TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khoá luận trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô giáo khoa Toán -Trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh Trang LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh Trang MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Là ngành toán học nghiên cứu liên hệ không gian Từ hàng ngàn năm trước công nguyên, hình học xuất sớm, người phải đo đạc ruộng, đong thóc gạo thu hoạch hay xây dựng kim tự tháp khổng lồ… Môn hình học lúc đầu đời có ý nghĩa môn khoa học đo đạc Tuy nhiên, hình học trở thành môn khoa thực người nêu lên tính chất hình học đường suy diễn Nó giúp rèn luyện tư duy, nâng cao khả tưởng tượng không gian người Một không gian hình học không gian vectơ Với mục đích, tìm hiểu kĩ đặc điểm, tính chất không gian vectơ mà tìm hiểu mối liên hệ đẳng cấu chúng Em chọn đề tài: “Sự đẳng cấu không gian vectơ” làm khoá luận tốt nghiệp 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đẳng cấu không gian vectơ hữn hạn chiều Ứng dụng giải toán 3.Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Không gian vectơ, phép đẳng cấu Phạm vi nghiên cứu: Trong không gian hữu hạn chiều 4.Nhiệm vụ Trình bày sở lý thuyết Nghiên cứu hệ thống kiến thức không gian vectơ 5.Phƣơng pháp nghiên cứu Cơ sở lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá 6.Cấu trúc Ngoài phần mở đầu kết luận, tài liệu tham khảo Đề tài gồm chương Chương I Một số kiến thức chuẩn bị Chương II Sự đẳng cấu không gian vectơ CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương sau nhắc lại khái niệm tính chất ánh xạ không gian vectơ 1.1 ÁNH XẠ 1.1.1 Khái niệm ánh xạ 1.1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1.1.1 Cho hai tập hợp X , Y Ta nói ánh xạ f : X Y quy tắc cho tương ứng phần tử x X có tương ứng theo quy tắc phần tử y Y Kí hiệu f : X Y , (đọc: f ánh xạ từ X vào Y ) Trong X tập nguồn Y tập đích 1.1.1.2 Đơn ánh Định nghĩa 1.1.2 Ánh xạ f : X Y gọi đơn ánh ảnh hai phần tử phân biệt hai phần tử phân biệt Nghĩa Điều kiện tƣơng đƣơng f : X x1 ,x2 x1 ,x2 V,x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) Y đơn ánh X : f ( x1 )= f ( x2 ) x1 = x2 1.1.1.3 Toàn ánh Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ f : X Y gọi toàn ánh phần tử Y ảnh phần tử thuộc X Nghĩa f(x) = y y Y, x X cho Điều kiện tƣơng đƣơng Ánh xạ f : X Y toàn ánh f (X)= Y 1.1.1.4 Song ánh Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ f : X Y gọi song ánh f đơn ánh toàn ánh Định lý 1.1.1 Ánh xạ f :X Y xa f(x) song ánh tồn ánh xạ g :Y X y a g(y) cho ánh xạ f o g = id X g o f = id X 1.1.2 Ánh xạ với phép toán 1.1.2.1 Phép cộng hai ánh xạ Định nghĩa 1.1.5 Cho f :X Y x a f (x) hai ánh xạ từ X g:X Y x a g(x) Y Khi tổng f g kí hiệu f + g ánh xạ xác định f +g:X Y x a (f + g)(x)= f(x)+ g(x) 1.1.2.2 Tích hai ánh xạ Định nghĩa 1.1.6 Cho f :X Y x a f (x) g :Y Z y a g(y) hai ánh xạ Khi ánh xạ g o f xác định gof :X Z x a ( g o f)(x)= g(f(x)) gọi tích ánh xạ f ánh xạ g 1.1.2.3 Ánh xạ ngƣợc Định nghĩa 1.1.7 Cho f : X ánh xạ Y ánh xạ từ X vào Y song ánh Khi tồn g :Y X cho g o f = i f o g = i Ánh xạ dX dY X gọi ánh xạ ngược của ánh xạ f , kí hiệu g :Y g = f -1 1.2 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ 1.2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.2.1 Cho V tập khác rỗng trường Giả sử V trang bị phép toán gồm Phép cộng V.V V (u, v) a u + v Phép nhân K.V V (k,u) a k.u Thỏa mãn tiên đề sau (V1) (u + v)+ w= u +(v + w) u,v,w V (V2) u V V : 0+= u +0 = u (V3) u +u´= u´+u = u V, u´ V (V4) u+v= v+u u,v V (V5) (k + l).u = k.u + l.u (V6) k.