BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Minh Thế BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Minh Thế BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN CAM Thành phố Hồ Chí Minh 2012 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ví dụ 1.2 Điều kiện tồn cho biến đổi Laplace 1.3 Các tính chất biến đổi Laplace 1.4 Định lý tích chập 12 1.5 Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace 14 1.6 Biến đổi Laplace ngược ví dụ 17 1.7 Định lý giá trị đầu, định lý giá trị cuối 32 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE .34 2.1 Nghiệm phương trình vi phân thường 34 2.2 Phương trình đạo hàm riêng 56 2.3 Nghiệm phương trình tích phân 73 2.4 Nghiệm toán giá trị biên 77 2.5 Nghiệm phương trình sai phân vi sai phân 82 2.6 Hàm chuyển hàm đáp ứng xung hệ thống tuyến tính 90 PHỤ LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 95 A Các hàm đặc biệt 95 A.1 Hàm Gamma 95 A.2 Hàm Dirac Delta 98 B Một số định lý quan trọng 99 KẾT LUẬN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân quan trọng Ứng dụng lớn để giải phương trình vi phân toán liên quan (bài toán giá trị biên toán điều kiện đầu) Nguồn gốc ứng dụng chỗ biến đổi Laplace cho phép chuyển từ phép tính vi tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh hàm qua biến đổi Laplace Các phép biến đổi cho phép chuyển gọi chung phép tính toán tử (operational calculus) Biến đổi Laplace đặt theo tên nhà toán học thiên văn học tiếng người Pháp Pierre Simon Laplace (1749-1827) Laplace nghiên cứu vấn đề vào năm 1782 Tuy nhiên tính hữu dụng phương pháp không công nhận Kỹ thuật thực tế để áp dụng biến đổi Laplace hiệu phát triển khoảng trăm năm sau kỹ sư điện người Anh Oliver Heaviside (1850-1925) Vì biến đổi Laplace gọi phép tính Heaviside (Heaviside calculus) Việc tìm hiểu lý thuyết Laplace số ứng dụng đề tài có ý nghĩa cho học viên cao học Vì giúp đỡ hướng dẫn thầy Ts Nguyễn Cam, định chọn đề tài “ Biến đổi Laplace số ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu Mục tiêu đề tài Trình bày lý thuyết biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, biến đổi Laplace ngược số phương pháp tìm biến đổi Laplace thông dụng Ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình sai phân vi sai phân,…và toán liên quan thường xuất vật lí khoa học kĩ thuật Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết mình, theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết Sử dụng kết Hàm biến phức, Biến đổi tích phân,… Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba phần CHƯƠNG BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Trong chương trình bày vấn đề biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, điều kiện tồn biến đổi Laplace số phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm ảnh cho CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong chương này, trình bày ứng dụng biến đổi Laplace vào việc giải phương trình • Phương trình vi phân thường, • Phương trình đạo hàm riêng, • Phương trình tích phân, • Phương trình sai phân phương trình vi sai phân Ngoài ra, trình bày ứng dụng biến đổi Laplace vào việc nghiệm toán giá trị biên, tìm hàm chuyển đáp ứng xung hệ thống tuyến tính PHỤ LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ví dụ Biến đổi Laplace hàm số f ( t ) với ≤ t < ∞ hàm phức định nghĩa tích phân suy rộng L (s) ( t )} f= { f= ∞ ∫e − st f ( t ) dt (1.1.1) Phép biến đổi Laplace hàm f ( t ) tồn tích phân (1.1.1) hội tụ với giá trị s thuộc miền Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace hàm số f ( t ) không tồn Ta gọi hàm f ( t ) định nghĩa hàm gốc hàm biến đổi f ( s ) hàm ảnh Sử dụng định nghĩa (1.1.1) ta có biến đổi Laplace số hàm sau Ví dụ 1.1.1 Nếu f ( t ) = với t > = L {1} ∞ e dt ∫= − st T lim ∫ e − st dt T →∞   T 1  lim  − e − st  lim  − e − sT  = = T →∞ T →∞  s t=0 s s  Do Re s > giới hạn tồn L {1} = s Ví dụ 1.1.2 Nếu f ( t ) = e at , a số thực ta có (1.1.2 ) L {= e } at f= (s) ∞ ∫e − ( s − a )t dt = − ( s − a )t ∞ , = e t =0 a−s s−a Re s > a (1.1.3) Ví dụ 1.1.3 Nếu f ( t ) = t n , n số nguyên dương ta có f ( s ) L= = {t n } n! s n +1 (1.1.4 ) Thật vậy, ta có ∞ 1∞ n I n = ∫ e t dt = − ∫ t d ( e − st ) s0 − st n ∞ n∞ = − ( t n e − st ) + ∫ t n −1e − st dt t =0 s s0 n ∞ n −1 − st n t e dt I n −1 = = ∫ s0 s Do L {t } = I n n = n n!  n!  I n −1 = ⋅ ⋅ ⋅ =  n  I = n +1 , s s s  với I = s Ví dụ 1.1.4 Nếu f ( t ) = sin at , a số thực ta có L {sin at} = a , s2 + a2 Thật vậy, ta đặt I L= = {sin at} ∞ ∫e Ta có − st sin atdt (1.1.5) ∞ s∞ I= − e − st cos at − ∫ e − st cos atdt a a0 t =0 ∞  s  − st s ∞ − st = −  e sin at + ∫ e sin atdt  a a  a a0  t =0 s ∞ − st s2 = − ∫ e sin atdt = − I a a a a2 Do s2 I= − I a a2  s2  ⇔ 1 +  I = a  a  Suy L {sin at}= I= a s + a2 1.2 Điều kiện tồn cho biến đổi Laplace Hàm f gọi hàm gốc thỏa mãn ba điều kiện sau i) f bị triệt tiêu t < , ii) f liên tục khúc (piecewise continous) [ 0,∞ ) , iii) f không tăng nhanh hàm mũ t → ∞ nghĩa tồn số M > α > cho f ( t ) ≤ Meα t , ∀t ≥ Số α = inf α , với tất α thỏa mãn (iii) gọi số tăng hàm f Chú ý số α không thỏa (iii) Hàm số f gọi liên tục khúc [ 0,∞ ) hàm f liên tục điểm thuộc [ 0,∞ ) ngoại trừ số hữu hạn điểm gián đoạn, đồng thời điểm t mà f không liên tục f ( t + ) f ( t − ) tồn Định lý 1.2.1 Nếu f ( t ) hàm gốc với số tăng α biến đổi Laplace f ( t ) tồn với s thỏa Re s > α Chứng minh Do f hàm gốc với số tăng α nên tồn số M > cho f ( t ) ≤ Me(α +ε )t , ∀t ≥ Ta có ∞ ∞ −( x −α − st ∫ e f ( t ) dt ≤ M ∫ e 0 −ε )t dt ∞ Me −( x −α −ε )t M , = = x − α0 − ε − ( x − α − ε ) t =0 