MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Đại số tuyến tính môn học quan trọng sinh viên khoa toán nói riêng sinh viên học toán nói chung tảng, sở nhiều môn toán khác như: hình học afin, hình học Euclide, hình học xạ ảnh… Trong đó, không gian vectơ nội dung quan trọng cung cấp cho bạn sinh viên khái niệm, kiến thức mở đầu Đại số tuyến tính Chính lý đó,em chọn đề tài: “Vấn đề sở không gian vectơ” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu sâu kiến thức không gian vectơ Đưa số dạng toán thường gặp không gian vectơ hệ thống ví dụ minh hoạ cho dạng toán Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức không gian vectơ Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết số dạng toán thường gặp không gian vectơ Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày sở lý thuyết không gian vectơ Đề xuất số dạng toán thường gặp không gian vectơ ví dụ minh họa Các phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu sử dụng lý luận, công cụ toán học Nghiên cứu tài liệu liên quan PHẦN A: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT §1: KHÔNG GIAN VECTƠ 1.1 Định nghĩa không gian vectơ ur ur r Cho V tập hợp mà phần tử kí hiệu  ,  ,  , K trường mà phần tử kí hiệu a, b, c, x, y, z ,… Trên V ta có hai phép toán: a) Phép cộng (+): V x V  V uur uur ur ur ( ,  ) a    b) Phép nhân (.): K x V  V ur ur ( x,  ) a x. Thỏa mãn điều kiện (hoặc tiên đề) sau: ur ur r ur ur r ur ur r + (V1): (   )      (   );  ,  ,  V r r ur ur r ur + (V2): 0  V :        ur ur ur ur ur ur r + (V3):    V :   '  V :  +  ' =  ' +  = ur ur ur ur ur ur + (V4):  +  =  +  ;   ,  V ur ur ur ur ur ur ur ur + (V5): x (  +  )= x. + x. ;  x K;   ,  V ur ur + (V6): ( x  y). = x. + y. ;  x, y K;   V + (V7):  x y   = x  y.  ;  x, y K;   V ur ur ur ur ur ur ur + (V8):  =  ;     Trong phần tử đơn vị trường K Khi V với hai phép toán cho lập thành không gian vectơ trường K hay K – không gian vectơ * Chú ý: r - Các phần tử V gọi vectơ, vectơ gọi vectơ uur ur ur không Vectơ  ' gọi phần tử đối vectơ  kí hiệu  - Các phần tử K gọi vô hướng Phép cộng (+) gọi phép cộng vectơ Phép nhân (.) gọi phép nhân vectơ với vô hướng - Khi K = ¡ (tương ứng K= £ ) ta nói không gian vectơ thực (tương ứng không gian vectơ phức) - Các tiên đề (V1), (V2), (V3), (V4) nói lên với phép cộng vectơ, V nhóm giao hoán Các tiên đề (V5), (V6), (V7) nói lên phép nhân vectơ với vô hướng có tính chất phân phối phép cộng vô hướng, phân phối phép cộng vectơ có tính chất kết hợp Tiên đề (V8) nói lên phép nhân với vô hướng chuẩn hóa 1.2 Ví dụ a) Tập vectơ tự vùng hai phép toán cộng hai vectơ nhân số thực với vectơ lập thành không gian vectơ ¡ b) Tập đa thức K[ x ] lập thành không gian vectơ trường K với phép toán cộng hai đa thức nhân đa thức với vô hướng sau: f ( x)  an xn  an1xn1   a0 g ( x)  bn xn  bn1 xn1   b0 Phép cộng (+): f ( x)  g ( x)  (an  bn ) xn  (an1  bn1 ) xn1   (a0  b0 ) Phép nhân (.):  f ( x)  an xn  an1xn1   a0 c) Xét C[a, b] tập hợp tất hàm số thực liên tục đoạn [a, b] Tổng hai hàm số f  C[a, b] g  C[a, b] hàm số f  g  C[a, b] định nghĩa ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) tích số thực r ¡ với hàm số f  C[a, b] hàm số r f  C[a, b] xác định (r f )( x)  r f ( x) Khi đó, C[a, b] không gian vectơ ¡ phép cộng phép nhân định nghĩa 1.3 Một số tính chất không gian vectơ Giả sử V không gian vectơ trường K Ta có tính chất sau: r a) Tính chất 1: Vectơ nhất, phần tử trung lập phép cộng r Chứng minh: Thật vậy, giả sử tồn vectơ V phần tử trung lập ur ur ur ur ur ur  V phép cộng thỏa mãn điều kiện 0'      0'   ; r ur r ur Ta có:  0'  (nếu ' phần tử trung lập) r ur ur r  0'  0' (nếu phần tử trung lập) r ur Vậy  0' hay phần tử trung lập phép cộng ur uur b) Tính chất 2: Với   V, phần tử  ' nói tiên đề (V3) uur Chứng minh: Giả sử, tồn vectơ  '' thỏa mãn tiên đề (V3) Xét: ur  uur'  uur''  (ur  uur')  uur'' = 0r  uur''  uur'' ur  uur'  uur''  (ur  uur'')  uur'  0r  uur'  uur' ur uur     '' hay phần tử đối phép cộng c) Tính chất 3: ur r ur r ur uur ur ur r - Nếu           ;  ,  ,  V (luật giản ước) uur r Chứng minh: Giả sử  ' phần tử đối  ur r uur ur r uur ur r uur ur r uur Xét:      '       '    (   ')    (   ') ur r ur r uur r       (vì  ' phần tử đối  ) ur ur    ur ur ur r r uur ur ur r  ,  ,   V (Quy tắc chuyển vế) ur - Nếu      (1)      ; ur Chứng minh: Gọi (  ) phần tử đối  ur Cộng hai vế (1) với (  ) ta ur ur ur r ur ur ur ur r ur     (  )    (  )    (    )     ur r r ur       ur r ur      d) Tính chất 4: ur ur r -  V ta có 0.  ur ur ur ur Chứng minh: Ta có 0.  (0  0)  0.  0. ur Cộng (0. ) vào vế đẳng thức ta ur ur ur ur ur 0.  (0. )  (0.  0. )  (0. ) ur ur ur ur ur  0.  0.  0.  (0.  (0. )) r ur ur ur   0.  (0.  0. ) r ur   0. r r -  x K ta có x.0  r r r r r Chứng minh: Ta có x.0  x.(0  0)  x.0  x.0 r Cộng ( x.0) vào vế đẳng thức ta r r ur r r x.0  ( x.0)  ( x.  x.0)  ( x.0) r r r r r  ( x.0  x.0)  ( x.0)  ( x.0  ( x.0)) r r r r   x.0  ( x.0  x.0) r r r r   x.0   x.0 ur ur r ur r e) Tính chất 5: x  K;    V x.  x    ur r ur r Chứng minh: Theo tính chất ta có: Nếu x    x.  ur r Ngược lại, giả sử x.  Nếu x  thì: ur ur x ur x ur 1r x r   1.  ( x).  ( x. )   ur r ur r Vậy, x.  x    ur ur ur f) Tính chất 6: x  V ta có: ( x).  x.( )  ( x. ) Chứng minh: Ta có 0=0. =  x    x     x.     x    r ur ur ur ur ur Cộng [( x). ] vào biểu thức cuối đằng thức ta        r ur ur ur ur    x.   x.    x      x.      ur ur ur ur  ( x. )  ( x.  x. )  ( x). ur r ur  ( x. )   ( x). ur ur  ( x. )  ( x). (1) r r ur ur ur ur Mặt khác  x.0  x.[  ( )]=x.  x.( ) ur Cộng [-(x. )] vào vế đẳng thức ta ur ur (2) ( x. )  x.( ) ur ur ur Từ (1) (2) suy ra: ( x).  ( x. )  x.