Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn PHN A: M U Lí DO CHN TI Hỡnh hc khụng gian l mt nhng mụn hc khú ca chng trỡnh toỏn ph thụng bi ngoi tớnh cht ch, logic nú cũn ũi hi tớnh tru tng húa cao c bit phộp bin hỡnh l mt phn kin thc tng i khú i vi hc sinh Cỏc phộp bin hỡnh cú vai trũ vụ cựng quan trng, nú khụng ch cung cp thờm mt cụng c mi gii toỏn m cũn cho hc sinh lm quen vi cỏc phng phỏp t v suy lun mi, bit nhỡn nhn s vt hin tng xung quanh s ng v bin i Phộp bin hỡnh khụng gian cú liờn h cht ch vi phộp bin hỡnh mt phng Nhiu bi toỏn khụng gian cú th suy t cỏc bi toỏn mt phng Phộp bin hỡnh khụng gian l mt cụng c hu hiu gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian Tuy nhiờn cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lớ v phộp bin hỡnh c cp chng trỡnh toỏn ph thụng mi ch gii hn mt phng m cha c m rng khụng gian Vỡ nhng lớ trờn, thờm vo ú l s say mờ, yờu thớch mụn hỡnh nờn tụi ó quyt nh la chn nghiờn cu v phộp bin hỡnh khụng gian Do khuụn kh ca mt khúa lun tt nghip, thi gian v nng lc cũn cú hn nờn tụi ch i sõu nghiờn cu v phộp quay v ng dng ca nú vo bi toỏn chng minh ú chớnh l lớ tụi chn ti: Phộp quay v ng dng ca nú vo bi toỏn chng minh khụng gian MC CH NGHIấN CU Nghiờn cu v phộp quay khụng gian v ng dng ca nú vo mt s lp bi toỏn chng minh c bn NHIM V NGHIấN CU - Trỡnh by c s lý thuyt ca phộp quay khụng gian SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn - Trỡnh by v phộp quay quanh trc khụng gian - Xõy dng h thng cỏc vớ d minh th hin ng dng ca phộp quay vo lp bi toỏn chng minh c bn: + Chng minh quan h vuụng gúc v quan h song song + Chng minh ng thc hỡnh hc + Chng minh bt ng thc hỡnh hc V mt s bi toỏn chng minh khỏc PHNG PHP NGHIấN CU Nghiờn cu lớ lun, s dng cỏc cụng c toỏn hc CU TRC LUN VN Chng 1: C s lý thuyt Chng 2: Phộp quay khụng gian Chng 3: ng dng ca phộp quay khụng gian vo bi toỏn chng minh SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn PHN B: NI DUNG CHNG 1: C S Lí THUYT 1.1 PHẫP BIN HèNH 1.1.1 nh ngha nh ngha Gi T l mt hp im, song ỏnh f : T T t T lờn chớnh nú c gi l mt phộp bin hỡnh ca hp T Nu im M l nh ca M qua phộp bin hỡnh f thỡ ta núi phộp bin hỡnh f bin im M thnh im M nh ngha f l mt phộp bin hỡnh v H l mt hỡnh no ú Hỡnh H l hp tt c cỏc nh ca cỏc im ca hỡnh H gi l nh ca hỡnh H qua phộp bin hỡnh f H' f H M' f M : M H im M c gi l im bt ng (im kộp, im t ng) ca hỡnh H nu f M f M M M Hỡnh H c gi l hỡnh bt ng nu mi M H thỡ ta cú nh ngha Cho phộp bin hỡnh f : T T Khi ú, ỏnh x ngc f cng l mt phộp bin hỡnh Ta gi ú l phộp bin hỡnh o ngc ca phộp bin hỡnh f (hay l nghch o ca phộp bin hỡnh f) nh ngha Phộp bin hỡnh f ca T c gi l phộp bin hỡnh i hp nu f Id ca nú trựng SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang D thy lỳc ú ta cú f v phộp bin hỡnh nghch o f Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn 1.1.2 Vớ d Vớ d 1: Cho ng thng d Vi mi im M ta xỏc nh M' l hỡnh chiu (vuụng gúc) ca M trờn d thỡ ta c mt phộp bin hỡnh Phộp bin hỡnh ny c gi l phộp chiu (vuụng gúc) lờn ng thng d M d M' Vớ d 2: r Cho vect u , vi mi im M ta xỏc nh im M' theo quy tc uuuuur r MM' = u Nh vy ta cng cú mt phộp bin hỡnh Phộp bin hỡnh hỡnh ú r c gi