BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hải Ngọc MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hải Ngọc MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn xin gửi đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy, thầy tận tình hướng dẫn, có bảo giúp hiểu rõ vấn đề, hoàn thiện luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, cho lời nhận xét quý báu Tôi xin gửi lời tri ân đến Thầy Cô trực tiếp giảng dạy suốt thời gian học Cao học trường Các Thầy Cô không mang đến kiến thức môn học mà dẫn cách làm việc, phương pháp học tập, nghiên cứu khoa học Tôi chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, quý Thầy Cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè bên cạnh, động viên tinh thần cho Tôi cố gắng nghiên cứu, làm việc nghiêm túc luận văn khó tránh khỏi sai sót Tôi mong nhận lời góp ý từ quý Thầy Cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 Nguyễn Hải Ngọc MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII CHO KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG 1.1 Các định nghĩa [1] .4 1.2 Điều kiện (A) [1, tr 95] 1.3 Mệnh đề 1.1 (Nguyên lý hội tụ Solomon Leader) [1, tr 96] 1.4 Sự tồn toán tử ( I − U ) −1 1.5 Định lí Schauder-Tychonoff .9 1.6 Một số định lí điểm bất động kiểu Krasnoselskii 10 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG TÔPÔ YẾU 16 2.1 Các định nghĩa bổ đề sử dụng [9] .16 2.2 Một số mở rộng định lí Krasnoselskii tôpô yếu 21 2.3 Ứng dụng vào phương trình tham số [9, mục 3] 29 2.4 Ứng dụng vào phương trình tích phân [9,mục 4, tr 11] 34 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN 39 3.1 Không gian Banach có thứ tự [8, mục 2, tr 2] 39 3.1.1 Nón thứ tự nón 39 3.1.2 Nón chuẩn, nón liên hợp 39 3.1.3 Ánh xạ dương, ánh xạ tăng 39 3.2 Không gian nón định chuẩn.[8, mục 2, tr 2] 39 3.3 Mở rộng định lí Krasnoselskii không gian nón định chuẩn 42 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động phương pháp quan trọng hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm nhiều lớp phương trình xuất phát từ lĩnh vực khoa học Tự nhiên Xã hội Nghiên cứu điểm bất động kỉ 20, phát triển hoàn thiện đến ngày Có hai định lí điểm bất động quan trọng định lí Banach điểm bất động ánh xạ co không gian metric đầy đủ định lí Schauder điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục tập lồi, đóng không gian định chuẩn Năm 1955, nhà toán học Nga Krasnoselskii đưa định lí kết hợp hai định lí nêu trên, tồn điểm bất động tổng hai ánh xạ, chúng ánh xạ co ánh xạ thứ hai hoàn toàn liên tục Định lí sau tìm ứng dụng lí thuyết phương trình vi phân tích phân Do ý nghĩa quan trọng định lí Krasnoselskii để mở rộng phạm vi ứng dụng mà định lí mở rộng theo nhiều hướng khác công trình Browder, Kirk, Lê Hoàn Hóa,… Trong luận văn này, giới thiệu số mở rộng định lí Krasnoselskii, có nhiều kết nhận gần Nội dung luận văn gồm ba chương trình bày mở rộng định lí Krasnoselskii ba lớp không gian khác nhau: CHƯƠNG 1: Định lí Krasnoselskii cho không gian lồi địa phương [1] CHƯƠNG 2: Định lí Krasnoselskii tôpô yếu [9] CHƯƠNG 3: Định lí Krasnoselskii không gian nón định chuẩn [8] [.]: tài liệu tham khảo CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII CHO KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Trong chương này, ta thiết lập số định lí điểm bất động cho toán tử dạng U+C tập lồi đóng bị chặn không gian lồi địa phương, C toán tử compact U thỏa điều kiện (A) xác định sau 1.1 Các định nghĩa [1] a) Cho X không gian véctơ tôpô lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn tách P Giả sử D tập X ánh xạ U : D → X Ta nói: • U ánh xạ φ − co p ( U(x) − U(y) ) ≤ φ ( p(x − y) ) , ∀x, y ∈ D, ∀p ∈ P φ hàm liên tục nhận giá trị tập số thực dương cho < φ(r) < r