BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Giang Tuyết Loan MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VỚI GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Giang Tuyết Loan MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VỚI GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn tất Thầy Cô tận tình dạy dỗ suốt trình học Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học tạo điều kiện cho học tập tốt Tôi xin kính gởi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn Bích Huy , người thầy nhiệt tình hướng dẫn thực đề tài Trong suốt thời gian học tập thực khóa luận, học tập nhiều kiến thức bổ ích nhiều kinh nghiệm bảo ân cần Thầy Mặc dù cố gắng hoàn thiện đề tài không tránh khỏi nhiều sai sót Kính mong nhận xét đánh giá Thầy Cô Tôi xin kính chúc Thầy Cô khỏe mạnh, tiếp tục đạt nhiều thành công nghiệp giảng dạy nghiên cứu khoa học nghiệp trồng người Tôi xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHÔNG GIÃN 1.1 Một số định nghĩa tính chất ánh xạ đa trị co ánh xạ đa trị không giãn 1.2 Một số định lí điểm bất động 1.3 Một số kết đồng luân ánh xạ đa trị co .14 CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 25 2.1 Liểm bất động ánh xạ tăng đa trị 25 2.1.1 Nguyên lí Entropy 25 2.1.2 Một số khái niệm 26 2.2 Lát cắt ánh xa tăng đa trị 31 2.2.1 Các khái niệm liên quan .31 2.2.2 Một số định lí tồn lát cắt đơn điệu ánh xạ đa trị tăng 33 CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ PHÂN TÍCH ĐƯỢC 45 3.1 Một số khái niệm liên quan 45 3.2 Tập phân tích được, tính chất 46 3.3 Sự tồn lát cắt ánh xạ đa trị có giá trị phân tích .60 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 LỜI MỞ ĐẦU Các ánh xạ đa trị nghiên cứu cách hệ thống Toán học năm 1950 -1960 nhu cầu phát triển nội Toán học nhu cầu mô tả nghiên cứu mô hình phát sinh từ khoa học Tự nhiên Xã hội Chúng ứng dụng rộng rãi nghiên cứu bao hàm thức vi phân, tích phân, Lý thuyết điều khiển tối ưu, Tin học lý thuyết… Các ánh xạ đa trị nghiên cứu ban đầu có giá trị tập lồi Nhờ tính chất ta chứng minh tồn lát cắt đơn trị ánh xạ đa trị nhờ nhiều kết ánh xạ đơn trị mở rộng lên ánh xạ đa trị với giá trị lồi Các ánh xạ đa trị với giá trị lồi nghiên cứu đầy đủ Cùng với phát triển khoa học kĩ thuật mà nhu cầu nghiên cứu ánh xạ đa trị với giá trị không lồi đặt Việc nghiên cứu ánh xạ phức tạp nhiều ta cần tìm tính chất ánh xạ thay tính chất lồi, ví dụ tính co ánh xạ, tính tăng ánh xạ thứ tự, tính phân tích tập ảnh,… Lớp ánh xạ đa trị với giá trị không lồi chưa nghiên cứu nhiều Các kết nhận chưa đầy đủ nhiều vấn đề chờ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu ba dạng ánh xạ đa trị không lồi ánh xạ co đa trị, ánh xạ tăng đa trị ánh xạ đa trị có giá trị phân tích Gồm có ba chương : Chương 1: “Ánh xạ đa trị co ánh xạ đa trị không giãn”.Trong chương này, khái niệm ánh xạ đa trị co ánh xa đa trị không giãn định nghĩa dựa vào khái niệm metric Hausdorff Tôi trình bày vài kết điểm bất động lớp ánh xạ đa trị Chương 2: “Ánh xạđa trị tăng” Chương trình bày số khái niệm quan hệ thứ tự hai tập hợp Từ định nghĩa kiểu tăng