Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Mục lục Lời mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối t-ợng phạm vi nghiên cứu Ph-ơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khoá luận Ch-ơng 1: Ph-ơng pháp dồn biến dồn biến mạnh Ph-ơng pháp dồn biến 1.1 Định lí dồn biến 1.2 Ph-ơng pháp dồn biến bất đẳng thức biến với cực trị đạt đ-ợc đối xứng 1.2.1 Bất đẳng thức biến với cực trị đạt tâm 1.2.2 Bất đẳng thức ba biến với cực trị đạt đ-ợc có tính đối xứng 15 1.3 Ph-ơng pháp dồn biến bất đẳng thức biến với cực trị đạt biên 17 1.4 Dồn biến hàm lồi 1.4.1 Khái niệm 21 1.4.2 Định lí 1(BĐT Jensen) 21 1.4.3 Định lí 22 1.5 Ph-ơng pháp dồn biến kĩ thuật hàm số 26 Ph-ơng pháp dồn biến mạnh 2.1 Bổ đề(Dồn biến tổng quát) 30 2.2 Định lí dồn biến mạnh 33 2.3 Chú ý dùng ph-ơng pháp dồn biến mạnh 34 2.4 Ví dụ 34 Ph-ơng pháp dồn biến toàn miền EMV 3.1 EMV với biên 40 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán 3.2 EMV với biên tam giác 43 Dồn biến không xác định 4.1 Định lí dồn biến không xác định 44 4.2 Ví dụ 45 Ch-ơng 2: ứng dụng ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh việc giải toán sáng tạo số toán sơ cấp ứng dụng ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh việc giải toán sáng tạo số toán sơ cấp 48 Các toán áp dụng 53 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Lời mở đầu 1) Lí chọn đề tài Nh- biết toán học bất đẳng thức chuyên đề hấp dẫn t-ơng đối khó với học sinh Nó đói hỏi phải có t- sáng tạo, thông minh, kiên trì song sâu tìm hiểu lôi Chuyên đề bất dẳng thức xuyên suốt trình học không lớp THCS, THPT mà ĐH đ-ợc giảng dạy Để giải toán bất đẳng thức có không ph-ơng pháp giải chẳng hạn: ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng, ph-ơng pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số, ph-ơng pháp tam thức bậc hai, Trong phương pháp ta không kể đến ph-ơng pháp đặc biệt ph-ơng pháp dồn biến Là sinh viên tr-ờng, với mong muốn nắm vững kiến thức, ph-ơng pháp, nắm kiến thức bậc THPT tạo tiền đề cho việc dạy học sinh sau Giúp học sinh không giảm bớt khó khăn mà phát huy tính tích cực, chủ động em trình học tập, đặc biệt kiến thức khó bất đẳng thức Chính em chọn đề tài Ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh ứng dụng giải toán sáng tạo toán sơ cấp 2) Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nắm kiến thức bất đẳng thức bậc THPT ph-ơng pháp chứng minh bất dẳng thức 3) Đối t-ợng phạm vi nghiên cứu a Đối t-ợng nghiên cứu: Nội dung bất đẳng thức ch-ơng trình toán THPT b Phạm vi nghiên cứu Kiến thức bất đẳng thức sách giáo khoa THPT 4) Ph-ơng pháp nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Xuất phát từ định nghĩa, tính chất bất đẳng thức, sách tham khảo, báo toán học tuổi trẻ, tổng kết rút kinh nghiệm thân thuận lợi khó khăn giải toán 5) Cấu trúc khoá luận Phần đầu: Ch-ơng 1: Ph-ơng pháp dồn biến định lí dồn biến mạnh Ch-ơng 2: ứng dụng ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh việc giải toán sáng tạo số toán sơ cấp