BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Văn Đông, người tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho luận văn hoàn chỉnh Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành chương trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phạm Nguyễn Phương Duy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 1.1 Dạng dương 1.2 Dòng 1.3 Dòng liên kết với hàm đa điều hòa 13 1.4 Công cụ làm việc với dòng 15 1.5 Dung lượng tương đối hội tụ dòng 17 1.6 Nguyên lý so sánh 24 1.7 Hàm cực trị tương đối 26 1.8 Tập hợp nhỏ 29 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGEAMPÈRE 32 2.1 Bài toán Dirichlet phương trình Monge Ampère phức với liệu liên tục 32 2.2 Bài toán Dirichlet phương trình Monge Ampere phức với nghiệm hàm đa điều hòa bị chặn 40 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE CHO HÀM KHÔNG BỊ CHẶN 54 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 MỞ ĐẦU Một nhánh giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ vòng 30 năm trở lại lý thuyết đa vị Nhiều kết quan trọng lý thuyết người ta biết đến từ sớm trước năm 80 kỉ trước, chẳng hạn Định lí Josefson tương đương tính đa cực địa phương đa cực toàn thể tập  n Tuy nhiên phát triển mạnh mẽ lý thuyết với việc tìm thấy ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học như: giải tích phức nhiều biến, động lực học phức, giải tích hyperbolic, hình học vi phân phức, phương trình vi phân đạo hàm riêng phức…chỉ thực từ năm 80 kỉ trước trở lại Các kết đặc sắc E.Berford B.A.Taylor năm 1982 việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, tìm nghiệm đa điều hòa toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampère phức đưa khái niệm dung lượng tập Borel tập mở  n Có thể xem công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa vị Trong năm gần toán Dirichlet phương trình Monge-Ampère phức ( dd u ) c n = d µ , u = ϕ biên giải với lớp rộng rãi độ đo khác Việc đưa điều kiện để phương trình có nghiệm liên tục mô tả độ đo để phương trình có nghiệm thuộc lớp rộng hàm đa điều hòa quan tâm nhà toán học giới Với mong muốn tìm hiểu số kết lý thuyết đa vị phương trình Monge – Ampère phức nên chọn nội dung “Một số tính chất phương trình Monge – Ampère phức lý thuyết đa vị” làm đề tài luận văn Nội dung luận văn trình bày tồn nghiệm yếu phương trình Monge-Ampère phức cách áp dụng phương pháp lý thuyết đa vị Luận văn gồm chương: Chương Dòng dương hàm đa điều hòa dưới: Giới thiệu khái niệm định lý lý thuyết đa vị Chương Bài toán Dirichlet phương trình Monge-Ampère: Mục đích đưa mô tả độ đo Borel không âm vế phải phương trình Monge Ampère phức sinh nghiệm đa điều hòa thỏa đòi hỏi tính liên tục, tính bị chặn Chương Phương trình Monge-Ampère cho hàm không bị chặn