(u + v) = k.u k,l k.v K, u,v V k K, u,v V (V7) k.(l.u)= (k.l).u k,l V, u V (V8) 1.u = u.1= u u V Khi V với hai phép toán cho gọi không gian vectơ trường K ( hay K - không gian vectơ) Nếu K trường số thực không gian V gọi không gian vectơ thực Nếu K trường số phức V gọi không gian vectơ phức Ví dụ Không gian R n Không gian M mn(R) ma trận số thực kích thước mn Không gian gồm tất hàm f[a,b] R 1.2.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.2.2 Cho K - không gian vectơ V a Một tổ hợp tuyến tính không gian vectơ { bỉểu thức dạng n r i i r = i , , n K + + r n n r r r V , , , n } Trong không gian vectơ V r r b Hệ vectơ { , , n } gọi độc lập tuyến tính hệ thức r r r 1 + + n n = Ta suy c Hệ vectơ { r = = , , r n n =0 } gọi phụ thuộc tuyến tính hệ không độc lập tuyến tính Ví dụ Trong không gian vectơ thực R cho hệ ba vectơ r r r , , = (2,0) = (0,4) = (4,4) r r 1) Hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính r r r + = (2 ,0)+(0,4 )= ( 0,0) 2 (2 ,4 = 2 )= (0,0) =0 r r r 2) Hệ vectơ { , , } phụ thuộc tuyến tính r r r r 1+ - =0 Tính chất r r i) Hệ ( , , n ) phụ thuộc tuyến tính có vô hướng , , n K không đồng thời cho r r r + + = 1 n n r r r ii) Hệ gồm vectơ ( ) phụ thuộc tuyến tính = r r iii) Với n > , hệ n vectơ { , , n } phụ thuộc tuyến tính tồn vectơ hệ biểu thị tuyến tính qua vectơ lại hệ Chứng minh Thật vậy, giả sử hệ { r r , , n } phụ thuộc tuyến tính Lúc tồn vô 2.2 ĐẲNG CẤU TUYẾN TÍNH 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Giả sử V ,W hai không gian vectơ, f :V W ánh xạ tuyến tính Khi ánh xạ f gọi phép đẳng cấu f song ánh tuyến tính 1.2.2 Định lý tồn đẳng cấu tuyến tính Từ định lý xác định ánh xạ tuyến tính V ,W không gian vectơ n r r chiều, {ei }in sở V { i }in sở W tồn ánh xạ tuyến tính r r f(ei )= i , i = 1,2, n f :V W đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn 2.2.3 Ma trận đẳng cấu tuyến tính Định lý 2.2.1 Ánh xạ tuyến tính f :V W x a Ax đẳng cấu tuyến tính A khả nghịch Khi f có ánh xạ ngược f -1 :W V x a A-1 x Định nghĩa 2.2.2 Ta gọi hạng ma trận A= (a ji )mn hạng hệ vectơ cột r a j = (a ji )mj K n 25 Nhận xét Hạng ma trận A= (a ji )mn hạng hệ vectơ dòng (a ji )in K n , tức rank( A )= rank( At ) Định lý 2.2.2 Cho V, W hai không gian vectơ, f :V W ánh xạ tuyến tính, dimV = dimW = n , A= (a ji )nn ma trận f sở r r r r r r {e1 ,e2 , ,en } V { , , , m } W Khi f phép đẳng cấu rank A= n Vận dụng đẳng cấu vào vài toán tìm ma trận nghịch đảo Bài toán Cho A ma trận vuông cấp n Hãy tìm ma trận nghịch đảo A-1 A (giả thiết A-1 tồn tại) Phân tích Ta coi A ma trận phép biến đổi tuyến tính f : Kn K n sở tắc Khi ma trận A-1 ma trận ánh xạ ngược f -1 ánh xạ f Ta xét ví dụ cụ thể Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau 1 1 A= 1 Giải Nhận xét A-1 tồn 26 Vì 1 1 1 1 1 detA= = = (-1)n 1 0 0 - 1 Nên A không suy biến, A-1 tồn Coi A ma trận phép biến đổi tuyến tính f : K n r r r K n sở tắc {e1 ,e2 , ,en } K n Ta có r r x = (x1 ,x2 , xn ) K n , f(x)= (y1 , , yn ) K n Suy x1 + x2 + x1 x1 + x2 + xn = y1 + x3 + xn = y2 + x4 + xn = y3 x1 + x2 + + xn = yn 2.2.4 Định lý Định lý 2.2.3 (ba điều kiện tƣơng đƣơng) Giả sử V không gian vectơ hữu hạn chiều f :V W tự đồng cấu V Khi đó, mệnh đề sau tương đương a) f đẳng cấu b) f đơn cấu c) f toàn cấu Chứng minh r Kerf = {0} f Ta có đơn cấu Lại có f tòan cấu dim(Imf)= dimV Mặt khác dimV = dim(Imf)+ dim(Kerf) Suy f đơn cấu dim(Kerf)= 27 dimV = dim(Imf) f toàn cấu Vậy b) tương đương với c) chúng có tương đương với a) Nhận xét f đẳng cấu tuyến tính Kerf = {0} Imf = V Định lý 2.2.4 Cho V,W không gian vectơ hữu hạn chiều Ánh xạ tuyến tính f :V W đẳng cấu tuyến tính tồn ánh xạ tuyến tính g :W V cho fg = id gf = id V W Chứng minh Thật vậy, f đẳng cấu f -1 f lại, có đồng cấu g =W id ff -1 V id Ngược W V cho gf = id , gf = id , f vừa V W đơn cấu vừa toàn cấu Vì thế, f đẳng cấu Khi đó, nhân hai vế đẳng thức gf = id với f -1 từ bên phải ta thu g = f -1 V 2.3 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI KHÔNG GIAN VECTƠ 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3.1 Hai không gian vectơ V , V´ gọi đẳng cấu tồn đẳng cấu tuyến tính f :V V´ Ví dụ f : R2 R2 (x1 , x2 ) a (x1 - x2 , x2 ) Định lý 2.3.1 Hai không gian vectơ hữu hạn chiều trường K đẳng cấu với chúng có số chiều 28 2.3.2 Sự đẳng cấu không gian vectơ n chiều với Rn Định lý 2.3.2 Tự đồng cấu tuyến tính f : V W phép đẳng cấu tuyến tính không gian vectơ hữu hạn chiều V W dim V = dim W Chứng minh Giả sử V W có đẳng cấu f : V W Khi đó, r r r r r r { , , , n } sở V hệ {f( ), f( ), , f( n )} r r r r sở W Thật vậy, vectơ V V = f( ) với Ta có r n = xi r i nên i r r n r = f( )= f( n xi i ) = i xi f ( r i ) i r r r r biểu thị tuyến tính qua hệ {f( ), f( ), , f( n )} Nếu r r r r n n có biểu thị tuyến tính = i yi f ( i ) = f( i yi i ) nên tức r r f( )= f( r r r n f Do đơn ánh nên y ) = ( y ) Do biểu diễn i i i i i i r r r r qua sở { , , , n } nên ta có xi = yi , i = 1,2, ,n Do r r r r bểu diễn qua hệ {f( ), f( ), , f( n )} Từ ta có hệ r r r {f( ), f( ), , f( n )} sở W Vậy dimW = n = dimV r r r Ngược lại, giả sử dimW = dimV = n Khi lấy { , , , n } r r r sở V { , , , n } sở W ta có ánh xạ tuyến tính r r g :V W xác định g( i )= i , i = 1,2, ,n ánh xạ tuyến tính r r h : W V xác định h( i )= i , i = 1,2, ,n Khi rõ ràng n 29 nên g song ánh Do g đẳng cấu h.g = id ; g.h = id V W V W Hệ 2.3.1 Mọi không gian n chiều V đẳng cấu với không gian Rn Nhận xét Từ kết định lý ta thấy không gian vectơ U , n chiều đẳng cấu với R n Nên vectơ x U đặt tươg ứng với số (x1 , ,xn ) R n Vì thay nghiên cứu không gian vectơ U ta xem xét nghiên cứu R n Định lý 2.3.3 Cho U ,V không gian vectơ tương ứng n, m chiều K Khi L(U,V) Mat(m,n) Hệ 2.3.2 Cho U ,W không gian vectơ tương ứng n, m chiều K Khi dimL(U ,V )= m.n Định lý 2.3.4 (Định lý đồng cấu tuyến tính) Mọi ánh xạ tuyến tính f :U V x a f (x) Sinh đẳng cấu tuyến tính f :U / Kerf Imf x a f (x)= f(x) Hệ 2.3.3 Cho U1 ,U không gian vectơ U , U 30 U1 Khi U/ U (U / ) / (U / ) U U 2 Chứng minh Xét f :U / U2 U/ U1 x U a x U1 toàn cấu tuyến tính Ta có Krf x U x U1 U1 x U x U1 U1 / U Theo định lý đồng cấu tuyến tính (U / U ) / (U / U ) (U / U ) Ví dụ m Ui Vi , i = 1, ,m m Vi Ui i i Chứng minh Xét ánh xạ i : Ui Vi đẳng cấu tuyến tính, i 1, , m Khi ánh xạ m : m Ui Vi i i (xi )im1 a ( i (xi ))im1 m Xác định đẳng cấu tuyến tính Suy m Ui i Vi i U1 ,U không gian vectơ U (U +U ) /U U1 / (U 31 U2 ) Chứng minh Xét ánh xạ : U1 (U U ) / U2 x a x U2 Khi toàn cấu tuyến tính ker U1 U Do theo định lý đồng cấu tuyến tính Ta có (U +U ) /U U1 / (U 32 U2 ) BÀI TẬP Bài Cho V, W hai không gian vectơ trường K với số chiều W hữu hạn, f :V W toàn cấu Chứng minh tồn ánh xạ tuyến tính g :W V cho f.g ánh xạ đồng W Ánh xạ g có không? Giải r r r Giả sử {e1 ,e2 , ,en } sở W Vì f toàn cấu nên: r f -1(e ) 0, i = 1, ,n i Với i chọn r r r f -1(ei ) , ta có f -1( i ), i = 1, ,n i Xét ánh xạ tuyến tính g :W V xác định bởi: r r r g : e a g(ei )= i , i = 1,2, ,n i r r r r Ta có với x = x1e1 + x2e2 + + xnen W r f.g(x) = f.g( n n xiei ) = f( xi g(ei ))= f( i n = xi f ( n i n r i )= i xi r i ) i r xi ei = x i Vậy f.g ánh xạ đồng W r g không f -1(ei ) có nhiều phần tử Ta lấy ví dụ toàn cấu sau f : R3 R (x1 ,x2 ,x3 ) a x1 + x2 + x3 Xét sở {1} R Ta có f (1) với nhiều phần tử, chẳng hạn (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) thuộc f (1) Từ ta có nhiều g cho fg = , chẳng hạn R 33 x a (x,0,0) x a (0,x,0) x a (0,0,x) Ta ý toán bỏ giả thiết dimW hữu hạn Bài Cho f :V r r r V´ toàn cấu, hệ vectơ {e1´ ,e2´ , ,en´ } r r r r sở V´ Với ei´ ,chọn ei cố định cho f ( ei )= ei´ , i = 1,2, ,n r r r Gọi W không gian V sinh hệ vectơ {e1 ,e2 , ,en } U = Kerf Chứng minh V =U W Giải r r r Hệ vectơ {e1´ ,e2´ , ,en´ } độc lập tuyến tính, hệ vectơ sở không gian W sinh vectơ hệ Vậy W ; V´ đẳng cấu g mà tồn xác định quan hệ fg = v r r r Giả sử x V Xét vectơ x gf ( x ) Ta có: r r r r r r gf ( x )) = f ( x ) f ( x )= f ( x ) f ( x )= V´ r r r r Vậy y = x gf ( x ) Kerf , gf ( x ) g(V´) = W r f(x r r r r r r r Từ x = y+ gf ( x ) U +W Xét z U W z U cho ta f ( z )= Mặt r r r r khác z W cho ta z = g( z ) với z V´ Từ r r r r = f ( z )= fg( z´) = z´, f.g = V r r r r r Vậy z = g( z )= g(0) = , nghĩa U W = {0} ,do V = U W Từ tổng trực tiếp ta suy dimV = dim(Kerf) + dim(Imf) 34 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giả sử E K - không gian vectơ, E1 E2 hai không gian E Giả sử : E1 E2 r r r (x1 , x2 ) a x1 a) Chứng minh r x2 ánh xạ tuyến tính cho biết Im b) Chứng minh Ker đẳng cấu với E1 E2 c) Từ a) b) suy dim( E1 E2 )= dimE1 dimE2 dim( E1 E2 ) Khi dimE1 dimE2 hữu hạn Giả sử E K - không gian vectơ f : E E tự đồng cấu Chứng minh Imf Imf E Kerf Imf Cho f g hai ánh xạ tuyến tính từ V đến V´ Chứng minh Ker( f g) Kerf 35 Kerg 2.4 DÃY KHỚP 2.4.1 Phức Định nghĩa 2.4.1 Không gian V / có tính chất phổ dụng sau Giả thiết f :V U W ánh xạ tuyến tính biến U vào Khi f cảm sinh ánh xạ tuyến tính f :V / U W , xác định f(v+U)= f(v) Dễ thấy f đơn ánh f hợp thành f với ánh xạ thương (là ánh toàn ánh), f xác định Ta