LỜI CẢM ƠN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, khẩn trương đến luận văn em hoàn thành Trong thời gian nghiên cứu em giúp đỡ tận tình giảng viên – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh – người trực tiếp hướng dẫn em làm khóa luận thầy cô khoa Vật lí đặc biệt tổ Vật lí lý thuyết trường Đại học Sư phạm Hà nội bạn sinh viên khoa Vật lí Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo tổ Vật lí lý thuyết, đặc biệt cô giáo – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện, xin cảm ơn tất bạn sinh viên giúp đỡ hoàn thành khóa luận Sinh viên Nguyễn Thị Thu Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Sinh viên thực Nguyễn Thị Thu Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 1.1 Mô hình electron liên kết yếu 1.2 Mô hình electron liên kết mạnh 11 1.3 Phân loại kim loại, bán dẫn, điện môi theo lý thuyết vùng lượng 18 1.4 Tính chất electon theo lý thuyết vùng lượng 20 1.4.1 Phương trình chuyển động electron 20 1.4.2 phương trình chuyển động lỗ trống 22 1.4.3 Tenxơ khối lượng hiệu dụng 26 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG 29 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU  Lý chọn đề tài Trong cách mạng khoa học công nghệ nay, ngành vật lí chất rắn đóng vai trò đặc biệt quan trọng Vật lí chất rắn ngành khoa học rộng lớn tạo vật liệu cho ngành kỹ thuật mũi nhọn điện tử, du hành vũ trụ, lượng nguyên tử… Một nhiệm vụ quan trọng vật lí chất rắn việc nghiên cứu lý thuyết vùng lượng chất rắn (chuyển động electron trường toàn hoàn tinh thể, mô hình electron liên kết yếu, mô hình electron liên kết mạnh, tính chất electron theo lý thuyết vùng lượng…) Vì nghiên cứu lý thuyết vùng lượng cho ta tranh đầy đủ vật rắn Sau xác định lượng, hàm sóng, ta xác định tính chất vật lí hệ như: lượng tự do; hệ số nén đẳng nhiệt, đoạn nhiệt; môđun đàn hồi, … Nhằm củng cố tìm hiểu sâu lý thuyết trau dồi kỹ thực hành tốt việc giải làm tập việc tất yếu quan trọng trình học Vật lí Tuy nước ta có nhiều tài liệu vật lí chất rắn tài liệu tập vật lí chất rắn chưa nhiều việc làm tập môn chưa coi trọng Muốn hiểu lý thuyết cách chặt chẽ việc làm cần thiết sinh viên trường đại học nói chung sinh viên sư phạm nói riêng giải tập Vì chọn đề tài: “Một số toán lý thuyết vùng lượng vật rắn” nhằm bước đầu làm quen với việc làm tập vật lí chất rắn để cụ thể vấn đề lý thuyết, rèn kỹ tính toán phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp sau  Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết vùng lượng vật rắn để giải tập lý thuyết vùng lượng vật rắn  Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Bài tập lý thuyết vùng lượng vật rắn  Nhiệm vụ nghiên cứu - Giải tập để nắm vững củng cố thêm kiến thức học - Áp dụng phép gần hàm Bloch để giải tập nhanh  Phương pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo - Thống kê, lập luận, diễn giải  Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương:  Chương 1: Lý thuyết vùng lượng vật rắn Chương trình bày số vấn đề lý thuyết vùng lượng vật rắn: 1.1 Mô hình electron liên kết yếu 1.2 Mô hình electron liên kết mạnh 1.3 Phân loại kim loại, bán dẫn, điện môi theo lý thuyết vùng lượng 1.4 Tính chất elctron theo lý thuyết vùng lượng  Chương 2: Một số toán lý thuyết vùng lượng vật rắn Chương trình bày số tập lý thuyết vùng lượng vật rắn CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 1.1: Mô hình electron liên kết yếu Bài toán: Xét electron