( ) (đpcm) §2: KHÔNG GIAN VECTƠ CON 2.1 Định nghĩa không gian vectơ 2.1.1 Định nghĩa 2.1 Giả sử V không gian vectơ trường K Tập W khác rỗng V gọi không gian vectơ (hay không gian vectơ con) không gian vectơ V điều kiện sau thỏa mãn: ur ur 1)  ,   W: ur 2)   W: ur ur    W ur x.  W (x  K) * Nhận xét: ur ur r 1) Vì W   nên   W Theo điều kiện ta có: 0.   W r Vậy không gian chứa vectơ 2) Giả sử W không gian V Dễ thấy tám điều kiện định nghĩa không gian vectơ thỏa mãn Do W K – không gian vectơ Ngược lại, W tập V W K – không gian vectơ hai phép toán xác định V W không gian vectơ V 2.1.2 Mệnh đề 2.1: Tập W   V không gian K – không gian vectơ V ur ur ur ur với  ,  W, với x, y  K ta có : x.  y. W 2.2 Ví dụ: a) Không gian vectơ V có hai không gian V tập  r gồm phần tử vectơ không b) Tập Pn  x    an x n  an1 x n1   a1 x  a0 |  K  không gian vectơ K – không gian vectơ K  x  2.2.1 Mệnh đề 2.2 Giả sử W1, W2, …,Wm không gian vectơ không gian vectơ V trường K Khi W= m I Wi không gian V i1 2.2.2 Mệnh đề 2.3 Giả sử W1, W2 hai không gian không gian vectơ V ur uur uur uur trường K ta định nghĩa: W={    | 1  W1 ,   W2 } Khi đó, W không gian V gọi tổng hai không gian W1, W2 2.3 Định nghĩa 2.2 Không gian vectơ W1+ W2+ …+Wm gọi tổng không gian vectơ kí hiệu m W i i=1 2.4 Định nghĩa 2.3 ur Nếu vectơ  W1+ W2 + …+Wm viết ur uur uur uur uur dạng   1      m với  i  Wi ; i=1, m tổng W1+W2+…+Wm gọi tổng trực tiếp không gian W1,W2,…,Wm kí hiệu W1  W2  …  Wm 2.5 Tổ hợp tuyến tính 2.5.1 Định nghĩa 2.4: Cho V không gian vectơ trường K uur uur uur 1) Giả sử 1 ,  , ,  m m vectơ thuộc V ( m ≥ 1) ur uur uur ur uur Nếu   x1.1  x2    xm  m ; xi  K; i  1, m ta nói  tổ hợp ur tuyến tính m vectơ cho hay  biểu diễn tuyến tính qua hệ m vectơ cho 2) Giả sử S tập V (số phần tử S hữu hạn vô ur ur hạn) ta nói  biểu diễn tuyến tính qua tập S  biểu diễn tuyến tính qua hữu hạn vectơ thuộc S * Ví dụ: Trong không gian vectơ V= ¡ , xét vectơ ur   (2,3); uur 1  (0,1); uur Ta thấy:   (2, 2) ; ur   (1,1); uur uur ur 1  2.  (0  2,1  2)  (2,3)   ur uur uur    1  2. ur uur uur Vậy  tổ hợp tuyến tính vectơ   2.5.2 Định nghĩa 2.5 uur uur uur Cho hệ gồm m vectơ  ,  ,…,  m không gian vectơ V trường K uur uur uur Ta định nghĩa: W={ x1.1  x2    xm  m ; xi  K; i  1, m } Khi đó, W gọi không gian sinh hệ m vectơ uur uur uur uur uur uur uur uuur uuur  ,  ,…,  m kí hiệu 1 , , ,  m L(  ,  ,…,  m ) uur uur uur Hệ {  ,  ,…,  m } gọi hệ sinh W §3: ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VECTƠ 3.1 Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 3.1.1 Định nghĩa 3.1 uur uur uur Cho m vectơ  ,  ,…,  m không gian vectơ V trường K, m≥1 uur uur uur 1) Hệ vectơ  ,  ,…,  m gọi phụ thuộc tuyến tính tồn m phần tử x1 , x2 , , xm K không đồng thời cho: uur uur uur r x1.1  x2    xm  m  uur uur uur 2) Hệ vectơ  ,  ,…,  m gọi độc lập tuyến tính không uur uur uur r phụ thuộc tuyến tính hay cách tương đương x1.1  x2    xm  m  kéo theo x1  x2   xm  3) Tập S  V gọi độc lập tuyến