BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thu Hà NHÓM CON C – CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU CỦA NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thu Hà NHÓM CON C – CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU CỦA NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tổ môn Đại số Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (ĐHQG TPHCM) trực tiếp giảng dạy trang bị cho đầy đủ kiến thức cần thiết làm tảng trình viết luận văn Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân giúp đỡ vật chất tinh thần để hoàn thành luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm .6 1.2 Định lý Sylow .7 1.3 Nhóm giải 11 1.4 Nhóm lũy linh 12 1.5 Nhóm Frattini nhóm Fitting 14 1.6 π–Nhóm Hall p- nhóm lũy linh .16 1.7 Nhóm siêu giải 20 CHƯƠNG 2: NHÓM CON C – CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU CỦA NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM HỮU HẠN 22 2.1 Nhóm c – chuẩn tắc 22 2.2 Các bổ đề 24 2.3 Kết .33 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 BẢNG KÍ HIỆU H ≤ G, H < G H nhóm con, nhóm thật G H G H nhóm chuẩn tắc G H < ⋅G H nhóm tối đại G xy y −1 xy [ x, y ] x −1 y −1 xy CG ( H ), N G ( H ) Tâm hóa tử, chuẩn hóa tử H G Hg g −1Hg HG Phần chuẩn tắc (core) H G Aut (G ) Nhóm tự đẳng cấu nhóm G G ' = [G, G ] Nhóm dẫn xuất nhóm G Z (G ) Tâm nhóm G F (G ) Nhóm Fitting nhóm G Φ (G ) Nhóm Fratini nhóm G LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm hữu hạn có vai trò đặc biệt quan trọng lý thuyết nhóm nói riêng đại số nói chung Việc tìm mối quan hệ tính chất nhóm tối đại nhóm tối tiểu nhóm với tính chất cấu trúc nhóm hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học thực nhóm hữu hạn Năm 1970, Buckley chứng minh nhóm hữu hạn có cấp lẻ nhóm siêu giải nhóm tối tiểu chuẩn tắc Năm 1980, Srinivasan nhóm hữu hạn siêu giải nhóm tối đại nhóm Sylow chuẩn tắc Đến năm 1996, Wang giới thiệu khái niệm nhóm c – chuẩn tắc nhóm hữu hạn Theo định nghĩa mà ông đưa rõ ràng nhóm chuẩn tắc nhóm hữu hạn nhóm c – chuẩn tắc nhóm điều ngược lại chưa Do câu hỏi tự nhiên đặt tính chất với nhóm thỏa mãn điều kiện liên quan đến nhóm chuẩn tắc nhóm ta thay chúng với nhóm c – chuẩn tắc? Ông ứng dụng khái niệm vào việc nghiên cứu nhóm hữu hạn cách thay điều kiện chuẩn tắc điều kiện yếu c – chuẩn tắc Từ nhà toán học thu nhiều kết sâu sắc thú vị mở rộng kết biết trước Trong phạm vi đề tài này, xét đến nhóm hữu hạn Chúng trình bày số điều kiện liên quan đến nhóm c – chuẩn tắc nhóm hữu hạn G để G nằm họ bão hòa chứa lớp nhóm siêu giải từ xem xét vài tiêu chuẩn để nhóm hữu hạn siêu giải có bảo toàn thay điều kiện cho nhóm chuẩn tắc chúng điều kiện với lớp nhóm hẹp hơn, nhóm c – chuẩn tắc Nội dung luận văn dựa báo [10] Luận văn chia làm chương sau: Chương I Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm tính chất bản, chứng minh số định lý bổ đề dùng luận văn Chương II Nhóm c – chuẩn tắc tối đại tối tiểu nhóm Sylow nhóm hữu hạn Đây chương luận văn, chương gồm phần sau: Phần 1: Nêu khái niệm nhóm c – chuẩn tắc số tính chất nhóm c – chuẩn tắc Phần 2: Đưa bổ đề thể mối quan hệ nhóm c – chuẩn tắc, nhóm chuẩn tắc, nhóm lũy linh, nhóm giải được, nhóm siêu giải …, tính chất cần thiết để sử dụng trình chứng minh kết phần Phần 3: Chứng minh, làm rõ định lý luận văn Qua nêu lên số tiêu chuẩn để nhóm hữu hạn nhóm siêu giải dựa điều kiện có liên quan đến nhóm c – chuẩn tắc chúng Dù cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót Kính mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm, H nhóm G Khi đó: NG ( H ) = H } gọi chuẩn hóa tử H G {g ∈ G : H g = CG ( H ) = Z (G ) = {g ∈ G : h {g ∈ G : g x g = h, ∀h ∈ H } gọi tâm hóa tử H G = g , ∀x ∈ G} gọi tâm G 1.1.2 Định nghĩa phần chuẩn tắc Cho G nhóm X tập khác rỗng G Phần chuẩn tắc (hay core hay normal interior) X G hợp tất nhóm chuẩn tắc G chứa X , kí hiệu X G hay