Phần cuối: Kết luận Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHáP DồN BIếN Và ĐịNH Lí DồN BIếN MạNH Có nhiều ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị Trong có ph-ơng pháp dồn biến dồn biến mạnh Đây ph-ơng pháp quan trọng bất đẳng thức đại số Chúng ta biết đặc diểm nhiều bất đẳng thức đẳng thức xảy tất vài biến số Mục đích ph-ơng pháp tìm cách giảm biến số bất đẳng thức đ-a dạng đơn giản Để chứng minh trực tiếp cách khảo sát hàm biến chứng minh quy nạp Ph-ơng pháp dồn biến tìm cách giảm tối đa số biến đ-ợc Đối với toán có biến ph-ơng pháp dồn biến đ-ợc sử dụng hiệu PHƯƠNG PHáP DồN BIếN 1.1 ĐịNH Lý DồN BIếN Giả sử f(x1, x2, , xn ) hàm số liên tục đối xứng với tất n biến x1, x2, , xn xác định miền liên thông thoả mãn điều kiện sau: f(x1, x2, , xn ) f x1 + x2 , x1 + x2 , x , , x n 2 (1) Khi bất đẳng thức thoả mãn: f(x1, x2, , xn ) f(x, x, , x) Trong đó: x = x1 + x2 +.+ xn n Chú ý : o Khái niệm miền liên thông R đoạn khoảng có dạng : [a,b], (a, b], (a, b), (a, + ), o Điều kiện (1) biến đổi thành số dạng khác nh-: f(x1, x2, , xn ) f ( x1.x2, x1.x2, x3,, xn) Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán f(x1, x2, , xn ) x12 x 22 , f x12 x 22 , x3, , xn Ví dụ 1: (Bất đẳng thức AM - GM).Chứng minh với số thực d-ơng a1, a2, , an ta có a1 + a2 + + an n n a1a2an Chứng minh: Đặt f( a1, a2, , an) = a1 + a2 + + an n n a1a2an Ta có ( a1 a2)2 a1 + a2 a1a2 Nên suy a1 + a2 + + an n n a1a2an f(a1, a2, , an) a1a2 + a3 + + an n n a1a2an f( a1a2, a1a2, a3, , an) Đẳng thức xảy a1 = a2 Do f(a1, a2, , an) f( r, r, , r) với r = n a1a2an a1 + a2 + + an n n a1a2an a1 + a2 + + an n a1a2an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Ví dụ 2: (Bất đẳng thức Nesbit) Chứng minh với số d-ơng ta có a b c + + b+c a+c a+b Chứng minh: Đặt f(a, b, c) = Xét f( a, b, c) = a b c a+b + + t = b+c a+c a+b a2 + b2 + c(a + b) c + ab + c + c(a + b) a + b Mà ta có: (a + b)2 2(a2 + b2) a2 + b2 2t2 Khóa luận tốt nghiệp a Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán b 2 ab t2 ab Nên 2t2 + 2tc c + t + c + 2ct 2t f(a, b, c) = 2t(t + c) c + (t + c)2 2t = 2t c + t + c 2t = f(t, t, c) Do f(a, b, c) f(t, t, t) = Ví dụ 3: Giả sử a, b, c, d, e a+b+c với t = a + b + c + d + e = Chứng minh rằng: abc + bcd + cde + dea + eab Chứng minh: Đặt f(a, b, c, d, e) = abc + bcd + cde + dea + eab = ab(c + e) + d(bc + ce + ea) Mà ta có: a a+b a+b * f( , , c, d, e) = c 2 b 2 + a+b cd a+b a + cde + de + e a = (e + c) a * b b 2 +d b 2 a+b a+b c + ce + e 2 Nên f(a, b, c, d, e) ab f( a+b a+b , , c, d, e) 2 Khóa luận tốt nghiệp Vậy f( a, b, c, d, e) Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán f(r, r, r, r, r) = với r = Hay abc + bcd + cde + dea + eab a+b+c+d+e = 5 Đẳng thức xảy a = b = c = d = e = 1.2 PHƯƠNG PHáP DồN BIếN ĐốI VớI CáC BấT ĐẳNG THứC BA BIếN VớI CựC TRị ĐạT ĐƯợC ĐốI XứNG Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức f(a, b, c) với a, b, c biến số thực thỏa mãn tính chất Khi ta chứng minh b-ớc sau: - B-ớc 1: Đánh giá f(a,b,c) f( t, t, c) với