có sơ đồ q V f ] [ W V/ U !f Dãy ánh xạ tuyến tính fi Vi+1 gọi phức Im(fi ) fi Vi fi Vi Ker(fi ) với i 2.4.2 Dãy khớp Định nghĩa 2.4.2 Một phức gọi khớp Vi Im(fi )= Ker(fi ) Một dãy khớp dạng U f V g W f V g W gọi chẻ tồn (1) gọi dãy khớp ngắn Định nghĩa 2.4.3 Dãy khớp ngắn h :W U V ánh xạ tuyến tính cho g.h idW 36 Định lý 2.4.1 Dãy (1) khớp f đơn cấu đồng thời g toàn cấu Ví dụ kerf V f :V Imf , x a f (x) f Imf : kerf V xa x dãy khớp ngắn Định lý 2.4.2 Cho U f khớp ngắn chẻ Khi V ; U V g W W Tiểu kết chƣơng Trong chương ta mối liên hệ đẳng cấu không gian vectơ có số chiều Mối liên hệ không gian vectơ n chiều với R n Ngoài cuối chương có nhắc tới khái niệm phức dãy khớp, giúp bạn đọc tham khảo thêm 37 KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua em củng cố kiến thức không gian vectơ, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách khái quát đẳng cấu không gian vectơ Hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên quan tâm tới môn Đại số tuyến tính nói riêng toán học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đóng góp quý báu bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh Trang 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐHQG 2000 [2] Phan Hồng Trường, Đại số tuyến tính, ĐHSP Hà Nội – 2003 [3] Jean Marie Monier, Đại số 1-2, Nhà xuất Giáo dục 2006 [4] Phùng Hồ Hải, Đại số đa tuyến tính, Nhà xuất Quốc gia 2010 [5] Hoàng Xuân Sính, Bài tập đại số tuyến tính, Nhà xuất Giáo dục 2010 [6] S.Lang, Linear Algebra, Wesley 1972, Second edition 39 [...]... chiều) Nếu W là không gian con của K - không gian vectơ hữu hạn chiều V thì W cũng là không gian vectơ hữu hạn chiều và dimW dimV Đẳng thức dimW = dimV xảy ra khi và chỉ khi W =V Mệnh đề 1.2.1 Giao của một họ những không gian vectơ con của không gian vectơ V là một không gian vectơ con của V Định nghĩa 1.2.7 Cho X là một tâp con của không gian vectơ V Giao của tất các không gian vectơ con của V... W là một đơn cấu vừa là một toàn cấu Vì thế, f là một đẳng cấu Khi đó, nhân hai vế của đẳng thức gf = id với f -1 từ bên phải ta thu được g = f -1 V 2.3 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI KHÔNG GIAN VECTƠ 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3.1 Hai không gian vectơ V , V´ gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu tuyến tính f :V V´ Ví dụ f : R2 R2 (x1 , x2 ) a (x1 - x2 , x2 ) Định lý 2.3.1 Hai không gian vectơ hữu hạn... đó g là đẳng cấu và h.g = id ; g.h = id V W V W Hệ quả 2.3.1 Mọi không gian n chiều V đều đẳng cấu với không gian Rn Nhận xét Từ kết quả định lý ta thấy mọi không gian vectơ U , n chiều đều đẳng cấu với R n Nên mỗi vectơ x U được đặt tươg ứng duy nhất với bộ số (x1 , ,xn ) R n Vì vậy thay vì nghiên cứu không gian vectơ U ta đi xem xét nghiên cứu R n Định lý 2.3.3 Cho U ,V là các không gian vectơ. .. tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với 2 phép toán của V và cùng với 2 phép toán của V hạn chế trên nó W cũng là một không gian vectơ trên trường K Ví dụ r 1) Tập {0} và V là hai không gian con của K - không gian vectơ V Và được gọi là những không gian vectơ con tầm thường của V 2) Tập Pn [X] = {a0 + a1 