Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Lời Mở ầU Lý chn ti Ph-ơng trình vi phân lĩnh vực quan trọng toán học đại Rất nhiều toán toán,vật lý, hoá học, dẫn đến việc giải ph-ơng trình vi phân th-ờng Tuy nhiên lớp ph-ơng trình vi phân tìm đ-ợc nghiệm xác hẹp Do đó, để giải đ-ợc ph-ơng trình vi phân thông th-ờng ng-ời ta phải sử dụng ph-ơng pháp giải xấp xỉ để tìm nghiệm gần chúng Do nhu cầu thực tiễn, nhà khoa học tìm nhiều ph-ơng pháp để tìm nghệm gần ph-ơng trình vi phân th-ờng Với mong muốn học hỏi tích luỹ thêm cho kỹ kinh nghiệm tiếp cận với ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán đồng thời để hiểu sâu toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng nên em chọn đề tài là: Một số ph-ơng pháp giải toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng Mc ớch nghiờn cu Gii thiu khỏi quỏt kiến thức bản, số ph-ơng pháp giải toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng ứng dụng phần mềm Maple để giải toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng i tng, phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Một số ph-ơng pháp giải toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng ứng dụng phần mềm Maple để giải toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng Phm vi nghiờn cu: Chng trỡnh toỏn giải tích Nhim v nghiờn cu Túm tt nhng kin thc c bn, số ph-ơng pháp giải toán biên phng trỡnh vi phân th-ờng, kiến thức v phần mềm Maple Nguyn Th Liờn K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip a cỏc vớ d ứng dụng phần mềm Maple để giải toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng Cỏc phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu lý lun Tng kt kinh nghim Nguyn Th Liờn K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Ch-ơng Các kiến thức mở đầu 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Khái niệm số gần 1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số t-ơng đối Trong tính toán, ta th-ờng phải làm việc với cỏc giá trị gần đại l-ợng Ta nói a số gần a * a không sai khác a * nhiều Đại l-ợng : a a* gọi sai số tht s a Do a * nên ta Tuy nhiên, ta tìm đ-ợc a , gọi sai số a, thỏa mãn điều kiện: a a* a (1) hay a a a* a a Đ-ơng nhiên, a thoả mãn điều kiện (1) nhỏ tốt Sai số t-ơng đối a a Ví dụ : giả sử a * = a a ; a = 3,14 Do 3,14 < a * < 3,15 = 3,14 + 0,01 nên ta lấy a = 0,01 Mặt khác, 3,14 < < 3,142 = 3,14 + 0,002 ta coi a = 0,002 1.1.1.2 Sai số thu gọn Một số thập phân a có dạng tổng quát nh- sau: a i p10 p p 1, p s ; Nếu p - s p 110 p p p s10 p s , i số nguyên a số nguyên p - s = -m (m > 0) a có phần lẻ gồm m chữ số Nguyn Th Liờn K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Nếu s = + , a số thập phân vô hạn Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để đ-ợc số a ngắn gọn gần với a Quy tắc thu gọn : Giả sử a p 10 p Gọi phần vứt bỏ % j j ta đặt a p p s 10 p s 10 p 0,5.10 j % j j ta giữ lại đến số hạng thứ j 10 j %10 j , : j j 10 j : %j 0,5.10 j j Nếu 10 j j 0,5.10 j chẵn %j j j lẻ tính 3,1 toán với số chẵn tiện Ví dụ: 3,141592 Sai số thu gọn a Vì a p 3,14159 j 3,142 3,14 số thoả mãn điều kiện: a a 10 p nên a a 3,1416 j 10 j , a % 10 j p 10 p 10 j a j %10 j j 0,5.10 j j Sau thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên : a* a a* a a a a a 1.1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số Chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số , kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng đ-ợc giữ lại Ví dụ : a = 0,0030140 Ba chữ số đầu nghĩa Mọi chữ số có nghĩa a j a 10i p 10 p p s 10 p s gọi chữ số tham số cho tr-ớc Tham số đ-ợc chọn để chữ số vốn sau thu gọn chữ số Giả sử chữ số cuối a tr-ớc thu gọn chắc, phải có a Nguyn Th Liờn a i Để 10i Suy 10i i chữ số tr-ớc 0,5.10i 10i hay K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Ta gọi chữ số theo nghĩa hẹp (rộng) = 0,5 ( =1) Khi viết số gần đúng,chỉ nên giữ lại hai chữ số không để tính toán sai số tác động đến chữ số không mà 1.1.2 Sai số tính toán Trong tính toán ta th-ờng gặp bốn loại sai số sau: a) Sai số giả thiết: Do mô hình hoá, lý t-ởng hoá toán thực tế.Sai số không loại trừ đ-ợc b) Sai số ph-ơng pháp: Các toán th-ờng gặp phức tạp, giải đ-ợc mà phải sử dụng ph-ơng pháp gần Sai số đ-ợc nghiên cứu cho ph-ơng pháp cụ thể c) Sai số số liệu: Các số liệu th-ờng thu đ-ợc thực nghiệm có sai số Sai số số liệu gần đ-ợc nghiên cứu t1 d) Sai số tính toán: Các số vốn có sai số, thêm sai số thu gọn nên tính toán xuất sai số tính toán Giả sử phải tìm đại l-ợng y theo công thức: y f x1, x2 , , xn Gọi xi* , y* i 1, n xi , y i 1, n giá trị gần đối số hàm số Nếu f khả vi liên tục thì: y* | | f x1, , xn |y ur Trong f i đạo hàm Do f x1* , , xn* | n ur | fi |.| xi i xi* | f tính điểm trung gian xi f liên tục xi bé ta coi xi y n i | fi x1, , xn | xi Nguyn Th Liờn (1), K33 Toỏn Trng HSP H Ni y | y| y n | xi i Khúa lun tt nghip (2) ln f | xi Sau sai số phép tính bản: 1.1.2.1 Sai số tổng Giả sử tính y x1 x2 xn , y xi , i 1, n Theo công thức (1) có : y |1| x1 |1| x2 |1| xn y y x1 n i x2 xn xi Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng thành phần Trong tính toán có tổng số nhỏ sai số t-ơng đối số lớn Vậy tính toán ta phải tránh việc tính hiệu số hai số gần không tránh đ-ợc cần phải lấy số với nhiều chữ số 1.1.2.2 Sai số tích Giả sử tính sai số y với y x1.x2 xn ,| y | | x1 | | x2 | | xn | ln | y | ln | x1 | ln | x2 | ln | xn | Hay ln | y | n i n ln | y | i y n i Nguyn Th Liờn ln | xi | ln | xi | n i ln | xi | xi K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Sai số t-ơng đối tích tổng sai số t-ơng đối số hạng thành phần 1.1.2.3 Sai số t-ơng đối th-ơng x1 x2 Giả sử tính y Ta có y x1 y | yx2 x2 x1 x22 x | x1 | 12 | x2 x2 x2 = | x1 | x1 x2 | x2 | x22 = | x2 | x1 | x1 | x2 | x2 |2 Có: y | y| y | x2 | x1 | x1 | x2 | x2 | | x2 |2 | x1 | = | x2 | x1 | x1 | x2 | x1 | | x2 | = | x2 | x1 | x1 | x2 | x1 | | x2 | | x1 | | x2 | = x1 x2 | x1 | | x2 | = x1 x2 Vậy sai số t-ơng đối th-ơng tổng sai số t-ơng đối số hạng thành phần 1.1.2.4 Sai số phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo Nguyn Th Liờn K33 Toỏn Trng HSP H Ni Cho y Khúa lun tt nghip y | x , d ln y | x | | x dx > (phép lũy thừa) y > x độ xác giảm Nếu Nếu < < ta có phép khai căn, y < x hay độ xác tăng = - ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa độ xác không Nếu đổi 1.1.3 Bài toán ng-ợc lý thuyết sai số Giả sử đại l-ợng y tính theo công thức y = f ( x1, x2 , , xn ) hỏi phải lấy xi để y const cho tr-ớc? Sau hai ph-ơng pháp đơn giản để giải toán trên: 1.1.3.1 Nguyên lý ảnh h-ởng đều: a) Ta coi | n y= | i f | xi xi c (const) (i=1,n ) c f | | xi n y f xi xi = const (i=1,n ) thì: xi c) Nếu coi x1 y j | xj f | xj (i=1,n ) b) Nếu coi n suy nc Vậy xi k f | xi xi đó: Nguyn Th Liờn x2 xn đặt k xi n j y n f | | j xj n xi f y = k | xi | hay i | xi | xi | xi | y , (i=1,n ) f | xj | xj K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Ví dụ Một hình trụ có bán kính đáy R=2m Chiều cao h=3m Hỏi R h phải để thể tích V đ-ợc tính xác tới 0,1 m3 ? Giải R h áp dụng nguyên lý ảnh h-ởng thứ ta có Ta có V V R h 12 nên 0,1 V < 0,003 3,12 R = Suy R = V 0,1 < 0,001; h 3.37,7 Do h = 0,1 < 0,003 3.12,6 Rh 37,7 R 12,6 1.1.3.2 Ph-ơng pháp biên Giả sử hàm y f ( x1, x2 , , xn ) đồng biến theo biến x1, x2 , , x p nghịch biến theo biến lại x p 1, , xn Nếu biết cận thay đổi đối số xi xi xi y f ( x1 , , x p , x p , , x n ) (i=1,n ) : Từ suy Nguyn Th Liờn y y f ( x1 , , x p , x p 1, , x n ) y K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip 1.2 Sai phân 1.2.1 Định nghĩa Giả sử y = f(x) hàm xác định tập X, h > cho x+h X , biểu thức f(x) = f(x+h) - f(x) đ-ợc gọi sai phân hàm số f(x) điểm x f= ( f) = [f(x+h+h) - f(x+h)] - [f(x+h) - f(x)] = f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x) = f(x+h) - f(x) đ-ợc gọi sai phân cấp hai f(x) x n T-ơng tự n f= ( f) đ-ợc gọi sai phân cấp n 1.2.2 Tính chất sai phân 1.2.2.1 Sai phân ánh xạ tuyến tính (toán tử tuyến tính) k f k g f 1.2.2.2 = với k f k f k g = const 1.2.2.3 Giả sử p(x) đa thức bậc n p(x) đa thức bậc n-1 m p(x) = c - số m = n m p(x) = m > n 1.2.2.4 f(x+nh) = n k Cnk n = k Cnk k k f x f 1.2.3 Bảng sai phân f xi yi với i = ; Nguyn Th Liờn 1; ;; n 10 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip 0 k 0 1 0, k 1,2 k k Đặt L y y y, ta tìm đ-ợc L xy L L x2 L x3 x ,L ,L : Ta phải tính: b bi f ( x) L( ) i x dx a b1 x x dx 22,93333 x x3 dx 32,33333 b2 Ta tính aik : b aik L k x dx i a a11 L( ) ( x)dx L 4x2 x dx x x dx 32,3333 a21 L x dx L x x3 31,16667 a22 22,93333 