t biến cho số (t, t, c) thoả mãn tính chất số (a, b, c) - B-ớc 2: Đánh giá f(t, t, c) 1.2.1 Bất đẳng thức ba biến với cực trị đạt tâm Đối với bất đẳng thức điều kiện dồn biến theo đại l-ợng trung bình nh- t = a+b , t = ab, t = x2 + y2 , kĩ thuật để dồn hai biến Ví dụ 1: Cho x, y, z Chứng minh : x + y + z 3 xyz Chứng minh: (1) x + y + z 3 xyz Đặt f(x, y, z) = x + y + z 3 xyz Bài toán trở thành chứng minh f(x, y, z) với x, y, z - B-ớc 1: Ta chứng minh f(x, y, z) f( t, t, z) với t = x+y Thật vậy, ta có: Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán x y 2 xy 3 xyz x y 2 z f(x, y, z) = x + y + z 3 xyz f(t, t, z) = 2t + z 3 t2z =x+y+z3 f(x, y, z) f(t, t, z) với t = x y 2 z x+y - B-ớc 2: Ta chứng minh f(t, t, z) = 2t + z 3 t2z Thật vậy, ta có (t + z) + (t + t2z) tz + 2t + z + 3 t2z ( tz + t t2z ) 2t + z + 3 t2z 2.2 t t2z tz với t = x+y t t2z 2t + z + t z t2z t2z 4 2t + z + 3 t2z t2z 2t + z f(t, t, z) với t = Vậy f(x, y, z) 2t + z + t z tz tz x+y Đẳng thức xảy x = y = z Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Ví dụ 2: Cho ba số a, b, c R Chứng minh rằng: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9(ab + bc + ca) ; (1) Chứng minh: Do vế trái (1) hàm chẵn với biến a, b, c nên cần chứng minh bất đẳng thức với a, b, c số thực d-ơng - B-ớc 1: Đặt f(a, b, c) = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) - 9(ab + bc + ca) với a, b, c Giả sử a b c Khi ta xét d = f (a, b, c) f( ab, ab, c) = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9(ab + bc + ca) (ab + 2)2(c2 + 2) + 9(ab + 2c ab) = (c2 + 2)[(a2 + 2)(b2 + 2) (ab + 2)2] 9c(a + b ab) = 2(c2 + 2)(a b)2 9c( a b )2 = ( a b )2 [ 2(c2 + 2)( a + b )2 9c] Hơn nữa, ta có a b * c c ab * ( a + b )2 ( a + b )2 Khi đó, ta có d c2 > ab c ab 4c ( a b )2 [ 2(c2 + 2).4c 9c] = ( a b )2 [8c3 + 7c] Hay d f (a, b, c) f( ab, ab, c) - B-ớc 2: Chứng minh f( ab, ab, c) Thật vậy, ta có f( ab, ab, c) = (ab + 2)2(c2 + 2) 9(ab + 2c ab) Đặt t = ab Biểu diễn f(t, t, c) d-ới dạng tam thức bậc hai ẩn c : 10 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Giả sử c = min{a, b, c} Ta chứng minh 4(a3 + b3 + c3) (a + b + c)(ab + bc + ca) 3abc 2(a b)(b c)(c a); (1) Thật vậy, Vế trái (1) đ-ợc biểu diễn (a b)2(a + b) + (b c)2(b + c) + (c a)2(c + a) + 2(a3 + b3 + c3 3abc) = (a b)2( a + b) + (b c)2(b + c) + (c a)2(c + a) + (a + b + c)((a b)2 + (b c)2 + (c a)2) = (a b)2(2a + 2b + c) + (b c)2(2b + 2c + a) + (c a)2(2c + 2a + b) Từ cách phân tích này, ta cần xét toán c = Với c = ta phải chứng minh 4(a3 + b3) ab(a + b) 2ab(b a) 4a3 + 4b3 + (6 1)a2b (6 + 1)ab2 Bất đẳng thức (vì 4b3 + (6 1)a2b 4ab2 (6 + 1)ab2 ) Vậy khai triển f(t), hệ số t, t2 d-ơng, tức f(t) phải tăng miền t Với c = min{a, b, c} ta có a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) 2(a b)(b c)(c a) a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) 2( a b)(b c)(c a) Trong a = a c, b = b c, c = c c = Nh- ta cần chứng minh toán đầu với c = Nh-ng tr-ờng hợp đ-ợc xét trên, toán đ-ợc chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c a= 3(3 5) 3(1 + 5) ,b= , c = hoán vị 2 3.2 EMV với biên tam giác 42 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + b c a a2 b2 c2 + + + a + b + c c a b (1) Chứng minh: (1) a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 b + c + a c a b + + + + + + 2(a + b + c) b c a c a b 3(a b)(b c)(c a)(a + b + c) (b + c)(b c)2 (a + c)(a c)2 + + abc bc ac + (b + a)(b a)2 ba 3(a b)(b c)(c a) a(b + c)(b c)2 + b(a + c)(a c)2 + c(b + a)(b a)2 + a+b+c (2) Giả sử c = max{a, b, c} Khi đó, ta có a(b + c) = a+b+c 1 + a b+c b(a + c) = a+b+c 1 + b a+c c(b + a) = a+b+c 1 + c b+a 1 + a x b + c 2x 1 + bx a+cx với với 1 + cx b+ax với x x [0, a + b c] [0, a + b c] x [0, a + b c] (vì độ dài cạnh tam giác lớn hiệu hai cạnh tam giác) f(a, b, c) f(a x, b x, c x) vi x hm f l hm đồng biến nên f(0) [0, a + b c] f(a + b c) Do cần chứng minh (2) với c = a + b Thật vậy, ta có (2) 3ab(b a) + a3(2b + a) + b3(2a + b) + (a + b)2(a b)2 2(a + b) 43 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán a4 2a3b a2b2 + 4ab3 + b4 (a2 ab b2)2 + 2ab3 0 Bất đẳng thức đ-ợc chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c DồN BIếN KHÔNG XáC ĐịNH UMV 4.1 Định lí (Định lý dồn biến không xác định U.M.V) Cho f hàm liên tục đối xứng xác định tập U( Rn) R thoả mãn điều kiện f(, x, , y, ) f(, Khi với (x1, x2, , xn) x+y x+y , , , ), f(, 0, , x + y, ) 2 U f(x1, x2, , xn) C t n t Trong Ct giá trị hàm f có t số số lại Nói cách khác, giá trị nhỏ biểu thức f(x1, x2, , xn) đạt đ-ợc số x1, x2, , xn có t số 0, số lại t giá trị nguyên {0, 1, , n 1} Chứng minh: Xét phép biến đổi sau: * Chọn số lớn số nhỏ số x1, x2, , xn, kí hiệu , * Nếu f(, , , , ) số , f , + , , + , ta thay bới trung bình cộng chúng mà giữ nguyên thứ tự dãy * Nếu f(, , , , ) f , , , + , trình dừng lại Nếu trình không dừng lại, theo bổ đề dồn biến tổng quát ta suy số xi tiến tới giới hạn x1 + x2 + + xn n Do f(x1, x2, , xn) Cn, ta có điều phải chứng minh 44 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Nếu trình dừng lại sau số hữu hạn b-ớc, ta coi tr-ờng hợp giống nh- dãy ban đầu có số Lại xét riêng với n biến lại, ph-ơng pháp quy nạp đơn giản ta có điều phải chứng minh 4.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b, c, d só thực không âm có tổng Chứng minh bất đẳng thức: 176 + abcd 27 27 abc + bcd + cda + dab Chứng minh Xét f(a, b, c, d) = abc + bcd + cda + dab 176 abcd 27 = ab(c + d) + cd(a + b) 176 abcd 27 a+b a+b 176 a b a b f , , c, d = (c + d) + cd(a + b) cd 27 2 f(0, a + b, c, d) = cd(a + b) a b a+b a+b f(a, b, c, d) f , , c, d = (c + d) ab 2 176 ab a b cd 27 a b 176 =(c + d cd) ab 27 f(a, b, c, d) f a+b a+b , , c, d 2 176 cd 27 f(a, b, c, d) f(0, a + b, c, d) = ab(c + d f(a, b, c, d) f(0, a + b, c, d) c+d 2 c + d 176 cd) 27 176 cd 27 Từ bất đẳng thức suy 45 Khóa luận tốt nghiệp f(a, b, c, d) Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán a+b a+b , , c, d ; f(0, a + b, c, d) 2 max f Theo định lý UMV max f(a, b, c, d) đạt đ-ợc số a, b, c, d có số a = b = c = d = Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh a1, a2, , an số thực không âm có tổng n (n 1) a12 a 22 n2 a n2 + na1a2an Chứng minh: Xét biểu thức f(a1, a2, , an) = (n 1) a12 a 22 a n2 + na1a2an Ta có: a1 + a2 a1 + a2 (a1 + a2)2 , , a , , a + a 32 *f n = (n 1) 2 +n a1 a2 2 * f(0, a1 + a2, a3, , an) = (n 1)((a1 + a2) + a * f(a1, a2, , an) f a n2 a 32 a n2 a n2 ) a1 + a2 a1 + a2 , , a3, , an 2 = (n 1) a12 (n 1) a 22 a1 a2 2 + na3a4an a1a a1 a2 2 (a1 a2)2 (a1 a2)2 = (n 1) n a3a4an 4 n(a1 a2)2 2(n 1) a a a = n n * f(a1, a2, , an) f(0, a1 + a2, a3, , an) 46 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán = (n 1) a12 = na1a2 Biểu thức a 22 a1 a2 + na1a2an 2(n 1) a3a4an n 2(n 1) a3a4an đ-ợc lặp lại hai cách dồn n Từ suy hai bất đẳng thức phải bất đẳng thức f(a1, a2, , an) f(a1, a2, , an) a1 + a2 a1 + a2 , , a3, , an 2 f(0, a1 + a2, a3, , an) f Vậy theo định lý UMV, ta cần chứng minh có n số a1, a2, , an số lại tất số 47 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán CHƯƠNG 2: ứNG DụNG PHƯƠNG PHáP DồN BIếN, dồn biến MạNH TRONG VIệC GIảI CáC BàI TOáN sáng tạo toán sơ cấp ứng dụng ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh việc giải toán sáng tạo toán sơ cấp Ví dụ 1: Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a3(b + c) + b3(c + a) + c3(a + b) Chứng minh: *) Ta có: * f(a, b, c) = a3(b + c) + b3(c + a) + c3(a + b) * f(a, t, t) = 2ta3 + 2t3(t + a) với t = b + c2 Xét d = f(a, b, c) f(a, t, t) = a3(2t b c) + a(b3 + c3 2t3) + t2(2bc 2t2) Giả sử a = min{a, b, c} Khi đó, ta có b3 + c3 2t3 = (b + c)(b2 bc + c2) 2t3 2t( b2 bc + c2) 2t3 (vì b + c 2(b2 + c2) = 2t) = t( 2b2 2bc + 2c2 (b2 + c2)) = t(b c)2 d a3(2t b c) + at(b c)2 t2(b c)2 f(a b, c) f(a, t, t) với t = *) Chứng minh f(a, t, t) (vì a < t a2 < t2) b + c2 với t = b + c2 48 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Thật vậy, đẳng thức t-ơng đ-ơng với 2a3t + 2t4 + 2t3a at(3 t2) t4 (3 2t2)t2(3 t2)2 (3 t4)2 3(t2 1)2(t4 3t2 + 3) ( với t) Vậy bất đẳng thức đ-ợc chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh với 1+ sinA + + ABC ta có + sinB + sinC Chứng minh: Đặt f(A, B, C) = 1+ sinA + 1 + + sinB 1 + sinC *) Ta có f(t, t, C) = + sint + 1 + sinC với t = A+B Xét d = f(A, B, C) f(t, t, C) = Mà 1+ sinA 1+ sinA + + 1 + sinB + 1 + sinB sint (1 + sinA)(1 + sinB) + sinA + + sinB 2+ sinA + 2+ 2(sinA + sinB) 1+ sin A+B sinB = + sint 49 Khóa luận tốt nghiệp d Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán f(A, B, C) f(t, t, C) với t = *) Chứng minh f(t, t, C) với t = A+B A+B Thật vậy, ta có f(t, t, C) = + + sint 1 + sinC Giả sử C = max{A, B, C} A+B A+B 2C C f(t, t, C) 1+ sinC = g(C) với C ; Mà hàm g(C) = g(C) 1+ sinC hàm nghịch biến khoảng C g( ) = với C 2 ; ; 2 f(t, t, C) Vậy bất đẳng thức đ-ợc chứng minh Ví dụ 3: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + a + b + c + ab + bc + ca Chứng minh: Ta có: * f(a, b, c) = a2 + b2 + c2 + a b c ab bc ca * f(a, bc, bc) = a2 + 2bc + a bc 2a bc bc d = f(a, b, c) f(a, bc, bc) =( b c)2(( b + c)2 a) 50 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Giả sử a = min{a, b, c} ( b + c)2 bc = (vì abc = 1) a (vì a 1) + a d f(a, b, c) f(a, bc, bc) Ta chứng minh f(a, bc, bc) Bất đẳng thức t-ơng đ-ơng với a2 + bc + a bc 2a bc a2 + +3a a a a a2 + 1 2+2 a (vì a + a 2a + 0 a + a (bất đẳng thức đúng) a2 + 2) Vậy bất đẳng thức đ-ợc chứng minh Ví dụ 4: Cho ABC không tù Tìm giá trị nhỏ biểu thức sinA + sinB + sinC P = cosA + cosB + cosC Chứng minh Giả sử A = max{A, B, C} A BC Đặt x = cos ; x [0; 1] 2 A sinA + 2cos x P = f(x) = A cosA + 2sin x f(x) = 3A cos A cos A 2sin x 2 51 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán f(x) nghịch biến [0; 1] f(x) A sinA + 2cos = g(A) A cosA + 2sin 3A cos Ta có g(A) = A cos A 2sin g(A) nghịch biến g(A) P 1+ ; 2 g =1+ 2 Đẳng thức xảy A = ; B = C = hoán vị Vậy giá trị nhỏ biểu thức P + Ví dụ 5: Cho a, b, c cạnh tam giác Tìm GTLN biểu thức a3 + b3 + c3 + 15abc T= a b + b2a + b2c + c2b + a2c + c2a Chứng minh: Giả sử a b c Đặt f(a) = 3(a2b + b2a + b2c + c2b + a2c + c2a) a3 b3 c3 15abc f(b) = 3(b3 + b3 + b2c + c2b + b2c + c2b) b3 b3 c3 15b2c d = f(a) f(b) =(a b)[3b(a + b) + 3b2 + 3c(a + b) + 3c2 (a2 + b2 + ab) 15bc] = (a b)(2ab + 5b2 + 3ac + 3c2 12bc) = (a b)g(a) 52 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Với g(a) = 2ab + 5b2 + 3ac + 3c2 12bc g(b) = 2b2 + 5b2 + 3bc + 3c2 12bc g(a) g(b) = 2b(a b) + 3c(a b) = (a b)(2b + 3c) Mà g(b) = 7b2 + 3c2 9bc (2 21 9)bc f(a) f(b) Hơn nữa, ta có f(b) = 3(b3 + b3 + b2c + c2b + b2c + c2b) b3 b3 c3 15b2c = 4b3 + 6c2b 9b2c c3 = b3 c3 + 3b3 3b2c + 6c2b 6b2c = (b c)[b2 + c2 + bc + 3b2 6bc] = (b c)[4b2 + c2 5bc] =(b c)[4b(b c) c(b c)] = (b c)2(4b c) f(a) T Các toán áp dụng Bài toán 1: Cho ABC Chứng ming rằng: 3 sinA + sinB + sinC H-ớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi f(x) = - sinx Bài toán 2: Cho ABC Chứng ming rằng: cosA + cosB + cosC H-ớng dẫn: Vì hàm f(x) = - cosx có f(x) = cosx nên lồi đoạn 0; nên ta A+B giả sử A B C và ta dồn hai biến A, B 2 Sau chứng minh toán với biến Bài toán 3: Cho a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 148 Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 + d4 + abcd 27 27 H-ớng dẫn: Giả sử a b c d 148 Đặt f(a, b, c, d) = a4 + b4 + c4 + d4 + abcd 27 27 53 Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh d = f(a, b, c, d) f Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán a+c a+c , b, ,d 2 Do đó, theo định lí S.M.V, ta cần chứng minh tr-ờng hợp a = b = c = 1d 54 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Kết luận Ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh ứng dụng giải toán sáng tạo số toán sơ cấp từ lâu đối t-ợng nghiên cứu Toán học lôi quan tâm nhiều ng-ời Ph-ơng pháp dồn biến ph-ơng pháp dồn biến mạnh đa dạng phong phú Trong khuôn khổ khóa luận em đề cập số ph-ơng pháp dồn biến th-ờng gặp nh- : ph-ơng pháp dồn biến bất đẳng thức biến với cực trị đạt đ-ợc đối xứng, ph-ơng pháp dồn biến bất đẳng thức biến với cực trị đạt biên, ph-ơng pháp dồn biến hàm