ánh xạ đa trị Trong chương này, có trình bày định lý điểm bất động điều kiện đề có lát cắt đơn điệu loại ánh xạ Chương 3: “Ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được”.Chương giới thiệu khái niệm ánh xạ đa trị có giá trị phân tích số tính chất Ngoài trình bày số điều kiện để tồn lát cắt liên tục loại ánh xạ Kết chương định lí điểm bất động ánh xạ đa trị có giá trị phân tích BẢNG KÍ HIỆU N : tập hợp số tự nhiên R : tập hợp số thực N ( X ) : tập hợp tập khác rỗng X cl ( X ) : tập hợp tập đóng khác rỗng X bcl ( X ) : tập hợp tập đóng, bị chặn, khác rỗng X co ( X ) : tập hợp tập lồi khác rỗng X X * : không gian đối ngẫu không gian X M (T , X ) : tập hợp ánh xạ đo từ T vào X Lp (T , X ) : không gian ánh xạ khả tích Bochner với chuẩn pp  = u p  ∫ u ( t )  , ≤ p < +∞ , u   T  ∞ B( x, r ) : cầu mở tâm x bán kính r U : bao đóng U = ess sup u ( t ) CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHÔNG GIÃN Trong chương trình bày vài kết điểm bất động ánh xạ co ánh xạ đa trị không giãn Các kết trích dẫn từ tài liệu [1] 1.1 Một số định nghĩa tính chất ánh xạ đa trị co ánh xạ đa trị không giãn Cho ( X , d ) không gian metric Với C ⊂ X , r > ta định nghĩa B (C , r ) =  B ( x, r ) x∈C ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 [1]:Với C , K hai tập đóng khác rỗng X Ta định nghĩa khoảng cách hai tập hợp C , K D(C= , K ) : inf {ε > :C ⊆ B( K , ε ), K ⊆ B(C , ε ) } ∈ [ 0, +∞ ] D gọi metric Hausdorff Ví dụ 1.1.1 : Trong R ,C = {( x, y ) :0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}, K = {( x, y ) : y = 2,1 ≤ x ≤ 2} Khi D ( C , K ) = Thật vậy, với ε > thỏa mãn C ⊆ B( K , ε ) ta có ( 0,0 ) ∈ K ⇒ ( 0,0 ) ∈ B ( C , ε ) ⇒ ∃( a, b ) ∈ C : mà ≤ a ≤ 2, b = nên ε > a + b ≥ ( a − 0) + (b − 0) < ε Với δ > ta chứng minh C ⊆ B( K , + δ ), K ⊆ B(C , + δ ) Với ( a, b ) ∈ C , ∃(1, ) ∈ K , (1 − a ) + ( − b ) ≤ 12 + 22 = ( c,2 ) ∈ K , ∃(1,1) ∈ C , ( c − 1) + ( − 1) 2 ≤ ( c − 1) < +δ +1 ≤ < +δ Vậy inf {ε > :C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε ) } = = C Nhận xét 1.1.1: Nếu x} , K { y} D ( C , K ) = d ( x, y ) {= Nếu C = { x} , K có phần tử d ( x, K ) D ( C , K ) nói chung không MỆNH ĐỀ 1.1.1:Với C , K tập đóng, bị chặn, khác rỗng không gian metric ( X , d ) ta có định nghĩa khoảng cách hai tập sau = d ( c, K ) inf {d ( c, k ) , k ∈ K } ρ ( C , K )= sup {d ( c, K ) , c ∈ C} , ρ ( K , C )= sup {d ( k , C ) , k ∈ K } D ( C , K ) = max { ρ ( C , K ) , ρ ( K , C )} Khi định nghĩa tương đương với định nghĩa 1.1.1 Chứng minh Đặt α = inf {ε > :C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε ) } β = max { ρ ( C , K ) , ρ ( K , C )} Chứng minh β ≤ α Lấy ε > thỏa mãn C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε ) Với c ∈ C , C ⊆ B ( K , ε ) nên ∃k ∈ K : c ∈ B (k , ε ) Do d ( c, k ) < ε Suy d ( c, K ) < ε ⇒ ρ ( C , K ) ≤ ε Lập luận tương tự ta có ρ ( K , C ) ≤ ε Vậy β ≤ α Chứng minh α < β + ε , ∀ε > Với c ∈ C , ta có ρ ( C , K ) ≤ n ⇒ d ( c, K ) ≤ n ⇒ ∃k ∈ K : d ( c, k ) < n + ε Do c ∈ B (k , β + ε ) ⇒ C ⊆ B ( K , β + ε ) Lập luận tương tự ta có K ⊆ B (C , β + ε ) Do định nghĩa α nên ta có α < β + ε , ∀ε > Suy α ≤ β Vậy α = β Nhận xét 1.1.2 *) C , K tập đóng, bị chặn, khác rỗng, x ∈ X ta có d ( x, C ) ≤ d ( x, K ) + D ( K , C ) *) với A, B hai tập đóng , bị chặn, khác rỗng không gian Banach X số t > Khi D ( tA, tB ) = tD ( A, B ) Thật= , đặt α D= ( tA, tB ) , β D ( A, B ) +) Với ε > thỏa mãn tA ⊂ B ( tB, ε ) , tB ⊂ B ( tA, ε ) Với a ∈ A, ∃b ∈ B : ta − tb < ε ( tA ⊂ B ( tB, ε ) ) Do a − b < ε  ε ⇒ A ⊂ B  B, t  t    ε   Chứng minh tương tự ta có B ⊂ B  A,  Suy β ≤ t ε ⇒ βt ≤ ε t Mà α = inf {ε > : tA ⊂ B ( tB, ε ) , tB ⊂ B ( tA, ε )} nên β t ≤ α +) Với δ > bất kì, ta chứng minh α ≤ β t + δ   Với mọi= y ta, a ∈ A Do A ⊂ B  B, β + δ δ  nên có b ∈ B : a − b < b + t t Suy ta − tb < t b + δ nên ⇒ tA ⊂ B ( tB, t β + δ ) Chứng minh tương tự tB ⊂ B ( tA, t β + δ ) Suy α ≤ β t + δ Vậy α ≤ β t ĐỊNH NGHĨA 1.1.2 [1] Cho C tập khác rỗng X Ánh xạ đa trị F : C → X có giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng gọi co tồn số k ,0 ≤ k < thỏa mãn D ( F ( x), F ( y ) ) ≤ kd ( x, y ) , ∀x, y ∈ C Và F gọi không giãn D ( F ( x), F ( y ) ) ≤ d ( x, y ) , ∀x, y ∈ C     B 0, x , x ≠ O(0,0) Ví dụ 1.1.2 Cho F : R → R định F ( x) =    , O(0,0) , x = O(0,0)  xét với chuẩn Euclide Do P liên tục nên có un ∈ P ( sn ) thỏa mãn un → u0 Xét hàm số = un + v0 − u0 + n Ta có ∈ R ( sn ) ⊂ F → v0 L1 (T , R ) Do v0 ∈ F MỆNH ĐỀ 3.3.2 [4 ] Cho P : S → dec(T , X ) anh1 xạ đa trị nửa liên tục Giả sử tồn ánh xạ liên tục ϕ : S → L1 (T , X ) r : S → L1 (T , R ) thỏa mãn với s ∈ S , tập hợp G ( s )= {u ∈ P( s) : u (t ) − ϕ ( s)(t ) < r ( s)(t ) h.k n T } ≠ ∅ Khi G : S → dec(T , X ) liên tục Chứng minh Dễ thấy G ( s ) tập phân tích Vì P ( s ) − ϕ ( s ) liên tục nên cần thiết ta giả sử ϕ ≡ Vì ta giả sử G (s) = {u ∈ P( s) : u (t ) < r ( s)(t) h.k.n T } Ta chứng minh G liên tục Lấy tập đóng F L1 (T , R ) Lấy dãy sn → s0 thỏa G ( sn ) ⊂ F với n = 1, 2, , Lấy u0 ∈ G ( s0 ) Ta có u (t ) < r ( so )(t ) h.k.n T Do P liên tục nên có un ∈ P ( sn ), n = 1, thỏa mãn un → u0 Ta giả sử un → u0 r ( sn ) → r ( s0 ) h.k.n T Áp dụng định lý Egorow, tồn dãy tăng {Ti } gồm tập đo thỏa mãn ∫ T \Ti r ( s0 )(t )ϕ (dt ) < u → u0 , r ( sn ) → r ( s0 ) Ti i 61   Xét tâp hợp T i , k = t ∈ Ti : u0 (t ) < r ( s0 )(t ) − { } Ta có Ti , k ∞ k =1  h.k n T  k  với i dãy tăng tập đo thỏa mãn ∫ r ( s0 )(t ) µ (dt ) < Ti \ Ti , k ( i ) ∫ T i, k = Ti k =1 Do với i, có số k (i ) thỏa mãn Suy ∞ i i r ( s0 )(t ) µ (dt ) < T \ Ti , k ( i ) un → u0 , r ( sn ) → r ( s0 ) Ti , k ( i ) u0 (t ) < r ( s0 )(t ) − Ti , k ( i ) k (i ) Do tính hội tụ điều nên tồn {ni }i =1 thỏa mãn với n ≥ n0 , ta có ∞ un (t ) < r ( sn )(t ) Ti , k (i ) Ta giả sử {ni }i =1 dãy tăng ngặt Với ∈ G ( sn ) , với ni ≤ n ≤ ni +1 , ta ∞ − u0 có ωn= ∫ (t ) − v0 (t ) µ (dt ) + T \Ti , k ( i ) ≤ ∫ ∫ un (t ) − u0 (t ) µ (dt ) Ti , k ( i ) r ( sn )(t ) µ (dt ) + T \Ti , k ( i ) ∫ u0 (t ) µ (dt ) + un − u0 T \Ti , k ( i ) ≤ r ( sn ) − r ( s0 ) + ∫ r0 (t ) µ (dt ) + un − u0 T \Ti , k ( i ) ≤ r ( sn ) − r ( s0 ) + un − u0 + i Suy điều phải chứng minh ĐỊNH LÝ 3.3.1 (Bressan-Colombo-Fryszkowski) Giả sử P : S → dcl (T , X ) ánh xạ đa