a12 (2 x 8)( x 3)dx x dx x x x dx 44,22857 Ta có hệ: Nguyn Th Liờn 39 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip 22,93333c1 31,16667c2 22,93333 c1 32,33333c1 44,22857c2 32,33333 c2 Vậy nghiệm xấp xỉ ph-ơng trình là: y x 2x x2 Ví dụ 2: Bằng ph-ơng pháp Galerkin giải ph-ơng trình: y y x Thỏa mãn điều kiện: y(0)=y(1)=0 Giải Chọn: ( x) , Ta có hệ x(1 x) , ( x) , 1, 2 ( x) x2 (1 x) độc lập tuyến tính Ta tìm nghiệm toán d-ới dạng : y ( x) ( x) i ci i ( x) hay y( x) c1x(1 x) c2 x (1 x) y( x) ( x x2 )(c1 c2 x) Ta có : y ( x) (1 x)(c1 c2 x) ( x x )c2 y ( x) ta có : R( x, c1, c2 ) y = 2c1 =( Ta phải tìm ck Nguyn Th Liờn 2c1 c2 (2 x) y f ( x) c2 (2 x) ( x x )(c1 c2 x) x x x2 )c1 (2 x x2 x3 )c2 x cho R( x, c1, c2 ) trực giao với 40 i , tức : K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip i=1,2 R( x, c1 , c2 ) i ( x)dx 0 Ta có : * ( x x )c1 (2 x x x3 )c2 x x(1 x)dx 1 2 = 2c1 x(1 x)dx c1 x (1 x) dx 2c2 x(1 x)dx = * c1 20 c2 20 12 ( x x )c1 (2 x x x3 )c2 x x (1 x)dx 13 c1 c2 20 150 20 để tìm c1, c2 ta giải hệ : 3 71 c1 c2 c1 10 20 12 369 13 c1 c2 c2 20 105 20 41 Vậy nghiệm xấp xỉ ph-ơng trình là: 71 y ( x x2 ) ( x x3 ) 369 41 = Nguyn Th Liờn 41 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Ch-ơng ứng dụng phần mềm maple để giảI toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng 1.ứng dụng ch-ơng trình MAPLE Sử dụng Maple tìm nghiệm xác nhiều ph-ơng trình vi phân th-ờng, ph-ơng trình vi phân với điều kiện ban đầu a) Cách sử dụng: Muốn giải ph-ơng trình vi phân th-ờng ta khởi động ch-ơng trình Maple nạp gói công cụ cho phép giải lệnh sau: [> restart; [> with (DEtools); b) Bài tập: ứng dụng phần mềm Maple để giải toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng Ghi chú: Kí hiệu D(y) phép tìm đạo hàm bậc ca hàm y Kí hiệu D(D)(y)(x) phép tìm đạo hàm bậc hai y theo x Kí hiệu D@@k có nghĩa D đ-ợc kết hợp với k lần Sử dụng lệnh [> dsolve (deq,x(t )= x0 ,{x(t)}; deq ph-ơng trình vi phân, x(t) nghiệm, x(t0 ) x0 điều kiện ban đầu Nếu tìm nghiệm tổng quát bỏ điều kiện ban đầu x(t0 ) x0 ví dụ 1: Giải ph-ơng trình biến số phân ly dx dt t [> dsolve (D(x)(t)=2/(t^2-4),{x(t)}); x(t ) 1 ln(t 2) ln(t 2) C1 2 ví dụ 2: Giải ph-ơng trình vi phân Nguyn Th Liờn 42 K33 Toỏn Trng HSP H Ni x (t ) Khúa lun tt nghip t ( x3 1) (t 1) x [> dsolve (D(x)(t)=-((t*(x^3-1))/((t^2-1)*x)), {x(t)}); ln( x(t ) 1) ln( x (t ) x(t ) arctan( (2 x(t ) 1) 3) 3 ln(t 1) ln(t 1) C1 ví dụ 3: Giải ph-ơng trình vi phân dx dt 4tx t x2 [> dsolve (D(x)(t)=(4*t*x)/(t^2-x^2), {x(t)}); 2t x(t ) x(t ) 3/2 C1 Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình Bernoulli sau t dx dt 4x t 2x [> dsolve (t*D(x)(t)-4*x=t^2*x,{x(t)}); x(t ) C1t 4e1/2t Dùng thuật toán Maple giải ph-ơng trình vi phân sau : y 5y 6y ( D(2) )( y)( x) 5D( y)( x) y( x) Với điều kiện ban đầu: y(0)=0, y (0) y x2 y xy / 