BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Phương Nam CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG NHÓM P – ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Phương Nam CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG NHÓM P – ADIC Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm tôpô 1.2 Giới hạn ngược, số p – adic p – adic solenoid 12 1.3 Ánh xạ phủ, phép nâng, tập bất biến 18 Chương PHÂN HOẠCH 20 2.1 Tính chất S 20 2.2 Phân hoạch 22 Chương CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG NHÓM P – ADIC 28 3.1 Định nghĩa ký hiệu 28 3.2 Phân hoạch đẳng biến continuum Peano 29 3.3 Phép nâng cung phép đồng luân 35 3.4 Tập bất biến 39 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 MỞ ĐẦU Vào cuối kỷ XIX, bên cạnh loại số thông thường biết số tự nhiên  , số nguyên  , số hữu tỷ  , số thực  số phức  , nhà toán học Đức Kurt Hensen sử dụng ý tưởng tương tự ta xét hàm số đường cong đại số áp dụng vào lý thuyết số để sáng tạo loại số số thông thường biết lý thuyết số gọi số p adic (hay tổng quát nhóm p - adic) p số nguyên tố Các số bổ sung cho tập số phía theo Ostrowki vét cạn cách mở rộng số hữu tỷ Kể từ đến nay, số p - adic không ngừng tìm hiểu tính chất ứng dụng lĩnh vực khác toán học vật lý Những nghiên cứu nguyên cứu xây dựng giải tích p - adic, tức giải tích số p - adic: phép tính vi phân, phương trình vi phân, tích phân, hàm giải tích, biến đổi Fourier, lý thuyết nhóm tiến hành nhiều nhà toán học Các số p - adic dẫn đến mêtric không – Archimedean thích hợp cho mô tả không – thời gian rời rạc Cùng với vẻ đẹp toán học, số p - adic trở thành công cụ hữu hiệu giúp nhà vật lý mô tả xác giới khách quan nhiều lĩnh vực từ vi mô đến vĩ mô: học lượng tử, lý thuyết dây, môi trường đông đặc, vũ trụ học,… khoa học nhận thức Ngày 08 tháng 08 năm 1900, hội nghị toán học quốc tế tổ chức Paris, nhà toán học Đức David Hilbert đưa danh sách gồm 23 vấn đề (bài toán) toán học chưa có lời giải thời điểm ông tin quan trọng cấp thiết (một số toán sau có ảnh hưởng lớn đến toán học kỷ XX) Trong danh sách vấn đề số liên quan đến nhóm Lie liên tục Hilbert tin phép biến đổi nhóm mô tả theo cách mà chúng vi phân Vào năm 1940, Paul A Smith tổng quát toán số mà Hilbert nêu (sau gọi đoán Hilbert – Smith) sau: “Nếu G nhóm compact địa phương tác động cách hiệu lên đa tạp nhóm biến đổi (tôpô) G có nhóm Lie hay không?” Phỏng đoán ông chứng minh tương đương với câu hỏi: “Với đa tạp M liệu có tồn tác động hiệu nhóm p – adic Ap lên đa tạp hay không?” Kể từ toán đưa có nhiều nhà toán học tham gia giải chứng minh tồn tác động hiệu như: - L.E.J Brouwer giải trường hợp dim M = vào năm 1919 - J Pardon với dim M = vào năm 2011 [7] - Bochner – Montgomery chứng minh nhóm Ap tác động vi phôi (năm 1946)   - Scepin - Repovs nhóm Ap tác động đồng phôi Lipschitz (năm 1997) Tuy nhiên, với số chiều lớn đoán toán mở quan trọng hình học tôpô triển khai nhà toán học theo nhiều hướng nhỏ khác Một hướng thay đa tạp đoán không gian mà nhóm p – adic tác động hiệu lên Năm 2005, Zhiquing Yang xây dựng