Chỉ tồn nghiệm phương trình Monge Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa không bị chặn miền siêu lồi CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI Chương trình bày số khái niệm định lý lý thuyết đa vị Mục 1.1, 1.2 trình bày tính chất dòng dương Mục 1.3 giới thiệu dòng liên kết với hàm đa điều hòa Mục 1.4 giới thiệu số công cụ sử dụng làm việc với dòng định lý Stokes, bất đẳng thức Schwarz, nguyên lý địa phương hóa, đặc biệt bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg Mục 1.5 trình bày khái niệm dung lượng tương đối hội tụ theo dung lượng Nội dung mục định lý hội tụ 1.5.5, 1.5.10 Mục 1.6 trình bày công cụ hiệu lý thuyết đa vị Nguyên lý so sánh Khái niệm số tính chất hàm cực trị tương đối trình bày mục 1.7 Mục 1.8 dành cho việc trình bày tập nhỏ tập đa cực, tập không đáng kể mối liên hệ tập này, định lý Josefson trình bày mục Nội dung chương trích tài liệu tham khảo [LG], [BT1], [BT2], [X], [De], [D-H], [KO], [KLi], [Ho] 1.1 Dạng dương Kí hiệu C(∞p , p ) ( Ω ) tập hợp tất dạng vi phân trơn song bậc ( p, p ) xác định tập mở Ω ⊂  n Ta kí hiệu dạng ω C(∞p , p ) ( Ω ) = ω ip ∑ = J p= ,K p ' ω JK dz J ∧ dz K , ω JK hàm thuộc lớp C ∞ Ω , dz J = dz j ∧ dz j ∧ ∧ dz j , dz J = dz j1 ∧ dz j2 ∧ ∧ dz j p , ∑ ' tổng lấy theo đa số p J = ( j1 , , j p ) , K = ( k1 , , k p ) cho j1 < j2 < < j p ; k1 < k2 < < k p Ta gọi ω dạng Hec-mit ω = ω Khi ω ∈ C(∞p , p ) ( Ω ) có biểu diễn ω = i pω1 ∧ ω1 ∧ ω2 ∧ ω2 ∧ ∧ ω p ∧ ω p , ω j ∈ C(∞1,0) ( Ω ) ω gọi dạng dương sơ cấp ( ωl có dạng dz j ± dzk dz j ± idzk ) Mệnh đề 1.1.1 Không gian dạng song bậc ( p, p) với hệ số sinh dạng dương sơ cấp Chứng minh Ta cần biểu diễn dz j ∧ dzk tổ hợp tuyến tính dạng dương sơ cấp Thật vậy, dz j = ∧ dzk s i (dz j + i s dzk ) ∧(dz j + i s dzk )  ∑ s =1 Mệnh đề 1.1.2 Nếu ω dạng dương sơ cấp Ω ' ⊂  n f : Ω → Ω ' ánh xạ chỉnh hình dạng kéo ngược (pull-back) f *ω dạng dương sơ cấp = Chứng minh Giả sử f ( f1 , , f n ) : Ω → Ω ' với f j : Ω →  ánh xạ chỉnh hình Giả sử α= n ∑ a dz j =1 j j ∈ ∞(1,0) (Ω ') Khi đó: = f *α j =1 = f *α n Do j j a jd f j ∑= j =1 ∂f j  d ωk ∂ωk   n a df ∑  ∑ a ∑= k  j j  ∑  ∑ a k  j j ∂f j  d ωk ∂ωk  ( ) f * (α ∧ α ) = f *α ∧ f *α Như ω= i pω1 ∧ ω1 ∧ ∧ ω p ∧ ω p với ω j ∈ ∞(1,0) (Ω ') * f= ω i p f *ω1 ∧ ( f *ω1 ) ∧ ∧ f *ω p ∧ ( f *ω p ) đó, f *ω dạng dương sơ cấp  Ta thường sử dụng dạng (Kahler) tắc (1,1)  n : β= i i n ∂∂ z = ∑ dz j ∧ dz j= 2 n ∑ dx j ∧ dy j Khi Vn = n β dạng thể tích  n n! Định nghĩa 1.1.3 Dạng ω ∈ ∞( p , p ) gọi dạng dương với dạng dương sơ cấp α ∈ ∞( n − p ,n − p ) ta có ω ∧α = f β n với f ≥ Mệnh đề 1.1.4 1) Dạng kéo ngược dạng dương ánh xạ song chỉnh hình dương 2) Một dạng song bậc ( p, p ) dương thu hẹp đa tạp giải tích phức p chiều tùy ý (tương