BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Sĩ Trung CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Sĩ Trung CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Cơ sở không gian topo – Topo yếu 1.1.1 Cơ sở không gian topo 1.1.2 Topo yếu 1.2 Các topo đặc biệt cảm sinh từ topo cho trước 1.3 Nón lồi – Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến 1.3.1 Nón lồi .7 1.3.2 Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến 1.4 Hàm lồi – Định lí tách tập lồi 1.5 Tính liên tục ánh xạ đơn trị 1.6 Phân hoạch đơn vị 1.6.1 Giá hàm số 1.6.2 Phân hoạch đơn vị 1.7 Ánh xạ đa trị – Một số ánh xạ đa trị đặc biệt 1.7.1 Ánh xạ hợp 1.7.2 Ánh xạ đa trị có giá trị đóng – Miền vững 1.7.3 Ánh xạ đa trị có giá trị lồi .10 1.7.4 Ánh xạ đa trị đóng 10 1.7.5 Ánh xạ đa trị lồi .10 1.7.6 Quá trình lồi 10 1.7.7 Ánh xạ đa trị Lipschitz địa phương .13 1.7.8 Hàm tựa ánh xạ đa trị – Ánh xạ đa trị hemi liên tục .13 1.7.9 Tính liên tục ánh xạ đa trị .13 CHƯƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 17 2.1 Các tính chất tính liên tục, liên thông, compact 17 2.2 Các tính chất tính đóng – mở, lồi .23 2.2.1 Định lí ánh xạ mở 23 2.2.2 Định lí đồ thị đóng 24 2.2.3 Nguyên lí bị chặn 26 2.2.4 Định lí tồn điểm cân .28 2.2.5 Định lí điểm bất động Ky Fan – Định lí điểm bất động Kakutani 29 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU (X ) Tập tập X ,  Tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số vô tỉ  Tập hợp số thực suy rộng TK ( x ) Nón tiếp tuyến x NK ( x) Nón pháp tuyến x supp f Giá hàm f F : X Y Ánh xạ đa trị F rgeF Miền ảnh F domF Miền hữu hiệu F gphF Đồ thị F X* Không gian liên hợp X F Chuẩn ánh xạ đa trị F B ( X ,1) Hình cầu đơn vị đóng X CF ( p, x ) Hàm tựa ánh xạ đa trị F d ( a, M ) Khoản cách từ điểm a đến tập M MỞ ĐẦU Giải tích đa trị hướng nghiên cứu tương đối từ năm 30 kỷ XX, nhà toán học nhận tầm quan trọng chúng Sự đời tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysis” vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển hướng nghiên cứu Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lí thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lí thuyết tối ưu, lí thuyết điều khiên, tối ưu đa mục tiêu toán kinh tế Hiện kết nghiên cứu tính ổn định toán tối ưu phụ thuộc tham số viết ngôn ngữ giải tích đa trị Trong luận văn này, xem xét số khái niệm tính chất ánh xạ đa trị góc độ, công cụ quen thuộc ánh xạ đơn trị Từ tìm kết quả, chứng minh tương tự việc chứng minh tính chất ánh xạ đơn trị Luận văn trình bày gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức ánh xạ đơn trị Đồng thời giới thiệu khái niệm tính chất ánh xạ đa trị Chương II: Mối quan hệ ánh xạ đa trị ánh xạ đơn trị Chương giới thiệu cách nhìn khác ánh xạ đa trị Bằng công cụ ánh xạ đơn trị, xem xét tính chất, chứng minh tính chất ánh xạ đa trị Ngược lại ta xem ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị đặc biệt ta thu kết biết ánh xạ đơn trị CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Cơ sở không gian topo – Topo yếu 1.1.1 Cơ sở không gian topo Định nghĩa 1.1 Cho không gian topo ( X ,τ ) Một họ B tập X gọi sở topo τ tập mở V chứa x có tập mở G thoả mãn G ∈ B x ∈G ⊂ V Định lí 1.1 Cho X ≠ ∅ Nếu họ B tập X thoả mãn: i G= X G∈ B ii ∀G1 , G2 ∈ B, ∀x ∈ G1  G2 , ∃G ∈ B : x ∈ G ⊂ G1  G2 tồn topo X nhận B làm sở 1.1.2 Topo yếu Định nghĩa 1.2 Cho không gian Banach X Ta gọi topo yếu X topo yếu xác định X để hàm f ∈ X * liên tục 1.2 Các topo đặc biệt cảm sinh từ topo cho trước Cho không gian topo ( X ,τ )  ( X ) họ tất tập X Với tập mở G ⊂ X , ta đặt: 0 ( X ) :  ( X ) \ {∅} + = + [, G ] := { A ∈ 0 ( X ) : A ⊂ G= }  : {[, G ] : G ∈τ } + I G=:  : {I { A ∈  ( X ) : A G ≠ ∅} = G : G ∈τ } Mệnh đề 1.1 Các họ  ,  sở topo 0 ( X ) mà ta kí hiệu τ X ,τ X Khi đó, ta kí hiệu τ X topo 0 ( X ) sinh   Chứng minh: Ta sử dụng Định lí 1.1 để chứng minh họ  ,  sở topo 0 ( X ) i Chứng minh  sở topo 0 ( X ) G = X Do  [, G ] =  ( X ) nên [ ,G ]∈ G∈τ Lấy [, G1 ] , [, G2 ] ∈  tuỳ ý, với A ∈ [ , G1 ]  [ , G2 ] ta có: A ∈ , G1  G2  A ⊂ G1 A ⊂ G2 + + , G1  G2  ⊂ [ , G1 ]  [ , G2 ] ii Chứng minh  sở topo 0 ( X ) Do G = X nên G∈τ I G I G ∈ = 0 ( X ) Lấy I G1 , I G2 ∈  tuỳ ý, với A ∈ I G1  I G2 ta có: + A ∈ IG + IG  G2  G2 ( ) ( A G1  G2 = A G1 )  ( A G ) ⊂ I G1  I G2 Nhận xét Với G1 , G2 , , Gn ∈τ X khác rỗng tuỳ ý, ta đặt: n   B ( G1 , , Gn= )  A ∈ 0 ( X ) : A ⊂  Gk A Gk ≠ ∅  k =1   Khi đó, họ tất tập có dạng B ( G1 , , Gn ) sở τ X mà ta kí hiệu  Để hiểu rõ định nghĩa trên, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.1 Cho không gian  với topo τ thông thường Với khoảng mở G tuỳ ý, họ  ( G ) tất tập tập mở τ  Hơn nữa, tập mở tuỳ ý τ  biểu diễn dạng hợp tập mở có dạng nói Với khoảng mở ( a, b ) tuỳ ý, họ tất tập có dạng A { x} tập mở τ  x ∈ ( a, b ) A ⊂  Hơn nữa, tập mở tuỳ ý τ  biểu diễn dạng hợp tập mở có dạng nói 1.3 Nón lồi – Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến 1.3.1 Nón lồi Định nghĩa 1.3 Trong không gian định chuẩn, tập K gọi nón lồi nếu: i ∈ K ii ∀x, y ∈ K ; ∀λ , µ > : λ x + µ y ∈ K 1.3.2 Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến Định nghĩa 1.4 Cho K tập lồi không gian tuyến tính topo X Nón tiếp tuyến TK ( x ) K x ∈ K tập hợp cho công thức: TK ( x ) = {t ( y − x ) : y ∈ K , t ≥ 0} Định nghĩa 1.5 Cho K tập lồi không gian tuyến tính topo X Nón pháp tuyến N K ( x ) K x ∈ K tập hợp cho công thức: N K ( x ) = (TK ( x ) ) * = {f ∈X * : f ( v ) ≤ 0, ∀v ∈ TK ( x )} 1.4 Hàm lồi – Định lí tách tập lồi Định nghĩa 1.6 Cho X không gian tuyến tính f : X →  Khi f gọi hàm lồi với λ ∈ [ 0,1] với x, y ∈ X ta có: f λ x + (1 − λ ) y  ≤ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) Nếu − f hàm lồi ta nói f hàm lõm Định lí 1.2 Cho X không gian Banach A, B hai tập lồi đóng có giao rỗng Khi đó, A tập compact tồn p ∈ X *  {0} cho: sup p ( x ) < inf p ( y ) y∈B x∈ A 1.5 Tính liên tục ánh xạ đơn trị Định nghĩa 1.7 Cho không gian topo ( X ,τ X ) Hàm f : X →  gọi nửa liên tục x0 với α > f ( x0 ) , tồn U ∈τ X chứa x0 cho: f ( x ) < α , ∀x ∈U Định nghĩa 1.8 Cho không gian topo ( X ,τ X ) Hàm f : X →  gọi nửa liên tục x0 với α < f ( x0 ) , tồn U ∈τ X chứa x0 cho: f ( x ) > α , ∀x ∈U Định nghĩa 1.9 Ánh xạ f từ không gian topo (Y ,τ Y ) ( X ,τ X ) đến không gian topo gọi liên tục x0 ∈ X với V ∈τ Y chứa f ( x0 ) , tồn U ∈τ X chứa x0 cho f (U ) ⊂ V 1.6 Phân hoạch đơn vị 1.6.1 