lớp không gian cho tác động này[11] Trong viết này, đề cập đến kết liên quan đến tác động nhóm p – adic lên continuum Peano từ nêu kết tổng quát cho nhóm compact chiều tác động lên continuum Peano Ngoài ra, nhóm p – adic Ap tác động cách hiệu lên số không gian X khác ta có kết số chiều đối đồng điều nguyên không gian quỹ đạo (không gian thương) sau: - Nếu X không gian Hausdorff liên thông địa phương ta có dim X Ap ≤ + dim X [10], dim X ký hiệu số chiều đối đồng điều nguyên - Nếu X compact bất đẳng thức thu hẹp thành dim X Ap ≤ + dim X [4] - Nếu X đa tạp không gian thương có số chiều đối đồng điều nguyên thỏa dim  X Ap = + dim  X [10] Đẳng thức X ANR (lân cận co rút tuyệt đối) tác động Ap tác động tự [5] - Không gian thương X Ap số chiều đủ [4],[5] Chúng ta bổ sung thêm kết vào danh sách X continuum Peano Nếu Ap tác động hiệu ta chứng minh tồn phép nâng cung từ không gian thương sinh tác động Tương tự, với continuum liên thông đơn không gian quỹ đạo phép nâng tồn Khi ta có đẳng cấu nhóm đồng luân bậc cao p n ( X ) ≅ p n ( X Ap ) với n ≥ Cuối cùng, luận văn trình bày kết thu tác động Ap từ hiệu thu hẹp lại thành tác động tự Nếu X continuum Peano không phân tích địa phương tập – chiều với điểm x ∈ X ta có tập bất biến đặc trưng X chứa x Các tập p − adic solenoid, p k p − adic solenoid phân biệt với k số tự nhiên bất kỳ, không gian Ap × S đường cong Menger µ Do luận văn chia làm ba chương sau: Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ chủ yếu trình bày khái niệm xuất luận văn Chương PHÂN HOẠCH trình bày khái niệm phân hoạch tập điều kiện để tập phân hoạch Chương CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG P – ADIC trình bày kết thu giới thiệu phía Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh, người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ mặt nghiên cứu niềm tin để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô tổ môn Hình học nói riêng toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chủ yếu chương giới thiệu khái niệm tôpô đại cương dùng Chương Ngoài ra, chương nêu khái niệm giới hạn ngược, số p - adic số ví dụ làm rõ để từ Chương ta trình bày khái niệm nhóm p - adic 1.1 Các khái niệm tôpô 1.1.1 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian T1 với cặp điểm phân biệt x1 , x2 ∈ X tồn tập mở U ⊂ X cho x1 ∈U x2 ∉U 1.1.2 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian T hay không gian Tychonoff không gian tắc đầy đủ X không gian T1 với x ∈ X , tập đóng F ⊂ X cho x ∉ F tồn hàm liên tục f : X → I cho f ( x ) = f ( y ) = với y ∈ F 1.1.3 Định nghĩa Một ánh xạ f : X → Y gọi đồng phôi nhúng đồng phôi đồng thời phép nhúng; tức tồn không gian L Y đồng phôi f ′ : X → L cho f = iL f ′ 1.1.4 Định nghĩa Cho X không gian tôpô A không gian X Khi ánh xạ liên tục f : X → A phép co f thu hẹp vào A f ánh xạ đồng A; tức f ( a ) = a với a ∈ A Khi ta gọi A co X 1.1.5 Định nghĩa Nếu tồn tập mở U cho A ⊂ U ⊂ X A co U A gọi lân cận co X 1.1.6 Định nghĩa Một không gian X gọi lân cận co tuyệt đối với không gian định chuẩn Y nhúng vào X tập đóng X