với r > • U ánh xạ ( ε − δ ) − co ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x, y ∈ D , ε ≤ p(x − y) < ε + δ ⇒ p ( U(x) − U(y) ) < ε, ∀p ∈ P • U toán tử liên tục D với p ∈ P ε > cho trước, tồn δ > cho p(x − y) < δ ⇒ p ( U(x) − U(y) ) < ε, ∀x, y ∈ D Nhận xét 1.1 Nếu U ánh xạ φ − co ( ε − δ ) − co U liên tục b) Cho X không gian Banach, toán tử T gọi bị chặn nếu: limsup T(x) x x →∞ Khi đó, đặt T = limsup x →∞ T(x) x , ∃r ∈  δ > cho với x, y ∈ D , α ap ( x, y ) < ε + δ ⇒ α ap ( U ar ( x ) , U ar ( y ) ) < ε { } α ap= ( x, y ) max p ( Uia ( x ) − U aj ( y= ) ) ;i, j 0,1,2, k a ,  = {1,2,3, } , Z+ = ℕ ∪ {0} Nhận xét 1.2 [1, tr 96] Nếu U ánh xạ φ − co ( ε − δ ) − co U thỏa mãn điều kiện (A.2) X với k a = r = 1.3 Mệnh đề 1.1 (Nguyên lý hội tụ Solomon Leader) [1, tr 96] Cho q : Ζ 2+ → [ 0, +∞ ) hàm số cho: q ( m,n ) ≤ q ( m,k ) + q ( k,k ) + q ( k,n ) , ∀m,l,k ∈  + (1.1) Khi ℤ+ q ( m,n ) → m,n → ∞ nếu: ∀ε > , tồn r ∈ Ν δ > cho với m,n ∈ Z+ , q ( m,n ) < ε + δ ta có: q ( m + r,n + r ) < ε 1.4 Sự tồn toán tử ( I − U ) (1.2) −1 Định lí 1.1 [1, định lí 3.1, tr 97-100] Cho X không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D tập đầy đủ theo dãy X, U toán tử liên tục D Giả sử U thoả mãn điều kiện (A) tập Ω X Khi toán tử ( I − U ) định nghĩa tốt liên tục Ω −1 Chứng minh Ta chứng minh qua hai bước sau Bước 1: Với a ∈Ω , toán tử Ua có điểm bất động D gọi φ ( a ) dãy lặp {U an ( φ ( a ) )} hội tụ φ ( a ) Hơn nữa, ánh xạ a  φ ( a ) đơn ánh n Chứng minh bước 1: Từ điều kiện (A.2) ta suy với a ∈Ω p ∈ P , ∃k a ∈ Ζ + với tính chất ∀ε > , ∃r ∈  δ > cho với x, y ∈ D , α ap ( x, y ) < ε + δ ⇒ α ap ( U ar ( x ) , U ar ( y ) ) < ε Giả sử q : Ζ 2+ → [ 0, +∞ ) định nghĩa q ( m,n ) = α ap ( U am ( x ) , U an ( y ) ) Khi q thỏa (1.1)-(1.2) Thật vậy: • Kiểm tra (1.1): Với m,l,k ∈ Z+ , p�Uam (x) − Uan (y)� ≤ p �Uam (x) − Ual (y)� + p �Ual (y) − Ual (x)� p +p �Ual (x) − Uan (y)� p p ≤ αa �Uam (x), Uan (y)� + αa �Ual (x), Ual (y)� + αa �Ual (x), Uan (y)� p Suy ra: q(m, n) = αa �Uam (x), Uan (y)� ≤ q(m, l) + q(l, l) + q(l, n) • Do U thỏa mãn điều kiện (A.2) nên (1.2) Theo nguyên lý hội tụ Solomon Leader, lim q(m, n) = Suy m,n⟶∞ lim p ( U am (x) − U an (y) ) = m,n →∞ Vì với x, y ∈ D , {U an ( x )} , {U an ( y )} dãy Cauchy D Vì D đầy đủ n n theo dãy nên {U an ( x )} hội tụ điểm bất động U a , ghi φ ( a ) n ánh xạ a  φ ( a ) định nghĩa tốt Thật vậy: • Đặt φ ( a ) := lim U an ( x ) Vì U liên tục nên U a ( φ ( a ) ) = lim U an +1 ( x ) Từ tính n →∞ n →∞ giới hạn suy U a ( φ ( a ) ) = φ ( a ) Vậy φ ( a ) điểm bất động U a U (φ(a )) + a = φ ( a ) hay ( I − U ) ( φ ( a ) ) = a n m • Giả sử φ= ( a ) : lim U a ( x ) , φ= ( a ) : lim U a ( y ) Lúc đó: n →∞ m →∞ ≤ p ( φ1 ( a ) − φ2 ( a ) ) ≤ p ( φ1 ( a ) − U an ( x ) ) + p ( U an ( x ) − U am ( y ) ) + p ( U am ( y ) − φ2 ( a ) ) Cho m,n → ∞ ta p ( φ1 ( a ) − φ2 ( a ) ) =0 Vậy φ1 ( a ) = φ2 ( a ) hay U a có điểm bất động Nếu φ ( a ) , φ ( b ) hai điểm bất động Ua , Ub φ ( a ) = φ ( b ) Ta có U ( φ ( a ) ) + a = U ( φ ( b ) ) + b ⇒ a = b Điều chứng tỏ φ đơn ánh Vậy φ song ánh từ Ω vào φ ( Ω ) ⊂ D ( I − U ) ( φ ( a ) )= (I − U) −1 Mà theo trên, U a ( φ ( a ) ) = φ ( a ) , ∀a ∈ Ω , suy φ−1 hay φ= a, ∀a ∈ Ω Do I − U = (I − U) −1 Điều có nghĩa định nghĩa tốt Ω Bước 2: Chứng minh ( I − U ) liên tục Ω −1 Chứng minh bước 2: Với a ∈Ω , p ∈ P ε > , theo điều kiện (A.2), ∃r ∈  δ > ( δ < ε ) cho α ap ( U ar ( x ) , U ar ( y ) ) < ε, ∀x, y ∈ D α ap ( x, y ) < ε + δ Vì U liên tục nên U ia (i = 0,1,2, ) liên tục đều, suy ∃δo , < δo < δ cho: p ( x − y ) < δo ⇒ p ( U ia x − U ia y ) < δ với i = 0,1,2, ,k (1.3) Tương tự, ta sử dụng tính liên tục U, ta xây dựng họ {δi }i=0 r −1 cho với= i 1,2, ,r − a) < δi < δi−1 b) p ( x − y ) < δi ⇒ p ( U(x) − U(y) ) < δi−1 Nếu b ∈ Ω cho p ( a − b ) < δr −1 lim U nb (φ(a)) = φ(b) p liên tục nên: n →∞ φ(a) − φ(b) = lim ( φ(a) − U nb (φ(a)) ) n →∞ Bằng quy nạp ta chứng minh được: α ap ( φ(a), U arn (φ(a)) ) < ε + δ, ∀ n ∈ N (1.4) Đầu tiên ta ý rằng: p ( φ(a) − U rb (φ(a)) ) < δο Thật vậy, p ( a − b ) < δr −1 nên: p ( U a (x) − U b (x)= ) p(a − b) < δr −1 , ∀x ∈ D Suy ra: p ( U ( U a (x) ) − U ( U b (x) ) ) < δr −2 p ( U a2 ( x ) − U b2 ( x ) ) ≤ p ( U ( U a (x) ) − U ( U b (x) ) ) + p ( a − b ) 1 < δr −2 + δr −2 = δr −2 2 Tiếp tục ta có: p ( U ar −1 (x) − U rb−1 (x) ) < δ1 ( ) Suy ra: p U ( U ar −1 ( x ) ) − U ( U br −1 ( x ) ) < δο 1 Do đó: p ( U ar ( x ) − U rb ( x ) ) < δο + δο =δο , ∀x ∈ D 2 (1.5) Đặc biệt, lấy x = φ(a) , (1.5) trở thành: p ( φ ( a ) − U rb ( φ ( a ) ) ) < δο (1.6) Bây ta chứng minh (1.4) n = , nghĩa là: α ap ( φ ( a ) , U br ( φ ( a ) ) ) < ε + δ Để ý U ia ( φ ( a ) ) =φ ( a ) , ∀i =0, k Từ (1.3) (1.6), ta có: ( ) p φ(a) − U ia ( U rb ( φ(a) ) ) < δ, ∀i =0,1,2, ,k ⇒ α ap ( φ(a), U rb ( φ(a) ) ) < δ < ε + δ Giả sử (1.4) với n, nghĩa ( α ap φ(a), U b( r n +1) α ap ( φ(a), U rnb ( φ(a) ) ) < ε + δ Khi đó: ( φ(a) ) ) < αap ( φ(a), Uar ( U brn ( φ(a) ) ) ) + αap ( Uar ( U rnb ( φ(a) ) ) , U br( n +1) ( φ(a) ) ) Cũng α ap ( φ(a), U rn b ( φ(a) ) ) < ε + δ nên theo điều kiện (A.2) ta suy ra: ( ) ( ) α ap U ar ( φ(a) ) , U ar ( U brn ( φ(a) ) ) = α ap φ(a), U ar ( U brn ( φ(a) ) ) < ε Thay= x U rn b ( φ(a) ) , (1.5) trở thành: (1.7) Theo trên, ( λh − (1 + ε ) ) x = ( λh − 1) x − ε x ≤ ( Sy + εy − εx + λ Tθ ) − ε x ≤ ( I − λT ) x + λTθ − ε x ≤ (1 + ε ) R + λ Tθ ≤ λhR − (1 + ε ) R ( ( 2.15 ) ) Suy ra: x ≤ R hay x ∈ BR Điều kiện  bị chặn thỏa mãn Theo định lí 2.4, T′ + S′ có điểm bất động BR ∎ Định lí 2.10 [9, định lí 3.7] Cho T : E → E ánh xạ tuyến tính, giãn yếu với hệ số h > S : E → E toán tử bị chặn, liên tục yếu theo dãy Nếu tồn R > λ o ≥ cho S ( BR ) ⊂ ( I − λT )( E ) , ∀λ ≥ λ o tồn λ1 ≥ λ o cho phương trình Sx + λTx = x có nghiệm BR , ∀λ ≥ λ1 Chứng minh Chọn λ1′ ≥ λ o cho λ1′h > Khi ∀λ ≥ λ1′ , λT : E → E ánh xạ giãn với hệ số λh > Đặt Fλ := I − λT Ta có Fλ tuyến tính Theo bổ đề 2.3 , ánh xạ Fλ : E → Fλ ( E ) có ánh xạ ngược Fλ−1x − Fλ−1y ≤ x − y , ∀x, y ∈ Fλ ( E ) λh − (2.16) Từ (2.16) ta suy Fλ−1 liên tục Do Fλ−1S : BR → E liên tục yếu theo dãy Vì S toán tử bị chặn nên tồn λ1 ≥ λ1′ cho Sx ≤ ( λh − 1) R, ∀x ∈ BR , λ ≥ λ1 Dẫn tới Fλ−1Sx ≤ R Vậy Fλ−1S: BR → BR Áp dụng bổ đề 2.1, Fλ−1S có điểm bất động BR với λ ≥ λ1 ∎ Định lí 2.11 [9, định lí 3.8] Cho T : E → E toán tử tuyến tính, bị chặn S : E → E toán tử liên tục yếu theo dãy Giả sử tồn R > λ o ≥ cho S ( BR ) ⊂ B(1−λo T )R Khi tồn λ1 ∈ [ 0, λ o ] cho phương trình (2.13) có nghiệm BR , ∀λ ∈ [ 0, λ1 ] 32 Chứng minh Với λ ∈ [ 0, λ o ] λ T ≤ λ o T < Do λT : E → E ánh xạ co với hệ số λ T < Đặt Fλ = I − λT : E → E Theo bổ đề 2.4, Fλ có ánh xạ ngược Fλ−1x − Fλ−1y ≤ x − y , ∀x, y ∈ E 1− λ T Từ (2.17) ta có Fλ−1 liên tục Fλ−1 ≤ (2.17) Vì Fλ−1 liên tục yếu, S liên tục yếu 1− λ T theo dãy nên Fλ−1S : E → E liên tục yếu theo dãy Với x ∈ BR Sx ≤ (1 − λ T ) R Suy Fλ−1Sx ≤ Fλ−1 Sx ≤ (1 − λ T ) R= 1− λ T R, ∀x ∈ BR λ ∈ [ 0, λ o ] (2.18) Vậy Fλ−1S: BR → BR Theo bổ đề 2.1, Fλ−1S có điểm bất động BR , ∀λ ∈ [ 0, λ1 ] ∎ Hệ 2.8 Cho T : E → E ánh xạ tuyến tính, bị chặn S : E → E liên tục yếu theo dãy Giả sử với x ∈ E , ta có Sx ≤ a x + b ( b ≥ ) a ∈ [ 0,1) p p = a ≥ < p < Khi tồn λ1 ∈ [ 0, λ o ] cho (2.13) có nghiệm BR , ∀λ ∈ [ 0, λ1 ] Chứng minh Ta tồn R > 0, λ o ≥ cho S ( BR ) ⊂ B(1−λ o T )R Từ áp dụng định lí 2.21 ta có điều phải chứng minh TH1) p = Vì ≤ a < nên ∃λ o ≥ cho a < − λ o T Dễ thấy, R > đủ lớn b ≤ − λ o T − a Lúc R a x + b ≤ aR + (1 − λ o ) T − a  R < (1 − λ o T ) R, ∀x ∈ BR TH2) p ∈ ( 