trị nửa liên tục Khi P có lát cắt liên tục 62 Chứng minh Bước I Với ε > , ta xây dựng ánh xạ liên tục p : S → L1 (T , X ) ϕ : S → L1 (T , R) thỏa mãn với s ∈ S , ϕ ( s ) < ε (3.2.2) P ( s ) ∩ {u : u (t ) − p ( s )(t ) < ϕ ( s )(t )} ≠ ∅ Cố định ε > 0, s0 ∈ S u0 ∈ P ( s0 ) Xét ánh xạ ψS ,u : S → L1 (T , R ) định ψs = es sinf { u (t ) − u0 (t ) : u ∈ P ( s )} ,u 0 Hiển nhiên ψ S , u ( s0 ) = (3.2.3) Đặt ánh xạ đa trị : φs ,u { (s) = cl v ∈ L1 (T , R ) : v(t ) > ψ s , u ( s )(t ) h.k.n T ( } ) Do mệnh đề 3.10, ánh xạ φ S , u : S → clco L1 (T , R ) liên tục dưới, (3.2.3) nên ⊂ φ s ,u ( s0 ) Do theo định lý lát cắt Michael, φ s ,u có lát cắt liên tục ϕ s , u : S → L1 (T , R ) thỏa mãn ϕ s , u ( s0 ) =   Xét tập Vs , u = s ∈ S : ϕs , u (s) < ε  2 (3.2.4) 63 { Vs , u lân cận mở s0 Hơn ,họ Vs , u } s ∈S , u 0∈ P ( s ) họ tập mở không gian metric khả ly Do đó, tồn phân hoạch liên tục hữu hạn địa phương { zn }n=1 ∞ { tựa Vs , u } s ∈S , u 0∈ P ( s ) Lấy sn , u n thỏa mãn 1, 2, zn−1 (0;1] ⊂ Vs n , u n n = Và tập hợp ϕ n = ϕ s n , u n Vn = Vs n , u n Từ (3.2.4) , ta có s ∈ S n = 1, 2, zn ( s ) ∫ ϕn ( s )(t ) µ (dt) ≤ T Do ε zn ( s ) ε ∞ ∑ z (s) ∫ ϕ (s)(t )µ (dt) ≤ (3.2.5) n =1 n n T Theo định lý 18 [Andrzej Fryszkowski, Fixed Point Theory for Decomposable Sets, trang 51] , tập hợp T có họ liên tục phân hoạch { An ( s )}n=1 có tính chất ∞ với s ∈ S , n = 1, 2, ∞ ε − ϕ ( s )( t ) µ (dt) zn ( s ) ∫ ϕn ( s )(t ) µ (dt) < (3.2.6) ∑ ∑ n ∫ n 1= n = A (s) T ∞ n Do từ (3.2.5),(3.2.6) , ta có ∞ ∑∫ n =1 An ( s ) ϕn ( s )(t ) µ (dt) < ε (3.2.7) 64 Đặt p ( s ) = ∞ ∑u χ n n =1 ϕ ( s ) = An ( s ) ∞ ∑ϕ ( s) χ n =1 n An ( s ) Do (3.2.7) nên (3.2.2) thỏa mãn Ta chứng minh p,ϕ ánh xạ liên tục với s ∈ S , P ( s ) ∩ {u : u (t ) − p ( s )(t ) < ϕ ( s )(t )} ≠ ∅ Cố định s ∈ S đặt ∧( s ) = {i1, i2 , , im } thỏa mãn s ∈ n V k =1 Ta có p ( s ) = m ∑u k =1 ik ( s ) χ Ai k (s) m ϕ ( s) = ∑ϕ i ( s) χ A k k =1 ik (s) Hiển nhiên với k = 1, 2, , m ta có ϕi k ( s ) < ε Lấy uk ∈ P ( s ) thỏa mãn uk (t ) − ui k ( s )(t ) < ϕi k ( s )(t ) h.k.n T Đặt u = m ∑u χ k k =1 Ai k ( s ) Do , tính phân tích u ∈ P ( s ) Và u (t ) − p ( s )(t ) = m ∑u k =1 k (t ) − ui (t ) χ Ai k m < ∑ϕi k ( s )(t ) χ Ai k =1 k (s) k (s) (t ) = ϕ ( s )(t ) h.k.n T Bước II 65 ik Với n=0, Đặt P0 ( s ) = P ( s ) Do bước I , với ε= 1 , ta có ánh xạ liên tục p1 : S → L (T , X ) ϕ1 : S → L1 (T , R) thỏa mãn với s ∈ S ta có ϕ ( s ) < 21 P0 ( s ) ∩ {u : u (t ) − p1 ( s )(t ) < ϕ1 ( s )(t ) h.k n T } ≠ ∅ Khi theo mệnh đề 3.11, ánh xạ đa trị P1 : T → dcl (T , X ) { } P1 ( s ) = cl P0 ( s ) ∩ {u : u (t ) − p1 ( s )(t ) < ϕ1 ( s )(t ) h.k.n T } nửa liên tục Giả sử ta xây dựng dãy ánh xạ liên tục p1 , p2 , , pn : S → L1 (T , X ), ϕ1 ,ϕ2 , ,ϕn : S → L1 (T , R ) axđt liên tục P0 , , Pn−1 : S → dcl (T , X ) thỏa mãn với s ∈ S = k 0,1, , n − , ta có ϕn ( s) < , Pn−1 ( s ) ∩ {u : u (t ) − pn ( s)(t ) < ϕn ( s)(t ) h.k.n T } ≠ ∅ 2n Pn−1 ( s ) ⊂ Pn−2 ( s ) ⊂ ⊂ P0 ( s ) { } Đặt Pn ( s ) = cl Pn−1 ( s ) ∩ {u : u (t ) − pn ( s )(t ) < ϕ n ( s )(t ) h.k.n T } Ta chứng minh ánh xạ đa trị liên tục Do bước I với ε= 1 n +1 , tồn ánh xạ liên tục pn +1 : S → L (T , X ) ϕn+1 : S → L1 (T , R) thỏa mãn với s ∈ S , ϕn+1 ( s ) < 2n+1 Pn ( s ) ∩ {u : u (t ) − pn+1 ( s )(t ) < ϕ n+1 ( s )(t ) h.k.n T } ≠ ∅ 66 { } Đặt Pn+1 ( s ) = cl Pn ( s ) ∩ {u : u (t ) − pn+1 ( s )(t ) < ϕ n+1 ( s )(t ) h.k.n T } Dễ thấy Pn+1 : S → dcl (T , X ) liên tục d ( Pn+1 ( s ), Pn ( s ) ) ≤ Và Pn+1 ( s ) ⊂ Pn ( s ) ⊂ ⊂ P0 ( s ) , 2n+1 Bước III Ta chứng minh pn → p p lát cắt Với số n ∈  k ≥ , ta có Pn+ k −1 ( s ) ⊂ Pn ( s ) ⊂ P ( s ) (3.2.8) Và d ( pn+ k ( s ), Pn ( s ) ) ≤ d ( pn+ k ( s ), Pn+ k −1 ( s ) ) ≤ 2n+ k Do pn+ k ( s ) − pn+1 ( s ) ≤ d ( pn+ k ( s ), Pn ( s ) ) + d ( pn+1 ( s ), Pn ( s ) ) ≤ Như , dãy n+k + 1 ≤ n−1 n 2 { pn }n=1 ⊂ C ( S , L1 (T , X ) ) ∞ hàm liên tục thỏa mãn điều kiện uniform Cauchy Do có ánh xạ liên tục p cho pn → p , p lát cắt cần tìm theo (9.8), ta= có d ( p ( s ), P ( s ) ) lim = d ( pk ( s ), P0 ( s ) ) k →∞ HỆ QUẢ 3.3.1 [4 ] Cho P : S → dcl (T , X ) ánh xạ đa trị nửa liên tục F ⊂ S tập đóng Xét ánh xạ liên tục p : F → L1 (T , X ) thỏa mãn với s ∈ F ta có p ( s ) ∈ P ( s ) Khi p mở rộng thành lát cắt liên tục P Cụ thể với s0 ∈ S u0 ∈ P ( s0 ) tồn lát cắt liên tục ps 0, u P thỏa mãn ps 0, u ( s0 ) = u0 (3.2.9) Hơn , với s ∈ S ta có biểu diễn sau = P( s) {p s 0, u } ( s ) : s0 ∈ S , u0 ∈ P ( s0 ) 67 (3.2.10) Chứng minh Xét ánh xạ đa trị PF định { p( s )} PF ( s ) =   P( s) s∈F (3.2.11) s∈F Ta thấy PF : S → dec(T , X ) ánh xạ đa trị liên tục Theo định lý Bressan-Colombo-Fryszkowski PF có lát cắt liên tục, Cụ thể : F = {s0 } , ta mở rộng pF ( s0 ) = u0 s0 ∈ S u0 ∈ P ( s0 ) bất kì, suy đpcm ĐỊNH LÍ 3.3.2[Andrzej Fryszkowski, Fixed Point Theory for Decomposable Sets, trang 134, định lí 43 ] Cho P : S → dcl (T , X ) ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, giả sử có ánh xạ liên tục ϕ : S → L1 (T , X ) r : S → ( 0; ∞ ) thỏa mãn với s ∈ S , tập hợp Φ= ( s ) P( s ) ∩ B (ϕ ( s ), r ( s ) ) ≠ ∅ ( ) Khi ánh xạ đa trị Φ : S → N L1 (T , X ) có lát cắt liên tục Chứng minh Vì ánh xạ đa trị ( P( s) − ϕ (s) ) nửa liên tục có giá r (s) trị đóng, phân tích Khi ta giả sử ϕ ≡ r = Φ= ( s ) P ( s ) ∩ B (0,1) ≠ ∅ Cố định s0 ∈ S , u0 ∈ Φ ( s0 ) đặt ps , u lát cắt liên tục P thỏa mãn  ps , u ( s0 ) = u0 Xét tập hợp Vs , u =  s ∈ S : ps , u ( s ) <  (3.2.12) 68 1 + u0    Ta có Vs , u lân cận mở s0 Hơn nữa, tính liên tục nên họ {V } s ,u s 0∈S , u 0∈P ( s ) phủ mở không gian S metric khả ly Do có phân { hoach liên tục hữu hạn địa phương { zn }n=1 phụ thuộc Vs , u ∞ } s 0∈S , u 0∈P ( s ) Đặt sn un thỏa mãn zn−1 (0,1] ⊂ Vs n , u n 1,2, n= = pn p= Vs n , u n s n , u n , Vn Từ (3.2.12), ta có s ∈ S n = 1, 2, = zn ( s ) pn ( s ) zn ( s ) ∫ pn ( s )(t ) ϕ (dt ) ≤ (1 + u ) z (s) n n T (3.2.13) ∞ Do ∞ ∑ zn (s)∫ pn (s)(t ) ϕ (dt ) ≤ ∑ (1 + u ) z (s) = n 1= n T n n Theo định lý 18 [Andrzej Fryszkowski, Fixed Point Theory for Decomposable Sets, trang 51] T có họ liên tục phân hoạch { An ( s )}n=1 có tính chất với ∞ s ∈ S, n = 1, 2, ∫ An ( s ) pn ( s )(t ) ϕ (dt ) − zn ( s ) ∫ pn ( s )(t ) ϕ (dt ) < T (1 + u ) z (s) n n (3.2.14) ∞ Suy ∑∫ ∞ pn ( s )(t ) ϕ (dt ) − zn ( s ) ∫ pn ( s )(t ) ϕ (dt ) < ∑ n 1= n An ( s ) T 69 (1 + u ) z (s) n n Từ (3.2.13),(3.2.14) ta có ∞ ∑∫ ∞ pn ( s )ϕ (dt ) ≤ ∑ ∫ n 1= n An ( s ) = An ( s ) Đặt p ( s ) = pn ( s )(t )ϕ (dt ) < 1(3.2.15) ∞ ∑ p (s) χ n =1 n An ( s ) Khi p lát cắt liên tục P Từ (3.2.15) ta có p ánh xạ cần tìm HỆ QUẢ 3.3.2 [4 ] Cho P : S → dcl (T , X ) ánh xạ đa trị nửa liên tục Cố định s0 ∈ S , u0 ∈ P ( s0 ) r > , đặt V= P −1B ( u0 , r )= {s ∈ S : P( s) ∩ B(u0 , r ) ≠ ∅} ( ) Với tập đóng F ⊂ V , xét ánh xạ đa trị R : S → N L1 (T , X ) cho  P( s ) ∩ B ( u0 , r ) R − (s) =   P( s ) s∈F s∈F Khi R có lát cắt liên tục Chứng minh Ta có ( P( s) − u0 ) ánh xạ đa trị liên tục dưới, có giá trị đóng, phân r (s)   ( P( s) − u0 ) ∩ B(0,1) ≠ ∅  r (s)  tích với s ∈ S , tập hợp  ( ) Theo định lý 3.4 ánh xạ đa trị PF : F → N L1 (T , X ) cho   P = ( P( s) − u0 ) ∩ B(0,1) có lát cắt liên tục pF : F → L1 (T , X ) Đặt  F (s)  r (s)  ánh xạ liên tục p : F → L1 (T , X ) sau := p ( s ) rp F ( s ) + u0 70 Ta có pF lát cắt liên tục R F Suy pF lát cắt PF Theo hệ 3.3 ta mở rộng thành lát cắt liên tục p P Do R có lát cắt liên tục ĐỊNH LÍ 3.3.3 [4 ] Cho ánh xạ đa trị P : S → dcl (T , X ) Khi P nửa liên 1,2, với tục có ánh xạ liên tục pn : S → L1 (T , X ) n = s ∈ S , = ta có P ( s ) cl= { pn ( s) : n 1,2, } (3.2.16) Chứng minh Lấy {un }n=1 tập trù mật L1 (T , X ) Với k = 1, 2, Xét họ tập mở ∞   1   1 = Vn ,k P − B = un ,   s : P ( s ) ∩ B  un ,  ≠ ∅   k   k  Do {un }n=1 tập trù mật nên ta có S = ∞ ∞ V n ,k n ,k =1 Ta có, không gian metric khả li, tập mở phân tích thành hợp đếm tập đóng Do với n, k = 1, 2, tồn tập đóng Fn ,k ,m m = 1, 2, thỏa mãn Vn ,k = ∞ F n ,k ,m n =1     cl  P ( s ) ∩ B  un ,   Xét ánh xạ đa trị Pn ,k ,m ( s ) =    k   P( s)  s ∈ Fn ,k ,m s ∈ Fn ,k ,m Theo định lý 3.4 hệ 3.4 Pn.k m : S → dcl (T , X ) có lát cắt liên tục pn.k m : S → L1 (T , X ) Hiển nhiên pn ,k ,m lát cắt P { } Ta chứng minh với s = ∈ S , P ( s ) cl pn ,k ,m (= s) : n, k , m 1,2, (3.2.17) 71 Đặt R ( s ) cl= = { pn,k ,m ( s) :n, k , m 1, 2, } Vì R ( s ) ⊂ P ( s ) Ta chứng minh P ( s ) ⊂ R ( s )   1 k Cố định s ∈ S , u ∈ P ( s ) k = 1, 2, Chọn n thỏa mãn u ∈ P ( s ) ∩ B  un ,  Khi s ⊂ Vn ,k nên có m thỏa s ∈ Fn ,k ,m ( s ) u ∈ Pn ,k ,m ( s ) Do pn ,k ,m ( s ) − un < k Suy pn ,k ,m ( s ) − u < ⇒ d ( u, R( s) ) < k k Do k nên ta có u ∈ R ( s ) Suy P ( s ) ⊂ R ( s ) Do (3.2.17) nên dãy pn ,k ,m thỏa (3.2.16) 3.4 Điểm bất động ánh xạ đa trị có giá trị phân tích ĐỊNH LÍ [4 ] Cho K tập đóng phân tích L1 (T , X ) Khi ánh xạ compact f : K → K có điểm bất động Chứng minh Đặt S = clco { f ( K )} , theo định lý Mazur S compact Đặt = ψ ( s )(t ) es sinf { u (t ) − s (t ) } Với ε > s ∈ S , xét tập khác rỗng Pε ( s ) = cl {u ∈ K : u (t ) − s (t ) < ψ ( s )(t ) + ε h.k n T } 72 Theo mệnh đề 3.11, Pε : S → dcl (T , X ) liên tục Do Pε có lát cắt liên tục pε : S → K Với s ∈ f ( K ) ta có ψ ( s )(t ) = h.k n T Và pε ( s ) − s < ε (3.3.1) Suy fε= f pε : S → f ( K ) ⊂ S liên tục Với s ∈ S , fε ( s ) − s ≤ ε Theo định lý Schauder, tồn sε ⊂ f ( K ) ⊂ S thỏa mãn f ( pε ( sε ) ) = sε (3.3.2) Ta giả sử {sε } hội