lân cận co Y 1.1.7 Định nghĩa Một tính chất tôpô  gọi di truyền với không gian X có tính chất  tập X phải có tính chất  1.1.8 Định nghĩa Hai tập A B không gian tôpô X gọi tách A∩ B =∅ = A∩ B 1.1.9 Định nghĩa Hai tập A B không gian tôpô X gọi phân tách hoàn toàn tồn hàm liên tục f : X → I thỏa f ( x ) = với x ∈ A f ( x ) = với x ∈ B Khi ta nói f tách hai tập A B 1.1.10 Định nghĩa Một họ A s∈S s { As }s∈S tập tập X gọi phủ X = X Nếu X không gian tôpô tập As tập mở (đóng) ta gọi phủ { As }s∈S phủ mở (đóng) 1.1.11 Định nghĩa Một phủ  = { Bt }t∈T khác tập X gọi lọc phủ  = { As }s∈S tồn s ∈ S cho t ⊂ s Khi ta nói  làm mịn  1.1.12 Định nghĩa Một phủ  ′ = { As′ }s′∈S ′ X phủ phủ  = { As }s∈S X S ′ ⊂ S As′ = As với s ∈ S ′ Nói riêng, phủ lọc 1.1.13 Định nghĩa Một phủ không gian tôpô gồm tập mở (đóng) phiếm hàm gọi phủ hàm mở (đóng) 1.1.14 Định nghĩa Gọi  = { As }s∈S phủ tập X Ta nói tập M ⊂ X liên hệ với  tập St ( M ,  ) = { As : M ∩ As ≠ ∅} Tập tập điểm {x} liên hệ với  gọi điểm x liên hệ với  ký hiệu St ( x,  ) Ta gọi phủ  = { Bt }t∈T tập X lọc phủ  = { As }s∈S với t ∈ T tồn s ∈ S cho St ( Bt ,  ) ⊂ As Nếu với x ∈ X tồn s ∈ S cho St ( x,  ) ⊂ As ta nói  lọc trọng tâm  Hiển nhiên lọc lọc trọng tâm lọc trọng tâm lọc 1.1.15 Định nghĩa Ảnh ngược tập điểm qua ánh xạ f gọi thớ f 1.1.16 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi compact phủ mở X có phủ hữu hạn Nghĩa với phủ mở {U s }s∈S không gian X tồn tập hữu hạn {s1 , s2 ,…, sk } ⊂ S cho X = U s1 ∪ U s2 ∪…∪ U sk 1.1.17 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi compact địa phương với x ∈ X tồn lân cận U x cho U không gian compact X Do không gian compact U không gian T1 nên tập { x} đóng U 45 hữu hạn cung Khi đó, với x ∈ X tồn không gian Z x ⊂ ApY ⊂ X với x ∈ Z x , thu hẹp ( Ap ) tác động tự xây dựng cho Zx Z x Z x Ap đồng phôi (tương ứng) với: (1) Tích Ap × S đường tròn S nhóm Ap tác động lên nhân tử đầu tiên, (2) solenoid đường tròn, (3) p k solenoid phân biệt đường tròn Chứng minh Lấy τ ∈ Ap phần tử sinh nhóm (1) Lấy z ∉ Ap ( x ) Dùng 3.4.2 ta có cung J1 từ x đến z thỏa π ( J1 ) cung Áp dụng lại bổ đề ta có cung J từ z { x, z} đến x thỏa π ( J ) cung Khi J1 ∩ J = π ( J1 ∪ J ) đường cong đóng đơn Đặt= Z x : Ap ( J1 ∪ J ) Không gian Z x ≅ Ap × S không gian quỹ đạo Z x Ap ≅ S Hình 3.4.1 (2) Dùng 3.4.2 ta có cung J từ x đến τ ( x ) 46 = Z x : Ap ( J ) ≅ Σ p p − adic solenoid Hơn nữa, không gian quỹ đạo J Ap = Z x Ap đường cong đóng đơn nên đồng phôi với đường tròn Hình 3.4.2 (3) Dùng 3.4.2 ta có cung J từ x đến τ p ( x ) Toàn ảnh k = Z x : Ap ( J ) ≅  pk × Σ p xác định p k p − adic solenoid phân biệt Ta lại có J Ap ≅ S đường cong đóng đơn nên đồng phôi với đường tròn 47 Hình 3.4.3  Tiếp theo, giới thiệu khái niệm liên quan đến phân hoạch dùng phần lại mục 3.4.4 Định nghĩa Cho P phân hoạch Khi độ lớn phân hoạch P, ký hiệu mesh P, đường kính lớn phần tử phân hoạch P 3.4.5 Ví dụ Trên đoạn [1,5] ta xét phân hoạch P = {= P0 1,= P1 3,= P2 4,= P3 5} Khi mesh P max = = { Pi − Pi−1 ; i 0,…,3} = Cuối cùng, cách dùng không gian bất biến