coreG ( X ) Nếu nhóm ta quy ước X G = Nhận xét Cho H nhóm nhóm G Khi H G nhóm chuẩn tắc lớn G chứa H H G =  g∈G g −1Hg 1.1.3 Mệnh đề (Luật Modular Dedekind) [6, 1.3.14] Cho H , K , L nhóm G K ⊆ L Khi HK ∩ L = ( H ∩ L) K 1.1.4 Định nghĩa nhóm chuẩn tắc tối đại tối tiểu Cho G nhóm H  G H gọi nhóm chuẩn tắc tối đại G H < G không tồn N  G cho H < N < G H gọi nhóm chuẩn tắc tối tiểu G H < G không tồn K  G cho < K < H 1.1.5 Định nghĩa nhóm đặc trưng Cho G nhóm H ≤ G H gọi nhóm đặc trưng G , kí hiệu H char G , với f ∈ Aut ( G ) ta có f ( H ) = H 1.1.6 Tính chất nhóm đặc trưng [1, Mệnh đề 8.2] i) Nếu H char G H  G ii) Nếu H char K , K char G H char G iii) Nếu H char K , K  G H  G 1.1.7 Định nghĩa nhóm chuẩn tắc Một nhóm H G gọi nhóm chuẩn tắc G tồn dãy H  H1  H   H n = G 1.1.8 Định nghĩa Nhóm G gọi thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc hóa nhóm thực G thực chứa chuẩn hóa tử nó, nghĩa H < N G ( H ) với H < G 1.1.9 Định nghĩa PN – nhóm Một nhóm G gọi PN − nhóm nhóm tối tiểu, nghĩa nhóm có cấp nguyên tố, chuẩn tắc G 1.1.10 Định nghĩa Nếu cấp phần tử nhóm G hữu hạn bị chặn G gọi có số mũ hữu hạn Khi đó, số mũ G bội chung nhỏ cấp tất phần tử G Kí hiệu: exp ( G ) 1.1.11 Định nghĩa Một nhân tử nhóm G nhóm thương H K với H , K  G H K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G K 1.2 Định lý Sylow 1.2.1 Định nghĩa tác động nhóm lên tập hợp Cho ( G ,.) nhóm, X tập hợp khác rỗng Tác động trái nhóm G lên tập X ánh xạ *: G × X → X ( g, x)  g * x thỏa mãn hai điều kiện: i) 1* x = x, ∀x ∈ X ii) ∀g1 , g ∈ G, ∀x ∈ X , ta có ( g1.g ) * x = g1 * ( g * x ) Khi với x ∈ X , Gx = x} nhóm G , gọi nhóm {g ∈ G : g * x = ổn định x G Tập G ( x) = { g * x ∈ X : g ∈ G} gọi quỹ đạo x X 1.2.2 Mệnh đề i) Hai quỹ đạo rời ii) X = = G ( x )  G ( x ) (hợp rời)  i x∈X i∈I iii) Nếu X tập hữu hạn = X G ( x ) ∑ G : G ∑= i i∈I i∈I xi  iv) Nếu G nhóm hữu hạn G Z ( G ) + ∑ G : Gxi  = i∈I 1.2.3 Định nghĩa Cho G nhóm p số nguyên tố Khi đó: i) G gọi p − nhóm phần tử G có cấp lũy thừa p ii) Nhóm H G gọi p − nhóm G H p − nhóm iii) Nhóm H G gọi p − nhóm Sylow G H phần tử tối đại tập p − nhóm G theo quan hệ bao hàm Nhận xét Một nhóm G hữu hạn p − nhóm cấp G lũy thừa p 1.2.4 Định lý Sylow [6, 1.6.16] n = m, ( m, p ) Khi đó: với G p= Cho p số nguyên tố G nhóm hữu hạn i) Với ≤ k ≤ n , tồn G p − nhóm cấp p k Nói riêng, tồn G p − nhóm Sylow G ii) Mọi p − nhóm H G nằm p − nhóm Sylow G iii) Tất p − nhóm Sylow G liên hợp với iv) Số p − nhóm Sylow G ước m đồng dư với 1(mod p ) 1.2.5 Định lý Cauchy [1, Định lý 6.2] Nếu G nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho số nguyên tố p G chứa phần tử cấp p 1.2.6 Mệnh đề i) Nếu G p − nhóm hữu hạn G ≠ Z (G ) ≠ ii) Nếu G p − nhóm hữu hạn H nhóm chuẩn tắc không tầm thường G H ∩ Z (G ) ≠ { } ii) Ω k ( G ) =x ∈ G x p = k iii) ≤ Ω1 ( G ) ≤ Ω ( G ) ≤ ≤ Ωe ( G ) =G dãy tâm lớp G ≤ e iv) ( xy ) p e −1 e −1 = xp yp e −1 với x, y thuộc G Chứng minh Cho A Ω1 ( G ) nhóm G Ω1 ( G ) , tối đại chuẩn tắc abel có số mũ p Do A Ω1 ( G ) abel nên A′ Ω1 ( G )= [ A, A] Ω1 ( G )= suy A′ ≤ Ω1 ( G ) , mà G PN - nhóm nên theo mệnh đề 1.2.11 Ω1 ( G ) ≤ Z ( G ) Khi A′ ≤ Ω1 ( G ) ≤ Z ( G ) nên A có lớp (vì A có dãy tâm ≤ A′ ≤ A ) Cho x ∈ A, g ∈ G , A Ω1 ( G )  G Ω1 ( G ) nên g x g −1 x −1 ∈ A Ω1 ( G ) suy g x g −1 x −1 = b với b ∈ A x g = xbm với m ∈ Ω1 ( G ) Khi đó= xp x ) (= x ) ( xbm = m ) ( xb )= ( xb ) (= p g g p p p p p Nhưng A có lớp p exp ( A′ ) = p p số nguyên tố lẻ nên theo mệnh đề 1.4.7 ta có ( xb ) = x pb p Vì ta có x p = x p b p suy b p = b ∈ Ω1 ( G ) Do A Ω1 ( G ) nằm tâm G Ω1 ( G ) Theo định lý 1.2.12 ta có CG Ω1 (G ) ( A Ω1 ( G ) ) PN -nhóm, A Ω1 ( G ) nằm tâm G Ω1 ( G ) nên CG Ω1 (G ) ( A Ω1 ( G ) ) = G Ω1 ( G ) Do G Ω1 ( G ) PN -nhóm Rõ ràng exp ( G Ω1 ( G ) ) = p e−1 với x ∈ G Ω1 ( G ) x p = nên x p ∈ Ω1 ( G ) suy e −1 e xp e −1 = Bằng lập luận quy nạp ta có i, ii, iii i) Giả sử có