Chọn ε > cho Re s =x > α + ε Do biến đổi Laplace tồn tích phân (1.1.1) hội tụ tuyệt đối Re s > α Chú ý a) Tích phân (1.1.1) gọi hội tụ tuyệt đối ∞ ∫e − st f ( t ) dt < ∞ b) Tích phân (1.1.1) gọi hội tụ s miền xác định Ω mặt phẳng phức ε > , tồn số τ cho với τ ≥ τ ∞ ∫τ e − st f ( t ) dt < ε với s Ω Định lý 1.2.2 Cho f hàm gốc có số tăng α Khi biến đổi Laplace ∞ ∫e − st (1.1.6 ) f ( t ) dt hội tụ miền {s Re s > α } , α > α Chứng minh Ta sử dụng tiêu chuẩn weierstrass [Định lý B.3 – Trang 103] để chứng minh định lý Thật vậy, Do f hàm gốc có số tăng α nên tồn số M > cho f ( t ) ≤ Me(α +ε )t , t≥0 Khi e − st f ( t ) ≤ Me − ( x −α −ε )t ≤ Me − (α −α −ε )t , Re s= x ≥ α ta chọn ε đủ nhỏ để α > α + ε ∞ Do ∫ e − (α −α −ε )t dt hội tụ với α > α + ε nên theo tiêu chuẩn weierstrass ta có tích phân (1.1.6 ) hội tụ miền {s Re s ≥ α } , α > α Định lý 1.2.3 Cho f hàm gốc có số tăng α Khi f ( s ) hàm giải tích miền Re s > α Chứng minh Ta có ∂ − st f ( t ) ) dt ∫0 ∂s ( e = ∞ ∞ ∫ f ( t ) e ( −t ) dt , − st Do f hàm gốc có số tăng α nên ta có ( −t ) e− st f ( t ) ≤ tMe−( x−α −ε )t ≤ Me−(α −α −δ )t , Re s= x ≥ α1 δ > chọn đủ nhỏ để α1 > α + δ 95 (s + 2s + 5) x ( s ) = ( 3s + ) f ( s ) Do hàm chuyển x (s) 3s + = f ( s ) s + 2s + h= (s) Hệ thống có bậc hai phương trình đặc trưng s + 2s + = 0, với nghiệm phức s =−1 ± 2i Do phần thực nghiệm phương trình đặc trưng âm nên hệ thống ổn định b) Lấy biến đổi Laplace hai vế ( 2.6.14 ) với điều kiện đầu zero ta t )} L {6 f ′′ ( t ) − 13 f ′ ( t ) + f ( t )} L { x ′′′ ( t ) + x ′′ ( t ) + x ′ ( t ) − x (= ⇔ ( s + s + 3s − 5) x ( s )= ( 6s − 13s + ) f ( s ) Do hàm chuyển h= (s) x (s) = f (s) ( 6s (s − 13s + ) + s + 3s − 5) Ta có hệ thống bậc ba phương trình đặc trưng s + s + 3s − = 0, Có nghiệm s1 =1, s2 =−1 + 2i, s3 =−1 − 2i Do s1 = > nên hệ thống không ổn định Ví dụ 2.6.3 Tìm hàm chuyển, hàm đáp ứng xung nghiệm hệ thống tuyến tính mô tả x′′ ( t ) + 2a x′ ( t ) + ( a + ) x ( t ) = f (t ) x ( ) = 1, x′ ( ) = − a ( 2.6.15) ( 2.6.16 ) Lấy biến đổi Laplace hai vế ( 2.6.15 ) ta có s x ( s ) − sx ( ) − x′ ( ) + 2a  sx ( s ) − x ( )  + ( a + ) x ( s ) = f (s) 96 Do x ( ) = 1, x ′ ( ) = − a nên phương trình trở thành s x ( s ) − s + a + asx ( s ) − a + ( a + ) x ( s ) =f ( s ) ⇔ ( s + as + a + ) x ( s ) = ( a + s ) + f ( s ) f (s) + s + a ⇔ x (s) = s + as + a + f (s) + s + a ⇔ x (s) = ( s + a ) + 22 ( 2.6.17 ) Theo công thức ( 2.6.8 ) , hàm chuyển hệ thống = ( s + 2as + a + ) = h (s) (s + a) + 22 Lấy biến đổi Laplace ngược hàm h ( s ) hàm đáp ứng xung −1 h ( t ) L= = {h ( s )} L −1     − at e sin 2t =  2  2 s a + + ( )     Giải toán giá trị đầu x′′ ( t ) + 2a x′ ( t ) + ( a + ) x ( t ) = Từ ( 2.6.17 ) với f ( s ) = ta có x (s) = s+a ( s + a) + 22 Do x0 ( t ) = e − at cos 2t Nghiệm toán ( 2.6.15 ) − ( 2.6.16 ) x ( t ) = x0 ( t ) + h ( t ) ∗ f ( t ) = e − at 1t cos 2t + ∫ f ( t − τ ) e − aτ sin 2τ dτ 20 95 PHỤ LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN A Các hàm đặc biệt A.1 Hàm Gamma Hàm Gamma định nghĩa tích phân sau = Γ ( x) ∞ ∫t x −1 − t e dt ( x > 0) ( A.1.1) Một tính chất quan trọng hàm Gamma rút từ định nghĩa Γ ( x ) = ( x − 1) Γ ( x − 1) , x >1 ( A.1.2 ) Chứng minh Lấy tích phân phần ( A.1.1) ta Γ ( x) = −t x −1e − t ∞ ∞ + ( x − 1) ∫ t x − 2e − t dt t =0 ( A.1.3) Ta thấy tích phân ( A.1.3) hội tụ x > số hạng thứ bên vế phải nên ta có Γ ( x) = ∞ ( x − 1) ∫ t x−2e−t dt = ( x − 1) Γ ( x − 1) Đặt biệt • Nếu n số nguyên dương Γ ( n + 1) =n Γ ( n ) =n ( n − 1) Γ ( n − 1) = ⋅⋅⋅ = n ( n − 1) (1) Γ (1) , 96 ∞ Γ (1= ) ∫e −t dt = Do Γ ( n + 1) = n! • Với x = ( A.1.4 ) 1 ta có Γ   = π 2 Thật vậy, theo định nghĩa ta có ∞ − 1 Γ  = t e − t dt ∫ 2 Đặt t = u , ∞ 1 ∫ e − u du Γ  = 2 Ta xét tích phân sau ∞ ( A.1.5) I = ∫ e − x dx Cho IM = M M e dx ∫ e ∫= − x2 − y2 dy lim I M = I giá trị tích phân cần tìm Khi đó, M →∞ M  M  I M2 =  ∫ e − x dx   ∫ e − y dy  0   = M M ∫ ∫e ( − x2 + y ) dxdy = ∫∫ e ( − x2 + y ) dxdy Rm Rm hình vuông OACE cạnh M (hình A.1) Do biểu thức dấu tích phân dương nên ta có ∫∫ e R1 ( − x2 + y ) dxdy ≤ I M2 ≤ ∫∫ e R2 ( − x2 + y ) dxdy , ( A.1.6 ) 97 R1 , R2 miền bị chặn góc phần tư thứ đường tròn có bán kính tương ứng M M Hình A.1 = cos φ , y ρ sin φ từ ( A.1.6 ) , ta có Sử dụng hệ tọa độ cực với x ρ= π M ∫ ρ∫ φ e − ρ ρ d ρ dφ ≤ I M2 ≤ = 0= π M ∫ ρ∫ φ e − ρ ρ d ρ dφ ( A.1.7 ) = 0= Tương đương π (1 − e ) ≤ I −M 2 M ≤ π (1 − e ) −2 M ( A.1.8) Cho M → ∞ ( A.1.8 ) ta 2 lim I M= I= M →∞ π Do = I ∞ e − u du ∫= π Suy 1 Γ  = π 2 ( A.1.9 ) Ví dụ A.1.1 Nếu a > −1 số thực, = L {t a } Γ ( a + 1) , s a +1 ( s > 0) ( A.1.10 ) 98 Theo định nghĩa ta có L ∞ {t a } = ∫ t a e− st dt , Đặt st = x , L {t } = a Γ ( a + 1) ∞ a −x , x e dx = a +1 ∫ s s a +1 Ta thấy ví dụ mở rộng ví dụ 1.1.3 Trường hợp ví dụ 1.1.3 trường hợp đặc biệt a số dương Trường hợp đặc biệt a = − , từ kết ( A.1.10 ) ta có 1 Γ    2 L =  = s  t π ,   Γ  = π s 2 ( A.1.11) A.2 Hàm Dirac Delta Xét hàm số sau 1  , fk (t − a ) = k 0,  a≤t ≤a+k t ∉ [ a, a + k ] ( A.2.1) Trong vật lí, hàm mô tả độ lớn lực tác dụng k xảy khoảng thời gian t = a đến t= a + k , k số dương bé Tích phân lực tác dụng khoảng thời gian a ≤ t ≤ a + k gọi xung lực Xung lực f k ( A.2.1) Ik = ∞ ∫ f k ( t − a ) dt = a+k ∫ a dt = k Bây giờ, cho k → ta đặt δ ( t −= a ) lim f k ( t − a ) , k →0 Ta gọi δ ( t − a ) hàm Dirac Delta ( A.2.2 ) 99 Hàm Dirac Delta hàm theo ý nghĩa thông thường tính toán k → từ ( A.2.1) ( A.2.2 ) ta nhận  ∞, δ (t − a ) =  0, t= a t≠a ∞ ∫ δ ( t − a ) dt = Như biết tính toán hàm số mà khắp nơi trừ điểm tích phân phải Tuy nhiên vấn đề xung lực