phần (2) (3) 3.4.3 (cụ thể p - adic solenoid), vào ví dụ phức tạp 48 xây dựng nhóm đường cong Menger bất biến cho nhóm p - adic tác động tự lên continuum Peano thỏa số điều kiện định lý 3.4.6 Định lý Nếu nhóm p − adic Ap tác động cách tự lên continuum Peano X thỏa X Ap không phân tách địa phương số hữu hạn cung với điểm x ∈ X có đường cong Menger µ chứa x thu hẹp ( Ap ) tác động p − adic tự µ Chứng minh Đầu tiên xác định số dạng continuum sau: Một không gian V X Ap gọi dạng I đồng cấu với cung có hai đầu mút phân biệt không gian xung quanh Một không gian V X Ap gọi dạng Q đồng cấu với không gian dạng I với đường tròn mà tiếp xúc điểm bên cung Một không gian V X Ap gọi dạng X đồng cấu với hợp hai không gian dạng I giao điểm đơn điểm nằm phần hai cung Quay lại định lý: Lấy x ∈ X Từ 3.4.3 ta có đường cong đóng đơn W0 ⊂ X Ap thỏa Σ x := π 0−1 (W0 ) solenoid với nhóm Ap tác động tự lên Để chứng minh định lý ta dùng phép quy nạp Đầu tiên, đặt Ω′−1 := { X Ap } phân hoạch khối tầm thường X Ap , B−1 = C0 = ∅ L0 = 49 Do W0 đường cong đóng đơn continuum Peano X Ap nên ta chọn Ω′0 – phân hoạch khối X Ap cho có họ Ω0 thỏa tính chất sau đây: (1) W0 ∩ ω = ∅ với ω ∈ ( Ω′0 \ Ω0 ) (2) Với ω ∈ Ω0 W0 ∩ ω thuộc dạng I có điểm biên αω βω Đặt= B0 : {αω ω ∈ Ω } ∪ {βω ω ∈ Ω } 0 Với ω ∈ Ω0 , gọi Kω ⊂ ω phần tử lọc ω thỏa Kω ∩ W0 ≠ ∅ Chọn phần tử cω ∈ Kω ∩ W0 Tồn lω ≥ cho thành phần liên thông nghịch ảnh π 0−1 ( Kω ) không đổi qua ∆ lω Chọn L1 ≥ thỏa L1 ≥ max {lω ω ∈ Ω0 } Theo 3.4.3 ta có đường cong đóng đơn J ω ⊂ Kω ⊂ ω ⊂ X Ap với điểm sở cω thỏa J ω ∩ W0 = {cω } π 0−1 ( Jω ) có xác p L1 solenoid hoán vị qua Ap Đặt= C1 : {cω ω ∈ Ω } W=: W0 ∪  Jω ω∈W0 Với k ≥ đó, giả sử với ≤ n ≤ k ta có: (1) Tồn tập hữu hạn Cn ⊂ X Ap thỏa Cn−1 ⊂ Cn Cn−1 ≠ Cn (2) Tồn số tự nhiên Ln > Ln−1 (3) Không gian Wn ≠ Wn−1 , Wn−1 ⊂ Wn ⊂ X Ap , continuum phân tích thành hữu hạn đường cong đóng đơn J i có tính chất J i ⊂ Wn−1 J i ≠ Wn−1 J i ∩ Wn−1 ⊂ Cn \ Cn−1 tập đơn π 0−1 ( J i ) ⊂ X p Ln solenoid (4) Họ Ω′n−1 21−n − phân hoạch khối X Ap lọc Ω′n−2 cho 50 họ W n−1 := {ω ∈ W′n−1 ω ∩ Wn−1 ≠ ∅} thỏa Wn−1 ∩ ω = ∅ với ω ∈ ( Ω′n−1 \ Ω n−1 ) (5) Hơn nữa, phân hoạch Ω′n−1 xây dựng cho với ω ∈ Ω n−1 không gian Wn ∩ ω thuộc dạng Q dạng X có biên Wn ∩ ∂ω có hai bốn điểm cô lập tương ứng (6) Tập tất điểm biên Bn−1 Bn−2 ⊂ Bn−1 :=  { x ∈W ω n ∈W n −1 x ∈ ∂ω} phân tách địa phương Wn Lấy Ω′k 2− k − phân hoạch khối lọc Ω′0 cho họ W k := {ω ∈ W′k ω ∩ Wk ≠ ∅} thỏa: (1) Wk ∩ ω = ∅ với ω ∈ ( Ω′k \ Ω k ) (2) Nếu ω ∈ Ω k ω ∩ Wk thuộc dạng I dạng X (3) Nếu ω1 , ω2 ∈ Ω k mà ω1 ∩ ω2 ∩ Wk ≠ ∅ ω1 ∩ ω2 ∩ Wk tập đơn tối ta hai tập ω1 , ω2 có dạng X Đặt B= k : Bk −1 ∪ (W  ω k ∩ ∂ω ) hữu hạn điểm tập phân ∈W k tách địa phương Wk Đặt Ok=: {ω ∈ Ωk } ω ∩ Wk dạng I Với ω ∈ Ok , lấy Kω ⊂ ω phần tử lọc ω thỏa Kω ∩ Wk ≠ ∅ Lấy cω ∈ Kω ∩ Wk Chọn số Lk +1 > Lk thỏa với Kω thành phần liên thông nghịch ảnh π 0−1 ( Kω ) bất biến qua ∆ Lk +1 Dùng 3.4.3 ta có đường cong đóng đơn J ω ⊂ Kω ⊂ ω ⊂ X Ap với điểm sở cω thỏa J ω ∩ Wk = {cω } π 0−1 ( J ω ) có xác p Lk +1 solenoid hoán vị qua Ap 51 Đặt Wk += : Wk ∪ Jω  ω ∈W k lấy Ck +1 := Ck ∪ {cω ω ∈ Ok } Điều kết thúc phép quy nạp có dãy tăng nghiêm ngặt số tự nhiên { Ln } ∞ ∞ ∞ k =0 k =0 k =0 tập W := Wk , C :=  Ck B :=  Bk Đặt µ := π 0−1 (W ) Ta cần chứng minh µ đường cong Menger cách µ thỏa đặc trưng đường cong Menger Những đặc trưng Bestvina đường cong phải đồng với tập compact có số chiều 1, liên thông, liên thông địa phương có tính chất cung phân chia [3] Yêu cầu Không gian µ có chiều phủ dim m =   Ta đặt =  : {ω ∈ Ωi } ∪  St ( b, Ωi ) i ∈ }  Do mesh b∈Bi   ( Ωi ) → i → ∞ nên họ  xác định sở mang tính chất S cho W Với B ∈  biên ∂B có hữu hạn điểm nên W có chiều phủ dimW = Với B ∈  , nghịch ảnh π 0−1 ( B ) gồm hữu hạn tập mở họ ′:  = { B′ ⊂ X B′ thành phần liên thông π 0−1 ( B ) với B ∈ } xác định sở µ Với B ∈  , biên ∂B tập hữu hạn nên với B′ ∈ ′ ta có biên ∂B′ hữu hạn tập Cantor có số chiều Từ đó, ta có dim m = Yêu cầu Không gian µ liên thông Lấy hai điểm y1 , y2 ∈ µ , tồn n ∈  cho π ( yi ) ∈Wn với i = 1,2 Khi có cung nối π ( yi ) W0 nâng đến cung µ yi với i = 1,2 Do nghịch ảnh π 0−1 (W0 ) = Σ x solenoid nên liên thông Do 52 hai điểm y1 y2 nằm thành phần liên thông µ Do y1 , y2 cặp điểm tùy ý µ , không gian µ liên thông Yêu cầu Không gian µ liên thông địa phương Ta dùng hai sở   ′ xác định Yêu cầu 1., để chứng minh µ liên thông địa phương ta cần chứng minh B′ ∈ ′ có hữu hạn thành phần liên thông Điều lại thu hẹp lại ta cần chứng minh B ∈  có hữu hạn thành phần liên thông cách với i ∈  , ω ∩ W có hữu hạn thành phần liên thông với ω ∈ Ωi Với ω ∈ Ωi tùy ý ω ∩ Wi dạng I (do cung) dạng X (bốn cung gặp điểm chung) Trong hai trường hợp ta có ω ∩ Wi liên thông Lấy w ∈ w ∩ W w ∈Wn với n ≥ i Từ cách xây dựng Wn ta có hữu hạn cung ω từ w đến Wi Do w tùy ý nên ω ∩ W liên thông Do B ∈  liên thông dẫn đến B′ ∈  có hữu hạn thành phần liên thông µ liên thông địa phương Yêu cầu Không gian µ có tính chất cung phân chia Gọi f1 , f : [ 0,1] → µ cung µ Với ε > cho trước, tồn n ∈  đủ lớn cho điều sau đúng: (1) Hình chiếu điểm đầu π fi ( ) ∈Wn với i = 1,2 (2) Kích thước tối đa vòng lặp ( tức mesh ( Ω′n−1 ) ) 2− n < (3) Nhóm ∆ Ln ≤ Ap thỏa d ( x, gx ) < ε ε với x ∈ X g ∈ ∆ Ln Xét phép chiếu cung π fi : [ 0,1] → W với i = 1,2 ; với tập Wn xấp xỉ (gần bằng) W ta thu cung fi′: [ 0,1] → Wn với i = 1,2 Với g ∈ ∆ Ln i = 1,2 ; phép nâng fˆi : [ 0,1] → µ fi′ từ fi′( ) đến gfi ( ) thỏa d ( f1 , fˆi ) < ε 53 Do ảnh fi′ phân tích thành hữu hạn phần liên thông đơn Wn phần nâng cách đến điểm sở chọn có số (không đếm được) cách chọn cho phép nâng từ cách chọn điểm sở g ∈ ∆ Ln Ta suy có phép nâng fˆ1 , fˆ2 thỏa d ( fi , fˆi ) < ε fˆ1 ∩ fˆ2 = ∅ Do µ có tính chất cung phân chia Do µ không gian mêtric compact, liên thông, liên thông địa phương có chiều phủ có tính chất cung phân chia thỏa đặc trưng Bestvina đường cong Menger [3] nên không gian µ đường cong Menger  Từ kết 3.6.4 với x ∈ X có đường cong Menger Ap − bất biến Nếu ta thu hẹp tác động tự Ap lên đường cong Menger ta thu tác động Ap tự lên µ với không gian quỹ đạo – chiều Điều tương tự không đồng với tác