BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Nguyễn Thành An BẬC TƠPƠ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Nguyễn Thành An BẬC TƠPƠ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Bích Huy người tận tình nghiêm khắc dạy bảo để luận văn hồn thành Đồng thời, tác giả xin chân thành cám ơn Khoa Tốn-Tin Phòng Sau Đại Học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập nghiên cứu Cám ơn thầy đồng nghiệp trao đổi tác giả kiến thức kinh nghiệm q báu để giúp cho luận văn hồn thiện Bên cạnh đó, quan tâm gia đình, bạn bè nguồn động viên khơng thể thiếu để giúp tác giả hồn thành luận văn Xin chân thành cám ơn Học viên: Dương Nguyễn Thành An Lớp: Tốn giải tích K23 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương BẬC TƠ PƠ CỦA ÁNH XẠ CƠ ĐẶC 1.1 Độ đo phi compact 1.2 Ánh xạ đặc theo độ đo phi compact 11 Chương BẬC TƠPƠ CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 24 2.1 Khơng gian banach có thứ tự 24 2.2 Bậc tơpơ ánh xạ dương 25 2.3 Điểm bất động ánh xạ dương 31 Chương BẬC TƠPƠ CỦA ÁNH XẠ A–RIÊNG 34 3.1 Ánh xạ a-riêng 34 3.2 Bậc tơpơ ánh xạ a-riêng 36 Chương BẬC TƠPƠ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 46 4.1 Ánh xạ đa trị 46 4.3 Lát cắt xấp xỉ ánh xạ đa trị 53 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 MỞ ĐẦU Bậc tơpơ ánh xạ (hay gọi số quay trường vectơ) xây dựng từ năm 1910 ban đầu ứng dụng Giải tích phức, Lý thuyết đường mặt Chỉ sau bậc tơpơ tìm ứng dụng chứng minh tồn điểm bất động nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu cách tập trung có hệ thống Ngày nay, bậc tơpơ cơng cụ quan trọng bậc nghiên cứu tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân xuất phát từ Khoa học Tự nhiên Xã hội Bậc tơpơ ban đầu xây dựng cho ánh xạ liên tục khơng gian hữu hạn chiều, sau Leray-Schauder mở rộng cho ánh xạ hồn tồn liên tục tác động từ tập mở, bị chặn khơng gian Banach vơ hạn chiều ứng dụng để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Tiếp theo, phát triển khoa học kĩ thuật đưa tới lớp ánh xạ nảy sinh nhu cầu xây dựng bậc tơpơ cho ánh xạ Trong luận văn này, tác giả tập trung nghiên cứu phương pháp xây dựng bậc tơpơ, xét tính chất chung riêng bậc tơpơ cho lớp ánh xạ: ánh xạ dương khơng gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ A-riêng, cho ánh xạ đặc theo độ đo phi compact, cho ánh xạ đa trị Đồng thời vận dụng phương pháp bậc tơpơ để nghiên cứu tồn điểm bất động lớp ánh xạ Cấu trúc luận văn gồm bốn chương: - Chương 1: Trình bày kiến thức sở định nghĩa kết độ đo phi compact, ánh xạ đặc theo độ đo phi compact bậc tơpơ ánh xạ đặc - Chương 2: Trình bày kiến thức sở định nghĩa kết khơng gian Banach có thứ tự bậc tơpơ ánh xạ dương - Chương 3: Trình bày kiến thức sở định nghĩa kết ánh xạ A-riêng, bậc tơpơ cho ánh xạ A-riêng phương trình với ánh xạ Fredholm số - Chương 4: Trình bày kiến thức sở định nghĩa kết ánh xạ đa trị, ánh xạ đa trị nửa liên tục, lát cắt xấp xỉ ánh xạ đa trị bậc tơpơ ánh xạ đa trị  n Mặc dù cố gắng song luận văn chắn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tp Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 09 năm 2014 Chương BẬC TƠ PƠ CỦA ÁNH XẠ CƠ ĐẶC 1.1 Độ đo phi compact 1.1.1 Định nghĩa Cho (X,d) khơng gian metric A ⊂ X Ta gọi diam( A) = sup d ( x, y ) đường x , y∈ A kính tập A Nếu diam( A) < +∞ , ta gọi A tập bị chặn 1.1.2 Mệnh đề [2, trang 56] Nếu A ⊂ B diam ( A ) ≤ diam ( B ) diam ( A ) = diam ( A ) Chứng minh • (Lấy