lồi, ph-ơng pháp dồn biến kĩ thuật hàm số, ph-ơng pháp dồn biến toàn miền, ph-ơng pháp dồn biến mạnh, dồn biến không xác định, Qua nghiên cứu em rút đ-ợc số kết luận sau: - Các toán ph-ơng pháp dồn biến th-ờng có cách giải tổng quát - Một toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhỏ vận dụng nhiều ph-ơng pháp dồn biến để giải Do đòi hỏi ng-ời học phải linh hoạt, sáng tạo lựa chọn kiến thức để có cách giải ngắn gọn xác Ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh ứng dụng giải toán sáng tạo số toán sơ cấp vấn đề lý thú sâu rộng, đòi hỏi thời gian tìm tòi Hy vọng nhận đ-ợc đóng góp quý báu từ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! 55 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán Tài liệu tham khảo Trong khoá luận em sử dụng tài liệu tác giả sau với tất chân trọng biết ơn: Trần Tuấn Anh, Bùi Việt Anh, Nguyễn Anh C-ờng, Trần Ph-ơng(2009), Những viên kim c-ơng bất đẳng thức toán học, Nhà xuất tri thức Trần Quốc Anh, Võ Quốc Bá Cẩn(2010), Bất đẳng thức lời giải hay, Nhà xuất Hà Nội Phạm Kim Hùng(2007), Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Hà Nội Phan Huy Khải(1994), 500 Bài toán bất đẳng thức, Nhà xuất Hà Nội Nguyễn Văn Mậu(2006), Bất đẳng thức, định lý áp dụng, Nhà xuất Giáo dục 56 [...]... ta có thể áp dụng ph-ơng pháp dồn biến nh-ng cách giải rất khó nên ta sẽ dùng định lý dồn biến mạnh 2.3 Chú ý khi dùng ph-ơng pháp dồn biến mạnh Ngoài ra, phép biến đổi có thể khác hơn chẳng hạn thành ab, a2 + b2 hoặc bất kì một dạng trung bình nào khác Tuỳ theo giả thiết 2 của bài toán mà ta chọn cách dồn biến thích hợp Ph-ơng pháp dồn biến mạnh có thể áp dụng cho k biến trong tổng số n biến (n k) Do... vì ta chọn với 2 biến bất kì Minh chứng rõ nhất cho điều này là với các bất đẳng thức 4 biến, và rõ ràng để tháo gỡ kho khăn này ta cần phải thay đổi ít nhiều trong t- t-ởng phép dồn biến Đó chính là các phép biến đổi , trong phép dồn biến này ta chỉ cần chọn ra số nhỏ nhất hoặc lớn nhất để tiến hành kiểm tra bất đẳng thức điều kiện mà thôi Với các bài toán 4 biến, ta sẽ sắp xếp các biến theo thứ tự... Vậy f(xi) = max{f(p), f(q)} mà xi {p, q} 1.5 PHƯƠNG PHáP DồN BIếN BằNG Kĩ THUậT HàM Số Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức f(a, b, c) 0 với a, b, c là các biến số thực thỏa mãn các tính chất nào đó Khi đó ta chứng minh 2 b-ớc sau: B-ớc 1: Đánh giá f(a, b, c) f( t, t, c) với t là biến sao cho bộ số (t, t, c) thoả mãn mọi tính chất của bộ số (a, b, c) Bằng cách xét hàm g(s) = f(t + s, t s, c) với s... max 3, 2 2k 2k 3 (2) 2 Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh 2 PHƯƠNG PHáP DồN BIếN Mạnh f(m) max 3, 2.1 Bổ đề (Dồn biến tổng quát) Giả sử a1, a2, , an là dãy các số thực tuỳ ý Ta thực hiện liên tiếp phép biến đổi sau a) Chọn i, j {1, 2, , n} sao cho: ai = min(a1, a2, , an); aj = max(a1, a2, , an) 30 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán b) Thay ai và aj bởi ai + aj nh-ng vẫn giữ... sử | S | = | P | = 0 Khi đó với mọi k > 1 thì số a1 + an không