động Ap tự lên µ A N Dranishnikov [4] tìm sau mô tả Zhiqing Yang [11] Ta cần so sánh không gian quỹ đạo tương ứng tác động dễ dàng thấy khác hai tác động Biểu diễn không gian quỹ đạo đến bước thứ ba cách xây dựng Không gian quỹ đạo µ Ap từ 3.4.6 có điểm cắt không gian quỹ đạo tác động Dranishnikov có điểm cắt địa phương 54 Hình 3.4.4 µ Ap theo 3.4.6 Hình 3.4.5 µ Ap theo Dranishnikov[4,11] 55 KẾT LUẬN Kể từ nhà toán học Đức Kurt Hensel giới thiệu vào năm 1897 nay, số p - adic bước nhà toán học kế nhiệm nghiên cứu khám phá mở rộng chúng thành lý tuyết toán học quan trọng ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học vật lý, chí sinh học Khi nghiên cứu số p - adic này, nhà toán học nhận số p - adic quét cách mở rộng tập số hữu tỉ  Năm 1910, Steinitz trình bày nghiên cứu bảng tóm tắt lý thuyết trường lúc số p - adic xem động thúc đẩy cho hình thành lý thuyết Cũng thời gian Fréchet Riesz vận dụng tư tưởng tôpô để làm rõ đưa hiểu biết số p adic Sau này, số p - adic Kúrschak trình bày dạng tôpô không gian mêtric với số nghiên cứu nhà toán học khác hình thành nên giải tích p - adic Từ đó, số p - adic, cách tự nhiên hòa vào hệ thống toán học toàn giới; thu hút thêm quan tâm nhà nghiên cứu kết hàng loạt kết đời dĩ nhiên kèm theo vấn đề nảy sinh trình tìm hiểu chúng Tuy vấn đề đa phần giải lại có vấn đề lại làm cho nhà toán học không giải Một vấn đề tìm câu trả lời cho đoán Hilbert - Smith: " Một đa tạp M có tồn tác động hiệu nhóm p - adic lên hay không?" Một vấn đề với hình thức phát biểu ngắn gọn việc tìm lời giải cho thực lại hành trình dài mà gần giải cho trường hợp đa tạp có số chiều đến mà Với vấn đề luận văn không tìm lời giải cho đa tạp có số chiều lớn mà đơn giản 56 tìm hiểu không gian có tính chất tồn tác hiệu nhóm p - adic lên Cụ thể hơn, không gian mà tìm hiểu continuum Peano Với mục tiêu vậy, luận văn chia làm ba chương Chương chủ yếu nêu lại khái niệm tôpô xuất luận văn nhằm mục đích giúp người đọc làm quen với chúng Chương trình bày khái niệm số p - adic kèm theo số ví dụ giúp làm rõ khái niệm số p - adic Những kiến thức giúp Chương Chương trở nên rõ ràng đọc Tiếp theo, Chương đặc biệt ý đến hai khái niệm tính chất S phân hoạch tập Qua chương thấy hai khái niệm có mối liên hệ mật thiết với số tính chất khái niệm Chương bước đệm cho ta thấy xuất phát điểm Chương Tiếp nối kiến thức có Chương Chương 2, đến Chương tìm hiểu khái niệm phân hoạch đẳng biến continuum Peano Cùng với tồn phép nâng cung từ không gian thương phép đẳng cấu nhóm đồng luân bậc cao tác động nhóm p – adic cuối cách xây dựng số continuum từ quỹ đạo cung tạo đường cong Menger từ tác động tự nhóm p – adic lên continuum Peano Tuy nhiên, trình làm việc, trình độ thân hạn chế nên dù cố gắng thiếu sót luận văn kết khác chưa trình bày Hơn nữa, kết trình bày luận văn mở rộng Ví dụ tác động 3.4.6 từ tác động tự trở thành tác động hiệu kết thu Hay vấn đề đặt xây dựng hay không lớp không gian mà tồn phân hoạch đẳng biến nhóm p - adic tác động lên chúng Thậm chí tìm phản ví 57 dụ cho đoán Hilbert – Smith với đa tạp có