tụ f ( K ) ⊂ K ( không xét dãy con) Ta đặt s0 = lim sε ε →0 Do (3.3.1) lim pε ( sε ) = s0 Từ (3.3.2), cho ε →0 ε → , ta có s0 điểm bất động f KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi lớp ánh xạ co đa trị, ánh xạ tăng đa trị ánh xạ đa trị có giá trị phân tích Luận văn chủ yếu nghiên cứu định lí điểm bất động lớp ánh xạ Bên cạnh việc tham khảo tài liệu, luận văn đưa số nhận xét ví dụ minh họa cho định lí Ngoài kết trình bày luận văn số vấn đề chưa giải : chứng minh định lí 2.2.2.5 chứng minh kiểu xây dựng liệu có tồn thuật toán xây dựng lát cắt đơn điệu cho kiểu thứ tự định lí hay 73 không? Luận văn đưa kết lí thuyết chưa nghiên cứu ứng dụng kết Tôi hi vọng có điều kiện để nghiên cứu vấn đề nhiều TÀI LIỆU THAM KHẢO Ravi P.Agarwal, Maria Meehan Donal O’Regan, ”Fixed Point Theory and Applications” Nguyễn Bích Huy, “Fixed points of increasing multivaluaed operators and an application to discontinuous elipptic”, Nonlinear Analysis, 51 (2002),673-678 Nikolai S.Kukushkin, “On the existence of monotone selection”, Preprint, 2010 A.Fryszkowskii, “ Fixed Point Theory for Decomposable Sets”, Kluwer Academic Publishers, 2004 74 S.Carl, S.Heikkila, “Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications”, Springer Verlag, 2011 K Deimling, “Nonlinear Functional Analysis”, Springer Verlag, 1985 Sam B Nadler, “Multip-valued Contraction Mappings”, 479-480 75 [...]... d x0 , F ( x0 ) < (1 − k ) r ( k là hệ số co).Theo định lí 1.2.2, F có điểm bất động 1.3 Một số kết quả về đồng luân của ánh xạ đa trị co ĐỊNH NGHĨA 1.3.1 [1] Cho U là tập mở khác rỗng của X , F : U → X , G : U → X là hai ánh xạ đa trị với giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng ( U là bao đóng của U ) là đồng luân nếu tồn tại H : U × [0,1] → X là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng, thỏa mãn... lim x + 1 ≤ 3} = {2} n→+∞ Dãy đang xét không phải là dãy chính quy tương đối đối với K vì r ( K ,(−1) 2 k ) = 1 ≠ r ( K ,(−1) n ) = 3 ĐỊNH LÍ 1.3.3 [1] Cho E là không gian Banach lồi đều và U là tập con mở, lồi, bị chặn, khác rỗng của E Giả sử F : U → E là ánh xạ đa trị không giãn có giá trị compact, khác rỗng Giả sử thêm tồn tại ánh xạ đa trị H : U × [0,1] → U có giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng,... + xy + y 2 ) ≤ 3 x − y = x − y 3 3 Vậy F là ánh xạ không phải ánh xạ co 1.2 Một số định lí về điểm bất động ĐỊNH LÍ 1.2.1 [ Sam B Nadler, Multip-valued Contraction Mappings, trang 479, định lí 5 ] Cho ( X , d ) là không gian metric đầy đủ , F : X → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng Khi đó F có điểm bất động Chứng minh Gọi k là hệ số co của F Lấy p0 ∈ X Chọn p1 ∈ F ( p0 )... + 1 , nhưng không có ei nào để 1 2 + 1 = a − ei Nhận xét 1.2.2: Ta đã biết điểm bất động ( nếu có ) của ánh xạ đơn trị co là duy nhất Nhưng điều này không đúng với ánh xạ đa trị co Trong ví dụ 1.1.2, F có duy nhất điểm bất động là O ( 0,0 ) Thật vậy, 11 x ∈ R 2 là điểm bất động của F ⇔ x ∈ F ( x ) ⇒ x ≤ 1 x ⇔ x≡O 2 Nhưng điểm bất động của ánh xạ đa trị co xét trong ví dụ tiếp theo là không duy nhất... 1.5 ta có