l phộp tnh tin theo vect u u M M' Vớ d 3: Vi mi im M ta xỏc nh im M trựng vi im M thỡ ta cng cú mt phộp bin hỡnh Phộp bin hỡnh ú c gi l phộp ng nht M M 1.2 TCH CA HAI PHẫP BIN HèNH Gi s f v g l hai phộp bin hỡnh ca T ó cho Khi ú ỏnh x tớch ca f v g cng l mt song ỏnh t T vo T nờn tớch ú cng l phộp bin hỡnh ca T Ta gi phộp bin hỡnh ú l phộp bin hỡnh tớch ca f v g Kớ hiu: g f SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn 1.3 PHẫP BIN HèNH AFIN 1.3.1 nh ngha Phộp bin hỡnh ca khụng gian clit E3 bin ng thng thnh ng thng gi l phộp bin hỡnh afin gi tt l phộp afin 1.3.2 Tớnh cht a) Phộp afin E3 bin mt phng thnh mt phng b) Phộp afin bo tn tớnh song song ca hai ng thng c) Phộp afin bo ton s bng ca cỏc on thng nh hng d) Phộp afin bin vect tng thnh tng cỏc vect e) Phộp afin bo tn t s n ca ba im thng hng 1.3.3 Phõn loi + Trong E2, hai tam giỏc: ABC v ABC c gi l cựng chiu nu trờn ng trũn ngoi tip ca chỳng chiu quay i t A n B, t B n C, t C n A cựng chiu quay t A n B, t B n C, t C n A + Trong E3, hai t din ABCD v ABCD c gi l cựng chiu nu hai gúc tam din ABCD v ABCD cựng hng Phộp afin E2 (E3) c gi l phộp afin loi nu hai tam giỏc (hai t din) xỏc nh nú l cựng chiu Ngc li ta bo l phộp afin loi 1.4 PHẫP BIN HèNH NG C 1.4.1 nh ngha Phộp bin hỡnh ca khụng gian En ( n 2, ) bo tn khong cỏch gia hai im c gi l phộp ng c 1.4.2 Tớnh cht a) Phộp ng c l phộp afin SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn b) Phộp ng c bo ton ln ca gúc phng c) Phộp ng c bin ng trũn thnh ng trũn (trong E2), bin mt cu thnh mt cu (trong E3) 1.4.3 iu kin xỏc nh phộp ng c a) Trong E2, phộp ng c c xỏc nh bi hai tam giỏc bng b) Trong E3, phộp ng c c xỏc nh bi hai t din bng Trong ú hai t din c gi l bng nu chỳng cú cỏc cnh tng ng bng 1.4.4 Phõn loi Phộp ng c c gi l phộp di hỡnh nu nú l phộp afin loi Ngc li ta gi phộp ng c l phộp phn chiu SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn CHNG 2: PHẫP QUAY TRONG KHễNG GIAN 2.1 NH HNG TRONG MT PHNG 2.1.1 nh ngha Trong mt phng cho im O thỡ xung quanh O cú hai chiu quay: chiu quay cựng chiu kim ng h v chiu ngc li Nu chn mt hai chiu quay ú lm chiu dng thỡ chiu ngc li l chiu õm v ú ta núi mt phng ó c nh hng Thụng thng ngi ta chn chiu quay ngc vi chiu kim ng h lm chiu dng o (-) (+) Hỡnh 2.1.2 Gúc nh hng gia hai tia nh ngha Trong mt phng (P) ó c nh hng ta gi gúc nh hng gia hai tia Ox, Oy ly theo th t ú l gúc m tia Ox phi quay theo mt chiu xỏc nh n trựng vi v trớ ca tia Oy uuur uuur Gúc nh hng ú c kớ hiu l Ox, Oy Trong ú Ox gi l tia u, Oy gi l tia cui ca gúc S o ca gúc ú l dng hay õm tựy theo tia u quay xung quanh im O cho nú trựng lờn tia cui theo chiu dng ca mt phng SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn y x o o y x Hỡnh 2.a Hỡnh 2.b uuur uuur Trong hỡnh 2.a thỡ Ox, Oy uuur uuur Trong hỡnh 2.b thỡ Ox, Oy Nhn xột Nu l giỏ tr ca gúc nh hng gia hai tia Ox v Oy thỡ nhng giỏ tr khỏc l: ' k2 k Z H thc Sal Cho cỏc tia OA1, OA2, OA3,, OAn mt phng nh hng ta cú h thc Sal nh sau: OA1 , OA OA , OA OA n 1, OA n OA1, OA n k2 k Z 2.1.3 Gúc nh hng gia hai ng thng nh ngha Trong mt phng (P) ó c nh hng ta xột hai ng thng a v b + Nu a v b ct ti O thỡ gúc nh hng gia hai ng thng a v