G Ω k ( G ) PN-nhóm có số mũ p e− k Ta chứng minh G Ω k +1 ( G ) PN-nhóm có số mũ p e −( k +1) Ta có G Ω k +1 ( G ) ≅ tương tự chứng minh cho A G Ωk ( G ) Ω k +1 ( G ) Ω k ( G ) Ω k +1 ( G ) Ω k ( G ) Ω k +1 ( G ) Ω k ( G ) x g = xbm 31 nên A có Thực nhóm tối đại chuẩn tắc abel có số mũ A′ ≤ Ω k +1 ( G ) Ω k ( G ) ≤ Ω1 ( G Ω k ( G ) ) ≤ Z ( G Ω k ( G ) ) x ∈ A, g ∈ G Ω k ( G ) G Ωk ( G ) p Khi lớp Cho b ∈ A, m ∈ Ω k +1 ( G ) Ω k ( G ) Khi xp = x ) (= x ) ( xb ) (= p g p g p Nhưng A có lớp exp ( A′ ) = p p số nguyên tố lẻ, ( xb ) = x p b p Vì ta có x p = x pb p suy b p = b ∈ Ω1 ( G Ω k ( G ) ) Do p A nằm tâm Ω k +1 ( G ) Ω k ( G ) G Ωk ( G ) theo định lý 1.2.12 ta Ω k +1 ( G ) Ω k ( G ) e − k +1 có G Ω k +1 ( G ) PN-nhóm Rõ ràng exp ( G Ω k +1 ( G ) ) = p ( ) { ii) Đặt } A =∈ x G xp = Do k G hữu hạn nên A hữu hạn, A = xi ∀xi ∈ A =Ω k ( G ) iii) Do Ω k +1 ( G ) Ω k ( G ) ≤ Ω1 ( G Ω k ( G ) ) ≤ Z ( G Ω k ( G ) ) nên G có dãy tâm ≤ Ω1 ( G ) ≤ Ω (G ) ≤ Ωe ( G ) =G lớp G ≤ e Ta chứng minh iv) trường hợp e = Khi ( xy ) = x p y p G có lớp p exp ( G′ ) = p p số lẻ Trường hợp e > , áp dụng giả thiết quy nạp cho G Ω1 ( G ) , ta có G Ω1 ( G ) PN-nhóm exp ( G Ω1 ( G ) ) = p e−1 nên p e −1 = ( xy ) ( pe − ) (x p = ( xy ) pe − e−2 yp c ) p ( xy ) pe − e−2 e−2 = x p y p c ∈ Ω1 ( G ) Mặt khác nhóm tối tiểu Ω ( G ) nhóm tối tiểu G nên chúng chuẩn tắc G chuẩn tắc Ω ( G ) nên Ω ( G ) PN -nhóm Áp dụng giả thiết quy nạp cho Ω ( G ) ta ( e−2 e−2 thu x p y p c ) p = x p y p Vậy ( xy ) e −1 e −1 p e −1 e −1 e −1 = x p y p  2.2.7 Bổ đề Cho G nhóm, K ≤ Z ( G ) Khi F ( G K ) = F ( G ) K Chứng minh Đặt F K = F ( G K ) Ta F = F ( G ) Vì F K lũy linh K ≤ Z ( F ) nên theo mệnh đề 1.4.8 ta có F lũy linh Mà F K = F ( G K )  G K nên F  G Do F ≤ F ( G ) Mặt khác, Z ( G ) ≤ F ( G ) (do Z ( G ) lũy linh có dãy tâm ≤ Z ( G ) Z ( G )  G ) K ≤ Z ( G ) nên K ≤ F ( G ) Mà F ( G ) lũy linh chuẩn tắc G nên 32 F ( G ) K lũy linh chuẩn tắc G K Do F ( G ) K ≤ F ( G K ) = F K Suy F ( G ) ≤ F Vậy F = F ( G ) nên F ( G K ) = F ( G ) K  2.3 Kết Trước tiên nghiên cứu ảnh hưởng nhóm c – chuẩn tắc tối đại nhóm Sylow nhóm hữu hạn Ta có định lý quan trọng luận văn sau 2.3.1 Định lý Cho F họ bão hòa chứa lớp nhóm siêu giải U Giả sử G nhóm với nhóm chuẩn tắc giải H cho G H ∈ F Nếu tất nhóm tối đại tất nhóm Sylow F ( H ) c-chuẩn tắc G G ∈ F Chứng minh Giả sử kết định lý sai G phản ví dụ nhóm có cấp tối tiểu Lấy P p-nhóm Sylow F ( H ) Khi H hữu hạn nên F ( H ) nhóm lũy linh, P p-nhóm Sylow F ( H ) nên P p-nhóm Sylow F ( H ) Với tự đẳng cấu f : H → H ta có f ( P ) p-nhóm Sylow F ( H ) , f ( P ) = P hay P char H , mà H  G nên P  G Ta có: (1) P ∩ Φ (G ) =1 Giả sử ≠ P ∩ Φ (G ) = R  G Chúng ta G R thỏa mãn giả thiết định lý Rõ ràng, ( G R ) ( H R ) ≅ G H ∈ F Theo bổ đề 2.2.3, F ( H R ) = F ( H ) R Thật vậy, ta có F ( H ) nhóm chuẩn tắc lũy linh H , suy F ( H ) R nhóm chuẩn tắc lũy linh H R , suy F ( H ) R ≤ F ( H R ) Ngược lại, lấy N R nhóm lũy linh chuẩn tắc H R Khi theo bổ đề 2.2.3 NR lũy linh (vì R ≤ NR , R ≤ Φ (G ) ), NR chuẩn tắc H NR ≤ F ( H ) Suy = N R NR R ≤ F ( H ) R Mà F ( H R ) sinh tất nhóm nên F ( H R ) ≤ F ( H ) R Lấy P1 R nhóm tối đại P R Khi P1 nhóm tối đại P Theo giả thiết, P1 c-chuẩn tắc G , nên theo bổ đề 2.1.2, P1 R c-chuẩn tắc G R Lấy Q R nhóm tối đại q-nhóm Sylow F ( H ) R , q ≠ p Khi 33 Q = Q1R với Q1 nhóm tối đại q-nhóm Sylow F ( H ) Theo giả thiết Q1 c-chuẩn tắc G Q R = Q1R R c-chuẩn tắc G R theo bổ đề 2.1.3 Do tính tối tiểu G nên G R ∈ F Vì G Φ (G ) ≅ ( G R ) ( Φ (G ) R ) Φ (G ) R  G R nên G Φ (G ) ∈ F Mà F họ bão hòa nên G ∈ F, mâu thuẫn (2) P= x1 × x2 × × xm với xi chuẩn tắc G có cấp p với i Vì P nhóm chuẩn tắc giải G nhóm chuẩn tắc tối tiểu G chứa P không chứa Φ (G ) (do P ∩ Φ (G ) =1 ) nên theo bổ đề 2.2.1 nhóm Fitting F ( P ) P tích trực tiếp nhóm chuẩn tắc tối tiểu G chứa P Mà P p-nhóm hữu hạn nên P lũy linh P = F ( P ) suy P = R1 × R2 × × Rm , Ri (i = 1, , m) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Ta tất Ri nhóm xyclic cấp p Giả sử R1* nhóm tối đại R1 , P1 nhóm tối đại P Đặt T = R2 × × Rm , khi R1* × R2 × × Rm = T = ( P1 )G Vì T ≠ ( P1 )G * T ( P1 )G= ( P1 )G ∩ P= ( P1 )G ∩ R1 = T T < ( P1 )G (( P1 )G ∩ R1* ) , < ( P1 )G ∩ R1* ≤ ( P1 )G ∩ R1 < R1 , (vì suy R1 ( P1 )G ∩ R1 = T ≤ ( P1 )G ( P1 )G ∩ R1* ≠ Vì Hơn R1 ⊂ ( P1 )G mâu thuẫn cách đặt P1 ) ( P1 )G ∩ R1  G Điều mâu thuẫn với tính tối tiểu R1 G Do T = ( P1 )G Vì P1 c-chuẩn tắc G nên theo bổ đề 2.1.4, tồn nhóm chuẩn tắc N G cho G = P1N P1 ∩ N = ( P1 )= G T Suy * G P= = = R1* N Nếu R1* ∩ N ≠ < R1 ∩ N ≤ R1 , tính tối tiểu R1 nên 1N R1 TN R1 ∩ N = R1 R1 ≤ N , R1* ≤ N Vì G = N ( P1 )G = P1 , nghĩa R1* = 1, mâu R1* c-chuẩn tắc G theo định nghĩa Và thuẫn với R1* ∩ N ≠ Nếu R1* ∩ N = R1 nhóm xyclic cấp p theo bổ đề 2.2.2 Chứng minh tương tự, Ri (i = 2, , m) nhóm xyclic cấp p Vậy (2) (3) G F ( H ) ∈ F 34 y1 × × yn , yi ,(i = 1, , n) chuẩn tắc G Từ (2) ta có F ( H )= có cấp nguyên tố Do NG ( yi NG ( yi ) = G Aut ( yi ) Mà ) CG ( yi ) đẳng cấu với nhóm Aut ( yi yi chuẩn tắc G nên G CG ( yi Aut ( yi ) ) ) đẳng cấu với nhóm nhóm xyclic nên G CG ( yi ) nhóm xyclic nhóm siêu giải Suy G CG ( yi ) ∈ U với i Do G  ni=1CG ( yi ) ∈U Chú ý CG ( F ( H ) ) =  ni =1CG ( yi ) nên ta có G CG ( F ( H ) ) ∈U ⊆F Vì G CG ( F ( H ) ) G H nằm F nên G CG ( F ( H ) ) ∩ H ∈ F Suy G CH ( F ( H ) ) ∈ F Mà F(H) tích trực tiếp nhóm xyclic cấp p nên F ( H ) nhóm aben, F ( H ) ≤ CH ( F ( H ) ) Ngược lại CH ( F ( H ) ) ≤ F ( H ) (theo [6, 5.4.4]) Do F ( H ) = CH ( F ( H ) ) Suy G F ( H ) ∈ F (4) Nếu K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G chứa H G K ∈ F Gọi K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G chứa H Vì H giải nên K p-nhóm aben sơ cấp với p số nguyên tố (theo định lý 1.3.4) Do K pnhóm hữu hạn nên lũy linh theo cách chọn K nhóm G chuẩn tắc H , K ≤ F ( H ) Xét nhóm chuẩn tắc giải F ( H ) K G K Khi (G K ) ( F ( H ) K ) ≅ G F ( H ) ∈ F Vì vậy, tính tối tiểu G , để G K ∈ F cần tất nhóm tối đại tất nhóm Sylow F ( H ) K = F ( F ( H ) K ) c-chuẩn tắc G K Bây P K p-nhóm Sylow F ( H ) K , P p-nhóm Sylow F ( H ) Vì vậy, P1 K tối đại P K P1 tối đại P nên theo giả thiết P1 c-chuẩn tắc G theo bổ đề 2.1.2 P1 K c-chuẩn tắc G K Giả sử q số nguyên tố khác p Với Q qnhóm Sylow F ( H ) QK K q-nhóm Sylow F ( H ) K Khi nhóm tối đại QK K có dạng Q1K K , Q1 nhóm tối đại Q Vì Q1 c-chuẩn tắc G theo giả thiết, Q1K K c-chuẩn tắc G K theo bổ đề 2.1.3 (5) Mâu thuẫn cuối 35 Theo (2) (4), F ( H ) = x1 , nhóm chuẩn tắc tối tiểu G chứa H Thật vậy, có K ' nhóm chuẩn tắc tối tiểu khác G chứa H G K ' ∈ F G ( K '∩ x1 ) ∈ F, suy G ∈ F K '∩ x1 = , mẫu thuẫn Vì F ( H ) nhóm xyclic cấp nguyên tố p Đặt K = F ( H ) , ta K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Giả sử L nhóm chuẩn tắc tối tiểu khác ( G L ) ( KL L ) ≅ G G Xét G L , ta có KL L  G L G KL ≅ ( G K ) ( KL K ) Hơn KL L có cấp p KL = L KL ∈F G K ∈ F KL = L K.L = K = p L.K ∩L Vì nhóm tối đại KL L = F ( KL L ) nhóm tầm thường, c-chuẩn tắc G L Do tính tối tiểu G , G L ∈ F, suy G ( K ∩ L ) ∈ F mà K ∩L= nên G ∈ F (mâu thuẫn) Do = K F= (H ) x1 nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Nếu Φ (G ) ≠ Φ (G )  G nên theo bổ đề Zorn, ta chọn Φ (G ) nhóm chuẩn tắc tối tiểu M phân biệt với K (do theo (1) K Φ (G ) rời nhau) Điều mâu thuẫn với tính K Do Φ (G ) = Gọi M nhóm tối đại G cho x1 ∩ M = Nếu x1 < CG ( x1 ) G Thật vậy, giả sử < CG ( x1 ) ∩ M  x1 M = CG ( x1 ) ∩ M = CG ( x1 ) M = G nên CG ( x1 Theo [6, định lý 9.1.2] CG ( x1 x1 ⊄ M Khi G = x1 M ) ) phần bù M G liên hợp với x1 (mâu thuẫn với x1 < CG ( x1 Do CG ( x1 ) ∩ M > Ta có CG ( x1 ) ∩ M chuẩn tắc M CG ( x1 ) ) ) nên chuẩn tắc G Do tính tối tiểu x1 nên x1 ≤ CG ( x1 ) ∩ M ≤ M , mâu thuẫn với cách chọn M Vì G CG ( x1 ) x1 = CG ( x1 Do G x1 = G CG ( x1 ) Mà ) đẳng