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều đều kì dị Vì vậy trong phần sau chúng ta chỉ xét các đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân đến 6 chiều, do đó chúng kì dị và rút... α Z1 và 3 có thể chọn α = 1 Khi đó − ad P ( Il ) = −∑ι X ( X 1* ∧ X 2* ∧ X 3* )( X , Y ) Z i , với mọi i =1 i X , Y ∈l Từ đó ta tính được = [ X 1 , X 2 ] Z= Z1 và [ X 3 , X 1 ] = Z 2 , các trường hợp 3 ,[ X 2 , X 3 ] còn lại bằng 0 □ 34 Chương 3 Phân loại đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều và chiều toàn phương 3.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 4 chiều và chiều toàn phương. .. trên g được xác định B= ( X , T ) B= (Y , Z ) B= (e, f ) 1 , các trường hợp còn lại bằng 0 Với kết quả này ta thu được đại số Lie toàn phương cơ bản 6 chiều 25 1.2 .6 Chiều toàn phương Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một đặc trưng của đại số Lie toàn phương đó là chiều toàn phương, chiều toàn phương của một đại số Lie toàn phương g được kí hiệu là d q (g) Đó là số chiều của  (g) không gian các. .. d) g là một đại số Lie toàn phương kì dị loại 3 nếu dup(g) = 3 Mệnh đề 1.30 Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị Khi đó g là rút gọn nếu và chỉ nếu g là bất khả phân Các đại số Lie toàn phương kì dị có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm mở rộng kép (sẽ được định nghĩa trong phần tiếp theo) thông qua định lí sau Định lí 1.31 a) Mọi đại số Lie toàn phương kì dị loại S1 là giải được và là một mở... k − 2 của đại số ∧(g* ) Bằng cách áp dụng tính chất của tích super-Poisson được định nghĩa trên đại số các dạng đa tuyến tính phản xứng trên một đại số Lie toàn phương, G Pinczon và R Ushirobira đã phân loại hoàn toàn các đại số Lie toàn phương cơ bản trong [17] Mệnh đề 2.4 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương cơ bản không giao hoán Khi đó g là tổng trực tiếp trực giao của các ideal z và l , ở... Lie toàn phương không giao hoán và I là 3-dạng liên kết với g Khi đó a) dup(I ) ∈ {0,1,3} và dim([g, g]) ≥ 3 b) I khả phân nếu và chỉ nếu dim([g, g]) = 3 Định nghĩa 1.29 Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán a) g được gọi là đại số Lie toàn phương thông thường nếu dup(g) = 0 b) g được gọi là đại số Lie toàn phương kì dị nếu dup(g) ≥ 1 c) g là một đại số Lie toàn phương kì dị loại. .. = 2 2 2 3.2 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều và chiều toàn phương 3.2.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều Giả sử (g, B) là một đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều bất khả phân Hiển nhiên g phải là một đại số Lie toàn phương rút gọn Khi đó chỉ có 2 trường hợp: dim( Z (g)) = 1 và dim( Z (g)) = 2 Ta sẽ lần lượt xét hai trường hợp này như sau: (i) Nếu dim(... mở rộng kép bởi một đại số Lie nhiều chiều có thể tìm thấy trong [ 16] Tuy nhiên mở rộng kép một chiều là đủ để nghiên cứu trong trường hợp giải được bởi kết quả như sau (xem [12], [14] hoặc [ 16] ) Mệnh đề 1.35 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương giải được không giao hoán n chiều Khi đó g là mở rộng kép một chiều của một đại số Lie toàn phương giải được n − 2 chiều Chú ý 1. 36 Một trường hợp đặc... ]), ∀X , Y , Z ∈ g Một đại số Lie g trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương Đại số Lie toàn phương thường được kí hiệu là (g, B) 1.2.2 Các ví dụ về đại số Lie toàn phương Ví dụ 1.17 Trong 3 với tích Lie là tích có hướng, dạng toàn phương là tích vô hướng Ví dụ 1.18 Cho g = Span{ X , Y } trong đó tích Lie cho bởi [ X , Y ]... đó để tính chiều toàn phương d q (g) của một đại số Lie toàn phương g ta mô tả những centromorphism khả nghịch của g , sau đó tính chiều của không gian sinh bởi các centromorphism khả nghịch đó Hay nói cách khác d q (g) = dim(Cen(g)) Phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất liên quan đến Cen(g) và công thức tính chiều toàn phương liên quan đến đại số Lie toàn phương rút gọn và kì dị Mệnh ... Chương Phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều chiều toàn phương 3.1 Phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều chiều toàn phương 3.1.1 Phân loại nhờ Phân tích Witt Sau nhắc lại kết phân loại. .. 1+ = 2 3.2 Phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều chiều toàn phương 3.2.1 Phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều Giả sử (g, B) đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân Hiển nhiên... 2 3.3 Phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều chiều toàn phương 3.3.1 Phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều Cho (g, B) đại số Lie toàn phương không giao hoán giải bất khả phân dimg