điều phải chứng minh 24 CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 2.1 Liểm bất động của ánh xạ tăng đa trị Định lí điểm bất động của toán tử đơn trị tăng ( có thể không liên tục ) trong không gian Banach sắp thứ tự đã được nghiên cứu rất rộng rãi và có nhiều áp dụng vào phương trình vi phân Một cách tự nhiên, chúng ta mở rộng một kết quả tương tự cho toán tử đa trị và ứng dụng của nó Trong chương này chúng... là một trong những quan hệ được định nghĩa như trên ĐỊNH NGHĨA 2.2.2.1 [3] Cho T , X là hai tập sắp thứ tự bộ phận, R : T → N ( X ) được gọi là tăng đối với ≥* nếu R ( t ') ≥* R ( t ) khi t ' > t 32 2.2.2 Một số định lí về sự tồn tại lát cắt đơn điệu của ánh xạ đa trị tăng ĐỊNH LÍ 2.2.2.1 [3]: Một ánh xạ đa trị R từ poset T vào poset X có lát cắt đơn điệu nếu R là tăng đối với ≥ Inf , R − (t ) ≠ ∅ với. .. trong không gian Banach X ,0 ∈U , ( ) và F : U → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, khác rỗng , F U bi chặn Khi đó (A1) hoặc (A2) xảy ra với (A1) F có điểm bất động trong U (A2) tồn tại x ∈∂U , và λ ∈ ( 0,1) sao cho x ∈ λ F ( x ) Chứng minh 19 Giả sử (A2) không xảy ra và F không có điểm bất động trên ∂U Khi đó u ∉ λ F ( u ) , ∀u ∈∂U , λ ∈ [ 0,1] Theo mệnh đề 1.2 thì F đồng luân với ánh xạ G... 2 Vậy F là ánh xạ co với hệ số k = 2 1 2 Ta có ( a, b ) là điểm bất động của F ⇔ ( a, b ) ∈ F ( ( a, b ) ) ⇔ 0 ≤ a ≤ 1− a 1− b 1 1 ,0 ≤ b ≤ ⇔ 0 ≤ a ≤ ,0 ≤ b ≤ 2 2 3 3   1 3 1 3 Vậy tập hợp điểm bất động của F là ( a, b ) : 0 ≤ a ≤ ,0 ≤ b ≤  ĐỊNH LÍ 1.2.2 [1] Cho ( X , d ) là không gian metric đầy đủ với x0 ∈ X và r > 0 Giả sử rằng F : B ( x0 , r ) → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị... trong không gian Banach X ,0 ∈U , ( ) và F : U → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, khác rỗng , F U bi chặn Khi đó F đồng luân với ánh xạ G ≡ 0 Chứng minh Đặt H : U × [0,1] → X định bởi H ( x, t ) = tF ( x ) và G ≡ 0 Ta chứng minh H là phép đồng luân giữa F và G (a) (b) = H (.,1) F= , H (.,0 ) G H ( x, t ) ( do giả thuyết Với mọi ∀x ∈ ∂U , t ∈ [0,1] , ta có x ∉ tF ( x ) = phản chứng ) (c) Với. .. quả2.2 2.1 [3] Một ánh xạ đa trị R từ poset T vào poset X có lát cắt đơn điệu nếu R là tăng đối với ≥ Inf và R(t ) là Zorn-bị chặn dưới với mọi t ∈ T Chứng minh Ta chứng minh nếu R(t ) là Zorn-bị chặn dưới thì R − (t ) ≠ ∅ Thật vậy, do bổ đề Zorn thì R(t ) có phần tử tối tiểu Hiển nhiên z0 ∈ R (t ) Áp dụng định lý 2.2 ta có điều phải chứng minh 33 ĐỊNH LÍ 2.2.2.2 [3] Một ánh xạ đa trị R từ poset ... nghiên cứu ba dạng ánh xạ đa trị không lồi ánh xạ co đa trị, ánh xạ tăng đa trị ánh xạ đa trị có giá trị phân tích Gồm có ba chương : Chương 1: Ánh xạ đa trị co ánh xạ đa trị không giãn”.Trong... ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHÔNG GIÃN 1.1 Một số định nghĩa tính chất ánh xạ đa trị co ánh xạ đa trị không giãn 1.2 Một số định lí điểm bất động 1.3 Một số kết đồng luân ánh. .. Các ánh xạ đa trị nghiên cứu ban đầu có giá trị tập lồi Nhờ tính chất ta chứng minh tồn lát cắt đơn trị ánh xạ đa trị nhờ nhiều kết ánh xạ đơn trị mở rộng lên ánh xạ đa trị với giá trị lồi Các ánh