cấu với nhóm Aut ( x1 G x1 = G CG ( x1 ) nhóm xyclic có cấp chia hết ) Aut ( x1 ) nhóm xyclic nên p − Vì G ∈ U ⊂F, mâu thuẫn Định lý 2.3.1 chứng minh hoàn toàn Bây thu hẹp điều kiện định lý 2.3.1, ta hệ thứ sau 36  2.3.2 Hệ Cho F họ bão hòa chứa lớp nhóm siêu giải U Giả sử G nhóm với nhóm chuẩn tắc H cho G H ∈ F Nếu nhóm tối đại nhóm Sylow không xyclic H c-chuẩn tắc G G ∈ F Chứng minh Ta giả sử H ≠ Đặt p = max π ( H ) , P ∈ Syl p ( H ) Theo bổ đề 2.2.4 H nhóm siêu giải được, p = max π ( H ) nên tồn nhóm chuẩn tắc p -nhóm Sylow Khi tính p -nhóm Sylow chuẩn tắc nên P  H Ta có P  G G P thỏa mãn giả thiết hệ Thật vậy, ta có G P nhóm với nhóm chuẩn tắc H P , ( G P ) ( H P ) ≅ G H ∈ F Ta chứng minh nhóm tối đại nhóm Sylow không xyclic H P c-chuẩn tắc G P Xét q ≠ p Cho Q ∈ Sylq ( H P ) không xyclic Không tính tổng quát, ta giả sử Q = QP P với =  ( QP ) Q ∈ Sylq ( H ) không xyclic Giả sử T P < ⋅ QP P , T T=  Q) P (T= Q1P với Q1 < ⋅Q Theo giả thiết, Q1 c-chuẩn tắc G Theo bổ đề 2.1.3 T P = Q1P P c-chuẩn tắc G P Ta được, G P ∈ F Khi G nhóm với nhóm chuẩn tắc giải P mà G P ∈ F Ta chứng minh tất nhóm tối đại nhóm Sylow F ( P ) = P c-chuẩn tắc G Trường hợp P không xyclic giả thiết hệ Trường hợp P nhóm xyclic P = x P có nhóm gx pm g −1 tối đại x p Lấy g ∈ G = ( gxm g −1 ) p ∈ x p , suy x p  G nên x p c-chuẩn tắc G ) Do G ∈ F theo định lý 2.3.1  Tiếp theo, thay họ bão hòa F định lý 2.3.1 lớp nhóm siêu giải U, ta tiêu chuẩn để nhóm giải siêu giải dựa nhóm c – chuẩn tắc Đó kết hệ thứ hai 2.3.3 Hệ 37 Cho G nhóm giải Nếu H nhóm chuẩn tắc G cho G H siêu giải tất nhóm tối đại tất nhóm Sylow F ( H ) cchuẩn tắc G G siêu giải Chứng minh Do H nhóm G giải H giải được, áp dụng định lý 2.3.1 với F = U ta G ∈U G siêu giải  Thay điều kiện nhóm tối đại định lý 2.3.1 điều kiện nhóm tối tiểu nhóm xyclic cấp ta định lý quan trọng thứ hai luận văn 2.3.4 Định lý Cho F họ bão hòa chứa lớp nhóm siêu giải U Giả sử G nhóm với nhóm chuẩn tắc giải H cho G H ∈ F Nếu tất nhóm tối tiểu tất nhóm xyclic cấp F ( H ) c-chuẩn tắc G G ∈ F Chứng minh Giả sử F ( H ) có nhóm tối tiểu nhóm xyclic cấp không chuẩn tắc G Gọi xi (i = 1, 2, , m) nhóm F ( H ) Khi xi c-chuẩn tắc G xi ∩ N= i xi G G Ni Ta có = theo giả thiết, nghĩa G = xi Ni với Ni  G < xi (theo bổ đề 2.1.4) xi Ni Ni ≅ xi xi = ∩ Ni xi xi G với i nên G N i nhóm m siêu giải Đặt N =  Ni , G N ∈ U ⊂F Mà G H ∈ F nên G ( N ∩ H ) ∈ F i =1 hiển nhiên G thuộc F Giả sử N ∩ H ≠ Khi F ( N ∩ H ) ≠ Nếu N ∩ H = N ∩ H nhóm giải Vì N ∩ H  H nên F ( N ∩ H ) ≤ F ( H ) xi ⊆ F ( N ∩ H ) Thật vậy, xi ⊂ Ni với i xi ∩ Ni = xi mâu thuẫn với xi ∩ Ni < xi , xi ⊄ N , suy xi ⊄ N ∩ H ⇒ xi ⊄ F ( N ∩ H ) Từ suy tất nhóm tối tiểu tất nhóm xyclic cấp F ( N ∩ H ) chuẩn tắc G Vì lí này, giả sử tất nhóm tối tiểu tất nhóm xyclic cấp F ( H ) chuẩn tắc G 38 Bây giả sử kết định lý sai cho G phản ví dụ nhóm có cấp tối tiểu Đầu tiên theo mệnh đề 1.7.10, H nhóm siêu giải Đặt p = max π ( H ) P ∈ Syl p ( H ) Khi P  G nên P  H Mà P lũy linh P p-nhóm hữu hạn nên P ≤ F ( H ) ) Xét hai trường hợp: (1) p = Khi P 2-nhóm Sylow H P nhóm chuẩn tắc H nên P 2k nhóm Sylow H, mà max π ( H ) = nên H = nên H 2-nhóm Sylow H, H= P= F ( H ) Gọi Q nhóm Sylow G với cấp số lẻ Lấy x nhóm xyclic cấp cấp PQ, P 2-nhóm Q có cấp lẻ nên x ⊂ Pg với g ∈ PQ ⇒ x g ⊂ = P F (H ) ⇒ x g nhóm xg N = chuẩn tắc N PQ x N g x= g −1N g x = Ng −1 PQ , = g c-chuẩn tắc PQ, suy tồn xg ∩ N ≤ xg cho suy x ∩N ≤ x PQ PQ và g g = x N g −1= PQg P= Q PQ Do PQ 2-lũy linh theo bổ đề 2.2.5 Mặt khác, Q ≤ CG ( P )  G Thật vậy, CG ( P )  NG ( P ) NG ( P ) = G P  G ⇒ CG ( P )  G Q ≤ CG(P) với q ∈ Q ta có P q = P P  G , suy Pq = qP hay q ∈ CG ( P ) Hơn G CG ( P ) 2-nhóm CG ( P ) chứa nhóm Sylow cấp lẻ G G CG ( P ) ∈ U ⊆F Từ G ( P ∩ CG ( P)) = G Z ( P) ∈ F G P G CG ( P) thuộc {x ∈ Z ( P ) | x = 1} Z ( P ) nhóm giao hoán Vì F Đặt P0 = Ω1 ( Z ( P )) ; P0 = P0 char Z ( P ) Z ( P )  G nên P0  G