Giá hàm số Định nghĩa 1.10 Cho f : X →  hàm số xác định không gian topo X Giá f tập hợp xác định công thức: suppf = { x ∈ X : f ( x ) ≠ 0} 1.6.2 Phân hoạch đơn vị Định lí 1.3 Cho K không gian metric compact {Vα }α ∈ A phủ mở K 1, 2, , n ) thoả mãn: Khi tồn hữu hạn hàm liên tục fi : K →  ( i = i ≤ fi ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ K , ∀i ∈ {1, 2, , n} n ii ∑ f ( x ) = 1, ∀x ∈ K i =1 iii i Với i ∈ {1, 2, n} , tồn α ∈ A cho suppfi ⊂ Vα Chứng minh chi tiết định lí xem [1, trang 28] Định nghĩa 1.11 Họ hàm liên tục { fi }i =1, , n có tính chất ( i ) , ( ii ) , ( iii ) định lí gọi phân hoạch đơn vị K tương thích với phủ mở {Vα }α ∈ A Định lí 1.4(Bất đẳng thức Ky Fan) Cho K tập lồi, compact không gian Banach X f : K × K →  hàm số thoả mãn điều kiện: i ∀y ∈ K , f ( , y ) hàm số nửa liên tục Hệ 2.3 Cho f ánh xạ đơn trị liên tục từ ( X ,τ X ) vào (Y ,τ Y ) Khi đó, A tập compact ( X ,τ X ) f ( A ) tập compact (Y ,τ Y ) Chứng minh: Đặt F : X  Y ánh xạ đa trị xác định công thức: = F ( x) { f ( x )} , ∀x ∈ X Khi đó, f liên tục X nên theo Hệ 2.1, F ánh xạ đa trị liên tục X Hơn với x ∈ X , tập { f ( x )} tập compact (Y ,τ Y ) Vậy F thoả mãn giả thiết nêu phát biểu ( a ) hay ( b ) mệnh đề Do đó, F ( A ) tập compact (Y ,τ Y ) Điều cho thấy f ( A ) tập compact (Y ,τ Y ) F ( A) = f ( A) 2.2 Các tính chất tính đóng – mở, lồi 2.2.1 Định lí ánh xạ mở Định lí 2.1(Định lí ánh xạ mở) Cho hai không gian Banach X , Y F : X  Y ánh xạ đa trị lồi, đóng Nếu rgeF = Y F ánh xạ mở, nghĩa với tập mở U ⊂ X , F (U ) tập mở Y Chứng minh: Giả sử F thoả mãn giả thiết định lí U tập mở tuỳ ý X Lấy y0 ∈ F (U ) tuỳ ý, tồn x0 ∈U để y0 ∈ F ( x0 ) Do rgeF = Y nên y0 ∈ int ( rgeF ) Theo Định lí 1.5, tồn  > γ > cho với y ∈ B ( y0 , γ ) , tồn x ∈ F −1 ( y ) thoả mãn: ‖x − x0‖≤  y − y0 Hơn nữa, U tập mở nên tồn r ∈ ( 0, γ ) để B ( x0 , r ) ⊂ U Khi với y ∈ B ( y0 , r ) , tồn x ∈ F −1 ( y ) thoả mãn: x − x0 ≤  y − y0 ≤ r Suy x ∈ B ( x0 , r ) ⊂ U Mà y ∈ F ( x ) nên ta có y ∈ F (U ) Do bao hàm thức với y ∈ B ( y0 , r ) nên B ( y0 , r ) ⊂ F (U ) Vậy F (U ) tập mở Y 23 Từ định lí trên, ta thu kết quen thuộc ánh xạ đơn trị Hệ 2.4 Cho ánh xạ đơn trị f từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Khi f toàn ánh, tuyến tính, liên tục f ánh xạ mở Chứng minh: Do f ánh xạ tuyến tính nên ta có gphF tập lồi không gian X × Y Hơn nữa, f liên tục nên gphF tập đóng Vì ánh xạ đa trị F : X  Y cho công thức: = F ( x) { f ( x )} , ∀x ∈ X thoả mãn giả thiết phát biểu Định lí 2.1 Mà f toàn ánh nên rgeF = Y Từ suy F (U ) tập mở Y với tập U mở X , có nghĩa f ánh xạ mở 2.2.2 Định lí đồ thị đóng Mệnh đề 2.7 Cho ánh xạ đa trị F từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Khi đó, gphF hình nón không gian X × Y 0Y ∈ F ( X ) F ( λ x ) = λ F ( x ) với x ∈ X λ > Chứng minh: ( ⇒ ) Giả sử gphF hình nón Vì ( X , 0Y ) ∈ gphF nên 0Y ∈ F ( X ) Lấy x ∈ X λ > Khi với y ∈ λ F ( x ) tuỳ ý, tồn y ′ ∈ F ( x ) cho y = λ y ′ Do gphF hình nón không gian X × Y ( x, y ′) ∈ gphF nên ( λ x, λ y ′ ) ∈ gphF , có nghĩa = y λ y ′ ∈ F ( λ x ) Vậy λ F ( x ) ⊂ F ( λ x ) Để có bao hàm thức ngược lại, ta lấy y ∈ F ( λ x ) tuỳ ý Do gphF hình nón không gian X × Y   x,  λ ( λ x, y ) ∈ gphF nên  y  ∈ F ( x ) hay y ∈ F ( x ) Suy y ∈ λ F ( x ) λ  ( ⇐ ) Giả sử ( x, y ) ∈ gphF 0Y ∈ F ( X ) F ( λ x ) = λ F ( x ) với x ∈ X λ > Lấy tuỳ ý F ( λ x ) Điều cho thấy λ > Khi đó, y ∈ F ( x ) nên λ y ∈ λ F ( x ) = ( λ x, λ y ) ∈ gphF Vậy gphF hình nón không gian X × Y 24 Định lí 2.2(Định lí đồ thị đóng) Cho hai không gian Banach X , Y F : X  Y trình lồi đóng Giả sử F thoả mãn tính Lipschitz X , có nghĩa tồn  > cho với x1 , x2 ∈ X ta có: F ( x1 ) ⊂ F ( x2 ) +  x1 − x2 B ( 0Y ,1) Khi đó, domF = X F số thực Chứng minh: Theo Mệnh đề 1.2, F −1 trình lồi đóng Theo giả thiết, ta có: ∀x ∈ X : F ( X ) ⊂ F ( x ) +  x B ( 0Y ,1) Mà F trình lồi đóng nên ( X , 0Y ) ∈ gphF Suy 0Y ∈ F ( X ) Theo giả thiét với x ∈ X \ {0} , tồn y ∈ F ( x ) , v ∈ B ( 0Y ,1) cho: 0Y= y +  x v Khi đó: d ( 0, F ( x ) ) x ≤ 0− y x ≤ Vậy F ≤  hay F số hữu hạn Nhận xét Giả thiết tính Lipschitz F định lí suy từ giả thiết F trình lồi đóng domF = X Thật vậy, giả sử F trình lồi đóng cho domF = X Theo Mệnh đề 1.2, F −1 trình lồi đóng nên X ∈ F −1 ( 0Y ) Hơn nữa: rgeF −1 = = = { x ∈ X : ∃y ∈ Y cho x ∈ F ( y )} −1 { x ∈ X : ∃y ∈ Y cho y ∈ F ( x )} { x ∈ X : F ( x ) ≠ ∅} = domF = X Từ suy X ∈ int ( rgeF −1 ) Khi theo Định lí 1.5, tồn  > γ > cho: ∀x ∈ B ( X , γ ) , ∃y ∈ F ( x ) : y ≤  x 25 Khi với x ∈ X tuỳ ý, tồn t > 0  cho tx ∈ B ( X , γ ) Vì vậy, ta tìm y ∈ F ( tx ) để y ≤ t x Do F −1 trình lồi nên theo Mệnh đề 2.7, y ∈ tF ( x ) Đặt y ′ = y , ta có y ′ ∈ F ( x ) y ′ ≤  x t Cố định hai điểm x1 , x2 ∈ X lấy y1 ∈ F ( x1 ) tuỳ ý Do tính chất chứng minh phần trên, tồn u ∈ F ( x2 − x1 ) thoả mãn: u ≤  x1 − x2 Đặt y= y1 + u , ta có: y1 − y2 ≤  x1 − x2 Vì ta tìm v ∈ B ( 0Y ,1) để y1 − y2 =  x1 − x2 v Hơn F trình lồi đóng nên: 1 1 y1 + u ∈ F ( x1 ) + F ( x2 − x1 ) 2 2 1  ∈ F  x2  2  ∈ F ( x2 ) Từ suy y1 + u ∈ F ( x2 ) hay y2 ∈ F ( x2 ) Vậy: y1 ∈ F ( x2 ) +  x1 − x2 B ( 0Y ,1) Do y1 ∈ F ( x1 ) nên F ( x1 ) ⊂ F ( x2 ) +  x1 − x2 B ( 0Y ,1) Hơn nữa, x1 , x2 ∈ X tuỳ ý nên ta suy F có tính Lipschitz X 2.2.3 Nguyên lí bị chặn Định lí 2.3([Nguyên lí bị chặn đều) Cho hai không gian Banach X , Y {Fα }α ∈I họ trình lồi đóng từ X vào Y Khi đó, họ {Fα }α ∈I bị chặn theo điểm, có nghĩa là: ∀x ∈ X , ∃yα ∈ Fα ( x ) : sup yα < +∞ α ∈I họ {Fα }α ∈I bị chặn đều, nghĩa sup Fα < +∞ α ∈I 26 Chứng minh: Với x ∈ X , ta đặt: p ( x ) = sup d ( 0Y , Fα ( x ) ) α ∈I Khi đó, p hàm số từ X vào  Thật vậy, với x ∈ X ta tìm họ { yα }α ∈I { } cho yα ∈ Fα ( x ) sup yα < +∞ Do họ d ( 0Y , Fα ( x ) ) α ∈I α ∈I bị chặn  Từ định nghĩa p ta suy p ( x ) ∈  Mặt khác, d ( 0Y , Fα ( x ) ) hàm nhất, liên tục x = với α ∈ I nên p ( x ) hàm nhất, liên tục x = , có nghĩa tồn  > cho: p ( x ) ≤  x , ∀x ∈ X Vì sup Fα ≤  α ∈I Từ định lí trên, ta có kết quen thuộc ánh xạ đơn trị với Fα ( x ) α ∈ I ,= { fα ( x )} , ∀x ∈ X với fα ánh xạ đơn trị Hệ 2.5 Cho hai không gian Banach X , Y họ { fα }α ∈I ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y Khi đó, họ { fα }α ∈I bị chặn theo điểm, có nghĩa là: ∀x ∈ X ,sup fα ( x ) < +∞ α ∈I { fα }α ∈I bị chặn đều, nghĩa sup fα < +∞ α ∈I Chứng minh: Với α ∈ I , ta đặt ánh xạ đa trị Fα : X  Y xác định công thức: = Fα ( x ) { fα ( x )} , ∀x ∈ X Do fα