đương: không gian giải tích p chiều tùy ý) với dạng thể tích đa tạp nhân với hàm không âm Chứng minh 1) Cho f : Ω → Ω ' ánh xạ song chỉnh hình cho ω dạng dương Ω ' Với dạng dương sơ cấp α ∈ C(∞p , p ) ( Ω ) dạng kéo ngược ( f −1 ) *α dạng dương sơ cấp Do với hàm không âm g ( ) n f * ω ∧= α f * ω ∧ ( f −1 ) *α = f * ( g β= ) g det f ' β n 2) Từ 1) ta quy chứng minh việc kiểm tra điều kiện định nghĩa trường hợp A0= dạng dương {z : z sơ cấp = α i n − p dz p +1 ∧ dz p +1 ∧ ∧ dzn ∧ dzn không = = zn= 0} Nhưng thu hẹp A0 dạng ω song bậc p +1 i p gdz1 ∧ dz1 ∧ ∧ dz p ∧ dz p = p gV p ω ∧ α = 2n gVn n n i ( Lưu ý Vn= ∧ β=   dz1 ∧ d z1 ∧ ∧ dzn ∧ d zn )  β= β ∧  2 n! n !  n Mệnh đề 1.1.5 gian ( p, p ) 1) Dạng = (1,1) α i ∑ α jk dz j ∧ dzk dương (α jk ) dạng ma trận Héc – mit (nửa xác định) dương 2) Hơn nữa, ω dạng ( p, p ) dương α ∧ ω dạng dương Chứng minh.1) Đầu tiên ta nhận xét α dạng dương dạng Hec-mit Thật vậy, với dạng dương sơ cấp γ song bậc ( n − p, n − p ) ta có α ∧γ = α ∧γ = α ∧γ Theo Mệnh đề 1.1.1 điều cho dạng ( n − 1, n − 1) Do α = α Nếu ta xét tham số hóa đường thẳng phức L : λ → ( λω1 , λω2 , , λωn ) L *α = i ∑ α jkω jωk d λ ∧ d λ Sử dụng Mệnh đề 1.1.3 ta tương đương mong muốn ω thay đổi (= γj n ∧ γ n −1 ∑ a jk dzk ∈ C1,0 (Ω) γ ∧ = k =1 M k = det ( ast= )s 1, ,n−1 =t 1, , n ,t ≠ k n ∑M k =1 k dz1 ∧ ∧ dzk −1 ∧ dzk +1 ∧ ∧ dzn , α ∧ γ = α ∧ i n −1γ ∧ γ ∧ γ n −1 ∧ γ n −1 = n ∑α k =1 jk M k M k dVn ) 2) Ta áp dụng phép biến đổi tọa độ Unita để chéo hóa ma trận (α jk ) điểm cho trước z0 cho α ( z0 ) = i ∑ α jj dz j ∧ dz j , α jj ≥ (Giả sử P ma trận Unita, tức PT P = (δ jk ) cho B = P −1 (α jk ) P ma trận đường chéo −1 = PB ( PT ) −1 Từ = (α jk ) PBP am Am dd c vk ∧ T ≥ = : Am +1 , E j ( am+1 ) ∫ j > k > k2 , Vậy (2.16) với m + Bổ đề 2.15 chứng minh Bây giờ, ta chứng minh Định lí 2.13 phản chứng Giả sử ta có giả thiết Bổ đề 2.15 Sau sử dụng khẳng định với m = n , ta cố định k > k1 cho ∫ ( dd v ) c E j ( an ) n > An j > k k Vì theo cách xây dựng ( dd c vk ) ≤ M k dV với M k > đó, từ bất đẳng thức cuối ta n có V ( E j ( an ) ) ≥ M k−1 ∫ ( dd v ) c E j ( an ) Điều mâu thuẩn với u j → u L1loc  53 k n > An , Mk j>k, CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE CHO HÀM KHÔNG BỊ CHẶN (Nội dung chương trích từ [KO]) Với hàm đa điều hòa bị chặn từ mệnh đề 1.3.1 ta đa có định nghĩa dd c u1 ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c uk Đối với hàm đa điều hòa không bị chặn, định nghĩa trở nên phức tạp z ( − log z1 ) ( ( z ' − 1) với= Ví dụ hàm u ( z ) = ∫ ( dd u ) lân cận điểm gốc c n ( z1 , z ') ∈  ×  n −1 hàm đa điều hòa = ∞ với L = z : z1 0} {= r > B (0, r )\ L Tuy nhiên, toán tử Monge-Ampère định nghĩa lớp hàm đa điều hòa theo cách ( dd cu ) hữu hạn địa phương hàm