Chúng ta G P0 thỏa mãn giả thiết định lý: - Rõ ràng ( G P0 ) ( Z ( P ) P0 ) ≅ G Z ( P ) ∈ F - Tất nhóm xyclic F ( Z ( P ) P0 ) = Z ( P ) P0 có cấp chuẩn tắc G P0 Thật vậy, lấy y P0 P0 nhóm cấp cấp F ( Z ( P0 ) P0 ) với y ∈ Z ( P ) Khi y ∈ P0 y8 = Theo giả thiết trên, 39 y  G (do ( y2 ) = nên cấp y 4, y2 nhóm xyclic cấp ( ) = ( y2 ) cấp G nên chuẩn tắc G ) Vì vậy, với g ∈ G , ta có y ( ) = ( ys ) nghĩa y g 2 ( g y g ) ( y−s ) ) (= = y g y−s với số nguyên s Hơn 2 s y g , y − s ∈ Z ( P ) Z ( P ) nhóm aben Vì y g y − s ∈ P0 Đặt y g y − s = u , = y g uy − s ∈ y P0 y P0 P0  G P0 {x ∈ Z ( P ) | x = 1} 2-nhóm Do tính tối tiểu G nên G P0 ∈ F Chú ý P0 = aben thỏa mãn x = với x ∈ P0 nên P0 nhóm aben sơ cấp Khi P0 tích nhóm tối tiểu G nên nhóm tối đại P0 tích nhóm tối tiểu nhóm tối tiểu P nên theo giải thiết nhóm tối tiểu chuẩn tắc G Do nhóm tối đại P0 chuẩn tắc G Theo định lý 2.3.1, G ∈ F (2) p > {x ∈ P | x p = 1} theo bổ đề 2.2.6 Mà P1 nhóm aben Đặt P1 = Ω1 ( P ) ; P1 = sơ cấp F ( H ) nên P1= y1 × × yn (i = 1, , n) Từ G CG ( yi ( G  ni=1CG ( yi ) ) = G CG ( P1) ) yi chuẩn tắc G cấp p nhóm xyclic có cấp ước p − nằm U Do G ( H ∩ CG ( P1 ) ) = G CH ( P1 ) nằm F G H G CG ( P1 ) nằm F Chúng ta G P1 thỏa mãn giả thiết định lý: - Rõ ràng, P1 ≤ CH ( P1 ) ( G P1 ) ( CH ( P1 ) P1 ) ≅ G CH ( P1 ) ∈ F - F ( CH ( P1 ) P1 ) = F ( CH ( P1 ) ) P1 Thật vậy, xét tác động = có: H p ∗ h  php −1 ∈ H ta H  Z ( P ) + ∑  P : C ( hi )  i∈I P × H → H , với hi ∉ H  Z ( P ) nên C ( hi ) nhóm thực P , suy  P : C ( hi )  lũy thừa p ; từ suy H  Z ( P ) bội p P1 p nhóm abel sơ cấp nên P1= 40 y1 × y2 × × yk yi nhóm cấp p nên chúng nhóm tối tiểu P Theo tính chất PN-nhóm P chúng nhóm chuẩn tắc P Suy yi  Z ( P ) ≠ , tính chất tối tiểu yi nên yi  Z ( P ) = yi , từ ta có yi ≤ Z ( P ) ∀i dẫn đến P1 ≤ Z ( P ) ) Vì P1 ≤ CH ( P1 ) P1 ≤ Z ( CH ( P1 ) ) Do F ( CH ( P1 ) P1 ) = F ( CH ( P1 ) ) P1 theo bổ đề 2.2.7 - Tất nhóm tối tiểu tất nhóm xyclic cấp F ( CH ( P1 ) P1 ) chuẩn tắc G P1 Thật vậy, lấy y P1 P1 nhóm cấp q ( q ≠ p ) F ( CH ( P1 ) P1 ) , y ∈ Q Q q − nhóm Sylow F ( CH ( P1 ) ) Khi y q Chú ý nằm P1 Điều dẫn đến y q đồng y q nằm Q ∩ P1 = F ( CH ( P1 ) ) ≤ F ( H ) , theo giả thiết y  G y P1 P1  G P1 Tương tự, tất nhóm xyclic cấp F ( CH ( P1 ) P1 ) chuẩn tắc G P1 Chúng ta tất nhóm tối tiểu cấp p F ( CH ( P1 ) P1 ) chuẩn tắc G P1 Trước tiên, P1 ≤ Z ( P ) dẫn đến P ≤ F ( CH ( P1 ) ) Bây lấy y P1 P1 nhóm cấp p F ( CH ( P1 ) P1 ) , y ∈ P Khi y p ∈ P1 y p = Theo giả thiết p y p ) ( yt ) ( ) ( y= ) (= p g g trên, y p  G Lấy g phần tử G ; y= ( t y g ) ( y −t ) ) (= p = y g y −t số nguyên t Vì y g y t nằm Ω ( P ) nên p p p với theo g t bổ đề 2.2.6 Do y g y −t ∈ P1 Đặt y g y −t = v ∈ P1 , y= vy ∈ y P1 y P1 P1  G P1 Do tính tối tiểu G nên G P1 ∈ F Khi G nhóm với nhóm chuẩn tắc giải P1 G P1 ∈ F Vì P1 siêu giải nhóm abel sơ cấp nên nhóm tối đại nhóm Sylow F ( P1 ) = P1 có dạng y1 × y2 × × yn bỏ phần tử sinh yi suy chúng chuẩn tắc G , c – chuẩn tắc G Vì G ∈ F theo định lý 2.3.1  Bây thu hẹp điều kiện định lý 2.3.4, ta hệ thứ định lý 41 2.3.5 Hệ Cho F họ bão hòa chứa lớp nhóm siêu giải U Giả sử G nhóm với nhóm chuẩn tắc H cho G H ∈ F Nếu nhóm tối tiểu nhóm xyclic cấp tất nhóm Sylow không xyclic H c-chuẩn tắc G G ∈ F Chứng minh Nếu H có 2-nhóm Sylow xyclic nhóm Sylow liên hợp với nên 2-nhóm Sylow xyclic, theo mệnh đề 1.6.9 H 2-lũy linh Nếu 2-nhóm Sylow H không xyclic nhóm xyclic cấp H nhóm tối tiểu nên theo giả thiết ta có nhóm xyclic cấp cấp cchuẩn tắc H Theo bổ đề 2.2.5, H 2-nhóm lũy linh Vậy H 2-nhóm lũy , với M 2linh Khi H có 2-bù chuẩn tắc nghĩa H = MN M ∩ N = nhóm Sylow N  H Suy H N ≅ M M 2-nhóm Sylow nên H N giải được, N giải N có cấp lẻ Vậy H giải (Theo định lý cấp lẻ) Cuối cùng, H hữu hạn nên F ( H ) char H , H  G nên F ( H )  G Cho P p -nhóm Sylow F ( H ) , P p -nhóm Sylow F ( H ) nên P char F ( H ) suy P  G Trường hợp nhóm tối tiểu nhóm