b ly theo th t ú l gúc m ng thng a phi quay theo mt chiu xỏc nh n trựng vi v trớ ca ng thng b Gúc nh hng ú c kớ hiu l (a, b) Trong ú: a gi l ng thng u, b gi l ng thng cui ca gúc S o ca gúc ú l dng hay õm tựy theo chiu quay ca a xung quanh O n trựng vi b theo chiu dng hay õm ca mt phng + Nu a // b hoc a b thỡ a, b k k Z SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn a b o o b a Hỡnh a Hỡnh b a ab b Hỡnh c Hỡnh d Trong hỡnh a thỡ a, b Trong hỡnh b thỡ a, b Trong hỡnh c thỡ a, b 00 Trong hỡnh d thỡ a, b 1800 Nhn xột Nu l mt giỏ tr ca gúc nh hng gia hai ng thng a v b thỡ cỏc giỏ tr cũn li cú dng: ' k k Z H thc Sal Trong mt phng ó c nh hng cho cỏc ng thng a1, a2,, an ct ti O Khi ú ta cú: a1 , a a2 , a3 a n 1, a n a1 , a n k k Z 2.2 NH HNG TRONG KHễNG GIAN Trong khụng gian cho ng thng ó c nh hng Xung quanh s cú hai chiu quay Nu ta chn mt chiu l chiu dng, mt chiu l chiu õm thỡ ta núi rng ta ó nh hng c khụng gian SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn 2.3 PHẫP QUAY QUANH TRC TRONG KHễNG GIAN 2.3.1 nh ngha Trong khụng gian E3, cho trc d v gúc phng nh hng ( 00 1800 ) Phộp bin hỡnh ca E3 cho ng mi im M vi im M' tha món: a) Hai im M , M' nm trờn mt phng (P) vuụng gúc vi d ti O b) OM OM ' c) Nu chiu dng ca mt phng (P) l chiu dng ca nỳt chai uuuur uuuur tin theo chiu dng ca trc d thỡ OM, OM ' Gi l phộp quay khụng gian quanh trc d, gúc quay Kớ hiu: Q d, hay Q d d A1 A1' A2' A2 A4' A4 A3' A3 Hỡnh *) T nh ngha phộp quay quanh trc ta cú cỏch tỡm nh ca im khụng gian qua phộp quay quanh trc nh sau: Gi s A, B l hai im bt kỡ v A, B l nh ca chỳng qua phộp quay quanh trc d vi gúc quay tỡm A, B ta cn tin hnh cỏc bc: + Dng cỏc mt phng (P) cha A v (Q) cha B cựng vuụng gúc vi d SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Do ABCD l t din u nờn D1D2D3 l tam giỏc u Gi K1, K2 ln lt l nh ca K qua phộp quay QBC v QCA Gi H1, H2 ln lt l nh ca H qua phộp quay QAB v QAC Ta cú: Q AB : Q AC : Q AC : H a H1 D a D1 H a H2 D a D3 K a K2 D a D3 (vỡ H AD ) H1 AD1 H2 AD3 (vỡ H AD ) K2 CD3 (vỡ K CD ) (1) (2) Theo tớnh cht ca phộp quay ta cú: KH K H Q BC : K a K1 D a D2 K1 CD2 (3) (vỡ K CD ) Mt khỏc N BC nm mt phng trung trc ca KK1 Tng t M AB nm mt phng trung trc ca HH1 NK1 MH1 NK MH NK1 MH1 NK MH Vy di ng gp khỳc K1NMH1 KN NM MH Kớ hiu: A l phộp i xng qua A Gi K ' l nh ca K qua phộp i xng trc A Ta cú: A: D3 a D1 K2 a K ' C a C' A: ACD3 a AC 'D1 T (1) v (2) ta cú: AH1 AH (cựng bng AH ) A: K H a K ' H1 K H2 A: H a H1 K ' H1 (tớnh cht phộp quay) SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán (4) Trang 36 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn T (3) v (4) ta cú: KH K 'H1 (cựng bng K H ) Ta cú: KN NM MH HK K1N NM MH1 H1K ' Vy chu vi thit din MNKH bng di ng gp khỳc K1NMH1K ' v khụng nh hn di K1K ' Ta cú: K 'D1 K D3 K1D2 (cựng bng KD theo tớnh cht phộp quay) v K ' D1 // K1D (hay chớnh l C 'D1 // CD3 ) K 'K1 D1D 2BD BD 2a Vy chu vi thit din t giỏc ca t din khụng nh hn 2a (pcm) Vớ d 2: Hỡnh chúp SABC cú SA = 1, cỏc gúc phng nh S bng 300 Chng minh rng chu vi tam giỏc ABC ln hn Chng minh s C A' A'' B A Hỡnh 19 Kớ hiu: QSB, QSC ln lt l cỏc phộp quay quanh SB v SC Ta cú: QSB : A a A ' QSC : A a A'' cho A ', A '' SBC ; A' v C nm khỏc phớa so vi ng thng SB, A'' v B nm khỏc phớa so vi ng thng SC (hỡnh 19) SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Ta cú: A ' B AB; A ''C AC (theo tớnh cht phộp quay) Trong mt phng SBC ta cú A 'BCA '' l ng khp khỳc cú di bng chu vi ABC v ln hn di ca A'A'' Theo tớnh cht bo ton gúc ca phộp quay ta cú: A 'SB BSA 300 A ''SC CSA 300 Mt khỏc, theo gi thit BSC 300 A 'SA '' A 'SB BSC CSA '' 90 M SA ' SA '' (vỡ cựng bng SA) Vy SA 'A '' vuụng cõn ti S A'A'' Vy chu vi ABC ln hn (pcm) Vớ d 3: Cho hỡnh lp phng cnh bng Chng minh rng chu vi ca mt thit din lc giỏc khụng nh hn Chng minh Gi s hỡnh lp phng ABCD.A1B1C1D1 cú cnh bng Gi MNEFKH l thit din lc giỏc ca hỡnh lp phng Ta cn chng minh chu vi lc giỏc MNEFKH Gi s M AB, N BC, E CC1 , F C1D1 , K A1D1 , H AA1 (hỡnh 20) Ta thc hin cỏc phộp quay quanh cnh AB, BC, CD, DA ca hỡnh vuụng ABCD, gúc quay 900 a mt bờn ca hỡnh lp phng thnh hỡnh vuụng nm mt phng (ABCD) 0 0 900 90 90 90 90 Kớ hiu: Q AB , Q BC , QCD , Q DA , Q A1D1 l cỏc phộp quay quanh cỏc ng thng tng ng vi gúc quay 900 Kớ hiu: hv (ABCD) l hỡnh vuụng ABCD SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp 90 + Q AB : GVHD: Nguyễn Văn Vạn A1 a A hv ABB1A1 a hv ABB2 A B1 a B2 Q90 AA1 a H1 AA2 AB : H Ta cú: MH MH1 (vỡ M AB nm mt phng trung trc ca HH1 ) (1) 90 + Q BC : B1 a B3 hv BCC1B1 a hv BCC3B3 C1 a C3 Q90 AB : E CC1 a E1 CC3 V ta cú: NE NE1 (vỡ N BC nm mt phng trung trc ca EE1 ) (2) Q90 CD : + Q90 CD : CC EF E F1 (tớnh cht phộp quay) (3) F C1D1 a F1 C D Q90 AD : hv CDD1C1 a hv CDD 2C D1 a D E CC1 a E Q90 AD : + C1 a C2 A1 a A hv AA1D1D a hv AA 3D3D D1 a D3 H AA1 a H AA K A1D1 a K1 A D3 KH K1H (tớnh cht phộp quay) (4) Ta cú: A1 a A3 0 90 Q90 AD Q A1D1 : D1 a D3 ' B1 a B hv A1B1C1D1 a hv A3B'C'D3 C1 a C' 0 90 Q90 AD QA1D1 : K A1D1 a K1 A3D3 F C1D1 a F2 C'D3 KF K1F2 (tớnh cht phộp quay) (5) SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 39 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn D1 F C1 K A1 F2 F1 D2 H C' E B1 E2 E1 D3 C D K1 B' C2 C3 N A3 A H2 B M B3 H1 A2 B2 Hỡnh 20 F1 D2 C2 D'' F1' E2 C' F2 D3 D E1 C C3 N K1 A B' A3 B H2 B3 M H1 D''' K1' A2 B2 F' C'' B'1 Hỡnh 21 SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 40 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn T (1), (2), (3), (4) v (5) ta suy chu vi thit din lc giỏc MNEFKH chớnh bng tng di ng gp khỳc H1MNE1, F2K1H2 v di on thng E2F1 (6) Ta thy cỏc ng gp khỳc trờn u thuc mt phng (ABCD) (hỡnh 21) Trong mt phng (ABCD) ta thc hin cỏc phộp quay gúc 900 sau: A2 + Q90 A : A3 a D3 a D''' Q90 A : H2 AA3 a H1 AA ' K1 A3D3 a K A2D H 2K1 ''' H1K1' (tớnh cht phộp quay) (7) o 90 ' '' + QA : C a C Q90 F2 A : D3C' a F2' D'''C'' Suy ra: K1F2 = K1' F2' (tớnh cht phộp quay) 90 D thy qua phộp quay Q A hv ADD3 A v (8) hv D3A3B'C' ln ''' ' ' ''' lt bin thnh hv AA D A v hv D A B1C (nh hỡnh 21) -90 + QC : C2 a C3 D2 a D'' QC90 : E2 CC2 a E1 CC3 ' F1 C2 D2 a F C3D '' E F1 = E1F1' (tớnh cht phộp quay) (9) T (6), (7), (8) v (9) ta cú: H1M MN NE1 E F1 F2 K1 K1H = H1M MN NE1 E1F1' F2' K1' K1' H = F2' K1' K1' H H1M MN NE1 E1F1' SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 41 