chuyển động trường tuần hoàn ( ⃗) = ( ⃗ + ⃗) với ( ⃗) trường tinh thể yếu Hay nói cách khác electron liên kết yếu với ion nút mạng chuyển động gần giống với electron tự Bài toán giả thiết theo phương pháp gần electron liên kết yếu hay electron gần tự Mô hình electron gần tự áp dụng tốt cho electron lớp nguyên tử (electron hóa trị) electron chịu tác dụng yếu lõi nguyên tử Vì nhiễu loạn ⃗ ⃗ yếu nên ta coi ⃗ coi đại lượng bé bậc Và áp dụng lý thuyết nhiễu loạn học lượng tử để giải toán Trên sở mô hình này, ta giải thích nhiều tính chất chung vùng lượng vật rắn Mô hình giúp ta giải nhiều toán electron kim loại Xuất phát từ phương trình Schrödinger gần tự có dạng: + ( ⃗) Ѱ ( ⃗) = ( ⃗) tương tác; =− ћ ⃗ Ѱ ( ⃗), (1.1) toán tử động năng: ∇ ; ( ⃗) ≪ Đặt: Ѱ ( ⃗) = Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + ⋯, (1.2) ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ + ⋯, (1.3) với: Ѱ ( ⃗) hàm sóng gần bậc lý thuyết nhiễu loạn; Ѱ ( ⃗) hàm sóng gần bậc lý thuyết nhiễu loạn; Ѱ ( ⃗) hàm sóng gần bậc lý thuyết nhiễu loạn; … ⃗ lượng electron gần bậc lý thuyết nhiễu ⃗ lượng electron gần bậc lý thuyết loạn; nhiễu loạn; ⃗ lượng electron gần bậc lý thuyết nhiễu loạn; … Như để tìm lượng, hàm sóng dừng lại gần bậc nhất, thay (1.2) (1.3) vào (1.1) ta có phương trình Schrödinger: + ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + ⋯ = = ⃗ + ⃗ + ⃗ +⋯ Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + ⋯ Cho đại lượng bé bậc ta hệ phương trình: ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗), (1.4_ ) Ѱ ⃗ ( ⃗) = Ѱ ⃗ ( ⃗) + ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) + ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗ ) + ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗), (1.4_ ) ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) + ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗),(1.4_c) … Trong gần bậc nghĩa gần với electron tự (V=0): Ѱ ⃗ ( ⃗) = − ћ ∇ Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗⃗ Giải phương trình ta được: Ѱ ⃗ ( ⃗) = , ⃗ =ћ , (1.5) A xác định bằng: ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ = 1, Vậy: = √ Hàm sóng electron chuyển động trường tuần hoàn tinh thể có dạng hàm Block: Ѱ( ⃗) = ⃗ ⃗ ( ⃗) với ( ⃗ + ⃗) = ( ⃗) Vì ( ⃗ + ⃗) = ( ⃗) hàm tuần hoàn không gian mạng thuận nên đáp ứng đầy đủ điều kiện để hoàn thành chuỗi Furie Phân tích chuỗi Furie: ⃗⃗ ⃗ ( ⃗) = , (1.6) ⃗ hệ số phân tích với Chứng minh ⃗ vectơ mạng đảo ( ⃗ + ⃗) = Vì: ( ⃗) nên: ⃗  ⃗⃗ ⃗( ⃗ = => ⃗ ⃗ =  ⃗= ⃗) ⃗⃗ ⃗ = , (N số nguyên), => Vậy ⃗ vectơ mạng đảo ⃗ Vậy: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) = (1.7) ⃗ Ta biết hàm riêng Ѱ ⃗ ( ⃗) Ѱ⃗ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗⃗ ; hàm riêng Ta biết hàm f(x) phân tích thành tổ hợp tuyến tính hàm riêng toán tử Hermite Vì toán tử Hermite nên ta khai triển hàm sóng Ѱ ⃗ ( ⃗) theo hệ hàm riêng ⃗ Ѱ ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗ ( ⃗) (0) = đó: ⃗ ⃗ Ѱ ⃗ (0) Ѱ ⃗ ( ⃗) + = ⃗ Đặt: đó: ⃗ ( ⃗) (1.8) ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ + ⃗ đại lượng bé bậc 1; ⃗ đại lượng bé bậc 3; … ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ + ⋯ với ⃗ ≠ 0, ⃗ đại lượng bé bậc 2; ⃗ ⃗ So sánh (1.2) (1.8) ta được: Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗ ⃗ Ѱ⃗ ⃗ ( ⃗); Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗ ⃗ Ѱ⃗ ⃗ ( ⃗); … ⃗ , Tính ⃗ , Ѱ ( ⃗), Ѱ ( ⃗) ⃗ ⃗ Chú ý: ∗ ∗ a) ∫ Ѱ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ = ; ∫ Ѱ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ = ; ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ b) Vì ∗ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ = ∗ Ѱ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗) Ѱ⃗ ⃗+ ⃗ = ) ℎ ⃗≠0 = ⃗ thực nên: Hermite mà Ѱ⃗ ⃗ ( ⃗)d ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ = ⃗ ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ ∗ Ѱ⃗ ⃗ ⃗ ∗ Ѱ⃗ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ (1.9) ( ⃗) Ѱ ⃗ ⃗ ( ⃗)d ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗, ⃗ = ⃗ ⃗′ , ⃗ ⃗ d) ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ = Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ = = Tính Ѱ⃗ ∗ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ≠ (1.10) Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ = ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ ( = 1,2,3, … ) (1.11) ⃗ : ∗ Nhân Ѱ ⃗ ( ⃗) từ trái lên vế phương trình (1.4_b): ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗) ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) = ∗ ⃗ Ѱ ( ⃗) + Ѱ ∗ ( ⃗) ⃗ ⃗ = Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ Ѱ ( ⃗) ⃗ Tích phân theo r theo toàn không gian, ta có: ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗) ∗ Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ + Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ = ∗ ∗ ⃗ Ѱ ( ⃗) ⃗ + ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗ Ѱ ( ⃗) ⃗, ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) Suy ra: ∗ ⃗ = ⃗⃗ Thay: Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗⃗ = √ ⃗ = Tính ⃗ ⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ ∗ ; Ѱ ⃗ ( ⃗) = ⃗⃗ √ ( ⃗) ⃗ = : (1.12) => Ѱ ⃗ ( ⃗): Nhân Ѱ ⃗ ∗ ⃗ ( ⃗) từ trái lên vế phương trình (1.4_b) sau tính tích phân theo dr toàn không gian:  ∫ Ѱ⃗ ∗ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ + ∫ Ѱ ⃗ ∗ = ∫Ѱ⃗  ⃗ ⃗ + ⃗ ∫Ѱ ⃗ ∗ ⃗ + ⃗ a ⃗ G⃗ + ∫ Ѱ ⃗  a ⃗ G⃗ ⃗ − ∗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ + ∫ Ѱ ⃗ ⃗ ∗ ⃗ ⃗+ ⃗ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ = = −∫Ѱ⃗ ∗ ⃗ ∫ Ѱ ⃗ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ ; ⃗ ⃗ ⃗ a ⃗ G⃗ = V⃗ = ∫ Ѱ⃗ ∗ ⃗ V⃗ ⃗ − ⃗ Ѱ ( ⃗) ⃗, ⃗ ( ⃗) Ѱ⃗ ∗ ⃗ ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗, ⃗ a ⃗ G⃗ , ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗, ∗  a ⃗ G⃗ = ∗ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ = ⃗ a ⃗ G⃗ + =  ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ = ⃗ Ѱ ( ⃗) ⃗ + ∫ Ѱ ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ∗ ⃗ ⃗+ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ (1.13) Ek = -10-33k2 (J) Có m điện tử rời khỏi trạng thái ⃗ = 10 ⃗ (cm-1), ( ⃗ vectơ đơn vị theo phương x không gian ⃗ ), trạạng thái lại bị chiếm đầy Hãy xác định: đ a) Điện n tích kh khối lượng hiệu dụng lỗ trống b) Vectơ sóng, xung lư lượng , vận tốc lỗ trống c) Năng lượng củ lỗ trống từ đỉnh vùng hóa trị d) Mật độ dòng lỗ ỗ trống Bài giải i ћ = 1,055.10-34 J.s (J=kg.m2/s2) a) Khi có điện n tích rời r khỏi trạng thái vùng hóa trị để lên vùng ddẫn vùng hóa trị xuất lỗ trốống mang điện tích dương có độ lớn điệện tích electron vừa rời chỗ Điện tích lỗ ỗ trống là: +e Hình 2.1 Khối lượng hiệu dụng ng ccủa electron lỗ ∗ trống điểểm vùng lượng trái dấuu nhau: = −10 Mà khối lượng ng hiệu hi dụng electron ( ∗ =  = ћ ∗ =− ћ ∗ (− (−2 10 )= = 5,565 10 ( , ( ) ) ∗ =− ) là: = −1,797 10 , b) Vectơ sóng, xung