xyclic cấp F ( H ) nằm nhóm Sylow không xyclic F ( H ) rõ ràng nhóm tối tiểu nằm nhóm Sylow không xyclic H nên chúng c-chuẩn tắc G theo giải thiết hệ Trường hợp nhóm tối tiểu nhóm xyclic cấp F ( H ) nằm p − nhóm Sylow xyclic F ( H ) chúng chuẩn tắc G nên c-chuẩn tắc G Thật vậy, giả sử P = x P = p k , nhóm P có dạng x p m với m ≤ k Rõ ràng tính chuẩn tắc P nên x p ( ) n x p g −1 tắc G g = m ( gx g ) n m −1 p ∈ xp m m chuẩn Vậy trường hợp ta có nhóm tối tiểu nhóm xyclic cấp F ( H ) c-chuẩn tắc G Theo định lý 2.3.4, ta G ∈ F  42 Tiếp theo, thay họ bão hòa F định lý 2.3.4 lớp nhóm siêu giải U, ta tiêu chuẩn khác để nhóm giải siêu giải dựa nhóm c – chuẩn tắc Đó hệ thứ hai định lý 2.3.4 2.3.6 Hệ Cho G nhóm giải có cấp lẻ Nếu H nhóm chuẩn tắc G cho G H siêu giải nhóm tối tiểu nằm F ( H ) c-chuẩn tắc G G siêu giải Chứng minh Do H nhóm nhóm giải G nên H giải Vì G cấp lẻ nên F ( H ) nhóm xyclic cấp Khi áp dụng định lý 2.3.4 với F = U G ∈ U hay G nhóm siêu giải  43 KẾT LUẬN Trong luận văn này, đưa định nghĩa chứng minh kết tính chất qua thể ảnh hưởng nhóm c-chuẩn tắc đến cấu trúc họ bão hòa F chứa họ nhóm siêu giải U, cụ thể kết sau: G nhóm với nhóm chuẩn tắc giải H cho G H ∈ F Nếu tất nhóm tối đại tất nhóm Sylow F ( H ) c-chuẩn tắc G G ∈ F G nhóm với nhóm chuẩn tắc giải H cho G H ∈ F Nếu tất nhóm tối tiểu tất nhóm xyclic cấp F ( H ) c-chuẩn tắc G G∈ F Từ dẫn đến hai tiêu chuẩn để nhóm giải siêu giải dựa nhóm c-chuẩn tắc: - G nhóm giải Nếu H nhóm chuẩn tắc G cho G H siêu giải tất nhóm tối đại tất nhóm Sylow F ( H ) c-chuẩn tắc G G siêu giải - G nhóm giải có cấp lẻ Nếu H nhóm chuẩn tắc G cho G H siêu giải nhóm tối tiểu nằm F ( H ) c-chuẩn tắc G G siêu giải 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải (Chủ biên) Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh J L Alperin (1964), “Centralizers of Abelian normal subgroups of p-groups”, Journal of Algebra, 1, pp.110-113 J Buckley (1970), “Finite groups of whose minimal subgroups are normal”, Math Z., 116, pp.15-17 Li Deyu and Guo Xiuyun (1998), “The influence of c – normality of subgroups on the structure of finite groups II”, Comm Algebra, 26, pp.1913-1922 C J E Pinnock (1998), Supersolubility and some Characterizations of Finite Supersoluble Groups, 2nd Edition, Msci project, London Derek J S Robinson (1982), A course in the Theory of Groups, Springer – Verlag, New York John S.Rose (1976), A course on Group Theory, Dover Publications, INC, New York S Srinivasan (1980), “Two sufficient conditions for supersolvability of finite groups”, Israel J.Math., 35(3), pp 210-214 Wang Yanming (1996), “c – Normality of groups and its properties”, J.Algebra, 180, pp 954-965 10 Wei Huaquan (2001), “On c – normal maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite groups”, Communications in Algebra, 29(5), pp.2193-2200 Tiếng Đức 11 A Brandis (1988), Moduln und verschrankte Homomorphismen endlicher Gruppen, J reine angewandte Math., 385, pp.102-116 12 B Huppert (1967), Endliche Gruppen I, Berlin-Heidelberg-New York 45 [...]... tiêu chuẩn để một nhóm giải đư c là siêu giải đư c dựa trên nhóm con c – chuẩn t c Tất c c c nhóm đư c nói đến trong chương này đều là nhóm hữu hạn 2.1 Nhóm con c – chuẩn t c 2.1.1 Định nghĩa nhóm con c – chuẩn t c Cho G là một nhóm Nhóm con H c a G đư c gọi là c – chuẩn t c trong G nếu tồn tại nhóm con chuẩn t c N c a G sao cho G = HN và H ∩ N ≤ H G Nhận xét Mọi nhóm con chuẩn t c của G đều c – chuẩn. .. đơn và do đó ta c điều c n chứng  minh 2.2.2 Bổ đề Cho R là nhóm con chuẩn t c tối tiểu c a G và R1 là nhóm con tối đại c a R Nếu R1 là c – chuẩn t c trong G thì R là nhóm xyclic c c p nguyên tố Chứng minh Do R1 là c – chuẩn t c trong G nên theo bổ đề 2.1.4 tồn tại nhóm con chuẩn t c K c a G sao cho G = R1K và R1 ∩ K = ( R1 )G Do R1 là nhóm con tối đại c a R và R là nhóm con chuẩn t c tối tiểu c a... đư c Nếu tất c c c nhóm