x, y ∈ A ⇒ x, y ∈ B ) ⇒ sup d ( x , y ) ≤ sup d ( x , y ) ⇒ x , y∈A x , y∈B diam ( A ) ≤ diam ( B ) • Lấy x , y ∈ A suy tồn { xn } ⊂ A,{yn } ⊂ A cho= lim xn x= ,lim yn y , ta có: d ( x , y ) ≤ d ( x , xn ) + d ( xn , yn ) + d ( yn , y ) , ∀n ∈ * ≤ d ( x , xn ) + diam ( A ) + d ( yn , y ) , ∀n ∈ * Cho n → ∞ , ta d ( x , y ) ≤ diam ( A ) ⇒ diam ( A ) ≤ diam ( A ) (1) Mặt khác A ⊂ A ⇒ diam ( A ) ≤ diam ( A ) (2) Từ (1) (2) suy diam ( A ) = diam ( A ) 1.1.3 Mệnh đề [2, trang 56] Cho X khơng gian Banach A, B ⊂ X Thì ta có (1) diam ( λ B ) = λ diam ( B ) ; ( ) diam ( x + B ) = diam ( B ) ; ( 3) diam ( A + B ) ≤ diam ( A ) + diam ( B ) ; ( ) diam ( conv ( A ) ) = diam ( A ) Chứng minh (1) diam ( λ= B ) sup x −= y y/ λ sup x / − = y/ λ diam ( B ) sup λ x / − λ= x , y∈λ B ) (2) diam ( x + B= x / , y / ∈B x / , y / ∈B sup y −= z sup ( x + u) − ( x + v= ) sup u −= v diam ( B ) y , z∈x + B u ,v∈B u ,v∈B (3) Lấy x , y ∈ A; u, v ∈ B , ta có: ( x + u ) − ( y + v ) ≤ x − y + u − v ≤ diamA + diamB Do diam ( A + B ) ≤ diam ( A ) + diam ( B ) (4) Lấy x, y ∈ conv ( A ) Khi đó, tồn si ∈ ( 0;1) , xi ∈ A, i = 1, 2, k , m k m j =1 i =1 j =1 k ∑s i =1 i =1 ti ∈ ( 0;1) , yi ∈ A, i = 1, 2, m , ∑ t j = cho x = ∑ si xi y = ∑ t j y j Ta có: k m =i =j x −= y k yj ∑ si xi − ∑ t j = k m k m k m ∑∑ sit j xi − ∑∑ sit j y j ≤ ∑∑ sit j xi − y j =i =j =i =j =i =j m diam ( A ) ≤ ∑∑ si t j diam ( A ) = =i =j Do diam ( conv ( A ) ) ≤ diam ( A ) diam ( conv ( A ) ) = diam ( A ) mà diam ( A ) ≤ diam ( conv ( A ) ) nên 1.1.4 Mệnh đề [2, trang 56] Cho (X,d) khơng gian metric Cho hai tập bị chặn A B, metric Hausdorff H định nghĩa { } H ( A, B ) = max sup d ( x, B ) ,sup d ( y, A ) x∈ A y∈B (trong d ( x , B ) = inf d ( x , y ) ) y∈B Gọi B(X) tập hợp tất tập bị chặn X Thì (B(X),H) khơng gian metric 1.1.5 Định nghĩa Cho (X,d) khơng gian metric, B(X) tập hợp tất tập bị chặn X A, B ∈ B ( X ) Một hàm α : B ( X ) → [0; +∞) xác định α ( A ) = inf { δ > : A phủ hữu hạn tập hợp có đường kính nhỏ δ } Được gọi độ đo phi compact Kuratowski Nếu ta thay α ( A ) β ( A ) = inf { δ > : A phủ hữu hạn cầu đóng có bán kính δ } Khi ta gọi β ( A ) độ đo phi compact Hausdorff Mối quan hệ α β thể qua bất đẳng thức sau 1.1.6 Mệnh đề [2, trang 57] β ( A ) ≤ α ( A ) ≤ 2β ( A ) với A ∈ B ( X ) Chứng minh k Lấy δ > α ( A ) , tồn hữu hạn tập hợp A1 , A2 , , Ak cho A ⊂  Ai i =1 diam ( Ai ) ≤ d k với i = 1, 2, , k Chọn xi ∈ Ai Thì B ( xi , δ ) ⊃ Ai , ta A ⊂  B( xi , δ ) dẫn đến β ( A ) ≤ δ Cho δ → α ( A ) , ta β ( A ) ≤ α ( A ) i =1 có Lấy δ > β ( A ) , tồn hữu hạn cầu B ( y1 , δ ) , B ( y2 , δ ) , , B ( ym , δ ) m cho A ⊂  B ( yi , δ ) Mà diam ( B ( yi , dd ) ) = , nên ta có α ( A) ≤ 2δ Cho δ → β ( A) , i =1 ta α ( A ) ≤ 2β ( A ) 1.1.7 Mệnh đề [2, trang 57] Cho X khơng gian metric B(X) tập hợp tất tập bị chặn X Cho φ độ đo phi compact Kuratowski Hausdorff A, B ∈ B ( X ) Thì ta có tính chất sau: (1) φ ( A ) = φ ( A ) ; (2) φ ( A ) = A compact tương đối; (3) Nếu A ⊂ B φ ( A ) ≤ φ ( B ) ; (4) φ ( A ∪ B ) = max {φ ( A ) , φ ( B )} ; (5) φ ( A ∩ B ) ≤ {φ ( A ) , φ ( B )} ; (6) φ ( A ) − φ ( B ) ≤ H ( A, B ) ; (7) Nếu X khơng gian Banach, a) = φ ( λ A ) λ φ ( A ) , λ ∈ , b) φ ( A + B ) ≤ φ ( A ) + φ ( B ) , c) φ ( conv ( A ) ) = φ ( A ) Chứng minh Giả sử φ = α Chứng minh tương tự cho φ = β 52 4.2.1.10 Mệnh đề [3, trang 70] Cho ϕ : X  Y thỏa mãn điều kiện ϕ ( x ) compact với x ∈ X Thì ϕ nltt nếu: Với x ∈ X ε > tồn δ > cho ϕ ( B ( x , δ ) ) ⊂ Oε (ϕ ( x ) ) Chứng minh - Dễ thấy ϕ nltt Với x ∈ X ε > tồn δ > cho ϕ ( B ( x , δ ) ) ⊂ Oε (ϕ ( x ) ) - Chiều ngược lại, lấy x cố định U lân cận mở ϕ ( x ) Y, ϕ ( x ) compact nên ta chọn ε > cho Oε (ϕ ( x ) ) ⊂ U theo giả thiết tồn δ > cho ϕ ( B ( x , δ ) ) ⊂ Oε (ϕ ( x ) ) nên ϕ nltt 4.2.1.11 Định nghĩa Cho E khơng gian Banach ϕ : X  E nltt thỏa mãn điều kiện ϕ ( x ) compact với x ∈ X Ta định nghĩa ánh xạ convϕ : X  E xác định bởi: convϕ ( x ) = conv (ϕ ( x ) ) , với x ∈ X Từ ϕ ( x ) compact, theo định lý Mazur, tập conv (ϕ ( x ) ) compact 4.2.1.12 Mệnh đề [3, trang 71] Nếu ϕ : X  E nltt thỏa mãn điều kiện ϕ ( x ) compact với x ∈ X ánh xạ convϕ : X  E nltt thỏa mãn điều kiện convϕ ( x ) compact với x ∈ X Chứng minh Trong chứng minh ta dùng mệnh đề 4.2.1.10 Lấy ε > lấy < ε1 < ε Lấy x0 ∈ X Từ ϕ nltt tồn δ > cho ϕ ( B ( x0 , δ ) ) ⊂ Oε (ϕ ( x0 ) ) ( ) ) ( Do ϕ ( B ( x0 , δ ) ) ⊂ Oε convϕ ( x0 ) Từ Oε convϕ ( x0 ) tập lồi, ta suy ra: ( ) ( convϕ B ( x0 , δ ) ⊂ Oε convϕ ( x0 ) ) Và ( ) ( ) ( convϕ B ( x0 , δ ) ⊂ cl(Oε convϕ ( x0 ) ) ⊂ Oε convϕ ( x0 ) ) 53 Theo mệnh đề 4.2.1.10., ánh xạ convϕ : X  E nltt thỏa mãn điều kiện convϕ ( x ) compact với x ∈ X (do định lý Mazur) 4.2.2 Ánh xạ đa trị nửa liên tục 4.2.2.1 Định nghĩa Một ánh xạ đa trị ϕ : X  Y gọi nửa liên tục (nltd) với tập mở U ⊂ Y ϕ+−1 (U ) mở X Ta nói ánh xạ đa trị ϕ : X  Y liên tục vừa nltt vừa nltd Chú ý = ϕ f : X → Y tính nửa liên tục trùng với tính nửa liên tục nên khơng có tính liên tục f 4.2.2.2 Mệnh đề [3, trang 72] Một ánh xạ đa trị ϕ : X  Y nltd với tập đóng A ⊂ Y ϕ −1 ( A ) đóng X Chứng minh Sử dụng định nghĩa tính chất X \ ϕ+−1 ( B ) = ϕ −1 ( Y \ B ) 4.2.2.3 Mệnh đề [3, trang 72] a) Nếu ϕ ,ψ : X  Y hai ánh xạ nltd, ϕ ∪ψ : X  Y nltd b) Cho ϕ : X  Y ψ : Y  Z nltd ánh xạ ψ  ϕ : X  Z nltd, x ∈ X tập ψ (ϕ ( x ) ) đóng Chứng minh Sử dụng tính chất: (ϕ ∪ψ )−+1 ( B ) =ϕ+−1 ( B ) ∪ψ +−1 ( B ) (ψ  ϕ )+ ( B ) = ϕ+−1 (ψ +−1 ( B) ) −1 4.3 Lát cắt xấp xỉ ánh xạ đa trị Cho hai khơng gian metric ( X , d1 ) , ( Y , d2 ) , khơng gian X × Y ta xét metric max sau: d ( ( x , y ) , ( u, v ) ) = max {d1 ( x , u ) , d2 ( y, v )} với x , y ∈ X u, v ∈ Y Từ đến hết chương 4, ta giả sử tất ánh xạ đa trị có giá trị compact 4.3.1 Định nghĩa 54 Cho ϕ : X  Y ánh xạ đa trị, Z ⊂ X ε > Một ánh xạ f : Z → Y ε - lát cắt xấp xỉ ϕ Γ f ⊂ Oε ( Γϕ ) Nếu Z = X f ε - lát cắt xấp xỉ ϕ ta viết f ∈ a (ϕ , ε ) Ta đặt A ( X, Y ) = {ϕ : X  Y ϕ nltt với ε > tồn f ∈ a ( ϕ, ε )} 4.3.2 Một số tính chất 4.3.2.1 Mệnh đề [3, trang 106] a) Một ánh xạ f : Z → Y ε - lát cắt xấp xỉ ϕ : X  Y ( ) f ( x ) ∈ Oε ϕ ( Oε ( x ) ) với x ∈ Z Z ⊂ X b) Cho P khơng gian compact, r : P → X liên tục ϕ : X  Y nltt Thì, với δ > tồn ε > cho với ε ( < ε < ε ) f : X → Y ε - lát cắt xấp xỉ ϕ , ta có f  r : P → Y δ - lát cắt xấp xỉ ϕ  r c) Cho C tập compact X ϕ : X  X nltt cho ∅ C ∩ Fix (ϕ ) = ∅ Thì tồn ε > cho với f ∈ a (ϕ , ε ) , ta có C ∩ Fix ( f ) = d) cho f C Cho C tập compact X Thì, với δ > tồn ε > (hạn chế f C) δ - lát cắt xấp xỉ ϕ C , với ϕ : X  Y nltt f ∈ a (ϕ , ε ) e) Cho X compact ψ : X × [ 0,1]  Y nltt Thì, với t ∈ [ 0,1] δ > tồn ε > cho ht ∈ a (ψ t , δ ) với h ∈ a (ψ , ε ) ht : X → Y ψ t : X  Y định nghĩa sau: ψ t ( x ) = ψ ( x, t ) , f) ht ( x ) = h ( x , t ) với x ∈ X t ∈ [ 0,1] Cho ϕ : X  Y ψ : Z  T Thì, với ε > tồn δ > cho, f ∈ a (ϕ , δ ) g ∈ a (ψ , δ ) , f × g : X × Z → Y × T ε - lát cắt xấp xỉ ϕ ×ψ : X × Z  Y × T g) Cho ϕ : X  Y nltt g : Y → Z liên tục Thì