ta xem hàm thông thường Để nhận biến đổi Laplace hàm δ ( t − a ) ta viết f k ( t −= a)  H ( t − a ) − H {t − ( a + k )} k Do L )} { f ( t − a= k −a s  e − e −( a + k ) s   ks  − e − ks = e − as ks Cho k → sử dụng qui tắc L’Hopital cho tỉ số bên phải phương trình ta − e − ks = e − as L {= δ ( t − a )} e − as lim k →0 ks ( A.2.3) Đặt biệt a = ta nhận hàm xung đơn vị δ ( t ) L {δ ( t )} = B Một số định lý quan trọng Định lý B.1 Nếu f hàm liên tục khúc ∞ ∫e − st f ( t ) dt = f ( s ) hội tụ với s ∈ E ⊆  f ( s ) hàm liên tục E Chứng minh ( A.2.4 ) 100 Do tích phân Laplace hội tụ nên với ε > cho, tồn t0 > cho với τ ≥ t0 , ∞ ∫τ e − st ( B.1.1) f ( t ) dt < ε , với s ∈ E Ta có ∞ ∞ ∞ −s t −s t − st − st ∫ e f ( t ) dt − ∫ e f ( t ) dt = ∫ ( e − e ) f ( t ) dt 0 0 t0 ≤∫e − st −e − s0t f ( t ) dt + ∞ ∫ (e − st − e − s t ) f ( t ) dt t0 Theo ( B.1.1) tích phân thứ hai thỏa ∞ ∞ ∞ −s t −s t − st − st ∫ ( e − e ) f ( t ) dt ≤ ∫ e f ( t ) dt + ∫ e f ( t ) dt 0 t0 t0 t0 2ε cho s − s′ < δ , t − t ′ < δ s, s′ ∈ [ a, b ] ⊂ E t , t ′ ∈ [ 0, t0 ] g ( s, t ) − g ( s′, t ′ ) = e st − e s′t ′ < ε Mt0 Với s, s0 ∈ [ a, b ] , s − s0 < δ , ta có t0 ∫e Do − st − e − s t f ( t ) dt < M ε Mt0 ε t0 = 101 ∞ lim ∫ e s → s0 − st ∞ f ( t ) dt = ∫ e − s t f ( t ) dt 0 Suy f ( s ) hàm liên tục E Định lý B.2 Nếu f ( x, t ) hàm số liên tục hình chữ nhật a ≤ x ≤ b,0 ≤ t ≤ T , T > ngoại trừ hữu hạn bước nhảy gián đoạn qua đường thẳng t = ti , i = 1, 2, , n ∞ ∫ f ( x, t ) dt hội tụ với x ∈ [ a, b ] b ∞ ∫∫ a ∞ b f ( x, t ) dt dx = ∫ ∫ f ( x, t ) dx dt ( B.1.2 ) a Chứng minh Ta có τ b b τ a a ∫ ∫ f ( x, t ) dx dt = ∫ ∫ f ( x, t ) dt dx Do ∞ b a ∫∫ b f ( x, t ) dx dt = lim ∫ τ →∞ a τ ∫ f ( x, t ) dt dx ( B.1.3) Ta lại có b ∞ b τ b a a a ∞ ∫= ∫ f ( x, t ) dt dx ∫ ∫ f ( x, t ) dt dx + ∫ ∫τ f ( x, t ) dt dx ∞ Do ∫ f ( x, t ) dt ( B.1.4 ) hội tụ nên với ε > , tồn T > cho với τ ≥T ∞ ∫τ f ( x, t ) dt < ε b−a , với x ∈ [ a, b ] Do với τ ≥ T b ∞ ∫ ∫τ f ( x, t ) dt dx < ε , a 102 nghĩa b ∞ lim ∫ τ →∞ ∫ f ( x, t ) dt dx = a τ Cho τ → ∞ ( B.1.4 ) từ ( B.1.3) ta b ∞ ∫∫ a ∞ b f ( x, t ) dt dx = ∫ ∫ f ( x, t ) dx dt a Chú ý • Hàm f có bước nhảy gián đoạn điểm t0 hai giới hạn lim f ( t ) = f ( t0− ) lim f ( t ) = f ( t0+ ) t →t0− ( ) t →t0+ ( ) + − tồn f t0 ≠ f t0 • Các giả thiết định lý thỏa mãn cho hàm dấu tích phân e − xt f ( t ) , f ( t ) hàm gốc Định lý B.3 (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả sử với x ∈ [b, ∞ ) , với y ∈ Y ta có f ( x, y ) ≤ g ( x ) , b số thực ∞ ∞ a a ∫ g ( x ) dx hội tụ Khi tích phân ∫ f ( x, y ) dx hội tụ Y Ta chấp nhận định lý mà không chứng minh Định lý B.4 Giả sử f ( x, t ) ∂f ( x, t ) ∂x liên tục hình chữ nhật a ≤ x ≤ b, ≤ t ≤ T , T > ngoại trừ hữu hạn bước nhảy gián đoạn qua đường thẳng t = ti , i = 1, 2, , n hai tích