thể là số nhỏ nhất hay lớn nhất 2 k k k của dãy a1 , a 2 , , a n và nh- vậy ta xét bài toán hẹp hơn với n 1 số, sau khi 32 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán đã bỏ đi một số a1 + an Bằng ph-ơng pháp quy nạp đơn giản ta sẽ suy ra đ-ợc 2 điều phải chứng minh 2.2 Định lý dồn biến mạnh( Stronger mixing variable SMV) Nếu f: I... hiểu dồn biến là đẩy hai biến lại gần nhau thì trong trường hợp này ta phải hiểu dồn biến là đẩy một biến ra biên Nh- xét bất đẳng thức f(x, y, z) f(x, y, z) 0 với x, y, z 0, ta sẽ chứng minh f(0, s, t), trong đó s, t là các đại l-ợng thích hợp sinh ra từ các biến a, b, c Thích hợp ở đây chính là việc bộ số (0, s, t) phải thoả mãn tất cả các 17 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán. .. Toán B-ớc 2: Chứng minh g(s) tăng vói mọi s 0, và ta thu đ-ợc điều phải chứng minh Ví dụ 1: Cho k > 0 và a, b, c là các số không âm và chỉ có tố đa một số bằng 0 Chứng minh rằng k a b b c k c a c k min 2, a b 3 2k (*) Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng khi 2 = 3 2k k= ln3 1 ln2 (vì bất đẳng thức đúng trong tr-ờng hợp này thì đúng trong tr-ờng hợp tổng quát) Giả sử a + b + c = 1 và. .. chỉ khi a = b = 1, c = 0 hoặc các hoán vị của nó Nhận xét 3: Khác với phần tr-ớc, khi xét những bất đẳng thức có cực trị có tính đối xứng và các biến thoả mãn điều kiện nào đó thì cách thức dồn biến của chúng ta sẽ có điểm khác Chẳng hạn nh- đối với điều kiện ab + bc + ca = 1 khi chúng ta muốn dồn 2 biến bằng nhau tức dồn f(a, b,c) f(t, t, c) thì biến t ở đây không phải là một đại l-ợng trung bình của... b = c = 1 Nhận xét 2: Việc chứng minh không cần sử dụng một công cụ mạnh nào cả, thậm chí phù hợp với trình độ THCS ý t-ởng chính trong ph-ơng pháp chứng minh là thực hiện hai b-ớc sau (đối với bất đẳng thức f(a, b, c) - Chứng minh f(a, b, c) f(a, bc, bc) nếu a - Chứng minh f(a, b, c) 0 nếu b = c 0): b c Từ hai b-ớc này thì hiển nhiên ta suy ra kết quả bài toán Ta chứng minh nhiều đến b-ớc thứ nhất,... 3 biến( th-ờng là 3 biến nhỏ nhất hoặc 3 biến lớn nhất) Ví dụ: Nếu a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) (2 + a2)(2 + b2)(2 + c2)(2 + d2) b) (1 + a2)(1 + b2)(1 + c2)(1 + d2) ở câu a) đẳng thức xảy ra khi 4 biến bằng nhau nên ta có thể dùng ph-ơng pháp dồn biến 33 Khóa luận tốt nghiệp Đặng Thị Kim C-ơng K33C- Toán ở câu b) dẳng thức chỉ xảy ra khi 3 biến ... pháp dồn biến, dồn biến mạnh việc giải toán sáng tạo số toán sơ cấp ứng dụng ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh việc giải toán sáng tạo số toán sơ cấp 48 Các toán áp dụng 53 Kết... trúc khoá luận Phần đầu: Ch-ơng 1: Ph-ơng pháp dồn biến định lí dồn biến mạnh Ch-ơng 2: ứng dụng ph-ơng pháp dồn biến, dồn biến mạnh việc giải toán sáng tạo số toán sơ cấp Phần cuối: Kết luận Khóa... Kim C-ơng K33C- Toán CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHáP DồN BIếN Và ĐịNH Lí DồN BIếN MạNH Có nhiều ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị Trong có ph-ơng pháp dồn biến dồn biến mạnh Đây ph-ơng