với ε > tồn δ > cho với f ∈ a (ϕ , δ ) ta ln có g aa f ∈ a ( g ϕ, ε ) 55 Chứng minh a) f : Z → Y ε - lát cắt xấp xỉ ϕ : X  Y Γ f ⊂ Oε ( Γϕ ) Điều tương đương với x ∈ Z tồn ( ( x , y ) ∈ Γ ϕ cho x ∈ Oε ( x ) ) f ( x ) ∈ Oε ( y ) Do đó, ta có f ( x ) ∈ Oε ϕ ( Oε ( x ) ) b) Ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử tồn δ > cho với n   1 n r ∉ a (ϕ r , δ ) Ta lấy ε = 1, , , , fn ∈ a  ϕ ,  ε > , ta có fε ∈ a (ϕ , ε ) fε aa Thì n ta chọn un ∈ P cho: ( ( (( ) fn r ( un ) ∉ Oδ ϕ r Oδ ( un ) (*) 1,2, ))) , n =   1 n Ta giả sử lim un = u Theo a) fn ∈ a  ϕ ,  nên ( ( ) )) ( ( ) fn r ( un ) ∈ O1  ϕ  O1 r ( un )   r ( un ) , fn r ( un ) ∈ O1 Γϕ    n   n n  Vì vậy, ta chọn xn ∈ X yn ∈ ϕ ( xn ) cho: ( ) d1 xn , r ( un ) < 1 d2 yn , fn r ( un ) < n n ( ( )) Do đó, limx n =limr ( un ) = r ( u ) limy n = lim fn ( r ( un ) ) = y Vì vậy, ( r ( u ) , y ) ∈ Γϕ (mâu thuẫn với (*)) c) Ta sử dụng phương pháp phản chứng Với ε > tồn fε ∈ a (ϕ , ε ) n cho Fix ( fε ) ∩ C ≠ ∅ Ta lấy ε = 1, , , ,  1 fn ∈ a  ϕ ,   n cho Fix ( fn ) ∩ C ≠ ∅ Với n = 1,2, ta chọn điểm x n ∈ Fix ( fn ) ∩ C Do C compact nên ta giả sử lim xn = x Thì x ∈ C ta chọn ( u , v ) ∈ Γϕ n n cho: d1 ( xn , un ) < 1 d2 ( xn , ) < , n = 1,2, n n 56 Do limx n =limu = = x Do ϕ nltt, Γϕ đóng X × X nên x ∈ ϕ ( x ) lim n Dẫn đến C ∩ Fix (ϕ ) ≠ ∅ (mâu thuẫn) d) Trong b) thay r i : C → X d) chứng minh e) Trong b) thay r it : X → X × [ 0,1] xác định it ( x ) = ( x , t ) e) chứng minh f) Sử dụng tính chất: ε > tồn δ > cho Oδ ( x ) × Oδ ( y ) ⊂ Oε ( ( x , y ) ) g) Được chứng minh tương tự b) 4.4 Bậc tơpơ ánh xạ đa trị  n Trong mục này, cầu đóng  n với tâm x bán kính r ≥ kí hiệu K n ( x, r ) Hơn nữa, ta đặt K n ( r ) = K n ( 0, r ) , Sn −1 ( r ) = ∂K n ( r ) , P n =  n \ {0} Cho khơng gian metric X, tập A ⊂ X gọi tập co X tồn ánh xạ co r : X → A thỏa mãn tính chất r ( x ) = x với x thuộc A Và tập A ⊂ X gọi tập co lân cận X tồn tập mở U ⊂ X cho A ⊂ U A tập co U X gọi khơng gian co tuyệt đối với khơng gian Y phép nhúng h : X → Y ta ln có h ( X ) tập co Y X gọi khơng gian co lân cận tuyệt đối với khơng gian Y phép nhúng h : X → Y ta ln có h ( X ) tập co lân cận Y Ta kí hiệu khơng gian co lân cận tuyệt đối ANR Một khơng gian compact khác rỗng gọi R δ tồn dãy giảm khơng gian co tuyệt đối, compact {A n } cho A =  An n ≥1 Với X∈ ANR bất kỳ, ta đặt J ( K n ( r ) , X ) = {F : K n ( r )  X F nltt có giá trò R δ } Hơn nữa, với ánh xạ liên tục f : X →  n , X ∈ ANR , ta đặt: Jf ( K n ( r ) ,  n ) = {ϕ : K n ( r )   n ϕ = f  F với F ∈ J ( K n ( r ) , X ) vø ϕ ( Sn −1 ( r ) ) ⊂ P n } Cuối cùng, ta định nghĩa 57 { } ) ,  n )  Jf ( K n ( r ) ,  n ) f : X →  n liên tục, X ∈ ANR CJ ( K n ( r= 4.4.1 Định nghĩa Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ CJ ( K n ( r ) ,  n ) hai ánh xạ có dạng; = ϕ1 f1  F1 ,F1 : K n ( r )  X,f1 : X →  n , = ϕ2 f2  F2 ,F2 : K n ( r )  X,f2 : X →  n Khi đó, ta nói ϕ1 , ϕ2 đồng ln CJ ( K n ( r ) , n ) tồn ánh xạ nltt, có giá trị R δ χ : K n ( r ) × [ 0,1]  X ánh xạ liên tục h : X × [ 0,1] →  n thỏa mãn: i) χ ( u,0 ) = F1 ( u ) , χ ( u,1) = F2 ( u ) với u ∈ K n ( r ) , ( x ) , h ( x,1) f2 ( x ) với x ∈ X , ii) h ( x,0 ) f1= = iii) Với ( u, λ ) ∈ Sn −1 ( r ) × [ 0,1] x ∈ χ ( u, λ ) ta có h ( x, λ ) ≠ Khi ánh xạ H : K n ( r ) × [ 0,1]   n xác định bởi: H ( u, λ ) = h ( χ ( u, λ ) , λ ) với ( u, λ ) ∈ K n ( r ) × [ 0,1] Được gọi đồng ln CJ ( K n ( r ) , n ) ϕ1 ϕ2 4.4.2 Bổ đề Cho X khơng gian ANR compact, khơng