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Vy chu vi thit din lc giỏc bng di ng gp khỳc F2' K1' H1MNE1F1' Ta thy ng gp khỳc ny nm trong hỡnh bỡnh hnh D'''D''C3C'' Ta cú: D'''D'' C3C'' (bng tng di ng chộo ca hỡnh vuụng cú cnh bng 1) Ta thy ng gp khỳc F2' K1' H1MNE1F1' cú hai im u l F2' v F1' Ta i chng minh: F1' F2' D''D''' Tht vy, phộp quay l phộp ng c nờn ta suy ra: D'''F2' Vy: D'''F2' D3F2 D1F D2 F1 D''F1' D''F1' Mt khỏc: D'''F2' / / D''F1' D''' D'' F1' F2' l hỡnh bỡnh hnh F1' F2' = D''D''' Vy ng khp khỳc F2' K1' H1MNE1F1' cú di khụng nh hn on F1' F2' T ú suy chu vi thit din lc giỏc ca hỡnh lp phng cnh bng khụng nh hn Tc l chu vi lc giỏc MNEFKH Du = xy v ch F2' , K1' , H1 , M, N, E1, F1' thng hng (pcm) 3.3.4 Mt s bi toỏn chng minh khỏc s dng phộp quay Vớ d 1: Cho t din ABCD cú AB = CD, AC = BD, AD = BC Gi H l chõn ng vuụng gúc h t D xung mt phng (ABC) Chng minh rng H thuc ABC hoc cỏc tam giỏc i xng vi ABC qua trung im cỏc cnh ca nú Chng minh Kớ hiu: QAB, QBC, QCA ln lt l cỏc phộp quay quanh AB, BC, CA SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 42 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn D D3 A D1 H C B D2 Hỡnh 22 Cỏc phộp quay QAB, QBC, QCA bin D ln lt thnh D1 , D2 , D3 ABC cho: C v D1 nm khỏc phớa so vi ng thng AB, A v D2 nm khỏc phớa so vi ng thng BC, B v D3 nm khỏc phớa so vi ng thng AC (hỡnh 22) Tng t vớ d phn 3.4.2 ta cú: D, D1, D3 thuc mt cu (A, AD) D, D1, D2 thuc mt cu (B, BD) (1) D, D2, D3 thuc mt cu (C, CD) v A, B, C ln lt thuc cỏc ng trung trc ca D1D3, D1D2, D2D3 (2) T (1) v gi thit ta cú: AD1 = BC (cựng bng AD) BD1 = AC (cựng bng BD) Vy t giỏc AD1BC l hỡnh bỡnh hnh AD1 // BC Tng t, t giỏc AD3CB cng l hỡnh bỡnh hnh T (3) v (4) A, D1, D3 thng hng SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán (3) AD3 // BC (4) (5) Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn T (2) v (5) suy ra: A l trung im ca D1D3 Tng t chng minh trờn ta cú: B, C ln lt l trung im ca D1D2, D2D3 Vỡ t giỏc AD1BC l hỡnh bỡnh hnh nờn D1 v C i xng qua trung im cnh AB Tng t ta cú A v D2, B v D3 ln lt i xng qua trung im cỏc cnh BC v AC Vy ta cn chng minh H thuc D1D2D3 Nhn xột: vỡ D1D3, D1D2, D2D3 ln lt l ng kớnh ca cỏc mt cu (A), (B), (C) cựng i qua D nờn DD1, DD2, DD3 ụi mt vuụng gúc vi Suy ra: hỡnh chiu H ca D xung (D1D2D3) chớnh l trc tõm ca D1D2D3 Tht vy: Ta cú: DD DD1 DD DD Mt khỏc: DH DD (DD1D ) (D1D D ) (gi thit) T (6) v (7) ta cú: D1D (DHD3 ) DD DH D D3 T (8) v (9) suy H l trc tõm ca D1D2D3 Do t din ABCD l t din gn u M D1D2D3 Vy H nm tam giỏc i xng vi CAB nờn (6) (7) D1D2 D3H Tng t chng minh trờn ta cú: D1H D1 D D1D (8) (9) ABC nhn D1D2D3 nhn D1D2D3 hay H thuc ABC hoc cỏc ABC qua trung im cỏc cnh ca nú (pcm) SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Vớ d 2: Cho t din gn u ABCD M, N ln lt l trung im ca AB v CD O l trung im ca MN Chng minh rng: O l tõm mt cu ni tip t din ABCD Chng minh C I N K' B O K M J A D Hỡnh 23 Theo vớ d phn 3.3.2 ta cú: MN l trc i xng cu t din ABCD (hỡnh 23) CMN: A C CA DB CMN: (ACD) (CAB) Gi K l hỡnh chiu vuụng gúc ca O lờn mt phng (ACD) OK (ACD) Gi K ' l nh ca K qua CMN CMN : K ACD a K ' CAB SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp Vỡ O MN GVHD: Nguyễn Văn Vạn OK OK ' Do tớnh bo ton gúc ca phộp chuyn v trc MN OK ' CAB Vy K ' l hỡnh chiu ca O lờn mt phng (CAB) O cỏch u hai mt phng (ACD) v (ABC) (1) Chng minh tng t ta cng cú CMN: (BDA) (DBC) v O cng cỏch u hai mt phng (BDA) v (DBC) (2) Gi I, J ln lt l trung im ca BC v AD D thy O l trung im ca IJ Chng minh tng t ta cng cú IJ l trc i xng ca t din ABCD Ba C CIJ : A a D Ca B BAC a CDB Tng t chng minh trờn ta suy O cỏch u mt phng (ABC) v mt phng (BCD) (3) T (1), (2) v (3) suy O cỏch u mt ca t din ABCD (pcm) Vớ d 3: Trong khụng gian cho ng thng (d) v hai im A, B khụng thuc (d) Gi (P) l mt phng qua (d) v B Gi Q1, Q2 ln lt l cỏc phộp quay quanh trc d (theo hai chiu ngc nhau) bin im A thnh A1 , A P Chng minh rng vi M l giao im ca A1B v d thỡ MA + MB t giỏ tr nh nht Chng minh Theo bi ta cú: Q1 : A a A1 Q2 : A a A cho A1, A2 khỏc phớa i vi ng thng (d) (hỡnh 24) SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn d M B A1 M0 A O A2 P Hỡnh 24 Gi s A1 l im nm khỏc phớa vi B v A2 so vi (d) Ta thy A, A1, A2 u thuc mt phng vuụng gúc vi (d) ti O (nh hỡnh v) v ta cú: MA MA1 MA , M d Ta cú: MA MB MA1 MB Ta thy M, A1, B u thuc mt phng (P) nờn ta a v xột bi toỏn mt phng (P) nh sau: Cho hai im A1, B khỏc phớa so vi ng thng (d) Tỡm im M trờn (d) cho MA1 + MB nh nht D thy: MA1 MB A1B Du = xy M A1B I d hay M M0 Kt lun: Vi M l giao im ca A1B v (d) thỡ MA + MB t giỏ tr nh nht (pcm) SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn BI TP NGH Bi 1: Cho tam giỏc vuụng ABC (vuụng ti C) cú gúc nhn ti nh A bng Phộp quay quanh AC mt gúc bin B thnh B cho tam giỏc ABB u Chng minh rng: cos 1 2sin Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A Phộp quay quanh BC mt gúc vuụng bin A thnh D Chng minh rng tam giỏc ABD u Bi 3: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ABC (vuụng ti C) v cnh SA vuụng gúc vi ỏy Chng minh rng nu SBA = ASC thỡ: SB2 = AB (AC + AB) Bi 4: Cho hai hỡnh chúp SABCD v SABCD cú cỏc ỏy l cỏc hỡnh vuụng v nm hai mt phng khỏc Cỏc mt bờn (SCD) v (SCD) vuụng gúc vi cỏc ỏy tng ng v chỳng l cỏc tam giỏc u Chng minh rng hai hỡnh chúp ú bng Bi 5: Mt hỡnh ch nht ABCD cú cnh AB a, AD a Phộp quay quanh BC mt gúc 600 bin A thnh A v D thnh D Chng minh rng cỏc cp ng thng BD v AC cng nh AC v BD vuụng gúc Bi 6: Chng minh rng nu phộp quay Q (d, 900) bin mt hỡnh vuụng thnh chớnh nú thỡ trc quay (d) i qua tõm hỡnh vuụng v vuụng gúc vi mt phng cha nú Bi 7: Cho hai mt phng (P) v (Q) to vi mt gúc 450 Vi mt mt phng (R) ta kớ hiu (R) v (R) ln lt l nh ca (R) qua phộp i xng qua mt phng (P) v (Q) Chng minh rng (R)(R) Bi 8: Trong khụng gian cho ng thng (d) v hai im A, B khụng thuc (d) Gi (P) l mt phng qua (d) v B Gi Q1, Q2 ln lt l cỏc phộp quay quanh trc d (theo hai chiu ngc nhau) bin im A thnh A1 , A P Chng minh rng vi M l giao im ca A2B v d thỡ MA MB ln nht SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn PHN C: KT LUN Phộp bin hỡnh khụng gian l mt mi v tng i khú vi hc sinh ph thụng Nú cung cp mt cụng c hu hiu gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian Mun hc tt phộp bin hỡnh khụng gian trc ht ta phi thnh tho cỏc phộp bin hỡnh mt phng v cn phi thng