lư lượng , vận tốc lỗ trống:  ⃗ = − ⃗ = −10 ⃗ ( −  =ћ  = ) = −1,055 − 10 ∗ = , , 10 = −1,055 10 = −1,896 10 c) Năng lượng ng lỗ trống từ đỉnh vùng hóa trị là: =− = 10 = 10 10 = 10 d) Mật độ lỗ trống tr mật độ electron: 32 ( ) J = e.vh = 1,6.10-19.1,896.106 = 3,034.10-13 (C.m/s) (C.m/s) Bài 5: Xét mộ ột chất rắn có chiều dài L = Na tạo o nên từ t N phân tử lưỡng nguyên tử, khoảng ng cách gi nguyên tử mộtt phân tử t b (b < a/2) Các tâm phân tử kề khoảng a Ta biểu biễnn th tổng =− ∑ củaa hàm delta t tâm nguyên tử: + − − − + , với A đại lượng ng dương n = 0,1,2,…,N-1 0,1,2,…,N Thế đượcc minh họa h hình 2.2 Hình 2.2 a) Xét electron tự t chất rắn (tứcc tạm t thời bỏ qua V) điều kiện n biên tuần tu hoàn Xác định giá trị cho phép ccủa vectơ sóng electron k chuẩn n hóa hàm sóng b) Biểu diễn n th dạng chuỗi Fourier: V = ∑ V tìm giá trị cho phép c q hệ số V c) Giả thiếtt A nhỏ, nh chứng tỏ tồn tạii khe lư lượng tương ứng với giá trị k nh định Dẫn công thứcc chung cho khe lượng đặc biệtt ch chứng tỏ khe lượng vùng th thứ tỉ lệ thuận với cos d) Dẫn biểu u thức th cho số trạng thái có vùng th thứ Nếu nguyên tử có mộ ột electron kim loại hay điện n môi? Bài giải a) Đối với mộ ột chất rắn chiều Hamilton mộột electron tự có khối lượng m thì: = =− ћ ∇ =− ћ Phương trình Schrödinger là: Ѱ = Ѱ trở thành: 33 Ѱ + ћ Ѱ = Xét nghiệm sóng phẳng Ѱ = = trình ta được: ћ thay nghiệm vào phương Từ điều kiện chuẩn hóa: (L chiều dài tinh thể) Ѱ∗ Ѱ = Ta tính được: √ = 1, Điều biên tuần hoàn Ѱ(0) = Ѱ( ), yêu cầu: = = 1, dẫn tới: ( = 0, ±1, ±2, …) Điều cho thấy vectơ sóng k phép electron có hàm sóng chuẩn hóa là: Ѱ = √ b) Vì V(x) có chu kì a nên khai triển Fourier: V = ∑ V = cần có: ( ) hay = ta ( = 0, ±1, ±2, …) Đó giá trị phép q Xét: ( ) = = = = ; giá trị cụ thể q Vậy hệ số tính sau: = ( ) Ở lân cận x = na: ( ) = − − + + − − thế: =− − + + 34 − − , , =− + = =− cos =− 2 cos ; = c) Đối với tuần hoàn chiều: V = ∑ V = với ( = 0, ±1, ±2, …), phương trình Schrödinger electron chuyển động tinh thể chiều là: [ − ћ + ( )]Ѱ = Ѱ Ở = Phương trình giải cách biểu diễn nghiệm dạng chuỗi Ѱ = ∑ C φ Ở φ nghiệm phương trình Schrödinger electron tự = lượng ћ = φ = φ Tức φ = với √ ( = 0, ±1, ±2, …) Thay nghiệm vào phương trình Schrödinger, ta được: C với: φ = ( φ + ) C V φ = C φ , =φ √ Các vectơ sóng tạo nên hàm tổng Ѱ( ) khác lượng vectơ mạng đảo q phương trình viết thành: ∑ C ( − ∑ ∑ C V φ )φ = Vì tổng lấy theo giá trị q k từ −∞ đến +∞, nên biểu thức viết lại thành: C ( − )φ = Cân hệ số φ Đặt = − , = C dẫn tới: C V φ =∑ C − V − , K vectơ mạng đảo bất kì, phương trình ta có: C ( − )=∑ C V (2.1) Đối với electron tự do, ( ) vế phải triệt tiêu Điều rằng: C = với ≠ C ≠ 35 = Với A nhỏ tuần hoàn xem nhiễu loạn nhỏ Các hệ số sử dụng để mô tả hàm sóng với vectơ sóng k electron trường Ѱ = C φ = Giả sử với giá trị k có xảy suy biến Đối với mạng chiều, có suy biến bội hai Giả sử có C , C = ⋯ = khác không phương trình (2.1) dẫn đến: C ( − )=C V +C C ( − )= V V (2.2) )=C V +C V (2.3) Vì ( ) thực: ∗( ( )= ∗ = Do q từ −∞ đến ∞ Vì V = ∗ = ∗ = ∗ V thực Các phương trình (2.2) (2.3) trở thành: = − −V )−C C V −C ( V +V ± V = − V ) = − không không ta cần: ( Để C , C hay: C ( − −V ) − Phương trình có nghĩa khe lượng: Tồn tại: = = 0, =∆ =2V Đối với tinh thể tuyến tính, vùng Brillouin thứ dược giới hạn − ≤ =− ≤ =− Như vậy: Tại đỉnh vùng = Do theo câu a) ta có: V ~ cos 36 = , dẫn đến = V =− cos = d) Vùng thứ nh gồm trạng