gian Y kỳ ϕ∈ J ( X,Y ) Khi với δ > tồn ε0 > cho với ε,0 < ε ≤ ε tùy ý f ,g ∈ a ( ϕ, ε ) , tồn ánh xạ liên tục h : X × [ 0,1] → Y cho = h (.,0 ) f= ,h (.,1) g , h (., t ) ∈ a ( ϕ, δ ) với t thuộc [ 0,1] Chứng minh [3, tr.115] 4.4.3 Định lý [3, trang 124] Tồn ánh xạ Deg : CJ ( K n ( r ) ,  n ) →  , gọi hàm bậc tơpơ, thỏa mãn tính chất sau: i) Nếu ϕ∈ CJ ( K n ( r ) ,  n ) có dạng ϕ =f  F với F ánh xạ đơn trị, liên tục Deg ( ϕ = ) deg ( ϕ ) , deg ( ϕ ) bậc Brower ánh xạ đơn trị, liên tục 58 ϕ : Kn ( r ) → n ii) Nếu Deg ( ϕ ) ≠ , với ϕ ∈ CJ ( K n ( r ) ,  n ) , tồn u ∈ K n ( r ) cho ∈ ϕ ( u) Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ CJ ( K n ( r ) ,  n ) hai ánh xạ có dạng; iii) = ϕ1 f1  F1 ,F1 : K n ( r )  X,f1 : X →  n , = ϕ2 f2  F2 ,F2 : K n ( r )  Y,f2 : Y →  n , Với X,Y ∈ ANR Nếu tồn ánh xạ liên tục h : X → Y cho biểu đồ sau giao hốn: o F1 X Kn ( r ) f1 n h f2 F2 oY Đó F2 = h  F1 f1 = f2  h , Deg ( ϕ= Deg ( ϕ2 ) 1) iv) Nếu ϕ1 , ϕ2 đồng ln CJ ( K n ( r ) , n ) Deg ( ϕ= Deg ( ϕ2 ) 1) Chứng minh Lấy ϕ ∈ CJ ( K n ( r ) ,  n ) ánh xạ có dạng; = ϕ f  F,F : K n ( r )  X,f : X →  n , với X ∈ ANR Tương tự chứng minh (4.3.2.1c), ta tìm ε > cho khơng có phần tử a ( ϕ, ε ) có giá trị Sn −1 ( r ) hay f thuộc a ( ϕ, ε ) ta ln có f ( Sn −1 ( r ) ) ⊂ P n Thật vậy: Giả sử ε dương tồn f ε ∈ a ( ϕ, ε ) cho f ε ( Sn −1 ( r ) ) ⊄ P n Ta lấy n   1 n ε = 1, , , , fn ∈ a  ϕ ,  cho f n ( Sn −1 ( r ) ) ⊄ P n Với n = 1,2, ta chọn điểm x n ∈ S n −1 ( r ) : fn ( xn ) = 59 Do Sn −1 ( r ) compact nên ta giả sử lim xn = x Thì x ∈ S n −1 ( r ) ta chọn ( un , ) ∈ Γϕ cho: d ( xn , un ) < 1 d ( 0, ) < , n = 1,2, n n limx n =limun = x Do ϕ nltt, Γϕ đóng  n ×  n nên ( x ,0 ) ∈ Γϕ suy lim = Do  ∈ ϕ ( x ) (mâu thuẫn với giả thiết ϕ ( Sn −1 ( r ) ) ⊂ P n ) Theo (4.3.2.1.g), tồn ρ0 > cho f a g ∈ a ( ϕ, ε ) với g ∈ a ( F, ρ0 ) Cuối cùng, theo bổ để 4.4.2 tồn δ0 > cho với g1 ,g2 ∈ a ( F, δ0 ) ánh xạ f  g1 ,f  g2 đồng ln khơng có giá trị Sn −1 ( r ) Do tính chất đồng ln bậc Brouwer, ta có: deg ( f  g1 ) = deg ( f  g2 ) Vì vậy, ta đặt: Deg ( ϕ ) =deg ( f  g ) , với g ∈ a ( F, δ0 ) Deg ( ϕ ) định nghĩa tốt khơng phụ thuộc vào lựa chọn g Tiếp theo, ta kiểm tra tính chất i),ii),iii),iv) sau: i) Chọn g = F ii) Deg ( ϕ ) ≠ ⇒ (deg ( f  g ) ≠ với ) ⇒ ( phương trình f  g ( u ) = có nghiệm Int K n ( r ) ) g ∈ a ( F, δ0 ) ⇒ (∃u ∈ IntK n ( r ) : ( u ,0 ) ∈ Γ f g ) 60 Mà f a g ∈ a ( ϕ, ε ) nên ( u ,0 ) ∈ Γ ϕ hay ∈ ϕ ( u ) iii) Lấy= δ {δ1 , δ2 } với δ1 , δ2 hai số ứng với δ0 định nghĩa Deg ( ϕ1 ) ,Deg ( ϕ2 ) Lấy g1 ∈ a ( F1 , δ ) theo (4.3.2.1g) ta có h aa g1 ∈ a ( h F1 ,= δ ) a ( F2 , δ ) Do đó: Deg ( ϕ2= ) deg ( f  h  g1=) deg ( f1  g1=) Deg ( ϕ1 ) iv) Lấy= δ {δ1 , δ2 } với δ1 , δ2 hai số ứng với δ0 định nghĩa Deg ( ϕ1 ) ,Deg ( ϕ2 ) Do ánh xạ χ : K n ( r ) × [ 0,1] → X nltt nên theo (4.3.2.1e) tồn ρ0 > cho với ánh xạ k ∈ a ( χ, ρ0 ) ta có k t ∈ a ( χ t , δ ) với t ∈ [ 0,1] n k ∈ a ( χ0 , = δ ) a ( F1 , δ ) = k ( x ) k ( x,0 ) với x ∈ K ( r )  Dẫn đến :  n ( ) ( ) k a , a F , ∈ χ = δ δ ( ) = k x k x,1 vớ i mọ i x ∈ K r ( ) ( )  1  Khi Deg ( ϕ1 ) = deg ( f1  k ) Deg ( ϕ2 ) = deg ( f  k1 ) Xét g t = h t  k t (với h t ứng với h định nghĩa 4.4.1.) Nếu lấy u ∈ Sn −1 ( r ) , t ∈ [ 0,1] g t ( u )= h t  k t ( u )  ≠ (do 4.4.1.iii k t ∈ a ( χ t , δ ) k t ( u ) ∈ χ t ( u ) ) Nên theo tính chất bất biến đồng ln bậc Brower ta có deg ( g ) = deg ( g1 ) hay deg ( f1  k ) = deg ( f  k1 ) (điều cần chứng minh) 4.4.4 