xuyờn gii toỏn tớch ly thờm kinh nghim, hỡnh thnh k nng, k xo Hc phộp bin hỡnh ta cn phi nhỡn bi toỏn di mt ca bin hỡnh tc l phi nhỡn bi toỏn mt cỏch tng quỏt, phi luụn sỏng to cỏc bi toỏn cựng dng v phng phỏp gii Hin cỏc ti liu liờn quan n phộp bin hỡnh khụng gian dựng cho hc sinh ph thụng cũn rt ớt v phn ng dng vo gii toỏn ch hng dn qua, cha i sõu v ớt v hỡnh vic hc hỡnh hc khụng gian thỡ hỡnh v l rt quan trng vic rốn luyn t tru tng v thm m cho hc sinh Vỡ vy, tụi mong rng khúa lun tt nghip vi ti: Phộp quay v ng dng ca nú vo bi toỏn chng minh khụng gian s l mt ti liu cú ớch cho bn c, c bit l nhng ngi yờu thớch mụn hỡnh hc khụng gian Do thi gian v kinh nghim ca bn thõn cũn hn ch nờn khúa lun tt nghip s khụng th trỏnh nhng thiu sút Vỡ vy, tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp chõn tỡnh tụi cú hng phỏt trin v sa cha cho khúa lun ngy cng hon thin hn Mt ln na, tụi xin gi li cm n sõu sc v lũng bit n chõn thnh nht ti thy giỏo Th.S Nguyn Vn Vn cng nh s quan tõm, úng gúp ý kin, ch bo tn tỡnh ca cỏc thy cụ giỏo t Hỡnh hc ó giỳp tụi hon thnh khúa lun tt nghip ny Sinh viờn Phm Th Phng SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn TI LIU THAM KHO Bựi Vn Bỡnh - Nguyn Vn Vn Giỏo trỡnh hỡnh hc s cp 1, HSP H Ni - 1993 on Qunh (Tng ch biờn ) Hỡnh hc nõng cao 11 NXB Giỏo Dc - 2007 Thanh Sn Phộp bin hỡnh khụng gian NXB Giỏo Dc - 2008 Phng phỏp gii toỏn hỡnh hc 12 theo ch NXB giỏo dc - 2009 Nguyn Trng Chin - Nguyn Th Kim Thoa Toỏn s cp NXB Giỏo Dc - 2009 Trng c Hinh - o Tam Giỏo trỡnh c s hỡnh hc v hỡnh hc s cp NXB HSP - 2009 SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 50 [...]... i hp khi v ch khi k.1800 k Z Tớnh cht 3 Phộp quay Q (d, ) gi bt ng mi im ca trc d tc d l ng thng bt ng 2.3.3 Cỏc cỏch cho 1 phộp quay quanh trc T nh ngha phộp quay quanh trc trong khụng gian ta thy phộp quay quanh trc d gúc quay cú th cho bi trc quay v gúc quay hoc trc quay v cp im tng ng M, M 2.3.4 Phộp chuyn v 2.3.4.1 nh ngha Phộp quay quanh trc d, gúc quay c gi l phộp chuyn v trc chuyn v d nu:... (pcm) Nhn xột : Mt s bi toỏn nu khụng s dng phộp quay quanh trc thỡ s rt khú gii quyt hoc khụng gii c Nh vy ta thy phộp quay quanh trc trong E3 l mt cụng c hu hiu gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian 3.3.1 Phộp quay trong E3 vi bi toỏn chng minh quan h vuụng gúc v quan h song song Vớ d 1: Phộp quay Q (d, ) bin mt phng (P) thnh chớnh nú Chng minh rng nu gúc quay : a) 00 b) 1800 thỡ (P) d 1800 thỡ (P) ... phng vuụng gúc vi trc quay v cha cỏc i tng hỡnh hc ang xột Trong mt phng ó chn ta tin hnh gii bi toỏn bng phộp quay quanh mt im v kt hp cỏc kt qu thu c tỡm ra li gii cho bi toỏn Tng quỏt, gii mt bi toỏn chng minh s dng phộp quay quanh trc ta thng tin hnh theo 4 bc sau: Bc 1: Xỏc nh yờu cu bi toỏn Bc 2: Xỏc nh phộp quay quanh trc (xỏc nh trc quay v gúc quay) Bc 3: Thc hin phộp quay quanh trc Bc 4:... phộp i xng quay b) Tớch ca mt phộp i xng mt v mt phộp tnh tin giao hoỏn c khi v ch khi vect tnh tin song song vi mt phng i xng v tớch ny c gi l phộp i xng trt SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn CHNG 3: NG DNG CA PHẫP QUAY TRONG KHễNG GIAN VO BI TON CHNG MINH 3.1 BI