thái vớii vectơ sóng khoảng kho − ≤ ≤ = với ( = 0, ±1, ±2, …) Số trạng ng thái vùng thứ th là: 2 = = Do trạng ng thái ứng với hai hướng spin nên tổng ng ccộng có 2N trạng thái Chất rắn n có N lưỡng lư nguyên tử, tức có 2N nguyên ttử nguyên tử đóng góp m electron Như vậyy có 2N elevtron lấp l đầy hoàn toàn 2N trạng ng thái vùng th thứ Chất rắn chấất điện môi Bài 6: Xét mộ ột tuần hoàn chiều U(x) đượcc xem m dãy hàng rào giố ống hệt V(x) có độ rộng a, vớii tâm t điểm x = ±na, n số nguyên Rào th V(x) vẽ phác hình 2.3 đặc trưng bởii h hệ số truyền qua t(k) hệ số phản n xạ x r(k) electron tớii hàng rào th với lượng = ћ a) Đối với trường ng hhợp có rào thế, viếtt nghiệm nghi tổng quát cho hàm sóng mộtt electron vvới = lượng ћ b) Năng lượng ng electron Block liên hệ vớii vectơ sóng k đối Hình 2.3 (x) = ∑ với trường hợp Hamilton tinh thể, tức (x + na)? Chứng minh điều sẽẽ cho đáp số trường hợp p electron tự t do, tức V=0 Bài giải a) Mộtt electron có lượng lư E đến từ phía trái củaa rào th đơn biểu diễn ng m sóng (k tính theo hệ thức: 37 = ћ ): + Ѱ (x) = , x ≤ − , x ≥ Một electron đến từ phía phải biểu diễn sóng: + , x ≥ Ѱ (x) = , x ≤ − Nếu V(x) không đối xứng hệ số phản xạ truyền qua r, t hai trường hợp nhìn chung khác Hàm sóng tổng quát vùng tổ hợp tuyến tính Ѱ (x), Ѱ (x) thì: Ѱ(x) = Ѱ (x) + Ѱ (x) (A, B số thực) Trong rào − ≤ x ≤ ћ Schrödinger chiều: − , hàm sóng thỏa mãn phương trình + V(x) Ѱ = Ѱ b) Đối với trường tinh thể tuần hoàn: (x) = ∑ Hamilton vùng − ≤ x ≤ (x + na) , tương đương với Hamilton rào đơn ta sử dụng định lí Block để tìm nghiệm tổng quát phương trình Schrödinger: Ѱ(x) = Ѱ (x) + Ѱ (x) với Ѱ(x + a) = Ѱ(x) Ở K số thực dương, lấy vi phân theo x: Ѱ (x + a) = Ѱ (x) Như x = − ta có: Ѱ hay: [ [ + Ѱ = Ѱ Ѱ (x) + Ѱ (x) = Ѱ − (1 + − (1 − − + )] + (1 + )] + (−1 + − − , = 38 + Ѱ + Ѱ )=0 )=0 với: = − − 2 Lấy tổng ng hi hiệu hai phương trình ta có: ( − )+ + (1 − − =0 )=0 Để có nghiệm nghi A, B không tầm thường, định thứcc ccủa hệ số chúng phải ng không tức t là: ( ( − ) + = − )(1 − + )+ = hay: − Điều dẫn n ttới mối liên hệ động củaa electron = ћ Một tinh thể thường ng đ đối xứng nên V(x) = V(-x) x) đó: r1 = r2 = r, t1 = t2 = t Hệ thức trở thành: ( ) − + = cos cos( ) Nếu u electron hoàn toàn tự t thì: r = 0, t = bi biểu thức dẫn tới: cos( ) = cos(( ) hay k = K = Đây câu trả lời với V = ћ Bài 7: Xét mộ ột electron có điện tích e mạng ng m chiều với mức lượng ( ) = −2 cos( ), a hàng số s mạng Một điện trường E đượcc đ đặt song song với mạng Mô tả định nh tính chuyển chuy động elctron không gian k không gian thực th thii có s tán xạ Thế E nhỏ ỏ điều xảy mộ ột tinh thể thực (đa vùng) E không nh nhỏ nữa? Bài làm Khi tán xạ, x phương trình chuyển động củaa m electron biểu diễn bởii hàm Block m điện trường E là: =ħ = =− Lấy y phép tích phân ta thu được: ( − = (0) 39 ħ Điều chứng tỏ k biến đổi tuyến tính với t Trong không gian k tất electron di chuyển với vận tốc ngược với phương điện trường, hình 2.4 (a) Khi electron tiến tới biên vùng Brillouin thứ nhất, gọi điểm A, bị phản xạ lại tái A phía bên góc tọa độ Các trạng thái A A hoàn toàn tương đương Theo cách electron dịch chuyển cách tuần hoàn không gian k Dưới tác dụng điện trường E, trạng thái electron thay đổi liên tục vận tốc thay đổi (tương đương với vận tốc nhóm) = = ( ) ħ , E lượng electron, hình 2.4 (b) Vận tốc electron thay đổi giá trị âm dương Sự chuyển động electron không gian thực mang tính tuần