liên tục dãy n hàm đa điều hòa đơn điệu Trong suốt chương ta ký hiệu Ω miền siêu lồi Tập hợp hàm u ∈ PSH (Ω) ∩ C ( Ω ) cho u = ∂Ω ∫ ( dd u ) c Ω n < ∞ ký hiệu ℰ Định nghĩa 3.1 Ta nói hàm đa điều hòa u thuộc vào p tồn u j ∈  với u j ↓ u , sup ∫ ( −u j ) j p ( dd u ) c n j Ω < ∞ sup ∫ ( dd c u j ) < ∞ Dãy u j điều kiện ngoại trừ n j Ω điều kiện cuối u thuộc vào  p Ta có  ⊂ p ⊂  p , q ⊂ p với q > p Định lý 3.2 Với u, v ∈ p ≥ ∫ ( −u ) ( dd u ) ∧ ( dd v ) p c j Ω c n− j  n p ≤ C ( j , p )  ∫ ( −u ) ( dd c u )  Ω  ( p + j )/( n+ p )  n p c  ∫ ( −v ) ( dd v )  Ω  với C ( j , p ) = p = C ( j , p ) = p ( p + j )( n − j ) / ( p − 1) nơi khác Chứng minh Giả sử 54 ( n− j )/( n+ p ) ∫ ( dd u ) ∧ ( dd v ) j c c n− j chuyển qua giới hạn p = yj − Để thoát khỏi giả thiết bổ sung từ đầu chứng minh ta áp dụng lập luận cho quy hóa u j , v j u v miền nhỏ chút Ωj Như tích phân khẳng định giới hạn tích phân tương ứng với u j , v j , Ωj  Hai kết sau có từ Định lý 3.2   p p nón lồi   p p đóng phép lấy maximum số hữu hạn hàm Định lý 3.3 Giả sử u ∈ PSH ( Ω ) giới hạn dãy giảm u j ∈  cho = a sup j ∫ ( −u j ) p ( dd u ) c j n < ∞ Khi ( dd c u j ) hội tụ yếu đến độ đo d µ mà không n Ω phụ thuộc vào cách chọn u j thỏa mãn điều kiện Do ta xác định ( dd u ) c n = dµ Chứng minh Lấy hàm thử không âm χ với χ = Ta sử dụng kí hiệu = v[k : max ( v, −k ) Vì u j = u j[k {u j > −k} ta có 56 ( )  dd c u n − dd c u n  ≤ χ j[ k ∫ ( j )   ≤ k−p ∫ {u j ≤− k} ( p  c c ∫ k ( dd u j ) + dd u j[k {u j ≤− k} ≤ k − p ∫ ( −u j ) n p (  )  n ( dd u ) + ( −u [ ) ( dd u [ ) p n c j ) n n χ ( dd c u j ) + dd c u j[k  c j k n j k ≤ 2ak − p Do đó, theo Định lý hội tụ, d µ giới hạn yếu dãy ( dd cu j ) n ( c  ∫ χ  d µ − dd u[k  )  ≤ 2ak n −p , Điều cho ta khẳng định định lý  Định lý 3.4 Với u j ∈  p , u j ↑ u ta có u ∈  p lim ( dd c u j ) = ( dd c u ) n n j →∞ Chứng minh Sử dụng ước lượng từ chứng minh Định lý 1.5.10  Định lý 3.5 (Nguyên lý so sánh) Nếu p ≥ u, v ∈ p ∫ ( dd v ) c n {u < v} ≤ ∫ ( dd u ) c n {u < v} Chứng minh Sử dụng tính chất u, v ∈ p ta tìm U với cap (U , Ω ) < ε ∫ ( dd u ) + ( dd v ) n c c j j n t * =  dµ  ∫ ud µ  n Như phần chứng minh Định lý 2.13 n −1 ta cần chứng minh với µ có giá compact Với µ ta xác định dãy quy hóa µ j Giả sử I kí hiệu hình lập phương đơn vị chứa Ω xét dãy Β j có chia I vào thành 32 sn hình lập phương mở nhau, rời đôi ,nhưng bao ( ) đóng chúng phủ I Không có hạn chế giả sử với j ta có µ ∪ I ∈B ∂I = Đặt = µ j : f= j dV , f j ( z ) : µ ( I ∩ Ω) V ( I ∩ Ω) 60 z ∈ I ∈ B j , j ( với z ∈ ∂I ta đặt f j ( z ) = ) Do Định lý 2.12 ta giải toán Dirichlet sau u j ∈ PSH ( Ω ) ∩ C ( Ω )  n  c ( dd u j ) = f j dV  , z ∈ ∂Ω j ( z) u= Đầu tiên ta chứng minh u j bị chặn L1loc Đặt rj = n3− j c j = V ( B ( 0, rj ) )  Khi   −1 với z ∈ I ∈ B j ta có I ⊂ B ( z, rj ) Do tính điều hòa uj ( z) ≤ cj ( ∫ B z ,rj ) u j dV ≤ c j ∫ u j dV I Do đó, theo định lý Fubini      ∫ u d µ ≤  sup u  ∫ f dV ≤ c  ∫ u dV  ∫ f dV  ≤ c V ( I ) ∫ u d µ  j j I I Như ∫ ( −u ) d µ j j j j I j j I j I j j I ≤ const.