X + + an X | ai K} là một không gian vectơ con của K - không gian vectơ K[X 0... xạ giữa hai tập hợp, cũng như các khái niệm không gian vectơ, không gian vectơ con, không gian vectơ thương, các hệ độc lâp tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Trong đó có kèm theo các ví dụ, bài tập minh họa, ngoài ra còn bổ sung thêm một phần bài tập đề nghị để bạn đọc tham khảo Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về mối liên hệ giữa các không gian vectơ hữu hạn chiều 14 CHƢƠNG 2 SỰ ĐẲNG... không gian vectơ hữu hạn chiều trên cùng trường K đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều 28 2.3.2 Sự đẳng cấu giữa không gian vectơ n chiều với Rn Định lý 2.3.2 Tự đồng cấu tuyến tính f : V W là một phép đẳng cấu tuyến tính giữa không gian vectơ hữu hạn chiều V và W khi và chỉ khi dim V = dim W Chứng minh Giả sử V W thì có một đẳng cấu f : V W Khi đó, nếu r r r r r r { 1 , 2 , , n... thương U / có một cấu trúc không gian vectơ được định nghĩa như V sau (v +U)+(v´+V)= (v + v´)+U (v +U)= (v)+U Tập U / với cấu trúc không này được gọi là không gian thương của V theo V U Ví dụ Cho A, B là các không gian vectơ con của V Chứng minh rằng A B là không gian vectơ con của V khi và chỉ khi A B hoặc B A Chứng minh Nếu A B hoặc B A thì A B = A hoặc A B = B nên A B là không gian vectơ con của V... hai không gian vectơ, và f :V W là một ánh xạ tuyến tính thì a) kerf là không gian vectơ con của V b) Imf là không gian vectơ con của W Định lý 2.1.3 Ánh xạ tuyến tính f :V r kerf = {0 } W W là một đơn cấu khi và chỉ khi Định lý 2.1.4 Ánh xạ tuyến tính f :V W là toàn cấu khi và chỉ khi Im f = W 18 Định lý 2.1.5 Cho f :V W là ánh xạ tuyến tính V ,W là các không gian vectơ hữu hạn chiều Khi đó, các. .. U là không gian vectơ con của V Biết dimU = m < dimV = n Chứng minh a Cơ sở của V không chứa vectơ nào của U b Có cơ sở nào của V chứa đúng k vectơ độc lập tuyến tính của U (0 < k < m) 4 Chứng minh rằng với mọi không gian vectơ con V1 của V tồn tại một không gian vectơ con V2 sao cho V V1 V2 Không gian V2 có xác định duy nhất không? Tiểu kết chƣơng 1 Ở chương 1 ta đã nhắc lại định nghĩa và các. .. dimK n = n 2) Trường số phức £ là một £ - không gian vectơ với cơ sở {1} Đồng thời £ cũng là R - không gian vectơ với cơ sở {1,i} Do đó dim £ = 1, dim £ = 2 Tổng quát dim £ n = n, dim £ = 2n £ R £ R 3) R[x] không gian các đa thức hệ số thực, nó có cơ sở {1, x, x1 , x 2 , , x n , } 1.2.4 Không gian vectơ con Định nghĩa 1.2.6 Giả sử V là một K - không gian vectơ và W là một tập con của V Ta nói tập ... Mệnh đề 1.2.1 Giao họ không gian vectơ không gian vectơ V không gian vectơ V Định nghĩa 1.2.7 Cho X tâp không gian vectơ V Giao tất không gian vectơ V chứa X gọi không gian vectơ V sinh X kí hiệu... gọi không gian vectơ trường K ( hay K - không gian vectơ) Nếu K trường số thực không gian V gọi không gian vectơ thực Nếu K trường số phức V gọi không gian vectơ phức Ví dụ Không gian R n Không. .. tượng không gian người Một không gian hình học không gian vectơ Với mục đích, tìm hiểu kĩ đặc điểm, tính chất không gian vectơ mà tìm hiểu mối liên hệ đẳng cấu chúng Em chọn đề tài: Sự đẳng cấu không