phân ∞ ∞ 0 F ( x ) = ∫ f ( x, t ) dt ∂ ∫ ∂x f ( x, t ) dt , ( B.1.5) 103 tích phân thứ hội tụ tích phân thứ hai hội tụ Khi ∞ d = F ( x) dx ∂ ∫ ∂x f ( x, t ) dt a ≤ x ≤ b ( B.1.6 ) Chứng minh Đặt ∂ f ( u , t ) dt ∂u ∞ G (u ) = ∫ Khi G hàm liên tục [Định lý B.1 – Trang 100] theo định lý B.2 ta có x ∂ ∞ x ∫ G ( u ) du = ∫ ∫ ∂u f ( u, t ) dt du a a ∞ x a = ∂ ∫ ∂u f ( u, t ) du dt =∫ ∞ ∫  f ( x, t ) − f ( a, t )  dt = F ( x) − F (a) Do ∂ F= ( x ) G= ( x) ∂x ∞ ∂ ∫ ∂x f ( x, t ) dt Định lý B.5 1∞ e sin ( a r ) = r π∫ dr − rt  a erf  2 t  ,  a>0 Chứng minh Ta kí hiệu vế trái y ( a, t ) cho với r = u ta có y ( a, t ) = ∞ ∫ π e − tu sin au du u Đạo hàm hai vế theo a ta ∂y ∞ − tu = = e cos ( au ) du Y ( a, t ) ∫ ∂a π π Khi ( B.1.7 ) 104 ∞ Y ( a, t ) = ∫ e − tu cos ( au ) du ∞ e − tu sin au 2t ∞ − tu = + ∫ e u sin ( au ) du a a u =0 2 = − 2t ∂Y , a ∂a Do ∂Y a = − Y, ∂a 2t ( B.1.8) ∞ = Y ( 0, t ) e du ∫= − tu π ∞ −x , = e dx ∫ t t x = u t Giải phương trình ( B.1.8 ) ta Y ( a, t ) = π t e − a2 4t Do đó, từ ( B.1.7 ) ta có ∂y − a4t = e , ∂a πt y ( 0, t ) = nên y ( a, t ) = a ∫e πt − ω2 4t dω  a e − u du erf  = ∫ π 2 t a t = u = ω 4t  ,  ( B.1.9 ) 105 KẾT LUẬN Để nhấn mạnh vai trò biến đổi Laplace, ta nhắc đến ưu điểm giải phương trình vi phân Trước hết cho phép giải phương trình vi phân tuyến tính không với vế phải hàm gián đoạn hay hàm suy rộng Một lợi dùng biến đổi Laplace ta giải trực tiếp phương trình không mà không qua việc giải phương trình tìm nghiệm riêng phương trình không nhiều phương pháp khác Cũng vậy, toán điều kiện đầu giải trực tiếp, không qua bước tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xác định số để nghiệm riêng Đặc biệt, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình sai phân vi sai phân giải biến đổi Laplace mà ta thấy mục 2.2; mục 2.3; mục 2.4 Bên cạnh đó, luận văn có giới thiệu đến toán giá trị biên xuất lý thuyết chuyển vị dầm Cuối mục 2.6 đưa khái niệm hàm chuyển đáp ứng xung hệ thống tuyến tính Đây khái niệm thường gặp lý thuyết điều khiển tự động 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Đình Áng, Biến đổi Tích phân, NXB Giáo Dục, 2007 [2] Ravi P.Agarwal – Donal O’Regan, Ordinary and Partial Differential Equations, Springer, 2009 [3] Wiliam A Adkins – Mark G Davidson, Ordinary Differential Equations, Springer, 2009 [4] Alan M.Cohen, Numerical Methods for Laplace Transform Inversion, Springer, 2007 [5] Lokenath Debnath – Dambaru Bhatta, Integral Transforms and Their Applications, Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group, 2007 [6] P.P.Dyke, An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series, Springer, 1999 [7] Steven J Desjardins – Remi Vaillancourt, Ordinary Differential Equations Laplace transforms and Numerical Methods for