∫ ( −u j ) d µ tích phân cuối bị chặn theo chứng minh Áp dụng ước lượng Định lý 3.2 với u = u j hàm đa điều hòa ngặt v cố định ta kết luận u j bị chặn tập compact Ω Vì vậy, L1 cách chuyển qua dãy con, ta xét u j hội tụ đến u hầu khắp nơi theo dV Tiếp theo ta chứng minh ( dd cu j ) → ( dd cu ) Để có điều ta định nghĩa “số hạng n n lỗi” sau = vj ( z) cj ( ∫ B 0, r j ) u ( z + ω ) − u j ( z + ω ) dV , với rj , c j giới thiệu Đặt u j := ( sup j ≤ k uk ) ta ước lượng số hạng sau: * 61 vj ( z) ≤ cj ( ∫ B 0, r j ≤ cj ( ∫ B 0, r j ≤ cj ) ) u ( z + ω ) − u j ( z + ω ) + u j ( z + ω ) − u j ( z + ω ) dV (ω ) [u j ( z + ω ) − u ( z + ω )]dV (ω ) + c j ( ∫ B 0, r j ) u j ( z + ω ) dV (ω ) − c j ( ∫ B 0, r j ) u j ( z + ω ) dV (ω ) [u j ( z + ω ) − u ( z + ω )]dV + sup u j ( + z ) − u j ( z ) B ( 0, r j ) B ( 0, r j ) ∫ Từ định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue ta kết luận v j ( z ) → hầu khắp nơi theo dV Do đó, Bổ đề 3.10 ta có lim ∫ v j d µ = j Bây giờ, Định lý Fubini ta có ∫ u − u ( dd u ) c j ≤ n j = ∑ ∫ u − u j f j dV I ∈B j I ∑ V (I ) ∫ dµ∫ u −u I ∈B j I j dµ ∑ c V ( I ) ∫ v= dV ≤ j I ∈B j I j I const.∫ v j d µ → Ta vừa kiểm tra giả thiết Bổ đề 3.8 thỏa mãn = = ( dd cu ) lim ( dd cu j ) d µ n n j →∞ Cuối ta cần chứng minh u ∈ p Nếu ta kí hiệu χ k hàm đặc trưng tập {u ≥ k} ( Định lý 1.6.3 dd cu[k ) n ≥ χ k d µ Áp dụng Định lý 2.13 ta có hàm đa điều hòa bị chặn vk với lim vk (ω= ) 0, z ∈ ∂Ω ( dd c vk ) = χ k d µ Theo giả thiết n ω→z (3.3) ∫ ( −v ) ( dd v ) ≤ ∫ ( −v ) ( dd u ) p k n c p k c n k ≤A ( ∫ ( −v ) ( dd v ) ) p k p n n+ p c k , Vì (3.4) ∫ ( −v ) ( dd v ) p k c k n ≤A n+ p n Do = u lim vk ∈ p Trường hợp p ≥ Cố định q > n / ( n − 1) , tập compact chứa suppμ số C thỏa mãn 62 n C > C ( 0, q ) cap n + p ( K , Ω ) , C ( 0, q ) có từ Định lý 3.2 Xét tập hợp độ đo  M= ν ≥ 0, suppν ⊂ K ,  ( ∫ ( −u ) dν ≤ C ∫ ( −u ) q q ( dd u ) c n ) q n+ q  ,u ∈   tập N liên kết với ν ∈ M  q N= 1, ∫ ( −u ) dν ≤ C (1/ D1 + 1/ D2 ) ν ≥ 0, suppν ⊂ K , ∫ dν =  D1 sup = {∫ dν ,ν ∈ M } D = ∫ dν ( ∫ ( −u ) ( dd u ) ) q c q n n+q  ,u ∈   Khi với ν ∈ M (1/ D1D2 ) ( D1 − ∫ dν )ν + D2ν  ∈ N Có thể kiểm tra N tập compact yếu* lồi độ đo xác suất Do kiểu Định lý Radon-Nikodym tồn ν ∈ N f ∈ L1 ( dν ) cho ν s= µ − fdν không âm trực giao với N Nếu E ⊂ K cap ( E , Ω ) > theo Định lý 3.2 (3.4) ta có ( dd u ) c * n E ∈ M Do tồn độ đo N mà không triệt tiêu E Vì ν s trực giao với N (3.2) nên µ có khối lượng tập đa cực ta kết luận