Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thơng mơn Tốn giữ vị trí quan trọng giúp học sinh học tốt hầu hết môn học, công cụ nhiều ngành khoa học kỹ thuật, có nhiều ứng dụng to lớn đời sống Muốn học giỏi nói chung học giỏi Tốn nói riêng phải luyện tập, thực hành nhiều nghĩa việc nắm rõ lý thuyết em phải làm nhiều tập Đối với học sinh tập nhiều đa dạng thời gian hạn hẹp đồng thời em khó có điều kiện chọn lọc tốn hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập rèn luyện tư tốn học Trong mơn Tốn phương trình giữ vị trí quan trọng đối tượng nghiên cứu Đại số mà cịn cơng cụ đắc lực Giải tích Nó giới thiệu từ năm đầu bậc phổ thông dạng đơn giản Đa phần em làm quen với phương trình bậc bậc hai cịn phương trình bậc cao em làm quen Ngày phương trình bậc ba, bậc bốn giải thức Xong phổ thông nghiệm phức đưa vào mức độ giới thiệu, việc áp dụng cách giải cho em dễ hiểu dễ nắm bắt vấn đề Với lý với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ tận tình giáo Nguyễn Thị Bình, em chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn” để làm khóa luận tốt nghiệp với mong muốn góp phần nhỏ bé làm tăng vẻ đẹp mơn Tốn qua việc giải phương trình bậc bốn Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp phương trình bậc bốn Nhiệm vụ nghiên cứu - Giải phương trình bậc bốn tổng quát - Tìm số phương pháp giải số phương trình bậc bốn thường dùng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: phương trình bậc bốn * Phạm vi nghiên cứu - Kiến thức đa thức - Phương trình bậc bốn tổng quát số phương trình bậc bốn thường dùng Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - So sánh, phân tích, tổng hợp - Phương pháp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận em gồm hai chương: Chương 1: Đa thức phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp NỘI DUNG CHƢƠNG 1: ĐA THỨC VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN TỔNG QUÁT 1.1.Đa thức 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Định lý 1.1.1.1: Cho A vành giao hốn có đơn vị Khi ta có tập P tập hợp có dạng hầu hết} P { a0 , a1, , an , | với hai phép toán a0 , a1 , , an , b0 , b1, , bn , a0 , a1 , , an , b0 , b1, , bn , a0 b0 , a1 b1, , an bn, c0 , c1, , cn, c0 a0b0 c1 a0b1 a1b0 ck aib j i j k lập thành vành giao hốn, có đơn vị gọi vành đa thức, phần tử thuộc vào P gọi đa thức Chứng minh Lấy hai phần tử thuộc vào P : a0 , a1, , an , b0 , b1, , bn , Giả sử 0, i n; b j ak bk ck 0, 0, k j m Khi 0, k n m, n m hai phép toán cộng nhân cho ta hai phép toán P SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp Trước hết ta chứng minh tập P với phép toán cộng lập thành nhóm giao hốn Với a a0 , a1, , an , , b P , ta có c= c0 , c1, , cn , a b c b0 , b1, , bn , , a0 , a1 , , an , b0 , b1 , , bn , c0 , c1 , , cn , a0 b0 , a1 b1 , , an bn , + c0 , c1 , , cn , a0 b0 a0 b0 c0 , a1 b1 c0 , a1 a0 , a1 , , an , a c1 , , an bn b1 c1 , , an bn b0 , b1 , , bn , cn , cn , c0 , c1 , , cn , b c Suy phép cộng P có tính chất kết hợp Với a a0 , a1, , an , P , tồn phần tử 0, 0, , 0, P , thỏa mãn a 0, 0, , 0, a0 , a1 , , an , a0 0, 0, , 0, 0, a1 0, , an 0, a0 , a1 , , an , a 0, 0, , 0, a 0, 0, , 0, a0 , a1 , , an , a0 , a1, , an , a0 , a1 , , an , a Suy phần tử không P 0P Với a a0 , a1, , an , a 0, 0, , 0, P, tồn phần tử đối dãy a0 , a1, , an , SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp a a a0 , a1 , , an , a0 a0 , a0 , a1 a1 , , an a1, , an , an , 0, 0, , 0, 0P a a a0 , a1, , an , a0 , a1, , an , a0 an a0 , a1 a1 , , an , 0, 0, , 0, P Với a a0 , a1, , an , , b a b b0 , b1, , bn , a0 , a1 , , an , P, ta có b0 , b1, , bn , a0 b0 , a1 b1 , , an bn , b0 a0 , b1 a1 , , bn b0 , b1 , , bn , an , a0 , a1, , an , b a Suy phép cộng P có tính chất giao hốn Vậy tập P với phép tốn cộng nhóm giao hoán Bây ta chứng minh tập P với phép tốn nhân vị nhóm giao hốn Giả sử a a0 , a1, , an , , b b0 , b1, , bn , , c= c0 , c1, , cn , phần tử thuộc P Khi đó, ta có Hạng tử với số i ab c a jbk cl m l i j k m a jbk cl j k l i Hạng tử với số i a bc SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp aj j p i bk cl a jbk cl k l p j k l i Suy ab c a bc Mặt khác, với a a0 , a1, , an , , b b0 , b1, , bn , P, ta có Hạng tử với số i ab a jbk j k i Hạng tử với số i ba bk a j k j i Suy ab ba Mà với a P, tồn phần tử 1, 0, , 0, a0 , a1, , an , P thỏa mãn a 1, 0, , 0, a0 , a1 , , an , 1, 0, , 0, a0 , a1 , , an , a 1, 0, , 0, a 1, 0, , 0, a0 , a1 , , an , a0 , a1 , , an , a Suy phần tử đơn vị P dãy 1P 1, 0, , 0, Vậy tập P với phép nhân vị nhóm giao hốn Cuối ta chứng minh P phép nhân phân phối với phép cộng Giả sử a a0 , a1, , an , , b b0 , b1, , bn , , c= c0 , c1, , cn , phần tử P Xét a b c a b c Ta có aj j k i b j ck a j ck j k i SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán b j ck j k i GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp Vế trái hạng tử với số i a b c vế phải hạng tử với số i ac bc Suy a b c ac bc Ta có a j bk ck a jbk j k i i k i a j ck j k i Vế trái hạng tử với số i a b c vế phải hạng tử với số i ab ac Suy a b c ab ac Do P phép nhân phân phối với phép cộng Vậy tập P với hai phép toán cộng nhân lập thành vành giao hoán có đơn vị Bây ta xét dãy x 0, 1, 0, , 0, Theo quy tắc nhân ta có x2 x.x 0, 1, 0, , 0, 0, 1, 0, , 0, 0, 0, 1, 0, , 0, Tương tự x3 0, 0, 0, 1, 0, , 0, xn 0, 0, , 0, 1, 0, Ta quy ước viết x0 1, 0, , 0, Mặt khác ta xét ánh xạ A P aa a, 0, , 0, Ánh xạ đơn cấu vành Thật vậy, với a1, a2 SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn P : a1 a2 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp a1, 0, , 0, a2 , 0, , 0, Suy A vành vành P Do từ ta đồng phần tử a A với dãy a, 0, , 0, P Mỗi phần tử P dãy a0 , a1, , an , tất trừ số hữu hạn, phần tử P có dạng a0 , a1, , an , 0, a0 , a1, , an A , không thiết khác Việc đồng a với dãy a, 0, , 0, việc đưa vào dãy x cho phép ta viết a0 , a1 , , an , 0, a0 , 0, , 0, a0 , 0, , 0, 0, a1 , , 0, 0, 0, , 0, an , 0, a1 , 0, , 0, 0, 1, , 0, 0, 0, , 0, an , 0, 0, 0, , 0, 1, 0, a0 x a1x an x n Người ta thường ký hiệu phần tử P viết dạng a0 x0 a1x an x n f x , g x , Định nghĩa 1.1.1.1: Vành P gọi vành đa thức ẩn x lấy hệ tử A , hay vắn tắt vành đa thức ẩn x A ký hiệu A x Các phần tử vành gọi vành đa thức ẩn x lấy hệ tử A Trong đa thức f x a0 x a1x an x n , i 0, n gọi hệ tử đa thức Các a i xi gọi hạng tử đa thức, đặc biệt a0 x0 Ví dụ: f x x3 a0 hạng tử tự x2 2x SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán Z x , GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp g x x3 ¡ x 3x 1.1.2 Bậc đa thức Xét dãy thuộc vành P Vì tất trừ số hữu hạn nên a0 , a1, , an , 0, 0, , 0, có số n cho an 0, i n Theo trên, ta viết a0 , a1 , , an , a0 a1 x