con tối tiểu và tất c c c nhóm xyclic c p 4 c a F ( H ) đều chuẩn t c trong G thì G siêu giải đư c 21 CHƯƠNG 2: NHÓM CON C – CHUẨN T C TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU C A NHÓM CON SYLOW C A NHÓM HỮU HẠN Chương này giới thiệu khái niệm c – chuẩn t c và một số tính chất liên quan Sau đó trình bày c c bổ đề c n thiết cho vi c làm rõ hai định lý chính c a luận văn, định lý 2.3.1 và định lý... Nếu P xyclic, thì G c một p1 -phần bù chuẩn t c K (mệnh đề 1.6.9) Rõ ràng K thỏa mãn c c giả thiết c a G (do nhóm con Sylow không xyclic c a K c ng là nhóm con Sylow không xyclic c a G nên nhóm con tối đại c a nhóm con Sylow không xyclic c a K là c – chuẩn t c trong G và theo bổ đề 2.1.1 nó c ng là c – chuẩn t c trong K ) Do c ch chọn phản ví dụ với c p tối tiểu ta c K là siêu giải đư c Do đó 1... , , 0 ≤ α 'n ≤ α n Tồn tại trong K c c nhóm con K1 , K 2 lần lượt là q1 − nhóm con β1 sylow và q2 − nhóm con sylow c a = K ( K1 q= q2β2 ) Khi đó K1 , K 2 c ng lần lượt là 1 , K2 q1 − nhóm con sylow chuẩn t c của G và q1 − nhóm con sylow chuẩn t c của G (do K là nhóm con chuẩn t c) Do mọi p − nhóm con sylow chuẩn t c của một nhóm luôn chứa p − nhóm con bất kỳ c a nhóm đó nên H1 ⊆ K1 , H 2 ⊆ K 2 Suy... ) và  2.2 C c bổ đề 2.2.1 Bổ đề Cho H là nhóm con chuẩn t c giải đư c của G ( H ≠ 1) Nếu mọi nhóm con chuẩn t c tối tiểu c a G đư c chứa trong H đều không nằm trong Φ ( G ) , thì nhóm con Fitting F ( H ) c a H là tích tr c tiếp c a c c nhóm con chuẩn t c tối tiểu c a G nằm trong H Chứng minh 24 Vì F ( H ) lũy linh nên theo mệnh đề 1.4.5 F ( H ) bằng tích tr c tiếp c c nhóm con Sylow c a nó và c c. .. Do đó H K là c – chuẩn t c trong G K  2.1.3 Bổ đề Cho π là một tập hợp c c số nguyên tố, H là π ' – nhóm con chuẩn t c của G và T là π – nhóm con c a G Nếu T là c – chuẩn t c trong G thì TH H là c – chuẩn t c trong G H Hơn nữa, nếu T ≤ CG ( H ) và TH H là c – chuẩn t c trong G H thì T là c – chuẩn t c trong G Chứng minh Do T c – chuẩn t c trong G nên tồn tại K  G sao cho G = TK và T ∩ K ≤ TG... nhóm con tối đại c a P R Khi đó P1 là nhóm con tối đại c a P Theo giả thiết, P1 là c- chuẩn t c trong G , nên theo bổ đề 2.1.2, P1 R là c- chuẩn t c trong G R Lấy Q R là nhóm con tối đại c a q -nhóm con Sylow c a F ( H ) R , trong đó q ≠ p Khi đó 33 Q = Q1R với Q1 là một nhóm con tối đại c a q -nhóm con Sylow c a F ( H ) Theo giả thiết Q1 là c- chuẩn t c trong G và vì vậy Q R = Q1R R là c- chuẩn t c. .. nghĩa Nhóm con H c a nhóm hữu hạn G đư c gọi là nhóm con Hall c a G nếu H là ư c Hall c a G , nghĩa là ( H , [G : H ]) = 1 17 Cho G là nhóm hữu hạn và H là π − nhóm con c a G sao cho G : H là π '− số Khi đó H đư c gọi là π − nhóm con Hall c a G Cho H là nhóm con c a nhóm hữu hạn G Một nhóm con K c a G đư c gọi là một phần bù c a H trong G nếu G = HK và H ∩ K = 1 Cho G là nhóm hữu hạn Một phần bù c a... – chuẩn t c trong G Tuy nhiên điều ngư c lại không đúng Ví dụ ta c S3 là tích nửa tr c tiếp giữa C3 và C2 , trong đó C2 là nhóm con c – chuẩn t c của S3 nhưng C2 không phải là nhóm con chuẩn t c của S3 2.1.2 Bổ đề Cho G là một nhóm Khi đó: 1) Nếu H là chuẩn t c trong G thì H là c – chuẩn t c trong G 2) Nếu H c – chuẩn t c trong G , H ≤ K ≤ G thì H là c – chuẩn t c trong K 3) Cho K  G và K ≤ H ... tiêu chuẩn để nhóm giải siêu giải dựa nhóm c – chuẩn t c Tất nhóm nói đến chương nhóm hữu hạn 2.1 Nhóm c – chuẩn t c 2.1.1 Định nghĩa nhóm c – chuẩn t c Cho G nhóm Nhóm H G gọi c – chuẩn t c G... C2 nhóm chuẩn t c S3 2.1.2 Bổ đề Cho G nhóm Khi đó: 1) Nếu H chuẩn t c G H c – chuẩn t c G 2) Nếu H c – chuẩn t c G , H ≤ K ≤ G H c – chuẩn t c K 3) Cho K  G K ≤ H ; H c – chuẩn t c G H K c. .. CHƯƠNG 2: NHÓM CON C – CHUẨN T C TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU C A NHÓM CON SYLOW C A NHÓM HỮU HẠN Chương giới thiệu khái niệm c – chuẩn t c số tính chất liên quan Sau trình bày bổ đề c n thiết cho vi c làm