Engineers, Springer, 2011 [8] Gustav Doetsch, Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation, Springer, 1974 [9] Phan Quốc Khánh, Toán Chuyên Đề, NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM, 2000 [10] Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc, 2011 [11] A.D Mykis, Advanced Mathematics for Engineers Special Courses, Mir Publishers Moscow, 1975 [12] Peter V O’Neil, Advanced Engineering Mathematics, Thomson, 2007 [13] R Pandey, A Text Book of Engineering Mathematics (Volume II), Word Press, 2010 [14] Joel L Schiff, The Laplace Transform: Theory and Applications, Springer, 1999 107 [15] Nguyễn Công Tâm, Phương trình Vật Lí – Toán Nâng Cao, NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM, 2002 [16] K.T Tang, Mathematical Method for Engineers and Scientist 2, Springer, 2007 [...]... tìm biến đổi Laplace ngược của một hàm f ( s ) cho trước chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau đây (i) Dùng khai triển phân thức Nếu f (s) = p (s) , q (s) (1.6.5) trong đó p ( s ) và q ( s ) là các đa thức, bậc của p ( s ) thì nhỏ hơn bậc của q ( s ) Phương pháp này có thể được sử dụng để biểu diễn f ( s ) thành tổng các số hạng mà các số hạng này có thể tìm được biến đổi Laplace ngược dựa vào... Do biến đổi Laplace của f và g hội tụ đều nên ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân [Định lý B.2 – Trang 102] 14 L ∞ ∞ ( t )} L { g ( t )} ∫ ∫ e {f= − st f (τ ) g ( t − τ ) dτ dt 0 0  t − st  = ∫  ∫ e f (τ ) g ( t − τ ) dτ  dt 00  ∞ t   = ∫ e − st  ∫ f (τ ) g ( t − τ ) dτ  dt 0 0  = L {( f ∗ g )( t )} ∞ 1.5 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace Định lý 1.5.1 (Đạo hàm của biến đổi Laplace) ... các chỉ số tăng là α k , biến đổi Laplace là f k , k = 1, 2, , n Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm f k n f ( t ) = ∑ ck f k ( t ) , với ck là hằng số k =1 là hàm f được xác định bởi n f ( s ) = ∑ ck f k ( s ) , k =1 (1.3.1) với miền xác định Re s > max α k Chứng minh Suy ra từ định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân Ví dụ 1.3.1 Từ kết quả của ví dụ 1.1.2 và tính... , (1.6.16 ) vào (1.6.14 ) ta được (1.6.16 ) 29  1 c + i∞ 1  e− a s   L −1  exp st − a s ds =  ∫ s 2 i s π   c − i∞   ( )   a   a  erfc  = 1 − erf   =   2 t  2 t   (1.6.17 ) (iv) Định lý khai triển của Heaviside Giả sử f ( s ) là biến đổi Laplace của f ( t ) và có khai triển Maclaurin dưới dạng chuổi lũy thừa ∞ tr f ( t ) = ∑ ar r! r =0 (1.6.18) Lấy biến đổi Laplace của f... thẳng Bromwich và chu tuyến khép kín tạo bởi L và nửa đường tròn bán kính R như trong hình 1.6(a) được gọi là chu tuyến Bromwich Khi R → ∞ thì chu tuyến của tích phân mở rộng ra vô cùng sao cho tất cả các điểm kì dị của f ( s ) đều nằm bên trong chu tuyến của tích phân Khi f ( s ) có điểm