số chiều lớn bốn Cuối cùng, hy vọng có hội nghiên cứu sâu để tìm câu trả lời cho vấn đề vừa nêu 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Bestvina M, Characterizing k-dimensional universal Menger compacta, Memoirs of the American Mathematical Society, Volume 71, Number 380, 1988 Bing R H, Partitioning a Set, Bull Amer Math Soc 55 (1949), 11011110 Bing R H and Floyd E E, Coverings with Connected Intersections, Trans Amer Math Soc 69 (1950), 387–391 Bredon G E, Raymond F, and Williams R F, p-adic groups of transformations, Transactions of the American Mathematical Society 99 (1961), 488–498 Dranishnikov A N, On free actions of zero-dimensional compact groups, Izv Akad Nauk USSR 32 (1988), 217–232 Engelking R, General Topology, Warsaw: Polish Scientific Publishers, (1977) Pardon J, The Hilbert-Smith conjecture for three-manifolds, Submitted, April, 2012 Pontryagin L S, Topological Groups, Classics of Soviet Mathematics, New York: Gordon and Breach, (1986) Whyburn G T, Analytic Topology, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol XXVIII, New York: American Mathematical Society, (1942) 10 Yang C T, p-adic transformation groups, Michigan Mathematics Journal (1960), 201–218 11 Yang Z, A construction of classifying spaces for p-adic group actions, Topology and its Applications 153 (2005), 161–170 Trang web 59 12 wolfweb.unr.edu/ The higher homotopy groups.pdf 13 www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch4.pdf [...]... quả lên continuum Peano thì nhận được một dãy lọc các phân hoạch mà mỗi phần tử của lọc này có tương ứng một tác động hữu hạn 2.2.5 Hệ quả (Phân hoạch đẳng biến) Nếu nhóm p – adic Ap tác động hiệu quả lên continuum Peano X thì với mọi ε > 0 có một ε − phân hoạch của X trong đó nhóm Ap tác động lên mỗi phần tử của phân hoạch theo một ph p hoán vị hữu hạn Chứng minh Do ánh xạ thương p 0 : X → X Ap liên... cảm sinh từ đồng cấu φnn−1 Nếu Ap tác động tự do thì mỗi ánh xạ pn là một ánh xạ phủ p − phần tử Khi Ap chỉ tác động một cách thông thường lên X thì trong các ánh xạ pn chỉ có một số là ánh xạ phủ phân nhánh Với mỗi n ∈  ta đặt Pn := p1  p2    pn−1  pn thì khi đó Pn là ánh xạ phủ phân nhánh p n − phần tử Đặt p 0 : X → X Ap là ánh xạ thương sinh từ tác động của Ap và với mỗi n ∈  ta có π n : X... t p M phân hoạch được  28 Chương 3 CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG NHÓM P – ADIC 3.1 Định nghĩa và ký hiệu 3.1.1 Định nghĩa Không gian X được gọi là continuum Peano nếu nó là một không gian mêtric compact, liên thông và liên thông địa phương Continuum Peano có những đặc tính của một cung nên ta thường xét continuum Peano như là một đường cong liên tục 3.1.2 Định nghĩa Một tác động của nhóm G với phần... α p p ≤ 1 thì chúng ta > 1 thì ta giả sử α p = pk với k > 0 Xét β = p kα với β p = 1 thì β có một khai triển p – adic β =β 0 + β1 p + β 2 p 2 +  như phía trên Khi đó α= β0 p k + β1 p k −1 ++ β k −1 p + β k + β k +1 p +  + β k + r p r +  trong đó 0 ≤ β n ≤ ( p − 1) với mỗi n Những l p luận nêu trên cho ta một kết quả quan trọng 1.2.9 