Mệnh đề [3, trang 126] Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ CJ ( K n ( r ) ,  n ) hai ánh xạ có dạng; ϕ1 =f1  F1 ,F1 : K n ( r )  X,f1 : X   n , ϕ2 =f2  F2 ,F2 : K n ( r )  Y,f2 : Y   n , Với X,Y ∈ ANR , cho: ∉ λϕ1 ( u ) + (1 − λ ) ϕ2 ( u ) với ( u, λ ) ∈ Sn −1 ( r ) × [ 0,1] Khi Deg ( ϕ= Deg ( ϕ2 ) 1) 61 Chứng minh Xét sơ đồ sau: i K n ( r )  X × Y  →  n ,i = 1,2, g G Với u ∈ K n ( r ) ( x,y ) ∈ X × Y , ( u ) F1 ( u ) × F2 ( u ) , G= g1 ( x,y ) = f1 ( x ) , g2 ( x,y ) = f2 ( y ) Khi đó, ánh xạ = ψ1 g1  G,= ψ g2  G thuộc CJ ( K n ( r ) , n ) Để kiểm tra ψ1 , ψ đồng ln CJ ( K n ( r ) , n ) , xét ánh xạ χ : K n ( r ) × [ 0,1]  X × Y h : X × Y × [ 0,1] →  n xác định bởi: h ( x,y, λ )= (1 − λ ) g1 ( x,y ) + λg2 ( x,y ) χ ( u, λ ) =G ( u ) , Ta thấy χ R δ nltt , h liên tục thỏa mãn i) ii) định nghĩa (4.4.1) (với F= F= G ) Để kiểm tra (iii), lấy tùy ý ( u, λ ) ∈ Sn −1 ( r ) × [ 0,1] ( x,y ) ∈ χ ( u, λ ) Thì ta có: h ( x,y, λ )= (1 − λ ) f1 ( x ) + λf2 ( x ) ∈ (1 − λ ) ϕ1 ( u ) + λϕ2 ( u )  x ∈ F1 ( u ) suy ( ) y ∈ F u  (do ( x, y ) ∈ G ( u ) = F1 ( u ) × F2 ( u ) nên  f1 ( x ) ∈ ϕ1 ( u ) )  ( ) f y ∈ ϕ u  ( ) Do đó, theo giả thiết, ta có h ( x,y, λ ) ≠ Suy ψ1 , ψ đồng ln CJ ( K n ( r ) , n ) nên Deg ( ψ= Deg ( ψ ) 1) Mặt khác, sơ đồ sau giao hốn: G X× Y o Kn ( r ) g1 π1 n f1 F1 oX G X× Y o Kn ( r ) g2 π2 n f2 F2 oX Trong π1 ( x,y ) = y Theo (26.2.4), ta có Deg ( ψ= x π2 ( x,y ) = Deg ( ϕ1 ) 1) 62 Deg ( ψ 2= Deg ( ϕ2 ) (điều phải chứng minh) ) Deg ( ϕ2 ) Vậy Deg ( ϕ= 1) Tiếp theo, A ⊂  n B ⊂  m , ta đặt: CJ ( A,B) = {ϕ : A  B ϕ = } f a F, F : A  X nltt với giá trò R δ , f : X → B liên tục Trong X ∈ ANR 4.4.5 Định lý [3, trang 128] Nếu ϕ∈ CJ ( K n ( r ) ,K n ( r ) ) Fix ( ϕ ) ≠ φ Chứng minh: Giả sử ϕ f a F, F : K n ( r )  X nltt với giá trò R δ , f : X → K n ( r ) liên tục cho: Fix ( ϕ ) ∩ Sn −1 ( r ) =φ Ta xét ánh xạ: G : Kn ( r )  X × Kn ( r ) , g : X × Kn ( r ) → n , = G (x) {( y,x ) y ∈ F ( x )} với x ∈ K n (r) , g ( y,x )= x − f ( y ) với y ∈ X x ∈ K n ( r ) Do ( X × K n ( r ) ) ∈ ANR nên ta có= ψ g  G ∈ CJ ( K n ( r ) , ψ n ) Và= ánh xạ i i2  i1 ,i1 : K n ( r )  X × K n ( r ) ,i2 : X × K n ( r ) →  n , xác định bởi: i1 ( x ) = {( y, x ) y ∈ F ( x )} i ( y, x ) = x Ta định nghĩa: ) χ : K n ( r ) × [ 0,1]  X × K n ( r ) , χ ( x, t= h : X × K n ( r ) × [ 0,1] →  n , {( y, x ) y ∈ F ( x )} h ( y,x,t )= x − tf ( y ) Thì với x ∈ Sn −1 ( r ) ta có x ≠ tf ( y ) với t ∈ [ 0,1] y ∈ F ( x ) (do Fix ( ϕ ) ∩ Sn −1 ( r ) =φ ϕ ( K n ( r ) ) ⊂ K n ( r ) ) Vì thế, ψ I đồng ln ( i ) Vì tồn x thuộc K n ( r ) cho CJ ( K n ( r ) , n ) nên Deg= ( ψ ) deg= ∈ ψ ( x0 ) , mà { } y ( x ) =g  G ( x ) = x − f ( y ) y ∈ F ( x ) nên tồn y0 ∈ F ( x ) : x = f ( y ) suy x ∈ ϕ ( x ) nghĩa x ∈ Fix ( ϕ ) (điều phải chứng minh) 63 4.4.6 Định lý [3, trang 128] Nếu ϕ ∈ CJ ( K n ( r ) ,  n ) ϕ thỏa mãn tính chất sau: i) Fix ( ϕ ) ≠ φ , ii) Tồn x ∈ Sn −1 ( r ) λ ∈ ( 0,1) cho x ∈ λϕ ( x ) Chứng minh Chứng minh tương tự định lý 4.4.5, ta đồng ln: h : X × K n ( r ) × [ 0,1] →  n , h ( y,x,t )= x − tf ( y ) - Nếu h khác Sn −1 ( r ) với t ∈ [ 0,1] Fix ( ϕ ) ≠ φ (theo định lý 4.4.5) - Nếu tồn x ∈ Sn −1 ( r ) t ∈ ( 0,1) cho x − t f ( y ) = x ∈ t ϕ ( x ) (do y ∈ F ( x ) , t = x = f ( y ) kéo theo x ∈ ϕ ( x ) điều mâu thuẫn với giả sử Fix ( ϕ ) ∩ Sn −1 ( r ) =φ ) 4.4.7 Định lý [3, trang 129] Nếu ϕ∈ A ( Sn ( r ) ,  n ) tồn x ∈ Sn ( r ) cho: ϕ ( x ) ∩ ϕ ( −x ) ≠ φ Chứng minh Nhắc lại định lý