rẻ nhánh ở gốc tọa độ, chúng ta sẽ vẽ chu tuyến bị biến đổi bởi một lát cắt dọc theo nửa trục thực âm và một đường cong... at ) ) (1.6.6 ) at π t [Ví dụ A.1.11 – Trang 98] và hàm erf ( t ) được định nghĩa bởi tích phân sau erf ( t ) = 2 π t ∫e − x2 dx (1.6.7 ) 0 (iii) Dùng chu tuyến Ta đã biết hàm ngược của biến đổi Laplace được định nghĩa bởi công thức tích phân phức L −1 s )} { f (= f= (t ) 1 c +i∞ st e f ( s ) ds, 2π i c −∫i∞ (1.6.8) trong đó c là hằng số và f ( s ) là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng phức bên phải... lý giá trị đầu) Nếu L { f ( t )} = f ( s ) và f ′ ( t ) là hàm gốc thì = f ( s )  lim f (t ) lim  s= s →∞ t →0 f ( 0) (1.7.1) Chứng minh Do tích phân Laplace hội tụ đều theo s nên ta được phép đưa giới hạn vào bên trong dấu tích phân [Định lý B.1 – Trang 100] Do đó = lim L { f ′ ( t )} s →∞ ( lim e ) f ′ ( t ) dt ∫= ∞ 0 − st s →∞ 0 Theo định lý biến đổi Laplace của đạo hàm ta có lim L s →∞ t )}...  s 0 τ  s 1.6 Biến đổi Laplace ngược và các ví dụ Cho hàm số g ( t ) xác định trên trục thực R Ta nói g được biểu diễn bởi tích phân Fourier nếu với mọi t ta có 1 1  g ( t + 0 ) + g ( t − 0 )  = 2 2π ∞ ∫ eiτ t −∞ ∞ ∫ g ( x) e − iτ x dxdτ (1.6.1) −∞ Phương trình (1.6.1) được gọi là công thức Fourier Định lý 1.6.1 Cho f là hàm gốc liên tục từng khúc trên [ 0,∞ ) với chỉ số tăng α 0 Khi đó... t + a )} e − as L Đặc biệt, nếu f ( t ) = 1 thì { H ( t − a )}= L 1 exp ( − sa ) s (1.3.9 ) Định lý 1.3.5 (Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn) Cho L { f ( t )} = f ( s ) và L f là một hàm tuần hoàn với chu kì T thì ta có 1 − exp ( − sT )  { f ( t )} = −1 T ∫e − st f ( t ) dt (1.3.10 ) 0 Chứng minh Theo định nghĩa ta có ∞ L { f ( t )} = T e f ( t ) dt ∫ e ∫= − st 0 − st 0 ∞ f ( t ) dt + ∫ e − st... Do f (τ + T ) = f (τ ) và thay biến τ bởi t trong tích phân thứ hai ta được f (s) = = T ∞ 0 0 − st − st ∫ e f ( t ) dt + exp ( − sT ) ∫ e f ( t ) dt T ∫e − st f ( t ) dt + exp ( − sT ) f ( s ) 0 Suy ra L T { f ( t )} =1 − exp ( − sT )  ∫ e −1 − st f ( t ) dt 0 Định lý 1.3.6 (Biến đổi Laplace của đạo hàm) Cho L L { f ( t )} = f ( s ) Giả sử { f ′ ( t )} = sL f ′ tồn tại và là hàm gốc thì { f ( ... trình bày vấn đề biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, điều kiện tồn biến đổi Laplace số phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm ảnh cho CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong chương... tiêu đề tài Trình bày lý thuyết biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, biến đổi Laplace ngược số phương pháp tìm biến đổi Laplace thông dụng Ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi... Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ví dụ 1.2 Điều kiện tồn cho biến đổi Laplace 1.3 Các tính chất biến đổi Laplace