0,1) Chọn λ o ≥ , R > cho λ o T < aR p + b < (1 − λ o T ) R Khi 33 a x + b ≤ aR p + b < (1 − λ o T ) R, ∀x ∈ BR ∎ p Nhận xét 2.7 Các kết điểm bất động nghiên cứu mục dùng để nghiên cứu toán giá trị riêng loại Krasnoselskii số trường hợp T : M ⊂ E → E ánh xạ không giãn 2.4 Ứng dụng vào phương trình tích phân [9,mục 4, tr 11] Trong mục ta giới thiệu ứng dụng việc xét tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến dạng a u(t) = f ( u ) + ∫ g ( s, u ( s ) ) ds, u ∈ C ( J, E ) (2.19) E không gian Banach phản xạ J = [ 0,a ] Tích phân có dạng (2.19) gọi tích phân Petis Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (H1) f : E → E toàn ánh liên tục yếu theo dãy (H2) f ( x ) − f ( y ) ≥ h x − y ( h ≥ ) , ∀x, y ∈ E f liên tục tập compắc yếu, biến tập compắc yếu tương đối thành tập bị chặn xạ g t g ( t,.) : E → E liên tục yếu theo dãy (H3) Với t ∈ J , ánh = (H4) Với x ∈ C ( J,E ) , g (., x (.) ) khả tích Petis [ 0,a ] (H5) Tồn α ∈ L1 [ 0,a ] hàm liên tục không giảm φ : [ 0, ∞ ) → ( 0, ∞ ) cho g ( t, x ) ≤ α ( t ) φ ( x ) với t ∈ [0,a ] , x ∈ E Hơn nữa: a ∞ dr ∫ α ( s ) ds < ∫ φ ( r ) ( ) (2.20) f θ Định lí 2.22 Giả sử điều kiện (H1)-(H5) thỏa mãn Khi (2.19) có nghiệm u ∈ C ( J,E ) Chứng minh Đặt β( t ) = t ∫ f ( θ) t  dr −1 −1  , b ( t ) = ( h − 1) β  ∫ α ( s ) ds  φ( r ) 0  34 t  Ta có: ( h − 1) b ( t ) = β  ∫ α ( s ) ds  0  −1 t Suy β ( ( h − 1) b ( t ) ) =α ∫ ( s ) ds hay ( h −1)b( t ) ∫ f ( θ) dr = φ( r ) t ∫ α ( s ) ds (2.21) Do (2.20) (2.21) nên b ( a ) < ∞ Ta định nghĩa: K= {x ∈ C ( J, E ) : x(t) ≤ ( h − 1) b(t), ∀t ∈ J} Khi K tập lồi đóng, bị chặn C ( J, E ) Ta định nghĩa toán tử T, S sau: = t) ( Tx )( (Sx )( t ) = f ( x(t) ) − f ( θ ) t f ( θ ) + ∫ g ( s, y(s) ) ds (2.22) Do điều kiện (H1), (H4) thỏa mãn nên T, S định nghĩa tốt C ( J, E ) Ta dùng định lí 2.4 để chứng minh T + S có điểm bất động K Chứng minh gồm bốn bước Bước 1: Chứng minh S: K → K , S ( K ) đẳng liên tục compắc yếu tương đối Với y ∈ K ta Sy ∈ K Cho trước t ∈ J Không tính tổng quát, ta giả sử Sy ( t ) ≠ Theo định lí Hahn-Banach, tồn y*t ∈ E* cho y*t = , y*t , ( Sy )( t ) = ( Sy )( t ) Từ (H2) (2.22) ta có t) (Sy )(= t y ,f ( θ ) + ∫ y*t ,g ( s, y(s) ) ds * t t ( ) ≤ f ( θ ) + ∫ α(s)φ y ( s ) ds (2.23) t ≤ f ( θ ) + ∫ α(s)φ ( (h − 1)b(s) ) ds (do y ∈ K) t = f ( θ ) + (h − 1) ∫ b′(s)ds = (h − 1)b(t) Từ (2.23) ta kết luận S ( K ) ⊂ K S ( K ) bị chặn 35 Lấy t,s ∈ J, t ≠ s Ta xem Sy ( t ) − Sy ( s ) ≠ Khi tồn x *t ∈ E* cho x *t = x *t , ( Sy ) (t) − ( Sy ) (s) = ( Sy ) (t) − ( Sy ) (s) Điều dẫn tới: t (Sy ) (t) − (Sy ) (s) ≤ ∫ α(τ)φ ( y(τ) ) dτ s t ≤ ∫ α(τ)φ ( ( h − 1) b(τ) ) dτ (2.24) s t ≤ ( h − 1) ∫ b′(τ)dτ= ( h − 1) b(t) − b(s) s Vậy S ( K ) đẳng liên tục Do E phản xạ nên với t ∈ J , S (= K ) (t) {z(t) : z ∈ S ( K )} compắc yếu tương đối E Suy S ( K ) compắc yếu tương đối C ( J, E ) Bước 2: Chứng minh S: K → K liên tục yếu theo dãy Lấy {x n } ⊂ K, x n  x ∈ K C ( J, E ) Khi x n (t)  x(t), ∀t ∈ J Cố định t ∈ ( 0,a ] , ta có g ( t, x n (t) )  g ( t, x(t) ) E (do g(t,.) liên tục yếu theo dãy) Theo (H5) g ( t, x ) ≤ α ( t ) φ ( x ) với α ∈ L1 [ 0,a ] Áp dụng định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta có: t ∫ g ( s, x t n (s) ) ds  ∫ g ( s, x(s) ) ds Vậy ϕ, ( Sx n ) (t) → ϕ, ( Sx ) (t) , ∀ϕ∈ E* hay ( Sx n ) (t)  ( Sx ) (t) E, ∀t ∈ J Do S ( K ) đẳng liên tục nên Sx n  Sx Bước 3: Chứng minh điều kiện (ii), (iii) định lí 2.4 Vì E phản xạ f liên tục tập compắc yếu nên T : C ( J,E ) → C ( J,E ) Với x, y ∈ C ( J,E ) , ( Ty ) (t) − ( Ty= ) (s) ⇒ Tx − Ty = f ( x(t) ) − f ( y(t) ) , ∀t ∈ J f ( x ) − f ( y ) ≥ h x − y ( h ≥ 2) Suy T ánh xạ giãn với hệ số h ≥ Điều kiện (ii) định lí 2.4 thỏa mãn Với x, y ∈ C ( J,E ) , 36 ( I − T ) x(t) − ( I − T ) y(t) ≥ Tx(t) − Ty(t) − x(t) − y(t) ≥ ( h − 1) x(t) − y(t) , ∀t ∈ J I ánh xạ đồng Từ suy ( I − T ) x(t) ≥ ( h − 1) x(t) , ∀x ∈ C ( J, E ) (2.25) Tiếp tục, ta chứng minh điều kiện (iii) định lí 2.4 thỏa mãn Thật vậy, x= Tx + Sy ( y ∈ K ) từ (2.23) (2.25) ta có: x(t) ≤ ( I − T ) x(t) = (Sy ) (t) ≤ ( h − 1) b(t) Do x ∈ K Ta định nghĩa Ty : C ( J, E ) → C ( J, E ) = Ty x(t) ( Tx ) (t) + y(t) Khi Ty ánh xạ giãn với hệ số giãn h ≥ Do f toàn ánh từ E lên E nên Ty toàn ánh Theo bổ đề 2.2, Ty có điểm bất động C ( J, E ) , nghĩa tồn x * ∈ C ( J, E ) cho Ty x * = x * hay ( I − T ) x * = y Ta kết luận S ( K ) ⊂ ( I − T )( E ) Bước 4: Chứng minh điều kiện (v) định lí 2.4 thỏa mãn Lấy x ∈  ( E,K;T,S) Do bổ đề 2.3, tồn y ∈ K cho x= (I − T) −1 Sy (2.26) Vì với t,s ∈ J , từ (2.24), (2.26) áp dụng bổ đề 2.3, ta có: x(t) − x(s) ≤ Sy(t) − Sy(s) ≤ b(t) − b(s) h −1 Suy  =  ( E,K;T,S) đẳng liên tục C ( J, E ) Lấy {x n } ⊂  Khi {x n } đẳng liên tục C ( J, E ) tồn { y n } ⊂ K cho = x n Tx n + Sy n Vì từ (2.23) (2.25) ta có x n (t) ≤ (Sy n ) (t) ≤ b(t), ∀t ∈ J h −1 Với t ∈ J tập {x n (t)} compắc yếu tương đối E Từ lập luận ta  có tập {x n : n ∈ } compắc yếu tương đối Theo định lí Eberlein − Smulian ,  compắc yếu tương đối Bước 5: Chứng minh T thỏa mãn điều kiện (iv) định lí 2.4 37 Vì  compắc yếu tương đối nên T (  ) bị chặn (do (H2)) Từ giả thiết thứ hai (H2)  đẳng liên tục suy T (  ) đẳng liên tục Giả sử {x n } ⊂ , x n  x ∈ K C ( J, E ) Xét thấy Tx n ( t )  Tx ( t ) (do (H1)) Vì {Tx n } đẳng liên tục C ( J, E ) nên Tx n  Tx C ( J, E ) Chứng minh bước hoàn tất Theo định lí 2.4, tồn x * ∈ K cho Tx * + Sx * = x * Điều có nghĩa x * nghiệm (2.19) ∎ 38 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN Trong chương ta xét ( E, ) không gian Banach thực 3.1 Không gian Banach có thứ tự [8, mục 2, tr 2] 3.1.1 Nón thứ tự nón 1) Cho K tập lồi đóng E Ta nói K nón i) λK ⊂ K, ∀λ ≥ ii) K ∩ {−K} ={0} 2) Nếu K nón thứ tự “ ≤ ” E sinh K định bởi: x ≤ y ⇔ y − x∈K Cặp (E,K) gọi không gian Banach có thứ tự 3.1.2 Nón chuẩn, nón liên hợp 1) Nón K gọi nón chuẩn tồn số N > cho: 0≤x≤ y⇒ x ≤ N y (3.1) 2) Nón liên hợp nón K tập: K* = {f ∈ X : f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K} * Mệnh đề: x o ∈ K ⇔ f ( x o ) ≥ 0, ∀f ∈ K* Chú ý: Nón liên hợp nón K chưa phải nón 3.1.3 Ánh xạ dương, ánh xạ tăng Cho ánh xạ A : M ⊂ E → E Ta nói: 1) A ánh xạ dương A ( x ) ≥ θ, ∀x ∈ M , x ≥ θ 2) A ánh xạ tăng ∀x, y ∈ M, x ≤ y ⇒ Ax ≤ Ay 3.2 Không gian nón định chuẩn.[8, mục 2, tr 2] Bổ đề 3.1 Cho ( E, ) không gian Banach có thứ tự nón K * phiếm hàm Minkowski tập  B ( θ,1) + K  ∩  B ( θ,1) − K  Khi đó, 39 1) * chuẩn E thỏa mãn u * ≤ u , ∀u ∈ E u * ≤ v * θ ≤ u ≤ v 2) *  K nón chuẩn Định nghĩa 3.1 Cho (E,K) không gian Banach có thứ tự đươc nón K X không gian tuyến tính thực Ánh xạ p : X → E gọi chuẩn nón nếu: i) p ( x ) ∈ K hay p ( x ) ≥ θE , ∀x ∈ X p ( x ) = θE x = θX , θE , θX tương ứng phần tử không E X ii) p ( λx ) = λ p ( x ) , ∀λ ∈ , ∀x ∈ X iii) p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) , ∀x, y ∈ X Khi cặp (X,p) gọi không gian nón định chuẩn (hay K- định chuẩn) Và (X,p) trang bị tôpô τ ta ký hiệu ( X,p,τ ) Ta thường sử dụng hai tôpô sau không gian nón định chuẩn Định nghĩa 3.2 Cho (E,K) không gian Banach có thứ tự (X,p) không gian Kđịnh chuẩn 0E Tập A ⊂ X đóng 1) Ta định nghĩa lim x n = x (X,p) ⇔ lim p ( x n − x ) = n →∞ n →∞ ∀{xn } ⊂ A, lim x n = x x ∈ A Tôpô τ1 = {G ⊂ X|X\G đóng} n →∞ { } * 2) τ2 tôpô X xác định họ nửa chuẩn f  p : f ∈ K Vì ( X,τ2 ) không gian lồi địa phương nên lân cận gốc tập có dạng {x ∈ X : max f  p ( x ) < ε} f ∈ K ,n ∈  , ε > lưới {x } ⊂ X hội tụ x * 1≤i ≤ n i * α i τ2 lim f ( p ( x α − x ) ) = 0, ∀f ∈ K * Định nghĩa Cho (E,K) không gian Banach có thứ tự, (X,p) không gian K-định