Borsuk-Ulam cổ điển: “Cho hàm f : Sn →  n liên tục, {x ∈  n +1 x = Sn = 1} mặt cầu khơng gian  n +1 Khi tồn x ∈ Sn cho f ( − x ) = f (x) ” 1 k   Với k = 1,2, ta lấy fn ∈ a  ϕ,  Theo định lý Borsuk-Ulam cổ điển, ta có: fk ( x k= 1,2 ) fk ( −x k ) với x k ∈ Sn ( r ) , k =   1 k Từ fn ∈ a  ϕ,  tồn z k ∈ O ( x k ) , z /k ∈ O ( −x k ) , y k ∈ ϕ ( z k ) y /k ∈ ϕ ( z /k ) cho: k y k − fk ( x k ) < k 1 y /k − fk ( −x k ) < k k Từ Sn compact, ta giả sử rằng: lim x k = x= lim z k ,lim z /k = lim ( −x k ) = −x k k k 64 Lấy số tự nhiên m k m ≥ 4m cho: ( ) ⊂ O ( ϕ ( x ) ) ϕ ( z ) ⊂ O ( ϕ ( −x ) ) ϕ zk / km 4m m 4m Thì tồn u k ∈ ϕ ( x ) u/k ∈ ϕ ( −x ) cho: m m y k − uk m m < 1 y /k m − u/k m < (do y k ∈ ϕ ( z k ) y /k ∈ ϕ ( z /k ) ) 4m 4m Điều dẫn đến: fk m (x ) − u km km ≤ fk Tương tự fk ( −x k m m m (x ) − y km )−u / km km + y k − uk m < m 1 + ≤ k m 4m 2m 2m < Cuối cùng, ta được: u k − u/k m m < fk m + fk (x ) − u km km + fk m ( −x ) − u km m / km 1 ( x ) − f ( −x ) < 2m + 2m + < m km km km Với m = 1,2, Dẫn đến lim u k = lim u/k m m ϕ ( x ) ∩ ϕ ( −x ) ≠ φ (điều phải chứng minh) m m mà ϕ ( x ) , ϕ ( x / ) compact nên 65 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nghiên cứu bậc tơpơ lớp ánh xạ: ánh xạ dương khơng gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ A-riêng, cho ánh xạ đặc theo độ đo phi compact, cho ánh xạ đa trị Những kết đạt được: Xây dựng định nghĩa bậc tơpơ ánh xạ kể Làm rõ số tính chất bậc tơpơ ánh xạ kể vận dụng chúng vào việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tương ứng Tác giả có nguyện vọng tiếp tục tìm hiểu kết nghiên cứu sang lớp ánh xạ khác vận dụng chúng vào nghiên cứu tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân cụ thể xuất phát từ Khoa học Tự nhiên Xã hội Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn bè đồng nghiệp 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO Donal O’Regan, Yeol Je Cho, Yu-Qing Chen, Topological Degree Theory And Applications, Chapman & Hall/CRC, 2006 K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, 1985 L Górniewicz, Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings, Springer, 2006 [...]... là một không gian Banach thực, D ⊂ X , T : D → X là một ánh xạ và α là độ đo phi compact (1) T được gọi là một k – cô đặc đếm được nếu α (TB ) ≤ kα ( B ) với mọi tập con bị chặn đếm được B ⊂ D , k > 0 hằng số; (2) T được gọi là ánh xạ cô đặc đếm được nếu α (TB ) < α ( B ) với mọi tập con bị chặn đếm được B ⊂ D , α ( B ) > 0 13 (3) H ( t , x ) : [ 0;1] × D → X được gọi là một đồng luân của ánh xạ cô... Ω ⊂ E là một tập mở và bị chặn Cho T : Ω → E là một ánh xạ cô đặc đếm được, liên tục và 0 ∉ ( I − T ) ( ∂Ω ) Nếu 0 ∉ ( I − T )( Ω ) , ta định nghĩa deg ( I − T , Ω, 0 ) = 0 Nếu không, đặt F= { x ∈ Ω : Tx= x} và cho C là một tập con lồi compact thỏa mãn mệnh đề 1.2.5 Ta có C khác rỗng do F ⊂ C và T : C ∩ Ω → C là ánh xạ (do tính chất 3 của C) Nếu r : E → C là ánh xạ co rút thì Tr là ánh xạ compact... hội tụ 2.2 Bậc tôpô của ánh xạ dương 2.2.1 Định nghĩa Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K Một ánh xạ tuyến tính A : X → X được gọi là dương nếu: ∀x ≥ θ ⇒ A ( x ) ≥ θ hay A ( K ) ⊂ K 26 Nếu A tuyến tính, dương thì nó cũng có tính đơn điệu: x ≤ y ⇒ A( x) ≤ A( y) 2.2.2 Bổ đề [2,trang 44] Cho không gian Banach X, tập đóng M ⊂ X và ánh xạ compact A : M → X Khi đó tồn tại ánh xạ compact A... H ([ 0;1] × B ) ) < α ( B ) với mọi tập con bị chặn đếm được B ⊂ D , α ( B ) > 0 Ta thấy một ánh xạ cô đặc là một ánh xạ cô đặc đếm được 1.2.5 Mệnh đề [2, trang 63] Cho E là không gian Banach, Ω ⊂ E là một tập con bị chặn và T : Ω → E là ánh xạ cô đặc đếm được Đặt F= { x ∈ Ω : Tx= x} Thì tồn tại một tập con (của E) lồi, compact C sao cho: (1) F ⊆ C ; (2) Nếu x0 ∈ conv ( C ∪ {Tx0 } ) thì x0 ∈ C ; (3)... conv ( A ) ) ≤ α ( A ) Vì vậy α ( conv ( A ) ) = α ( A ) 1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact 1.2.1 Định nghĩa Cho X là không gian định chuẩn thực, D ⊂ X , T : D → X là một ánh xạ và α là độ đo phi compact (1) T được gọi là một k- cô đặc nếu α (TB ) ≤ kα ( B ) với mọi tập con bị chặn B ⊂ D , k > 0 hằng số; (2) T được gọi là ánh xạ cô đặc nếu α (TB ) < α ( B ) với mọi tập con bị chặn B ⊂ D... Vì vậy S có một điểm bất động trong C Cho kn → 1 thì tồn tại xn ∈ C sao cho knTxn + (1 − kn ) x0 = xn , Do đó α ({Txn : n ≥= 1} ) α ({ xn : n ≥ 1} ) Do T là ánh xạ cô đặc đếm được α ({ xn : n ≥ 1} ) = 0 (vì nếu α ({ xn : n ≥ 1} ) > 0 thì α ({Txn : n ≥ 1} ) < α ({ xn : n ≥ 1} ) (!)) Nên ( xn )n =1 có một dãy con xn → y ∈ C Do tính liên tục của T, ta có Ty = y ∞ j 1.3 Bậc tô pô của ánh xạ cô đặc đếm... bậc tôpô deg ( A Ta định nghĩa iK ( A, G ) = deg ( A, G,θ ) và gọi iK ( A, G ) là bậc tôpô theo nón K của ánh xạ A trên tập mở G * Kiểm tra định nghĩa trên có nghĩa Giả sử A là một mở rộng khác của A thỏa mãn   ( x ) A ( x ) , ∀x ∈ K ∩ ∂G, A=   A ( X ) ⊂ K t) t A ( x ) + (1 − t )  A ( x ) , ta có: Xét ánh xạ F ( x ,= F ( x , t ) ≠ x , ∀ ( x , t ) ∈ ∂G × [ 0,1]   deg (  A, G,θ )  ⇒... ≥ 0 thì v ∈ K ) Vậy điều kiện của định lý 2.2.5.2b) được thỏa mãn nên iK ( B, G ) = 0 2.2.5.4 Định nghĩa Cho không gian Banach X được sắp bởi nón K Ta kí hiệu K= K ∩ B (θ , r ) r , r > 0 1) Tập D ⊂ X gọi là một K – lân cận của x nếu ∃r > 0 : x + Kr ⊂ D 2) Cho D là một K – lân cận của điểm x 0 Ánh xạ F : D → X gọi là khả vi Frechet theo nón K tại x 0 nếu tồn tại ánh xạ A ∈ L ( X ) (nghĩa là A tuyến... 0, r ) 1.3.6 Định lý [2, trang 67] Cho E là không gian Banach vô hạn chiều, Ω ⊂ E là một tập mở bị chặn, 0 ∈ Ω, T : Ω → E là ánh xạ cô đặc đếm được liên tục và S : ∂Ω → E là ánh xạ compact liên tục Giả sử tTx + (1 − t ) Sx ≠ x và Sx > x , ∀x ∈ ∂Ω, t ∈ [ 0;1] Khi đó deg ( I − T , Ω, 0 ) = 0 Chứng minh Tồn tại một ánh xạ compact liên tục L : Ω → E sao cho Lx = Sx, ∀x ∈ ∂Ω Khi đó, ta có tTx + (1 − t )... 64] Cho E là không gian Banach, Ω ⊂ E là một tập con bị chặn và T : Ω → E là một ánh xạ cô đặc đếm được Đặt = C1 conv (T= Ω ) , Cn +1 conv (T (Cn ∩ Ω) ) với n ≥ 1 và ∞ C =  Cn Thì C lồi và compact n =1 (Đây là trường hợp đặc biệt của mệnh đề 1.2.6) 1.2.8 Hệ quả Cho E là không gian Banach, C ⊂ E là một tập con lồi đóng bị chặn khác rỗng, và T : C → C là ánh xạ cô đặc đếm được liên tục Khi đó T có điểm ... Chương BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 24 2.1 Không gian banach có thứ tự 24 2.2 Bậc tôpô ánh xạ dương 25 2.3 Điểm bất động ánh xạ dương 31 Chương BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH. .. tới lớp ánh xạ nảy sinh nhu cầu xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ Trong luận văn này, tác giả tập trung nghiên cứu phương pháp xây dựng bậc tôpô, xét tính chất chung riêng bậc tôpô cho lớp ánh xạ: ánh. .. Chương BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ A–RIÊNG 34 3.1 Ánh xạ a-riêng 34 3.2 Bậc tôpô ánh xạ a-riêng 36 Chương BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 46 4.1 Ánh xạ đa trị