ν s = µ = fdν Do phần chứng minh ta tìm uk ∈ q với ( dd c uk ) = f k dν , n f k = ( f , k ) Dãy uk giảm lý luận giống lý luận dẫn đến (3.3) ta u = lim uk thuộc p  Hệ 3.11 Nếu µ độ đo không âm có giá compact Ω thỏa mãn p µ ( K ) ≤ Acap n ( K , Ω ) , với p > 1, A > với tập compact quy K ⊂ Ω tồn u ∈ 1 cho ( dd u ) c n = dµ Chứng minh Như chứng minh Bổ đề 3.10 ta chứng minh 63 ∫ − np d µ ≤ const.k n + p , E ( j ,k ) {u (trong E ( j , k= ) j < −k} ∩ suppµ u j dãy xây dựng chứng minh trên) sup ∫ ( −u j ) d µ < ∞ j Có điều ta tiếp tục chứng minh Định lý 3.7 để chứng minh ( dd u ) c j n c = → ( dd u ) u n ( lim sup u ) * j ∈ 1  Định lý 3.12 Bài toán Dirichlet (*) có nghiệm liên tục với d µ ∈  ( A, h ) với h chấp nhận Chứng minh Cố định dãy vét cạn K j tập copmpact Ω = ∪ K j Kí hiệu χ j hàm đặc trưng K j Ta kiểm tra χ j d µ thỏa mãn giả thiết Hệ 3.11 (chẳng hạn) với p = n Do ta có u j ∈ 1 thỏa mãn ( dd cu j ) = χ j d µ Tương tự, kí hiệu χ jk hàm đặc n trưng K j ∩ {u j ≥ −k} ta tìm u jk ∈ 1 thỏa ( dd u ) c n = χ jk d µ jk Bây giờ, hàm u jk bị chặn lập luận chứng minh Định lý 3.7 Vì họ độ đo χ jk d µ thỏa giả thiết Bổ đề 2.9 với hàm h hệ số A , theo Bổ đề 2.9 ta có cận u jk < B , tất nghiệm Đặc biệt u j = lim u jk bị chặn u = lim u j bị chặn j k (giới hạn tồn dãy đơn điệu theo nguyên lý so sánh) Từ Định lý hội tụ ta suy ( dd u ) c n = dµ Các giá trị biên u (xem định nghĩa 1 Trong trường hợp tổng quát, xem v= u + uφ , uφ hàm thỏa mãn ( dd c uφ ) = với liệu biên φ cho trước Hàm v n 64 nghiệm toán Dirichlet khẳng định Định lý 2.13 Áp dụng Định lý 2.13 ta có nghiệm mong muốn Cuối ta cần chứng minh u liên tục Để làm điều ta áp dụng Bổ đề 2.9 lần Vì ϕ liên tục nên với δ > ta tìm tập compact K ⊂ Ω cho u j < u + δ ∂K , u j quy hóa với u Khi dung lượng tập {u j > u + 2δ } tiến tới j tiến tới vô hạn (xem mệnh đề 1.5.6) Do với j đủ lớn vế phải (2.8) nhỏ δ áp dụng với v = u j dẫn đến mâu thuẩn trừ tập {u j > u + 2δ } rỗng  65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Quá trình nghiên cứu đề tài giúp tìm hiểu bước đầu lý thuyết đa vị phức, đặc biệt số phương pháp lý thuyết vị phức tồn nghiệm phương trình Monge Ampère phức Đề tài tiếp tục nghiên cứu theo hướng sau + Mối liên hệ hàm cực trị Siciak dung lượng tương ứng Nó đóng vai trò quan trọng nghiên cứu phương trình Monge-Ampère phức + Phương trình Monge Ampere phức đa tạp compact Kahler + Một số áp dụng toán tử Monge-Ampère vào toán liên quan đến hàm đa điều hòa 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [Blo] Blocki Z (1998), The complex Monge-Ampère operator in pluripotential theory, Jagiellonian University, Poland [BT1] Bedford E., Taylor B A (1976), The Dirichlet problem for a complex MongeAmpère equation, Invent Math37, pp 1-44 [BT2] Bedford E., Taylor B A (1982), A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math 149, pp 1-41 [De] Demailly J P (2007), Complex analytic and differential geometry, Université de Grenoble I Institut Fourier, France [D-H] N.Q.Diệu L.Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị, Nxb Đại học Sư phạm Hà nội [Ho] Hormander L (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland Math Lib, Holland [Kli] Klimek M (1991), Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford [KO] Kolodziej (2005), “The complex Monge – Ampère Equation and Pluripotential Theory”, Memoirs of Amer.Math.Soc., (840) [LG] Lelong P., Gruman L (1986), Entire functions of several complex variables, Springer-Verlag, Berlin [X] Y.Xing, Continuity of the complex Monge Ampere operator, Proc of Amer Math 124 (1996), 457-467 67 [...]... VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE (Nội dung chương này được trích từ [KO].) Mục đích chính của mục 2.1 là chỉ ra sự tồn tại nghiệm đa điều hòa dưới liên tục trong bao đóng Ω của một miền giả lồi ngặt của bài toán Dirichlet với điều kiện biên liên tục và vế phải của phương trình Monge Ampère phức là d µ = fdV , f ≥ 0 liên tục trong Ω Nội dung chính của mục này là định lý 2.6 Định lý chỉ ra rằng bao trên của. .. minh Định lý 1.7.3 cùng với tính chất ∫u Ω Khi đó v = ∑ u j là đa điều hòa dưới trong Ω và bằng −∞ trên E 29 j dVn < 2− j (2) ↔ (3) là do định lý 1.8.3 và hệ quả 1.6.2 Một trong các kết quả quan trọng trong lý thuyết đa thế vị được sử dụng sử dụng rộng rãi trong xấp xỉ đa thức, động lực phức và nhiều nơi khác, là chỉ ra sự giống nhau của tập bỏ qua được và tập đa cực  Định lý 1.8.4 (Bedoford-Taylor)... cho khẳng định thứ hai (nếu ta đổi chỗ u1 và uk ) Để có khẳng định thứ ba ta sử dụng nguyên lý địa phương hóa và sau đó lấy tích phân từng phần và lặp lại như trên ta được: ∫ u dd u c 0 K 1 ∧ dd c u2 ∧ ∧ dd c uk ∧ β n − k ≤ ∫ u0 ( dd c h ) ∧ β n − k  k Ω 1.5 Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng Trong lý thuyết đa thế vị, cũng như trong lý thuyết thế vị cổ điển, các dung lượng đóng vai trò quan... dưới đa điều hòa dưới là nghiệm của bài toán Dirichlet Mục 2.2 tổng quát hóa Định lý 2.6 bằng cách làm yếu các hạn chế vế phải của phương trình Monge Ampère phức ở trong mục 2.1 Nội dung chính của mục này là chỉ ra sự tồn tại nghiệm đa điều hòa dưới bị chặn trong Ω với vế phải phương trình thuộc lớp các độ đo Borel không âm liên kết với một hàm chấp nhận được 2.