tính hệ hữu hạn S độc lập tuyến tính 3.1.2 Ví dụ 1) Trong không gian hình học E3: - Hai vectơ phương phụ thuộc tuyến tính, hai vectơ không phương độc lập tuyến tính - Ba vectơ đồng phẳng phụ thuộc tuyến tính, ba vectơ không đồng phẳng độc lập tuyến tính 2) Trong không gian vectơ ¡ ur uur ur - Hệ vectơ {   (1, 2,0);   (0,1, 2);   (1, 4, 4); } phụ thuộc tuyến tính uur uur uur r Vì ( x1 , x2 , x3 )  (1, 2,1)  (0, 0, 0) thỏa mãn : x1.1  x2   x3   (*) 10 uur uur uur uur uur uur r Xét: z1.1  z2 ( 1   )   zm ( 1      m )  uur uur uur r  ( z1  z2   zm ).1  ( z2   zm ).   zm  m  uur uur uur Vì hệ { 1 ,  , ,  m } độc lập tuyến tính nên: ( z1  z2   zm )  ( z2   zm )   ( zm 1  zm )  zm   z1  z2   zm  uur uur uur uur Vậy hệ { 1 , 1 , 3 ,  m } độc lập tuyến tính với: uur uur uur uur uur uur uur uur uur 1  1 ,   1   , ,  m  1      m r ur ur r Ví dụ 2.3: Hãy biểu diễn vectơ  thành tổ hợp tuyến tính  ,  ,  trường hợp sau: r a)   1, 2,0  ;   1, 2, 3 ;    2,5, 1 ;    0,1, 2 ur r ur ur r ur r b)    0,0,0  ;    2,3,3 ;    4,9,1 ;   1,3, 1 Lời giải: r ur ur r a) Vì  tổ hợp tuyến tính  ,  ,  nên ta có: ur ur r r x1.  x2   x3     x1 (1, 2, 3)  x2 (2,5, 1)  x3 (0,1, 2)  (1, 2, 0) 1  x1  x2  x1  1     x1  x2  x3    x2  3x  x  x   x  1   r ur ur r Vậy  =      ur ur r r y1.  y2   y3    b) Ta có:  y1 (2,3,3)  y2 (4,9,1)  y3 (1,3, 1)  (0, 0, 0)  y1  y2  y3   y1     3 y1  y2  y3    y2  1  3y  y  y    y3   r ur ur r Vậy  =     2 35 BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 2.1: Xét xem hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ¡ ur ur r a)    4,1, 5 =;    3, 2,1 ;    2,5, 3 uur r ur b) 1   2,4,1 ;    3, 6, 2 ;    1, 2,    2 Bài 2.2: Cho hệ vectơ 1 ,  ,  ,   hệ vectơ độc lập tuyến tính K – uur uur uur uur uur uur uur uur không gian vectơ V Chứng minh hệ { 1 ,  , 3 , } xác định sau độc lập tuyến tính uur uur uur uur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur a) 1  1;   1   ;3  1     ;   1       uur uur uur uur b) 1  1;    ; 3   ;     k. ; k  K; k  Bài 2.3: Hãy biểu diễn đa thức sau thành tổ hợp tuyến tính của: P1= x  x  ; P2= 3x  x  ; P3= 5x  x  a) b) 3x  c) 3x  x  Dạng 3: Tìm hạng hệ vectơ hữu hạn * Để tìm hạng hệ vectơ   ur m i 1 ta tìm hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại 1 ,  , ,  r  Khi đó, rank 1 ,  , ,  m  =rank 1 ,  , ,  r  =r uur uur uur uur uur uur uur uur Ví dụ 3.1: Cho hệ vectơ 1  (1,1,1);  (1, 0,1);  (0,1, 2) uur uur uur Tìm hạng hệ vectơ 1 ,  ,   uur uur uur Lời giải: uur uur uur Ta có  + 2  1,1,1   1,0,1   0,1, 2   uur uur uur uur uur uur   =  +  hay  biểu thị tuyến tính qua vectơ   36 uur Suy hệ 1 ,  ,   phụ thuộc tuyến tính (1) uur uur uur  Ta thấy hệ 1 ,   độc lập tuyến tính (2) uur uur uur uur r Thật vậy, giả sử ta có x11  x2    x1 (1,1,1)  x2 (1, 0,1)  (0, 0, 0)  x1  x2  x     x1 0  x  x   x2   uur uur Từ(1) (2) suy hệ 1 ,  hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại   hệ 1 ,  ,   hệ 1 ,   có vectơ uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur Vậy rank (  ,  ,  )=rank(  ,  )=2 Ví dụ 3.2 Trong không gian vectơ ¡ , tính hạng hệ vectơ sau: uur uur uur uur 1  1, 2,1,3 ;    0, 1,1,3 ; 3   0,0, 2,6  =;   8,7,3,9 Lời giải: Ta thấy hệ 1 ,  ,   độc lập tuyến tính uur uur uur Thật vậy, giả sử ta có uur uur uur r x11  x2   x3   x1 (1, 2,1,3)  x2 (0, 1,1,3)  x3 (0, 0, 2, 6)  (0, 0, 0, 0) 0  x1 x 0 2 x  x 0      x1  x2 x  x  x   2 x   x  x  3x1 3x2 6 x3  uur uur uur Suy hệ 1 ,  ,  độc lập tuyến tính(*)   x1    x2 x  0 0 0  uur uur uur uur Mặt khác, ta có  =8  +9  -7  uur uur uur uur Hay vectơ  biểu thị tuyến tính qua vectơ  ,  ,  Suy hệ 1 ,  ,  ,   phụ thuộc tuyến tính (**) uur uur uur uur 37 Từ (*)và (**) suy hệ 1 ,  ,   hệ vectơ độc lập tuyến tính tối uur uur uur đại hệ 1 ,  ,  ,   uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur Vậy rank(  ,  ,  ,  )=rank(  ,  ,  )=3 Ví dụ 3.3: Chứng minh hạng hệ vectơ V không thay đổi nhân vectơ hệ với a K\ 0 tùy ý Lời giải: Giả sử 1 ,  , ,  m  (1) hệ vectơ không gian vectơ V uur uur uur Giả sử 1 ,  , ,  r  ; r [...]... thị của  qua cơ sở (e) là duy nhất nên ta phải có 21 n ai   Cij a ' j (2) j 1 Công thức (2) gọi là công thức đổi tọa độ tương ứng từ cơ sở (e) sang cơ sở () Công thức (1) gọi là công thức đổi cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở () *Ví dụ: a) Chứng minh rằng 1 ,  2 ,  3  là một cơ sở của ¡ ur uur uur 3 ur b) Tìm tọa độ của vectơ  trong cơ sở  i  ; i=1,2,3 c) Tìm công thức đổi cơ sở từ cơ sở. .. một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V, S là một hệ sinh của V và C  S Khi đó tồn tại cơ sở B của V sao cho C  B  S Hệ quả 4.1 Cho C là một hệ vectơ của không gian vectơ V 1) Nếu C là một hệ độc lập tuyến tính thì có thể bổ sung thêm một số vectơ vào hệ C để được một cơ sở của V 2) Nếu C là hệ sinh của V thì có thể bớt đi một số vectơ của hệ C để được một cơ sở của V Hệ quả 4.2 Mọi không gian vectơ. .. Khái niệm cơ sở của một không gian vectơ 4.1.1 Định nghĩa 4.1 Giả sử V là K – không gian vectơ Một hệ vectơ trong V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là K – không gian vectơ hữu hạn sinh 4.1.2 Định nghĩa 4.2 Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong không gian vectơ V được gọi là một cơ sở của V Ví dụ:... toán đã cho lập thành một ¤ – không gian vectơ Ví dụ1.3: Tập con nào trong các tập con sau đây là không gian vectơ con của không gian vectơ ¡ 3 a) W1=  x1 , x 2 , x3 | x1  x 2  x3  0 29 b) W2=  x1 , x2 , x3  | x1  x2  x3  1 Lời giải: Để xét xem một tập có là không gian vectơ con của K – không gian vectơ không Ta kiểm tra 2 điều kiện của định nghĩa không gian vectơ con a) W1=  x1 , x 2 ,... niệm số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh 4.3.1 Định nghĩa 4.3 a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của ¡ – không gian vectơ hữu hạn sinh V  0 được gọi là số chiều của V trên trường K và ký hiệu là: dimV hay r dimKV Nếu V  0 thì ta quy ước dimV=0 r b) Nếu V không có cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều Nếu dimV = n thì V được gọi là không gian vectơ n chiều... =n vì Kn có một cơ sở là: ur uur uur 1  1,0, ,0  ;  2   0,1 ,0  ; ;  n   0,0, ,1 r r 2) dimE2 = 2 vì E2 có một cơ sở là i  (1,0) ; j  (0,1) r r r 3) dimE3 = 3 vì có một cơ sở là i  (1,0,0) ; j  (0,1,0) ; k  (0,0,1) 4.4 Cơ sở trong không gian vectơ n chiều 4.4.1 Mệnh đề 4.1 Giả sử V là một không gian vectơ n chiều (n≥1) Khi đó: a) Mọi hệ có nhiều hơn n vectơ trong V đều phụ thuộc... trong V đều có thể bổ sung để trở thành một cơ sở của V c) Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vectơ của V đều là cơ sở 4.4.2 Mệnh đề 4.2 Cho V là một không gian vectơ n chiều và 1 ,  2 , ,  n  là hệ gồm n vectơ uur uur uur trong V uur uur uur 1) Nếu 1 ,  2 , ,  r là hệ vectơ độc lập tuyến tính thì r  n 19 uur uur uur 2) Nếu 1 ,  2 , ,  r là hệ sinh của V thì r ≥ n * Ví dụ: uur uur uur Hệ vectơ. .. thức hệ số thực có bậc không vượt quá n là một không gian vectơ con của không gian vectơ ¡ [ x] Bài 1.4: Tập con nào trong các tập con sau đây là không gian vectơ con của không gian vectơ ¡ 3 a) W1= {( x1 , 0, x3 )} b) W2= {( x1 , x2 , x3 ) | x1  x2  x3} Bài 1.6: Cho W là tập hợp tất cả các vectơ có dạng  3a  b, a, b  trong đó a, b là các số thực tùy ý ur ur ur ur Tìm vectơ  ,   ¡ 3 sao cho... uur uur Cơ sở 1 ,  2 , ,  n được gọi là cơ sở chính tắc của ¡ n uur uur uur uur 2) Trong ¡ 3 hệ 4 vectơ 1  (1, 0, 0) ;  2  (0,1,0) ; 3  (0, 0,1) ;  4  (1,1,1) uur uur uur uur là hệ sinh nhưng không độc lập tuyến tính vì  4  1   2  3 Suy ra, hệ 1 ,  2 ,  3 ,  4  không là cơ sở của ¡ 3 uur uur uur uur 16 4.2 Sự tồn tại cơ sở 4.2.1 Định lý 4.1 Cho V là K – không gian vectơ Giả... một vectơ  k nào (k  ( I \ J )) vào hệ đó thì hệ đã cho là một hệ phụ thuộc tuyến tính 2) Hai hệ hữu hạn của không gian vectơ V được gọi là tương đương với nhau nếu mỗi vectơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính được qua hệ kia Hai hệ vectơ cùng tương đương với hệ vectơ thứ ba thì chúng tương đương với nhau 3.2.2 Định nghĩa 3.3 Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V Ta gọi số vectơ ... §2: KHÔNG GIAN VECTƠ CON 2.1 Định nghĩa không gian vectơ 2.1.1 Định nghĩa 2.1 Giả sử V không gian vectơ trường K Tập W khác rỗng V gọi không gian vectơ (hay không gian vectơ con) không gian vectơ. .. tử vectơ không b) Tập Pn  x    an x n  an1 x n1   a1 x  a0 |  K  không gian vectơ K – không gian vectơ K  x  2.2.1 Mệnh đề 2.2 Giả sử W1, W2, …,Wm không gian vectơ không gian vectơ. .. không gian vectơ V 2.1.2 Mệnh đề 2.1: Tập W   V không gian K – không gian vectơ V ur ur ur ur với  ,  W, với x, y  K ta có : x.  y. W 2.2 Ví dụ: a) Không gian vectơ V có hai không gian