TON CHNG MINH Bi toỏn chng minh l bi toỏn cn ch ra mnh A B l ỳng trong ú A... B1 Thc hin phộp quay quanh tõm O vi gúc quay bin A thnh A v B1 thnh B2 Trong ú O l giao im ca mt phng (P) vi ng thng d + Hỡnh chiu ca B1 trờn mt phng (Q) l B Cỏc im A, B l nh cn tỡm 2.3.2 Tớnh cht Tớnh cht 1 Phộp quay quanh trc l phộp di hỡnh Chng minh Tht vy: Xột cp im bt kỡ M, N Xột phộp quay Q d, Q d, : M a M ' Vi M, M ' Q d, : N a N ' Vi N, N ' : , trong ú ()d v () ct d ti O , trong ú ( )d v... NG DNG CA PHẫP QUAY QUANH TRONG KHễNG GIAN VO BI TON CHNG MINH SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 19 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Bi toỏn Chng minh rng mi mt phng (P) i qua ng thng ni trung im ca hai cnh i din ca mt t din u thỡ chia t din u thnh 2 phn cú th tớch bng nhau Chng minh Ta bit t din u l hỡnh chúp tam giỏc cú 6 cnh bng nhau Cỏch 1: S dng phộp quay quanh trc A... lun Bi toỏn chng minh c cha trong hu ht cỏc bi toỏn hỡnh hc nh: bi toỏn tớnh toỏn, bi toỏn dng hỡnh, bi toỏn qu tớch gii bi toỏn chng minh ta xut phỏt t gi thit A v nhng mnh ỳng ó bit, bng lp lun cht ch v suy lun logic, da vo cỏc nh ngha, tớnh cht, nh lý ca i tng toỏn hc i n kt lun 3.2 S DNG PHẫP QUAY QUANH TRC VO BI TON CHNG MINH chng minh mt bi toỏn hỡnh khụng gian s dng phộp quay quanh trc ta... Cử nhân Toán Trang 26 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Vy (x) v (x) cựng thuc mt phng (P) Phộp quay trong mt phng (P) vi gúc quay 900 bin ng thng (x) thnh ng thng (x) nờn (x) ct (x) v (x) (x) (pcm) Vớ d 3: Chng minh rng nu mt phng (P) song song vi ng thng d v (P) l nh ca (P) qua phộp quay Q (d, 900 ) thỡ (P) (P) Chng minh d O M' M P P' Hỡnh13 Gi O l im bt kỡ trờn ng thng d Chn im M trong mt... xng qua siờu phng Chng minh C' t A' A C C1 C2 B' B1 B v u Hỡnh 6 Ta chng minh nh lý trong E2, trong E3 nh lý c chng minh tng t Gi s f l phộp ng c trong E2 c xỏc nh bi 2 tam giỏc: ABC v A 'B'C' a) Gi s A v A' phõn bit Xột u l ng trung trc ca AA' Gi B1 , C1 l nh ca B, C qua phộp i xng trc Su cũn Su A A' (1a) Nu B1 , B ' khụng trựng nhau: SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán Trang 14 Khóa luận... trc nh lý 2.4.2 Trong E3 tớch ca mt phộp quay quanh trc v mt phộp tnh tin giao hoỏn c khi v ch khi vect tnh tin song song vi trc quay v tớch ny c gi l phộp di hỡnh xon c Chng minh Gi s trong E3 cho phộp quay Q Q d, v phộp tnh tin T Tar Rừ rng tớch T 1 Q T l mt phộp di hỡnh, kớ hiu l D Ly M d , t M1 T Ta cú: D M1 1 M T 1 Q T T 1 M T 1 Q M =T 1 M SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán M1 (do M ... Toán Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn CHNG 2: PHẫP QUAY TRONG KHễNG GIAN 2.1 NH HNG TRONG MT PHNG 2.1.1 nh ngha Trong mt phng cho im O thỡ xung quanh O cú hai chiu quay: chiu quay. .. ng 2.3.3 Cỏc cỏch cho phộp quay quanh trc T nh ngha phộp quay quanh trc khụng gian ta thy phộp quay quanh trc d gúc quay cú th cho bi trc quay v gúc quay hoc trc quay v cp im tng ng M, M 2.3.4... 2: Xỏc nh phộp quay quanh trc (xỏc nh trc quay v gúc quay) Bc 3: Thc hin phộp quay quanh trc Bc 4: a kt lun bi toỏn 3.3 NG DNG CA PHẫP QUAY QUANH TRONG KHễNG GIAN VO BI TON CHNG MINH SVTH: Phạm