an x n Định nghĩa 1.1.2.1: Bậc đa thức khác f x với an a0 an x n a1 x 0, n 0, n Hệ tử an gọi hệ tử cao f x Ký hiệu bậc đa thức f x deg f x Khi deg f x n Như vậy, ta định nghĩa bậc đa thức khác Đối với đa thức ta bảo khơng có bậc (hay bậc Ví dụ: f x g x x3 1,deg f x 5,deg g x ) 3, Bổ đề 1.2.1.1: Nếu A miền nguyên f x , g x hai đa thức khác vành A x deg fg deg f deg g Chứng minh Giả sử f x a0 a1 x an x n , an 0, g x b0 b0 x bm x m , bm Khi deg f f x g x n,deg g m, c0 c1 x SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán cn m x n m GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp ck aib j , nói riêng cn anbm m i j k Do A miền nguyên nên từ an Do deg fg n m deg f 0, bm suy cn m deg g Vậy bổ đề chứng minh 1.1.3 Phép chia phép chia với dư Định lý 1.1.3.1: Cho A miền nguyên f x , g x hai đa thức A x , hệ tử cao g x khả nghịch A Khi tồn tai cặp đa thức q x , r x cho f x g x q x với deg r deg g r x r x Chứng minh a) Sự tồn Giả sử f x a0 a1x an x n , an 0, g x b0 b1 x bm x m , bm Nếu n m ta đặt q x 0, r x f x Nếu n m ta đặt f1 x f x bm1an x n m g x f x q1 x g x Bậc đa thức không lớn m hệ tử cao f x q1 x g x trùng bm1anbm an Tiếp tục trình ta fk x fk x qk x g x , k 1,2, Rõ ràng sau không n m bước ta thu đa thức f k x mà SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp Với t ta có x 3x x 3x x Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x 17 17 Ví dụ 2: Cho phương trình x 12 x3 x 2x m (1) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Giải TXĐ: ¡ Biến đổi phương trình dạng x 12 x3 3x Đặt t 3x t 3x 3x t 2x x 3x 2 3x 2x m 2x m (2) x Ta có 2x 3x 2 3x 3 1 3 3 Khi phương trình (2) trở thành phương trình t2 t m Phương trình cho có nghiệm phân biệt t1 (3) Phương trình (3) có nghiệm t2 af SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp m m phương trình cho có nghiệm phân biệt Vậy với m 2.3.5.3 Bài tập Bài 1: Giải phương trình sau a) x b) x x3 x x3 3x x Bài 2: Cho phương trình x4 x3 x 3x m Tìm m để phương trình a) Có nghiệm b) Có nghiệm c) Có nghiệm d) Có nghiệm e) Có nghiệm 2.4 Một số phƣơng trình dạng tổng quát 2.4.1 Phương trình dạng a f2 x Khi deg f x f x b f x f x c (1) 1, a phương trình (1) trở thành phương trình bậc bốn 2.4.1.1 Phương pháp Ta thực theo bước sau Bước 1: Giải điều kiện f x SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp Bước 2: Đặt t Tìm điều kiện t (nếu có) Ta có f x f x f2 x f t m2 x Khi phương trình (1) trở thành phương trình a t m2 bt c at bt c m2a (2) Bước 3: Giải phương trình (2) để tìm nghiệm t Kiểm tra điều kiện t (nếu có) Thay nghiệm t tìm vào biểu thức t f x f x t hay f x f x giải phương trình ta tìm nghiệm x Kiểm tra điều kiện x (nếu có) ta tìm nghiệm phương trình (1) 2.4.1.2 Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x 1 x x x 1 Giải Điều kiện: x Đặt t x 1 x , điều kiện t Ta có x x t2 Khi phương trình cho trở thành phương trình t2 2t t2 2t t t Kiểm tra điều kiện ta t SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp Với t ta có x x2 x x x 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x Ví dụ 2: Giải phương trình x 2 3x x 15 x Giải Điều kiện: x Biến đổi phương trình cho ta x Đặt t x 2 x x x 2 Ta có x x 2 x t2 2 Khi phương trình cho trở thành phương trình t2 2t 3t 3t t (thỏa mãn) t Với t ta có x x2 x x Với t ta có x x SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán x2 5x 5 (thỏa mãn) x GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp x 29 (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x ; x 29 2.4.1.3 Bài tập Giải phương trình sau a) x 1 b) 2 x x x x 2x 2x 1 2x 2.4.2 Phương trình dạng af x Khi deg f x cg x bf x g x a deg g x (1) c phương trình (1) trở thành phương trình bậc bốn 2.4.2.1 Phương pháp Ta thực theo bước sau Bước 1: Xét trường hợp g x (a) Giải phương trình (a) Khi từ phương trình (1) ta có af x Nếu a (b) với (b) x Khi nghiệm phương trình (a) nghiệm phương trình (1) Nếu a từ phương trình (b) ta có f x (c) Giải phương trình (c) Ta có nghiệm phương trình (1) nghiệm hệ g x f x SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp Từ ta tìm nghiệm phương trình (1) Bước 2: Xét trường hợp g x Tìm x thỏa mãn g x hai vế phương trình (1) cho g x f x a g x Bước 3: Đặt t b f x g x Khi chia , ta (2) c f x Tìm điều kiện t (nếu có) g x Phương trình (2) trở thành phương trình at bt c (3) Bước 4: Giải phương trình (3) để tìm nghiệm t Kiểm tra điều kiện t (nếu có) Thay nghiệm t tìm vào biểu thức t f x f x hay g x g x t giải phương trình ta tìm x Kết hợp với điều kiện x ta tìm nghiệm x phương trình (1) 2.4.2.2 Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 2x x2 x x (1) Giải TXĐ: ¡ Nhận thấy x nghiệm phương trình (1) Chia hai vế phương trình (1) cho x 2x x Đặt t 2x x , ta (2) 2x , phương trình (2) trở thành phương trình x SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp t t t 5t ta có x x 1 (vô lý) Với t ta có x x x Với t (thỏa mãn) x Vậy phương trình cho có nghiệm x Ví dụ 2: Giải phương trình x 3x 2 x2 x2 5x x2 2x (1) Giải TXĐ: ¡ Biến đổi phương trình (1) ta x x 2 x x x x TH1: Nếu x x x x 2 (2) x phương trình (2) trở thành x x x x x x (không thỏa mãn) x TH2: Nếu x x trình (2) cho x x x x x x Đặt t x chia hai vế phương x , ta 2 x x x x (3) x x , phương trình (3) trở thành phương trình x x SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp t2 2t t x x x x Với t ta có t x x (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm x 2.4.2.3 Bài tập Giải phương trình sau a) 2x b) x2 2 x2 5x 9x 2 x2 x x x2 SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán x 12 x2 5x GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Phương trình bậc bốn phần kiến thức mở rộng chương trình phổ thơng Ta thường hay gặp tốn kì thi đặc biệt kì thi học sinh giỏi Olympic tốn học Trong khóa luận em trình bày cách chi tiết phương trình bậc bốn tổng quát dạng hay gặp Tuy nhiên cịn nhỏ so với kiến thức phương trình Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập tốn Từ giúp bạn đọc hiểu sâu hơn, rộng phương trình bậc cao đa thức Do thời gian lực thân hạn chế Đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp q báu thầy bạn yêu toán Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Trần Thị Cúc SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Hồng Xn Sính (2003), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Ngô Thúc Lanh, (1987), Đại số số học, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Hữu Điển, (2003), Đa thức ứng dụng, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Tiến Quang, (2004), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, Nhà xuất đại học sư phạm Tạp chí tốn học tuổi trẻ - số 396 (6/2010), Nhà xuất giáo dục SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận em giúp đỡ nhiệt tình thầy khoa Qua em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ Đại số, thầy khoa Tốn, thầy trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên, đặc biệt em bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giáo Nguyễn Thị Bình – Người tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học thời gian lực thân cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Trần Thị Cúc SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em qua trình học tập, nghiên cứu bậc đại học, tìm tịi khám phá thơng qua sách có đóng góp bạn sinh viên, bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy khoa Tốn đặc biệt hướng dẫn tận tình giáo hướng dẫn Nguyễn Thị Bình giảng viên trường ĐHSP Hà Nội Vì em xin khẳng định kết đề tài: “MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN” kết riêng em không trùng với đề tài tác giả khác Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Trần Thị Cúc SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG ĐA THỨC VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN TỔNG QUÁT 1.1 Đa thức 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.1.2 Bậc đa thức 14 1.1.3 Phép chia phép chia với dư 15 1.1.4 Nghiệm đa thức 16 1.2 Phƣơng trình bậc bốn phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc bốn tổng quát 27 1.2.1 Phương trình bậc bốn 27 1.2.2 Phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát 27 CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN 2.1 Phân tích vế trái phƣơng trình thành nhân tử phƣơng pháp hệ số bất định 36 SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp 2.2 Phƣơng trình bậc bốn trùng phƣơng phƣơng trình quy phƣơng trình bậc bốn trùng phƣơng 40 2.2.1 Phương trình bậc bốn trùng phương 40 2.2.2 Phương trình quy phương trình bậc bốn trùng phương 45 2.3 Một số phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai 50 2.3.1 Phương trình hồi quy 50 2.3.2 Phương trình bậc bốn dạng x a x b x c x d ex a, b, c, d , e số thực thỏa mãn abcd ad 0, ab cd (hoặc ac bd bc ) 56 2.3.3 Phương trình bậc bốn dạng ax px nx q bx px mx q c a, b, c, p, q, n, m số thực 60 2.3.4 Phương trình bậc bốn dạng x a x b x c x d m a, b, c, d , m số thực thỏa mãn a b c d (hoặc a c b d a d b c ) 64 2.3.5 Phương trình bậc bốn dạng a2 x4 2abx3 a b2 x2 bx c a, b, c số thực, a 67 2.4 Một số phƣơng trình dạng tổng quát 71 2.4.1 Phương trình dạng a f2 x f x b f x f x c a, b, c số thực 71 SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình Khóa luận tốt nghiệp 2.4.2 Phương trình dạng af x bf x g x cg x a, b, c số thực 74 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 SV: Trần Thị Cúc K33B – SP Tốn GVHD: Th.S Nguyễn Thị Bình ... Hai phương trình bậc hai cho tất bốn nghiệm phương trình bậc bốn Vậy phép giải phương trình bậc bốn đưa phép giải phương trình bậc ba hai phương trình bậc hai Ta suy từ phương trình bậc bốn giải. .. Phƣơng trình bậc bốn phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc bốn tổng quát 1.2.1 Phương trình bậc bốn Là phương trình dạng ax bx3 cx dx e a, b, c, d , e số phức tùy ý a 1.2.2 Phương pháp giải phương trình. ..Khóa luận tốt nghiệp phương trình bậc bốn Nhiệm vụ nghiên cứu - Giải phương trình bậc bốn tổng quát - Tìm số phương pháp giải số phương trình bậc bốn thường dùng Đối tƣợng phạm vi