ánh xạ tuyến tính nên gphFα hình nón lồi không gian X × Y Hơn nữa, fα liên tục nên gphFα tập đóng không gian X × Y Vậy họ ánh xạ đa trị {Fα }α ∈I thoả mãn giả thiết định lí nên sup fα < +∞ α ∈I 27 {Fα }α ∈I bị chặn Từ suy 2.2.4 Định lí tồn điểm cân Điểm cân (không điểm) ánh xạ đa trị đóng vai trò quan trọng toán tối ưu Bằng cách biến đổi thích hợp, người ta chứng minh nghiệm lớp toán tối ưu điểm cân ánh xạ đa trị Định lí sau cho ta điều kiện tồn điểm cân ánh xạ đa trị: Định lí 2.4(Định lí tồn điểm cân bằng) Cho X không gian Banach F : X  X ánh xạ đa trị hemi liên tục X , có giá trị lồi đóng Nếu tập lồi compact khác rỗng K ⊂ domF miền vững F K chứa điểm cân F , tức tồn x0 ∈ K cho ∈ F ( x0 ) Chứng minh: Ta chứng minh phương pháp phản chứng, giả sử ánh xạ đa trị F : X  X thoả mãn giả thiết định lí, K ⊂ domF miền vững lồi, compact khác rỗng F với x ∈ K ta có ∉ F ( x ) Khi với x ∈ K , F ( x ) tập lồi đóng ∉ F ( x ) nên theo Định lí 1.2, tồn p ∈ X * cho sup p ( y ) < Vì y∈F ( x ) CF ( p, x ) < Với p ∈ X * , đặt U p = { x ∈ K : CF ( p, x ) < 0} Theo kết chứng minh trên, ta có: ∀x ∈ K , ∃p ∈ X * : x ∈U p Vậy họ {U p } p∈ X * phủ mở K Vì K tập compact nên tồn hữu hạn { } phần tử p1 , p2 , , pk ∈ X * cho họ U pi i =1, , k phủ mở K Theo Định lí 1.3, tồn phân hoạch đơn vị {ϕi }i =1, , n K tương thích với phủ mở Khi với i ∈ {1, , n} , tồn j ( i ) ∈ {1, , k} cho suppϕi ⊂ U p j(i ) Xét hàm số ϕ : K × K →  xác định công thức: = ϕ ( x, y ) n ∑ϕ ( x) p ( ) ( x − y ) i =1 i j i Vì {ϕi }i =1, , n phân hoạch đơn vị p1 , , pk ∈ X * nên ta suy ra: 28 i ∀y ∈ K ϕ ( , y ) hàm liên tục ii ∀x ∈ K ϕ ( x, ) hàm lõm iii ∀x ∈ K ϕ ( x, x ) =0 Do đó, theo Định lí 1.4 tồn x0 ∈ K cho với y ∈ K ta có: ϕ ( x0 , y ) ≤ n Khi đó, đặt: p = ∑ ϕi ( x0 ) p j (i ) Suy ra: i =1 ∀y ∈ K , p ( y − x0 ) ≤ Do đó: − p ∈ (TK ( x0 ) ) = N K ( x0 ) Hơn nữa, K miền vững F * nên với v ∈ F ( x0 )  TK ( x0 ) ta có: CF ( p, x0 ) ≥ p ( v ) ≥ {0 ≤ i ≤ n : ϕ ( x ) > 0} Khi I ( x ) ≠ ∅ vì: Đặt I ( x0 ) = i 0 n + ∑ϕ ( x ) = i =1 i + ϕi ( x0 ) ≥ 0, ∀i Khi với i ∈ I ( x0 ) , ϕi ( x0 ) > nên x0 ∈ suppϕi ⊂ U p j(i ) Vậy:  n  = CF ( p, x0 ) sup ∑ ϕi ( x0 ) p j (i ) ( y ) : y ∈ F ( x0 )   i =1  ≤ ∑ i∈I ( x0 ) ( ) ϕi ( x0 ) CF p j (i ) , x0 < Điều mâu thuẫn với CF ( p, x0 ) ≥ Vậy định lí chứng minh 2.2.5 Định lí điểm bất động Ky Fan – Định lí điểm bất động Kakutani Định lí 2.5(Định lí điểm bất động Ky Fan) Cho K tập lồi, compact khác rỗng không gian Banach X Cho F : K  K ánh xạ đa trị hemi liên tục K , có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, tồn x0 ∈ K cho x0 ∈ F ( x0 ) Chứng minh: Đặt G : K  K ánh xạ đa trị xác định công thức: 29 G (= x ) F ( x ) − x, ∀x ∈ K Khi đó, G ánh xạ đa trị hemi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Hơn nữa: ∀x ∈ K : G ( = x ) F ( x ) − x ⊂ K − x ⊂ TK ( x ) Vì F ( x ) ≠ ∅ với x ∈ K nên G ( x ) ≠ ∅ với x ∈ K Suy tập lồi K miền vững G Theo Định lí 2.4, tồn x0 ∈ K cho ∈ G ( x0 ) Điều cho thấy x0 ∈ F ( x0 ) Mệnh đề 2.8 Cho X không gian metric, Y không gian định chuẩn ánh xạ đa trị F : X  Y Nếu F nửa liên tục X , có giá trị compact yếu, khác rỗng ( Y xét với topo yếu) Khi với p ∈ X * , hàm số CF ( p, ) nửa liên tục domF