2, y(0) y y (1 x) y , y(1) y 2, y( 1) Bài làm Nguyn Th Liờn 43 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Ta thực lệnh sau : [> diff_eq1:=D(D(y))(x)+5*D(y)(x)+6*y(x)=0; {lệnh để gán tên cho ph-ơng trình cần giải } Sau ấn phím enter hình xuất : diff_eq1:= ( D(2) )( y)( x) 5D( y)( x) y( x) [> init_con:=y(0)=0,D(y)(0)=1; {lệnh để nhập điều kiện ban đầu} Sau ấn phím enter hình xuất hiện: init_con:=y(0)=0,D(y)(0)=1 [> dsolve({diff_eq1,init_con},{y(x)}); {lệnh để giải ph-ơng trình } Kết quả: y( x) e( x) e( 3x) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq2:=D(y)(x)=x*x-y-2; [> init_con:=y(-1)=3; [> dsolve({diff_eq2,init_con},{y(x)}); Kết : y(x)= x 2 x 3.Ta thực lệnh sau : [> diff_eq3:=D(y)=(x*y)/2; [> init_con:=y(0)=1; [> dsolve({diff_eq3,init_con},{y(x)}); x2 Kết quả: y ( x) e 4.Ta thực lệnh sau: [> diff_eq4:=D(y)(x)=y+(1+x)*y^2; [>init_con:=y(1)=-1; [> dsolve({diff_eq4,init_con},{y(x)}); Nguyn Th Liờn 44 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip x Kết quả: y ( x) Bi 5: ng dng Maple gii bi toán: y+(x+1)y+y = x vi iu kin biên: y (0) y (1) gii: S dng công thc sai phân trung tâm: yi yi yi 1 2h , yi yi yi h2 yi Thay phng trỡnh trờn bi phng trỡnh sai phõn: yi yi h2 yi ( xi 1) yi yi 2h yi xi y (0) y (1) Sau bin i ta c: (2 hxi h) yi (2h2 4) yi (2 xi h h) yi 2h2 xi Vi bc h=0,1 ta nhn c nút bên l: xi (*) 0,1i vi i=1,,9 Vit phng trình (*) i vi tng nút, ta có h: Nguyn Th Liờn 45 K33 Toỏn Trng HSP H Ni 1,89 y0 1,88 y1 1,87 y2 1,86 y2 1,85 y4 1,84 y5 1,83 y6 1,82 y7 1,81y8 3,98 y1 3,98 y2 3,98 y3 3,98 y4 3,98 y5 3,98 y6 3,98 y7 3,98 y8 3,98 y9 2,11 y2 2,12 y3 2,13 y4 2,14 y5 2,15 y6 2,16 y7 2,17 y8 2,18 y9 2,19 y10 Khúa lun tt nghip 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 nhng im biên, ta có: y0 1, y10 S dng nhng giá tr ny v s dng CNTT ó l ngôn ng Maple gii h trên.Chng trình c vit nh sau: [>eqn1:=1.89* y0 3.98* y1 2.11* y2 0.002; [>eqn2:=1.88* y1 3.98* y2 2.12* y3 0.004; [>eqn3:=1.87* y2 3.98* y3 2.13* y4 0.006; [>eqn4:=1.86* y3 3.98* y4 2.14* y5 0.008; [>eqn5:=1.85* y4 3.98* y5 2.15* y6 0.01; [>eqn6:=1.84* y5 3.98* y6 2.16* y7 0.012; [>eqn7:=1.83* y6 3.98* y7 2.17 * y8 0.014; [>eqn8:=1.82* y7 3.98* y8 2.18* y9 0.016; [>eqn9:=1.81* y8 3.98* y9 2.19* y10 0.018; [>eqn10:= y0 1; [>eqn11:= y10 0; [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8,eqn9,eqn10,eqn11},{ y0 , y1, y2 , y3 , y4 , y5 , y6 , y7 , y8 , y9 , y10 , y11 }); Nguyn Th Liờn 46 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Ta thu c kt qu sau: y1 0,8339 ; 0,6781 ; y =0,5355; y2 0,2039 ; y7 y6 0,0693 ; y9 0,1280; y8 y4 0,4081 ; 0,9274 ; y5 0,0270 Bi 6: ng dng Maple gii bi toán: y-2xy-2y=-4x y(0)-y(0)=0 y(1)=1+e=3,718 Gii: S yi dng yi công yi h2 yi thc sai phân trung tâm: yi yi yi 2h ; Thay vo phng trình ta c phng trình sai phân l : yi yi h2 yi xi yi yi 2h y (0) y '(0) y (1) e 3,718 yi xi Sau bin i ta có : (1 hxi ) yi (2 2h2 ) yi (1 xi h) yi xi h2 (1) Chn bc h=0,2 ó ta nhn c nút bên l : x=0,2i x1 0,2; x2 vi i=1,2,3,4 0,4; x3 0,6; x4 0,8 Ta vit phng trình vi phân vi nút l : Nguyn Th Liờn 47 K33 Toỏn Trng HSP H Ni 0,96 y2 0,92 y3 0,88 y4 0,84 y5 Vi y0 Hay 2,08 y1 2,08 y2 2,08 y3 2,08 y4 y1 y0 h 1,04 y0 1,08 y1 1,12 y2 1,16 y3 Khúa lun tt nghip 0,032 0,064 0,096 0,128 y0 iu kin biên l: y1 y0 y1 h y5 y0 h 3,718 y0 0,833 y1 y5 3,781 S dng nhng giá tr ny v s dng CNTT ó l ngôn ng MAPLE gii h Chng trình c vit nh sau : [>eqn1:=1.04* y0 2.08* y1 0.96* y2 [>eqn2:=1.08* y1 2.08* y2 0.032; 0.92* y3 0.064 ; 2.08* y3 0.88* y4 0.096; [>eqn4:=1.16* y3 2.08* y4 0.84* y5 0.128; [>eqn3:=1.12* y2 [>eqn5:= y0 0.833 y1 0; [>eqn6:= y5 3.718; [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6},{ y0 , y1, y2 , y3 , y4 , y5 , y6 }); Kt qu thu c l : y1 1,3202; y2 1,6348; y3 2,0767; y4 2,7210 Nguyn Th Liờn 48 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Kết luận Nh- biết toán phát sinh từ thực tế lúc tìm đ-ợc nghiệm xác tìm đ-ợc phải nhiều thời gian nhiều điều không cần thiết Việc xuất ph-ơng pháp giải gần toán làm tăng thêm khả ứng dụng toán học vào thực tiễn Trong khoá luận tốt nghiệp này, phần kiến thức sai số, ph-ơng trình vi phân th-ờng toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng nêu lên ph-ơng pháp để giải gần toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng ứng dụng công nghệ thông tin ngôn ngữ Pascal Maple trình tính toán Với ph-ơng pháp ph-ơng trình vi phân th-ờng tìm đ-ợc nghiệm gần cách nhanh chóng Điều cần thiết thực tiễn Các ph-ơng pháp giải gần toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng phong phú nh-ng khuôn khổ khoá luận lực thân có hạn nên khoá luận ch-a nêu lên hệ thống đầy đủ ph-ơng pháp Thông qua khoá luận rút đ-ợc nhiều điều bổ ích việc nghiên cứu khoa học thấy việc phát triển ph-ơng pháp giải gần cần thiết ứng dụng to lớn chúng Nguyn Th Liờn 49 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nxb ĐHQGHN, Hà Nội [2] Nguyễn Minh Ch-ơng, Nguyn Vn Khi, Khut Văn Ninh, Nguyn Vn Tun, Nguyn Tng (2001), Giải tích số, Nxb Giáo Dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dậy toán học Maple, Nxb Khoa Học kỹ thuật Hà Nội [4] Tạ Văn Đĩnh, Lê Trọng Vinh (1976), Ph-ơng pháp tính, Nxb Đại học THCN [5] Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2002), Ph-ơng pháp tính thuật toán, Nxb Giáo Dục [6] Ia.D.Mamedov (1979), Các ph-ơng pháp giải xấp xỉ ph-ơng trình vi phân th-ờng, Nxb Maarif.Bacu Nguyn Th Liờn 50 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Lời cảm ơn Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em nhận đ-ợc dìu dắt, bảo tạo điều kiện giúp đỡ thầy cô khoa Toán nói chung tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt h-ớng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình thầy giáo TS Khuất Văn Ninh Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS Khuất Văn Ninh Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô tổ giải tích, thầy cô giáo khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè bạn sinh viên quan tâm đóng góp ý kiến cho đề tài em Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Liên Nguyn Th Liờn 51 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Khúa lun tt nghip Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khoá luận công trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với tôn trọng biết ơn Những kết nêu khoá luận ch-a đ-ợc công bố công trình khác Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Liên Nguyn Th Liờn 52 K33 Toỏn Trng HSP H Ni Nguyn Th Liờn Khúa lun tt nghip 53 K33 Toỏn [...]... từ bài toán Cauchy sau: y ( x) u1 ( x) y ( x) u2 ( x), a x b y (b) 1 u (b) 1 1 u (b) / ( 1 2 Nếu thoả mãn điều kiện 0 0 0, u (b)) 1 1 1 1 0, q( x) 0, x [a, b] thì ph-ơng pháp đuổi vi phân sẽ ổn định đối với sai số tính toán Nguyn Th Liờn 18 K33 Toỏn Trng HSP H Ni 2 Khúa lun tt nghip Ch-ơng 2 một số ph-ơng pháp giảI bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng 2.1 ph-ơng pháp đuổi giải bài toán biên. .. Ni 2 Khúa lun tt nghip 2.2 ph-ơng pháp l-ới giải bài toán biên của ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai ph-ơng pháp l-ới (ph-ơng pháp sai phân) là một trong các ph-ơng pháp số thông dụng để giải bài toán biên đối với các ph-ơng trình vi phân th-ờng ý t-ởng của ph-ơng pháp này là: Trong miền biến thiên của các biến độc lập, chúng ta tạo ra các đ-ờng thẳng song song với các trục toạ độ Điểm giao nhau... nh- ph-ơng pháp biến thiên hằng số có thể dẫn đến sai số (mất đi độ chính xác) 1.4 3.3 Ph-ơng pháp đuổi vi phân Khác với ph-ơng pháp đuổi và ph-ơng pháp biến thiên hằng số và ph-ơng pháp bắn, ph-ơng pháp đuổi vi phân giải bài toán Cauchy không phải để cho ph-ơng trình ban đầu mà là để cho những ph-ơng trình khác trong nhiều tr-ờng hợp bậc của nó đã thấp hơn ph-ơng trình ban đầu Nh- vậy với điều kiện... y(b), y (b), , y ( n 1) (b) 0, j (1.1.8) (1.1.9) L 1, L 2, , n Nếu các ph-ơng trình (1.1.7) - ( 1.1.9) là tuyến tính đối với y(x), y(x),, y n (x) thì bài toán biên (1.1.7) - (1.1.9) là bài toán biên tuyến tính Để cho đơn giản ta hạn chế tr-ờng hợp bài toán biên tuyến tính với n=2 Khi đó ph-ơng trình vi phân và điều kiện biên đ-ợc vi t d-ới dạng: L y ( x) y ( x) p ( x ) y ( x ) q ( x) y ( x) f ( x) (1.1.10)... gồm cả bài toán Cauchy thông th-ờng (khi ( Ta thấy rằng (x) ( ) 0 v, ) 0 thỏa mãn bài toán biên thuần nhất Nghiệm đó gọi là nghiệm tầm th-ờng Nguyn Th Liờn 13 K33 Toỏn Trng HSP H Ni 2 Nếu 1 , , k Khúa lun tt nghip là những nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ hợp tùy ý của chúng: c1 ck 1 k cũng là nghiệm của bài toán đó 1.4.2 