Định lý Mọi số p – adic α ∈  p đều có một khai triển p – adic. .. x + ord p y; (c) ord p ( x + y ) ≥ min {ord p x, ord p y} 1.2.4 Định nghĩa Cho x ∈  Khi đó chuẩn p – adic của x được cho bởi 14 − ord x  p p x p =  −∞  p x ≠ 0, x = 0 khi khi 1.2.5 Mệnh đề Hàm p :  →  + có các tính chất sau: (a) x p = 0 nếu và chỉ nếu x = 0; (b) xy p = x p y p; (c) x + y p ≤ max { x p , y p } 1.2.6 Định nghĩa Vành các số p – adic là sự mở rộng của  theo chuẩn p – adic ký... trong t p sao của phủ con hữu hạn { K i } nên họ H tối đa chỉ là một ε − phân hoạch của V Vì ε tùy ý nên t p V là phân hoạch được do đó V có tính chất S suy ra f −1 (U ) liên thông địa phương  Trong trường h p đặc biệt nhóm p – adic tác động lên một continuum Peano, khi đó 3.2.4 và 3.2.3 cung c p các công cụ để xây dựng phân hoạch đẳng biến Chúng ta sẽ thấy trong hệ quả dưới đây mọi tác động p – adic. .. tố p cho trước, một nhóm p – adic là một nhóm aben { } Ap := lim  p n ,φnn+1 trong đó các ánh xạ φnn+1 :  p n +1 →  pn là những đồng cấu ← nhóm thu được khi lấy môđun p n Hơn nữa, ta có thể dùng t p của nhóm Cantor cho các số p − adic Hơn nữa, các số này cũng có t p cảm sinh được từ một phần tử đơn Khi cần thiết ta chọn một phần tử τ ∈ Ap làm phần tử cảm sinh t p trong Ap Ngoài ra, các nhóm. .. Ap có thể được viết dưới dạng τ p Ap với k k ∈  (những nhóm con này hoàn toàn độc l p với cách chọn τ ) Ký hiệu ∆ k := τ p Ap là nhóm con của Ap với chỉ số p k k Khi Ap tác động lên không gian X thì một cách tự nhiên sinh ra hệ các ánh xạ { pn : X ∆ n → X ∆ n−1} : p5 p3 p4 p2 p1 X   → X ∆ 4  → X ∆ 3  → X ∆ 2  → X ∆1  → X Ap Ánh xạ pn : X ∆ n → X ∆ n−1 cảm sinh từ đồng cấu φnn−1 Nếu Ap... từ tác động của nhóm con ∆ n Khi đó các ánh xạ vừa nêu trên thỏa mãn hệ thức Pn  ππ n = 0 3.2 Phân hoạch đẳng biến của continuum Peano Ta bắt đầu bằng một định lý của R H Bing: 3.2.1 Định lý 30 Mọi continuum Peano đều có thể phân hoạch được Chứng minh Theo 2.1.5 ta có continuum Peano có tính chất S và từ đó nó phân hoạch được do 2.2.7  Do đó, nếu có một nhóm p – adic tác động hiệu quả lên một continuum. ..  p Chuẩn trên  p cũng được ký hiệu là p p được 1.2.7 Định nghĩa Đĩa đơn vị quanh 0 ∈  p là t p các số nguyên p – adic {  p = α ∈ p : α p } ≤1 1.2.8 Mệnh đề T p các số nguyên p – adic  p là vành con của  p Mọi phần tử của  p là giới hạn của một dãy các số nguyên (không âm) và ngược lại mọi dãy Cauchy các số nguyên trong  luôn có một giới hạn trong  p Bây giờ chúng ta sẽ đi mô tả các phần ... này, đề c p đến kết liên quan đến tác động nhóm p – adic lên continuum Peano từ nêu kết tổng quát cho nhóm compact chiều tác động lên continuum Peano 3 Ngoài ra, nhóm p – adic Ap tác động cách... ứng tác động hữu hạn 2.2.5 Hệ (Phân hoạch đẳng biến) Nếu nhóm p – adic Ap tác động hiệu lên continuum Peano X với ε > có ε − phân hoạch X nhóm Ap tác động lên phần tử phân hoạch theo ph p hoán... p số p – adic Khi α biết cách tìm khai triển p – adic Nếu α p p ≤ > ta giả sử α p = pk với k > Xét β = p kα với β p = β có khai triển p – adic β =β + β1 p + β p +  phía Khi α= β0 p k + β1 p