hoàn Khi xảy tán xạ, ta không quan sát dao động nói Điều tinh thể có nhiều chế tán xạ khác phương trình chuyển động nói áp dụng khoảng thời gian tán xạ Vì thời gian tán xạ ngắn, vectơ sóng elctron dịch chuyển dọc theo phần ngắn vectơ mạng đảo trước electron bị tán xạ, nên dao động tuần hoàn xảy E nhỏ nghĩa không cho phép electron đạt tới lượng đủ để nhảy lên vùng lượng cao Một tinh thể thực có vô số vùng lượng điện trường đủ lớn chuyển mức vùng xảy Bài 8: Cho biết lượng electron phương pháp gần liên kết mạnh xác định biểu thức: = − −∑⃗ ℎ⃗ ⃗⃗ Tính lượng điện tử vật rắn có cấu trúc lập phương tâm khối với số mạng a (giới hạn xét phối vị cầu thứ nhất) 40 Bài giải gi Xét tinh thểể lập phương hình 2.5 Chọn n nguyên ttử ô lập phương sở làm gốc, g hướng trục 0x, 0y, 0z hệ tọa độ Descartes chọn hình ình vvẽ gọi ⃗ , ⃗ , ⃗ ng vectơ đơn vvị đặt trục tọa độ 0x, 0y, 0z tương ứng Đối vớii tinh thể th lập phương tâm khối xung quanh nguyên tử t (nguyên tử xét) có nguyên tử gần vị trí: ℎ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ , ℎ⃗ = ℎ⃗ = −⃗ + ⃗ + ⃗ , ℎ⃗ = ℎ⃗ = ⃗ − ⃗ − ⃗ , ℎ⃗ = Trong đó: ℎ⃗ = ℎ⃗ ⃗ + ⃗ − ⃗ , ℎ⃗ = ⃗ −⃗ + ⃗ , −⃗ + ⃗ − ⃗ , ℎ⃗ = −⃗ − −⃗ + ⃗ , −⃗ − ⃗ − ⃗ = ⋯ = ℎ⃗ = ℎ⃗ √ = , a ng số s mạng Năng lượng củ electron bằng: = − ⃗⃗ ℎ⃗ − = − ⃗⃗ ℎ⃗ − ⃗⃗ + ⃗⃗ +⋯+ , ⃗ = − Lưu ý: ⃗ ℎ⃗ − = ⃗⃗ , = − ⃗ ⃗ = ⃗⃗ , −8 ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + ⋯+ = ⃗ ⃗ Phân tích ℎ⃗ cos cos ⃗ ⃗ = cos + ⃗ ⃗ Bài 9: Áp dụng ng gần g phương pháp liên kết yếu, u, tính hàm sóng c điện tử tinh thểể chiều biên vùng Brillouin thứ nh (trường hợp có suy biến) 41 Bài giải Khi có suy biếến hàm sóng có dạng: Ѱ ⃗ ( ⃗) = Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ± đó: ⃗ = ⃗ ± ⃗ ( ⃗), ⃗ Đối với ng trạng tr thái củaa electron mà vectơ sóng ⃗ thỏa mãn điều kiện ⃗ = ⃗ + ⃗ ta tìm lượng có dạạng: ± = + ћ ± tương ứng vớii giá tr trị hàm sóng: Ѱ± = Ѱ ⃗ ( ⃗) = √ ⃗⃗ ⃗ ⃗ Ѱ⃗ ⃗ ( ⃗) ; = :Ѱ = Ѱ =  Xét , Ѱ ⃗ ( ⃗) ± = ± Đối với trường ng hhợp tinh thể chều:  Xét ⃗ =− :Ѱ = Ѱ = √ √ − + √ √ √ √ = = − + √ √ √ √ = = √ √ ⃗ < 0: − , + sin cos , Bài 10: Tính bề b rộng vùng lượng củaa electron tinh thể th có cấu trúc lập p phương tâm diện di với số mạng a (giớ ới hạn xét phối vị cầu thứ nhất) t) theo phương pháp gần g liên kết mạnh Bài giải Xét tinh th thể lập phương hình 2.6 Chọn nguyên tử ô lậpp phương sở s làm gốc, hướng trụcc 0x, 0y, 0z c hệ tọa độ Descartes đư chọn 42 hình vẽ gọi ⃗ , ⃗ , ⃗ vectơ đơn vị đặt trục tọa độ 0x, 0y, 0z tương ứng Đối với tinh thể lập phương tâm diện xung quanh nguyên tử (nguyên tử xét) có 12 nguyên tử gần vị trí: ℎ⃗ = (⃗ + ⃗ ), ℎ⃗ = (⃗ − ⃗ ), ℎ⃗ = (−⃗ + ⃗ ), ℎ⃗ = (−⃗ − ⃗ ), ℎ⃗ = ⃗ + ⃗ , ℎ⃗ = ℎ⃗ = ⃗ + ⃗ , ℎ⃗ Trong đó: ℎ⃗ ⃗ − ⃗ , ℎ⃗ = ⃗ − ⃗ ,ℎ⃗ = = ℎ⃗ = ⋯ = ℎ⃗ −⃗ + ⃗ , ℎ⃗ = − ⃗ + ⃗ ,ℎ⃗ = = ℎ⃗ √ = −⃗ − ⃗ , −⃗ − ⃗ = , a số mạng Năng lượng electron bằng: = − ⃗⃗ ℎ⃗ − = − − ⃗⃗ ℎ⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗ + ⋯+ , ⃗ = − = ⃗⃗ , Lưu ý: = − ⃗ (⃗ ℎ⃗ − ℎ⃗ −4 ⃗ ) = ⃗⃗ , cos + ⃗ (⃗ ⃗ ) + ⋯+ = ⃗ ⃗ Phân tích cos + cos cos ⃗ = + cos Năng lượng E electron phụ thuộc tuần hoàn vào thay = + cách tuần hoàn với chu kì = , = = ≤ ≤ , cos , Nếu + Từ điều kiện tuần vectơ ⃗ có N giá trị khác ⃗ electron tương ứng với N mức lượng = ta xét giá trị ( ) hoàn Born – Karman, khoảng ≤ = + Vì ( ) phụ thuộc vào + phụ thuộc cách đơn giá khoảng ≤ Khi đó: ⃗ số nguyên cos , với i = x, y, z Do ( ) = = cos ⃗ = − = ta tính được: = Vậy bề rộng vùng lượng là: ∆ = | 43 − 12 , − − −4 | = 16 Bài 11: Tính vận tốc trung bình khối lượng hiệu dụng electron tinh thể có cấu trúc lập phương đơn giản Bài giải Năng lượng electron mạng tinh thể có cấu trúc lập phương đơn giản chiều có dạng: = − ℎ⃗ −2 cos + cos + cos Vận tốc trung bình electron tinh thể theo phương là: ⃗= đó: = ⃗ = ħ ħ ⃗ + sin ⃗ + ⃗ ; (i = x, y, z) Vậy: ⃗= ℎ⃗ ħ ⃗ sin + ⃗ sin + ⃗ sin =1− ( ≪ ta phân tích cos Khi k nhỏ : ) , tương tự cho thành phần y z; ta lượng: = ( − −6 ℎ⃗ + ℎ⃗ + + = lượng cực tiểu ⃗ = 0) Vậy lúc đó: = ħ ℎ⃗ ħ = Khối lượng hiệu dụng vô hướng gần với mức 1d E = , m∗ ћ dk m∗ = ћ = 44 ћ ℎ⃗ là: + ℎ⃗ KẾT LUẬN Sau trình nghiên cứu tìm tòi hoàn thành khóa luận làm công việc sau:  Trình bày rõ ràng, cụ thể phần lý thuyết vùng lượng vật rắn  Đưa giải chi tiết số dạng tập lý thuyết vùng lượng vật rắn Việc giải tập lý thuyết vùng lượng vật rắn giúp hiểu sâu thêm vấn đề trình bày lý thuyết, làm quen với môn Vật lí chất rắn dễ dàng rèn luyện thêm kỹ tính toán Tuy nhiên thời gian có hạn nên luận văn trình bày tập lý thuyết vùng lượng vật rắn tập khác cấu trúc tinh thể, dao động mạng tinh thể, từ siêu dẫn…chưa đề cập tới Mặt khác kinh nghiệm nghiên cứu ít, điều kiện làm việc hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót, mong thầy cô giáo bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] GS TS Lê Khắc Bình (2006), Cơ sở Vật lí chất rắn, NXB Đại học Quốc gia, thành phố Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Ngọc Chân (2004), Bài tập Vật Lý chất rắn, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Phúc Dương dịch (2008), Bài tập lời giải Vật lí chất rắn thuyết tương đối vấn đề liên quan, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Văn Hiệu (1997), Những giáo trình chuyên đề Vật lí, Hà Nội [5] Nguyễn Văn Hùng (2001), Lý thuyết chất rắn, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [6] Nguyễn Hữu Mình Nguyễn Thị Thanh Hương (2008), Lý thuyết lượng tử chất rắn, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [7] Nguyễn Thế Khôi Nguyến Hữu Mình (1992), Vật lí chất rắn, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 46 [...]... là vùng cấm Với một số nhất định các điện tử trong chất rắn chỉ một số vùng năng lượng thấp nhất bị lấp đầy Tùy theo mức độ lấp đầy của vùng năng lượng mà ta chia vật rắn thành 2 nhóm (Hình 1.3): Nhóm 1: Là nhóm bao gồm những vật mà ở trên vùng năng lượng bị lấp đầy hoàn toàn, là vùng năng lượng chỉ bị lấp đầy đến mức Nhóm 2: Bao gồm các vật phía trên ở vùng năng lượng bị lấp đầy hoàn toàn là vùng. .. lý thuyết vùng năng lượng Mỗi vùng năng lượng có một số giới hạn các mức năng lượng Theo nguyên lí Pauli: Trên mỗi mức có thể chứa không quá hai điện tử với spin ngược nhau Trong vùng Brillouin thứ nhất, có N vectơ sóng ⃗ khác nhau có thể có hai hình chiếu spin, nên trong mỗi vùng năng lượng có 2N trạng thái Do đó, theo nguyên lí Pauli, trong một vùng năng lượng có thể có đến 2N electron Electron trong. .. không còn mức năng lượng trống, nghĩa là electron không thay đổi được giá trị của ⃗ và không thể tham gia vào quá trình dẫn điện Vùng năng lượng bị chiếm đầy hoàn toàn gọi vùng hóa trị Nếu vùng năng lượng có nhiều mức năng lượng còn trống, mà electron trong vùng có thể chuyển lên được dưới tác dụng của điện trường ngoài thì vùng đó được gọi là vùng dẫn Nếu vùng mà không chứa một mức năng lượng nào để... niệm về lỗ trống là kết quả đặc biệt lí thú được rút ra từ lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn Ta hãy xét một vùng hóa trị của điện môi, vốn bị chiếm hoàn toàn, nhưng vì một lí do gì đó, có một electron bị bứt ra (chẳng hạn do hiệu ứng quang điện) Ta xét bài toán gồm hệ 2N-1 electron và có thể coi hệ này như một hạt mà ta gọi là lỗ trống Nói khác đi, trạng thái electron không bị chiếm ở trong vùng. .. Tức là năng lượng của lỗ trống trái dấu với năng lượng của electron bị bứt ra khỏi trạng thái tương ứng Việc xác định dấu của năng lượng electron và lỗ trống như trên có ý nghĩa vật lí rõ ràng: quá trình bứt electron từ trạng thái năng lượng thấp đòi hỏi phải thực hiện một công lớn hơn so với quá trình bức electron từ trạng thái năng lượng cao trong cùng vùng năng lượng Lỗ trống ở gần đỉnh vùng hóa... trường hợp xảy ra gần tâm và xung quanh các góc của vùng Brillouin [7] Ở các tinh thể có cấu trúc lập phương, ba phương tinh thể tương đương nhau Trong trường hợp đó: 1 1 1 1 = = = (1.57) m∗ m∗ m ∗ m ∗ 28 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN Bài 1: Chứng minh rằng, nếu phương trình: − ћ ∇ + ( ⃗) Ѱ( ⃗) = ( ⃗) Có thế năng ( ⃗) bị triệt tiêu thì nghiệm của phương trình... tiện, người ta thường lấy gốc tính năng lượng của electron ở đỉnh của vùng hóa trị (bị chiếm đầy) Như vậy năng lượng E k⃗ của các electron trong vùng hóa trị đều có giá trị âm Lỗ trống xuất hiện khi electron bứt khỏi trạng thái k⃗ có năng lượng E dương: E = −E k⃗ (1.46) Vùng năng lượng đối xứng với phép nghịch đảo: k⃗ → −k⃗ nên: E k⃗ = E −k⃗ Do đó năng lượng lỗ trống Eh có thể coi như E... lớp bên trong của nguyên tử 11 Giả sử biết hàm sóng và năng lượng của electron trong nguyên tử tự do, chúng ta tìm hàm sóng và năng lượng của electron trong gần đúng electron liên kết mạnh với nguyên tử trong tinh thể Trước hết xét 1 electron trong nguyên tử tự do Khi đó toán tử của Hamilton của electron trong nguyên tử tự do có dạng: =− ћ ∇ + ( ⃗), (1.24) 2 trong đó: ( ⃗) là thế năng tương... chuyển động nhiệt có thể chuyển một số electron từ vùng hóa trị lên vùng dẫn Khi đó tạo ở vùng hóa trị (vùng lấp đầy) lỗ trống Khi đặt vào trong điện trường yếu, những electron được chuyển lên vùng dẫn có thể dễ dàng chuyển lên các mức năng lượng cao hơn trong vùng và tham gia dẫn điện Chúng được gọi là các electron tự do hay các electron dẫn Ngoài ra, các trạng thái ở vùng hóa trị bị trống hay chính... (1.51) ta thấy khối lượng hiệu dụng của electron và lỗ trống ở cùng một điểm trong vùng năng lượng trái dấu nhau [7]: m∗ = −m∗ (1.52) 1.4.3: Tenxơ khối lượng hiệu dụng Ta hãy xét kỹ hơn khái niệm khối lượng hiệu dụng của electron trong tinh thể Như đã xét ở trên, trong tinh thể, electron được đặc trưng bởi khối lượng hiệu dụng m* Khối lượng hiệu dụng nói chung khác với khối lượng m của electron ... theo lý thuyết vùng lượng 1.4 Tính chất elctron theo lý thuyết vùng lượng  Chương 2: Một số toán lý thuyết vùng lượng vật rắn Chương trình bày số tập lý thuyết vùng lượng vật rắn CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT... thể phần lý thuyết vùng lượng vật rắn  Đưa giải chi tiết số dạng tập lý thuyết vùng lượng vật rắn Việc giải tập lý thuyết vùng lượng vật rắn giúp hiểu sâu thêm vấn đề trình bày lý thuyết, làm... tập vật lí chất rắn để cụ thể vấn đề lý thuyết, rèn kỹ tính toán phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp sau  Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết vùng lượng vật rắn để giải tập lý thuyết vùng lượng