chuẩn trang bị tôpô τ Ta nói: 1) ( X,p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass với {x n } ⊂ X , ∞ ∑p(x n =1 n +1 hội tụ E {x n } hội tụ ( X,p,τ ) 2) ( X,p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich với {x n } ⊂ X thỏa mãn θE (3.2) p ( x k − x l ) ≤ a n , ∀k,l ≥ n , với {a n } ⊂ K, lim a n = n →∞ 40 − xn ) {x n } hội tụ ( X,p,τ ) Bổ đề 3.2 Cho ( E, ) không gian Banach có thứ tự nón chuẩn K có N = ( N số định nghĩa nón chuẩn (3.1)) (X,p) không gian K- định chuẩn Khi ánh xạ q : X → R, q ( x ) = p ( x ) chuẩn X, có tính chất sau: 1) τ1 trùng với tôpô τ không gian định chuẩn (X,q) 2) Nếu ( X,p,τ1 ) đầy đủ theo Weierstrass (X,q) đầy đủ Chứng minh Rõ ràng q chuẩn X lim p ( x n − x ) = Nên lim x n = x θE ⇔ lim q ( x n − x ) = • n →∞ n →∞ n →∞ ( X, p, τ1 ) ⇔ lim x n = x (X,q) Do đó, tập A đóng ( X, p, τ1 ) ⇔ A đóng (X,q) n →∞ Suy 1) Xét {x n } ⊂ X cho • ∞ ∞ ∑ q ( x ) < ∞ Ta chứng minh chuỗi ∑ x n =1 n n =1 n hội tụ (X,q) Thật vậy, đặt s n = x1 + x + + x n ( n ∈ * ) , ta có ∞ ∑ ∞ p ( s n +1 − s n ) ≤ ∑ q ( x n ) < ∞ Suy chuỗi n 1= n ∞ ∑ p (s n =1 n − s n −1 ) hội tụ ( E, ) Vì ( X,p,τ1 ) đầy đủ theo Weierstrass nên {s n } hội tụ ( X,p,τ1 ) (X,q) ∎ Bổ đề 3.3 Cho (E,K) không gian Banach có thứ tự (X,p) không gian K-định chuẩn, τ tôpô X Khi đó, 1) Nếu ( X,p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich đầy đủ theo Weierstrass 2) Nếu K nón chuẩn ( X,p,τ1 ) đầy đủ theo Weierstrass ( X,p,τ1 ) đầy đủ theo Kantorovich Chứng minh Chứng minh 1) Giả sử {x n } ⊂ X ∞ ∑p(x n =1 n +1 − x n ) hội tụ E Gọi s, sn thứ tự tổng, tổng riêng thứ n chuỗi Với k > l ≥ n , ta có 41 θE p ( x k − x l ) ≤ s k −1 − s l−1 ≤ s − s n với lim ( s − s n ) = n →∞ Do ( X,p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich nên {x n } hội tụ Vậy ( X,p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass Chứng minh 2) Giả sử {x n } ⊂ X thỏa (3.2) tức tồn {a n } ⊂ K cho p ( x k − x l ) ≤ a n , ∀k,l ≥ n với lim a n = θE Do tính chất nón chuẩn K ta có n →∞ p ( x l − x k ) ≤ N a n , {x n } dãy Cauchy (X,q) hội tụ (X,q) Theo bổ đề 3.2, {x n } hội tụ ( X,p,τ1 ) ∎ 3.3 Mở rộng định lí Krasnoselskii không gian nón định chuẩn Định lí 3.1 [8] Cho (E,K) không gian Banach có thứ tự, (X,p) không gian K-định chuẩn τ = τ1 τ = τ2 Giả sử C tập lồi đóng ( X,p,τ ) ánh xạ S,T : C → X thỏa mãn điều kiện: i) T ( x ) + S ( y ) ∈ C, ∀x, y ∈ C ii) S liên tục S ( C ) compắc τ iii) Tồn ánh xạ tuyến tính dương Q : E → E có bán kính phổ r ( Q ) < p ( T(x) − T(y) ) ≤ Q ( p(x − y) ) , ∀x, y ∈ C Khi T+S có điểm bất động trường hợp sau: C1) τ = τ1 , K nón chuẩn, ( X,p,τ1 ) đầy đủ theo Weierstrass C2) τ = τ2 , ( X,p,τ2 ) đầy đủ theo Kantorovich Chứng minh Từ (i) tính đóng C ta thấy T(x) + y ∈ C, ∀x ∈ C , ∀y ∈ S(C) Cố định y ∈ S(C) , ta định nghĩa Ty : C → C Ty= (x) T(x) + y Lấy x o ∈ C , đặt u p(x1 − x o ) Ta có: x n = Ty (x n −1 ) , đặt= p(x n +1 − x n= ) p ( Tx n − Tx n −1 ) ≤ Q ( p(x n − x n −1 ) ) ≤ Q ( p(x n −1 − x n −2 ) ) ≤ Q n ( p(x1 − x o ) ) = Qn ( u ) ∞ Mà ∑ Q (u)= ( I − Q ) n −1 (u) (do Q ≤ r(Q) < ) n =0 42 Gọi sn tổng riêng thứ n chuỗi, với l > k ≥ n l -1 l -1 p(x l − x k ) ≤ ∑ p(x i +1 − x i ) ≤ ∑ Qi (u) i=k i=k ≤ ( I − Q ) (u) − s n → θ n → ∞ −1 Vì ( X,p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich nên tồn x * = lim x n Ta có: n →∞ p ( Ty (x * ) − x * ) ≤ p ( Ty (x * ) − Ty (x n ) ) + p ( x n +1 − x * ) ≤ Q ( p(x * − x n ) ) + p ( x n +1 − x * ) (3.3) ) (3.4) Và ( f p ( Ty (x * ) − x * ) ≤ f  Q ( p ( x * − x n ) ) + f  p ( x n +1 − x * ) , ∀f ∈ K * Trường hợp C1) xảy ra, cho n → ∞ (3.3) ta có Ty (x * ) = x * Trường hợp C2), từ (3.4) f  Q ∈ K* ta có Ty (x * ) = x * Ty có điểm bất động Thật vậy, giả sử Ty (a) = a Lúc p ( a − x= p ( Ty (a) − Ty (x * ) ) ≤ Q ( p ( a − x * ) ) *) ⇒ ( I − Q ) ( p ( a − x* ) ) ≤ Vì ( I − Q ) tuyến tính dương nên p ( a − x * ) = θE Do a = x * Điểm bất động −1 Ty Như với y ∈ S(C) tồn x ∈ C cho Ty (x) = x Suy toán tử F := ( I − T ) :S(C) → C định nghĩa tốt Ta chứng minh F liên tục −1 Giả sử ( yα ) ⊂ S(C) , yα → y ∈ S(C) τ Đặt x α = (I − T) ( yα ), x = (I − T) ( y) −1 −1 Xét thấy: p ( x α − x ) ≤ p ( T(x α ) − T(x) ) + p ( yα − y ) ≤ Q ( p ( x α − x ) ) + p ( yα − y ) (p( y Dẫn tới : p ( xα − x ) ≤ ( I − Q) Và: f  p ( xα − x ) ≤ f  ( I − Q) −1 α −1 − y )) (p( y α (3.5) − y ) ) , ∀f ∈ K* Trường hợp C1), K nón chuẩn (3.5) ta có x α → x τ1 43 (3.6) Trường hợp C2), (3.6) f  ( I − Q ) ∈ K* nên x α → x τ2 −1 Toán tử (I − T) cho x= −1 (I − T) −1  S : C → C liên tục, tập (I − T) −1 ánh xạ đồng phôi Theo định lí Tychonoff, tồn x ∈ C (I−T) −1 S(x) hay = x T(x) + S(x) ∎ 44 (  S(C) = ( I − T ) S(C) −1 ) KẾT LUẬN Trong luận văn giới thiệu cách hệ thống tương đối đầy đủ mở rộng định lí Krasnoselskii cho ba lớp không gian không gian lồi địa phương, không gian với tôpô yếu, không gian nón định chuẩn Qua trình thực luận văn, hiểu sâu kiến thức chương trình học Cao học Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Phương trình vi phân, biết mối liên hệ chúng vận dụng vào học tập vấn đề Tôi bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Chúng hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn muốn tìm hiểu thêm điểm bất động dạng Krasnoselskii 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Hoàn Hóa (2010), Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình (Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở, Mã số: CS.2008.19.02) Tiếng Anh C.S Barroso and E.V Teixeira (2005), A topological and geometric approach to fixed points results for sum of operators and applications, Nonlinear Anal (60), 625-650 C.S Barroso (2009), The appropriate fixed point property in Hausdorff topological vector spaces and applications, Discrete Contin Dyn Syst, 467-479 K Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag N Dunford and J Schwartz (1986), Linear operators, Part 1: General theory, New York, pp.430-431 R.E Edwards (1965), Functional Analysis: Theory and applications, Holt, Rinehart and Winton, New York L.H Hoa, K Schmitt (1994), Fixed point theorem of Krasnoselskii type in locally convex space and applications to intergral equations, Results in Math, v.25, pp.291-313 Nguyen Bich Huy, Nguyen Huu Khanh, Vo Viet Tri (2013), Fixed point theorems via cone-norms and cone-valued measures of noncompactness, Bài gửi đăng Tian Xiang, Rong Yuan(2010), Krasnoselskii-type fixed point theorems under weak topology settings and applications, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2010, No 35, pp 1-15 46 [...]... C là toán tử compắc trên D Theo định lí điểm bất động Schauder-Tychonoff, ( I − U ) C có −1 điểm bất động trong D, chính xác đó là điểm bất động của U+C trong D ∎ Cho X là không gian Banach, một sự mở rộng nổi tiếng về định lí điểm bất động của Schauder bởi F.E Browder phát biểu rằng: nếu C compắc trên X sao cho với k nào đó Ck ( X ) bị chặn thì khi đó C có điểm bất động Ta xét toán tử dạng U+C trong... gian Banach X Khi đó mỗi ánh xạ f : K → K demi-liên tục (nghĩa là ∀{x n } ⊂ K , x n → x thì f ( x n )  f ( x ) ) có một dãy điểm bất động trong K Chứng minh Xem [3, Định lý 3.3] 2.2 Một số mở rộng của định lí Krasnoselskii trong tôpô yếu Định lí 2.2 [9, định lí 2.6] Cho K ⊂ E là tập lồi đóng, khác rỗng và các ánh xạ T,S: K → E Giả sử rằng: i) S liên tục yếu theo dãy ii) T là ánh xạ giãn iii) z ∈ S (... K → H liên tục Theo định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại x * ∈ H sao cho g ( f (x * ) ) = x * Ta có x − g ( x )= x = f ( x* ) n ∑ β (x) ( x − x ) ∈ V, ∀x ∈ K i =1 i i Thay ta được f ( x * ) − x * ∈ V Suy ra f ( x * ) ∈ x * + V Ta gặp mâu thuẫn Vậy f có điểm bất động trong K ∎ 1.6 Một số định lí điểm bất động kiểu Krasnoselskii Định lí 1.2 [1, định lí 3.2, tr 100] Cho X là một không gian lồi địa... p x − T p y ≤ T p x − y (2.6) Vậy Tzp cũng là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, Tzp có điểm bất động duy nhất x * ∈ X Ta có Tzp ( x * ) = x * p * p * T= Tz ( x * ) nên Tz x * cũng là điểm bất động của Tzp Từ tính Do T= z ( Tz x ) z ( Tz x ) duy nhất của điểm bất động ta có Tz ( x * ) = x * Điều này có nghĩa x * cũng chính là điểm bất động của Tz Như vậy với z ∈ X tồn tại x * ∈ X sao cho... P p(x )→∞ p(x) lim Khi đó U+ C có điểm bất động Chứng minh Vì U thỏa mãn điều kiện (A) nên I − U là một phép đồng phôi trên X, do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một tập con lồi đóng bị chặn D của X sao cho với bất kỳ x thuộc D, điểm bất động duy nhất của U C( x ) thuộc về D Giả sử zo là 11 điểm bất động của Uxo (điều này có được là do định lí 1.1, bước 1) Với bất kỳ x ∈ X và p ∈ P ta có: ( ) r... kiện của định lí 2.6 được thỏa mãn Do đó, T+S có điểm bất động trong BR ∎ Hệ quả 2.5 [9, hệ quả 2.18] Trong không gian Banach phản xạ E cho các ánh xạ S : E → E liên tục yếu theo dãy, T : E → E tuyến tính, co với hệ số α < 1 Giả sử rằng tồn tại R sao cho S ( BR ) ⊂ B(1−α )R Khi đó T+S có ít nhất một điểm bất động trong BR Chứng minh Xét thấy • T là ánh xạ co trên E nên F := I − T : E → E là toàn ánh. .. kiện của định lí 2.6 đều được thỏa mãn Do đó T+S có điểm bất động trong BR ∎ Hệ quả 2.6 [9, hệ quả 2.19] Trong không gian Banach phản xạ E cho các ánh xạ S : E → E liên tục yếu theo dãy, T : E → E tuyến tính, bị chặn Giả sử tồn tại p ∈ N sao cho T p là ánh xạ co với hệ số α < 1 và tồn tại R > 0 sao cho S ( BR ) ⊂ Bγ −1R ( γ p xác định như trong bổ đề 2.5) Khi p đó T+S có ít nhất một điểm bất động trong... Xét ánh xạ T : R → R định bởi 2x − 1, x ≤ 0 T(x) =  2x + 1, x ≥ 0 Rõ ràng T là ánh xạ giãn (h = 2) nhưng T(R) = ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) không đóng Nhận xét 2.2 Cho T : E → E ánh xạ co hoặc giãn với hệ số h > 1 Khi đó nếu T(E) = E thì ( I − T ) (E) = E Chứng minh Cố định y ∈ E , ta định nghĩa Ty : E → E bởi Ty (x) = Tx + y Nếu T là ánh xạ co thì áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, còn T là ánh xạ giãn... (i)-(iv) của định lí 2.4 được thỏa mãn, ánh xạ ( I − T ) S : C → C liên tục yếu theo dãy Áp dụng bổ đề −1 2.2, ( I − T ) S có duy nhất điểm bất động x * ∈ C , chính là điểm bất động của T+S −1 trong K ∎ Hệ quả thứ hai của định lí 2.4 liên quan tới ánh xạ không-co Hệ quả 2.3 [9, hệ quả 2.11] Cho K ⊂ E là tập lồi, khác rỗng và compắc yếu Giả sử rằng các ánh xạ T : E → E, S: K → E liên tục yếu theo dãy... phản xạ, K ⊂ E là tập lồi, khác rỗng và compắc yếu Giả sử rằng các ánh xạ T, S thỏa mãn các điều kiện (i)-(iv) của định lí 2.4 Nếu tập  ( E, K;T,S) bị chặn trong E thì T+S có ít nhất một điểm bất động trong K Chứng minh Nếu  ( E, K;T,S) bị chặn trong E thì = C : co (  ) ⊂ K là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian phản xạ nên compắc yếu Khi các giả thiết (i)-(iv) của định lí 2.4 được thỏa mãn, ánh ... cứu điểm bất động kỉ 20, phát triển hoàn thiện đến ngày Có hai định lí điểm bất động quan trọng định lí Banach điểm bất động ánh xạ co không gian metric đầy đủ định lí Schauder điểm bất động ánh. .. HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hải Ngọc MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... tử compắc D Theo định lí điểm bất động Schauder-Tychonoff, ( I − U ) C có −1 điểm bất động D, xác điểm bất động U+C D ∎ Cho X không gian Banach, mở rộng tiếng định lí điểm bất động Schauder F.E