Chứng minh: Giả sử F thoả mãn tính chất phát biểu mệnh đề Lấy p ∈ X * tuỳ ý, ta cần chứng minh với x0 ∈ domF ε > , tồn lân cận mở U ⊂ X x0 cho: CF ( p, x ) ≤ CF ( p, x0 ) + ε , ∀x ∈U Do F ( x0 ) tập compact yếu khác rỗng nên tồn y0 ∈ F ( x0 ) cho: CF ( p, x0 ) = p ( y0 ) Ta đặt: V = { y ∈ Y : p ( y ) < p ( y0 ) + ε } Khi đó, V lân cận mở yếu chứa F ( x0 ) Vì F nửa liên tục yếu nên tồn lân cận mở U ⊂ X x0 cho F (U ) ⊂ V Do đó, với x ∈U ta có: = CF ( p, x ) sup { p ( y ) : y ∈ F ( x )} ≤ p ( y0 ) + ε = CF ( p, x0 ) + ε Định lí 2.6(Định lí điểm bất động Kakutani) Cho K ⊂  n tập lồi, compact khác rỗng ánh xạ đa trị F : K  K Nếu F ánh xạ đa trị nửa liên tục K , có giá trị lồi, đóng, khác rỗng tồn x0 ∈ K cho x0 ∈ F ( x0 ) 30 Chứng minh: Đặt G : K  K ánh xạ đa trị xác định công thức: G (= x ) F ( x ) − x, ∀x ∈ K Khi đó, G ánh xạ đa trị có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Mặt khác, theo Mệnh đề 2.8 nên F hemi nửa liên tục X Suy G hemi nửa liên tục X Hơn nữa: ∀x ∈ K : G ( = x ) F ( x ) − x ⊂ K − x ⊂ TK ( x ) Vì F ( x ) ≠ ∅ với x ∈ K nên G ( x ) ≠ ∅ với x ∈ K Suy tập lồi K miền vững G Theo Định lí 2.4, tồn x0 ∈ K cho ∈ G ( x0 ) Điều cho thấy x0 ∈ F ( x0 ) Đặc biệt = F ( x) { f ( x )} , ∀x ∈ X với f ánh xạ đơn trị, ta thu định lí điểm bất động Brouwer Hệ 2.6(Định lí điểm bất động Brouwer) Cho K ⊂  n tập lồi đóng, bị chặn, khác rỗng f : K → K ánh xạ đơn trị liên tục Khi đó, f có điểm bất động K Chứng minh: Đặt F : K  K ánh xạ đa trị xác định công thức: = F ( x) { f ( x )} , ∀x ∈ X Khi tập điểm tập lồi, đóng nên F ánh xạ đa trị có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Hơn nữa, f liên tục nên F nửa liên tục X Vậy F ánh xạ đa trị thoả mãn giả thiết phát biểu định lí nói Do đó, tồn x0 ∈ K cho x0 ∈ F ( x0 ) = { f ( x0 )} hay x0 = f ( x0 ) Điều cho thấy f có điểm bất động x0 ∈ K Sau ta xét ví dụ để thấy giả thiết phát biểu định lí bỏ qua (nhưng giữ nguyên giả thiết lại) Ví dụ 2.1 Ta xem  không gian topo với topo thông thường [ 0,1] không gian topo cảm sinh  Cho F : [ 0,1]  [ 0,1] xác định công thức: 31   {1} , ≤ x ≤ a F ( x ) =  {0} , < x ≤   1  x +  , ≤ x <    b F ( x ) = = ,x {0,1}   1  x −  , < x ≤ 2  ( x,1) , ≤ x < c F ( x ) =  , x =1 ( 0,1)     ,1 , x =    d F ( x ) =∅ , < x , ta = x thuộc khoảng mở 1  U =( x0 − δ , x0 + δ ) , ta có F ( x ) =  x −  ⊂ V 2  1   1  + Với x0 ∈  ,1 bất kì, lấy tuỳ ý khoảng mở V =  x0 − − ε , x0 − + ε  2   2  đặt δ { x0 ,1 − x0 , ε } Khi với với ε > , ta = x thuộc khoảng mở 1  U =( x0 − δ , x0 + δ ) , ta có F ( x ) =  x −  ⊂ V 2  + Với x0 = 1 , lấy tuỳ ý khoảng mở V = ( −ε ,1 + ε ) với ε > , ta đặt δ =  , ε  2  Khi với x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) , ta có: x < 1 1  F ( x ) =  x +  ⊂ V , x > 2 2  1  F ( x) =x −  ⊂ V 2  Tuy nhiên, F không ánh xạ đa trị có giá trị lồi với x0 = phải tập lồi 33 1 , F   = {0,1} không 2 Hình 2.2 Biểu diễn F mặt phẳng toạ độ c Từ công thức xác định, ta có F ánh xạ đa trị có giá trị lồi, khác rỗng không ánh xạ đa trị có giá trị đóng Ngoài ra, F ánh xạ đa trị nửa liên tục [ 0,1] vì: + Với x0 = , lấy tuỳ ý khoảng mở V = ( −ε ,1 + ε ) với ε > , ta đặt δ = {1, ε } Khi với x thuộc khoảng mở U= x = F= ( x) (1 − δ ,1] , ta có: x < F= ( x) ( x,1) ⊂ V , ( 0,1) ⊂ V + Với x0 ∈ ( 0,1) bất kì, lấy tuỳ ý khoảng mở V = ( x0 − ε ,1 + ε ) với ε > , ta đặt δ = { x0 , ε } Khi với x thuộc khoảng mở U =( x0 − δ , x0 + δ ) , ta có F= ( x) ( x,1) ⊂ V Hình 2.3 Biểu diễn F mặt phẳng toạ độ d Từ công thức xác định, ta có F ánh xạ đa trị có giá trị lồi, đóng không khác rỗng F ( x ) = ∅ với x ∈ ( 0,1) Ngoài ra, F ánh xạ đa trị nửa liên tục [0,1] vì: + Với x0 ∈ ( 0,1) bất kì, lấy tuỳ ý khoảng mở V khác rỗng Khi với x thuộc  x x +1 khoảng mở U =  , , ta có F ( x ) = ∅ ⊂ V   34 1  + Với x0 = , lấy tuỳ ý khoảng mở V =  − ε ,1 + ε  với ε > , ta đặt 2  δ = {1, ε } Khi với x thuộc khoảng mở U = [ 0, δ ) , ta có: x > F ( x ) = ∅ ⊂ V , x = F = ( )  ,1 ⊂ V 2    + Với x0 = , lấy tuỳ ý khoảng mở V =  −ε , + ε  với ε > , ta đặt δ = {1, ε }   Khi với x thuộc khoảng mở U= (1 − δ ,1] , ta có: x < F ( x ) = ∅ ⊂ V ,  1 x = = F (1) 0,  ⊂ V  2 Hình 2.4 Biểu diễn F mặt phẳng toạ độ 35 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày khái niệm giải tích đa trị công cụ giải tích đơn trị Một số kết luận văn trình bày lại rõ ràng, hệ thống chứng minh chi tiết Một số kết khác chứng minh lại ngôn ngữ giải tích đơn trị Hạn chế luận văng chưa trình bày lại khái niệm, tính chất liên quan đến không gian metric, không gian vecto ánh xạ đa trị 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, Nxb Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Tiếng Anh Erwin Klein - Anthony C.Thompson (1984), Theory of Correspondences, John Wiley & Sons J.P.Aubin - H.Frankowska (1990), Set-valued Analysis, Berlin V Kalashnikov (2006), Optimization with Multivalued Mappings, Springer 37 [...]... Vậy họ các ánh xạ đa trị {Fα }α ∈I thoả mãn các giả thiết của định lí nên sup fα < +∞ α ∈I 27 {Fα }α ∈I bị chặn đều Từ đó suy ra 2.2.4 Định lí về sự tồn tại điểm cân bằng Điểm cân bằng (không điểm) của ánh xạ đa trị đóng vai trò khá quan trọng trong các bài toán tối ưu Bằng cách biến đổi thích hợp, người ta chứng minh được nghiệm của một lớp các bài toán tối ưu là điểm cân bằng của một ánh xạ đa trị Định... Ánh xạ đa trị có giá trị lồi Định nghĩa 1.16 Cho X là không gian topo và Y là không gian tuyến tính topo Ánh xạ đa trị F : X  Y được gọi là ánh xạ có giá trị lồi nếu F ( x ) là tập lồi với mọi x∈ X 1.7.4 Ánh xạ đa trị đóng Định nghĩa 1.17 Cho hai không gian topo ( X ,τ X ) , (Y ,τ Y ) và ánh xạ đa trị F : X  Y Nếu gphF là tập đóng trong không gian topo tích X × Y thì ta nói F là ánh xạ đa trị đóng... 1.20 Cho X , Y là các không gian định chuẩn và ánh xạ đa trị F : X  Y Ta nói F là Lipschitz địa phương tại x ∈ int ( domF ) nếu tồn tại  > 0 và δ > 0 sao cho: F ( x2 ) ⊂ F ( x1 ) +  x2 − x1 B ( 0Y ,1) với mọi x1 , x2 ∈ B ( x, δ ) 1.7.8 Hàm tựa của ánh xạ đa trị – Ánh xạ đa trị hemi liên tục Định nghĩa 1.21 Cho X là không gian metric và Y là không gian định chuẩn Hàm tựa của ánh xạ đa trị F : X  Y... gọi là ánh xạ hợp của F và G 1.7.2 Ánh xạ đa trị có giá trị đóng – Miền vững Định nghĩa 1.14 Cho hai không gian topo ( X ,τ X ) , (Y ,τ Y ) và ánh xạ đa trị F : X  Y Nếu F ( x ) là tập đóng với mọi x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian Banach và F : X  X là ánh xạ đa trị có giá trị đóng Tập lồi K ⊂ domF được gọi là một miền vững của F nếu với mọi x ∈ X... LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 2.1 Các tính chất về tính liên tục, liên thông, compact Mệnh đề 2.1 Cho hai không gian topo ( X ,τ X ) , (Y ,τ Y ) , ánh xạ đa trị F : X  Y và x0 ∈ domF Khi đó, F là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi ánh xạ đơn trị F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) ∈ 0 (Y ) là liên tục tại x0 Chứng minh: Ánh xạ đa trị F : X  Y nửa liên... đa trị đóng 1.7.5 Ánh xạ đa trị lồi Định nghĩa 1.18 Cho hai không gian tuyến tính topo X , Y và ánh xạ đa trị F : X  Y Nếu gphF là tập lồi trong không gian tích X × Y thì ta nói F là ánh xạ đa trị lồi Định lí 1.5 (Định lí Robinson-Ursescu) Cho hai không gian Banach X , Y và F : X  Y là ánh xạ đa trị lồi, đóng Giả sử y0 ∈ F ( x0 ) và y0 ∈ int ( rgeF ) Khi đó tồn tại  > 0 và γ > 0 sao cho với mỗi... đề 2.1 và Mệnh đề 2.2 Hệ quả 2.1 Cho ánh xạ đơn trị f : ( X ,τ X ) → (Y ,τ Y ) Khi đó, f liên tục tại x0 khi và chỉ khi ánh xạ đa trị F : X  Y biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) = { f ( x )} là liên tục tại x0 Mệnh đề 2.4 Cho các không gian topo ( X ,τ X ) , (Y ,τ Y ) và các ánh xạ đa trị F : X  Y , G : Y  Z Khi đó: a Nếu F , G lần lượt là các ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên X , Y thì ánh xạ hợp... x0 ∈ K sao cho f ( x0 , y ) ≤ 0, ∀y ∈ K Chứng minh chi tiết của định lí trên có thể xem trong [1, trang 31] 1.7 Ánh xạ đa trị – Một số ánh xạ đa trị đặc biệt Cho X , Y là hai tập hợp bất kì Một ánh xạ F đi từ X vào tập hợp  (Y ) gồm toàn bộ các tập con của Y được gọi là ánh xạ đa trị, kí hiệu F : X  Y Như vậy với mỗi x ∈ X , F ( x ) là một tập hợp con của Y Không loại trừ khả năng là với một số... điểm cân bằng của một ánh xạ đa trị: Định lí 2.4(Định lí về sự tồn tại điểm cân bằng) Cho X là không gian Banach và F : X  X là ánh xạ đa trị hemi liên tục trên ở trong X , có giá trị lồi đóng Nếu tập lồi compact khác rỗng K ⊂ domF là một miền vững của F thì K chứa ít nhất một điểm cân bằng của F , tức là tồn tại x0 ∈ K sao cho 0 ∈ F ( x0 ) Chứng minh: Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng, giả sử...  1  F ( x) =x −  ⊂ V 2  Tuy nhiên, F không là ánh xạ đa trị có giá trị lồi vì với x0 = phải là tập lồi 33 1 1 , F   = {0,1} không 2 2 Hình 2.2 Biểu diễn của F trong mặt phẳng toạ độ c Từ công thức xác định, ta có F là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, khác rỗng nhưng không là ánh xạ đa trị có giá trị đóng Ngoài ra, F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong [ 0,1] vì: + Với x0 = 1 , lấy ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Sĩ Trung CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02... KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày khái niệm giải tích đa trị công cụ giải tích đơn trị Một số kết luận văn trình bày lại rõ ràng, hệ thống chứng minh chi tiết Một số kết khác chứng minh... ánh xạ đa trị ánh xạ đơn trị Chương giới thiệu cách nhìn khác ánh xạ đa trị Bằng công cụ ánh xạ đơn trị, xem xét tính chất, chứng minh tính chất ánh xạ đa trị Ngược lại ta xem ánh xạ đơn trị ánh