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình. .. compact K j ↑ Ω và áp dụng phần đầu tiên của chứng minh ta tìm được U j ⊂ K j với cap (U j , Ω ) < ε 2− j và hạn chế của u trên K j \ U j là liên tục Khi đó u là liên tục trên phần bù của U = ∪U j Tính chất dưới cộng tính của cap và ước lượng của dung lượng của U j cho cap (U , Ω ) < ε  Hệ quả 1.5.9 Cho A là họ bị chặn đều các hàm đa điều hòa dưới trên Ω Giả sử T j , T là tích ngoài của các dòng dd... cu2 ∧ ∧ dd cuk thì đối xứng Chứng minh Hệ quả đúng cho hàm trơn và hàm đa điều hòa dưới tùy ý là giới hạn của một dãy các hàm đa điều hòa dưới trơn Do đó sự đối xứng suy ra từ định lý hội tụ  Định lý 1.5.8 Với hàm đa điều hòa dưới u xác định trong Ω và một số dương ε ta có thể tìm một tập mở U ⊂ Ω với cap (U , Ω ) < ε và sao cho hạn chế của u trên Ω \U liên tục Chứng minh Cố định tập compact K ⊂ Ω ... với dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới ta có sự hội tụ của các dòng tương ứng Mệnh đề 1.5.6 Dãy u j ∈ PSH ∩ L∞ ( Ω ) với u j ↓ u trong Ω hội tụ tới u ∈ PSH ∩ L∞ ( Ω ) theo dung lượng Vì thế, với các dãy giảm kết luận của định lý 1.5.5 đúng Chứng minh Áp dụng nguyên lý địa phương hóa ta có thể giả sử Ω là một quả cầu và u j tạo thành một dãy hằng số trong lân cận cố định Ω \ E nào đó của ∂Ω Ta cũng có... 1.5.9 và định lý Stokes với = T dd c u1 ∧ S1 23 lim ∫ v jT j ∧ α ≥ lim j →∞ ∫ vsT j ∧ α B = B ∫ v T ∧ α= ∫ v dd u c s s B = 1 ∧ S1 ∧ α B ∫ u dd v c s 1 B ∧ S1 ∧ α → ∫ u1dd c v ∧ S1 ∧ α= B ∫ vT ∧ α B trong đó sự hội tụ của dòng cuối cùng (với s → ∞ ) suy ra từ giả thiết quy nạp  1.6 Nguyên lý so sánh Nguyên lý so sánh là một trong công cụ hiệu quả nhất trong lý thuyết đa thế vị Nó khai thác đầy đủ tính. .. nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge- Ampère (định lý 2.6 sau đây) ta tìm được v j sao cho u j ≤ v j ≤ uE* và ( dd c v j ) = 0 trên một quả cầu cố n định B ( z , r ) ⊂ Ω \ E Áp dụng Định lý 1.5.9 cho dãy v j ta có ( dd c uE* ) = 0 trên B ( z , r ) và vì n vậy ( dd c uE* ) = 0 trên Ω \ E Do uE* = −1 trong int E ta kết luận ( dd cuE* ) có giá là ∂E n n Bây giờ, giả sử E = E và cố định một. .. hằng số C phụ thuộc chiều của không gian và đường kính của Ω Một số tính chất khác được liệt kê ở mệnh đề sau Mệnh đề 1.5.2 Cho tập con Borel E j của miền bị chặn Ω ta có 1) cap ( E1 , Ω ) ≤ cap ( E2 , Ω ) nếu E1 ⊂ E2 2) cap ( E , Ω ) ≥ lim cap ( E j , Ω ) nếu dãy tăng đến E , j →∞ 3) cap ( E , Ω ) ≤ ∑ cap ( E j , Ω ) với E = ∪ E j Trong mệnh đề tiếp theo ta ước lượng dung lượng tương đối của một ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60... tính chất phương trình Monge – Ampère phức lý thuyết đa vị làm đề tài luận văn Nội dung luận văn trình bày tồn nghiệm yếu phương trình Monge-Ampère phức cách áp dụng phương pháp lý thuyết đa vị. .. để phương trình có nghiệm thuộc lớp rộng hàm đa điều hòa quan tâm nhà toán học giới Với mong muốn tìm hiểu số kết lý thuyết đa vị phương trình Monge – Ampère phức nên chọn nội dung Một số tính