Điều kiện giải đ-ợc của bài toán biên Có những bài toán biên không... để giải các bài toán biên với các ph-ơng trình vi phân tuyến tính 2) Trong quá trình thực hiện có thể dẫn đến sự thiếu chính xác (chẳng hạn khi Z1 (x) tăng nhanh theo biến x còn y(x) lại là đại l-ợng nhỏ thế thì một thay đổi nhỏ trong quá trình tính c1, c2 có thể dẫn đến sai số lớn khi tính y(x)) Nguyn Th Liờn 16 K33 Toỏn Trng HSP H Ni 2 Khúa lun tt nghip 1.4.2.3 Ph-ơng pháp bắn Khi giải bài toán biên. .. n hoặc bài toán biên không thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất t-ơng ứng có ít nhất một nghiệm không tầm th-ờng 1.4.3 a bi toỏn biờn v bi toỏn Cauchy Cho ph-ơng trình : F ( x, y, y , , y ( n) ) 0; a x b (1.1.7) Bài toán biên hai điểm đối với ph-ơng trình (1.1.7) đ-ợc đặt ra nh- sau: Cho hàm số y(x) thỏa mãn điều kiện (1.1.7) trên đoạn [a;b] và thỏa mãn điều kiện biên ở hai... Ni 2 Khúa lun tt nghip 1.3 một số kiến thức về ph-ơng trình vi phân th-ờng Ph-ơng trình vi phân th-ờng cấp n là ph-ơng trình trong đó có chứa hàm số ch-a xác định (đóng vai trò nh- ẩn số) và những đạo hàm của hàm số n đó: F x, y( x), y ( x), , y ( x) =0 (1.1.1) Cấp của ph-ơng trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong ph-ơng trình Hàm số y = (x) đ-ợc gọi là nghiệm của ph-ơng trình (1.1.1) nếu thay y... Ta xét trng hp khi phng trình (2.1.1) v nhng iu kin biên (2.1.2) tuyn tính Bi toán biên nh vy c gi l bi toán biên tuyn tính Trong trng hp ny phng trình vi phân v nhng iu kin biên c vit nh sau: y p( x) y y (a) 0 y (b) 0 q( x) y f ( x) a x b (2.1.3) y (a ) A B 1 y (b) 1 (2.1.4) Phng trình (2.1.3) l phng trình tuyn tính cp hai i vi y ,iu kin (2.1.4) l biu thc tuyn tính cp hai i vi y(a), y (a), y(b), y... q(x), f(x) là những hàm số cho tr-ớc, 0 , 0 , 0 , 1, 1, 1 là những hằng số cho tr-ớc Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm đã đ-ợc xem xét trong giáo trình về ph-ơng trình vi phân ở đây ta luôn có nghiệm y(x) của bài toán tồn tại và duy nhất và tồn tại các đạo hàm của y(x) với bậc đủ cao Giả thiết các điều kiện sau đ-ợc thỏa mãn: 0 0 0; 1 1 0 Các ph-ơng pháp đ-a bài toán biên về bài toán Cauchy: Nguyn Th ... nghip Ch-ơng số ph-ơng pháp giảI toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng 2.1 ph-ơng pháp đuổi giải toán biên ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai 2.1.1 Bài toán Xột phng trỡnh vi phõn F ( x,... nghip 2.2 ph-ơng pháp l-ới giải toán biên ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai ph-ơng pháp l-ới (ph-ơng pháp sai phân) ph-ơng pháp số thông dụng để giải toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng ý... nghiệp này, phần kiến thức sai số, ph-ơng trình vi phân th-ờng toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng nêu lên ph-ơng pháp để giải gần toán biên ph-ơng trình vi phân th-ờng ứng dụng công nghệ thông